2020数学九年级全一册课时练

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新人教版数学九年级下册分课时同步练习全册

26.1.1反比例函数知识要点基础练知识点1反比例函数的定义1.下列函数中,表示y是x的反比例函数的是( B )A.y=1x-1B.y=2xC.y=2xD.y=x2.( 合肥包河区期末 )如果函数y=x2m+3为反比例函数,则m的值是-2. 【变式拓展】当a=时,函数y=( 2a-1 )x a2-2是反比例函数.( A )A.-1或1B.小于12的任意实数C.-1D.1知识点2确定反比例函数的解析式3.反比例函数y=-32x中常数k的值为( D )A.-3B.2C.-12D.-324.( 改编 )某蓄水池的排水管的排水量为平均每小时8立方米,6小时可以将满池水全部排空.现在排水量为平均每小时Q立方米,将满池水排空所需要的时间为t小时,那么时间t( 小时 )与Q( 立方米 )之间的函数解析式为t=48Q.5.已知y是x的反比例函数,且当x=-2时,y=3.( 1 )求该函数的解析式;( 2 )当y=2时,求x的值.解:( 1 )该函数的解析式为y=-6x.( 2 )x=-3.知识点3识别实际问题中变量的反比例函数关系6.下列关系中,两个变量之间为反比例函数关系的是( D )A.长40米的绳子减去x米,还剩y米B.买单价为3元的笔记本x本,花了y元C.正方形的面积为S ,边长为aD.菱形的面积为20,对角线的长分别为x ,y7.( 教材P3练习题第1题变式 )写出下列问题中两个变量之间的函数解析式,并判断其是否为反比例函数.( 1 )底边为3的三角形的面积y 随底边上的高x 的变化而变化;( 2 )一艘轮船从相距s 的甲地驶往乙地,轮船的速度v 与航行时间t 的关系;( 3 )在检修100 m 长的管道时,每天能完成10 m,剩下未检修的管道长y ( 单位:m )随检修天数x 的变化而变化.解:( 1 )函数解析式为y=32x ,不是反比例函数. ( 2 )函数解析式为v=s t,是反比例函数. ( 3 )函数解析式为y=100-10x ,不是反比例函数.综合能力提升练8.( 柳州中考 )已知反比例函数的解析式为y=|a|-2x,则a 的取值范围是( C )A.a ≠2B.a ≠-2C.a ≠±2D.a=±29.某圆锥的体积为V ,则圆锥的高h 是底面积S 的( B ) A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数D.无法确定10.已知y 与x 2成反比例,且当x=-2时,y=2,那么当x=4时,y 的值是( C ) A.-2 B.2C.12D.-411.下列函数:①y=x-2;②y=x3;③y=x -1;④y=2x+1,其中y 是x 的反比例函数的有( B ) A.0个 B.1个 C.2个D.3个12.若y 与x 成反比例关系,x 与4z 成反比例关系,则y 与z 成( B ) A .正比例关系 B .反比例关系 C .一次函数关系D .不能确定【变式拓展】若1x与y 成反比例关系,1y与z 成正比例关系,则x 与1z( A ) A .成正比例关系B .成反比例关系C .不成比例关系D .成一次函数关系13.对于反比例函数y=k x,当自变量x 的值从3增加到6时,函数值减小了1,则函数的解析式为( A ) A .y=6x B .y=3x C .y=2xD .y=12x14.已知函数y=( k+1 )x |k|-3是反比例函数,且正比例函数y=kx 的图象经过第一、三象限,则k 的值为 2 .15.某粮库需要把晾晒场上的1200吨玉米入库封存.( 1 )入库所需要的时间d ( 单位:天 )与入库平均速度v ( 单位:吨/天 )的函数解析式为 d=1200v.( 2 )已知粮库有职工60名,每天最多可入库300吨玉米,预计玉米入库最快可在几天内完成?( 3 )粮库职工连续工作两天后,天气预报说未来几天会下雨,粮库决定次日把剩下的玉米全部入库,在( 2 )的条件下,至少需要增加多少名职工? 解:( 2 )当v=300时,则有d=1200300=4, 所以预计玉米入库最快可在4天内完成.( 3 )粮库的职工连续工作了两天后,还没有入库的玉米有1200-300×2=600吨,每名职工每天可使玉米入库的数量为300÷60=5吨, 将剩余的600 t 玉米一天内全部入库需职工人数为600÷5=120( 名 ), 所以需增加的人数为120-60=60( 名 ).16.已知y=y 1+y 2,y 1与( x-1 )成正比例关系,y 2与( x+1 )成反比例关系.当x=0时,y=-3;当x=1时,y=-1.( 1 )求y 的函数解析式; ( 2 )当x=-12时,求y 的值.解:( 1 )∵y 1与( x-1 )成正比例,y 2与( x+1 )成反比例,∴设y 1=k 1( x-1 ),y 2=k2x+1.∵y=y 1+y 2,当x=0时,y=-3;当x=1时,y=-1,∴{-3=-k 1+k 2,-1=12k 2,解得{k 2=-2,k 1=1, ∴y=x-1-2x+1.( 2 )当x=-12时,y=-12-1-2-12+1=-112.拓展探究突破练17.将x=23代入函数y=-1x 中,所得函数值记为y 1,又将x=y 1+1代入函数y=-1x 中,所得函数值记为y 2,再将x=y 2+1代入函数y=-1x 中,所得函数值记为y 3……继续下去. ( 1 )y 1= -32 ,y 2= 2 ,y 3= -13 ; ( 2 )求y 2019的值.解:( 2 )y 4=-1-13+1=-32,y 5=-1-32+1=2,y 6=-12+1=-13,∴每3次计算为一个循环组依次循环, ∵2019÷3=673,∴y 2019为第673个循环组的第3次计算,与y 3的值相同, ∴y 2019=-13.26.1.2 反比例函数的图象和性质第1课时反比例函数的图象和性质知识要点基础练知识点1 待定系数法求反比例函数的解析式1.若反比例函数的图象经过点( 2,-2 ),( m ,1 ),则m=( D ) A.1B.-1C.4D.-42.已知反比例函数y=kx( k ≠0 )的图象经过点P ( 5,3 ),则反比例函数的解析式为 y=15x .知识点2 反比例函数的图象3.表示y=-2x ( x>0 )的大致图象是( B )4.( 原创 )已知正比例函数y=k1x( k1≠0 )与反比例函数y=2k2-1x (k2≠12)的大致图象如图所示,那么k1,k2的取值范围是( A )A.k1>0,k2<12B.k1>0,k2>12C.k1<0,k2>12D.k1<0,k2<12【变式拓展】如图是三个反比例函数y=k1x ,y=k2x,y=k3x在x轴上方的图象,由图观察得到k1,k2,k3的大小关系为k1<k2<k3.知识点3反比例函数的性质5.已知反比例函数y=10x,当1<x<2时,y的取值范围是( B )A.y>10B.5<y<10C.1<y<2D.0<y<56.已知反比例函数y=1x,下列结论不正确的是④.( 填序号 )①图象经过点( 1,1 );②图象在第一、三象限;③当x>1时,0<y<1;④当x<0时,y随着x的增大而增大.7.已知反比例函数y=k-1x( k为常数,k≠1 ).( 1 )若点A( 1,2 )在这个函数的图象上,求k的值;( 2 )若在这个函数图象的每一个分支上,y随x的增大而增大,求k的取值范围;( 3 )若k=13,试判断点B( 3,4 ),C( 2,5 )是否在这个函数的图象上,并说明理由.解:( 1 )k=3.( 2 )k<1.( 3 )∵k=13,∴k-1=12,∴反比例函数的解析式为y=12x. 易得点B 在函数y=12x 的图象上,点C 不在函数y=12x 的图象上.综合能力提升练8.如果点( -2,6 )在反比例函数y=kx 的图象上,那么下列各点中,在此图象上的是( D ) A.( 3,4 ) B.( -3,-4 ) C.( 6,2 )D.( -3,4 )9.( 原创 )若点A ( x 1,-3 ),B ( x 2,-1 ),C (x 3,12)在反比例函数y=3x的图象上,则x 1,x 2,x 3的大小关系为( B ) A.x 1<x 2<x 3 B.x 2<x 1<x 3 C.x 3<x 1<x 2D.x 1<x 3<x 210.已知关于x 的方程( k-2 )2x 2+( 2k+1 )x+1=0有实数解,且反比例函数y=2k -3x的图象经过第二、四象限.若k 是整数,则k 的值为( D ) A.4B.3C.2D.111.( 德州中考 )若函数y=kx 与y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则函数y=kx+b 的大致图象为( C )12.如图,在平面直角坐标系中,线段AB 的两个端点分别在坐标轴上,点A 的坐标为( 1,0 ),将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°后,点B 恰好落在反比例函数y=4x的图象上的点B'处,则点B 的坐标为( B ) A.( 0,2 ) B.( 0,3 )C.( 0,4 )D.( 0,5 )提示:由旋转的性质以及点A 的坐标,得点B'的纵坐标是1,由点B'在反比例函数y=4x的图象上,得点B'的坐标是( 4,1 ),∴点B 的坐标是( 0,3 ).13.如图,△ABC 的三个顶点分别为A ( 1,2 ),B ( 4,2 ),C ( 4,4 ).若反比例函数y=kx 在第一象限内的图象与△ABC 有交点,则k 的取值范围是 2≤k ≤16 .14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,函数y=kx ( k>0,x>0 )的图象经过菱形OACD 的顶点D.若菱形OACD 的顶点C 的坐标为( 5,3 ),则k 的值为 245 .提示:延长CD 交y 轴于点H ,在菱形OACD 中,OD=CD ,CD ∥AO ,∴CH ⊥y 轴.∵点C 的坐标为( 5,3 ),∴OH=3,HC=5.设HD=x ,∴CD=OD=5-x.在Rt △ODH 中,OD 2=DH 2+OH 2,即x 2+32=( 5-x )2,解得x=85,∴点D 的坐标为(85,3),∴k=85×3=245.拓展探究突破练15.某学校的数学兴趣小组对函数y=x+1x的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.( 1 )自变量x 的取值范围是 x ≠0 ,m= -52 .( 2 )根据( 1 )中表内的数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,画出了函数图象的一部分,请你画出该函数图象的另一部分. ( 3 )请你根据函数图象,写出两条该函数的性质. ( 4 )进一步探究该函数的图象发现:①方程x+1x =3有两个实数根;②若关于x 的方程x+1x =t 有两个实数根,则t 的取值范围是 t<-2或t>2 .解:( 2 )图略.( 3 )①函数图象关于原点成中心对称;②当x>1时,y 的值随x 的值的增大而增大.( 答案不唯一,合理即可 )( 4 )①提示:方程x+1x =3可以看成函数y=x+1x 的图象与直线y=3的交点的个数.∵函数y=x+1x 的图象与直线y=3有两个交点,∴方程x+1x =3有两个实数根.②提示:观察函数图象可知,当t<-2或t>2时,函数y=x+1x 的图象与直线y=t 有两个交点.第2课时反比例函数性质的应用知识要点基础练知识点1 反比例函数中k 的几何意义及其应用1.如图,A ,C 是函数y=1x 的图象上的任意两点,过点A 作y 轴的垂线,垂足为B ,记Rt △AOB 的面积为S 1;过点C 作y 轴的垂线,垂足为D,记Rt△OCD的面积为S2,则( C )A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.不能确定2.双曲线y1,y2在第一象限的图象如图所示,y1=3,过y1上的任意一点A作x轴的平行线交x.y2于点B,交y轴于点C.若△AOB的面积为1,则y2的解析式是y=5x知识点2反比例函数与其他函数的综合问题的图象如图所示,则二次函数y=2kx2-4x+k2 3.( 教材P9习题第8题变式 )反比例函数y=kx的图象大致是( B )4.已知两个函数y 1=k 1x+b 与y 2=k2x 的图象如图所示,其中点A ( -1,2 ),点B ( 2,-1 ),则不等式k 1x+b>k2x 的解集为( B ) A.x<-1或x>2 B.x<-1或0<x<2 C.-1<x<2 D.-1<x<0或0<x<25.( 大庆中考 )如图,反比例函数y=kx 的图象与一次函数y=x+b 的图象交于A ,B 两点,点A 和点B 的横坐标分别为1和-2,这两点的纵坐标之和为1. ( 1 )求反比例函数的解析式与一次函数的解析式; ( 2 )当点C 的坐标为( 0,-1 )时,求△ABC 的面积.解:( 1 )一次函数的解析式为y=x+1, 反比例函数的解析式为y=2x . ( 2 )当x=-2时,y=-1,即点B ( -2,-1 ),∴BC=2,S △ABC =12BC ·( y A -y C )=12×2×[2-( -1 )]=3.综合能力提升练6.( 改编 )如图,两个反比例函数y=4x和y=2x在第一象限内的图象分别是C 1和C 2,设点P 在C 1上,PA ⊥x 轴于点A ,交C 2于点B ,则△POB 的面积为( A )A.1B.2C.4D.无法计算7.如图,在平面直角坐标系中,点P ( 1,5 ),Q ( m ,n )在反比例函数的图象上,m>0,过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足为A ,B.Q 为图象上的动点,过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为C ,D ,QD 交PA 于点E.随着m 的增大,四边形OCQD 与四边形OAPB 不重合部分的面积的变化为( B )A.先增大后减小B.先减小后增大C.先减小后增大再减小D.先增大后减小再增大8.( 合肥二模 )如图,点P 在双曲线y=4x ( x>0 )上,过点P 作PA ⊥x 轴,垂足为A ,分别以点O 和点P 为圆心、大于12OP 的长为半径画弧,两弧相交于C ,D 两点,直线CD 交OA 于点B.当PA=1时,△PAB 的周长为 5 .9.( 原创 )如图,若抛物线y=x2与双曲线y=-2( x<0 )上有三个不同的点xA( x1,m ),B( x2,m ),C( x3,m ),则当n=x1+x2+x3时,m与n之间满足的关系式为m=-2.n10.( 嘉兴中考 )如图,在平面直角坐标系中,已知点B( 4,0 ),等边三角形OAB的顶点A的图象上.在反比例函数y=kx( 1 )求反比例函数的解析式.( 2 )把△OAB向右平移a个单位长度,对应得到△O'A'B',当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时,求a的值.解:( 1 )过点A作AC⊥OB于点C.∵△OAB是等边三角形,∴∠AOB=60°,OC=1OB.2∵点B( 4,0 ),∴OB=OA=4,∴OC=2,AC=2√3,∴点A( 2,2√3 ).,得k=4√3,把点A( 2,2√3 )代入y=kx∴反比例函数的解析式为y=4√3.x( 2 )分两种情况讨论:①如图1,D是A'B'的中点,过点D作DE⊥x轴于点E.由题意得A'B'=4,∠A'B'E=60°.在Rt△DEB'中,B'D=2,DE=√3,B'E=1,∴O'E=3.,得x=4,∴OE=4,∴a=OO'=1;把y=√3代入y=4√3x②如图2,F 是A'O'的中点,过点F 作FH ⊥x 轴于点H.由题意得A'O'=4,∠A'O'B'=60°,在Rt △FO'H 中,FH=√3,O'H=1. 把y=√3代入y=4√3x,得x=4,∴OH=4,∴a=OO'=3.综上所述,a 的值为1或3.拓展探究突破练11.对于实数a ,b ,我们可以用min{a ,b }表示a ,b 两数中较小的数,例如min{3,-1}=-1,min{2,2}=2.类似地,若函数y 1,y 2都是x 的函数,则y=min{y 1,y 2}表示函数y 1和y 2的“取小函数”.( 1 )设y 1=x ,y 2=1x ,则函数y=min {x ,1x}的图象应该是 B 中的实线部分.( 2 )请在图中用粗实线描出函数y=min{( x-2 )2,( x+2 )2}的图象,并写出该图象三条不同的性质.( 3 )求函数y=min{( x-4 )2,( x+2 )2}图象的对称轴. 解:( 2 )函数y=min{( x-2 )2,( x+2 )2}的图象如图所示.观察图象,其性质有:①对称轴为y 轴;②当x<-2时,y 随x 的增大而减小;③最小值为0.( 答案不唯一,合理即可 )( 3 )令( x-4 )2=( x+2 )2,得x=1,则函数y=min{( x-4 )2,( x+2 )2}图象的对称轴为直线x=1.第1课时现实生活中的反比例函数问题知识要点基础练知识点1 利用反比例函数解决几何问题1.已知一个矩形的面积为20,若设长为a ,宽为b ,则能反映a 与b 之间函数关系的图象大致为( B )2.( 原创 )把一个长、宽、高分别为3 cm,2 cm,1 cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块,则该圆柱体铜块的底面积S ( cm 2 )与高h ( cm )之间的函数关系式为 S=6ℎ .知识点2 利用反比例函数解决行程问题3.一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t ( h )与行驶速度v ( km/h )满足函数关系t=kv ( k ≠0 ),其图象为如图的一段曲线.若这段公路行驶速度不得超过60 km/h,则该汽车通过这段公路最少需要 23 h .4.小军的爸爸早晨从家骑自行车送小军去学校上学,他们的速度是12千米/小时,用了0.5小时到达学校.放学时,爸爸让小军坐汽车,汽车的速度为v 千米/小时. ( 1 )写出t 与v 之间的函数关系式;( 2 )如果小军要在10分钟内回到家,那么汽车的速度至少为多少? 解:( 1 )t 与v 之间的函数关系式为t=6v .( 2 )10分钟=16小时,当t=16时,v=6÷16=36( 千米/小时 ),答:汽车的速度至少为36千米/小时.知识点3利用反比例函数解决工作量问题5.一台印刷机每年可印刷的书本数量y( 万册 )与它的使用时间x( 年 )成反比例关系.当x=2时,y=10,则y与x的函数图象大致是( D )6.( 改编 )某工厂生产化肥的总任务一定,平均每天的化肥产量y( 吨 )与完成生产任务所需要的时间x( 天 )之间成反比例关系.如果每天生产化肥125吨,那么完成总任务需要7天.( 1 )求y关于x的函数解析式,并指出比例系数;( 2 )若要5天完成总任务,则每天产量应达到多少?,比例系数为875.解:( 1 )y关于x的函数解析式为y=875x=175( 吨 ).( 2 )当x=5时,y=8755答:若要5天完成总任务,则每天产量应达到175吨.综合能力提升练7.某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温( k≠0 )的一部分,则度y( ℃ )随时间x( 时 )变化的函数图象,其中BC段是双曲线y=kx当x=16时,大棚内的温度约为( C )A.18 ℃B.15.5 ℃C.13.5 ℃D.12 ℃8.( 原创 )某商品售价y( 元/件 )是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与+5.月需求量x( 件 )成反比例,根据表格写出y与x的函数关系式为y=600x售价y( 元/件 )1110月需求量x( 件/100120月 )9.将油箱注满k 升油后,轿车行驶的总路程s ( 单位:千米 )与平均耗油量a ( 单位:升/千米 )之间的函数关系式为s=ka ( k 是常数,k ≠0 ).已知某轿车油箱注满油后,以平均耗油量为每千米0.1升的速度行驶,可行驶760千米,当平均耗油量为0.08升/千米时,该轿车可以行驶 950 千米.10.为预防“手足口病”,某学校对教室进行“药熏消毒”.消毒期间,室内每立方米空气中的含药量y ( mg )与时间x ( min )的函数关系如图所示.已知药物燃烧阶段y 与x 成正比例,燃完后y 与x 成反比例.现测得药物10 min 燃完,此时教室内每立方米空气含药量为8 mg .当每立方米空气中含药量低于1.6 mg 时,对人体才能无毒害作用.那么从消毒开始,经过 50 min 后教室内的空气才能达到安全要求.11.如图,学校打算用某种材料围建一个面积为18平方米的矩形ABCD 生物园,用来饲养小兔,其中矩形ABCD 的一边AB 靠墙,墙长为8米.设AD 的长为y 米,CD 的长为x 米. ( 1 )求y 与x 之间的函数解析式;( 2 )若围成矩形ABCD 的生物园的三边材料总长不超过18米,AD 和DC 的长度都是整数,求出满足条件的所有围建方案.解:( 1 )根据题意得xy=18,即y=18x . ( 2 )由题意可知{x ≤8,x +2y ≤18,且y=18x ,所以符合条件的有x=3时,y=6;x=6时,y=3.答:满足条件的所有围建方案为AD=6米,CD=3米或AD=3米,CD=6米.12.合肥市某购物中心分批采购某种电器,预计全年将采购3600台,每批都采购x 台,且每批均需付运费400元.( 1 )写出该购物中心采购这种电器全年的总运费y ( 元 )与每批采购台数x ( 台 )的函数解析式;( 2 )如果要求全年的总运费不超过5万元,那么每批至少需要采购多少台? 解:( 1 )根据题意得y=3600x×400,则y=1440000x. ( 2 )当y ≤50000时,1440000x≤50000,解得x ≥28.8,∵台数取整数,∴每批至少需要采购29台.拓展探究突破练13.用洗衣粉洗衣物时,漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系.寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服,漂洗时,小红每次用一盆水( 约10升 ),小敏每次用半盆水( 约5升 ),如果她们都用了5克洗衣粉,第一次漂洗后,小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克,小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克. ( 1 )请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y 与漂洗次数x 的函数解析式; ( 2 )当洗衣粉的残留量降至0.5克时,便视为衣服漂洗干净,从节约用水的角度来看,你认为谁的漂洗方法值得提倡,为什么?解:( 1 )设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数解析式分别为y 1=k1x,y 2=k 2x.将{x 1=1,y 1=1.5和{x 2=1,y 2=2分别代入两个解析式,得1.5=k 11,2=k 21,解得k 1=1.5,k 2=2.∴所求的解析式分别是y 1=32x ,y 2=2x .( 2 )把y=0.5分别代入两个函数解析式,得32x =0.5,2x =0.5,解得x 1=3,x 2=4, 10×3=30( 升 ),5×4=20( 升 ).答:小红共用30升水,小敏共用20升水,小敏的漂洗方法更值得提倡.第2课时物理学科中的反比例函数问题知识要点基础练知识点1 反比例函数解决力学问题1.已知力F 所做的功W 是15焦,则表示力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系的图象大致为( D )2.小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别为1000 N 和0.4 m,当撬动石头的动力F 至少需要250 N 时,则动力臂l 的最大值为 1.6 m .知识点2 反比例函数解决电学问题3.( 教材P16第4题变式 )已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I ( 单位:A )与电阻R ( 单位:Ω )是反比例函数关系,它的图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6 A,那么用电器的可变电阻R 应控制在( C )A.R ≥2B.0<R ≤2C.R ≥1D.0<R ≤14.舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成乌云密布的阴天,这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的.在灯光变化的电路中,保持电压不变,电流I ( 安培 )与电阻R ( 欧姆 )成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培. ( 1 )求I 与R 之间的函数关系式; ( 2 )当电流I=0.5安培时,求电阻R 的值. 解:( 1 )设I=UR ,则U=IR=10,∴I=10R . ( 2 )当I=0.5安培时,R=100.5=20( 欧姆 ).知识点3 反比例函数解决物理学中的其他问题5.在一个可以改变容积的密闭容器内,装有质量为m 的某种气体,当改变容积V 时,气体的密度ρ也随之改变,ρ与V 在一定范围内满足ρ=mV ,它的图象如图所示,则该气体的质量m 为( B )A.1.4 kgB.7 kgC.5 kgD.6.4 kg综合能力提升练6.有一个圆台形的物体,其上底面积是S 1,下底面积是S 2.若如图放在桌面上,对桌面的压强是100帕;翻过来放,对桌面的压强是400帕,则S1S 2的值为( C )A .116B .18C .14D .12【变式拓展】用某种金属材料制成的高度为h 的圆柱形物体甲如图放在桌面上,它对桌面的压强为1000帕,将物体甲锻造成高度为12h 的圆柱形的物体乙( 重量保持不变 ),则乙对桌面的压强为( A )A .500帕B .1000帕C .2000帕D .250帕7.一辆汽车前灯电路上的电压U 保持不变,通过前灯的电流强度I 越大,灯就越亮,且I=U R( R 表示前灯电阻 ).已知A ,B 两种前灯灯泡的电阻分别为R 1,R 2.若发现使用灯泡A 时,汽车前灯灯光更亮,则正确的是( C ) A.R 1>R 2 B.R 1=R 2C.R 1<R 2D.与R 1,R 2的大小无关8.( 原创 )近视镜镜片的焦距y ( 米 )是镜片度数x ( 度 )的函数,下表记录了一组数据:( 1 )在下列函数中,符合上述表格中所给数据的是 B ; A.y=1100xB.y=100xC.y=-1200x+32D.y=x 240000−13800x+198( 2 )利用( 1 )中的结论计算:当镜片的度数为200度时,镜片的焦距约为 12 米. 9.某物质在质量不变的情况下,它的密度ρ( kg/m3 )与体积V ( m 3 )成反比例函数关系.根据以上条件,解答下列问题:( 1 )已知V=3 m 3,ρ=2 kg/m 3,求ρ与V 之间的函数解析式;( 2 )在( 1 )的条件下,若该物质的体积由a m 3增加到( a+2 ) m 3,而密度却由6 kg/m 3减少到b kg/m 3,求a 和b 的值. 解:( 1 )ρ=6V .( 2 )当V=a 时,ρ=6,即6=6a ,∴a=1.当V=a+2时,ρ=b ,即b=6a+2,∴b=2. 10.我们知道当电压一定时,电流与电阻成反比例函数关系.现有某学生利用一个最大电阻为200 Ω的滑动变阻器及一个电流表测电源电压,结果如图所示.( 1 )电流( A )与电阻R ( Ω )之间的函数解析式为 I=144R;( 2 )当电阻在2 Ω~200 Ω时,电流应在 0.72 A ~72 A 范围内,电流随电阻的增大而减小 ;( 3 )若限制电流不超过20 A,求电阻的范围. 解:( 3 )当I=144R≤20时,R ≥7.2 Ω. 又∵R max =200 Ω,∴电阻的范围是7.2 Ω~200 Ω.11.某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强P ( 千帕 )随气体体积V ( 立方米 )的变化而变化,P 随V 的变化情况如下表所示.( 1 )写出符合表格数据的P 关于V 的函数解析式为 P=96V ; ( 2 )当气球的体积为20立方米时,气球内气体的压强P 为多少千帕?( 3 )当气球内气体的压强大于144千帕时,气球将爆炸,依照( 1 )中的函数解析式,基于安全考虑,气球的体积至少为多少立方米?解:( 2 )把V=20代入P=96V,得P=4.8,即当气球的体积为20立方米时,气球内气体的压强是4.8千帕.( 3 )把P=144代入P=96V ,得V=23,故P ≤144时,V ≥23. 答:基于安全考虑,气球的体积应不小于23立方米.拓展探究突破练12.如图所示,小华设计了一个研究杠杆平衡条件的实验,在一根长为1000 cm 的匀质木杆的中点左侧固定位置B 处悬挂重物A ,在中点的右侧用一个弹簧秤向下拉,改变弹簧秤与点O 的距离x ( cm ),观察弹簧秤的示数y ( N )的变化情况,实验数据记录如下:( 1 )观察数据,求出y( N )与x( cm )之间的函数解析式,写出自变量的取值范围.( 2 )当弹簧秤的示数是24 N时,弹簧秤与点O的距离是多少?随着弹簧秤与点O的距离不断减小,弹簧秤上的示数将发生怎样的变化?,解:( 1 )设y与x之间的函数解析式为y=kx把x=10,y=30代入上式得k=300,∴y=300.x经检验,其他几组数据也满足此解析式,∴y=300( 0<x≤500 ).x( 2 )当y=24时,x=300=12.5,24∴当弹簧秤上的示数为24 N时,弹簧秤与点O的距离是12.5 cm,随着弹簧秤与点O的距离不断减小,弹簧秤上的示数不断增大.第1课时认识相似图形知识要点基础练知识点1相似图形的概念1.“相似的图形”是( A )A.形状相同的图形B.大小不相同的图形C.能够重合的图形D.大小相同的图形2.( 教材P25练习第2题变式 )观察下列各组图形,其中不相似的是( A )3.下列说法正确的是( D )A.小红小学毕业时的照片和初中毕业时的照片相似B.商店新买来的一副三角板是相似的C.所有的课本都是相似的D.国旗上的五角星都是相似的知识点2相似图形的放大与缩小4.( 原创 )下列四组图形中,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的是( B )5.从放大镜里看一个等腰三角形,以下说法错误的是( B )A.看到的三角形还是一个等腰三角形B.看到的三角形各个角的度数都增大了C.看到的三角形各个角的度数保持不变D.看到的三角形各边长都增大了综合能力提升练6.下列各组图形中,两个图形的形状不一定相同的是( B )A.两个等边三角形B.有一个角是35°的两个等腰三角形C.两个正方形D.两个圆7.观察下列图形,其中相似图形有( C )A.1对B.2对C.3对D.4对8.( 改编 )下列图形中形状不相同的是( C )A.同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案C.某人的侧身照片和正面像D.一棵树与它在水中的像9.如图是两个相似圆柱,它们的底面半径和高的尺寸如图所示,求它们的体积之比.解:V1V2=π·( 2a )2·2bπ·( 3a )2·3b=827,∴它们的体积之比为8∶27.拓展探究突破练10.某课外活动小组的同学在研究某种植物标本( 如图 )时,测得叶片①的最大宽度是8 cm,最大长度是16 cm;叶片②的最大宽度是7 cm,最大长度是14 cm;叶片③的最大宽度约为6.5 cm,请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度约为多少?解:根据叶片①②的最大长度和宽度,可得出这种植物的叶片的最大宽度∶最大长度=1∶2,由此估算出完整的叶片③的最大长度是6.5×2=13 cm.第2课时相似多边形的特征知识要点基础练知识点1成比例线段1.四条线段a,b,c,d成比例,其中b=3 cm,c=8 cm,d=12 cm,则a=( A )A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm2.( 教材P27练习第1题变式 )钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名,并行使主权的,在一幅比例尺是1∶100000的地图上,测得钓鱼岛的东西走向长为3.5厘米,那么它的东西走向实际长度大约是3500米.知识点2相似多边形的意义3.( 原创 )如图所示的四边形与选项中的一个四边形相似,这个四边形是( D )【变式拓展】如图所示的三个矩形中,其中互为相似形的是( B )A.甲与乙B.乙与丙C.甲与丙D.以上都不对知识点3相似多边形的性质及相似多边形的相似比4.( 教材P26例题变式 )如图的两个四边形相似,则∠α的度数是( A )A.87°B.60°C.75°D.120°5.( 原创 )如图,矩形ABCD中,AB=4,点E,F分别在AD,BC边上,且EF⊥BC.若矩形ABFE与矩形DEFC相似,且相似比为1∶2,求AD的长.解:因为矩形ABFE与矩形DEFC相似,且相似比为1∶2,所以ABDE =AEDC=12.因为四边形ABCD为矩形,所以CD=AB=4,所以4DE =AE4=12,所以DE=8,AE=2,所以AD=AE+DE=2+8=10.综合能力提升练6.下列说法正确的是( C )A.所有的菱形都相似B.所有的矩形都相似C.所有的正方形都相似D.所有的等腰三角形都相似7.一个多边形的边长分别是4 cm,5 cm,6 cm,4 cm,5 cm,和它相似的一个多边形的最长边为8 cm,那么这个多边形的周长是( C )A.12 cmB.18 cmC.32 cmD.48 cm8.已知a,b,c,d四条线段依次成比例,其中a=3 cm,b=( x-1 ) cm,c=5 cm,d=( x+1 ) cm,则x=4.拓展探究突破练9.在AB=30 m,AD=20 m的矩形花坛四周修筑小路.( 1 )如果四周的小路的宽均相等,都是a,如图1,那么小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD相似吗?请说明理由.( 2 )如果相对着的两条小路的宽均相等,宽度分别为x,y,如图2,试问小路的宽x与y的比值为多少时,能使得小路四周所围成的矩形A2B2C2D2和矩形ABCD相似?请说明理由.解:( 1 )矩形A1B1C1D1和矩形ABCD不相似.理由:因为30+2a30=15+a15,20+2a20=10+a10,所以30+2a30≠20+2a20,所以小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD不相似.( 2 )因为当30+2y30=20+2x20时,小路四周所围成的矩形A2B2C2D2和矩形ABCD相似,解得x y =23,所以路的宽x与y的比值为23时,能使得小路四周所围成的矩形A2B2C2D2和矩形ABCD 相似.。

