线代第五章

2


k

使等式
V v
(5-1)
成立.
可以看出，向量集合S具有如下两条明显成立 的性质：
(1) 若 v1 S , 则对任意常数 c, 则必有 cv1 S;
(2) 若 v1 S, v2 S , 则必有 v1 v2 S. 这两条性质可统称为集合S对向量的线性运算 封闭. 由于常要碰到具有这种性质的向量集合，故 以专门术语表出.
b1 a1 a2 b2 a2 a3 b3 a1 a3
试证向量b1, b2, b3亦线性无关.
5.2.2 性质 先用定理形式给出线性相关与线性表出这两个
重要概念之间的联系，然后结合具体示例，讨论线 性相关性的一些有用性质.
定理2 向量组v1、v2 、… 、vk线性相关的充要 条件是其中至少有一个向量可依其余向量线性表出
下面通过示例讨论，描述线性相关及线性
无关向量的一些性质.
例6 试用各种方法说明向量v1、 v2 、v3线性
1 0 0
0
1
0
无关，其中
0 0 1 v1 5, v2 2,v3 3
4 4 0 1 0 1
v=μ1v1+ μ2v2+ … +μkvk
(5-1)
成立时，就称该向量可依 (或由)这组向量(或这k个
向量)线性表出(或示），并称数μi为表出(或示)式
（5-1）的第i个系数，i=1,2,…k.
显然，利用矩阵按列分块 ( 或反之，将若干个
同维向量合并成单个矩阵 ) 技术，若记
v [v1 v2 vk ]
故N必(AA)是(cxR1)n的cA子x1空 c间0 ， 0常，称即之c齐x1 次 N方( A程) 组； Ax=02的. 若解x空1 间N (或A)矩,x2阵 NA(的A),零即空Ax间1 (0,nAuxl2lsp0,a则ce必),
A(x1 x2 ) Ax1 Ax2 0 0 0

10，v3

3，v 2
4

00，v5

2 1
0
0
0
0
0
容易看出, 这组向量是线性相关的, 因为向量
的个数是5, 大于每个向量的维数4. 但它的部分组
可能是线性无关的, 现考察其成线性无关的那些
部分组，可以列出的有:
间或A的值域(rang),即
def
R( A) {v | v c1a1 c2a2 ck ak }, 其中 c1、c2 、cn R .
或对A持按列分块的看法，可将上式写成
def
R(A) {v | v Ax},
其中 x Rn
于是, 例1中的S就是系数矩阵的列空间, 而且 所得结论明显地对一般的线性代数方程组也是成立
全为定零理的4数对全给1为、定零2的的、两数…组、1向、k量、2 a、1、使……成、立akk;、b1、使…成b立s，
若已知前1一v1组向量线1v性k1v无k 关 ,且v每k v个0k 向量（va5j(-i7=）01,…,k（) 5-
皆可先依用后反一证组法向先证量用明线反，性证其表法中出证的.明则不，k≤可其s.能中等的于不零可. 能等于零
定义2 对n维向量 (n 1矩阵 )的集合V,若V 对向量的线性运算封闭，即有
(1) 若 v1 V , 则对任意常数c, 则必有 cv1 V; (2) 若 v1 V , v2 V , 则必有 v1 v2 V , 则称V是向量空间或线性空间(vector space, lineal space).
正是在这种意义上，可将满足这两个条件的 任一部分组, 如v1、 v2 、 v4等, 称为给原给向量组 的最（或极）大线性无关[部分]组.
根据定理3及本章习题第1题，上述条件（2） 的一种等价说法是，原给这组向量中任一向量皆可 由此部分组的向量惟一地线性表出.
事实上，例如对v1、 v2 、 v4 , 原给每个向量依 此部分组之惟一确定的线性表出式可明显地写出为
若就在这l个若不就4全在4为这0零l个0数不1的全0基为础零上数，的补基上础(k上-l)，补上
个零，即对个编零号，不1即是0对i11编,…0号i0l不的1是那i种1,…i(i1l的≤那i≤种k)皆i(1令≤i≤
=0 ，则、=0…，、则是、不…全、为零是的不，全且为有零的，且有
性质3 给定一组向量v1、… 、vk , 若对其每个 向量vi都添加、插入若干同序号的分量, 形成一组
“加长”向量 1、… 、 k, 则当 1、… 、 k线性相
关时，原向量v1、… 、vk必线性相关. 性质4 具有线性相关部分向量组的任一组向量
必是线性相关的.
另两个明显成立的常用性质是:
性质5 含有零向量的任一向量必是线性相关.
性质6 当k>n时，k个维向量1、 … 、k必线性
相关.
最后对向量线性相关的意义作些说明
性质2 一组线00性 无关00向 量的00 任一部分组必
线性无关.
0
0
0
e4


