九年级数学思维导图 二次函数的思维导图-二次函数章节知识结构图
初中数学各章节知识图解思维导图(共9张PPT)
应用
特例
定理
勾股定理
证明 内容
文字.符号图形
互逆命题
内容
文字.符号图形
直角三角形
逆定理
全等
证明
应用
知三边定形状
锐角三角函数
有关线段
定义
三角 形
解直角三角形
锐角三角函数
定义
计算
三边关系锐角关 系边角关系
应用
坡度 仰.俯角 方位角
正弦
余弦
符号.几何意义. 特殊角的值
特殊值的运算
正切
作对称轴 作一点到两点距离相等 离相等（外心）
作等腰三角形 作一点到三点距
翻折后与 另一图形重 合
到两点距离相等的 点
点到两点 的距离 相等
性质
判定
应用
垂直平分线
定义
对称点
关于轴对称
基本 图形
对称 轴
特征
要素
利用轴对称制作图案
用
坐
作：关于x轴、
标
y轴的对称点
表
示
轴
对
解决几何中的
称
极值问题
基本图形
一条直线
翻折后与 两部分 重合
对称轴 定义
轴对称图形 静
与y轴交点位置 c＞0.
对应角相等， 尺规作角 对应边成比例，
二次函数与 一元二次方程
对称轴垂直平分对称点的连线
作对直称线公轴理
直线
作等腰三角形
磁道问题
利润问题 拱桥问题
在表示原与点画法 c＜0.
到寻三找射边线方的法 距离相射等线 在三角形内直线.射线.线段
一次函数与反比例函数
表示与画法
线段
计算与比较
初中数学思维导图
如果遇到括号先去括号，再合并同类项。 单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母 连同它的指数不变，作为积的因式。 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再 把所得的积相加。 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加。 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被 除式里含有的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式。 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得 的商相加。
1、两角对应相等的两个三角形是相似； 2、三边对应成比例的两个三角形相似； 3、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个 点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相 似比又叫位似比。 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 利用概念判断 平面上到顶点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点称为圆 心，定长称为半径。以点O为圆心的圆记做"⊙O"，读作“圆O”。
如果点C把线段AB分成一长一短两条线段AC和BC,并且AC/AB=BC/AC,则称线 段AB被点C黄金分割，点C叫做黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即 （√5-1）/2（≈0.61803398874989...）。 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。 1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相 似比； 2、相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 利用概念判断 三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形是相似三角形。
初中数学图解思维导图(共9张PPT)
b x1= x2 =
2a
2a
无交
Δ＜0
点
关系 二次函数
无实 根
解法
一元二次方程
应用
传播问题 行程问题 效率问题
与y轴交点位置 c＞0.在正
开口上方a向＜. 0.向a＞下0.向对置称轴在左y同轴右的异位半 在轴 负半c=轴0.在原点
c＜0.
解析
二次函数 与 一元二
次方程
定义
面积问题
y=ax2+bx+c (a.b.c为常数a≠0)
对表应示与点画法到旋转中心的距离相等
利用腰中点 割补射线成--- 全等三直线角.射线形.线、段 平行四边形 三寻边找射关线方系法 锐角关系边角关系
点表到示与直画线法
的距离
线段
多姿多彩的图形
图形认识初 步 相交线
计算与比较
平行线
性质
立体图形
平面图形
对邻
垂
顶补
直
角角
画法
相交线
判定
条件
同位角相等 内错角相等
y axh2 k yaxx1xx2
(a 0)
a0
ax2+bx+c=0 (a≠0)
角平分线
余角.补角
性质
等角的余角相等 等角的补角相等
和 为1800
相
定义 性质
等
一“放”二“靠” 三“推”四“画”
叠合法
度量法
角的比较
对应点的坐标比为k或-k
角的比较与运算
在原点 c＜0.