2020九年级数学上册第1章1.4用一元二次方程解决问题第2课时市场营销问题同步练习

第1章一元二次方程1.4 第2课时市场营销问题知识点市场营销问题1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，则每盆应多植多少株？设每盆应多植x株，则可以列出的方程是( )A．(x＋3)(4－0.5x)＝15B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15D．(x＋1)(4－0.5x)＝152．某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定，每件商品的利润不得超过30%.若每件商品售价定为x元，则可卖出(170－5x)件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为( )A．20元 B．20.8元C．20元或30元 D．30元3．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件，如果每件涨价1元，那么每星期少卖出10件．设每件涨价x元，则每星期的销量为__________件，此时，每件商品的利润为__________元．若使每星期的利润为1560元，则可得方程为________________________．4．小丽为校合唱队购买某种服装时，商场经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，那么单价为80元/件；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元/件．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，则她购买了多少件这种服装？5．[2017·菏泽] 列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，则每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，则这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获得20000元的利润？6．某核桃专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元．(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？7．天山旅行社为吸引顾客组团去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准：图1－4－6某单位组织员工去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给天山旅行社旅游费用27000元，则该单位这次共有多少名员工去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游？8．某汽车销售公司5月份销售某型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元．根据市场调查，月销售量不会突破30台．(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x正为整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x之间的函数表达式；(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为45万元，那么该月需要售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)9．某运动器材公司推出一款篮球，销售单价定为40元/个，在该篮球试销期间，为了鼓励消费者购买，公司推出了团购业务：一次购买这种篮球不超过10个时，每个按40元销售；若一次购买这种篮球超过10个，则每多购买一个，每个篮球的销售单价均降低0.5元，但团购数量不得超过40个．(1)当一次购买这种篮球40个时，销售单价为每个________元；当一次购买这种篮球________个时，销售单价恰好为每个35元．(2)某校一次购买这种篮球共付款900元，则该校购买了这种篮球多少个？10．学校为奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买某种奖品，他看到下表所示的关于该奖品的销售信息，便用1400元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数．详解详析1．A2．A [解析] 设每件商品的售价应定为x 元，则利润为(x －16)元．由题意，得(170－5x)(x －16)＝280，解得x 1＝20，x 2＝30.∵每件商品的利润不得超过30%， ∴x ＝30不合题意，舍去．故选A .3．(150－10x) (10＋x) (150－10x)(10＋x)＝15604．[解析] 根据“一次性购买多于10件，每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元”表示出每件服装的单价，进而列方程求解即可．解：因为购买10件服装的总钱数为10×80＝800(元)＜1200元，所以小丽购买件数超过了10件．设小丽购买了x 件这种服装．根据题意，得 [80－2(x －10)]x ＝1200，解得x 1＝20，x 2＝30.当x ＝20时，80－2×(20－10)＝60>50，符合题意；当x ＝30时，80－2×(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去．答：她购买了20件这种服装． 5．解：设销售单价为x 元．根据题意，得(x －360)[160＋2(480－x)]＝20000，整理，得x 2－920x ＋211600＝0，解得x 1＝x 2＝460.答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获得20000元的利润．6．解：(1)设每千克核桃应降价x 元．根据题意，得(60－x －40)(100＋x2×20)＝2240.解得x 1＝4，x 2＝6.答：每千克核桃应降价4元或6元． (2)为让利于顾客，每千克核桃应降价6元，即每千克核桃的售价为54元，54÷60＝0.9. 答：该店应按原售价的九折出售．7．解：设该单位这次共有x 名员工去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游．因为1000×25＝25000(元)<27000元，所以员工人数一定超过25人．可列方程[1000－20×(x－25)]x ＝27000.整理，得x 2－75x ＋1350＝0，解得x 1＝45，x 2＝30.当x 1＝45时，1000－20×(x－25)＝600<700，不符合题意，舍去；当x 2＝30时，1000－20×(x－25)＝900>700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去具有特殊地貌特征的黄果树风景区旅游． 8．解：(1)①当0≤x≤5且x 为整数时，y ＝30；②当5＜x≤30且x 为整数时，y ＝30－0.1×(x－5)＝－0.1x ＋30.5. 故y 与x 之间的函数表达式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧30（0≤x≤5且x 为整数）；－0.1x ＋30.5（5＜x≤30且x 为整数）. (2)若该月销售量低于5辆，则销售利润为(32－30)×5＝10(万元)＜45万元，因此销售量要多于5辆．设该月售出x(x>5)辆汽车，则由题意，得x[32－(－0.1x＋30.5)]＝45，解得x1＝15，x2＝－30(舍去)．答：该月需要售出15辆汽车．9． (1)25 20(2)设该校购买这种篮球x个．因为10×40＝400(元)＜900元，所以x＞10.根据题意，得[40－0.5×(x－10)]x＝900，解得x1＝30，x2＝60(舍去)．答：该校购买了这种篮球30个．10．解：∵30×40＝1200(元)＜1400元，∴奖品数超过了30件．设奖品数为x件，则每件奖品的价格为[40－(x－30)×0.5]元．根据题意，得x[40－(x－30)×0.5]＝1400，解得x1＝40，x2＝70.∵单价不得低于30元，∴x＝70不符合题意，舍去．答：王老师购买该奖品的件数为40件．。

(含答案)九年级数学人教版上册课时练第22章《22.3 实际问题与二次函数》(2)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第22章二次函数22.3实际问题与二次函数一、选择题1.某种服装的销售利润y(万元)与销售数量x(万件)之间满足函数解析式y＝－2x2＋4x＋5，则利润的()A．最大值为5万元B．最大值为7万元C．最小值为5万元D．最小值为7万元2.某商品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为()A．130元/个B．120元/个C．110元/个D．100元/个3.如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD的总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A．18m2B．183m2C．243m2 D.4532m24.一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取()A．30B．25C．20D．155.在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的一部分(如图)，其中出球点B 离地面点O 的距离是1m ，球落地点A 到点O 的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是()A ．y ＝－14x 2＋34x ＋1B ．y ＝－14x 2＋34x －1C ．y ＝－14x 2－34x ＋1D ．y ＝－14x 2－34x －16.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A ．米B ．米C ．米D ．7米二、填空题7.某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x 元(20≤x ≤30，且x 为整数)出售，则可卖出(30－x )件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．8.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价为a 元，则可卖出(350－10a )件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，若商店想获得最大利润，则每件商品的价格应定为________元．9.如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12m 时，桥拱顶部离水面4m ，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．10.某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t·为正整数．．．．)的增大而增大，a 的取值范围应为________．11.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.12.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B 两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为________m.13.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．14.如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.三、解答题15.（2020·营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？16.有一个窗户边框的形状如图①，上部是由4个全等扇形组成的半圆，下部是矩形，如果制作窗户边框的材料总长为6m，如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大？这个例题的答案是当窗户半圆的半径约为0.35m，窗框矩形部分的另一边长约为1.23m时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6m，利用图③，解答下列问题：(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积；(2)与题干中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．17.(2019•绍兴)有一块形状如图的五边形余料ABCDE ，6AB AE ==，5BC =，90A B Ð=Ð=°，135C Ð=°，90E Ð>°．要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE 上，并使所截矩形的面积尽可能大．(1)若所截矩形材料的一条边是BC 或AE ，求矩形材料的面积；(2)能否截出比(1)中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由．18.凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×(18－10)＝0.8(元)，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．(1)求一次至少购买多少只计算器，才能以最低售价买？(2)写出该文具店一次销售x (x ＞10)只时，所获利润y (元)与x (只)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x ≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？19.（2020·无锡）有一块矩形地块ABCD ，AB =20米，BC =30米.为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD 分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x 米。

人教九年级数学课时练

以下是人教版九年级数学课时练的示例内容：1. 判断题(1) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

( )(2) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

( )(3) 顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形一定是菱形。

( )(4) 菱形的对角线相等。

( )(5) 若四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形。

( )(6) 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。

( )(7) 平行四边形的对角线相等。

( )(8) 矩形的对角线互相垂直。

( )(9) 正方形的对角线相等。

( )(10) 菱形的对角线互相平分。

( )2. 选择题(1) 下列说法中正确的是 ( )A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 顺次连接矩形各边中点形成的四边形是正方形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 四个内角都相等的四边形是矩形(2) 下列说法中正确的是 ( )A. 有一组邻边相等的平行四边形是正方形B. 对角线相等的四边形是矩形C. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D. 有一个内角是直角的平行四边形是矩形(3) 下列说法中正确的是 ( )A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 顺次连接矩形各边中点形成的四边形的对角线相等C. 对角线相等的四边形是矩形D. 四个内角都相等的四边形是正方形(4) 下列说法中正确的是 ( )A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形B. 顺次连接矩形各边中点形成的四边形是正方形C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D. 对角线相等的四边形是矩形(5) 下列说法中正确的是 ( )A. 对角线互相垂直的四边形是菱形B. 有四个内角都相等的四边形是矩形C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D. 有一个内角是直角的平行四边形是矩形。

2020年秋九年级数学上册第2章 2.5 一元二次方程的应用第2课时图形面积问题同步练习

2.5 一元二次方程的应用第2课时图形面积问题知识点 1 面积问题图2－5－11．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图2－5－1)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )A．(x＋1)(x＋2)＝18B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18D．x2＋3x＋16＝02．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原正方形铁皮的边长为( )A．10 cm B．13 cm C．14 cm D．16 cm图2－5－23．如图2－5－2是一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为8 m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m2.那么花边的宽为________m.4．如图2－5－3，利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．图2－5－35．如图2－5－4，要在一个长为10 m、宽为8 m的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这个花圃的宽度．图2－5－4知识点 2 动点问题6．教材练习第2题变式如图2－5－5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，图2－5－5BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始运动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为2 cm/s，点Q运动到点C后停止运动，点P也随之停止运动．经过几秒后，能使△PBQ的面积为15 cm2？( )A．2 s B．3 s C．4 s D．5 s7．如图2－5－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，其速度均为2 cm/s，几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半？图2－5－68．如图2－5－7，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米．图2－5－79．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝24 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以4 cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2 cm/s的速度运动．它们同时出发，求几秒后，△PBQ的面积是△ABC面积的一半．10．2016·百色如图2－5－8，在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为96 m2.(1)求矩形地面的长；(2)有规格为0.80 m×0.80 m和1.00 m×1.00 m的地板砖单价分别为55元/块和80元/块．若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？图2－5－811．如图2－5－9①，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2x cm，则每个竖彩条的宽为3x cm.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD.(1)结合以上分析完成填空：如图②：用含x的代数式表示：AB＝________cm；AD＝________cm；矩形ABCD的面积为________cm2.(2)列出方程并完成本题的解答．图2－5－9详解详析1．C [解析] 根据题意，可知剩余的长方形空地的长为(x－1)m，宽为(x－2)m，所以可列出方程为(x－1)(x－2)＝18，故选C.2． D [解析] 设原正方形铁皮的边长是x cm，则做成的没有盖的长方体盒子的长、宽均为(x－3×2)cm，高为3 cm，根据题意列方程得(x－3×2)×(x－3×2)×3＝300，解得x1＝16，x 2＝－4(不合题意，舍去)．即原正方形铁皮的边长是16 cm.故选D.3．1 [解析] 设花边的宽为x m ，则地毯的长为(8－2x )m ，宽为(5－2x )m ，根据题意列方程得(8－2x )(5－2x )＝18，解得x 1＝1，x 2＝5.5(不符合题意，舍去)．故花边的宽为1 m.4．解：设垂直于墙的一边长为x m ，则平行与墙的一边长为(58－2x )m. 依题意得x (58－2x )＝200，解得x 1＝25，x 2＝4，58－2x 1＝8，58－2x 2＝50.答：矩形的长为25 m ，宽为8 m 或矩形的长为50 m ，宽为4 m. 5．解：设这个花圃的宽度为x m ，依题意，得 (10－2x )(8－x )＝10×8×(1－30%)，解得x 1＝12(不合题意，舍去)，x 2＝1. 答：这个花圃的宽度为1 m.6．B [解析] 设经过t s 后，能使△PBQ 的面积为15 cm 2，则BP ＝(8－t )cm ，BQ ＝2t cm ，由三角形的面积计算公式列方程得12×(8－t )×2t ＝15，解得t 1＝3，t 2＝5(当t ＝5时，BQ ＝10，不合题意，舍去)．故经过3 s 后，能使△PBQ 的面积为15 cm 2. 7．解：设t s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半，则可得此时PC ＝AC －AP ＝(12－2t )cm ，CQ ＝BC －BQ ＝(9－2t )cm ，∴△PCQ 的面积为12·PC ·CQ ＝12(12－2t )(9－2t )cm 2.∵△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半，△ABC 的面积＝12×12×9＝54(cm 2)，∴12(12－2t )(9－2t )＝27，解得t ＝9或t ＝1.5.∵0≤t ≤4.5， ∴t ＝1.5，则1.5 s 后△PCQ 的面积是△ABC 面积的一半． 8．设AB ＝x 米，则BC ＝(100－4x )米．根据题意得x (100－4x )＝400，整理得x 2－25x ＋100＝0，解得x 1＝20，x 2＝5. 当AB ＝20米时，BC ＝20米，符合题意；当AB ＝5米时，BC ＝80米>25米，故舍去．答：羊圈的边长AB ，BC 都为20米．9．解：设x s 后，△PBQ 的面积是△ABC 面积的一半，则12(24－4x )(16－2x )×32＝12×12×24×16×32，解得x ＝2或x ＝12(舍去)．答：2 s 后，△PBQ 的面积是△ABC 面积的一半．10．解： (1)设矩形地面的长为x m ，则宽为(20－x )m ，由题意，得x (20－x )＝96，解得x 1＝12，x 2＝8(舍去)．答：矩形地面的长为12 m.(2)需要规格为0.80 m×0.80 m 的地板砖96÷(0.8×0.8)＝150(块)，则总费用为55×150＝8250(元)；需要规格为1.00 m×1.00 m 的地板砖96÷(1.0×1.0)＝96(块)，则总费用为80×96＝7680(元)．∵7680＜8250，∴用规格为1.00 m×1.00 m 的地板砖费用较少．11． (1)(20－6x ) (30－4x ) (24x 2－260x ＋600)(2)根据题意，得24x 2－260x ＋600＝(1－13)×20×30，整理，得6x 2－65x ＋50＝0，解得x 1＝56，x 2＝10(不合题意，舍去)，则2x ＝53，3x ＝52.答：每个横、竖彩条的宽度分别为53 cm ，52 cm.。

部编版2020九年级数学上册第1章第2课时二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)的图象及特征同步练习

第2课时二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及特征知识点一二次函数y＝a(x－m)2(a≠0)的图象及其特征图象特征：函数y＝a(x－m)2(a≠0)的图象的顶点坐标是_____________，对称轴是直线________．图象的开口方向：当a>0时，开口________，当a<0时，开口________．1．已知抛物线y＝(x－2)2，下列说法正确的是( )A．顶点坐标是(0，2)B．对称轴是直线x＝－2C．开口向下D．顶点坐标是(2，0)知识点二二次函数y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的图象及其特征图象特征：抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的顶点坐标为________，对称轴为直线________；抛物线y＝a(x－m)2＋k(a≠0)的开口方向：当a>0时，开口________，当a<0时，开口_________．2．抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是_____________．3．把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的函数表达式为____________．类型一利用函数图象的平移规律解题例1 [教材补充例题] 已知一条抛物线的开口方向及形状与抛物线y＝3x2相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2的顶点相同．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)求将这条抛物线向右平移4个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的函数表达式．【归纳总结】y ＝a (x －m )2＋k (a ≠0)中，m 是抛物线左右平移的标志，当m >0时，抛物线向右平移m 个单位，当m <0时，抛物线向左平移|m |个单位；而k 则是抛物线上下平移的标志，当k >0时，抛物线向上平移k 个单位，当k <0时，抛物线向下平移|k |个单位．类型二 y ＝a (x －m )2＋k (a≠0)型二次函数图象的特征例2 [教材补充例题](1)二次函数y ＝4－(x ＋1)2的图象的开口方向是________，对称轴是________，顶点坐标是________．(2)已知二次函数y ＝a (x ＋k )2＋k (a ≠0)，无论k 取何值，其图象的顶点都在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上 C ．x 轴上 D ．y 轴上类型三应用y ＝a (x －m )2＋k (a≠0)确定抛物线的函数表达式例3 [教材补充例题] 根据下列条件求y 关于x 的二次函数表达式． (1)抛物线的顶点坐标为(－1，－2)，且过点(1，10)； (2)抛物线过点(0，－2)，(1，2)，且对称轴为直线x ＝32.【归纳总结】用顶点式求函数表达式的三种情况 (1)题中出现顶点坐标和另一点的坐标； (2)已知对称轴和两个点的坐标；(3)已知最值和两个点的坐标．二次函数y＝a(x－m)2的图象与二次函数y＝a(x－m)2＋k的图象有何联系？详解详析【学知识】知识点一 (m ，0) x ＝m 向上向下 1．[答案] D知识点二 (m ，k) x ＝m 向上向下 2．[答案] (2，5)[解析] 由于抛物线y ＝a(x －m)2＋k 的顶点坐标为(m ，k)，可知此函数图象的顶点坐标为(2，5)．3．[答案] y ＝2(x ＋1)2－2[解析] 将二次函数y ＝2x 2的图象向左平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为y ＝2(x ＋1)2，将抛物线y ＝2(x ＋1)2向下平移2个单位，所得抛物线的函数表达式为y ＝2(x ＋1)2－2.【筑方法】例1 解：(1)设抛物线的函数表达式为y ＝a(x －m)2＋k. ∵该抛物线与抛物线y ＝3x 2的开口方向及形状相同， ∴a ＝3.又该抛物线的顶点与抛物线y ＝(x ＋2)2的顶点相同，∴m ＝－2，k ＝0， ∴所求抛物线的函数表达式为y ＝3(x ＋2)2.(2)将抛物线y ＝3(x ＋2)2向右平移4个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为y ＝3(x ＋2－4)2－3，即y ＝3(x －2)2－3.例2 [答案] (1)向下直线x ＝－1 (－1，4)(2)[解析] B 二次函数y ＝a(x ＋k)2＋k 的图象的顶点坐标为(－k ，k)，当x ＝－k 时，y ＝k ＝－(－k)＝－x ，所以图象的顶点在直线y ＝－x 上．故选B.例3 解：(1)设函数表达式为y ＝a(x ＋1)2－2. 将x ＝1，y ＝10代入，得4a －2＝10，∴a ＝3. ∴函数表达式为y ＝3(x ＋1)2－2. (2)设函数表达式为y ＝a(x －32)2＋h.把x ＝0，y ＝－2；x ＝1，y ＝2代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧94a ＋h ＝－2，14a ＋h ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，h ＝52， ∴函数表达式为y ＝－2(x －32)2＋52.【勤反思】[小结] x ＝m (m ，0) x ＝m (m ，k)[反思] 它们的开口方向相同，对称轴都为直线x ＝m ；前者的顶点坐标为(m ，0)，后者的顶点坐标为(m ，k)，前者可由二次函数y ＝ax 2的图象向左(m<0)或向右(m>0)平移|m|个单位得到，后者可由二次函数y ＝ax 2的图象向左(m<0)或向右(m>0)平移|m|个单位、再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到，即前者向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位可得到后者．。

