实数考点及题型

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实数常考经典题型总结

实数考点题型总结类型一：求平方根、算数平方根和立方根1、72964的平方根为，算术平方根为，立方根为2、√16的平方根为 3467、已知一个数的平方是116，则这个数的平方根是 8、下列式子：①√−53=-√53；②√53=5；③√(−13)2=-13；④√36=±6．其中正确的个数有9、已知2a -1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b 的平方根．10、求下列各式中x 的值：①（x -2）2=25；②-8（1-x ）3=27．类型二：平方根、算数平方根和立方根的性质1、若|x+2|+√y −3＝0，则xy 的值为2、若a 2=25，|b|=3，则a+b 的值是3、若一个正数的两个平方根是2a-1和-a+2，则a= ，这个正数是．4、化简√(3.14−π)2−|2−π|=5、（x 2+1）2的算术平方根是6、若√x ＝√−x 有意义，则√x +1= ．7、若√x −1+√1−x +k =2，则x= ，k=8、若一个数的平方根等于它的立方根，则这个数是，一个数的立方根是它本身，这个数是9、若√2a +13+√2−a 3=0，则a=10、若√(3a +2)33−√(a −2)33=2，则a=11、若a ≠0，则√−a 33a =12、一个正数x 的平方根是2a-3与5-a ，一个负数y 的立方根是它本身，求x+y 的值。

类型三：实数的相关定义1、把下列各数分别填入相应的集合中：√23，16，√7，-π，-227，√2，√203，−√5，√83，√259，0，0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）有理数集合{ }；无理数集合{ }．2、下列各数中是无理数的是（）A ．√400B ．√4C ．√0.4D ．√0.04 3、写出两个和为1的无理数（只写一组即可）．类型四：实数的相关性质：估算、计算器的使用、比较大小、数轴表达等1、估计√6+1的值在（）A ．2到3之间B ．3到4之间C ．4到5之间D ．5到6之间2、一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（）A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间34、任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[√3]=1．现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行此操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．5、请你写出一个大于0而小于1的无理数．67、如果a+b＜0，且b＞0，那么a、b、-a、-b的大小关系为（）A．a＜b＜-a＜b B．-b＜a＜-a＜bC．a＜-b＜-a＜b D．a＜-b＜b＜-a8、(√22)−2，（-2）-1与20的大小关系是（）9、设a=√3-√2，b=2-√3，c=√5-2，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞aA．丙＜乙＜甲B．乙＜甲＜丙C．甲＜乙＜丙D．甲=乙=丙11、用计算器求√2013≈．（结果精确到0.1）12、用计算器比较：5√13，4√14，3√15的大小（用小于符号连接）．13、14、√2+1的倒数与√2−√3的相反数的和为．15、实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（）A．a+b=0 B．b＜a C．ab＞0 D．|b|＜|a|16、在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是√3和-1，则点C所对应的实数是（）A ．1+√3B ．2+√3C ．2√3-1D ．2√3+117、数轴上A 、B 两点对应的实数分别是√2和2，若点A 关于点B 的对称点为点C ，则点C 所对应的实数为．径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）2√219、如图，数轴上点N 表示的数可能是（）A ．√10B ．√5C ．3 ．√220、若将三个数−√3，√7，√11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是．21、若实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简|a+b|+|b-a|的结果是．22、如图，半圆的直径AB= ．类型五：二次根式：意义、性质、相关计算、应用等1、下列各式①√−12；②√(−3)2；③√9×(−3)；④√−2−5；⑤√a 2+b 2；⑥√10−3；⑦√−a （其中a ＜0）中，其中二次根式有个．2、若式子√2−x x−1有意义，则x 的取值范围为3、若y ＝√x −2+√2−x −1，则x y 的值是A ．x ≥-2B ．x ≠-2C ．x ≥2且x ≠4D ．x ≠25、下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A ．√14B ．√48C ．√ab D ．√4a +4 6、在式子√18，√√0.5m ，√x 2+4，√2a ，√a−b a+b 中，是最简二次根式的式子有个． 7、计算题：⑴ （π-3.14）0+（12）-1+|-2√2|-√8 ⑵ √48÷√3-√12×√12+√24⑶ 3×20-（12）2+2√3−1 ⑷ √18−12÷2−1+1√2+1−(√2−1)8、化简求值：已知x=12+√3，y=12−√3，求x 2-y 2的值．9、矩形的两条边长分别是2√3+√2和2√3−√2，求该矩形的面积和对角线的长．10、已知a ，b ，c 为三角形的三边，化简√(a +b −c )2+√(b −c −a )2+√(b +c −a )2．11、已知直角三角形的两条直角边长分别为，a ＝4+√2，b ＝4−√2，求斜边c 及斜边上的高h ．12、教师节快到了，为了表示对老师的敬意，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给老师，其中一张面积为800cm 2，另一张面积为450cm 2，他想如果再用金色彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m 长的金色彩带，请你帮助算一算，他的金色彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色彩带？（√2≈1.414，结果保留整数）13、如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为2和6，请计算大矩形内阴影部分的面积．14、数学课上张老师和学生们做了一个数字游戏，老师手里拿了一枝笔说：“现在你们学习了二次根式，如果x 表示√10的整数部分，y 代表它的小数部分，我这枝笔的价格是（√10+x ）y 元，那么你们猜一下这枝笔的价格是多少？谁猜对了，这枝笔就奖给谁”你能猜出这枝笔的价格吗？15、阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b √2=（m+n √2）2（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有a+b √2=m 2+2n 2+2mn √2．∴a=m 2+2n 2，b=2mn ．这样小明就找到了一种把类似a+b √2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a+b √3=(m +n √3)2，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： + √3=（ + √3）2；（3）若a+4√3=(m +n √3)2，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值？。

实数_知识点+题型归纳

第六章实数知识讲解+题型归纳知识讲解一、实数的组成1、实数又可分为正实数，零，负实数2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。

数轴上的点与实数一一对应二、相反数、绝对值、倒数1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。

数a的相反数是-a。

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。

2.绝对值：表示点到原点的距离，数a 的绝对值为3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

非0实数a的倒数为1a. 0没有倒数。

4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.三、平方根与立方根1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。

数a的平方根记作（a>=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。

负数没有平方根。

正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。

开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。

数a的立方根用3a表示。

任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。

开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。

四、实数的运算有理数的加法法则：a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b)异号两数相加。

绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。

2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3.乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．a| |ab）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为04.有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

实数知识点总结及典型例题练习

实数知识点总结考点一、实数的概念及分类（3分）1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的平方根记做“a ±”。

2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0）0≥a==a a 2 -a （a <0）；注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

第二章：实数【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2. 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如： 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。

如：2-π是无理数（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。

如2π,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）（3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：（1）下列各数：①、②……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。

（填序号）（2）有五个数:…,…,-π,4,32其中无理数有 ( )个【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。

特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根。

2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。

（2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个例：（1）下列说法正确的是（）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±；（D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是。

实数重难点题型分类(八大题型)(原卷版)

