概统第7章 假设检验

取显著水平为 0.0,5查附表得 u1.64,5
因已测出 x157, 从5而
u x/ u n 0 15 2 1 7 05 5 02 0 5 0 1 .8.75
由于 u 1 .8 7u 5 1 .6,4从5 而否定原假设 H 0 , 接
受备择假设 H1 , 即认为新工艺事实上提高了灯管的
平均寿命.
W 2 1 2 2 n 1 或 2 2 2 n 1
例3 某类钢板每块的重量X 服从正态分布， 其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过 0.016 (kg2)。现从某天生产的钢板中随机抽取 25块，得其样本方差S2=0.025(kg2)，问该天生 产的钢板重量的方差是否满足要求。
我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球. 现在我们从中随机摸出一个球，发现是 此时你如何判断这个假设是否成立呢？
小概率事件在一次试验 中基本上不会发生. 假设其中真有99个白球， 摸出红球的概率只有1/100， 这是小概率事件.
小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不 使人怀疑所作的假设.
这个例子中所使用的推理方法，可以称为
需要根据实际问题的需要,对总体参数或分 布函数的表达式做出某种假设(称为统计假 设),再利用从总体中获得的样本信息来对所 作假设的真伪做出判断或进行检验.
这种利用样本检验统计假设真伪的 过程叫做统计检验(假设检验)
假设检验会不会犯错误呢？ 由于作出结论的依据是下述
小概率原理
不是一定不发生
小概率事件在一次试验中基本上 不会发生 .
带概率性质的反证法
不妨称为概率反证法.
它不同于一般的反证法
一般的反证法要求在原假设成立的条件下 导出的结论是绝对成立的，如果事实与之矛盾， 则完全绝对地拒绝原假设.
概率反证法的逻辑是：如果小概率事件 在一次试验中居然发生，我们就以很大的把 握拒绝原假设.
在假设检验中，我们称这个小概率为显
著性水平，用 表示.
P(U <-uα)≤α
φ(x)
α
-uα 拒绝域
X 接受域
单侧（左侧）统计检验
例1 有一工厂生产一种灯管, 已知灯管的寿命X服从
正态分布 N(,400)0,根0据经往的生验, 知道灯管的
平均寿命不会超过1500小时. 为了提高灯管的平均寿
命, 工厂采用了新的工艺, 为了弄清楚新工艺是否真
的能提高灯管的的平均寿命, 他们测试了采用新工艺
这种差异称作 “系统误差”
问题是，根据所观察到的差异，如何 判断它究竟是由于偶然性在起作用，还是 生产确实不正常？ 即差异是“抽样误差”还是“系统误差” 所引起的？
这里需要给出一个量的界限 .
问题是：如何给出这个量的界限？ 这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：
小概率事件在一次试验 中基本上不会发生 .
解：原假设为 H0:2 0.016, 备择假设为 H1:2 0.016,
此处n=25，若取=0.05，则查表知
02.052436.415
得拒绝域 W: |t |>4.0322
得拒绝域 W: |t |>4.0322 第四步：
将样本值代入算出统计量 t 的实测值,
| t |=2.997<4.0322 故不能拒绝H0 .
没有落入 拒绝域
二、单个正态总体方差的检验
设x1, , xn是来自N ( , 2 )的样本，对方差亦可考 虑如下三个检验问题：
第一步： 提出原假设和备择假设
H 0: 3.5 2 H 1: 3.5 2
第二步： 取一检验统计量，在H0成立下 求出它的分布
能衡量差异 大小且分布
已知
t X32.5~t(5) S6
第三步：
对给定的显著性水平=0.01，查表确
定临界值 t2(5)t0.00(55)4.03,2使2
P{t||t2(5)}
由于是正态分布的期望值，它的估计量是
样本均值 X ，因此可以根据 X 与 0 的差距 | X - 0 | 来判断H0 是否成立. 当 | X - 0 | 较小时，可以认为H0是成立的；
当| X - 0 |较大时，应认为H0不成立，即
生产已不正常.
较大、较小是一个相对的概念，合理的界 限在何处？应由什么原则来确定？
统计检验的基本思想
(1)小概率原理:认为概率很小的事件在一次试验 中实际上不会出现,并且小概率事件在一次试验 中出现了,就被认为是不合理的.
(2)基本思想: 先对总体的参数或分布函数的作 出某种假设,然后找出一个在假设下发生可能性 甚小的小概率事件.
如果试验或抽样的结果使该小概率事件发生了, 这与小概率原理相违背,表明原来的假设有问题, 应拒绝这个假设. 若该小概率事件在一次试验或 抽样中并未出现, 表明试验或抽样结果支持这个 假设, 则接受原来的假设.
