专题提升5 与垂径定理有关的辅助线

专题提升5与垂径定理有关的辅助线

1．如图所示为一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面AB宽为8 cm，输水管底部到水面的距离为2 cm，则该输水管的半径为(C)

(第1题)

A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm

【解】连结OA，过点O作OC⊥AB交AB于点D.

设该输水管的半径为r(cm)．

∵AB宽为8 cm，∴AD＝4 cm.

∵DC＝2 cm，∴OD＝(r－2) cm，r2＝(r－2)2＋42，

∴r＝5(cm)．

2．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为(D)

(第2题)

A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m

【解】连结OA.

∵CD＝8，OC＝5，∴OD＝3.

由已知，得CD⊥AB，则AD2＝52－32，

解得AD＝4.∴AB＝8.

3．已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC的长为(C)

A．2 5 cm B．4 5 cm

C．2 5 cm或4 5 cm D．2 3 cm或4 3 cm

【解】连结AO.当点C的位置如解图①所示时，易得AC＝AM2＋CM2＝42＋82＝45

(cm)；当点C 的位置如解图②所示时，易得AC ＝

22＋42＝25(cm)．

(第3题解)

4．如图，⊙O 的直径为10 cm ，弦AB 为8 cm ，P 是弦AB 上一点．若OP 的长是整数，则满足条件的点P 有(D )

(第4题) A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【解】 过点O 作OC ⊥AB 于点C ，连结OA . ∵OA ＝5，AC ＝1

2AB ＝4，∴OC ＝3.

∴3≤OP ≤5，∴OP 的长为3或4或5.

当OP ＝3时，点P 只能与点C 重合；当OP ＝4时，点P 可以在AC 上，也可以在BC 上，∴有2个点P ；当OP ＝5时，点P 与点A 或点B 重合． 综上所述，满足条件的点P 有5个．

5．如图，在以点O 为圆心的同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D ，AB ＝2CD ，弦AB 的弦心距OP ＝12CD ，小圆和大圆的半径分别为r ，R ，则r R ＝10

5

．

(第5题)

【解】 连结OC ，OA .

∵AB ＝2CD ，OP ＝1

2CD ，OP ⊥AB ，

∴OP ＝CP ＝1

2

AP .

∵R 2＝OP 2＋AP 2＝5OP 2，r 2＝OP 2＋CP 2＝2OP 2，

∴R ＝5OP ，r ＝2OP ，∴r R ＝10

5

.

6．如图，⊙O 的半径OP ＝10 cm ，弦AB 过OP 的中点Q ，且∠OQB ＝45°，则弦AB 的弦心距为52

2

cm ，弦AB 的长为514cm.

(第6题)

【解】 过点O 作OC ⊥AB 于点C ，连结OA . ∵⊙O 的半径OP ＝10 cm ，弦AB 过OP 的中点Q ， ∴OQ ＝5 cm.

∵∠OCQ ＝90°，∠OQB ＝45°， ∴△OCQ 为等腰直角三角形， ∴OC ＝52

2

cm.

在Rt △AOC 中，根据勾股定理，得AC ＝OA 2－OC 2＝

514

2

cm ， ∴AB ＝2AC ＝514 cm.

7．已知⊙O 的半径为2，弦BC ＝2 3，A 是⊙O 上一点，且AB ︵＝AC ︵

，直线AO 与BC 交于点D ，则AD 的长为1或3．

【解】 ∵⊙O 的半径为2，弦BC ＝2 3，A 是⊙O 上一点，且AB ︵＝AC ︵

，∴AD ⊥BC ， ∴BD ＝1

2BC ＝ 3.

分两种情况讨论： ①如解图①所示，连结OB . 在Rt △OBD 中，BD 2＋OD 2＝OB 2， 即(3)2＋OD 2＝22，解得OD ＝1. ∴AD ＝OA －OD ＝2－1＝1.

(第7题解)

②如解图②所示，连结OB .同理于①，得AD ＝OA ＋OD ＝2＋1＝3.

8．如图，在Rt △AOB 中，∠O ＝90°，OA ＝6，OB ＝8.以点O 为圆心，OA 长为半径作圆交AB 于点C ，求BC 的长．

【解】 过点O 作AB 的垂线，垂足为E ，连结OC . ∵AB ＝

OA 2＋OB 2＝

62＋82＝10，

(第8题)

∴OE ＝OA ·OB AB ＝6×8

10＝4.8，

∴AE ＝AO 2－OE 2＝62－4.82＝3.6，

∴AC ＝2AE ＝7.2，

∴BC ＝AB －AC ＝10－7.2＝2.8.

(第9题)

9．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ∥AB ，弦DE ⊥AB .求证：AC ︵＝BE ︵

. 【解】 过圆心O 作OG ⊥CD 交⊙O 于点G ，交CD 于点H . ∵OG ⊥CD ，∴CG ︵＝DG ︵

. 又∵CD ∥AB ，∴OG ⊥AB . ∴AG ︵＝BG ︵.∴AC ︵＝BD ︵.

∵DE ⊥AB ，且AB 是⊙O 的直径，

∴BD ︵＝BE ︵.∴AC ︵＝BE ︵.

10．如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M (0，－4)，N (0，－10)，函数y ＝k

x (x <0)的图象过

点P ，求k 的值．

(第10题)

【解】 过点P 作P A ⊥MN 于点A ，连结PM ，PN . ∵点M (0，－4)，N (0，－10)，∴MN ＝6. ∵P A ⊥MN ， ∴MA ＝1

2MN ＝3.

∴OA ＝|－4|＋3＝7. 在Rt △MP A 中， P A ＝

PM 2－MA 2＝

52－32＝4，

∴点P (－4，－7)．

将点P (－4，－7)的坐标代入y ＝k

x

，得k ＝28.

11．已知△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，⊙O 的半径等于6 cm ，点O 到BC 的距离为2 cm ，求AB 的长．

【解】 ①当△ABC 是锐角三角形时，如解图①所示，连结OB ，OA ，延长AO 交BC 于点D ，易知AD ⊥BC . 在Rt △OBD 中，

∵OB ＝6 cm ，OD ＝2 cm ， ∴BD ＝

OB 2－OD 2＝

62－22＝4 2(cm)．

在Rt △ABD 中，∵AD ＝OA ＋OD ＝6＋2＝8(cm)，BD ＝4 2 cm ，