实数考点及题型

知识网络结构图

平方根

立方根

、知识性专题

实

数

算术平方根的概念：若 x 2 = a(x >0),则正数x 叫做a 的算术平方根 平方根的概念：若x 2 = a ,则x 叫做a 的平方根

表示：a 的平方根表示为 士 j a , a 的算术平方根表示为_/a

只有非负数才有平方根，0的平方根和算术平方根都是 0

(：］a)2 二a(a _0) a(^0) -a(a <0)

时 a 2

=a

定义：若x 3= a ，则x 叫做a 的立方根 表示：a 的立方根表示为va

a

实数

3,i 3 寸

a =a

3

意义佔)

专题1无理数与有理数的有关问题 例 1 在一2, 0,

2 , 1, - , - 0.4 中，正数有()

4

A . 2个

B . 3个

C . 4个

D. 5个

例2请写出两个你喜欢的无理数， 使它们的和为有理数， 你写的两个无理数是

专题2平方根、立方根的概念 例3要到玻璃店配一块面积为

1. 21 m i 的正方形玻璃，那么该玻璃的边长为 _________

-

Y 4

例 4 计算 ￡§+(2010 — J3)0

—-(.

<2丿

例5已知b = a 3

+ 2c ,其中b 的算术平方根为19, c 的平方根是土 3，求a 的值.

专题3实数的有关概念及计算

例6把下列各数分别填入相应的集合里：

3

8， . 3，- 3.14159 , ' , 22 , - 3 2 ,

3

7

7 0,- 0. 02 , 1.414 ,

8

1).

(1) 正有理数集合：｛ ⑵有理数集合：{ …}; ⑶无理数集合：{ …}; ⑷实数集合：{

…}.

已知a , b 为数轴上的点，如图 13-14所示，求

13 - 14

2

互为相反数，则

的值为

a —b

例 10 已知 a , b , c 都是实数，且满足(2 — a )2

+ J a 2 +b+c + c + 8 = 0，且 ax 2

+ bx

+ c = 0，求代数式3x 2

+ 6x + 1的值.

-.7 , 1.2112111211112…（每两个相邻的 2中间依次多1个

例7 个.

如图13- 13所示，在数轴上点A 和B 之间的整数点有 1｝

专题 4非负数的性质及其应用

值.

若(V3 -a)与 b -1

例11已知实数x , y 满足.2x-3y-1 ? x -2y *2=0，求2x -- y 的平方根.

5

Ja 2 —1 + <1 — a 2 + a ----- ；

3

若a ，b 为实数，且b 二 尹

，求-^a b 的值.

、规律方法专题

专题5实数比较大小的方法 1. 平方法

当 a >0, b > 0 时，a > b ：= ?一 a > . b .

2?移动因数法

利用a = a 2 ( a > 0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小. 例14比较4..3和5 2的大小.

3 .作差法

当a -b = 0时，可知a = b ；当a -b > 0时，可知a >b ；当a -b v 0时，可知a v b . 例15比较4 3与3 6的大小.

4.作商法

例12

例13 比较2 3和3、、2的大小.

若 A =1，则 A = B ;若△ > 1.则 A > B;若△ v 1.则 A v B. (A, B > 0 且 B M 0)

B

B B

例16比较4-5和.11的大小.

3

三、思想方法专题 专题6分类讨论思想

【专题解读】 当被研究的问题包含多种可能情况， 不能一概而论时，应按所有可能的

情况分别讨论.实数的分类是这一思想的具体体现. 要学会运用分类讨论思想对可能存在的

情况进行分类讨论.要不重不漏.本章在研究平方根、立方根及算术平方根的性质以及化简 绝对值时均

用到了分类讨论思想.

例17已知数轴上有 A B 两点，且这两点之间的距离为 4.2，若点A 在数轴上表示 的数为3.2，则点B 在数轴上表示的数为 ___________________

专题7数形结合思想

【专题解读】 实数与数轴上的点是 --- 对应的，

实数在数轴上的表示是数形结合思想

的具体表现，通过把实数在数轴上直观地表示出来，可以形象、直观地感受实数的客观存 在.为理解实数的概念及其相关性质提供了有力的帮助.

例18 a , b 在数轴上的位置如图 13 — 15所示，那么化简

a-b-s ；a 2的结果是

（）

—_；__L __...

A 2a — b

B . b ' “

C — b

D . — 2a +b

— i-

专题8类比思想

【专题解读】 本章在学习实数的有关概念及性质、 运算时，可以类比已学过的有理数

加以理解和运用.