北师大版九年级数学上册全册课时练习(一课时一练)

北师大版九年级数学上册全册课时练习1 第一课时菱形的概念及其性质1．如图1－1－1，在▱ABCD中，若添加下列条件：①AB＝CD；②AB＝BC；③∠1＝∠2.其中能使▱ABCD成为菱形的有( )图1－1－1A．0个B．1个C．2个D．3个2．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图1－1－2所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是( )A．(3，1) B．(3，－1)C．(1，－3) D．(1，3)1－1－2 1－1－33．如图1－1－3，P是菱形ABCD对角线BD上的一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是________cm.4．如图1－1－4，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD 的周长是( )A．25 B．20C．15 D．101－1－4 1－1－55．如图1－1－5，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OH的长为________．6．如图1－1－6，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形．求证：BE＝CE.图1－1－67．如图1－1－7，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的边长为( )A．5 B．10 C．6 D．88．已知菱形的边长是2 cm，一条对角线长是2 cm，则另一条对角线长是( )A．4 cm B．2 3 cmC. 3 cm D．3 cm1－1－7 1－1－89．如图1－1－8，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠BCO＝55°，则∠CBO＝________°.10．如图1－1－9，四边形ABCD是菱形，A(3，0)，B(0，4)，则点C的坐标为( )图1－1－9A．(－5，4) B．(－5，5)C．(－4，4) D．(－4，3)11．一个菱形的边长为4 cm，且有一个内角为60°，则这个菱形的面积是________．12．如图1－1－10，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，对角线AC，BD相交于点O，点E 在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝________°.图1－1－10 图1－1－1113．如图1－1－11，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段DH 的长为________．14．如图1－1－12所示，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值是________．图1－1－1215．如图1－1－13，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过点O作OE⊥AB，垂足为E.(1)求∠ABD的度数；(2)求线段BE的长．图1－1－1316.如图1－1－14所示，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD 交AD的延长线于点F，请你猜想CE与CF在数量上有什么关系，并证明你的猜想．图1－1－1417．如图1－1－15，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝CE；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的度数．图1－1－15第二课时菱形的判定1．如图1－1－16，要使▱ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( )图1－1－16A．AC＝AD B．BA＝BCC．∠ABC＝90° D．AC＝BD2．如图1－1－17，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB.求证：四边形AEDF是菱形．图1－1－173．下列命题中，正确的是( )A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形图1－1－184．如图1－1－18，在▱ABCD中，AB＝13，AC＝10，当BD＝________时，四边形ABCD 是菱形．5．如图1－1－19，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－196．用直尺和圆规作一个菱形，如图1－1－20，能判定四边形ABCD是菱形的依据是( )图1－1－20A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形7．如图1－1－21，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC，∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求证：四边形ABCD是菱形．图1－1－218．如图1－1－22所示，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线．添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是( )A．AE＝AF B．EF⊥ACC．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线1－1－22 1－1－239．如图1－1－23，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点．若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是( )A．AB⊥AC B．AB＝ACC．AB＝BC D．AC＝BC10．顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所形成的四边形是________．图1－1－2411．如图1－1－24，E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形ABCD的边满足条件____________时，四边形EFGH是菱形．12．如图1－1－25，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，作边AC的垂直平分线l 交AB于点D，过点C作AB的平行线交l于点E，判断四边形DBCE的形状，并说明理由．图1－1－2513．如图1－1－26，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．图1－1－2614．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同且含60°角的三角板ABC 与三角板AEF按如图1－1－27①所示方式放置，现将三角板AEF绕点A按逆时针方向旋转α(0°＜α＜90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由．图1－1－27第3课时菱形的性质与判定的综合应用1．已知菱形的两条对角线长分别是12和16，则此菱形的面积是( )A．192 B．96 C．48 D．40图1－1－282．如图1－1－28，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝6，则菱形ABCD的面积是( )A．6 B．12 C．24 D．483．如图1－1－29，已知菱形ABCD两条对角线BD与AC的长度之比为3∶4，周长为40 cm，求菱形的面积及高．图1－1－294．如图1－1－30，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则四边形ABCD的周长为( )A．4 B．6 C．8 D．121－1－30 1－1－315．如图1－1－31，剪两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是( )A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB＋∠BCD＝180°6．如图1－1－32，将等边三角形ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④BD⊥DE.其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．41－1－3 1－1－337．如图1－1－33，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．8．如图1－1－34所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC，BE＝EC，AE＝2，则AB＝________．1－1－3 1－1－359．如图1－1－35，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF＝________°.10．如图1－1－36，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE＝6，∠BEF＝120°，求四边形BCFE的周长．图1－1－36图1－1－3711．如图1－1－37，四边形ABCD 的四边相等，且面积为120 cm 2，对角线AC ＝24 cm ，则四边形ABCD 的周长为( )A ．52 cmB ．40 cmC ．39 cmD ．26 cm12．如图1－1－38，在给定的一张平行四边形纸片ABCD 上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：图1－1－38甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断( )A ．甲正确，乙错误B ．甲错误，乙正确C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误图1－1－3913．如图1－1－39，菱形ABCD 的边长为8 cm ，∠A ＝60°，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则四边形BEDF 的面积为________ cm 2.14．如图1－1－40，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，连接DP 交对角线AC 于点E ，连接BE .(1)求证：∠APD ＝∠CBE ；(2)试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的14，为什么？图1－1－4015．如图1－1－41，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为O.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若CD＝3，BD＝2 5，求四边形ABCD的面积．图1－1－4116．教材“做一做”变式题明明将两张长为8 cm，宽为2 cm的长方形纸条交叉叠放，如图1－1－42①所示，他发现重叠部分可能是一个菱形．(1)请你帮助明明证明四边形ABCD是菱形；(2)明明又发现：如图②所示，当菱形的一条对角线与长方形纸条的一条对角线重合时，菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．图1－1－422 第1课时矩形的概念及其性质1．若矩形ABCD的两邻边长分别是1，2，则其对角线BD的长是( )A. 3 B．3 C. 5 D．2 52．如图1－2－1所示，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．51－2－1 1－2－23．如图1－2－2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC 的度数是( )A．30° B．22.5° C．15° D．10°4．如图1－2－3，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝BO.图1－2－35．如图1－2－4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的度数为( )A．30° B．60° C．90° D．120°1－2－4 1－2－56．如图1－2－5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( )A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm图1－2－67．如图1－2－6，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，则EF ＝________ cm.8．如图1－2－7，在矩形ABCD 中，过点B 作BE ∥AC 交DA 的延长线于点E .求证：BE ＝BD .图1－2－79．若直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线的长是( ) A ．5 B ．10 C.245 D.125图1－2－810．如图1－2－8，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝55°，D 是斜边AB 的中点，那么∠ACD 的度数为( )A ．15°B ．25°C ．35°D ．45°11．如图1－2－9，已知△ABC 和△ABD 均为直角三角形，其中∠ACB ＝∠ADB ＝90°，E 为AB 的中点．求证：CE ＝DE .图1－2－912．如图1－2－10，已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，AD ＝8，AB ＝4，则DE 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．61－2－10 1－2－1113．如图1－2－11，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．2014．如图1－2－12，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，折叠矩形，使顶点D与对角线交点O重合，折痕为CE，已知△CDE的周长是10 cm，则矩形ABCD的周长为( )A．15 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm1－2－121－2－1315．如图1－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若CD＝6 cm，则EF＝________ cm.16．如图1－2－14，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．图1－2－1417．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1－2－15①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD.应用：如图1－2－15②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝FB，AF与BE交于点O.(1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；(2)连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．图1－2－15参考答案1．C 2．A 3．C .4．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC.∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC－∠DOC＝∠BOD－∠DOC，即∠AOD＝∠BOC.在△AOD和△BOC中，∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，∴△AOD≌△BOC，∴AO＝BO.5．B 6．A 7．2.58．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AD∥BC.又∵BE∥AC，∴四边形AEBC 是平行四边形， ∴BE ＝AC ，∴BE ＝BD . 9．A . 10．C. 11．证明：在Rt △ABC 中， ∵E 为斜边AB 的中点， ∴CE ＝12AB .在Rt △ABD 中， ∵E 为斜边AB 的中点， ∴DE ＝12AB .∴CE ＝DE .12．C 13．D 14．D 15．6 16．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，∠ADC ＝∠ABC ＝90°.由平移的性质得：DE ＝AC ，EC ＝BC ，∠DCE ＝∠ABC ＝90°，DC ＝AB ， ∴AD ＝EC .在△ACD 和△EDC 中，AD ＝EC ，∠ADC ＝∠ECD ，CD ＝DC ， ∴△ACD ≌△EDC .(2)△BDE 是等腰三角形．理由如下： ∵AC ＝BD ，DE ＝AC ， ∴BD ＝DE ，∴△BDE 是等腰三角形．17．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠BFO . 又∵∠AOE ＝∠FOB ，AE ＝FB ，∴△AOE ≌△FOB ，∴EO ＝BO ， ∴AO 是△ABE 的边BE 上的中线， ∴△AOB 和△AOE 是“友好三角形”． (2)∵△AOE 和△DOE 是“友好三角形”， ∴S △AOE ＝S △DOE ，AE ＝ED ＝12AD ＝12BC ＝3.∵△AOB 和△AOE 是“友好三角形”， ∴S △AOB ＝S △AOE .∵△AOE ≌△FOB ，∴S △AOE ＝S △FOB ， ∴S △AOD ＝S △ABF ，∴S 四边形CDOF ＝S 矩形ABCD －2S △ABF ＝4×6－2×12×4×3＝12.第2课时矩形的判定1．如图1－2－16，要使平行四边形ABCD 成为矩形，需添加的条件是( )A ．AB ＝BC B ．AO ＝CO C ．∠ABC ＝90°D ．∠1＝∠22．木工师傅做一个矩形木框，做好后量得长为80 cm ，宽为60 cm ，对角线的长为100cm ，则这个木框________．(填“合格”或“不合格”)1－2－16 1－2－173．如图1－2－17，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ，当△ABC 满足条件__________时，四边形AEDF 是矩形．4．如图1－2－18，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且DE ∥AC ，AE ∥BD.求证：四边形AODE是矩形．图1－2－18图1－2－195．如图1－2－19，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )A．AO＝OC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．BD平分∠ABC6．如图1－2－20，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，要使▱ABCD为矩形，则OB的长为( )A．4 B．3 C．2 D．11－2－20 1－2－217．如图1－2－21，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是不是矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了．(1)当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时，门框符合要求；(2)这种做法的根据是______________________．8．如图1－2－22，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，△OAB为等边三角形，BC＝ 3.求四边形ABCD的周长．图1－2－229．对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有( )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组图1－2－2310．如图1－2－23，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________．11．下列命题错误的是( )A．有三个角是直角的四边形是矩形B．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形12．如图1－2－24，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.下列组合中，不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A．①②③ B．②③④C．②⑤⑥ D．④⑤⑥1－2－24 1－2－2513．如图1－2－25，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是( )A．∠BAC＝90° B．BC＝2AEC．ED平分∠AEB D．AE⊥BC图1－2－2614．如图1－2－26，已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是四边的中点，只要四边形ABCD 的对角线AC，BD再满足条件________，则四边形EFGH一定是矩形．15．如图1－2－27，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为角平分线．求证：四边形PMQN 是矩形．图1－2－2716．如图1－2－28，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．图1－2－2817．如图1－2－29，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE ＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．图1－2－2918．如图1－2－30，在△ABC 中，O 是边AC 上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC .设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交△ACB 的外角∠ACD 的平分线于点F .(1)求证：OE ＝OF ；(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．图1－2－301．C2．合格3．答案不唯一，如∠BAC ＝90° 4．证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∴∠AOD ＝90°. ∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形．又∵∠AOD ＝90°， ∴四边形AODE 是矩形．5．B 6．B 7．(1)等于(2)对角线相等的平行四边形是矩形 8．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC ＝2OA ，BD ＝2OB .∵△OAB 为等边三角形，∴OA ＝OB ＝AB ， ∴AC ＝BD ，∴四边形ABCD 为矩形， ∴∠ABC ＝90°.在Rt △ABC 中，AC ＝2OA ＝2AB ，BC ＝3，由勾股定理，得AB ＝AC 2－BC 2＝1， ∴四边形ABCD 的周长＝2(AB ＋BC )＝2(1＋3)． 9．B 10 12.11．C12．C 13．D 14．AC ⊥BD 15．证明：∵PM ，PN 分别平分∠APQ ，∠BPQ ， ∴∠MPQ ＝12∠APQ ，∠NPQ ＝12∠BPQ .∵∠APQ ＋∠BPQ ＝180°，∴∠MPQ ＋∠NPQ ＝90°，即∠MPN ＝90°. 同理可证∠MQN ＝90°.∵AB ∥CD ，∴∠APQ ＋∠CQP ＝180°， ∴∠MPQ ＋∠MQP ＝90°，即∠PMQ ＝90°，∴四边形PMQN 是矩形． 16．证明：∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ∥BC ，AB ＝DE ，AE ＝BD . ∵D 为BC 的中点，∴CD ＝BD . ∴CD ∥AE ，CD ＝AE ，∴四边形ADCE 是平行四边形． ∵AB ＝AC ，AB ＝DE ， ∴AC ＝DE ，∴平行四边形ADCE 是矩形． 17．解：(1)证明：∵DF ∥BE ， ∴∠FDO ＝∠EBO ，∠DFO ＝∠BEO . ∵O 为AC 的中点，∴OA ＝OC . ∵AE ＝CF ， ∴OA －AE ＝OC －CF ，即OE ＝OF .在△BOE 和△DOF 中，∠EBO ＝∠FDO ，∠BEO ＝∠DFO ，OE ＝OF ， ∴△BOE ≌△DOF (AAS)．(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是矩形．证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴OB ＝OD . ∵OD ＝12AC ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，且BD ＝AC ， ∴四边形ABCD 是矩形．18．解：(1)证明：∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，如图所示，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF . (2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.∵CE ＝12，CF ＝5，∴EF ＝122＋52＝13， ∴OC ＝12EF ＝6.5.(3)当点O 在边AC 上运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由：当O 为AC 的中点时，AO ＝CO . 又∵OE ＝OF ，∴四边形AECF 是平行四边形．又∵∠ECF ＝90°， ∴四边形AECF 是矩形．第3课时矩形的性质与判定的综合应用1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A ．对边分别相等 B ．对角分别相等 C ．对角线互相平分 D ．对角线相等2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知矩形的两条对角线所夹锐角为44°，那么对角线与矩形相邻两边所夹的角分别是( )A ．22°，68°B ．44°，66°C ．24°，66°D ．40°，50°4．如图1－2－31所示，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点E 在AD 上，且EB 平分∠AEC ，则△ABE的面积为( )A．2.4 B．2 C．1.8 D．1.51－2－311－2－325．如图1－2－32，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD ＝12，则四边形ABOM的周长为________．6．在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图1－2－33所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝________ cm.1－2－331－2－347．如图1－2－34，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．8．如图1－2－35，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE＝CE.图1－2－359．如图1－2－36，在矩形ABCD中(AD＞AB)，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F，在下列结论中，不一定正确的是( )A．△AFD≌△DCE B．AF＝12AD C．AB＝AF D．BE＝AD－DF1－2－361－2－3710．如图1－2－37，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )A．2 3 B．3 3 C．4 D．4 311．如图1－2－38，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P 不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为( )图1－2－38A．4 B．4.8 C．5.2 D．612．如图1－2－39，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4 cm，图中阴影部分的面积总和为6 cm2，则对角线AC的长为________cm.1－2－391－2－4013．如图1－2－40，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件____________时，四边形PEMF为矩形．14．如图1－2－41，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AE∥BC，DE∥AB，连接CE，DE交AC于点G.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)点F在BA的延长线上，请直接写出图中所有与∠FAE相等的角．图1－2－4115．如图1－2－42，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在AD，BC上，且DE ＝BP＝1.求证：四边形EFPH为矩形．图1－2－4216．如图1－2－43，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．图1－2－4317．如图1－2－44，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.(1)求证：四边形DAEF是平行四边形．(2)探究下列问题(只填满足的条件，不需证明)：①当△ABC满足条件：____________时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足条件：____________时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足条件：____________时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在．图1－2－441．D 2.A 3.A 4．D 5．20. 6．5.8. 7．48．证明：如图，过点B作BF⊥CE于点F.∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°.∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，∴∠BCF＝∠D.在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°，BC＝CD，∴△BCF≌△CDE(AAS)，∴BF＝CE.∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE＝BF，∴AE＝CE.9．B 10．A . 11．B 12．513．2AB＝BC14．解：(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD. ∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠AED＝∠EDC，∠EAC＝∠ACB，∠FAE＝∠B，∴∠FAE＝∠B＝∠ACB＝∠AEG＝∠EAG＝∠GDC.15．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP.∵AD＝BC，DE＝BP，∴AE＝CP.又∵AD∥BC，即AE∥CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP ∥CE ，∴四边形EFPH 是平行四边形．∵在矩形ABCD 中，∠ADC ＝∠ABP ＝90°，AD ＝BC ＝5，CD ＝AB ＝2，DE ＝BP ＝1，∴CE ＝5，同理BE ＝2 5， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2， ∴∠BEC ＝90°， ∴四边形EFPH 为矩形．16．解：(1)证法一：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∴∠ABD ＝∠CDB .由折叠的性质可得：∠ABE ＝12∠ABD ，∠CDF ＝12∠CDB ，∴∠ABE ＝∠CDF .在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF (ASA)， ∴AE ＝CF .∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴DE ＝BF ，DE ∥BF ，∴四边形BFDE 为平行四边形．证法二：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ， ∴∠ABD ＝∠CDB ，DE ∥BF .由折叠的性质得∠EBD ＝12∠ABD ，∠FDB ＝12∠CDB ，∴∠EBD ＝∠FDB ，∴BE ∥DF . 又∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 为平行四边形． (2)∵四边形BFDE 为菱形， ∴BE ＝DE ，∠FBD ＝∠EBD ＝∠ABE . ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，∠A ＝∠ABC ＝90°， ∴∠ABE ＝∠FBD ＝∠EBD ＝30°. 在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝23＝2 33，BE ＝2AE ＝43 3，∴BC ＝AD ＝AE ＋DE ＝AE ＋BE ＝2 33＋43 3＝2 3.17．解：(1)证明：∵△ABD 和△BCF 都是等边三角形， ∴∠ABC ＋∠FBA ＝∠DBF ＋∠FBA ＝60°， ∴∠ABC ＝∠DBF . 又∵BA ＝BD ，BC ＝BF ， ∴△ABC ≌△DBF ， ∴AC ＝DF ＝AE .同理可证△ABC ≌△EFC ， ∴AB ＝EF ＝AD ，∴四边形DAEF 是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)． (2)①∠BAC ＝150° ②AB ＝AC ≠BC③∠BAC＝60°3 第1课时正方形的性质1．如图1－3－1，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为________．1－3－11－3－22．如图1－3－2，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．3．如图1－3－3，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.图1－3－34．如图1－3－4，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( ) A．10° B．12.5° C．15° D．20°1－3－41－3－55．如图1－3－5，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，则∠DCE＝________°.6．如图1－3－6，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．图1－3－67．若正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )A．8 B．4 2 C．8 2 D．16图1－3－78．如图1－3－7，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．9．如图1－3－8，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．图1－3－810．如图1－3－9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O，B的坐标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点C的坐标是( )A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1)1－3－91－3－1011.如图1－3－10，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．12．如图1－3－11，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为( )A．45° B．55° C．60° D．75°1－3－111－3－1213.如图1－3－12，正方形ABCD的边长为2，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．14．如图1－3－13，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．1－3－13 1－3－1415．如图1－3－14，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．16．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.图1－3－1517．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF＝∠CEF＝45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图1－3－16①)，求证：△AEG≌△AEF；(2)若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N(如图1－3－16②)，求证：EF2＝ME2＋NF2.图1－3－161．213 2.2－13．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠CBE ＝90°. ∵BF ⊥CE ，∴∠BCE ＋∠CBG ＝90°. ∵∠ABF ＋∠CBG ＝90°， ∴∠BCE ＝∠ABF .在△BCE 和△ABF 中，∠BCE ＝∠ABF ，BC ＝AB ，∠CBE ＝∠A ， ∴△BCE ≌△ABF (ASA)， ∴AF ＝BE .4．C 5．22.56．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，△EBC 是等边三角形， ∴BA ＝BC ＝CD ＝BE ＝CE ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，∠EBC ＝∠ECB ＝60°， ∴∠ABE ＝∠ECD ＝30°.在△ABE 和△DCE 中，AB ＝DC ，∠ABE ＝∠DCE ，BE ＝CE ， ∴△ABE ≌△DCE (SAS)． (2)∵BA ＝BE ，∠ABE ＝30°， ∴∠BAE ＝12×(180°－30°)＝75°.∵∠BAD ＝90°，∴∠EAD ＝90°－75°＝15°，同理可得∠ADE ＝15°，∴∠AED ＝180°－15°－15°＝150°. 7．A 8．29．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD ＝AB ，∠D ＝∠B ＝90°，BC ＝DC . ∵E ，F 分别为DC ，BC 的中点，∴DE ＝12DC ，BF ＝12BC ，∴DE ＝BF .在△ADE 和△ABF 中，AD ＝AB ，∠D ＝∠B ，DE ＝BF ， ∴△ADE ≌△ABF (SAS)．(2)由题知△ABF ，△ADE ，△CEF 均为直角三角形，且AB ＝AD ＝4，DE ＝BF ＝12×4＝2，CE ＝CF ＝12×4＝2，∴S △AEF ＝S 正方形ABCD －S △ADE －S △ABF －S △CEF ＝ 4×4－12×4×2－12×4×2－12×2×2＝6.10．C 11．10 12.C 13．4 14．3 cm 15．(0，21009)16．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OD ＝OC . 又∵DE ＝CF ，∴OD －DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF .在△AOE 和△DOF 中，AO ＝DO ，∠AOE ＝∠DOF ，OE ＝OF ， ∴△AOE ≌△DOF (SAS)， ∴∠OAE ＝∠ODF .∵∠OAE ＋∠AEO ＝90°，∠AEO ＝∠DEM ， ∴∠ODF ＋∠DEM ＝90°，即AM ⊥DF .17．证明：(1)∵△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ， ∴AG ＝AF ，∠GAF ＝90°. ∵∠EAF ＝45°，∴∠GAE ＝∠GAF －∠EAF ＝90°－45°＝45°，即∠GAE ＝∠EAF .在△AEG 和△AEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AG ＝AF ，∠GAE ＝∠EAF ，AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF (SAS)．(2)把△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG ，如图，连接GM ，则△ADF ≌△ABG ， ∴DF ＝BG .由(1)知△AEG ≌△AEF ， ∴EG ＝EF . ∵∠CEF ＝45°，∴△BME ，△DNF ，△CEF 均为等腰直角三角形， ∴CE ＝CF ，BE ＝BM ，NF ＝2DF ， ∴BE ＝DF ， ∴BE ＝BM ＝DF ＝BG ， ∴∠BMG ＝45°，∴∠GME ＝45°＋45°＝90°， ∴EG 2＝ME 2＋MG 2.又∵EG ＝EF ，MG ＝2BM ＝2DF ＝NF ， ∴EF 2＝ME 2＋NF 2.第2课时正方形的判定1．如果要证明平行四边形ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的基础上，进一步证明( )A．AB＝BD且AC⊥BD B．∠A＝90°且AB＝ADC．∠A＝90°且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：________________．3．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是( )A．OA＝OC，OB＝OD B．OA＝OB＝OC＝ODC．OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD D．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD图1－3－174．如图1－3－17，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成( )A．22.5°角B．30°角 C．45°角D．60°角5．如图1－3－18，有4个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样的速度向B，C，D，A各点移动．请判断四边形PQEF的形状．图1－3－186．矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件：________，使其成为正方形．(只填一个即可)图1－3－197．如图1－3－19所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定的方法是__________________________．8．如图1－3－20所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.(1)求证：平行四边形ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．图1－3－209．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD一定是( )A．矩形 B．对角线互相垂直的四边形C．菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形图1－3－2110．如图1－3－21，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能判定四边形ECFB为正方形的是( )A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF图1－3－2211．如图1－3－22，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是( )A．30 B．34 C．36 D．4012．如图1－3－23，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．图1－3－2313．如图1－3－24，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为N.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？并给出证明．图1－3－2414．观察如图1－3－25所示图形的变化过程，解答以下问题：图1－3－25如图1－3－26，在△ABC中，D为BC边上的一动点(点D不与B，C两点重合)，DE∥AC 交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.(1)试探索当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，并说明理由；(2)在(1)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形？为什么？图1－3－2615．如图1－3－27，在四边形ABCD中，E，G分别是AD，BC的中点，F，H分别是BD，AC的中点．(1)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？并证明你的结论；(2)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？并证明你的结论；(3)当AB，CD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并证明你的结论．图1－3－271．B 2.AB＝BC(答案不唯一)3．D 4．C .5．解：在正方形ABCD中，AP＝BQ＝CE＝DF，AB＝BC＝CD＝DA，∴AF＝BP＝CQ＝DE.又∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，∴FP＝PQ＝QE＝EF，∴四边形PQEF是菱形．∵△AFP≌△BPQ，∴∠APF＝∠BQP.∵∠BPQ＋∠BQP＝90°＝∠BPQ＋∠APF，∴∠FPQ＝90°，∴四边形PQEF为正方形．6．AB＝BC或AC⊥BD(答案不唯一)7．有一组邻边相等的矩形是正方形8．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.∵∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．(2)AB＝AD(或AC⊥BD，答案不唯一)．9．D 10.D 11．B12．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO.又∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即AC⊥BD，∴四边形ABCD 是菱形．(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝CO .又∵△ACE 是等边三角形， ∴EO 平分∠AEC ，∴∠AED ＝12∠AEC ＝12×60°＝30°.又∵∠AED ＝2∠EAD ， ∴∠EAD ＝15°，∴∠ADO ＝∠EAD ＋∠AED ＝15°＋30°＝45°. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ADC ＝2∠ADO ＝90°， ∴四边形ABCD 是正方形．13．解：(1)证明：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠DAC .∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠MAE ＝∠CAE ，∴∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝12×180°＝90°.又∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴∠ADC ＝∠CEA ＝90°， ∴四边形ADCE 为矩形．(2)当△ABC 满足∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 为正方形．证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ACB ＝∠B ＝45°.∵AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠ACD ＝45°，∴DC ＝AD .又∵四边形ADCE 是矩形， ∴矩形ADCE 是正方形．∴当∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 是正方形．14．解：(1)当AD 平分∠BAC 时，四边形AEDF 为菱形．理由：∵AE ∥DF ，DE ∥AF ， ∴四边形AEDF 为平行四边形． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠EAD ＝∠FAD . 又∵DE ∥AF ， ∴∠FAD ＝∠ADE ， ∴∠EAD ＝∠ADE ， ∴AE ＝DE ，∴平行四边形AEDF 为菱形．(2)当∠BAC ＝90°时，菱形AEDF 是正方形．因为有一个角是直角的菱形是正方形． 15．解：(1)当AB ⊥CD 时，四边形EFGH 是矩形．证明：∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，G ，H 分别是BC ，AC 的中点， ∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ，GH ∥AB ，GH ＝12AB ， FG ∥CD .∴EF ∥GH ，EF ＝GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形． ∵AB ⊥CD ，∴EF ⊥FG ，即∠EFG ＝90°，∴四边形EFGH 是矩形．(2)当AB ＝CD 时，四边形EFGH 是菱形．证明：∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点，H ，G 分别是AC ，BC 的中点， ∴EF ＝12AB ，GH ＝12AB ，FG ＝12CD ，EH ＝12CD .又∵AB ＝CD ， ∴EF ＝FG ＝GH ＝EH ， ∴四边形EFGH 是菱形．(3)当AB ＝CD 且AB ⊥CD 时，四边形EFGH 是正方形．证明：∵E ，F 分别是AD ，BD 的中点， ∴EF ∥AB ，EF ＝12AB ，同理，EH ∥CD ，EH ＝12CD ，FG ＝12CD ，GH ＝12AB .∵AB ＝CD ， ∴EF ＝EH ＝GH ＝FG ， ∴四边形EFGH 是菱形． ∵AB ⊥CD ，∴EF ⊥EH ，即∠FEH ＝90°， ∴菱形EFGH 是正方形．1 第1课时认识一元二次方程1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．ax 2＋bx ＋c ＝0 B ．3x 2－2x ＝3(x 2－2)C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2＋1＝02．若关于x的方程(m－2)x2＋mx－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是________．3．一元二次方程3x2－2x－5＝0的二次项系数和一次项系数分别为( )A．－5和2 B．3和－2 C．3和2 D．3和－54．一元二次方程3x(x－3)＝2x2＋1化为一般形式为__________．5．王叔叔从市场上买了一块长80 cm，宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图2－1－1，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为( )图2－1－1A．(80－x)(70－x)＝3000B．80×70－4x2＝3000C．(80－2x)(70－2x)＝3000D．80×70－4x2－(70＋80)x＝30006．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何．”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步．”如果设矩形田地的长为x步，可列方程为______________．7．已知关于x的一元二次方程2bx2－(a＋1)x＝x(x－1)的二次项系数为1，一次项系数为－1，求a＋b的值．8．已知关于x的方程(m2－9)x2＋(m＋3)x－5＝0.(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解；(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．。