专题03 实数重难点题型分类（八大题型）【题型1 无理数的概念】【题型2 平方根、算术平方根与立方根的概念】【题型3 实数大小比较、无理数的估算】【题型4 最简二次根式及同类二次根式】【题型5 无理数在数轴上的表示】【题型6 绝对值的非负性】【题型7 算术平方根的非负性】【题型8 算术平方根钰绝对值的非负性综合】类型一：绝对值的非负性任何一个实数的绝对值是非负数类型二：算术平方根的非负性1. 二次根式具有双重非负性，即）（≥≥a 0a2. 几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.【题型1 无理数的概念】 1．（2023春•庄河市期末）实数，0.6，0，﹣2中，无理数是（）A ．B ．0.6C ．0D ．﹣22．（2023春•福田区校级期末）在，3.1415926，（π﹣2）0，﹣3，，﹣，0这些数中，无理数有（） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．（2023春•肇源县期末）下列各数中，无理数是（） A ．﹣2B ．3.14C ．D ．4．（2023春•徐汇区校级期中）若a 、b 是不相等的无理数，则（）A．a+b一定是无理数B．a﹣b一定是无理数C．a•b一定是无理数D．不一定是无理数5．（2022•福建）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（）A．B．C．D．π6．（2022•包头自主招生）下列说法中正确的是（）A．带根号的数是无理数B．无理数不能在数轴上表示出来C．无理数是无限小数D．无限小数是无理数【题型2 平方根、算术平方根与立方根的概念】7．（2023•荔湾区校级二模）实数4的算术平方根是（）A．B．±C．2D．±2 8．（2023•东营区校级三模）的算术平方根是（）A．4B．2C．±4D．±2 9．（2023春•榆树市期末）若x2＝4，则x的值是（）A．2B．±2C．16D．±16 10．（2023春•长宁区期末）下列等式中，正确的是（）A．（）²＝5B．（﹣）²＝5C．D．11．（2023春•和平区校级期末）若在实数范围内有意义，则m的取值范围是（）A．m≥0B．m≥﹣2C．m D．m 12．（2023春•邕宁区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．3B．4C．5D．6 13．（2023•碑林区校级一模）8的立方根为（）A．2B．4C．﹣4．D．﹣2 14．（2023•灞桥区校级模拟）计算的结果是（）A．﹣8B．﹣4C．±8D．±4 15．（2023春•长沙期末）下列运算正确的是（）A．B．C．＝﹣3D．16．（2023春•梁山县期中）立方根和算术平方根都等于它本身的数是（）A．0B．1，0C．0，1，﹣1D．0，﹣1 17．（2023春•惠城区校级期中）若a2＝4，b3＝27，则a﹣b的值为（）A．﹣1B．5C．﹣1或﹣5D．﹣1或5 18．（2023春•龙江县期中）﹣的立方根与36的平方根的和为（）A．4B．6C．4或﹣6D．4或﹣8【题型3 实数大小比较、无理数的估算】20．（2023春•滨海新区期末）估计的值在（）A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间21．（2023•和平区模拟）实数﹣π，﹣3.14，0，四个数中，最小的是（）A．﹣πB．﹣3.14C．D．0 22．（2023春•巴南区期末）估计的值在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间23．（2023春•丰都县期末）比较大小：．24．（2022秋•慈溪市期末）比较大小：1．（填“＞”，“＝”或“＜”）25．（2023•鄞州区校级一模）比较大小：﹣﹣2．（填“＞”、“＝”或“＜”）【题型4 最简二次根式及同类二次根式】26．（2023春•巴南区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．27．（2023春•花都区期末）下列根式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．28．（2023春•武昌区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．29．（2023春•大观区校级期末）下列根式中，与为同类二次根式的是（）A．B．C．D．30．（2023春•蒙城县校级期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3 31．（2023春•凤台县期末）如果最简二次根式与是同类根式，那么a 的值是（）A．a＝5B．a＝3C．a＝﹣5D．a＝﹣3 32．（2023春•大连期末）若最简二次根式与可以合并，则a＝﹣．【题型5 无理数在数轴上的表示】33．（2023春•嵩明县期末）数轴上点A所表示的实数可能是（）A．B．C．﹣1.5D．π34．（2023春•海淀区期末）如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为（）A．﹣πB．C．D．35．（2023春•路北区期中）如图，两个边长为1的正方形并排放在数轴上，且OA＝OB，则数轴上点A所表示的数是（）A．B．C．﹣2.5D．﹣2 36．（2023春•历城区期末）如图，在数轴上点A表示的实数是（）A．B．2.2C．2.3D．37．（2023春•西吉县期中）如图，OA＝OB，BD＝1，则数轴上点A所表示的数为（）A．B．C．D．38．（2023•浠水县二模）如图，数轴上点A表示的实数是（）A．﹣1B．C．+1D．﹣1【题型6 绝对值的非负性】39．（2023•都昌县校级模拟）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|1﹣a|+|b﹣2|的结果是．40．（2023春•防城区期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|b﹣a|﹣|a+b|＝．41．（2022秋•高新区期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+3b|+|a ﹣b|的结果为．42．（2022秋•成县期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简代数式|b ﹣a|﹣|a﹣2|+|b+1|的结果是．【题型7 算术平方根的非负性】43．（2022秋•青神县期末）若，则x的取值范围是（）A．x＝2B．x≤﹣2C．x≤2D．x≥2 44．（2023春•上城区校级期中）若，则x的取值范围是（）A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3 45．（2022秋•广饶县校级期末）若，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的算术平方根为（）A．4B．2C．±2D．3【题型8 算术平方根和绝对值的非负性综合】46．（2023春•无棣县期中）已知实数x、y满足，则的值是（）A．1B．2C．3D．4 47．（2023春•繁峙县期中）若a，b为实数，且，则（a+b）2023＝（）A．1B．﹣1C．﹣2023D．2023 48．（2023春•八步区期中）已知，则a+b＝（）A．8B．﹣8C．6D．﹣6 49．（2023春•江城区期中）若，则5x+y2的平方根是（）A．3B．2C．±2D．±3 50．（2023•巧家县校级三模）若，则a b的值为．。

实数知识点总复习含答案解析

【答案】A
【解析】
【分析】
由于，于是，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
【详解】
由于，于是，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案．
解：∵ ，
∴ ，
10与9的距离小于16与10的距离，
∴与最接近的是3．
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【答案】B
【解析】
分析：直接利用2＜＜3，进而得出答案．
详解：∵2＜＜3，
∴3＜ +1＜4，
故选B．
点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
10．若则的值是（）
A．2 B、1 C、0 D、
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．
【详解】
，
∴25的算术平方根是：5.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
19．估计的值是在（）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
【答案】B
【解析】
解：由于16＜19＜25，所以4＜＜5，因此6＜ +2＜7．故选B．
点睛：本题主要考查了估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4．在－3.5，，0，，－，－，0.161161116…(相邻两个6之间依次多一个1)中，无理数有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C

专题02 实数的运算(三大题型,50题)(解析版)

专题02实数的运算（三大题型，50题）（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、用数轴上的点表示实数，中档题20题，难度三星1．如图，若5x =，则表示2211(1)x x x x -+÷-的值的点落在（）A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【答案】C 【分析】首先对原式进行化简，然后代入x 的值，最后根据5 2.236≈即可判断．【详解】原式=2211()x x x x x-+-÷=()211x xx x -- =1x -当5x =时，原式=51-∵5 2.236≈∴51 1.236-≈故选C ．【点睛】本题考查了分式的乘除法化简，无理数的估算，无理数的估算是难点，关键是要熟记一些常用的完全平方数，和一些常用无理数的近似值．2．若实数p ，q ，m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足0p q m n +++=，则绝对值最小的数是（）A ．pB ．qC ．mD ．n【答案】C 【分析】根据0p q m n +++=，并结合数轴可知原点在q 和m 之间，且离m 点最近，即可求解．A．a b>B．π+A．πB．1【答案】B【分析】根据数轴与实数的一一对应关系解答即可．A ．a b-+B ．a b +C ．a 【答案】21π--【分析】求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可．【答案】﹣2a﹣b【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．【答案】32-或32+【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况讨论求解即可．【详解】解：∵点A 表示的数为3，点B 表示的数为4，∴1AB =，此时C '表示的数为：32-；当正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，使得点C 落在数轴上的点C '处时，如图：此时C '表示的数为：32+；【答案】2π2+【分析】先求出圆的周长为2π，再利用数轴的性质求解即可得．【详解】解：由题意可知，将圆沿数轴向右转动一周，转动的距离为∴点A 向右移动了2π个单位长度，【答案】280905--+/809052【分析】本题考查的是数轴的一个知识，解题的关键是找到规律：第移动25个单位，从第2次落在数轴上开始，比上一次又向右多移动了(1)图1中的阴影部分为正方形，它的面积是_________；(2)请利用（1）的解答，在图1的数轴上画出表示10的点；并简洁地说明理由．(3)如图2，请你利用正方形网格，设计一个面积方案，在数轴上画出表示理由．【答案】(1)10（3）解：如图，阴影部分为正方形，面积为所以，其边长为5，在数轴上截取5==，CDOC OK则点K表示的数为5，点D表示的数【点睛】本题主要考查正方形的性质以及网格，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．20．阅读下面的文字，解答问题．大家知道，2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此【点睛】此题考查的是估算无理数及求代数式的值，能够得到一个无理数的整数部分与小数部分是解决此题的关键．二、实数的大小比较，中档题15题，难度三星π-<-<根据数轴上点的特点可得： 1.5333．在数轴上表示数0，π-303π-<-<<．2【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，能利用数轴比较实数的大小是解此题的关键，注意：。