翻折后与 另一图定义形.表重示 合
y轴的对称点
表
示
轴
对
解决几何中的
称
极值问题
初中数学思维导图
内交
切
弧等
弦等
圆
等分圆周
正多边形
圆心角等
梯形
四
辅助线
边
延 平 平 利用腰中点
形
长 移 移 割补成---
与
圆 两 两 对 全等三角形、
腰 腰 角 平行四边形
线
弧长.扇形
正多边形
有关计算：
中心.中心角.
半径.边心距
弧长l nr 180
扇形s nr 2 360
或 1 lr 2
圆锥的 侧面积、全面积
基
离散程度
样本与 总体
描述
分析
应用
推断、预测
整理
统计
概率
收集
统计
与
概率
体验不 确定现 像
事件发生 可能性的
刻画
频率估计法
求法
列举法
简单列举法
列表法 （两步）
定义
随机事件
树形图（两 步以上）
意义
定义 正弦 余弦 正切
符号.几何意义. 特殊角的值
形状：取决于 原四边形对角
线的 相等或垂直
中点 四边形
④ ②
矩形
对边平行 性质
且相等 判定 边
对角相等 性质
邻角互补
角
判定
性质
对角线
对角线
互相平分 判定
性质 判定
等腰 直角
作 高 线
正方形
轴对 称性
旋转 不变性
①③
菱形
垂
等 对
圆 周
径 等角
定 定定
最高 项的
意义
单项式
次数
次数 系数
字母
数
指数
沪教版(上海市) 初中数学思维导图 九年级数学全册章节思维导图集
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初中数学《二次函数》课程教学设计以及思维导图
初中数学《二次函数》课程教学设计以及思维导图一、教学设计1. 教学目标- 理解二次函数的定义及性质；- 掌握二次函数的图像特征和基本变换；- 能够求解二次函数的零点和最值；- 运用二次函数解决实际问题。
2. 教学内容- 二次函数的定义及性质；- 二次函数的图像特征和基本变换；- 二次函数的零点和最值；- 二次函数在实际问题中的应用。
3. 教学方法- 组织讲解：通过讲解二次函数的定义和性质，介绍二次函数的图像特征和基本变换；- 案例分析：通过具体案例分析，引导学生探索二次函数的零点和最值的求解方法；- 实际应用：引导学生运用二次函数解决实际问题，提高他们的数学建模能力。
4. 教学步骤第一步：导入- 通过引入一个与学生生活相关的问题，激发学生对二次函数的兴趣和思考，如：小明从家里出发骑自行车去学校，他的行程可以用二次函数表示吗？第二步：讲解- 介绍二次函数的定义和性质，包括二次函数的标准形式、顶点形式和描点法；- 解释二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点坐标和对称轴；- 讲解二次函数的基本变换，包括平移、伸缩和翻转。
第三步：案例分析- 通过具体案例分析，引导学生探索二次函数的零点和最值的求解方法，包括利用图像、代数方法和函数性质等；- 给学生一些练习题，让他们独立思考和解决问题。
第四步：实际应用- 引导学生运用二次函数解决一些实际问题，如：抛物线的应用、物体的抛射运动等；- 鼓励学生分组合作，进行数学建模和实际问题求解。
第五步：总结与拓展- 对本节课所学内容进行总结，强调关键概念和解题方法；- 提供一些拓展性问题，让学生进一步思考和探索。
5. 教学评价- 通过学生课堂表现、小组讨论、个人作业等方式进行评价；- 评估学生对二次函数定义及性质的理解程度；- 评估学生对二次函数图像特征和基本变换的掌握程度；- 评估学生对二次函数零点和最值求解方法的应用能力；- 评估学生在实际问题中运用二次函数解决问题的数学建模能力。
初中数学《二次函数》单元教学设计以及思维导图
类比出二次函数概念。
1．正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y
关于 x 的关系式为是
。
2．多边形的对角线数 d 与边数 n 的关系是
。
提示：n 边形有 个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，
可作
条对角线。因此，n 边形的对角线总数 d =
。
3．某工厂一种产品现在年产量是 20 件，计划今后两年增加产量，如果每年
数 。其中 x 是自变量，a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项。
活动三 运用新知，深化理解。通过学生讨论、交流加深学生对二次函数概
念的理解。
1、分别指出上述三个函数解析式中各项的系数