北师大版九年级数学下册全一册课时同步练习习题合集(含答案解析)

2.1二次函数一、夯实基础1．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数的是( )A．y＝x(x＋1) B．xy＝1C．y＝2x2－2(x＋1)2D．132+=xy2．当路程S一定时，速度υ与时间t之间的函数关系是 ( )A.正比例函数 B．反比例函数 C.一次函数 D．二次函数3．图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)三角形的个数，则下列函数关系式正确的是 ( )A．y＝4n－4 B．y＝4nC．y=4n＋4 D．y＝n24．当m 时，函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数．5．若y＝(m2－3m)x2m-2m-1是二次函数，则m＝．6.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=．二、能力提升7．如果水流的速度为a m/min(定量)，那么每分钟的进水量Q(m3)与所选择的水管直径D(m)之间的函数关系式是什么?8．一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，写出y与x的函数关系式．9．已知函数y＝(m2－4)x2＋(m2－3m＋2)x－m－1．(1)当m为何值时，y是x的二次函数?(2)当m为何值时，y是x的一次函数?三、课外拓展10．如图所示，长方形ABCD的长为5 cm，宽为4 cm，如果将它的长和宽都减去x(cm)，那么它剩下的小长方形AB′C′D′的面积为y(cm2)．(1)写出y与x的函数关系式；(2)上述函数是什么函数?(3)自变量x的取值范围是什么?四、中考链接1.（2015·兰州中考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是( )A.y =3x -1B.y =a +bx +cC.s =2-2t +1D.y =2.（2014·江苏苏州中考）已知二次函数y ＝ax 2＋bx －1(a ≠0)的图象经过点(1，1)，则代数式1－a －b 的值为（ A ．－3 B ．－1 C ．2 D ．5答案1． CBA2．B[提示：本题考查一次函数(包括正比例函数)、反比例函数以及二次函数的概念．当S 一定时，S=υt ，υ与t 成反比例关系．故选B]3．B[提示：尝试利用代值的方法解决实际问题，如本题分别将第1，2，3层的三角形的个数代入各函数关系式中，只有B 符合．故选B ．]4．≠2[提示：当m －2≠0，即m ≠2时，函数y =(m －2)x 2＋4x －5为二次函数．] 5．－1[提示：需m 2－3m ≠0，m 2－2m －l ＝2同时成立．] 6.a （1+x ）27．解：函数关系式为Q ＝a ·π·(2D )2＝ 24aD .8．解：由题意，得y ＝60(1－x)(1－x)＝60(1－x)2，x 的取值范围为0＜x ＜1． 9．提示：(1)当二次项系数m 2－4≠0时，原函数是二次函数．(2)当二次项系数m 2－4＝0且一次项系数m 2－3m ＋2≠0时，原函数是一次函数，由此确定m 的值．解：(1)由m 2－4≠0，解得m ≠±2．故当m ≠±2时，y 是x 的二次函数． (2)由m 2－4＝0，解得m=±2．由m 2－3m ＋2≠0，解得m ≠1，m ≠2．所以m ＝－2．因此，当m ＝－2时，y 是x 的一次函数． 10．解：(1)根据长方形的面积公式，得y ＝(5－x )·(4－x)＝x 2－9x ＋20，所以y 与x 的函数关系式为y ＝x 2－9x ＋20． (2)上述函数是二次函数． (3)自变量x 的取值范围是0＜x ＜4．中考链接：1.解：选项A 是一次函数；选项B 当a =0，b ≠0时是一次函数，当a ≠0时是二次函数，所以选项B 不一定是二次函数；选项C 一定是二次函数；选项D 不是二次函数.故选C 2. 解：把点（1，1）的坐标代入，得2.2.1二次函数的图像与性质一、夯实基础1．抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝2x 2＋1共有的性质是( )．A ．开口向上B ．对称轴都是y 轴C ．都有最高点D ．顶点都是原点 6．任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线y ＝x 2＋k ，当k 取0，±1时，关于这些抛物线有以下判断：(1)开口方向都相同；(2)对称轴都相同；(3)形状相同；(4)都有最低点．其中判断正确的是________．(填序号)2．抛物线y ＝ax 2＋b 与x 轴有两个交点，且开口向上，则a 、b 的取值范围是( )． A ．a ＞0，b ＜0 B ．a ＞0，b ＞0C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜03．在同一直角坐标系中，y ＝ax 2＋b 与y ＝ax ＋b(a ，b 都不为0)的图象的大致位置是( )．4．若二次函数y ＝ax 2＋c ，当x 取x 1、x 2(x 1≠x 2)时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为( )．A ．a ＋cB ．a －cC ．－cD ．c7．已知点(－2，y 1)、(－1，y 2)、(3，y 3)在函数y ＝x 2＋c 的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是________．二、能力提升5．在同一直角坐标系中，图象不可能由函数y ＝2x 2＋1的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是( )．A ．y ＝2x 2－1 B ．y ＝2x 2＋3C ．y ＝－2x 2－1 D ．y ＝212x －1 8．当m ＝_______时，二次函数y ＝(1－m)x 22m 的图象开口向上．9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，且经过点（－2，－8），则抛物线对应的函数关系式为_______．10．说明y ＝213x ＋4是由y ＝213x 怎样平移得到的，并说明： (1)抛物线y ＝213x ＋4的顶点坐标、对称轴及y 随x 的变化情况； (2)函数的最大(小)值．三、课外拓展11．设直线y 1＝x ＋b 与抛物线y 2＝x 2＋c 的交点为A(3,5)和B ． (1)求出b 、c 和点B 的坐标．(2)画出草图，根据图象回答：当x 在什么范围时y 1≤y 2?12．如图所示，小华在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝215x ＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，求他与篮底的距离l.四、中考链接1.（2012广州市，2， 3分）将二次函数y=x 2的图像向下平移1个单位。

2020版数学新三维北师大九年级上册(课件+闯关练+课时测)：第一章特殊平行四边形 (1)

·初中数学·北师大版·九年级上册——第一章特殊平行四边形第2课时菱形的判定测试时间:25分钟一、选择题1.下列条件能判定四边形是菱形的是( )A.对角线相等的四边形B.对角线互相垂直的四边形C.对角线互相垂直平分的四边形D.对角线相等且互相垂直的四边形答案 C 对角线互相平分的四边形是平行四边形,而对角线互相垂直的平行四边形是菱形,即对角线互相垂直平分的四边形是菱形,故选C.2.如图,△ABC为等腰三角形,如果把它沿底边BC翻折后,得到△DBC,那么四边形ABDC为( )A.菱形B.正方形C.长方形D.一般平行四边形答案 A ∵等腰△ABC沿底边BC翻折得到△DBC,∴AB=DB,AC=DC,∵AB=AC,∴AB=AC=DC=DB, ∴四边形ABDC为菱形.故选A.3.如图,若要使平行四边形ABCD为菱形,则需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD答案 C 因为一组邻边相等的平行四边形是菱形,所以可添加的条件是AB=BC.故选C.4.如图,小聪在作线段AB的垂直平分线时,他是这样操作的:分别以点A和B为圆心,大于AB 的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是( )A.长方形B.菱形C.正方形D.等腰梯形答案 B 根据作图方法可得AC=AD=BD=BC,因此四边形ADBC一定是菱形.故选B.5.如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD至E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,下列条件中,不能使四边形DBCE为菱形的是( )A.AB=BEB.BE⊥DCC.∠ABE=90°D.BE平分∠DBC答案 A ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,又∵AD=DE,∴DE=BC,∴四边形DBCE为平行四边形.B.∵BE⊥DC,∴平行四边形DBCE为菱形;C.∵∠ABE=90°,∴AB⊥BE,∵四边形ABCD为平行四边形,∴DC∥AB,∴BE⊥CD,∴平行四边形DBCE为菱形;D.∵BE平分∠DBC,∴∠DBE=∠EBC,∵DE∥BC,∴∠EBC=∠DEB,∴∠DBE=∠DEB,∴DB=DE,∴平行四边形DBCE为菱形.故选A.6.在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列条件:①AB∥CD;②AB=CD;③OA=OC;④OB=OD;⑤AC⊥BD;⑥AC平分∠BAD.则不能推出四边形ABCD为菱形的是( )A.①②④B.③④⑤C.①②⑤D.①②⑥答案 A 若AB=CD,AB∥CD,则四边形ABCD是平行四边形.如果加上条件⑤AC⊥BD,可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定,故C不符合题意.如果加上条件⑥AC平分∠BAD,可证明邻边相等,根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定,故D不符合题意.若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是平行四边形,如果加上条件⑤AC⊥BD,可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定,故B不符合题意.故选A.二、填空题7.菱形的判定方法:(1)有一组邻边的平行四边形是菱形;(2)对角线的平行四边形是菱形;(3) 的四边形是菱形;(4)每条对角线一组对角的四边形是菱形.答案(1)相等(2)互相垂直(3)四边相等(4)平分8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于D,交AB于E,且CF=BE,则四边形BECF是形.答案菱解析解法一:因为EF垂直平分BC,所以BE=CE,BF=CF,因为CF=BE,所以BE=EC=CF=BF,所以四边形BECF是菱形.解法二:因为EF垂直平分BC,所以BD=DC,EF⊥BC,因为BE=CF,所以Rt△BED≌Rt△CFD,所以DE=DF,所以四边形BECF是菱形.9.如图,将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE,当△ABC满足(填一个条件)时,能够判定四边形ACED为菱形.答案AC=BC解析∵将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE,∴AC=DE,AD=CE,AD∥CE,∴四边形ACED是平行四边形.当AC=BC时,DE=CE,∴平行四边形ACED是菱形.故答案为AC=BC.10.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加一个条件判定▱ABCD是菱形,所添条件为(写出一个即可).答案AB=AD(答案不唯一)解析根据一组邻边相等的平行四边形是菱形,则可添加AB=AD(AD=CD,BC=CD,AB=BC),也可添加∠1=∠2,根据平行四边形的性质,可得AD=CD或AB=BC.根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形,则可添加AC⊥BD.11.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.小米的作法是:连接AC,作AC的垂直平分线MN,分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.则小米的依据是.答案对角线互相垂直的平行四边形是菱形解析∵AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,∴AO=CO,∵AD∥BC,∴∠AMO=∠CNO. ∵∠AOM与∠CON是对顶角,∴∠AOM=∠CON.在△AOM和△CON中,∠∠∠∠∴△AOM≌△CON(AAS),∴AM=CN,又∵AM∥CN,∴四边形AMCN是平行四边形,又∵MN⊥AC,∴四边形AMCN是菱形.(对角线互相垂直的平行四边形是菱形) 故答案为对角线互相垂直的平行四边形是菱形.12.如图,在四边形ABCD中,E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是BD、AC的中点.当四边形ABCD满足时,四边形EGFH是菱形.答案AB=CD解析当AB=CD时,四边形EGFH是菱形.理由如下:∵点E、G分别是AD、BD的中点,∴EG∥AB,EG=AB.同理HF∥AB,HF=AB,∴EG∥HF,EG=HF,∴四边形EGFH是平行四边形.∵EG=AB,且易得EH=CD,∴当AB=CD时,EG=EH,∴四边形EGFH是菱形.故答案为AB=CD.三、解答题13.如图,△ABC中,E,F,D分别是AB,AC,BC边上的点,且DE∥AC,DE=AF,在不改变图形的前提下,请你添加一个条件: ,使四边形AEDF是菱形,并写出证明过程.解析添加条件:AE=AF(或AD平分∠BAC等).以AE=AF为例证明.∵DE∥AC,DE=AF,∴四边形AEDF是平行四边形.又∵AE=AF,∴四边形AEDF是菱形.14.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线,与边AD,BC分别交于E,F.连接AF,CE.求证:四边形AFCE是菱形.证明证法一:在平行四边形ABCD中,∵AE∥BC,∴∠EAC=∠FCA.又∵∠AOE=∠COF,AO=CO,∴△AOE≌△COF.∴EA=FC,EO=FO.又EF⊥AC,∴AC垂直平分EF.∴AF=AE,CF=CE,又∵EA=FC,∴AF=AE=CE=CF.∴四边形AFCE是菱形.证法二:同证法一,证得△AOE≌△COF.∴AE=CF.∵AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形.又∵EF垂直平分AC,∴EA=EC,∴四边形AFCE是菱形.证法三:同证法二,证得四边形AFCE是平行四边形.又EF⊥AC,∴四边形AFCE是菱形.15.已知:如图,AF∥DE,AC平分∠BAD交DE于点C,DB平分∠ADC交AF于点B,连接BC.求证:四边形ABCD是菱形.证明∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAB=∠DAB.∵AF∥DE,∴∠DCA=∠CAB,∴∠DAC=∠DCA,∴AD=DC.同理可得∠ADB=∠ADC,AD=AB,∴AB=DC.又∵AF∥DE,∴四边形ABCD为平行四边形,∠ADC+∠DAB=180°, ∴∠ADB+∠DAC=90°,∴DB⊥AC,∴平行四边形ABCD是菱形.。

1.3 解直角三角形第1课时解直角三角形练习题 2020——2021学年浙教版九年级数学下册

1.3解直角三角形第1课时解直角三角形【基础练习】知识点已知一边一角或两边解直角三角形,BC=6,则AB的长为()1.在Rt△ABC中,△C=90°,sin A=35A.4B.6C.8D.102.如图1,在Rt△ABC中,△C=90°,△B=30°,AB=8,则BC的长为()图1A.4√3B.4C.8√3D.4√333.在Rt△ABC中,已知△C=90°,△A=40°,BC=3,则AC等于()A.3sin40°B.3sin50°C.3tan40°D.3tan50°4.在Rt△ABC中,△C=90°,a,b,c分别为△A,△B,△C的对边,c=10,△A=45°,则a=,b=,△B=°.5.在Rt△ABC中,△C=90°,a,b,c分别为△A,△B,△C的对边,a=6,b=2√3,则△B的度数为.6.如图2,在Rt△ABC中,△C=90°,△B=37°,BC=32,则AC的长约为.(结果保留整数,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)图27.如图3所示,AB是伸缩式的遮阳棚,CD是窗户,要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户,则AB的长度是米(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°).图38.如图4,在Rt△ABC 中,△C=90°,a ,b ,c 分别为△A ,△B ,△C 的对边,由下列条件解直角三角形. (1)△A=60°,b=4; (2)a=13,c=√23;(3)c=2√2,△B=30°;(4)a=8,sin B=√22.图49.如图5,在△ABC 中,△ABC=90°,△A=30°,D 是边AB 上一点,△BDC=45°,AD=4,求BC 的长.(结果保留根号)图5【能力提升】10.某简易房的示意图如图6所示,它是一个轴对称图形,则AC的长为()图6A.511sinα米B.511cosα米C.115sinα米D.115cosα米11.等腰三角形的腰长为2√3,底边长为6,则底角等于()A.30°B.45°C.60°D.120°12.[2019·杭州]如图7,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC△OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,△BCO=x,则点A到OC的距离等于()图7A.a sin x+b sin xB.a cos x+b cos xC.a sin x+b cos xD.a cos x+b sin x13.如图8,已知在Rt△ABC中,△ABC=90°,点D沿BC边从点B向点C运动(点D与点B,C不重合),作BE△AD于点E,CF△AD,交AD的延长线于点F,则在点D运动的过程中,BE+CF的值()图8A.不变B.逐渐增大C.逐渐减小D.先增大后减小14.如图9,小明将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠,点B恰好落在AD边上,设此点为F.若AB∶BC=4∶5,则tan△ECB的值为.图915.在学习《解直角三角形》一章时,小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣,进行了一些研究.(1)初步尝试:我们知道:tan60°=,tan30°=,发现结论:tan A2tan A2(填“=”或“≠”).(2)实践探究:如图10△,在Rt△ABC中,△C=90°,AC=2,BC=1,求tan A2的值.小明想构造包含12△A的直角三角形:延长CA至点D,使得DA=AB,连结BD,可得到△D=12△BAC,即转化为求△D的正切值.请按小明的思路进行余下的求解.(3)拓展延伸:如图△,在Rt△ABC中,△C=90°,AC=3,tan A=13.△tan2A=;△求tan3A的值.图10答案1.D2.D3.D4.5√2 5√2 455.30° [解析] ∵tan B=ba ,b=2√3,a=6, ∴tan B=2√36=√33,∴∠B=30°. 6.24 [解析] 因为在Rt △ABC 中,∠C=90°, 所以tan B=ACBC ,即tan37°=AC32, 所以AC=32·tan37°≈32×0.75=24. 7.√38.解:(1)∵∠A=60°,∠C=90°,∴∠B=30°. ∵b=4,cos A=bc,∴4c=12,解得c=8,∴a=√82-42=4√3.(2)∵a=13,c=√23,∴b=√c 2-a 2=13. ∵sin A=a c =13÷√23=√22, ∴∠A=45°,∴∠B=45°. (3)∵∠B=30°,c=2√2,sin B=bc , ∴12=2√2,∠A=60°,∴b=√2,∴a=√c 2-b 2=√(2√2)2-(√2)2=√6. (4)∵sin B=√22,∴∠B=45°, ∴∠A=45°,∴b=a=8, ∴c=√a 2+b 2=8√2.9.解:∵∠ABC=90°,∠BDC=45°, ∴BD=BC.∵∠ABC=90°,∠A=30°, ∴AB=√3BC ,∴AD+BD=√3BC ,即AD+BC=√3BC. 又∵AD=4,∴4+BC=√3BC , 解得BC=2√3+2.10.D [解析] 如图,过点A 作AH ⊥BC 于点H.由题意,得AB=AC ,BC=4+0.2+0.2=4.4(米). ∵AH ⊥BC , ∴BH=CH=2.2米. 在Rt △ABH 中,cos α=BH AB,∴AB=BHcosα=2.2cosα=115cosα(米),即AC=115cosα米. 故选D . 11.A [解析] 如图所示,在△ABC 中,AB=AC=2√3,BC=6,过点A 作AD ⊥BC 于点D , 则BD=12BC=12×6=3.在Rt △ABD 中,cos B=BDAB =2√3=√32,∴∠B=30°.故选A .12.D [解析] 如图,过点A 分别作AE ⊥OC 于点E ,AF ⊥OB 于点F .∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠ABC=90°.∵∠ABC=∠AEC ,∠BCO=x ,∴∠EAB=x,∴∠FBA=x.∵AB=a,AD=b,∴AE=FO=FB+BO=a cos x+b sin x.故选D.13.C[解析] ∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴CF∥BE,∴∠DCF=∠DBE.设∠DCF=∠DBE=α,则CF=CD·cosα,BE=DB·cosα,∴BE+CF=(DB+CD)cosα=BC·cosα.∵∠ABC=90°,∴0°<α<90°,当点D从点B向点C运动时,α是逐渐增大的,∴cosα的值是逐渐减小的,∴BE+CF=BC·cosα的值是逐渐减小的.故选C.14.12[解析] 设AB=4k,则BC=5k.在△DFC中,FC=BC=5k,CD=AB=4k,∴DF=3k,∴AF=2k.由折叠的性质可知∠CFE=∠B=90°,∴∠CFD+∠AFE=90°.又∵∠CFD+∠DCF=90°,∴∠AFE=∠DCF.又∵∠D=∠A=90°,∴△DFC∽△AEF,∴DFAE =FCEF,即3kAE=5k4k-AE,解得AE=1.5k,∴BE=2.5k,∴tan∠ECB=2.5k5k =1 2 .15.解:(1)√3√33≠(2)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,BC=1,∴AB=√AC 2+BC 2=√5. ∵DA=AB ,∴∠D=∠ABD ,CD=DA+AC=√5+2, ∴∠BAC=2∠D , ∴tan A2=tan D=BCCD =√5+2=√5-2.(3)①34 [解析] 如图ⓐ,作AB 的垂直平分线交AC 于点E ,连结BE ,则AE=BE ,∠A=∠ABE ,∴∠BEC=2∠A. ∵在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,tan A=13, ∴BC=1,则AB=√AC 2+BC 2=√10. 设AE=x ,则BE=x ,EC=3-x.在Rt △EBC 中,由勾股定理,得BE 2=EC 2+BC 2,即x 2=(3-x )2+1, 解得x=53,即AE=BE=53,∴EC=43,∴tan2A=tan ∠BEC=BC EC=34.故答案为34.②如图ⓑ,作AB 的垂直平分线交AC 于点E ,连结CE ,作BM 交AC 于点M , 使∠MBE=∠ABE ,则∠BMC=∠A+∠MBA=3∠A. 设EM=y ,则CM=EC -EM=43-y. ∵∠MBE=∠ABE ,∠A=∠ABE ,∴∠A=∠MBE ,∠ABM=2∠A=∠BEC , ∴△ABM ∽△BEM , ∴AB BE =BM EM,即√1053=BM y,∴BM=3√105y. 在Rt △MBC 中,BM 2=CM 2+BC 2, 即3√105y 2=43-y 2+1,整理得117y 2+120y -125=0, 解得y 1=2539,y 2=-53(不合题意,舍去), 即EM=2539,则CM=43-2539=913,∴tan3A=tan ∠BMC=BCCM=1913=139.。