实数重难点题型

一、填空题1、(-2 )2的算术平方根是：。

2、16的平方根是：。

3、平方根等于本身的数有：，算术平方根等本身的数有：，立方根等于本身的数有：。

4、(-3)3的立方根是：。

5、使x-1有意义的x的取值范围是：。

6、使式子4-2x有意义的x的取值范围是：。

7、当x为何值时，-x有意义：。

8、计算-8的立方根与4的算术平方的和是：。

9、如果一个数的立方根等于这个数的立方，则这个数是：。

10、已知368.8=4.098，且3-x=40,98，则x=。

二、选择题1、3的算术平方根是（）A.3B.-3C. 9D. -92、估计20的算术平方根的大小在（）A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.6与7之间3、下列各式无意义的是（）A.-5B.-7C.0D.3-274、若3x+3y=0，则x与y的关系是：（）A.x + y≠ 0B. X与y相等C.x + y =0D.x=1 y5、64的立方根是（）A. 8 B +8 C.2 D. +26.下列表述正确的是：（）A.有最小的无理数。

B.有最小的有理数。

C.有绝对值最小的有理数。

D.有绝对值最小的无理数。

7、满足-3< x <2的整数有（）A. 4个B.3个C.2个D.1个8、下列说法正确的是（）A.3.141592...是分数 B.无理数不是分数2C.不循环小数是无理数D.无理数都是有限小数三、计算题1、求下列各数的算术平方根和平方根。