活动 2：自主探究，构建新知 引导学生画二次函数 y＝x2 的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组 x、y 的对应值；②描点（表
中 x、y 的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
x „ －3 －2 －1 0 1 并连线
认真观察你所画的图象，讨论交流得出二次函数 y＝x2 的性质：
1．二次函数 y＝x2 是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数 y＝x2 中，二次项系数 a＝_______，抛物线 y＝x2
（5）理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求 一元二次方程的近似根。
（6）会用待定系数法求二次函数的解析式。 （7）能利用二次函数解决实际问题，积累应用函数解决问题的经验。 过程与方法： （1）通过分析实际问题引出二次函数的概念，培养学生分析问题能力。 （2）通过对抛物线特点的认识和对二次函数性质的理解培养学生数形结 合的数学思想方法，运用图象进行联系、对比、概括和反思。 （3）对二次函数图象的研究，先是从 y=x2 开始，然后是 y=ax2,y=ax2+c, 最后是 y=a(x-h)2, y=a(x-h)2+k, y=ax2+bx+c，使学生经历从简单到复杂、从 特殊到一般的过程。 （4） 在研究图象的过程中，穿插实际应用问题，把图象直观与实际意义相 联系。设计可以表示为二次函数或利用二次函数知识可以解决的实际问题， 发展学生的数学应用能力。 情感态度与价值观： （1）培养学生发现规律的积极性及勇于探索的精神。 （2）培养学生合作交流的意识和能力。 （3）使学生感受事物间互相联系，以及运动、变化的辩证唯物主义思想。 （4）经历实践和探索二次函数在实际问题中的应用，增加学生的应用意 识，体会数学知识的应用价值。 对应课标 （1）通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 （2）会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。 （3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 y=a(x-h)2+k,的形式，
初中数学《二次函数》课程教学设计以及思维导图
初中数学《二次函数》课程教学设计以及思维导图1. 教学目标1.1 知识与技能- 理解二次函数的定义及其一般形式；- 学会用顶点式、标准式表示二次函数；- 掌握二次函数的图像特征，如开口方向、对称轴等；- 能够运用二次函数解决实际问题。
1.2 过程与方法- 通过实例认识二次函数的图像特点；- 学会利用配方法、公式法求解二次方程；- 学会利用二次函数的性质解决实际问题；- 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
1.3 情感态度与价值观- 培养学生对数学的兴趣和自信心；- 培养学生积极思考、合作探讨的学习态度；- 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2. 教学内容2.1 二次函数的定义与一般形式- 二次函数的定义：形如`y=ax^2+bx+c(a≠0, a, b, c为常数)`的函数称为二次函数；- 二次函数的一般形式：`y=a(x-h)^2+k`，其中`(h, k)`为顶点坐标。
2.2 二次函数的图像特征- 开口方向：当`a>0`时，开口向上；当`a<0`时，开口向下；- 对称轴：直线`x=h`；- 顶点：坐标为`(h, k)`；- 增减性：当`a>0`时，`x<h`时函数值递减，`x>h`时函数值递增；当`a<0`时，`x<h`时函数值递增，`x>h`时函数值递减。
2.3 二次函数的性质- 顶点式与标准式的转化；- 开口方向、对称轴、顶点坐标之间的关系；- 图像与x轴的交点：解方程`ax^2+bx+c=0`。
2.4 实际问题举例- 利用二次函数解决生活中的最优化问题；- 利用二次函数解决几何问题。
3. 教学过程3.1 导入- 通过实例引入二次函数的概念，引导学生思考二次函数的特点；- 引导学生利用二次函数的一般形式和顶点式进行函数表达。
3.2 新课讲解- 讲解二次函数的图像特征，如开口方向、对称轴等；- 讲解二次函数的性质，如顶点式与标准式的转化等；- 结合实例讲解利用二次函数解决实际问题。
初中数学《二次函数》单元教学设计以及思维导图
数
出示反比例函数的图象，提问：这是什么函数的图像？ 反比例函