北师大版九年级数学上册全册练习题

北师大版九年级数学上册全册练习题第1课时菱形的性质基础题知识点1菱形的定义1．如图，在□ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴□ABCD是菱形(________________________________________)．(请在括号内填上理由)2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，小聪的说法________(填“正确”或“不正确”)．知识点2菱形的性质3．(泸州中考)菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直4．(长沙中考)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( ) A．1 B. 3 C．2 D．2 35．(黔西南中考)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形的边长AB等于( )A．10 B.7 C．6 D．56．(衢州中考)如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于( )A．63米B．6米C．33米D．3米7．(毕节中考)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )A．3.5 B．4 C．7 D．148．(随州中考)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°.已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是( )A．25 B．20 C．15 D．109．(桂林中考)如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是( ) A．18 B．18 3 C．36 D．36 310．(上海中考)如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是( ) A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍11．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF＝6 cm，则AB＝________cm.12．(广州中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO ＝4，求BD的长．中档题13．(昆明中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA＝OB；③∠ADB＝∠CDB；④△ABC是等边三角形．其中一定成立的是( )A．①②B．③④C．②③D．①③14．(烟台中考)如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )A．28°B．52°C．62°D．72°15．(乌鲁木齐中考)若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3∶1，则菱形的高是________．16．(乐山中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，四边形ADEF是菱形，求证：BE＝CE.17．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．综合题18．(贵阳中考)已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD 于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．参考答案基础题1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.正确3.D4.C5.D6.A7.A8.B9.B 10.B11.1212.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB中，AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3.∴BD＝6.中档题13.D14.C15.216.证明：∵四边形ADEF是菱形，∴DE＝EF，AB∥EF，DE∥AC.∴∠C＝∠BED，∠B＝∠CEF.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠BED＝∠CEF.在△DBE和△FCE中，{∠B＝∠C，∠BED＝∠CEF，DE＝FE，∴△DBE≌△FCE(AAS)．∴BE＝CE.17.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD.又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD.∴四边形BECD是平行四边形．∴BD＝EC.（2）∵四边形BECD是平行四边形，∴BD∥EC.∴∠ABO＝∠E＝50°.又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°.综合题18.(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC.（2）点F是线段BC的中点．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点．第2课时菱形的判定基础题知识点菱形的判定1．(钦州中考)如图，要使□ABCD成为菱形，下列添加的条件正确的是( )A．AC＝ADB．BA＝BCC．∠ABC＝90°D．AC＝BD2．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD 是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为下列说法正确的是( )A．小明、小亮都正确 B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确 D．小明、小亮都错误3．(海南中考)如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是( )A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60° D．∠ACB＝60°4．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形5．如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD 于点F，连接AE，CF.则四边形AECF是( )A．梯形 B．长方形C．菱形 D．正方形6．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于1AB的长为半径画2弧，两弧相交于C，D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是________．7．已知□ABCD两对角线AC、BD相交于点O，AC＝12 cm，BD＝16 cm，AD＝10 cm，则□ABCD 为________．8．(潍坊中考)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________________________________________，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可) 9．(长春中考)如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD 于点G.求证：四边形ACGF是菱形．中档题10．如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形．乙：分别作∠A与∠B的平分线，AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF 是菱形．对于甲、乙两人的作法，可判断( )A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误11．(十堰中考)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是________(只填写序号)．12．(荆门中考)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE ＝CF，DF∥BE，AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD是菱形．13．(黔南中考改编)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF.求证：(1)△AED≌△CFD；(2)四边形AECF是菱形．综合题14．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC 于F，连接DF.(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．参考答案基础题1.B2.B3.B4.B5.C6.菱形7.菱形8.OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC9.证明：∵AF∥CD，FG∥AC，∴四边形ACGF是平行四边形，∠FCG＝∠AFC.∵CE平分∠ACD，∴∠ACF＝∠FCG.∴∠ACF＝∠AFC.∴AC＝AF.∴四边形ACGF是菱形．中档题10.C 11.③12.证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF.∵DF ∥BE ，∴∠BEC ＝∠DFA.∴∠AEB ＝∠CFD. 在△AEB 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD ，∴△AEB ≌△CFD.∴AB ＝CD.∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠DAF.∵∠BAE ＝∠DCF ，∴∠DAF ＝∠DCF.∴DA ＝DC. ∴四边形ABCD 是菱形．13.证明：(1)∵PQ 为线段AC 的垂直平分线， ∴AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDF ＝90°.∵CF ∥AB ，∴∠EAD ＝∠FCD ，∠CFD ＝∠AED. 在△AED 和△CFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAD ＝∠FCD ，∠AED ＝∠CFD ，AD ＝CD ，∴△AED ≌△CFD(AAS)．（2）∵△AED ≌△CFD ，∴DE ＝DF ，AD ＝CD. ∴四边形AECF 是平行四边形．又∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EF ⊥AC. ∴四边形AECF 是菱形．综合题14.证明：(1)∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，AC ＝AC ， ∴△ABC ≌△ADC.∴∠BAC ＝∠DAC. ∵AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ， ∴△ABF ≌△ADF.∴∠AFB ＝∠AFD. 又∵∠CFE ＝∠AFB ， ∴∠AFD ＝∠CFE.（2）∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD. 又∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠ACD. ∴AD ＝CD.又∵AB ＝AD ，CB ＝CD ， ∴AB ＝CB ＝CD ＝AD. ∴四边形ABCD 是菱形．第3课时菱形的性质与判定的运用基础题知识点菱形的性质与判定的运用1．菱形的对角线( )A．相等 B．互相垂直且平分C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分2．如图，添加下列条件仍然不能使□ABCD成为菱形的是( )A．AB＝BC B．AC⊥BDC．∠ABC＝90° D．∠1＝∠23．如图，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则□ABCD的周长为( )A．4 B．6 C．8 D．124．下列命题中，真命题是( )A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．有一条对角线平分对角的四边形是菱形C．菱形是对角线互相垂直平分的四边形D．菱形的对角线相等5．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝120°，则AC的长为( )A．4 3 B．4 C．2 3 D．26．如图，顺次连接四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是( )A．AB∥DC B．AB＝DCC．AC⊥BD D．AC＝BD7．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4 cm，那么四边形AEDF周长为( )A．12 cm B．16 cm C．20 cm D．22 cm8．如图，在△ABC中，AB＜BC＜AC，小华依下列方法作图：①作∠C的角平分线交AB于点D；②作CD的中垂线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是( )A．四边形CEDF为菱形B．DE＝DAC．DF⊥CB D．CD＝BD9．(丹东中考)在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是________．10．(淄博中考)已知□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为一个菱形．你添加的条件是________________．11．(泸州中考)一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和25，则它的面积为________．12．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C.连接AC、BC、AB、OC.若AB＝2 cm，四边形OACB的面积为4 cm2.则OC的长为______cm.13．如图，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点．(1)求证：四边形BDEF是菱形；(2)若AB＝10 cm，求菱形BDEF的周长．中档题14．(兰州中考)如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，连接EF，则△AEF的面积是( )A．4 3 B．3 3 C．2 3 D. 3 15．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是________．(填序号)①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AC＝6.过点D作DE∥AC 交BC的延长线于点E.求△BDE的周长．17．(贵阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，CD.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．综合题18．(临沂中考)对一张长方形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2.(1)证明：∠ABE＝30°；(2)证明：四边形BFB ′E 为菱形．参考答案基础题1.B2.C3.C4.C5.A6.D7.B8.A9.20 10.AC ⊥BD ，AB ＝AD 等 11.4 5 12.4 13.(1)证明：∵E 、F 分别是AC 、AB 的中点， ∴EF ＝12BC ，EF ∥CB.又∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点， ∴DE ＝12AB ，DE ∥AB.∴四边形BDEF 是平行四边形．又∵AB ＝BC ，∴EF ＝DE. ∴四边形BDEF 是菱形．（2）∵F 是AB 的中点， ∴BF ＝12AB.又∵AB ＝10 cm ，∴BF ＝5 cm. 又∵四边形BDEF 是菱形， ∴BD ＝DE ＝EF ＝BF.∴四边形BDEF 的周长为4×5＝20(cm)．中档题14.B 15.①②④16.在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝5，AC ＝6， ∴AO ＝12AC ＝3，且AC ⊥BD.∵OA ＝3，AB ＝5，∴BO ＝AB 2－AO 2＝4.∴BD ＝8. ∵DE ∥AC 且AD ∥CE ，∴四边形ACED 为平行四边形． ∴DE ＝AC ＝6，CE ＝AD ＝5.∴BE ＝10. ∴△BDE 的周长为6＋8＋10＝24.17.(1)证明：∵△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，∴AE ＝CE ，DE ＝EF ，即AC 与DF 互相平分．∴四边形ADCF 是平行四边形． ∵D ，E 两点分别为AB ，AC 边上的中点，∴DE ∥BC. 又∵∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝∠ACB ＝90°，即DF ⊥AC. ∴四边形ADCF 是菱形．（2）在Rt △ABC 中，BC ＝8，AC ＝6， ∴AB ＝BC 2＋AC 2＝82＋62＝10.又∵点D 是AB 边上的中点，∴AD ＝12AB ＝5.∵四边形ADCF 是菱形，∴AF ＝FC ＝AD ＝5.∴四边形ABCF 的周长为AB ＋BC ＋CF ＋AF ＝10＋8＋5＋5＝28. 综合题18.证明：(1)∵第二步折叠，使点A 落在MN 上的点A ′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BE ，∴∠AEB ＝∠A ′EB.∵第三步折叠，点B 落在AD 上的点B ′处，得到折痕EF ，同时得到线段B ′F ， ∴∠A ′EB ＝∠FEB ′.∵∠AEB ＋∠A ′EB ＋∠FEB ′＝180°， ∴∠AEB ＝∠A ′EB ＝∠FEB ′＝60°. ∴∠ABE ＝30°.（2）∵∠A ′EB ＝∠FEB ′＝60°，EB ′∥BF ， ∴∠A ′EB ＝∠FEB ′＝∠BFE ＝∠EFB ′＝60°. ∴△BEF 和△EFB ′是等边三角形． ∴BE ＝BF ＝EF ＝EB ′＝FB ′. ∴四边形BFB ′E 为菱形．第1课时矩形的性质基础题知识点1 矩形的定义1．已知四边形ABCD，若AB∥CD，AD∥BC，且∠A＝90°，则四边形ABCD为________．知识点2 矩形的性质2．下列命题是假命题的是( )A．矩形的对角线相等B．矩形的对边相等C．矩形的对角线互相平分D．矩形的对角线互相垂直3．(黄石中考)如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( )A．30° B．60° C．90° D．120°4．(益阳中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是( ) A．∠ABC＝90° B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD5．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE 的周长是( )A．4 B．6 C．8 D．106．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED＝90°，AD＝10，则AB的长为________．7．(济南中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝4，∠AOD＝120°，求AC的长．8．(钦州中考)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE＝BF.知识点3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半9．小明、小强、小刚家在如图所示的点A、B、C三个地方，它们的连线恰好构成一个直角三角形，B，C之间的距离为5 km，新华书店恰好位于斜边BC的中点D，则新华书店D与小明家A的距离是( )A．2.5 km B．3 km C．4 km D．5 km10．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A．20 B．18 C．14 D．1311.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB＝OA＝2 cm，则AD的长为________．中档题12．(鄂尔多斯中考)如图，P 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，E 是AD 的中点．若AB ＝6，AD ＝8，则四边形ABPE 的周长为( )A ．14B ．16C ．17D ．1813．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为( )A ．3B ．3.5C ．2.5D ．2.814．如图所示，一根长a m 的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P ，若木棍A 端沿墙下滑，且B 端沿地面向右滑行．请判断木棍滑动的过程中，点P 到点O 的距离________(填“发生”或“不发生”)变化．15．(苏州中考)如图，在矩形ABCD 中，AB BC ＝35，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AD于点E.若AE ·ED ＝43，则矩形ABCD 的面积为________．16．(宁夏中考)如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE ＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为F.求证：DF ＝DC.17．(沈阳中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.求证：OE＝OF.综合题18．(玉林、防城港中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ.(1)当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；(2)取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．参考答案基础题1.矩形2.D3.C4.D5.C6.57.∵四边形ABCD 是矩形， ∴OA ＝OB ＝OC ＝OD.∵∠AOD ＝120°，∴∠AOB ＝60°. ∴△AOB 是等边三角形． ∴AO ＝AB ＝4. ∴AC ＝2AO ＝8.8.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD.又E 、F 分别是边AB 、CD 的中点， ∴DF ＝BE. 又AB ∥CD ，∴四边形DEBF 是平行四边形．∴DE ＝BF.9.A 10.C 11.2 3 cm 中档题12.D 13.C 14.不发生 15.5 16.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B ＝90°. ∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB. 又∵AD ＝AE ，∴△ADF ≌△EAB(AAS)． ∴DF ＝AB.∴DF ＝DC.17.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝∠BCD ＝90°，AC ＝BD ，OD ＝12BD ，OC ＝12AC.∴OD ＝OC.∴∠ODC ＝∠OCD.∴∠ADC －∠ODC ＝∠BCD －∠OCD ，即∠EDO ＝∠FCO. 在△ODE 与△OCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝CF ，∠EDO ＝∠FCO ，OD ＝OC ，∴△ODE ≌△OCF(SAS)．∴OE ＝OF.综合题18.(1)当△CDQ ≌△CPQ 时，DQ ＝PQ ，CP ＝CD ＝5，在Rt △BCP 中，有PB ＝CP 2－BC 2＝52－32＝4，∴AP ＝1. 在Rt △APQ 中，设AQ ＝x ，则PQ ＝DQ ＝3－x.根据勾股定理，得AQ 2＋AP 2＝PQ 2，即x 2＋12＝(3－x)2.解得x ＝43，即AQ ＝43.（2）过M 作EF ⊥CD 于F ，则EF ⊥AB.∵MD ⊥MP ，∴∠PMD ＝90°.∴∠PME ＋∠DMF ＝90°. ∵∠FDM ＋∠DMF ＝90°，∴∠MDF ＝∠PME. ∵M 是QC 的中点，∴DM ＝PM ＝12QC.在△MDF 和△PME 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MDF ＝∠PME ，∠DFM ＝∠MEP ，DM ＝PM ，∴△MDF ≌△PME(AAS)．∴ME ＝DF ，PE ＝MF. ∵EF ⊥CD ，AD ⊥CD ， ∴EF ∥AD. ∵QM ＝MC ， ∴DF ＝CF ＝12DC ＝52，∴ME ＝52，FM ＝3－52＝12.∵FM 是△CDQ 的中位线， ∴DQ ＝2×12＝1.∴AQ ＝2.第2课时矩形的判定基础题知识点1 对角线相等的平行四边形是矩形1．下列命题中正确的是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形2．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝2，若要使□ABCD为矩形，则OB 的长应该为( )A．4 B．3 C．2 D．13．(娄底中考)如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________________________________(添加一个条件即可)．4．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF.当∠ACB 为________度时，四边形ABFE为矩形．5．已知，如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB.求证：四边形ABCD是矩形．知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形6．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量其中三个角是否都为直角D．测量对角线是否相等7．(来宾中考)顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是________．8．如图，已知MN∥PQ，EF与MN、PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，交于B、D，则四边形ABCD是______．9．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．中档题10．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：甲：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧；(2)以点A为圆心，BC长为半径画弧；(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1)．乙：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；(2)连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图2)．图1 图2对于两人的作业，下列说法正确的是( )A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对11．已知□ABCD的对角线交于O点，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC ＝BD；④OA＝OD，使□ABCD是矩形的条件的序号是________．12．(聊城中考)如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE 交BC于点F，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．13．(巴中中考)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是________，并证明．(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．综合题14．(张家界中考)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．参考答案基础题1.C2.C3.∠ABC ＝90°或AC ＝BD(不唯一)4.605.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO ＝CO ，BO ＝DO. 又∵∠OBC ＝∠OCB ， ∴OB ＝OC.∴AO ＝BO ＝CO ＝DO.∴AO ＋CO ＝BO ＋DO ，即AC ＝BD. ∴四边形ABCD 是矩形． 6.C 7.矩形 8.矩形9.证明：∵四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°， ∴∠ADC ＝90°.又∵在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即△ABC 是直角三角形，且∠B ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形．中档题10.A 11.①③④12.证明：∵AB ＝BC ，BD 平分∠ABC ， ∴BD ⊥AC ，AD ＝DC.∵四边形ABED 是平行四边形， ∴BE ∥AC ，BE ＝AD. 又AD ＝DC ， ∴DC ＝BE.∴四边形BECD 是平行四边形.又BD ⊥AC ，∴四边形BECD 是矩形． 13.EF ＝FH14.(1)证明：∵点H 是BC 的中点，∴BH ＝CH. 在△BEH 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧BH ＝CH ，∠BHE ＝∠CHF ，EH ＝FH ，∴△BEH ≌△CFH(SAS)．(2)连接BF ，CE.当BH ＝EH 时，四边形BFCE 是矩形．理由：∵BH ＝CH ，EH ＝FH ， ∴四边形BFCE 是平行四边形．又∵当BH ＝EH ，∴BC ＝EF. ∴平行四边形BFCE 为矩形．综合题14.(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ， ∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO.∴OF ＝OC. 同理：OC ＝OE.∴OE ＝OF.(2)由(1)知：OF ＝OC ，OC ＝OE ，∴∠OCF ＝∠OFC ，∠OCE ＝∠OEC.∴∠OCF ＋∠OCE ＝∠OFC ＋∠OEC.而∠OCF ＋∠OCE ＋∠OFC ＋∠OEC ＝180°， ∴∠ECF ＝∠OCF ＋∠OCE ＝90°. ∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13.∴OC ＝12EF ＝132.(3)连接AE 、AF.当点O 移动到AC 中点时，四边形AECF 为矩形．理由如下：由(1)知OE ＝OF ，当点O 移动到AC 中点时，有OA ＝OC ， ∴四边形AECF 为平行四边形．又∵∠ECF ＝90°， ∴四边形AECF 为矩形．第3课时矩形的性质与判定的运用基础题知识点矩形的性质与判定的运用1．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC＝( )A．8 B．10 C．12 D．182．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( ) A．AB＝CD B．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BD3．下列说法正确的是( )A．矩形的对角线互相平分B．矩形的四条边相等C．有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论不正确的是( )A．AC⊥BD B．AC＝BDC．BO＝DO D．AO＝CO5．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为正确的是( ) A．甲量得窗框两组对边分别相等B．乙量得窗框对角线相等C．丙量得窗框的一组邻边相等D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等6．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合(点C在正半轴上)，AB＝5，BC＝12，点A表示的数是－1，则对角线AC、BD的交点表示的数是( )A．5.5 B．5 C．6 D．6.57．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD＝60°，OE⊥AC.若AD＝3，则OE＝( ) A．1 B．2 C．3 D．48．木工做一个矩形桌面，量得桌面的两组对边长分别为15 cm，8 cm，对角线为17 cm，则这个桌面______(填“合格”或“不合格”)．9．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°.则∠ODC＝________．10．将一个含30°的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为________．11．(海南中考)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，则图中四个小矩形的周长之和为________．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD.求证：EF＝CD.中档题13．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．15．如图所示，□ABCD中，AQ，BN，CN，DQ分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程．(要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件)综合题16．如图，已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P在AB上(不与A、B重合)，过P 作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF，M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．参考答案基础题1.C2.D3.A4.A5.D6.A7.A8.合格9.25° 10.15° 11.14 12.证明：∵DE 、DF 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ，DF ∥AC.∴四边形DECF 是平行四边形．又∵∠ACB ＝90°， ∴四边形DECF 是矩形． ∴EF ＝CD. 中档题13.A 14.415.结论：四边形PQMN 是一个矩形．理由如下：∵四边形ABCD 是一个平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠DAB ＋∠ABC ＝180°.又∵AQ ，BN 分别是∠DAB ，∠ABC 的角平分线， ∴∠PBA ＝12∠ABC ，∠PAB ＝12∠BAD.∴∠PBA ＋∠PAB ＝12(∠ABC ＋∠BAD)＝12×180°＝90°.∴∠APB ＝90°.同理：∠BNM ＝∠AQD ＝90°. ∴四边形PQMN 是矩形．综合题16.(1)四边形PECF 是矩形．理由如下：在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 2＋BC 2＝32＋42＝52＝AB 2.∴∠ACB ＝90°. ∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，∴∠PEC ＝∠ACB ＝∠CFP ＝90°. ∴四边形PECF 是矩形．（2）CM 的长度会改变．理由：连接PM ，由(1)证得四边形PECF 是矩形， ∴EF ＝PC ，CM ＝12CP.过点C 作CD ⊥AB ，当CD ＝PC 时PC 最小，∴PC ＝AC ·BC AB ＝125＝2.4.∵点P 在斜边AB 上(不与A 、B 重合)，∴PC ＜BC ＝4.∴PC 的范围是2.4≤PC ＜4，即EF 的范围是2.4≤EF ＜4. ∴CM 的范围是1.2≤CM ＜2.第1课时正方形的性质基础题知识点1 正方形的定义1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD的形状是( ) A．平行四边形 B．矩形C．菱形 D．正方形2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF、CD，如果AC＝BC，那么四边形DECF是________．知识点2 正方形的性质3．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于( )A．30° B．45° C．60° D．75°4．正方形是轴对称图形，它的对称轴共有( )A．1条 B．2条C．3条 D．4条5．(吉林中考)如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为( )A．1 B．2 C．3 D．3 26．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A．四个角都相等 B．四边都相等C．对角线相等 D．对角线互相平分7．(凉山中考)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A．14 B．15C．16 D．178．(来宾中考)正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是( )A．8 B．4 2C．8 2 D．169．(苏州中考)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，则正方形ABCD的周长为________．10．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是________．11．(泸州中考)如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G.求证：AE＝BF.中档题12．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为(1，3)，则点C的坐标为( )A．(3，1) B．(－1，3)C．(－3，1) D．(－3，－1)13．(龙岩中考)如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝( )A. 2B．2 2C．2D．114．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1915．如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE＝3，则线段BE的长为________．16．(宿迁中考)如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________．17．(广安中考)如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP，DP，延长BC 到E，使PB＝PE.求证：∠PDC＝∠PEC.18．(鄂州中考)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.(1)求证：BE＝CE；(2)求∠BEC的度数．综合题19．已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.(1)如图1，当P点在线段AB上时，PE＋PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明；(2)如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值．参考答案基础题1.D2.正方形3.B4.D5.C6.B7.C8.A9.4 10.22.5° 11.证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ＝90°. ∵AE ⊥BF ，∴∠ABG ＋∠BAE ＝90°. 又∵∠ABG ＋∠CBF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF.∴△ABE ≌△BCF(ASA)． ∴AE ＝BF. 中档题12.C 13.B 14.B 15.5 16. 5 17.证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠BCP ＝∠DCP.在△BCP 和△DCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝CD ，∠BCP ＝∠DCP PC ＝PC ，，∴△BCP ≌△DCP(SAS)．∴∠PDC ＝∠PBC. ∵PB ＝PE ，∴∠PBC ＝∠PEC. ∴∠PDC ＝∠PEC.18.(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°. ∵三角形ADE 为正三角形，∴AE ＝AD ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°. ∴∠BAE ＝∠CDE ＝150°.在△BAE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△BAE ≌△CDE(SAS)．∴BE ＝CE.（2）∵AB ＝AD ，AD ＝AE ， ∴AB ＝AE.∴∠ABE ＝∠AEB. 又∵∠BAE ＝150°， ∴∠ABE ＝∠AEB ＝15°. 同理：∠CED ＝15°.∴∠BEC ＝60°－15°×2＝30°. 综合题19.(1)是定值．∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF∥AC.同理：PE∥BD.∴四边形PFOE为矩形．∴PE＝OF.又∵∠PBF＝45°，∴PF＝BF.∴PE＋PF＝OF＋FB＝OB＝22a.（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.∵PF⊥BD，∴PF∥AC.同理：PE∥BD.∴四边形PFOE为矩形．∴PE＝OF.又∵∠PBF＝∠ABO＝45°，∴PF＝BF.∴PE－PF＝OF－BF＝OB＝2 2a第2课时正方形的判定基础题知识点正方形的判定1．下列说法不正确的是( )A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．有一个角是直角的平行四边形是正方形D．一组邻边相等的矩形是正方形2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形3．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A．∠D＝90° B．AB＝CDC．AD＝BC D．BC＝CD4．下列说法不正确的是( )A．两条对角线互相垂直的矩形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形C．两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形D．两条对角线垂直且相等的四边形是正方形5．(威海中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )A．BC＝AC B．CF⊥BFC．BD＝DF D．AC＝BF6．如图，将矩形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形。