厂0.81111251961692、求下列各数的立方根-2764125 3、求下列各式中x的值。

4x2 - 289 = 0(x-1)2= 12119x2- 0.27 = 0.544、已知b=a-5+5-a-3，求a+b的值。

5、已知x、y为实数，且满足1-x-（y-1)1-y=0,求x2013-y2014的值。

6、已知2a-1的平方根是+3，3a+b-1的平方根是+4，求a+2b的平方根。

2x+1)3- 216 = 0（。

4.3实数(十大题型)(解析版) 八年级数学上学期

八年级上册数学《第4章实数》4.3实数◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.◆2、实数的分类：（1）按定义分类．（2）按性质分类.◆1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.◆2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.◆3、实数的大小比较①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；②两个正实数，绝对值大的数较大；③两个负实数，绝对值大的数反而小.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．◆1、数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.◆2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设a表示任意一个实数，则|a|=o＞0)0(=0)−o＜0)◆1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.◆2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.◆3、实数的运算律.①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③乘法交换律：ab＝ba；④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)⑤分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.①被开方数一定是非负数，即a≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即a≥0.【例题1】（2022秋•丽水期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：①﹣3.14，②2π，③−13，④0.618，⑤−16，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨227，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）．整数集合：{……}；分数集合：{……}；无理数集合：{……}．【分析】利用整数、分数、无理数的定义分类填空．【解答】解：整数有：⑤−16=−4，⑥0，⑦﹣1，⑧+3；分数有：①﹣3.14，③−13，④0.618，⑨227；无理数有：②2π，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1），故答案为：⑤⑥⑦⑧；①③④⑨；②2⑩．【点评】本题考查了实数的定义，解题的关键是掌握整数、分数、无理数的定义．【变式1-1】（2022秋•社旗县期末）实数−13，−6，0，﹣1中，为负整数的是（）A．﹣1B．−6C．0D．−13【分析】根据实数的分类进行解答即可．【解答】解：这一组数中的负整数是﹣1．故选：A．【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题的关键．【变式1-2】（2022秋•宁波期中）下列实数：2，39，1，2，−73，0.3⋅，分数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据实数的分类及分数的定义进行解答即可．−73，0.3⋅共3个．故选：B．【点评】本题考查的是实数，熟知所有的分数都是有理数是解题的关键．【变式1-3】（2022春•宜秀区校级月考）下列说法正确的是（）A．实数包括有理数、无理数和零B．有理数包括正有理数和负有理数C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D．无论是有理数还是无理数都是实数【分析】灵活掌握实数分类以及有理数和无理数概念，注意容易混淆的知识点．【解答】解：有理数和无理数统称为实数，0属于有理数，故A错误，有理数包括正有理数、负无理数和0，0既不是正数也不是负数，故B错误，无限不循环的小数是无理数，故C错误，实数分为有理数和无理数，故D正确．故选：D．【点评】考查了实数的概念，以及有理数和无理数概念及分类．【变式1-4】下列判断：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；③2的算术平方根是2；④无理数是带根号的数．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B；【分析】直接利用有关实数的性质分别分析得出答案．【解答】解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，故原题说法错误；②实数包括无理数和有理数，故原题说法正确；③2的算术平方根是2，故原题说法正确；④无理数是无限不循环小数，故原题说法错误，例如4=2是有理数．故选：B．【变式1-5】（2022春•夏津县期末）下列说法中错误的是（）A．3−27是整数B．−1713是有理数C．33是分数D．9的立方根是无理数【分析】根据立方根，算术平方根，有理数，无理数的意义，即可解答．【解答】解：A、∵3−27=−3，∴3−27是整数，故A不符合题意；B、−1713是有理数，故B不符合题意；C、33是无理数，不是分数，故C符合题意；D、∵9=3，3的立方根是33，33是无理数，∴9的立方根是无理数，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数，无理数的意义是解题的关键．【变式1-6】（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：33，−4，−34，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）【分析】根据无理数以及正实数的定义，在给定实数中分别挑出无理数以及正实数，此题得解．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【变式2-7】（2023秋•滨湖区期中）将下列各数的序号填入相应的括号内：①﹣2.5；②313；③0；④2；⑤﹣8；⑥10%；⑦−27；⑧﹣1.12121112…；⑨2；⑩−0.345⋅⋅．整数集合：{…}；负分数集合：{…}；正有理数集合：{…}；无理数集合：{…}．【分析】根据实数的分类，即可解答．【解答】解：整数集合：{③⑤⑨…}；负分数集合：{①⑦⑩…}；正有理数集合：{②⑥⑨…}；无理数集合：{④⑧…}．故答案为：③⑤⑨；①⑦⑩；②⑥⑨；④⑧．【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．【例题2】（2022•海淀区校级模拟）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＜0B．a＜b C．b+5＞0D．|a|＞|b|【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．【变式2-1】（2022春•南岸区期中）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜2，则b的值可以是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．3【分析】先判断b的范围，再确定符合条件的数即可．【解答】解：∵1＜a＜2，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∵﹣a＜b＜a，∴b只能是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围．【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．【变式2-2】（2023秋•昌黎县期中）如图，在数轴上，点A表示实数a，则a可能是（）A．−12B．−10C．−8D．−3【分析】根据数轴可得−9＜＜−4，再逐一分析各选项的数据即可．【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，∴−9＜＜−4，∵9＜12，9＜10，∴−12＜−9，−10＜−9，故A，B不符合题意；∵3＜4，∴−3＞−4，故D不符合题意；∵4＜8＜9，∴−9＜−8＜−4，即−3＜−8＜−2，故选：C．【点评】本题考查的是实数与数轴，实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．【变式2-3】（2023秋•新吴区校级期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2020将与正方形上的哪个字母重合（）A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D【分析】正方形滚动一周的长度为4，从﹣2到2020共滚动2022，由2022÷4＝505......2，即可作出判断．【解答】解：∵正方形的边长为1，∴正方形的周长为4，∴正方形滚动一周的长度为4，∵正方形的起点在﹣2处，∴2020﹣（﹣2）＝2022，∵2022÷4＝505......2，∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合，故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，根据正方形的特点找出滚动规律是解题的关键．【变式2-4】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，2．【分析】先计算﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，再利用数轴表示数的方法表示所给的6个数，然后写出它们的大小关系．【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，用数轴表示为：，它们的大小关系为﹣|﹣4|＜﹣1.5＜0＜﹣（﹣1）＜2＜3．【变式2-5】（2022春•海安市校级月考）7、如图：数轴上表示1、5的对应点分别为A、B，且点A为线段BC的中点，则点C表示的数是（）A．5−1B．1−5C．5−2D．2−5【分析】设C点表示的数为x，再根据中点坐标公式求出x的值即可．【解答】解：设C点表示的数为x，则r52=1，解得x＝2−5．故选：D．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．【变式2-6】（2023•市南区一模）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（）A．1＜|a|＜b B．1＜﹣a＜b C．|a|＜1＜|b|D．﹣b＜a＜﹣1【分析】根据相反数的意义，绝对值的性质，有理数的大小比较，可得答案．【解答】解：由题意，得1＜|a|＜b，1＜﹣a＜b，﹣b＜a＜﹣1，故C符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，利用相反数的意义，绝对值的性质，数轴上的点右边的总比左边的大是解题关键．【变式2-7】（2023春•岳池县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为1+【分析】根据正方形的面积求出正方形的半径，即圆的半径为5，所以E点表示的数为OE的长度，即1+5．【解答】解：∵正方形的面积为5，∴AB为5；∵以A点为圆心，AB为半径，和数轴交于E点，∴AE＝AB=5；∵A点表示的数为1，∴OE＝OA+AE＝1+5故答案为：1+5【点评】本题主要考查了实数与数轴的位置关系，结合正方形面积以及圆的半径考查．解题关键是求出OE的长度．【变式2-8】（2022秋•西安月考）如图，已知实数−5，﹣1，5，3，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D．（1）求点C与点D之间的距离；（2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值．【分析】（1）根据数轴上两点间距离的计算方法进行计算即可得出答案；（2）先根据数轴上两点间距离的计算方法计算出a的值，再求a﹣b即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，点C与点D之间的距离为3−5；（2）根据题意可得，a＝|﹣1+5|=5−1，b＝3−5，a﹣b=5−1﹣（3−5）＝25−4．【点评】本题主要考查了实数与数轴及数轴上两点间距离，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及数轴上两点间距离的计算方法进行求解是解决本题的关键．【例题3】实数−3的绝对值是（）A．3B．C．−3D．33【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：实数−3的绝对值是：3．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．【变式3-1】−2的相反数是（）A．−2B．2CD．2【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得−2的相反数是：2．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．【变式3-2】（2023春•潮南区期中）5−2的相反数是（）A．﹣0.236B．5+2C．2−5D．﹣2+5【分析】根据相反数的定义即可得出结论．【解答】解：5−2的相反数是2−5．故选C．【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．【变式3-3】（2023春•京山市期中）下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣2与(−2)2B．﹣2与3−8C．﹣2与−12D．2与|﹣2|【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、(−2)2=2，﹣2与(−2)2是互为相反数，故本选项正确；B、3−8=−2，﹣2与3−8相等，不是互为相反数，故本选项错误；C、﹣2与−12是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，对各项准确计算是解题的关键．【变式3-4】（2023秋•秦都区校级月考）下列说法正确的是（）A．2的绝对值是22B．2的倒数是22C．2的相反数是22D．4的平方根为±2【分析】根据绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识分别对四个选项进行分析．【解答】解：2的绝对值是2，所以A选项不正确；2的倒数是22，所以B选项正确；2的相反数是−2，所以C选项不正确；4的平方根是±2，所以D选项不正确．故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识．【变式3-5】填空：（1）5的相反数是，绝对值是；（2）3−1的相反数是，绝对值是；（3）若|x|=3，则x＝．【分析】根据相反数和绝对值的定义即可得出答案．【解答】解：（1）5的相反数是−5，绝对值是5；（2）3−1的相反数是1−3，绝对值是3−1；（3）∵|x|=3，∴x=±3．故答案为：（1）−5，5；（2）1−3，3−1；（3）±3．【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，掌握绝对值等于3的数有2个是解题的关键．【变式3-6】（2022秋•余姚市校级期中）a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是15的倒数．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）求o+p+2−的值．【分析】（1）直接利用算术平方根的概念以及立方根的概念、倒数的概念分别分析得出答案；（2）直接利用绝对值的性质、立方根的性质、算术的性质分析得出答案．【解答】解：（1）∵a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是15的倒数，∴a＝2，b＝3，c＝5；故答案为：2，3，5；（2）原式=2(3+5)+22−2×5=6+25+4−25=10．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．【变式3-7】（2022秋•芗城区校级月考）31−2与33−2互为相反数，求代数式6x﹣9y+5的值．【分析】由题意得方程1﹣2x+3y﹣2＝0，求得2x﹣3y＝﹣1，再将其代入求解即可．【解答】解：由题意得1﹣2x+3y﹣2＝0，整理，得2x﹣3y＝﹣1，∴6x﹣9y+5＝3（2x﹣3y）+5＝3×（﹣1）+5＝﹣3+5＝2．【点评】此题考查了运用立方根和相反数进行化简、求值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识和整体思想．【变式3-8】（2022春•如皋市校级月考）已知|x|=5，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值．【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案．