1

,
e
5


0

,
e
6


0

证明
用反证证明0法 .
用反1 证法.
0

0
0
1
易设同见线以v性上1, 无v两2,关条v设3向性,线e量4质,性ev相51无,、e对关6…是应向线、的量性v是kv有无1有、一关关…部的线、分，性v组这k相有是关v一i1因、向部为分、v有组i l
量(1的≤两l ≤条k性)是(质1线≤. 性l ≤相1 k关)0是的0线.0性则0相有0关不的全. 为则零有的不l个全数为零的
010000
i1、、i l 使成i1、立、0ii01l v使i11 成0立0 0ii1lv1i1l00 i l vi l 0
523100
(k≥2).
证明 充分证性：明 充分性：
设vj(1≤j ≤设k)可vj(依1≤其j 余≤向k)可量依线其性余表向出量，线即性表出
定理3 若已知向量v1、… 、vk线性无关，而加上 向量 v后，向量v1、… 、vk成线性无关，则向量v 可依v1、… 、vk线性表出，且表出式是惟一确定的.
证明 因向证量v明1、因…向、量vkv、1、v线…性、相vk关、，v线故性有相不关，故
第5章 向量空间初步
5.1 基本概念
定义1 设给定一组k个[同维]向量v1、v2 、… vk,
则对任给定的k个[实]数 1、 2、 … k，称向量
1 v1 + 2 v2 +…+ k vk为这组向量(或这k个向量)
的线性组合(linear combination).
当一个向量v可表成一组k个向量v1、v2 、… 、vk 的线性组合，即存在k个数μ1、μ2、…、μk使等式
def
span(a1, a2 、ak ) {v | v c1a1 c2a2 ck ak }, (5-3)
其中c1、c2、、cn R .
例2 对m n矩阵A=[aij]按列分块，成
A=[a1 a2 … an] 则A的全体列向量a1 、a2 、… 、an所生成的向量空 间Rm是的子空间，常记作R(A)并称为矩阵A的列空
则在线性代数方程组的语言中，向量v可依v1、v2 、
… 、vk线性表示，等同于方程组
Vx v
(5-1)
有解，作为其解的k维向量x, 其第i个分量即
为表出式的第i个系数(i=1,2,…,k). 在矩阵语言
中，向量v可依v1、v2 … 、vk线性表示等同于存在 k维向量 (k 1矩阵)
1
的. 即成立定理： 定理1 m n线性代数方程组Ax=b相容的
充要条件是 b R(A).
例3 试证m n齐次线性代数方程组Ax=0
的解集依向量线性运算法则是Rn的子空间.
解 已知齐次线性代数方程组的解集非空，
若以记上此两解点集说为明NN(A(A),则)对显向然量有的线性运算封闭，
故N(1A.)若是向x1 量N空(A间),即且因Ax1N(0A, )则对R任n 意常数c ，
v1 1v1 0v2 0v4 v2 0v1 1v2 0v4 v3 2v1 1v2 0v4 v4 0v1 0v2 1v4 v5 1v1 1v2 1v4
根据以上讨论, 一般地引入一组向量组的最大
线性无关组的概念.
定义5 给定一组向量v1、…、vk之具有如下两条 性质的部分组 vi1、、vir 为最大线性无关[部分]组：
使成设立证明a=j=0，c使1已j则成b知j+设立证1…对、明a+=每j=0c2个，s、cjb1已as则j…b,j有知j(+、j=1…S对、1个,+每k…就数c2个s,、jk不cb)1as…j全、,j有(…、j为=S1个c零,sk…j就数，,不kc而)1j全、…为c零sj ，
（5-7）成为（5-7）v 成 为 vv 0 v 0v 0 v 0
依照这个定义, 全体n维向量的集合Rn是向量 空间, 故当Rn的子集V构成向量空间时, 常称V 是Rn的向量子空间，简称子空间.
a1 c2a2}，描其述中子c空1, c间2 S的R 方法 (5.3) 如下的定义.
可以一般化，建立
定义3 设a1, a2,… ak是Rn中的向量，称由其一切 线性组合所成的向量[子]空间为a1, a2,… ak的生成 空间(spaning space), 记作span(a1, a2,… ak),即
单个向量v1; 或 v2; … ; 或v5. 两个向量v1、v2; 或v1 v3；… ; 或v4、v5. 三个向量v1、v2 、v4；或v1、v2 、v5；或v3、v4、v5
而任意的四个向量都是线性相关的. 这样, 上列 这些由三个向量组成的部分组如v1、v2 、v4等, 都满 足这样两个条件：
（1）线性无关； （2）把原向量组的任一向量加进去，就成线性 相关向量组.
N(A) {x | Ax 0}. 即 x1 x2 N ( A).
第二节 向量组的线性相关性
5.2.1 概念
定义4 对给定的一组k个向量v1 、v2 、… 、vn
若存在不全为零的数1 、2 、… 、n使
1v1 kvk 0
（5-4）
就称k个向量 ( 或该向量组 ) 是线性相关的；相反，
当且仅当1 =… =n=0使时才成立(5-4),则称作是
线性无关的.
从定义见，对于单个向量，当且仅当零向量时 为线性相关.
例4 给定 a1 1 1 1T , a2 0 2 5T , a3 1 3 6T ,
试讨论 a1、a2、a3 的线性相关性.
例5 已知向量组a1, a2, a3线性无关，而
对化学反应方程式
1 2
O2

H2

H 2O
因出现的化学物，总共涉及2种原子，故每一种分
子均可以2维向量表示，第1分量为氧原子数，第2
5.2.3 向量组的秩
任意给定一组向量，不一定是线性无关的.
例如，对于向量v1、v2 、v3、v4 、v5 ，其中
1
1
3
1
3
v1

11，v2
解一 从定义出发，考解察三向量的对零向解线量四性v1,组v对2合,v向3分量
1v1 2v24，53，v3 6个0分（量5后-9），形成一00组 明
从解三可得出一般化结论：
性质1 对一组给定向量v1、… 、vk , 若将其每
个向量vi都删去若干个具有相同序号的分量，形成
一组“截短”向量a1、… ak则当a1、… ak线性无关 时, 原向量v1、… 、vk必线性无关.
证明 因为证a1明、… a因k线为性a1无、关…，ak故线性无关，故
1
1
a1ห้องสมุดไป่ตู้

ak a1 0
ak




0
3
3
只有平凡解,只即有其平系凡数解矩, 阵即[其a1系…数矩ak]阵之[秩a1为…k. ak]
从 解四 对可向得量组出再一加般3化个结向论量：