人教版初三上册《全册课时练》(详尽答案84页)

重点中学教学资源整理人教版初三上册全册课时练（精编答案版共84页）22.1一元二次方程◆随堂检测1、判断下列方程，是一元二次方程的有____________.（1）32250x x -+=；（2）21x =；（3）221352245x x x x --=-+；（4）22(1)3(1)x x +=+；（5）2221x x x -=+；（6）20ax bx c ++=.（提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.） 2、下列方程中不含一次项的是（）A ．x x 2532=-B ．2916x x =C ．0)7(=-x xD ．0)5)(5(=-+x x3、方程23(1)5(2)x x -=+的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________. 4、1、下列各数是方程21(2)23x +=解的是（） A 、6 B 、2 C 、4 D 、05、根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x . （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x .（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x .◆典例分析已知关于x 的方程22(1)(1)0m x m x m --++=．（1）x 为何值时，此方程是一元一次方程？（2）x 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。

分析：本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解.解：（1）由题意得，21010m m ⎧-=⎨+≠⎩时，即1m =时，方程22(1)(1)0m x m x m --++=是一元一次方程210x -+=.（2）由题意得，2(1)0m -≠时，即1m ≠±时，方程22(1)(1)0m x m x m --++=是一元二次方程.此方程的二次项系数是21m -、一次项系数是(1)m -+、常数项是m .◆课下作业●拓展提高1、下列方程一定是一元二次方程的是（） A 、22310x x+-= B 、25630x y --= C 、220ax x -+= D 、22(1)0a x bx c +++= 2、2121003m x x m -++=是关于x 的一元二次方程，则x 的值应为（） A 、m ＝2 B 、23m =C 、32m = D 、无法确定 3、根据下列表格对应值：判断关于x 的方程0,(0)ax bx c a ++=≠的一个解的范围是（） A 、x ＜3.24 B 、3.24＜x ＜3.25 C 、3.25＜x ＜3.26 D 、3.25＜x ＜3.284、若一元二次方程20,(0)ax bx c a ++=≠有一个根为1，则=++c b a _________；若有一个根是-1，则b 与a 、c 之间的关系为________；若有一个根为0，则c=_________.5、下面哪些数是方程220x x --=的根？-3、-2、-1、0、1、2、3、6、若关于x 的一元二次方程012)1(22=-++-m x x m 的常数项为0，求m 的值是多少？●体验中考1、（2009年，武汉）已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（）A ．-3B ．3C ．0D ．0或3 （点拨：本题考查一元二次方程的解的意义.）2、（2009年，日照）若(0)n n ≠是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m n +的值为（） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2（提示：本题有两个待定字母m 和n ，根据已知条件不能分别求出它们的值，故考虑运用整体思想，直接求出它们的和.）参考答案： ◆随堂检测1、（2）、（3）、（4）（1）中最高次数是三不是二；（5）中整理后是一次方程；（6）中只有在满足0a ≠的条件下才是一元二次方程．2、D 首先要对方程整理成一般形式，D 选项为2250x -=.故选D.3、3；-11；-7 利用去括号、移项、合并同类项等步骤，把一元二次方程化成一般形式231170x x --=，同时注意系数符号问题.4、B 将各数值分别代入方程，只有选项B 能使等式成立．故选B.5、解：（1）依题意得，2425x =，化为一元二次方程的一般形式得，24250x -=. （2）依题意得，(2)100x x -=，化为一元二次方程的一般形式得，221000x x --=. （3）依题意得，222(2)10x x +-=，化为一元二次方程的一般形式得，22480x x --=.◆课下作业 ●拓展提高1、D A 中最高次数是三不是二；B 中整理后是一次方程；C 中只有在满足0a ≠的条件下才是一元二次方程；D 选项二次项系数2(1)0a +≠恒成立.故根据定义判断D.2、C 由题意得，212m -=，解得32m =.故选D. 3、B 当3.24＜x ＜3.25时,2ax bx c ++的值由负连续变化到正,说明在3.24＜x ＜3.25范围内一定有一个x 的值,使20ax bx c ++=,即是方程20ax bx c ++=的一个解.故选B. 4、0；b a c =+；0 将各根分别代入简即可.5、解：将3x =-代入方程，左式=2(3)(3)20----≠，即左式≠右式.故3x =-不是方程220x x --=的根.同理可得2,0,1,3x =-时,都不是方程220x x --=的根.当1,2x =-时,左式=右式.故1,2x =-都是方程220x x --=的根.6、解:由题意得，21010m m ⎧-=⎨-≠⎩时，即1m =-时，012)1(22=-++-m x x m 的常数项为0.●体验中考1、A 将2x =带入方程得4220m ++=，∴3m =-.故选A.2、D 将x n =带入方程得220n mn n ++=，∵0n ≠，∴20n m ++=，∴2m n +=-.故选D.22.2 二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程●基础训练1.已知二次函数y=ax 2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1)(4)当x_____时,y 随x 的增大而减小. 当x_____时,y 随x 的增大而增大.(5)抛物线与x 轴交点坐标A_______,B________; 与y 轴交点C 的坐标为_______;ABC S ∆=_________,ABP S ∆=________.(6)当y>0时,x 的取值范围是_________;当y<0时,x 的取值范围是_________.(7)方程ax 2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax 2-5x+c=0的两根分别为_____,____. (8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0. 2.已知下表:(1)求a 、b 、c 的值，并在表内空格处填入正确的数； (2)请你根据上面的结果判断:①是否存在实数x,使二次三项式ax 2+bx+c 的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.②画出函数y=ax 2+bx+c 的图象示意图,由图象确定,当x 取什么实数时,ax 2+ bx+c>0?3.请画出适当的函数图象,求方程x 2=12x+3的解.4.若二次函数y=-12x2+bx+c的图象与x轴相交于A(-5,0),B(-1,0).(1)求这个二次函数的关系式;(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?5.已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.(1)请你以汽车刹车时的车速V为自变量,刹车距离s为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.●能力提升6.如图所示,矩形ABCD的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.(1)求矩形各顶点坐标;(2)若直线y=x-2与y轴交于点E,抛物线过E、A、B三点,求抛物线的关系式;80(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD 内部,并说明理由.C BAxO D y E7.已知一条抛物线经过A(0,3),B(4,6)两点,对称轴是x=53. (1)求这条抛物线的关系式.(2)证明:这条抛物线与x 轴的两个交点中,必存在点C,使得对x 轴上任意点D 都有AC+BC≤AD+BD.8.如图所示,一位篮球运动员在离篮圈水平距离为4m 处跳起投篮,球沿一条抛物线运行,当球运行的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.已知篮圈中心离地面距离为3.05m. (1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线所对应的函数关系式;(2)若该运动员身高1.8m,这次跳投时,球在他头顶上方0.25m 处出手.问:球出手时,他跳离地面多高?3.05m4m2.5mxOy9.某工厂生产A 产品x 吨所需费用为P 元,而卖出x 吨这种产品的售价为每吨Q 元, 已知P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. (1)该厂生产并售出x 吨,写出这种产品所获利润W(元)关于x(吨)的函数关系式;(2)当生产多少吨这种产品,并全部售出时,获利最多?这时获利多少元? 这时每吨的价格又是多少元?10.已知抛物线y=2x 2-kx-1与x 轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k 的取值范围.11.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC>AC,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2= 17, 且线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2(m-3)=0的两个根.(1)求C 点的坐标;(2)以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E,求过A 、B 、E 三点的抛物线的关系式,并画出此抛物线的草图.(3)在抛物线上是否存在点P ,使△ABP 与△ABC 全等?若存在,求出符合条件的P 点的坐标;若不存在,说明理由.●综合探究12.已知抛物线L;y=ax 2+bx+c(其中a 、b 、c 都不等于0), 它的顶点P 的坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,与y 轴的交点是M(0,c)我们称以M 为顶点,对称轴是y 轴且过点P 的抛物线为抛物线L 的伴随抛物线,直线PM 为C BAE xOy E 'L的伴随直线.(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式:伴随抛物线的关系式_________________伴随直线的关系式___________________(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3, 则这条抛物线的关系是___________:(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0) 的伴随抛物线和伴随直线的关系式;(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点x2>x1>0,它的伴随抛物线与x 轴交于C,D两点,且AB=CD,请求出a、b、c应满足的条件.答案：1.(1)a=1;c=4 (2)直线x=52,59,24⎛⎫-⎪⎝⎭(3)小;52;94-(4)55;22≤≥(5)(1,0);(4,0);(0,4); 6;278; (6)x<1或x>4;1<x<4(7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>2.(1)由表知,当x=0时,ax2+bx+c=3;当x=1时,ax2=1;当x=2时,ax2+bx+c=3.∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2. (2)①在x 2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0, ∴不存在实数x 能使ax 2+bx+c=0.②函数y=x 2-2x+3的图象示意图如答图所示, 观察图象得出,无论x 取什么实数总有ax 2+bx+c>0. 3.:在同一坐标系中如答图所示,画出函数y=x 2的图象,画出函数y=12x+3 的图象, 这两个图象的交点为A,B,交点A,B 的横坐标32-和2就是方程x 2=12x+3的解.4.:(1)∵y=12-x 2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得∴()221(5)5021(1)(1)02b c b c ⎧⎛⎫-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎩,352a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,∴y=215322x x ---. (2)∵y=215322x x ---=21(3)22x -++∴顶点坐标为(-3,2),∴欲使函数的图象与x 轴只有一个交点,应向下平移2个单位. 5.:(1)函数的图象如答图所示.(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av 2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av 2+bv+c,得222484822.5646436969672a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得35123160a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩.632BAxyO∴23351216s v v =+ (4)当v=80时, 223333808052.55121651216v v +=⨯+⨯=∵s=52.5, ∴23351216s v v =+当v=112时, 22333311211294.55121651216v v +=⨯+⨯=∵s=94.5,∴23351216s v v =+经检验,所得结论是正确的.6.:(1)如答图所示.∵y=x-2,AD=BC=2,设C 点坐标为(m,2), 把C(m,2)代入y=x-2,2=m-2.∴m=4.∴C(4,2),∴OB=4,AB=3.∴OA=4-3=1, ∴A(1,0),B(4,0),C(4,2),D(1,2).(2)∵y=x-2,∴令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).设经过E(0,-2),A(1,0),B(4,0) 三点的抛物线关系式为y=ax 2+bx+c,∴201640c a b c a b c =-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得12522a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴y=215222x x -+-. (3)抛物线顶点在矩形ABCD 内部. ∵y=215222x x -+-, ∴顶点为59,28⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵5142<<, ∴顶点59,28⎛⎫⎪⎝⎭在矩形ABCD 内部. 7.(1)解:设所求抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c,∵A(0,3),B(4,6),对称轴是直线x=53. ∴31646523c a b c b a ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩, 解得981543a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴y=2915384x x -+. (2)证明:令y=0,得2915384x x -+=0, ∴ 124,23x x ==∵A(0,3),取A 点关于x 轴的对称点E,∴E(0,-3).设直线BE 的关系式为y=kx-3,把B(4,6)代入上式,得6=4k-3,∴k=94,∴y=94x-3 . 由 94x-3=0,得x=43.故C 为4,03⎛⎫⎪⎝⎭,C 点与抛物线在x 轴上的一个交点重合,在x 轴上任取一点D,在△BED 中,BE< BD+DE. 又∵BE=EC+BC,EC=AC,ED=AD ,∴AC+BC<A D+BD. 若D 与C 重合,则AC+BC=AD+BD. ∴AC+BC≤AD+BD. 8:(1)图中各点字母表示如答图所示.∵OA=2.5,AB=4,∴OB=4-2.5=1.5. ∴点D 坐标为(1.5,3.05). ∵抛物线顶点坐标(0,3.5),∴设所求抛物线的关系式为y=a x 2+3.5, 把D(1.5, 3.05)代入上式,得3.05=a×1.52+3.5, ∴a=-0.2,∴y=-0.2x 2+3.5(2)∵OA=2.5,∴设C 点坐标为(2.5,m),∴把C(2.5,m)代入y=-0.2x 2+3.5, 得m=- 0.2×2.52+3.5=2.25.3.05m4m2.5m xOyBDA∴该运动员跳离地面高度h=m-(1.8+0.25)=2.25-(1.8+0.25)=0.2(m).9:(1)∵P=110x 2+5x+1000,Q=-30x+45. ∴W=Qx-P=(-30x+45)-(110x 2+5x+1000)= 224010015x x -+-.(2)∵W=224010015x x -+-=-215(x-150)2+2000.∵-215<0,∴W 有最大值.当x=150吨时,利润最多,最大利润2000元. 当x=150吨,Q=-30x+45=40(元). 10:∵y=2x 2-kx-1,∴△=(-k)2-4×2×(-1)=k 2+8>0,∴无论k 为何实数, 抛物线y=2x 2-kx-1与x 轴恒有两个交点. 设y=2x 2-kx-1与x 轴两交点的横坐标分别为x 1,x 2,且规定x 1<2,x 2> 2, ∴x 1-2<0,x 2-2>0.∴(x 1-2)(x 2-2)<0,∴x 1x 2-2(x 1+x 2)+4<0.∵x 1,x 2亦是方程2x 2-kx-1=0的两个根,∴x 1+x 2=2k ,x 1²x 2=-12, ∴124022k --⨯+<,∴k>72.∴k 的取值范围为k>72.法二:∵抛物线y=2x 2-kx-1与x 轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,∴此函数的图象大致位置如答图所示. 由图象知:当x=2时,y<0. 即y=2×22-2k-1<0,∴k>72.∴k 的取值范围为k>72. 11:(1)线段OA,OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx+2(m-3)=0 的两个根,∴(1)2(3)(2)OA OB m OA OB m +=⎧⎨=-⎩又∵OA 2+OB 2=17,∴(OA+OB)2-2²OA ²OB=17.③把①,②代入③,得m 2-4(m-3) =17,∴m 2-4m-5=0.解之,得m=-1或m=5.又知OA+OB=m>0,∴m=-1应舍去.∴当m=5时,得方程:x 2-5x+4=0,解之,得x=1或x=4. ∵BC>AC,∴OB>OA,∴OA=1,OB=4,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CO ⊥AB, ∴OC 2=OA ²OB=1×4=4.∴OC=2,∴C(0,2) (2)∵OA=1,OB=4,C,E 两点关于x 轴对称, ∴A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).设经过A,B,E 三点的抛物线的关系式为y=ax 2+bx+c,则016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩ ,解之,得12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴所求抛物线关系式为y=213222x x --. (3)存在.∵点E 是抛物线与圆的交点. ∴Rt △ACB ≌Rt △AEB,∴E(0,-2)符合条件. ∵圆心的坐标(32,0 )在抛物线的对称轴上. ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称. ∴点E 关于抛物线对称轴的对称点E′也符合题意. ∴可求得E′(3,-2).∴抛物线上存在点P 符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2) 12.(1)y=-2x 2+1,y=-2x+1. (2)y=x 2-2x-3(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c), ∴设它的解析式为y=m(x-0)2+c(m≠0).∴设抛物线过P 24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,∴22442ac b b m c a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭解得m=-a,∴伴随抛物线关系式为y=-ax 2+c. 设伴随直线关系式为y=kx+c(k≠0).∵P 24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在此直线上,∴2442acb b kc a a -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ , ∴k=2b . ∴伴随直线关系式为y=2bx+c (4)∵抛物线L 与x 轴有两交点,∴△1=b 2-4ac>0,∴b 2<4ac.∵x 2>x 1>0,∴x 1+ x 2= -b a >0,x 1x 2=ca>0,∴ab<0,ac>0.对于伴随抛物线y=-ax 2+c,有△2=02-(-4ac)=4ac>0.由-ax 2+c=0,得x=∴,C D ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭,∴又AB=x 2-x 1=.由AB=CD ,得整理得b 2=8ac,综合b 2>4ac,ab<0,ac>0,b 2=8ac,得a,b,c 满足的条件为b 2=8ac 且ab<0,(或b 2=8ac 且bc<0).第1课时二次函数与一元二次方程●基础练习1.如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______.2.二次函数y =－2x 2+x －21，当x =______时，y 有最______值，为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”).3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示.①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y >0.x4.0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可)5.不论自变量x取什么实数，二次函数y=2x2－6x+m的函数值总是正值，你认为m的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x2－6x+m=0的解的情况是______(填“有解”或“无解”).6.某一抛物线开口向下，且与x轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).7.如图2，一小孩将一只皮球从A处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A距地面的距离OA为1 m，球路的最高点B(8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m).8.若抛物线y=x2－(2k+1)x+k2+2，与x轴有两个交点，则整数______.9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图1所示，由抛的特征你能得到含有a、b、c三个字母的等式或不等式为写出一个即可).10.等腰梯形的周长为60 cm，底角为60°，当梯形腰时，梯形面积最大，等于______.11.找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上.(1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______.(2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是______.(4)在220 V电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.A B D12.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个.若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为______元.13.关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（）①当c =0时，函数的图象经过原点; ②当b =0时，函数的图象关于y 轴对称;③函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442;④当c >0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 14.已知抛物线y =ax 2+bx +c 如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c －8=0的根的情况是A.有两个不相等的正实数根 ;B.有两个异号实数根;C.有两个相等的实数根;D.没有实数根.15.抛物线y =kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A.k >－47; B.k ≥－47且k ≠0; C.k ≥－47; D.k >－47且k ≠0 16.如图6所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形A BCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( ) A.424 m B.6 m C.15 mD.25m图17.二次函数y =x 2－4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为( )A.1B.3C.4D.618.无论m 为任何实数，二次函数y =x 2+(2－m )x +m 的图象总过的点是( )A.(－1，0);B.(1，0)C.(－1，3) ;D.(1，3)19.为了备战2008奥运会，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高(球门横梁底侧高)入网.若足球运行的路线是抛物线y =ax 2+bx +c (如图5所示)，则下列结论正确的是( ) ①a <－601 ②－601<a <0 ③a －b +c >0 ④0<b <－12a A.①③B.①④C.②③D.②④20.把一个小球以20 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h=20t －5t 2.当h=20 m 时，小球的运动时间为（） A.20 sB.2 sC.(22+2) sD.(22－2) s21.如果抛物线y=－x 2+2(m －1)x+m+1与x 轴交于A 、B 两点，且A 点在x 轴正半轴上，B 点在x 轴的负半轴上，则m 的取值范围应是( ) A.m>1B.m>－1C.m<－1D.m<122.如图7，一次函数y=－2x+3的图象与x 、y 轴分别相交于A 、C 两点，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点c 且与一次函数在第二象限交于另一点B ，若AC ∶CB=1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为( ) A.(－21，411) B.(－21，45) C.(21，411) D.(21，－411) 23.某乡镇企业现在年产值是15万元，如果每增加100元投资，一年增加250元产值，那么总产值y(万元)与新增加的投资额x(万元)之间函数关系为( )A.y=25x+15B.y=2.5x+1.5C.y=2.5x+15D.y=25x+1.5 24.如图8，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=－121x 2+32x+35，则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A.6 mB.12 mC.8 mD.10 mxxy OB图825.(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图9，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( ) A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m26.求下列二次函数的图像与x 轴的交点坐标,并作草图验证. (1)y=12x 2+x+1; (2)y=4x 2-8x+4; (3)y=-3x 2-6x-3; (4)y=-3x 2-x+4 27.一元二次方程x 2+7x+9=1的根与二次函数y=x 2+7x+9的图像有什么关系? 试把方程的根在图像上表示出来.28.利用二次函数的图像求下列一元二次方程的根. (1)4x 2-8x+1=0; (2)x 2-2x-5=0;(3)2x 2-6x+3=0; (3)x 2-x-1=0.29.已知二次函数y=-x 2+4x-3,其图像与y 轴交于点B,与x 轴交于A, C 两点. 求△ABC 的周长和面积.●能力提升30.某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x (元)满足关系：m =140－2x .(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？31.已知二次函数y =(m 2－2)x 2－4mx +n 的图象的对称轴是x =2，且最高点在直线y =21x +1上，求这个二次函数的表达式.32.如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m？(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x33.当运动中的汽车撞到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用“撞击影响”来衡量.某型汽车的撞击影响可以用公式I=2v2来表示，其中v(千米/分)表示汽车的速度;(1)列表表示I与v的关系.(2)当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的多少倍？34.如图7，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.mx 35.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，数的图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).(1)根据图象你可获得哪些关于该公司的具体信息？(至少写出三条)(2)还能提出其他相关的问题吗？若不能，说明理由；若能，进行解答，并与同伴交流.S月份t 36.把一个数m●综合探究37.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天.如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去.假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元.(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式;(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式.(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？38.图中a是棱长为a的小正方体，图b、图c由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层……，第n层，第n层的小正方形的个数记为S，解答下列问题：a b(1)按照要求填表：(2)写出当n=10时，S=______;(3)根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点;(4)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式；若不在，说明理由.nOS参考答案1.262.41 大－83没有 3.①x 2－2x ②3或－1 ③<0或>2 4. y =x 2－3x －105. m >29无解 6.y =－x 2+x －1 最大 7.y =－81x 2+2x +1 16.58. 2 9.b 2－4ac>0(不唯一) 10 . 15 cm23225 cm 2 11.(1)A (2)D (3)C (4)B 12. 5 62513.B 14.C 15.B 16.D 17.B 18.D 19.B 20.B 21.B 22.A 23.C 24.D25.B 〔提示：设水流的解析式为y=a(x －h)2+k,∴A(0，10)，M(1，340). ∴y=a(x －1)2+340，10=a+340. ∴a=－310. ∴y=－310(x －1)2+340.令y=0得x=－1或x=3得B(3，0), 即B 点离墙的距离OB 是3 m26.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0);(3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),(43,0),草图略.27.该方程的根是该函数的图像与直线y=1的交点的横坐标.28.(1)x 1≈1.9,x 2≈0.1;(2)x 1≈3.4,x 2≈-1.4;(3)x 1≈2.7,x 2≈0.6;(4)x 1≈1.6,x 2≈-0 .6 29.令x=0,得y=-3,故B 点坐标为(0,-3). 解方程-x 2+4x-3=0,得x 1=1,x 2=3. 故A 、C 两点的坐标为(1,0),(3,0).所以│-3│=3.C △ABC =AB+BC+AC=2. S △ABC =12AC ²OB=12³2³3=3. 30．(1)y =－2x 2+180x －2800.(2)y =－2x 2+180x －2800 =－2(x 2－90x )－2800 =－2(x －45)2+1250. 当x =45时，y 最大=1250.∴每件商品售价定为45元最合适，此销售利润最大，为1250元. 31．∵二次函数的对称轴x =2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y =21x +1上. ∴y =21³2+1=2. ∴y =(m 2－2)x 2－4mx +n 的图象顶点坐标为(2，2). ∴－a b2=2.∴－)2(242--m m =2. 解得m =－1或m =2. ∵最高点在直线上，∴a <0, ∴m =－1.∴y =－x 2+4x +n 顶点为(2，2). ∴2=－4+8+n .∴n =－2. 则y =－x 2+4x +2. 32(1)依题意得鸡场面积y =－.350312x x +-∵y =－31x 2+350x =31-(x 2－50x )=－31(x －25)2+3625,∴当x =25时，y 最大=3625,即鸡场的长度为25 m 时，其面积最大为3625m 2. (2)如中间有几道隔墙，则隔墙长为nx-50m.∴y =n x -50²x =－n 1x 2+n 50x=－n 1(x 2－50x ) =－n 1(x －25)2+n625,当x =25时，y 最大=n625,即鸡场的长度为25 m 时，鸡场面积为n625 m 2.结论：无论鸡场中间有多少道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，其长都是25 m. 33(1)如下表(2)I =2²(2v )2=4³2v 2.当汽车的速度扩大为原来的2倍时，撞击影响扩大为原来的4倍. 34(1)设抛物线的表达式为y =ax 2+bx +c .由图知图象过以下点：(0，3.5)，(1.5，3.05).⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++===-.5.3,0,2.0,5.15.105.3,5.3,022c b a c b a c a b得 ∴抛物线的表达式为y =－0.2x 2+3.5.(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m ，则球出手时，球的高度为 h +1.8+0.25=(h +2.05) m, ∴h+2.05=－0.2³(－2.5)2+3.5, ∴h=0.2(m). 35 (1)信息：①1、2月份亏损最多达2万元. ②前4月份亏盈吃平. ③前5月份盈利2.5万元. ④1~2月份呈亏损增加趋势. ⑤2月份以后开始回升.(盈利) ⑥4月份以后纯获利 ……(2)问题：6月份利润总和是多少万元？由图可知，抛物线的表达式为 y=21(x －2)2－2, 当x=6时，y=6(万元)(问题不唯一). 36．设m=a+b y=a ²b,∴y=a(m －a)=－a 2+ma=－(a －2m )2+42a ,当a=2m时，y 最大值为42a .结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大. 37．(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元, 死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000. (3)设总利润为L=Q －30000－400x=－10x 2+500x =－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元. 38．(1)10 (2)55 (3)(略).(4)经猜想，所描各点均在某二次函数的图象上. 设函数的解析式为S=an 2+bn+c. 由题意知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0.c ,21b ,21a ,639,324,1解得c b a c b a c b a∴S=.21212n n +22．2降次--解一元二次方程（第二课时）22.2.1 配方法(2)◆随堂检测1、将二次三项式x 2-4x+1配方后得（）A ．（x-2）2+3 B ．（x-2）2-3 C ．（x+2）2+3 D ．（x+2）2-3 2、已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（） A 、x 2-8x+42=31 B 、x 2-8x+42=1 C 、x 2+8x+42=1 D 、x 2-4x+4=-113、代数式2221x x x ---的值为0，求x 的值． 4、解下列方程：（1）x 2+6x+5=0；（2）2x 2+6x-2=0；（3）（1+x ）2+2（1+x ）-4=0.点拨：上面的方程都能化成x 2=p 或（mx+n ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p ≥0）.◆典例分析用配方法解方程22300x -=，下面的过程对吗？如果不对，找出错在哪里，并改正．解：方程两边都除以2并移项，得215x x =，配方，得2211()1524x x +=+，即2161()24x -=，解得12x -=，即12x x ==．分析：配方法中的关键一步是等式两边同时加上一次项系数一半的平方。