【解答】解：∵|x|=5，∴x＝±5，∵y是11的平方根，∴y＝±11，∵x＞y，∴当x=5，则y=−11，故x+y=5−11，当x=−5，则y=−11，故x+y=−5−11，综上所述：x+y的值为5−11或−5−11．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键．【例题4】（2023•潍坊）在实数1，﹣1，0，2中，最大的数是（）A．1B．﹣1C．0D．2【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜2，∴在实数1，﹣1，0，2中，最大的数是2，故选：D．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．【变式4-1】（2022•沂源县一模）在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是（）A．3B．−3C．0D．2【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小即可求解．【解答】解：在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是−3．故选：B．【点评】此题考查了实数大小比较，可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．【变式4-2】三个数﹣π，﹣3，−3的大小顺序是（）A．﹣3＜﹣π＜−3B．﹣π＜﹣3＜−3C．﹣π＜−3＜−3D．﹣3＜−3＜−π【分析】先对无理数进行估算，再比较大小即可．【解答】解：﹣π≈﹣3.14，−3≈−1.732，因为3.14＞3＞1.732．所以﹣π＜﹣3＜−3．故选：B．【点评】本题考查了同学们对无理数大小的估算能力及比较两个负数大小的方法，即两个负数相比较，绝对值大的反而小．【变式4-3】（2023秋•农安县期中）将数“22，5，−2，0，﹣1.6”按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来是：．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵22=8＞5，−2≈−1.57＞﹣1.6，∴﹣1.6＜−2＜0＜5＜22，故答案为：﹣1.6＜−2＜0＜5＜22．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数比较时绝对值大的反而小．【变式4-4】设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，，1这四个数中（）A．1＞＞＞2B．2＞＞＞1C．＞＞1＞2D．1＞＞＞2【分析】根据正数比较大小的法则进行解答即可．【解答】解：∵0＜a＜1，∴0＜a2＜a＜＜1，1＞1，∴1＞＞a＞a2．故选：D．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．【变式4-5】比较2，5，37的大小，正确的是（）A．2＜5＜37B．2＜37＜5C．5＜37＜2D．37＜2＜5【分析】把2转化为4，38，即可比较大小．【解答】解：∵2=4，∴5＞2，∵2=38，∴2＞37，∴5＞2＞37，即37＜2＜5，故选：D．【点评】本题考查了实数大小的比较，解决本题的关键是把2转化为4，38．【变式4-6】比较大小：− 1.5．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：(−3)2=3，（﹣1.5）2＝2.25，∵3＞2.25，∴−3＜−1.5．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小，两个负数平方大的反而小．【例题5】已知：x＜21＜y（x，y是两个连续整数），则x，y的值为（）A．x＝2，y＝3B．x＝3，y＝4C．x＝4，y＝5D．x＝5，y＝6【分析】根据16＜21＜25，即可得出x、y的值．【解答】解：∵16＜21＜25，∴x＝4，y＝5；故选：C．【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，解题的关键是用有理数逼近算术平方根．【变式5-1】（2023秋•郁南县期中）估算57的值应在（）A．6～7之间B．7～8之间C．8～9之间D．不能确定【分析】利用无理数的估算即可求得答案．【解答】解：∵49＜57＜64，∴7＜57＜8，即57的值在7～8之间，故选：B．【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．【变式5-2】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9＝18，则大正方形的边长为：18，∵16＜18＜ 4.52，∴4＜18＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．【变式5-3】（2022春•江津区校级月考）若x、y为两个连续的整数，且x＜39＜y，则x+y＝．【分析】通过36＜39＜49求解．【解答】解：∵36＜39＜49，∴6＜39＜7，∴x＝6，y＝7，∴x+y＝13．故答案为：13．【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．【变式5-4】（2023秋•青龙县期中）估算2+14的值在（）A．4到5之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间【分析】先估算出14的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵9＜14＜16，∴3＜14＜4，∴5＜2+14＜6．故选：B．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．【变式5-5】（2023秋•秦都区期中）估计23−2的值在（）A．2到3之间B．1到2之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】先估算出23的大小，进而估算23−2的范围．【解答】解：∵16＜23＜25，∴4＜23＜5，∴2＜23−2＜3，∴23−2的值在2和3之间．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．【变式5-6】（2022•南关区校级开学）已知x，y为两个连续的整数，且x＜20＜y，则5x+y的值为．【分析】先求出20的范围，求出x、y的值，求出5x+y的值，根据平方根的定义求出即可．【解答】解：∵4＜20＜5，∴x＝4，y＝5，∴5x+y＝5×4+5＝25，∴5x+y的平方根是±5，故答案为：±5．【点评】本题考查了算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．【变式5-7】（2023秋•二七区校级月考）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将2减去其整数部分，差就是2的小数部分．请解答：（1）23的整数部分是，小数部分是；（2）如果7+1的小数部分为，9−17的整数部分为b，求+−7的平方根；（3）已知10+7=+，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数23的大小即可；（2）根据算术平方根的定义估算无理数7+1，9−17的大小即可确定a、b的值，再代入计算即可；（3）根据算术平方根的定义估算无理数10+7的大小确定整数部分x，小数部分是y，再求出x﹣y的相反数即可．【解答】解：（1）42＝16，52＝25，而16＜23＜25，∴4＜23＜5，∴23的整数部分是4，小数部分为23−4，故答案为：4，23−4；（2）∵22＝4，32＝9，而4＜7＜9，∴2＜7＜3，∴3＜7+1＜4，∴7+1的整数部分是3，小数部分为7+1﹣3=7−2，即a=7−2；∵4＜17＜5，∴﹣5＜−17＜−4，∴4＜9−17＜5，∴9−17的整数部分是4，即b＝4，∴a+b−7=7−2+4−7=2，∴+−7的平方根是±2；（3）∵2＜7＜3，∴12＜10+7＜13，∴10+7的整数部分是12，小数部分是10+7−12=7−2，又∵10+7=+，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝12，y=7−2，∴x﹣y的相反数是y﹣x=7−14．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、平方根的定义是正确解答的前提．【例题6】通过估算，比较下列各组数的大小：（1）6（2（3）5−121；（4）3+12112．【分析】（1）利用平方运算，比较大小即可解答；（2）根据算术平方根的意义，比较大小即可解答；（3）先估算出5的值的范围，再估算出5−1的值的范围，进行计算即可解答；（4）先估算出3的值的范围，再估算出3+1的值的范围，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵62＝36，（35）2＝35，∴36＞35，∴6＞35，故答案为：＞；（2）∵8＜10，∴8＜10，故答案为：＜；（3）∵4＜5＜9，∴2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，故答案为：＜；（4）∵1＜3＜4，∴1＜3＜2，∴2＜3+1＜3，∴132，故答案为：＜．【点评】本题考查了数的大小比较，熟练掌握估算算术平方根的值的大小是解题的关键．【变式6-1】（2023春•西城区校级期中）比较大小：（1；（2）5−11．【分析】（1）先把4写成算术平方根的形式，然后根据算术平方根的被开方数越大，那个数就越大进行解答；（2）先估算5的大小，然后进行判断即可．【解答】解：（1）∵4=16，17＞16，∴17＞4；（2）∵2＜5＜3，∴5−1＞1，故答案为：（1）＞；（2）＞．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是能够正确的估算无理数的大小．【变式6-2】（2022秋•新津县校级月考）比较大小：3−1212，23．【分析】（1）比较出两个数的差的正负，即可判断出它们的大小关系．（2）首先比较出两个数的平方的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出原来的两个数的大小关系即可．【解答】解：（1）∵3−12−12=32−1＜0，∴3−12＜12．（2）(32)2=18，(23)2=12，∵18＞12，∴32＞23．故答案为：＜、＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．【变式6-3】（2023春•前进区月考）比较2，5，37的大小，正确的是（）A．2＜5＜37B．2＜37＜5C．37＜2＜5D．37＜5＜2【分析】先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小．【解答】解：∵26＝64，(5)6=[(5)2]3=125，(37)6=[(37)3]2=49，而49＜64＜125，∴(37)6＜(5)6＜26，∴37＜2＜5．故选：C．【点评】此题考查的是实数的比较大小，根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数，然后比较大小是解决此题的关键．【变式6-4】比较下列各组数的大小：（1）120与11．（2）5+12与2．【分析】（1）根据11=121，即可进行比较；（2）先通分，可得2=42，再比较分子5+1与4的大小即可求解．【解答】解：（1）∵11=121，120＜121，∴120＜11．（2）∵2=42，5+1＜4，∴5+12＜2．【点评】此题主要考查了算术平方根的估算能力，两个正数的算术平方根的比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大．【变式6-5】比较下列各组数的大小（1）8与10；（2）65与8；（3）5−12与0.5；（4）5−12与1．【分析】（1）根据8＜10，即可解答；（2）根据8=64，即可进行比较；（3）求出2＜5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可；（4）求出2＜5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可．【解答】解：（1）∵8＜10，∴8＜10；（2）∵64=8，64＜65，∴65＞64，∴65＞8；（3）∵2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，∴5−12＞12．（4）∵2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，∴5−12＜1．【点评】本题考查了数的大小比较的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小．【例题7】（2022秋•大竹县校级期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|−2的结果是（）A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b【分析】首先由数轴可得a＜b＜0，然后利用算术平方根与绝对值的性质，即可求得答案．【解答】解：根据题意得：a＜b＜0，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|−2=|a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b．故选：C．【点评】此题考查了数轴、算术平方根与绝对值的性质．此题难度适中，注意2=|a|．【变式7-1】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|3−b|+|a+3|+2的值．【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：a＜−3，0＜b＜3，故|3−b|+|a+3|+2=3−b﹣（a+3）﹣a=3−b﹣a−3−a＝﹣2a﹣b．故答案为：﹣2a﹣b．【点评】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式7-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简(−p2−|a+c|+(−p2−|b|【分析】利用数轴首先得出各式的符号，进而化简得出答案．【解答】解：如图所示：a﹣b＜0，a+c＜0，c﹣b＜0，b＞0，则原式＝b﹣a+a+c+b﹣c﹣b＝b．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确判断出各式的符号是解题关键．【变式7-3】（2021春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：2+|a+b|+3(+p3−|b﹣c|．【分析】直接利用数轴得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化简求解．【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）＝b．【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式7-4】实数a，b，c表示在数轴上如图所示，完成下列问题，试化简：(−p2−|−U+3(−p3．【分析】根据题意可得：b＜0＜a＜c，从而可得a﹣c＜0，b﹣a＜0，然后利用二次根式的性质，绝对值，立方根的意义进行化简计算，即可解答．【解答】解：由题意得：b＜0＜a＜c，∴a﹣c＜0，b﹣a＜0，∴(−p2−|−U+3(−p3＝c﹣a﹣（a﹣b）+b﹣c＝c﹣a﹣a+b+b﹣c＝2b﹣2a．【点评】本题考查了整式的加减，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式7-5】（2022秋•保定月考）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B 表示3，设点A所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求（m+2）2+|m+1|的值．【分析】（1）根据实数与数轴上的点是一一对应关系进行计算即可得出答案；（2）把（1）中m的值代入进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，m=3−2；故答案为：3−2；（2）m+1=3−2+1=3−1，∵1＜3＜2，∴0＜3−1＜1，（m+2）2+|m+1|＝（3−2+2）2+|3−1|＝（3）2+3−1＝3+3−1＝2+3．故答案为：2+3．【点评】本题主要考查了实数与数轴及绝对值，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键．【变式7-6】（2022秋•青龙县月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A 表示−2，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求（m+1）（1﹣m）的值；（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且|c+3|与−5互为相反数，求c+3d的平方根．【分析】（1）根据点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，即可得到m的值；（2）根据（1）的结果求值即可；（3）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案．【解答】解：（1）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，∴m=−2+2，故答案为：−2+2；（2）（m+1）（1﹣m）＝1﹣m2＝1﹣（−2+2）2＝1+42−6＝42−5；（3）∵|c+3|与−5互为相反数，∴|c+3|+−5=0，∵|c+3|≥0，−5≥0，∴c+3＝0，d﹣5＝0，∴c＝﹣3，d＝5，∴c+3d＝（﹣3）+3×5＝﹣3+15。