数
2、画函数图象的基本方法与步骤是什么？
列表——描点——连线
3、研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
主要工具是函数的图象
活动二、实践、观察、对比、归纳 1、实践 （1）画二次函数 y=x2 的图象：（同学们可参照已展示的画反比例函 数的方法和步骤） 解：列表
抛物线
y= x2
顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 增减性 最值
y= -x2
通过列表的对比可以使学生更直接的找出两个函数的相同点和不同 点，能比较容易的归纳和理解函数 y=ax2 的性质，降低学生对函数性 质的理解难度
4、归纳：二次函数 y=ax2 的性质
（1）抛物线 y=ax2 的顶点是原点（0,0)，对称轴是 y 轴。
适用年 九年级
级
二次函数
所 需 时 9 课时（说明：课内共用 7 课时，每周 5 课时；课外共用
间
2 课时）
主题单元学习概述
本章内容属于《全日制义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领 域，是在已学习了平面直角坐标系，一次函数，反比例函数的基础上， 又一次进入函数领域，让学生进一步探索函数的内涵，并且感受现实 世界中存在的各种函数及如何应用函数来解决实际的问题。二次函数 是基本函数之一，是学习后续的各类函数的基础。它不同于一次函数， 却又建立在一次函数之上，且为今后更高层次的函数学习，函数、方 程、不等式之间的关系的处理奠定了基础。是衔接初，高中函数知识 的最主要的一类函数。函数本身就是数学的学习中重要内容，而二次 函数又是基础函数，因此，本章内容有着举足轻重的地位。由于九年 级学生是首次接触抛物线，因此在教学时要注意引导学生抓住二次函 数图象的各种特征，让学生对二次函数有一个直观形象的认识
二次函数思维导图
四、二次函数与的比较五、二次函数图象的画法六、二次函数的性质二次函数的结构特征（是常数，）的函数，，而可以为零．二次函数的定的二次式，的是常数，是二次项系数，是一次项系数，是二次函数基本形式：的性质的符号标轴时，随的增大而增大；随的增大而减小；时，有最小值．轴时，随的增大而减小；随的增大而增大；时，有最大值．2. 的性质的符号标轴时，随的增大而增大；随的增大而减小；时，有最小值．轴时，随的增大而减小；随的增大而增大；时，有最大值．3. 的性质的符号时，随的增大而增大；随的增大而减小；时，有最小值．时，随的增大而减小；随的增大而增大；时，有最大值．4.的性质的符号时，随的增大而增大；随的增大而减小；时，有最小值．时，随的增大而减小；随的增大而增大；时，有最大值．，确定其顶点坐标的形状“值正右移，负左移；值正上移，负沿轴平移个单位，变成（或）沿轴平移：向左（右）平移个单变成（或）四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的六、二次函数的性质当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值一般式：（，，为常数，）顶点式：（，，为常数，）两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析中，时，抛物线开口向上，时，抛物线开口向下，在的前提下时，，即抛物线的对称轴在轴左侧时，，即抛物线的对称轴就是轴时，，即抛物线对称轴在轴的右侧在的前提下，结论刚好与上述相反，即时，，即抛物线的对称轴在轴右侧时，，即抛物线的对称轴就是轴时，，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是当时，抛物线与当时，抛物线与当时，抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式关于轴对称后，得到的解析式是关于轴对称后，得到的解析式是关于轴对称后，得到的解析式是关于轴对称后，得到的解析式是关于原点对称后，得到的解析式是关于原点对称后，得到的解析式是关于顶点对称后，得到的解析式是关于顶点对称后，得到的解析式是关于点(m,n)系（二次函数与轴交点情况）一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊图象与轴的交点个数时，图象与轴交于两点是一元二次方程的两根．这两点间的.时，图象与轴只有一个交点时，图象与轴没有交点时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系。