人教版数学九年级上册全册含课后练习

21．1 二次根式（1）（民中）第一课时一、教学目标: （a ≥0）的意义解答具体题目．二、教学重难点: 1a ≥0）的式子叫做二次根式的概念；2a ≥0）”解决具体问题．三、教学过程:例1．下列式子，哪些是二次根式，、1x x>0）、、、1x y+（x ≥0，y•≥0）．例2．当x 在实数范围内有意义？四、应用拓展：例3．当x +11x +在实数范围内有意义？例4(1)已知，求x y的值．(2)=0，求a 2004+b 2004的值．五、归纳小结：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、课后作业：（一）选择题：1．下列式子中，是二次根式的是（）A ．BCD ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B C D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5BC ．15D ．以上皆不对（二）填空题：1．形如________的式子叫做二次根式；面积为a 的正方形的边长为_____；负数______平方根．（三）综合提高题：1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？+x2在实数范围内有意义？2．当x是多少时，x3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b=b+4，求a、b的值．21.1 二次根式(2)（民中）第二课时一、教学目标：a≥02=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．二、教学重难点：1a≥0）是一个非负数；）2=a（a≥0）及其运用．2．难点：a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出）2=a （a≥0）．三、教学过程：例1计算）21．22．（23．24．（2四、应用拓展：例2 计算1．2（x≥0）2．23．24．2例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2）P9 7．七、课后作业：（一）选择题：1二次根式的个数是（）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（）．A ．a>0B ．a ≥0C ．a<0D ．a=0（二）填空题1．（）2=______． 2_______数．（三）综合提高题1．计算（1）2 （2）-2 （3）（12）2（4）（ 2 (5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0）3=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-521.1 二次根式(3)（民中）第三课时一、教学目标：（a ≥0）并利用它进行计算和化简．二、教学重难点：1a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．三、教学过程：例1 化简（1 （2 （3 （4四、应用拓展：例2、填空：当a ≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3），则a 可以是什么数？五、归纳小结：（a ≥0）及其运用，同时理解当a<0a 的应用拓展．六、布置作业： 1．教材P 8习题21．1 3、4、6、8．七、课后作业：（一）选择题：1）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0）．A BC D．（二）填空题：1=________．2．则正整数m的最小值是________．（三）综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│=a，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│21．2 二次根式的乘除（1）（民中）第四课时一、教学目标：a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简二、教学重难点：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．三、教学过程：例1．计算：（1（2（3（4例2．化简：（1（2（3（4（5四、巩固练习：教材P11练习全部五、应用拓展：例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4六、归纳小结：本节课应掌握：（1=（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．七、布置作业：1．课本P151，4，5，6．（1）（2）．八、课后作业：（一）选择题1和，•那么此直角三角形斜边长是（）．A．B．C．9cm D．27cm2．化简）A B C．D．311x-=）A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（）．A．×B．×C．D．×（二）填空题1．2．自由落体的公式为S=12gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．（三）综合提高题1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？21．2 二次根式的乘除（2）（民中）第五课时一、教学目标：a ≥0，b>0（a ≥0，b>0）及利用它们进行运算．二、教学重难点：1a ≥0，b>0）a ≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．三、教学过程：例1．计算：（1（2 （3 （4例2．化简：（1 （2 （3 （4 四、巩固练习：教材P14 练习1．五、应用拓展：例3．=，且x 为偶数，求（1+x六、归纳小结： a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．七、布置作业：1．教材P 15 习题21．2 2、7、8、9．八、课后作业：（一）选择题： 1．的结果是（）A ．27B ．27C D ．723==5==数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”）A ．2B ．6C ．13 D （二）填空题：1．分母有理化:(1)=_________;(2) =______.2．已知x=3，y=4，z=5_______．（三）综合提高题：1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，•现用直径为3的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算：（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）21.2 二次根式的乘除(3)（民中）第六课时一、教学目标：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．二、重难点关键：1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．三、教学过程：例1．(1)(2) ;(3)例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．四、巩固练习：教材P14练习2、3五、应用拓展：例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=--1，32=-，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算+）的值．六、归纳小结：本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．七、布置作业：1．教材P15习题21．2 3、7、10．八、课后作业：（一）选择题：1y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根BAC式是（）． A（y>0） B ．y>0） C （y>0） D ．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）．A B C ． D ．3．在下列各式中，化简正确的是（）A B ±12 C 2 D ．4的结果是（） A ．-3 B ． C ． D ．（二）填空题：1．化简=_________．（x ≥0） 2．a 化简二次根式号后的结果是_________．（三）综合提高题：1．已知a 确，•请写出正确的解答过程：2．若x 、y 为实数，且y x y -的值．21.3 二次根式的加减(1)（民中）第七课时一、教学目标：理解和掌握二次根式加减的方法．二、重难点关键：1．重点：二次根式化简为最简根式． 2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．三、教学过程：例1．计算：（1 （2例2．计算：（1）（2））+ 四、巩固练习：教材P 19 练习1、2．五、应用拓展：例3．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y -（x ）的值．六、归纳小结：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．七、布置作业： 1．教材P 21 习题21．3 1、2、3、5．八、课后作业：（一）选择题：1．以下二次根式：；（）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④2．下列各式：①17=1，其中错误的有（）． A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个（二）填空题：1是同类二次根式的有________．2．计算二次根式的最后结果是________．（三）综合提高题：1≈2.236-）的值．（结果精确到0.01）2．先化简，再求值．（-（，其中x=32，y=27． 21.3 二次根式的加减(2)（民中）第八课时一、教学目标：运用二次根式、化简解应用题．二、重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．三、教学过程：例1．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？三、巩固练习：教材P19 练习3四、应用拓展：例3．若最简根式3a是同类二次根式，求a、b的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）五、归纳小结：本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．六、布置作业：1．教材P21习题21．3 7．七、课后作业：（一）选择题：1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（）．（•结果用最简二次根式）A．BC．D．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．BC．D．（二）填空题：1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为，•那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）（三）综合提高题：1．n是同类二次根式，求m、n21.3 二次根式的加减(3)（民中）第九课时一、教学目标：含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．二、重难点关键：重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；难点：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．三、教学过程：例1．计算:（1）（2）（）÷例2．计算：（1））（（2）））四、巩固练习：课本P20练习1、2．BACQPBA C2m1m4m D五、应用拓展：例3．已知x b a -=2-x a b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，六、归纳小结：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．七、布置作业： 1．教材P 21 习题21．3 1、8、9．八、课后作业：（一）选择题1．的值是（）．A ．203B ．23C ．23D ．2032 ）．A ．2B ．3C ．4D ．1（二）填空题：1．（-12+2）2的计算结果（用最简根式表示）是________．2．（（-（）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．3．若-1，则x 2+2x+1=________．4．已知，，则a 2b-ab 2=_________．（三）综合提高题： 12．当时，（结果用最简二次根式表示）第二十二章一元二次方程（民中）第十课时一、教学目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念。

《1.3 反比例函数的应用》课时同步练习2020-2021学年数学湘教版九年级上册

《1.3 反比例函数的应用》课时同步练习2020-2021年数学湘教版九（上）一．选择题（共10小题）1．《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜鹃花开”为设计理念，塑造出“杜鹃花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）A．v＝B．v＝106t C．v＝t2D．v＝106t22．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于144kPa 时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（）A．不大于m3B．不小于m3C．不大于m3D．不小于m3 3．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过6A，那么用电器的可变电阻R应控制在（）A．R≥2B．0＜R≤2C．R≥1D．0＜R≤14．已知蓄电池的电压为定值，使用电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不能超过bA，那么电器的可变电阻R（Ω）应控制在（）A．R≥0B．R≥a C．0＜R≤a D．0＜R≤b5．已知某品牌显示器的使用寿命为定值．这种显示器可工作的天数y与平均每天工作的小时数x是反比例函数关系，图象如图所示．如果这种显示器至少要用2000天，那么显示器平均每天工作的小时数x应控制在（）A．0＜x≤10B．10≤x≤24C．0＜x≤20D．20≤x≤24 6．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t 成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（）A．药物释放过程需要小时B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝tC．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为hD．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室7．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（）A．4月份的利润为50万元B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元C．9月份该厂利润达到200万元D．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元8．如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（）A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h 9．1888年，海因里希•鲁道夫•赫兹证实了电磁波的存在，这成了后来大部分无线科技的基础．电磁波波长λ（单位：米）、频率f（单位：赫兹）满足函数关系λf＝3×108，下列说法正确的是（）A．电磁波波长是频率的正比例函数B．电磁波波长20000米时，对应的频率1500赫兹C．电磁波波长小于30000米时，频率小于10000赫兹D．电磁波波长大于50000米时，频率小于6000赫兹10．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积V（mL）与气体对气缸壁产生的压强P（kPa）的关系可以用如图所示的反比例函数图象进行表示，下列说法错误的是（）A．气压P与体积V表达式为P＝，则k＞0B．当气压P＝70时，体积V的取值范围为70＜V＜80C．当体积V变为原来的时，对应的气压P变为原来的D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小二．填空题（共8小题）11．某物体对地面的压强P（Pa）与物体和地面的接触面积S（m2）成反比例函数关系（如图）．当该物体与地面的接触面积为0.25m2时，该物体对地面的压强是Pa．12．根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示，售价是销量的反比例函数（统计数据见下表）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为元．售价x（元/双）200240250400销售量y（双）3025241513．在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是m．14．小玲家购买了一张面值600元的天然气使用卡，这些天然气所够使用的天数t与小玲家平均每天使用天然气的钱数m（元）之间的函数关系式为．15．如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：x（cm）…1015202530…y（N）…3020151210…猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为．16．某高科技开发公司从2008年起开始投入技术改进资金，经过技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：请你认真分析表中数据，写出可以表示该变化规律的表达式是年度2008200920102011投入技术改进资金x（万元） 2.534 4.5产品成本y（万元∕件）7.26 4.5417．某物体对地面的压强p（N/m2）物体与地面的接触面积S（m2）之间的变化关系如图所示（双曲线的一支）．如果该物体与地面的接触面积为0.24m2，那么该物体对地面的压强是（N/m2）．18．在照明系统模拟控制电路实验中，研究人员发现光敏电阻值R（单位：Ω）与光照度E （单位：lx）之间成反比例函数关系，部分数据如下表所示：光照度E/lx0.51 1.52 2.53光敏电阻阻值R/Ω603020151210则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为．三．解答题（共6小题）19．你吃过拉面吗？在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的横截面积x（mm2）（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示．（1）请写出点P的实际意义；（2）求出y与x的函数关系式；（3）当面条的横截面积是1.6mm2时，求面条的总长度．20．南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方x千立方米，总需用时间y 天，且完成首期工程限定时间不超过600天．（1）求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？21．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数关系，它的图象如图所示．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A，那么该用电器的可变电阻应控制在什么范围内？22．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降．水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；（2）求出图中a的值；（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？23．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；（2）恒温系统设定的恒定温度为；（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，为避免蔬菜受到伤害，恒温系统最多可以关闭多少小时？24．为了预防“流感”，某学校对教室采取药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．根据题中所提供的信息解答下列问题：（1）求药物燃烧时y关于x的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）药物燃烧后y关于x的函数关系式是；研究表明，①当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室；②当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，你认为此次消毒有效吗？请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v×完成运送任务所需时间t，∴106＝vt，∴v＝，故选：A．2．解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝∵图象过点（1.5，64）∴k＝96，即P＝在第一象限内，P随V的增大而减小，∴当P≤144时，V≥＝．故选：B．3．解：设反比例函数关系式为：I＝，把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，∴反比例函数关系式为：I＝，当I≤6时，则≤6，R≥1，故选：C．4．解：设反比例函数关系式为：I＝，把（a，b）代入得：k＝ab，∴反比例函数关系式为：I＝，当I≤b时，则≤b，∴R≥a，故选：B．5．解：由题意可设，∵图象过点（20，1000），∴k＝20000．∴．∴当y＝2000时，x＝10．观察图象可得：∴当y≥2000时，0＜x≤10．故选：A．6．解：设正比例函数解析式是y＝kt，反比例函数解析式是y＝，把点（3，）分别代入反比例函数解析式得：＝，解得：m＝，∴反比例函数解析式是y＝，当y＝1时，代入上式得t＝，把t＝时，y＝1代入正比例函数解析式是y＝kt得：k＝，∴正比例函数解析式是y＝t，A．由图象知，y＝1时，t＝，即药物释放过程需要小时，故A不符合题意；B．药物释放过程中，y与t的成正比例，函数表达式是y＝t，故B不符合题意；C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝t和y＝得，0.5＝t1和0.5＝，解得：t1＝和t2＝3，∴t2﹣t1＝，∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h；故C不符合题意；＜0.25，解得t＞6，所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，故选：D．7．解：A、设反比例函数的解析式为y＝，把（1，200）代入得，k＝200，∴反比例函数的解析式为：y＝，当x＝4时，y＝50，∴4月份的利润为50万元，正确，不合题意；B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确，不合题意；C、设一次函数解析式为：y＝kx+b，则，解得：，故一次函数解析式为：y＝30x﹣70，故y＝200时，200＝30x﹣70，解得：x＝9，则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确，不合题意．D、当y＝100时，则100＝，解得：x＝2，则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确，符合题意．故选：D．8．解：设函数解析式为T＝，∵经过点（1，3），∴k＝1×3＝3，∴函数解析式为T＝，当T≤2℃时，t≥h，故选：C．9．解：A、∵函数关系λf＝3×108，∴电磁波波长是频率的反比例函数，故错误，不符合题意；B、当λ＝20000米时，f＝＝15000赫兹，故错误，不符合题意；C、∵f＝，∴f随着λ的增大而减小，∴电磁波波长小于30000米时，频率大于10000赫兹，故错误，不符合题意；D、电磁波波长大于50000米时，频率小于6000赫兹，故正确，符合题意，故选：D．10．解：当V＝60时，P＝100，则PV＝6000，A．气压P与体积V表达式为P＝，则k＞0，故不符合题意；B．当P＝70时，V＝＞80，故符合题意；C．当体积V变为原来的时，对应的气压P变为原来的，不符合题意；D．当60≤V≤100时，气压P随着体积V的增大而减小，不符合题意；故选：B．二．填空题（共8小题）11．解：设P＝，把（0.5，2000）代入得：k＝1000，故P＝，当S＝0.25时，P＝＝4000（Pa）．故答案为：4000．12．解：由表中数据得：xy＝6000，∴y＝，则所求函数关系式为y＝；由题意得：（x﹣180）y＝2400，把y＝代入得：（x﹣180）•＝2400，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的根，答：若计划每天的销售利润为2400元，则其单价应定为300元．故答案为：300．13．解：设函数的表达式F＝，将点P的坐标代入上式得：3＝，解得k＝12，则反比例函数表达式为F＝，当F＝10时，即F＝＝10，解得s＝1.2（m），故答案为：1.2．14．解：∵tm＝600，∴t＝．故答案为：t＝．15．解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，∴设y＝（k≠0），把x＝10，y＝30代入得：k＝300∴y＝，将其余各点代入验证均适合，∴y与x的函数关系式为：y＝．故答案为：y＝．16．解：由题意可得此函数解析式为反比例函数解析式，其为解析式为y＝．当x＝2.5时，y＝7.2，可得：7.2＝，解得k＝18∴反比例函数是y＝．故答案为：y＝．17．解：设p＝，把（0.05，2400）代入得：F＝2400×0.05＝120，故P＝，当S＝0.24m2时，P＝＝500（N/m2）．故答案为：500．18．解：由题意可得：RE＝30，则R＝．故答案为：R＝．三．解答题（共6小题）19．解：（1）由图象知，点P的实际意义是：当面条的横截面积是4mm2时，面条的总长度是32m；（2）设y与x的函数关系式为y＝，∵反比例函数图象经过点（4，32），∴＝32，解得k＝128，∴y与x的函数关系式是y＝（x＞0）；（3）当x＝1.6时，y＝＝80．答：面条的总长度是80m．20．解：（1）根据题意可得：y＝，∵y≤600，∴x≥1；（2）设实际挖掘了m天才能完成首期工程，根据题意可得：﹣＝0.2，解得：m＝﹣600（舍）或500，检验得：m＝500是原方程的根，答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．21．解：（1）由于电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，∵图象经过（9，4），∴4＝，解得：k＝4×9＝36，∴I＝，∴这个反比例函数的解析式为I＝；（2）∵I≤10，∴≤10，∵R＞0，∴R≥3.6，即用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内．22．解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得，解得k1＝10，b＝20．∴当0≤x≤8时，y＝10x+20．当8＜x≤a时，设y＝，将（8，100）的坐标代入y＝，得k2＝800∴当8＜x≤a时，y＝．综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝；（2）将y＝20代入y＝，解得x＝40，即a＝40；（3）当y＝40时，x＝＝20．∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．23．解：（1）设线段AB解析式为y＝k1x+b（k≠0），∵线段AB过点（0，10），（2，14），代入得，解得，∴AB解析式为：y＝2x+10（0≤x＜5），∵B在线段AB上当x＝5时，y＝20，∴B坐标为（5，20），∴线段BC的解析式为：y＝20（5≤x＜10），设双曲线CD解析式为：y＝（k2≠0），∵C（10，20），∴k2＝200，∴双曲线CD解析式为：y＝（10≤x≤24）；∴y关于x的函数解析式为：y＝；（2）由（1）恒温系统设定恒温为20℃，故答案为：20℃；（3）把y＝10代入y＝中，解得，x＝20，∴20﹣10＝10，答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．24．解：（1）药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，所以设y关于x的函数关系式是y＝kx（k≠0），将点（8，6）代入，得；k＝，即，自变量x的取值范围是0≤x≤8．（2）设药物燃烧后y关于x的函数关系式是y＝，把（8，6）代入得：k＝48，故y关于x的函数关系式是；①当y＝1.6时，代入得x＝30分钟，那么从消毒开始，至少需要经过30 分钟后，学生才能回到教室；②此次消毒有效，将y＝3分别代入，得，x＝4和x＝16，那么持续时间是16﹣4＝12＞10分钟，所以有效杀灭空气中的病菌．故答案为：．。

专题23.1 图形的旋转-2020-2021学年九年级数学上册课时同步练(人教版)(解析版)