实数期末常考题型总结

实数期末常考题型总结一、实数的性质1. 实数的分类：有理数和无理数的概念，以及它们在数轴上的位置。

2. 实数集的完备性：介绍实数集的上确界、下确界、最大值、最小值等概念，并在数轴上进行图示。

3. 实数的比较和大小：掌握实数的大小比较，通过数轴的位置进行判断。

二、实数的运算1. 实数的加、减、乘、除运算：熟练掌握实数四则运算的规则，注意有理数和无理数运算的特点。

2. 实数的幂运算：知道实数的幂运算的定义、性质和计算法则。

3. 符号函数：了解符号函数的性质和运算规律，进行计算和简化表达式。

三、实数的表示1. 实数的小数表示和数轴表示：熟悉实数的小数表示法，掌握无限不循环小数和无限循环小数的表示方法。

2. 实数的近似表示和有效数字：了解实数的近似表示法和有效数字的概念，计算近似值和有效数字的位数。

四、实数的性质证明1. 实数的有序性证明：通过实数的定义和性质，证明实数的大小关系。

2. 实数的不等式证明：根据实数的性质，推导和证明实数的不等式关系。

3. 实数的有理数性质证明：利用有理数性质和实数的定义，证明某个数是有理数。

4. 实数的无理数性质证明：利用无理数性质和实数的定义，证明某个数是无理数。

五、实数的绝对值和距离1. 实数的绝对值：根据绝对值的定义和性质，计算实数的绝对值。

2. 实数的距离：了解实数之间的距离概念，计算实数之间的距离。

六、实数的逼近和误差估计1. 实数的逼近和截断误差：了解逼近的概念和方法，估计实数的截断误差。

2. 误差的运算和估计：掌握误差运算和误差估计的方法，确定结果的精确性。

七、实数的方程和不等式1. 实数方程：解实系数的一元一次方程和二次方程。

2. 实数不等式：解实系数的一元一次不等式和二次不等式，并求解其解集。

八、实数数列和级数1. 实数数列的定义、性质和分类：熟悉数列的概念和定义，了解等差数列、等比数列等常见数列的性质。

2. 实数数列的极限和收敛：了解数列极限的概念和性质，计算数列的极限值。

《实数》题型分类归纳

精心整理《实数》知识点比较：（1）100 （2）6449（3）1691（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26- 例2、求下列各数的平方根。

（1）100（2）6449（3）1691（4）0.0025（5）0（6）2（7）()26- 例3、求下列各数的立方根。

（1）1000（2）278（3）27102（4）0.001（5）0（6）2（7）()36-类型二：化简求值例1、求下列各式的值。

（1）22=（2）256169-=（3）0196.0= （4）2224-25-=（5）327--=（6）33512729+= 例2、求下列各式的值（1）一、例1例2（1）例3二、例4例5例6算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。

立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左）移动一位。

例1、观察：已知84.227.521284.2217.5==，填空：______52170______05217.0== 例2、令858.46.23536.136.2==，则①________00236.0_______;236==②若__________,04858x ==x③若153610a 6=⨯，求a 的值。

例3、若b ==337,a 15，则____37000____,15.03==。

类型五、平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数。

例1、一个非负数的两个平方根是 12-a 和5-a ，这个非负数是多少？例2、已知一个数的两个平方根分别是13+a 和11+a ，求这个数的立方根类型六、解方程。

例1、求下列各式中的x 的值：（1）2x =196；（2）010x 52=-；（3）0253362=--）（x 。

（4）3x 3例1例2、求A B -例1、例2、例3A 、2与例4例5例1、下列判断错误的是()A 、若b a =，则b a =B 、若33b a =，则b a =C 、若3333b a =，则b a =D 、若22b a =，则b a =例2、如图实数 a 、b 对应数轴上的点A 和点B ,化简：2222)()(a b a b a b +---+ 提示：|a |＝算；())0(2≥=a a a类型八、平方运算与开平方运算互为逆运立方运算与开立方运算互为逆运算。

《实数》知识点及典型例题

6
3
）
C、－9＝－3
D、
1 1 16 ＝4 9 3 ）））
5、一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （ A、1 B、0 C、1 或 0 D、1 或 0 或－1 6、已知 x＋10＋ y－13＝0，则 x＋y 的值是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · （ A、13 B、3 C、－3 D、23 7、两个连续自然数，前一个数的算术平方根是 x，则后一个数的算术平方根是 · · · · · · · · · （ A、x＋1 2 A、 3
· 1 24、在－，π ，0， 2，－22，2.121121112„(两个 2 之间依次多一个 1)，0. 3 。 3
（1）是有理数的有：（2）是无理数的有：（3）是整数的有：（4）是分数的有：
；；；。
5
25、跳伞运动员跳离飞机，在未打开降落伞前，下降的高度 d(米)与下降的时间 t(秒)之间有关系式：t＝（不计空气阻力）（1）填表：下降高度 d（米）下降时间 t（秒）（2）若共下降 2000 米，则前 500 米与后 1500 米所用的时间分别是多少？ 20 80 245 320
考点六、实数非负性的应用 1．已知：
3a b | a 49 | a7
2
0 ，求实数 a，b 的值。
2．已知(x-6) +

实数重难点题型分类(八大题型)(解析版)—2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型高分突破》