提出假设
H0： = 355
H1：≠ 355
由于已知，
选检验统计量 U X 0 ~ N(0,1) / n
它能衡量差异 | X 0 | 大小且分布已知 .
对给定的显著性水平，可以在N(0,1)表
中查到分位点的值 u 2 ，使
P{U | |u2}
P{U | |u2}
也就是说,“ |U | u 2 ”是一个小概率事件.
H 0: 20 2 v sH 1: 20 2 H 0: 20 2 v sH 1: 20 2 H 0: 20 2 v sH 1: 20 2
通常假定 未知，它们采用的检验统计量是
相同的，均为 2n1s2 02,若取显著性水
平为 ，则对应三个检验问题的拒绝域依次
分别为
W2 2n1;
W 21 2 n1;
从正态分布 N(,2), 2 未知，现从该厂生产
的一批产品中抽取6件, 得尺寸数据如下:
32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03
问这批产品是否合格?
分析：这批产品(螺钉长度)
的全体组成问题的总体X.
现在要检验E(X)是否为32.5.
…
已知 X~N(,2), 2 未知.
这样，我们可以认为X1,…,X5是取自正态
总体N(,2)的样本，当生产比较稳定时，
2 是一个常数. 现在要检验的假设是：
H0： 0（ 0 = 355）
它的对立假设是：
H1： 0
在实际工作中， 往往把不Байду номын сангаас易 拒绝的命题作
为原假设.
称H0为原假设（或零假设）；
称H1为备选假设（或对立假设）.
那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？
生产的25只灯管的寿命, 其平均值是1575 小时. 尽管
样本的平均值大于1500小时, 试问: 可否由此判定这 恰是新工艺的效应, 而非偶然的原因使得抽出的这25 只灯管的平均寿命较长呢?
解 把上述问题归纳为下述假设检验问题:
H0:15,00H1:15.00
从而可利用右侧检验法来检验, 相应于
0 150, 020,0n2.5
如果H0成立，但统计量的实测值落 入拒绝域，从而作出拒绝H0的结论，那 就犯了“以真为假”的错误 .
如果H0不成立，但统计量的 实测值未落入拒绝域，从而没有
作出拒绝H0的结论，即接受了错 误的H0，那就犯了“以假为真” 的错误 .
请看下表
假设检验的两类错误 实际情况
决定
H0为真
H0不真
拒绝H0 第一类错误 正确
u)
3) 故 拒绝条件为U> uα
P(U >uα)=α
φ(x)
α
接受域
u1-α
X
拒绝域
单侧（右侧）统计检验
③ H0:μ≥μ0(已知); H1:μ<μ0 （左侧检验）
1) 提出原假设和备择假设: H0:μ≥μ0; H1:μ<μ0,
2) 选择统计量:
u X 0 / n
3) 对给定α, 拒绝域为U<- uα,
接受H0 正确
第二类错误
犯两类错误的概率:
P{拒绝H0|H0为真}=,
P{接受H0|H0不真}= .
显著性水平为犯第一类错误的概率.
两类错误是互相关联的， 当样本容 量固定时，一类错误概率的减少导致另 一类错误概率的增加.
要同时降低两类错误的概率, ，或
者要在 不变的条件下降低 ，需要增
加样本容量.
问题归结为对差异作定量的分析，以确定 其性质.
差异可能是由抽样的随机性引起的，称为
“抽样误差”或 随机误差 这种误差反映偶然、非本质的因素所引起 的随机波动.
然而，这种随机性的波动是有一定限 度的。
如果差异超过了这个限度，则我们就不 能用抽样的随机性来解释了，必须认为这 个差异反映了事物的本质差别，即反映了 生产已不正常.
二、 未知时的t 检验
由于 未知，一个自然的想法是将U检验中未知 的 替换成样本标准差s，这就形成t 检验统计
量
t n x 0 s
三种假设的检验拒绝域分别为
ttn1, ttn1, |t|t/2n1.
例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度 是32.5毫米. 实际生产的产品，其长度X假定服
的选择要根据实际情况而定。
常取 0 .1 , 0 .0, 1 0 .0.5
现在回到我们前面罐装可乐的例中：
在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝 H0的结论呢？
罐装可乐的容量按标准应为355毫
升. 一批可乐出厂前应进行抽样检查，
现抽查了n罐，测得容量为X1,X2,…,Xn，
问这一批可乐的容量是否合格？
罐装可乐的容量按标准应 为355毫升.
生产流水线上罐装可 乐不断地封装，然后装箱 外运. 怎么知道这批罐装 可乐的容量是否合格呢？
把每一罐都打开倒入量杯, 看看容量是否合于标准.
这样做显然 不行！