例19已知四个命题：①如果一个数的相反数等于它本身， 那么这个数是0;②若一个 数的倒数等于它本身，则这个数是 1;③若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是 1

或0;④如果一个数的绝对值等于它本身.那么这个数是正数.其中真命题有

（）

A 1个

B . 2个

C . 3个

D . 4个

例20设a 为实数，则a -a 的值（）

中考题精选

A .可以是负数

B .不可能是负数

C .必是正数

D

.正数、负数均可

1. 设a=：j T9_1 , a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）

A 1和2

B 、2 和3

C 、3 和4

D 、4 和5

2. （2011?宁夏，10, 3分）数轴上A B两点对应的实数分别是2和2,若点A关于点B 的对称点为点C，则点C所对应的实数为_________

3. （2011 山西，13，3 分）计算：+ 6sin 45住=________ .

4. （2011贵州毕节，18，5分）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，

J a +b 、3 + 2 厂

a*b （a b 0），如：3*2 5 ，那么6* （5* 4）

a —

b 3 — 2

1

2011 0 3

| —3| + ( —1) X( n- 3) - 丁27 + -

5. （2010重庆，17，6分）计算:

辽丿

6.已知a、b为有理数，m、n分别表示5 -7的整数部分和小数部分，且

2

amn bn 1，贝V 2a b =.

、选择题（每小题3分，共30分） 1 . -9的平方根是 （

A . 9

3.与 JQ 最接近的两个整数是

8 .如图13— 17所示，数轴上 A, B 两点表示的数分别为-

点B 关于点A 的对称点为C,则点C 所表示的数为（）

9.已知a , b 为实数，则下列命题中，正确的是

（）

.若 a > b ，则 a 2

>b 2

.下列说法中，正确的是

A.两个无理数的和是无理数

B . 一个有理数与一个无理数的和是无理数

C .两个无理数的积还是无理数

A

■. 5 B .—..5

p

■

J ■

i

h

>

—3 — 2 — 1 0 i

C .—3.8

D . —..10

13 - 16

5 .

下列实数中，是无理数的为 )

A

1

.3.14 B .

C .

,3 D. 、..9

3

6 . 1

-1的平方的立方根的相反数为 ()

8

m

1 c

1 1 A

.4

B .

C

D

8

4

4

7 . 、64的算术平方根是 （）

A

.8 B . ± 8

C

.

-2 2 D .2、2

( )

作业

A . 81

B .土 3

A . 1 和 2

B . 2 和 3

C 4.如图13— 16所示，数轴上的点 3和

P 表示的数可能是 A . — 2—

3

B

.若 a > b ,贝U a 2

> b 2

.若 a v b ,则 a 2

> b 2

.若 3. a > 3,则 a 2

v b 2

10 1 和..3 ,

m 前-1?

D. —个有理数与一个无理数的积是无理数

二、填空题(每小题3分，共30分)

11.已知a 为实数，那么，-a 2等于 _______________ . 12 ?已知一个正数的两个平方根分别是

3x — 2和5x + 6，则这个数是 ___________

13. 若x 3

= 64，则x 的平方根为 _____________ .

14. __________________________________ 若5是a 的平方根，则a = _______ , a 的另一个平方根是 __________________________________ .

15. ______________________________ .. 5 _ .、2的相反数为 . 16 .若 x| =

，则 x= _______ .

17. 若 m x 0 .则化简 m ? m 2 -3 m 3 = ___________ . 18. ____________________________ 若-=.5，则 x = .

x

19 .设a , b 为有理数，且a ? b.、2 =3-2?..2，则a b

的值为 ________________ .

20 .若,3对应数轴上的点 A — .. 5对应数轴上的点 B,那么A B 之间的距离为 ____________

三、解答题(每小题10分，共60分) 21

.已知 x , y 满足 y v . x - V ^x -，化简■—y

.

2 y-1

22 .已知9x 2

— 16 = 0，且x 是负数，求一 32-3x 的值.

23 .设2 + ■ 7的小数部分是a ,求a (a + 2)的值.

25 .用48米长的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种设计方案：一种是围成正方 形场地；另一种是围成圆形场地.选用哪一种方案围成的场地的面积较大

？并说明理由.

26 .已知△ ABC 三边长分别为 a , b , c ,且满足,a -1 ? (b -2)2 = 0，试求c 的取值范

24 . 3

-2 0.125 2004

计算