实数重难点题型分类（八大题型）【题型01：无理数的概念】【题型02：平方根、算术平方根与立方根的概念和性质】【题型03：实数大小比较、无理数的估算】【题型04：无理数在数轴上的表示】【题型05：实数与数轴的简单运用】【题型06：算术平方根与绝对值的非负性综合】【题型07：实数的运算综合】【题型08：实数的综合应用】【题型01：无理数的概念】1.下列实数中，无理数是（　）B．0.2C．3.14159DA．222．下列各数是无理数的是（）B C D．0.23A．13．在实数―1，12， 3.14中，无理数是（）A ．―1B ．12C D ．3.144．下列实数227，，13，π―3.14中，无理数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【题型02：平方根、算术平方根与立方根的概念和性质】5 ）A ．―3B ．3C ．±3D ．136．9的算术平方根是（）A．―3B．3C．9D．±3【答案】B【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义求解即可．【详解】解：9的算术平方根是3，故选：B．7．一个正数的两个不同的平方根是a+1和a―15，则这个正数是（）A．64B．49C．14D．7【答案】A【分析】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的性质是解题关键．根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数建立方程，解方程可得a的值，由此即可得．【详解】解：由题意得：a+1+a―15=0，解得a=7，则这个正数是(a+1)2=(7+1)2=64，故选：A．8．―8的立方根是（）D．―4 A．2B．―2C．―129．下列计算正确的是（）=±3B=―1C=―1D．=2A10）A．―9B．3C．―3D．±311．在1.5，﹣1.4，，0这四个数中，最小的数是（）A．1.5B．C．0D．﹣1.4【答案】D【解答】解：在1.5，﹣1.4，，0这四个数中，最小的数是﹣1.4，故选：D．12．下列各式比较大小正确的是（）A．B．C．﹣π＜﹣3.14D．【答案】C【解答】解：A、∵，∴﹣，故本选项正确；B、∵，，6＝，5＝，∴＞，∴﹣＜﹣，故本选项错误；C、∵π＞3.14，∴﹣π＜﹣3.14，故本选项正确；D、∵＞＝3，∴﹣＜﹣3，故本选项错误．故选：C．13．在哪两个整数之间（）A．5与6B．6与7C．7与8D．8与9【答案】C【解答】解：∵72＝49，82＝64，而49＜50＜64，∴7＜＜8；故选：C．14．估计的值在（）A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间【答案】B【解答】解：∵4＜7＜9，∴，∴，故选：B．15．整数a满足，则a的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解答】解：∵18＜25＜28，∴＜5＜，∴a＝5，故选：C．16．设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则＝（）A．32B．46C．64D．65【答案】D【解答】解：∵1.52＝2.25，2.52＝6.25，3.52＝12.25，4.52＝20.25，[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），∴；；；；，∴＝1×2+2×4+3×6+4×8+5＝2+8+18+32+5＝65，故选：D．17．比较大小：．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵≈1.7，∴﹣1＜1，∴＜．故答案为：＜．18．比较大小： ﹣1（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵≈1.414，≈2.236，∴﹣1≈2.236﹣1＝1.236，∴＞﹣1，故答案为：＞．【题型04：无理数在数轴上的表示】19．已知点A，B，C在数轴上的位置如图所示，点A表示的数是﹣2，点B是AC的中点，线段AB＝+1，则点C表示的数是．【答案】2．【解答】解：∵点A表示的数是﹣2，线段AB＝+1，∴点B表示的数是﹣1，∵点B是AC的中点，∴线段BC＝AB＝1，∴点C表示的数是：＝2，故答案为：．20．如图，将数表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图可知，1＜被覆盖的数＜3，∵﹣、、只有在此范围内，∴被墨迹覆盖的数是．故答案为：21．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和1，则点C所对应的实数是．【答案】．【解答】解：数轴上两点关于某一点对称，这两点到对称点的距离相等，设点C表示实数x，由此可得，解得，故答案为：．【题型05：实数与数轴的简单运用】22．实数a，b在数轴上的位置如图，则|a﹣b|﹣|a+b|＝．【答案】﹣2a．【解答】解：由数轴可得：a＜b，|a|＜|b|，∴|a﹣b|﹣|a+b|＝b﹣a﹣a﹣b＝﹣2a．故答案为：﹣2a．22．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|＝．【答案】2a．【解答】解：根据图示，可得：a＜0＜b，﹣a＜b，∴a+b＞0，∴|a+b|﹣|a﹣b|＝a+b﹣（b﹣a）＝2a．故答案为：2a．23．实数a，b，c在数轴上的位置如图，那么|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a|＝．【答案】﹣c﹣b．【解答】解：由数轴可知：b＜c＜﹣1＜0＜1＜a，∴|c|﹣|a|+|﹣b|+|﹣a|＝﹣c﹣a﹣b+a＝﹣c﹣b，故答案为：﹣c﹣b．24．实数a、b在数轴上如图所示，化简|a|﹣|a﹣b|＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：观察函数图象，可知：a＜0＜b，∴a﹣b＜0，∴|a|﹣|a﹣b|＝﹣a+a﹣b＝﹣b．故答案为：﹣b．25．已知实数a、b在数轴上的对应点如图，化简|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝．【答案】c．【解答】解：由图可知，a＜0，a＜b＜0＜c，且|a|＞|b|，所以，a+b＜0，c﹣b＞0，所以|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝﹣a+a+b+c﹣b＝c，故答案为：c【题型06：算术平方根与绝对值的非负性综合】26．若|3﹣a|+＝0，则a+b的值是（）A．2B．1C．0D．﹣1【答案】B【解答】解：由题意得，3﹣a＝0，2+b＝0，解得，a＝3，b＝﹣2，a+b＝1，故选：B．27．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12【解答】解：∵|a|＝5，∴a＝±5，∵＝7，∴b＝±7，∵|a+b|＝a+b，∴a+b＞0，所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．故选：D．28．若+|y+3|＝0，则的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【答案】C【解答】解：∵+|y+3|＝0，∴2x+1＝0，y+3＝0，解得x＝﹣，y＝﹣3，∴原式＝＝．故选：C．29．已知|b﹣4|+（a﹣1）2＝0，则的平方根是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：根据题意得，b﹣4＝0，a﹣1＝0，解得a＝1，b＝4，所以，＝，∵（±）2＝，∴的平方根是±．30．若实数m，n满足（m﹣1）2+＝0，则（m+n）5＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知，m，n满足（m﹣1）2+＝0，∴m＝1，n＝﹣2，∴（m+n）5＝（1﹣2）5＝﹣1．故答案为：﹣1．31．已知，则x+y＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵，∴，解得，则x+y＝﹣1+2＝1，故答案为1．32．若，则（x+y）2023＝　1　．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，所以（x+y）2023＝（2﹣1）2023＝1．故答案为：1．33．若a，b为实数，且，则（a+b）2023＝．【答案】﹣1．【解答】解：∵|a﹣1|+＝0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，∴a＝1，b＝﹣2，∴（a+b）2023＝（1﹣2）2023＝﹣1，故答案为：﹣1．【题型07：实数的运算综合】34．计算：．【答案】10．【解答】解：＝7+6﹣3＝10．35．计算：（1）；（2）．【答案】（1）7；（2）．【解答】解：（1）＝2+2+3＝7；（2）＝4+2﹣﹣3＝．36．计算：．【答案】．【解答】解：＝＝．37．计算：．【答案】2．【解答】解：＝3+（﹣3）+2＝2．38．计算：（1）4﹣|﹣7|+；（2）﹣23×（﹣6）﹣（﹣3）2．【答案】（1）﹣5；（2）39．【解答】解：（1）原式＝4﹣7﹣2＝﹣5；（2）原式＝﹣8×（﹣6）﹣9＝48﹣9＝39．39．计算：．【答案】1．【解答】解：原式＝2×（﹣3）+4﹣2+5＝﹣6+4﹣2+5＝4+5﹣6﹣2＝1．【题型08：实数的综合应用】40．小明的爸爸打算用如图一块面积为1600cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为1350cm2的桌面．（1）求正方形木板的边长；（2）若要求裁出的桌面的长宽之比为3：2，你认为小明的爸爸能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，说明理由．【答案】（1）40cm；（2）不能，见解析．【解答】解：（1）设正方形木板的边长为a（a＞0）cm，则a2＝1600，∵402＝1600，∴a＝40，即正边形边长为40cm．（2）设长方形的长、宽分别为3kcm，2kcm，则：3k⋅2k＝1350，k2＝225，∴k＝15．∴3k＝15×3＝45＞40．∴不能裁出符合要求的长方形．41．小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2）．（1）如图1，S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1边长为；如图2，S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2边长为；如图3，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3边长为．（2）若将（1）中的图3沿正方形A3B3C3D3边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．【答案】（1），，；（2）不能，理由详见解答．【解答】解：（1）如图1，当S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1＝2，因此其边长为；如图2，当S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4＝5，因此其边长为；如图3，当S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16＝17，因此其边长为；故答案为：，，；（2）不能，理由如下：设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x•3x＝14.52，所以x2＝1.21，即x＝1.1（x＞0），因此长方形的长为4x＝4.4，宽为3x＝3.3，因为（4.4）2＝19.36＞17，所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．42．综合与实践【问题发现】如图1，把两个面积都为1cm2的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼成一个大正方形，则该大正方形的边长为 cm．【知识迁移】若一个圆与一个正方形的面积都是2πcm2，设这个圆的周长为C这个正方形的周长为C圆，则C圆 C正（填“＝”或“＜”或“＞”）．【拓展延伸】李明想用一块面积为400cm2的正方形纸片（如图2所示），沿着边的方向截出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为5：4．李明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【答案】（1）；（2）＜；（3）能，理由详见解答．【解答】解：（1）由题意得，大正方形的面积为2cm2，因此边长为cm，故答案为：；（2）设圆的半径为r cm，则πr2＝2π，∴r＝，∴圆的周长为2π×＝2π（cm），设正方形的边长为a，则a2＝2π，∴a＝，∴正方形的周长为4a＝4（cm），∵2π＝＝，4＝＝，而π＜4，∴＜，即2π＜4，也就是C圆＜C正方形，故答案为：＜；（3）能，理由如下：设长方形的长为5x cm，则宽为cm，由题意可得，5x•4x＝300，∴x＝，即长为5cm，宽为4cm，而面积为400cm2的边长为cm，∵5＝＜，∴能裁出一块面积为300cm2的长方形纸片．。

《实数》章节考点题型(全)

《实数》考点题型归纳考点1：实数相关概念【例1】. 有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示.其中正确说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【变式1-1】.下列说法中正确的个数有（）①0是绝对值最小的有理数；②无限小数是无理数；③数轴上原点两侧的数互为相反数；④a，0，都是单项式；⑤﹣3x²y+4x﹣1是关于x，y的三次三项式，常数项是﹣1．A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-2】下列说法中，其中不正确的有①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③的算术平方根是；④算术平方根不可能是负数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式1-3】下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，其中错误的是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个考点2：无理数的相关概念【例2】. 下列各数中无理数有（）．，，，，，， A ．2个 B ．3 个 C ． 4个 D ．5个【变式2-1】在3π，161-，3.14，0，21-，25，14-， 76.0123456…（小数部分由相继的正整数组成）中，无理数是 _______ .【变式2-2】下列各数：，，，，（两个1之间依次多一个，A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【变式2-3】在下列数中，是无理数的是（）A ．2.1313313331…（两个1之间依次多一个3）B ．0.101001-C ．227 D考点3：无理数的估算()2a a 4±4=±()3.141227-π0 4.2170.101001000117π-0.30.1010010001-⋯0)()一般采用“夹逼法”确定其值所在的范围．具体地说，先找出与被开方数相邻的两个能开得尽方的整数，分别求其算术平方根，即可确定所要求的数的算术平方根在哪两个整数之间．【例3】估算65的值介于( ) A ．5到6之间 B ．6到7之间 C ．7到8之间 D ．8到9之间【变式】已知整数满足，则的值为A ．4B ．5C ．6D ．7【变式3-1】已知a ，b 为两个连续整数，且a<15<b ，则a ＋b 的值为_____．【变式3-2】55-的整数部分是_________.【变式3-3】关于√10的说法错误的是( )A.√10是无理数B.10的平方根表示为√10C.√10 的大小介于3和4之间D.在数轴上可以找到 √10 的点考点4：实数与数轴上的点对应关系【例4】如图，数轴上点P 表示的数可能是（）A.10 B ．5 C ．3 D ．2【变式4-1】如图，数轴上点P 对应的数为a ，则数轴上与数−a 最接近的数是（）A.−1B.−1.2C.−1.4D.−1.5【变式4-2】如图，数轴上点A ，B 所表示的数互为相反数，如果点A 表示的数是-，那么点B 到原点的距离是 ( )A .-B .C .2D .3【变式4-3】实数a 在数轴上的对应点的位置如图，则|a -|= .【变式4-4】如图，若数轴上的点A ，B ，C ，D 分别表示数1-，1，2，3，则表示数413-的点应在（）m 381m m <<+m ()0 1 2 3 4PA ．点A 与点O 之间B ．点O 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点C 与点D 之间【变式4-5】将面积为2的正方形按如图方式放在数轴上，以原点为圆心，正方形的边长为半径，用圆规画出数轴上的一个点A ，点A 表示的数是________．（填“有理数”或“无理数”）考点5：实数比较大小【例5】用“>”或“<”填空)．【变式5-1】比较大小：√3−12________12（填“>”、“<”、“=”）.【变式5-2】比较大小：； (2)15+- 22-； ______32. 【变式5-3】试将下列各实数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接起来.-2，1，-，1-π，，1.414.考点6：实数的运算【例6】33216.00121.0125.0--+【变式6-1】【变式6-2】求下列各式的值： -(1)； (2)-； (3)±； (4)±.（5）（）【变式6-3】2．【变式6-4】计算（每小题4分，共20分）(1)2243+ (2) 2(3)32-+ (4) 3812)1(412)2(-+÷--考点7：平方根、立方根性质的运用1、平方根(1)一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．这就是说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，记作±(2)求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算．正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2、算术平方根26x <<正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。

实数(5种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(浙教版)(解析版)

实数（5种题型）【知识梳理】一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根二、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点的关系我们尝试用数轴上的一个点来表示2．由前面的学习，我们知道两个边长为1的小正方形可以拼成一个面积为2的正方形ABCD ，它的边长为2．观察正方形ABCD ，可知它的一边是一个直角三角形的斜边，这个直角三角形的两条直角边长都是1．这样，就在数轴上确定一个点来表示2．要点：每一个实数都可以用数轴上的点表示，而且这些点是唯一的；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的点与实数一一对应。

3.两个实数比较大小①负数小于0,0小于正数；两个正数绝对值大的数较大，两个负数绝对值大的数较小；从数轴上看，右边的点表示的数比左边的大。

②数轴上，如果点A,点B 所对应的数分别为a ，b ，那么A,B 两点的距离4.估算：怎样估算无理数20 (①误差小于1)？(②误差小于0.1)？误差小于0.1就是指估算出来的值与准确值之间的差的绝对值小于0.1. 估算无理数的方法是：（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。

（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。

如精确到1m 是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m ，答案在真正值左右1m 都符合题意，答案不惟一。

在本章中误差小于1m 就是估算到个位，误差小于10m 就是估算到十位。

专题01 实数(解析版)-热点题型归纳与最新模考题组练

专题01 实数【题型一】科学记数法【典例分析】（2021·山东青岛·中考真题）2021年3月5 日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫．5575万＝55750000，用科学记数法将55750000表示为（） A ．4557510⨯ B ．555.7510⨯C ．75.57510⨯D ．80.557510⨯【答案】C【分析】根据科学记数法的定义“把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中a 是整数位只有一位的数，即a 大于或等于1且小于10，n 是正整数），这样的记数方法叫做科学记数法”进行解答即可得．【解析】解：755750000 5.57510=⨯,故选C ．【提分秘籍】科学记数法是把一个数表示成n a 10⨯的形式，其中10||1<≤a ，n 为整数。

用科学记数法表示数时，确定a ，n 的值是关键。

①当原数的绝对值大于或等于10时，n 等于原数的整数位数减1；②当原数的绝对值小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前的零）。

【注意】含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值。

【变式演练】1．（2021·山东济南·中考真题）2021年5月15日，我国“天问一号”探测器在火星成功着陆．火星具有和地球相近的环境，与地球最近时候的距离约55000000km ．将数字55000000用科学记数法表示为（） A ．80.5510⨯ B ．75.510⨯ C ．65.510⨯ D ．65510⨯【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【解析】解：将55000000用科学记数法表示为5.5×107．故选：B ．2．（2021·辽宁锦州·中考真题）据相关研究，经过40min 完全黑暗后，人眼对光的敏感性达到最高点，比黑暗前增加25000倍，将数据25000用科学记数法表示为（） A ．25×103 B ．2.5×104C ．0.25×105D ．0.25×106【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时， n 是正整数；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数．【解析】解：将数据25000用科学记数法表示为2.5×104,故选：B ．3．（2021·江苏淮安·中考真题）第七次全国人口普查结果显示，我国人口受教育水平明显提高，具有大学文化程度的人数约为218360000，将218360000用科学记数法表示为（） A ．0.21836×109 B ．2.1386×107C ．21.836×107D ．2.1836×108【答案】D【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数．【解析】解：218360000＝2.1836×108,故选：D ．【题型二】平方根、立方根的概念与性质【典例分析】（2021·内蒙古·中考真题）一个正数a 的两个平方根是21b -和4b +，则a b +的立方根为_______．【答案】2【分析】根据一个正数的平方根互为相反数，将21b -和4b +相加等于0，列出方程，解出b ，再将b 代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a ，将a b +算出后，求立方根即可．【解析】∵21b -和4b +是正数a 的平方根,∵2140b b -++=,解得1b =- ,将b 代入212(1)13b ,∵正数2(3)9a,∵198a b +=-+=,∵a b +382ab,故填：2．【提分秘籍】1.一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，而一个非负数的算术平方根一定不能是负数；任何数都有立方根，正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0。

实数的运算(题型分类)

实数的运算考点一：利用乘法分配率、完全平方公式和平方差公式进行实数的运算 1.2()12-= ； 2.2)3322(+ 275753++-))()((考点二：二次根式的化简1. 最简二次根式必须同时满足两个条件：（1）中的因数是整数，因式是整式；（2）不含开得尽方的因数或因式。

2. 化简时，要求最终结果中不含根号，而且各个二次根式是二次根式。

1.化简下列二次根式（1）32 （2）28 （3）48 （4）63（5）72 （6）1000（7）128 （8）8002.下列根式中不是最简二次根式的是（）A 、10B 、18C 、6D 、23.下列含有根号的实数中，不能进行化简的是（）A 、21 B 、4 C 、3 D 、8 4.化简382-2⨯⨯）（的结果是（）A 、242B 、242-C 、64-D 、645.计算522132⋅+⨯的结果估计在（） A 、6和7之间 B 、7和8之间 C 、8和9之间 D 、9和10之间考点三：分母有理化1、化简： =32 ，=85 。

2.计算：222+的结果是。

3.当4-=x 时，x 3-6的值是。

4. 下列二次根式中，最简二次根式是（）A 、51 B 、0.5 C 、5 D 、505．把下列各式分母有理化（1）221- （2）5353+-（3）333223- （4）232233--考点四：2-31和23+相等；2-31和）（23-+为相反数231+和2-3相等；231+和3-2互为相反数 1.111122399100++++++ = . 2. 31301-与3130+的关系是（）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．互为负倒数3. 已知4.设1112-=a ，1011-=b ，则a b （填“〈” “〉”或“=”）.5．已知2a =，3b =，求b b a b a b--+的值。

6．已知2323x -=+，2323y +=-，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+7. 已知2323+-=x ，2323-+=y ，求22353y xy x +-的值.考点五：含有字母的二次根式的化简1. 化简二次根式3a -，结果是【】A 、a a -B 、a a --C 、a a -D 、a a2. 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a －b|－2a 的结果是【】A、2a－bB、bC、－bD、－2a＋b3.1142aa b ba b⎛⎫+--⎪⎪⎝⎭； 4. 3538154a a a aa-+；【家长签阅】b O a。