第23章旋转图形的旋转一、基础巩固1.下列事件中，属于旋转运动的是（）A．小明向北走了4米B．时针转动C．电梯从1楼到12楼D．一物体从高空坠下【解答】解：A．小明向北走了4米是平移，不合题意；B．时针转动是旋转运动，符合题意；C．电梯从1楼到12楼是平移，不合题意；D．一物体从高空坠下是平移，不合题意；故选：B．【知识点】生活中的旋转现象2.在直角坐标系中，将点A（0，2）绕原点O逆时针方向旋转60°后的对应点B的坐标是（）A．（）B．（）C．（）D．（）【解答】解：将点A（0，2）绕原点O逆时针方向旋转60°后的对应点B的坐标是（﹣，1），故选：B．【知识点】坐标与图形变化-旋转3.如图，将△ABC绕点C（0，）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣a，﹣b﹣）C．（﹣a，﹣b+）D．（﹣a，﹣b+2）【解答】解：设A′（m，n），∵CA＝CA′，C（0，），A（a，b），∴∴m＝﹣a，n＝2﹣b，∴A′（﹣a，2﹣b），故选：D．【知识点】坐标与图形变化-旋转4.如图，点D是等边△ABC内一点，将△DBC绕点B旋转到△EBA的位置，则∠EBD的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【解答】解：∵将△DBC绕点B旋转到△EBA的位置，∴△DBC≌△EBA，∴∠ABE＝∠CBD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠EBD＝∠ABE+∠ABD＝∠CBD+∠ABD＝∠ABC＝60°．故选：B．【知识点】旋转的性质、等边三角形的性质5.如图，△ABC绕点B顺时针旋转到△EBD位置，若∠A＝30°，∠D＝15°，A、B、D在同一直线上，则旋转的角度是（）A．50°B．45°C．40°D．30°【解答】解：∵△ABC绕点B顺时针旋转到△EBD位置，∴∠C＝∠D＝15°，∠CBD等于旋转角，∵∠CBD＝∠A+∠C＝30°+15°＝45°，∴旋转角的度数为45°．故选：B．【知识点】旋转的性质6.如图，在平面直角坐标系中，P为x轴上一动点，把线段AB绕点P逆时针旋转90°得线段A'B'，已知A（1，y）（0≤y≤1），当P点从（﹣2，0）运动到原点时，则A'B'扫过的面积为（）A．1B．C．D．2【解答】解：分析图象可知，A'B'的运动轨迹为平行四边形，所以A'B'扫过的过面积为1×2＝2故选：D．【知识点】坐标与图形变化-旋转、扇形面积的计算7.如图，等边三角形ABC的边长是2，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接MN，则在点M运动过程中，线段MN长度的最小值是（）A．B．1C．D．【解答】解：由旋转的特性可知，BM＝BN，又∵∠MBN＝60°，∴△BMN为等边三角形．∴MN＝BM，∵点M是高CH所在直线上的一个动点，∴当BM⊥CH时，MN最短（到直线的所有线段中，垂线段最短）．又∵△ABC为等边三角形，且AB＝BC＝CA＝2，∴当点M和点H重合时，MN最短，且有MN＝BM＝BH＝AB＝1．故选：B．【知识点】等边三角形的判定与性质、垂线段最短、旋转的性质8.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是（）A．68°B．20°C．28°D．22°【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′＝α，∠B′AD′＝∠BAD＝90°，∠AD′C′＝∠ADC＝90°，∵∠2＝∠1＝112°，而∠ABC＝∠D′＝90°，∴∠3＝180°﹣∠2＝68°，∴∠BAB′＝90°﹣68°＝22°，即∠α＝22°．故选：D．【知识点】旋转的性质9.已知：如图，在等边△ABC中取点P，使得P A，PB，PC的长分别为3，4，5，将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，连接BD，下列结论：①△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；②点P与点D的距离为3；③∠APB＝150°；④S△APC+S△APB＝，其中正确的结论有（）A．①②④B．①③④C．①②③D．②③④【解答】解：连PD，如图，∵线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，∴AD＝AP，∠DAP＝60°，又∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∴∠DAB+∠BAP＝∠P AC+∠BAP，∴∠DAP＝∠P AC，∴△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到，所以①正确；∵DA＝P A，∠DAP＝60°，∴△ADP为等边三角形，∴PD＝P A＝3，所以②正确；在△PBD中，PB＝4，PD＝3，由①得到BD＝PC＝5，∵32+42＝52，即PD2+PB2＝BD2，∴△PBD为直角三角形，且∠BPD＝90°，由②得∠APD＝60°，∴∠APB＝∠APD+∠BPD＝60°+90°＝150°，所以③正确；∵△ADB≌△APC，∴S△ADB＝S△APC，∴S△APC+S△APB＝S△ADB+S△APB＝S△ADP+S△BPD＝×32+×3×4＝6+，所以④不正确．故选：C．【知识点】旋转的性质、等边三角形的性质10.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，直线BC与直线DE所夹的锐角是．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，∴直线BC与直线DE所夹的锐角＝旋转角＝55°，故答案为：55°．【知识点】旋转的性质11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，﹣4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是﹣．【解答】解：如图，把△OAB绕坐标原点O逆时针旋转90°得到△OA′B′，则A′B′＝AB＝3，OB′＝OB＝4，∠OB′A′＝∠OBA＝90°，所以点A′的坐标为（4，﹣3）．故答案为（4，﹣3）．【知识点】坐标与图形变化-旋转12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点），连接CC′，则∠CC′B′的度数是．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝60°，∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵△AB′C由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到，∴AC′＝AC，∠C′AB′＝∠CAB＝90°，∠AC′B′＝30°，∴△ACC′为等腰直角三角形，∴∠AC′C＝45°，∴∠CC′B′＝∠AC′C﹣∠AC′B′＝45°﹣30°＝15°．故答案为15°．【知识点】旋转的性质13.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝3，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴AP＝＝，∵△ADP旋转后能够与△ABP′重合，∴△ADP≌△ABP′，∴AP′＝AP＝，∠BAP′＝∠DAP，∴∠P AP′＝∠BAD＝90°，∴△P AP′是等腰直角三角形，∴PP′＝AP＝2；故答案为：2．【知识点】旋转的性质14.如图，把一副三角板如图摆放，点E在边AC上，将图中的△ABC绕点A按每秒5°速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边BC恰好与边DE平行．【解答】解：如图1所示：当B′C′∥DE时，由题意可得：∠B′＝∠DF A＝60°，∠D＝45°，则∠F AD＝75°，故∠CAF＝15°，则∠BAF＝105°，故边BC恰好与边DE平行时，旋转的时间为：＝21（秒），如图2，当B″C″∥DE时，由（1）同理可得：∠BAB″＝75°，则BA绕点A顺时针旋转了360°﹣75°＝285°，则在旋转的过程中：第＝57（秒）时，边BC恰好与边DE平行．综上所述：在第21或57秒时，边BC恰好与边DE平行．故答案为：21或57．【知识点】平行线的判定、旋转的性质15.如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′．（1）求证：ED＝EB′；（2）求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）连接AE．在直角△ADE和直角△AB'E中，，∴△ADE≌△AB'E，∴DE＝EB'；（2）∵△ADE≌△AB'E，∴∠DAE＝∠DAD'，又∵∠BAB'＝30°，∠BAD＝90°，∴∠ADE＝30°，在直角△ADE中，ED＝AD•tan30°＝×＝1，则S△ADE＝AD•ED＝××1＝，∴S△AB'E＝S△ADE＝，又∵S正方形ABCD＝（）2＝3，∴S阴影＝3﹣2×＝3﹣．【知识点】正方形的性质、旋转的性质16.如图，△ABC中，AD是中线，将△ACD旋转后与△EBD重合．（1）旋转中心是点，旋转了度；（2）如果AB=7，AC=4，求中线AD长的取值范围．【解答】解：（1）∵将△ACD旋转后能与△EBD重合，∴旋转中心是点D，旋转了180度；故答案为：D，180；（2）∵将△ACD旋转后能与△EBD重合，∴BE=AC=4，DE=AD，在△ABE中，由三角形的三边关系得，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∵AB=7，∴3＜AE＜11，即3＜2AD＜11，∴1.5＜AD＜5.5，即中线AD长的取值范围是1.5＜AD＜5.5．【知识点】三角形三边关系、旋转的性质17.如图，△ABC是等边三角形，点D是△ABC外一点，试证明：DB+DC≥AD．【解答】证明：将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△CAM，连接AM，如图所示：则AM＝DB，CM＝DC，∠DCM＝60°，∴△DCM是等边三角形，∴DM＝CD＝CM，∴AM+DM≥AD（当M在AD上时等号成立），∴DB+DC≥AD．【知识点】旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形三边关系18.如图，△ABC是等边三角形，△ABP旋转后能与△CBP′重合．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转角度是多少度？（3）连结PP′后，△BPP′是什么三角形？简单说明理由．【解答】解：（1）∵△ABP旋转后能与△P'BC重合，点B是对应点，没有改变，∴点B是旋转中心；（2）AB与BC是旋转前后对应边，旋转角＝∠ABC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴旋转角是60°；（3）连结PP′后，△BPP′是等边三角形，理由：∵旋转角是60°，∴∠PBP′＝60°，又∵BP＝BP′，∴△BPP′是等边三角形．【知识点】等边三角形的性质、旋转的性质二、拓展提升19.如图，在△ABC中，∠BAC＝15°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，到△ADE的位置，然后将△ADE以AD为轴翻折到△ADF的位置，连接CF，判断△ACF的形状，并说明理由．【解答】解：由旋转的性质可知：∠BAC＝∠DAE＝15°，AC＝AE，∠CAE＝90°，由翻折的性质可知：∠F AD＝∠EAD＝15°，AF＝AE．∴AC＝AF，∠CAF＝60°，∴△ACF为等边三角形．【知识点】翻折变换（折叠问题）、旋转的性质20.如图，E是正方形ABCD上一点，△ABF由△ADE旋转所得（1）旋转中心是，旋转角等于°（2）点G在BC上，若∠EAG＝45°，AD＝8，DE＝6，求CG的长．【解答】解：（1）旋转的中心是点A，旋转的角度是90°，故答案为：A，90；（2）∵AD＝8，DE＝6，∴AE＝10，∵∠GAE＝45°，∠EAF＝90°，∴AG是∠EAF的平分线，∴AG是线段EF的垂直平分线，∴GE＝GF，又∵AF＝AE，∴EF＝AE＝10，∴CF＝＝＝14，∵DE＝BF，∴DE+GB＝BF+BG＝GF．∵CG2+CE2＝EG2，即CG2+22＝（14﹣CG）2，∴CG＝．【知识点】旋转的性质、正方形的性质。

通用版2020年中考数学全课时同步练习(28课时+26小专题含答案 104页)

第1课有理数一．选择题1．在﹣2，﹣1，0，﹣0.01，3五个数中，最小数是（）A．0B．﹣1C．﹣0.01D．﹣22．﹣10+3的结果是（）A．﹣7 B．7 C．﹣13 D．133．计算﹣1﹣1的结果是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣24．计算（﹣3）﹣（﹣6）的结果等于（）A．3 B．﹣3 C．9 D．185．（﹣1）2019的相反数是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2019 D．2019二．填空题6．计算：（﹣3）3=．7．计算：﹣32=．8．计算：（﹣1）2003+（﹣1）2004=．9．将数920000000科学记数法表示为．10．已知某种纸一张的厚度为0.0089cm，用科学记数法表示这个数为．三．解答题11．计算：（1）（﹣3）+7+8+（﹣9）．（2）（﹣1）10×2+（﹣2）3÷4．第2课实数的运算一．选择题1．计算：81=（）A．3 B．±3 C．9 D．±9 2．计算：364=（）A．4 B．±8 C．8 D．±4 3．2的平方根是（）A．±2B．32C．2D．﹣2 4．3﹣2的绝对值是（）A．2﹣3B．3﹣2C．3D．1 5．下列实数中是无理数的是（）A．3B．4C．13D．0二．填空题6．2的倒数是．7．32的相反数是．8．如图，在数轴上点A表示的实数是．9．比较大小：﹣37（填写“＜”或“＞”）．10．计算：|﹣4|﹣（2019）0+（12）﹣1=．三．解答题11．计算：|﹣9﹣（﹣1）2+（﹣12）0．12．计算：（﹣1）2162+|2|．第3课整式一．选择题1．单项式4x2y3的次数是（）A．5 B．4 C．3 D．2 2．化简m﹣（m﹣n）的结果是（）A．2m﹣n B．n﹣2m C．﹣n D．n 3．下列运算正确的是（）A．3m+3n=6mn B．4x3﹣3x3=1 C．﹣xy+xy=0 D．a4+a2=a6 4．计算（﹣a2b）3的结果是（）A．﹣a6b3B．a6b C．3a6b3D．﹣3a6b3二．填空题5．因式分解：2ab﹣8b=．6．分解因式：x2﹣4y2=．7．分解因式：a2+4a+4=．8．因式分解：2a2﹣2=．9．分解因式：2x2﹣8x+8= ．三．解答题10．计算：（x﹣3）2﹣（x+2）（x﹣2）．11．先化简，再求值：（a+1）2﹣a（2﹣a），其中a=．第4课分式一．选择题 1．使分式12x x -+有意义的x 的取值是（）A ．x ＞0B ．x ≥﹣2C ．x ≠0D ．x ≠﹣2 2．若分式32x x +-的值为0，则x 的值为（）A ．x=﹣3B ．x=2C ．x ≠﹣3D ．x ≠2 3．计算22a bab结果正确的是（）A ．2aB ．2aC ．2b aD ．2a4．计算242x x --结果正确的是（）A ．x ﹣2B ．x +2C ．42x - D ．22x + 5．计算22a b a b a b---的结果为（）A ．a +bB ．a ﹣bC ．22a b a b--D ．a 2﹣b 2二．填空题6．约分：263xy xy=． 7．约分：239m m --=．8．计算：2111x x x ---= ．三．解答题9．先化简，再求值：22111211a a a a a a ++-?--+-，其中a 1．10．先化简，再求值：（1﹣11a +）÷221aa -，其中a=﹣3．第5课二次根式一．选择题1．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤32．计算（）2的结果是（）A．﹣2 B．2 C．±2 D．43．化简）A B．C．D．4．）A B C．D．5．计算）A．B．4 C D．3二．填空题6．使二次根式x的取值范围是．7．化简：（）2=．8=．9=．10．计算：（+1）1）=．三．解答题11．计算：）222）．12．计算：－4－1）0．第6课一次方程(组)一．选择题1．解一元一次方程3x+7=32﹣2x，移项正确的是（）A．3x+2x=32﹣7 B．3x+2x=32+7C．3x﹣2x=32﹣7 D．3x﹣2x=32+7 2．解方程3﹣（x+6）=﹣5（x﹣1）时，去括号正确的是（）A．3﹣x+6=﹣5x+5 B．3﹣x﹣6=﹣5x+5 C．3﹣x+6=﹣5x﹣5 D．3﹣x﹣6=﹣5x+1二．填空题3．已知x=1是方程x+2m=7的解，则m=．4．已知4x﹣y=5，用x表示y，得y=．三．解答题5．解方程：32x+﹣416x-=1．6．某儿童服装店欲购进A、B两种型号的儿童服装．经调查：B型号童装的进货单价是A型号童装的进货单价的两倍，购进A型号童装60件和B型号童装40件共用去2100元．求A、B两种型号童装的进货单价各是多少元？第7课分式方程及应用一．选择题 1．解分式方程12x -=12x x--﹣1时，去分母，得（） A ．1=1﹣x ﹣（x ﹣2） B ．1=x ﹣1﹣（2﹣x ） C ．1=x ﹣1﹣（x ﹣2）D ．﹣1=x ﹣1﹣（x ﹣2）二．填空题2．甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同．已知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x 个零件，依题意列方程．三．解答题 3．解方程：3x x ++2x=1．4．解方程：2x x ++4x =15．某校为了丰富学生的课外体育活动，购买了排球和跳绳．已知排球的单价是跳绳的单价的3倍，购买跳绳共花费750元，购买排球共花费900元．购买跳绳的数量比购买排球的数量多30个．求跳绳的单价．第8课一元一次不等式(组)一．选择题1．若m ＞n ，下列不等式不一定成立的是（） A ．m +2＞n +2B ．2m ＞2nC ．22m n ＞D ．22m n ＞2．不等式组12x x -⎧⎨⎩≥＜的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．二．填空题3．不等式5x ﹣3＜3x +5的非负整数解是． 4．不等式组5243x x +⎧⎨-⎩＞≥的最小整数解是．三．解答题5．解不等式组2533(2)24x x x ≥＜+⎧⎨--⎩，并把解集在数轴上表示出来．6．李师傅的家庭木器加工厂计划在15天内至少加工衣橱408只，前3天加工了72只，此后，李师傅的工厂平均每天至少需要加工衣橱多少只，才能在规定时间内完成任务？第9课一元二次方程一．选择题1．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=12．方程x2=3x的根是（）A．3 B．﹣3或0 C．3或0 D．03．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=0二．填空题4．若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a=．5．方程x2=﹣2x的根是．6．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是．三．解答题7．解方程：x2﹣4x﹣4=0．8．李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？第10课图形初步一．选择题1．如图﹣1，能判定EC ∥AB 的条件是（） A ．∠B =∠ACE B ．∠A =∠ECD C ．∠B =∠ACB D ．∠A =∠ACE2．如图﹣2，AB ∥CD ，CB 平分∠ABD ．若∠C =40°，则∠D 的度数为（） A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°二．填空题3．如图﹣3，直线m ∥n ，△ABC 为等腰三角形，∠BAC =90°，则∠1=度． 4．如图﹣4，AB ∥CD ，∠A =56°，∠C=27°，则∠E的度数为．三．解答题5．如图，已知∠1=∠2，∠C =∠D ，求证：∠A =∠F ．6．如图，已知EF ∥AD ，∠1=∠2，∠BAC =68°，求∠AGD 的度数．图﹣1图﹣2图﹣4图﹣3第11课三角形与多边形一．选择题1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1、2、3 B．3、3、7 C．20、15、8 D．5、15、82．在△ABC中，∠A=80°，∠B=50°，则∠C的余角是（）A．130°B．50°C．40°D．20°3．一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题4．如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=28°，点D在BA的延长线上，则∠CAD=．第4题第5题第6题5．一次数学活动课上．小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于．6．如图，∠A=50°，∠ABO=28°，∠ACO=32°，则∠BOC=．三．解答题7．如图，AD平分∠EAC，∠B=70°，∠C=60°，求∠CAD．8．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC．一．解答题1．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BC=BD．2．如图，点B，F，C，E在同一直线上，AB∥DE，且AB=DE，FB=CE．求证：∠A=∠D．3．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB．求证：AB﹣CF=BD．一．选择题1．已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（）A．7 B．8 C．6 或8 D．7或82．已知等腰三角形的一个角是100°，则它的顶角是（）A．40°B．60°C．80°D．100°3．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．43B．3C．23D．3二．填空题4．在Rt△ABC中，锐角∠A=35°，则另一个锐角∠B=．5．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵树在折断前的高度为米．6．若三角形三边分别为6，8，10，那么它最长边上的中线长是．三．解答题7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E．求证：AE=DE．8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD=55°，∠B=50°，求∠DEC的度数．一．选择题1．如果两个相似三角形对应边之比是1：3，那么它们的对应中线之比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：6 D．1：92．若两个相似三角形的相似比为1：2，则它们面积的比为（）A．2：1 B．1：2C．1：4 D．1：53．如图，四边形ABCD是矩形，E是边B超延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对B．3对C．2对D．1对第3题第4题第5题二．填空题4．在△ABC中，DE∥BC，AD=4，DB=2，AE=6，则EC=．5．如图，两个三角形相似，AD=2，AE=3，EC=1，则BD=．三．解答题6．如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．一．选择题1．如图﹣1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB的值等于（）A．43B．34C．45D．352．如图﹣2，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为（）A. 3B. 5C. 23D. 25二．填空题3．如图﹣3，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是米．4．如图﹣4，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．三．解答题5．如图，小俊在A处利用高为1.5米的测角仪AB测得楼EF顶部E的仰角为30°，然后前进12米到达C处，又测得楼顶E的仰角为60°，求楼EF的高度．(结果精确到0.1米) 图﹣1图﹣2 图﹣3图﹣4第16课平行四边形一．选择题1．在 ABCD中，AD=3cm，AB=2cm，则 ABCD的周长等于（）A．10 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm2．如图， ABCD的周长为20，AE平分∠BAD，若CE=2，则AB的长度是（）A．10 B．8 C．6 D．4第2题第3题第4题二．填空题3．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于．4．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．三．解答题5．如图，在□ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，且AE∥CF．求证：AE=CF．6．如图，□ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形．第17课特殊平行四边形一．选择题1．如图﹣1，矩形ABCD 的周长是28，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，AC =10，则△DOE 的周长是（）A ．12B ．13C ．14D ．15二．填空题2．如图﹣2，在菱形ABCD 中，AC =8，BD =6，OE ⊥BC 于E ，则OE =． 3．如图﹣3，在正方形ABCD 中，若∠CBF =20°，则∠AED =．三．解答题4．如图，在矩形ABCD 中．点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ．求证：AO =OB．5．在正方形ABCD 中，对角线BD 所在的直线上有两点E 、F 满足BE=DF ，连接AE 、AF 、CE 、CF ，如图所示．（1）求证：△ABE ≌△ADF ；（2）试判断四边形AECF 的形状，并说明理由．图﹣3图﹣1 图﹣2一．选择题1．在平面直角坐标系中，点（﹣6，2）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为（）A．（0，﹣2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，﹣4）3．点M（﹣3，﹣2）到y轴的距离是（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣24．将点A（1，﹣1）向上平移2个单位后，再向左平移3个单位，得到点B，则点B的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）5．有一辆汽车储油45升，从某地出发后，每行驶1千米耗油0.1升，如果设剩余油量为y （升），行驶的路程为x（千米），则y与x的关系式为（）A．y=45﹣0.1x B．y=45+0.1x C．y=45﹣x D．y=45+x6．小刘上午从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小刘离家的路程y（米）和所经过的时间x（分）之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（）A．小刘家与超市相距3000米B．小刘去超市途中的速度是300米/分C．小刘在超市逗留了30分钟D．小刘从超市返回家比从家里去超市的速度快7．星期日上午小明骑车去姥姥家吃午饭．已知从小明家去姥姥家的路是上坡路，吃过午饭后，下午按原路返回，设小明从家出发后所用的时间为x（小时），骑车所走的路程为y（千米），则y与x的函数图象大致是（）A．B．C．D．一．选择题1．已知函数y=（a﹣1）x的图象过一、三象限，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜02．一次函数y=﹣2x+1的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．一次函数y=2x+4交x轴于点A，则点A的坐标为（）A．（0，4）B．（4，0）C．（﹣2，0）D．（0，﹣2）二．填空题4．已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A（0，1），B（2，0），则当x时，y≤0．5．某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为．6．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的关系如图所示，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元．三．解答题7．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量有两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）当4≤x≤12时，求y关于x的函数解析式；（2）直接写出每分进水，出水各多少升．一．选择题1．若双曲线1kyx-=位于第二、四象限，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≥1 C．k＞1 D．k≠12．下列各点中，在函数y=﹣6x图象上的是（）A．（﹣2，﹣4）B．（2，3）C．（﹣1，6）D．（﹣12，3）3．如图，矩形OABC上，点A、C分别在x、y轴上，点B在反比例y=kx位于第二象限的图象上，矩形面积为6，则k的值是（）A．3 B．6 C．﹣6 D．﹣3第3题第6题二．填空题4．反比例函数y=kx的图象经过点（1，6）和（m，﹣3），则m=．5．已知双曲线y=1mx-，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为．6．如图，点A在双曲线y=kx上，AB⊥x轴于B，且S△AOB=2，则k=．三．解答题6．反比例函数y1=kx的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．（1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．第21课二次函数一．选择题1．抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）2．二次函数y=x2﹣2x+3图象的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=2 D．直线x=﹣23．当二次函数y=x2+4x+9取最小值时，x的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．9二．填空题4．二次函数y=x2﹣2x﹣3与x轴的交点个数有个．5．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是．6．学校运动会小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=﹣15（x﹣3）2+5，小明这次投掷的成绩是米．三．解答题7．已知二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．第22课圆的基本性质一．选择题1．如图，点A、点B、点C均在⊙O上，若∠B=40°，则∠AOC的度数为（）A．40°B．60°C．80°D．90°第1题第2题第3题2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠A=100°，则∠C=（）A．50°B．60°C．80°D．100°3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于，连接OC，若CD=6，OE=4，则OC=（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题4．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠B=20°，则∠ADC=．第4题第5题第6题5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD=100°，则∠DCE的度数为．6．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5m，水面宽AB为8m，则水的最大深度CD为m．三．解答题7．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=C D．三．解答题1．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．（1）求证：AE平分∠BAC；（2）若AD=2，EC=3，∠BAC=60°，求⊙O的半径．2．如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC 于点D且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC=CF；（2）若AD=6，DE=8，求BE的长．一．选择题1．扇形的半径为30cm，圆心角为120°，此扇形的弧长是（）A．20πcm B．10πcm C．10cm D．20cm2．扇形的圆心角为60°，面积为6π，则扇形的半径是（）A．3 B．6 C．18 D．363．若扇形的弧长是16cm，面积是56cm2，则它的半径是（）A．2.8cm B．3.5cm C．7cm D．14cm4．一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是（）A．9πB．18πC．15πD．27π二．填空题5．正八边形的中心角等于度．6．边长为1的正六边形的外接圆半径是．7．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是．三．解答题8．如图，在△ABC中，AB=AC=8cm，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC、AC于点D，E．（1）求证：BD=DC；（2）若∠BAC=40°，求»BD的长（结果保留π）．9．如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB，∠AOB=120°，⊙O的半径为4cm，求阴影部分的面积．一．选择题1．点M（1，2）关于y轴对称点的坐标为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）2．在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（2，1）3．下面的图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C． D．二．填空题4．如图是小明制作的一个轴对称图形风筝，已知OC是对称轴，∠A=35°，∠BCO=30°，则∠AOC=．第4题第5题第6题5．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，∠AOB=45°，则∠AOD=．6．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为cm．三．解答题7．如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△EC B．（1）图中哪个点是旋转中心？（2）按什么方向旋转？旋转角是多少度？（3）若∠ECB=30°，求∠FCB的度数．第26课视图与投影一．选择题1．下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是（）A．圆柱B．长方体C．三棱柱D．圆锥2．如图，立体图形的主视图是（）A．B．C．D．3．图中几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（）A．B．C． D．5．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面，与“友”相对的面上的汉字是（）A．爱B．国C．善D．诚二．填空题6．圆锥有个面，它的侧面展开图是．7．一个人离开灯光的过程中人的影长（填“不变”或“变长”或“变短”）．8．为了测量水塔的高度，我们取一竹竿，放在阳光下，已知2米长的竹竿投影长为1.5米，在同一时刻测得水塔的投影长为30米，则水塔高为米．9．某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、圆，则该几何体是．10．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为．第27课尺规作图1．如图，已知在△ABC中，∠A=90°（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)．（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．2．如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置(不写作法，保留作图痕迹)；（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC．（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等(不写作法，保留作图痕迹)；（2）若BC=8，CD=5，则CE=．一．选择题1．数据2，4，4，5，5，3，3，4的众数是（）A．2 B．3 C．4 D．52．一组数据：3、﹣1、0、2、﹣3、4，则这组数据的中位数为（）A．0 B．1 C．2 D．2.53．学校抽查了30名学生参加“学雷锋社会实践”活动的次数，并根据数据绘制成了条形统计图，则30名学生参加活动的平均次数是（）A．2 B．2.8 C．3 D．3.3二．填空题4．为了了解我市6000名学生参加初中毕业会考数学考试的成绩情况，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，样本容量是．5．为了解某市七年级学生的身体素质情况，随机抽取了1000名七年级学生进行检测，身体素质达标的有950人，请你估计该市12万名七年级学生，身体素质达标的大约有人．=82 6．某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，两班平均分和方差分别为x甲分，x=82分，S甲2=245，S乙2=190．那么成绩较为整齐的是班（填“甲”或“乙”）．乙三．解答题7．我区开展“体育、艺术2+1”活动，各校学生坚持每天锻炼，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：跳绳四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题：（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是，其所在扇形图中的圆心角的度数是；（2）请把条形统计图补充完整；（3）已知该校有1000人，请根据样本估计全校最喜欢乒乓球的人数是多少？一．选择题1．在六张卡片上分别写有π，13，1.5，﹣3，0，2六个数，从中任意抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（）A．16B．13C．12D．232．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（）A．16B．14C．13D．123．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是（）A．16B．29C．13D．23二．填空题4．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是．5．向上抛掷两枚硬币，落地后一枚正面朝上，别一枚反面朝上的概率是．6．小明用骰子设计了一个游戏：任意掷出骰子，偶数点时黑方前进一步，奇数点时红方前进一步，你认为这个游戏．（填“公平”或“不公平”）三．解答题7．三张大小质地完全相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张获得第一个数字后，放回原处，再从桌子上3张中随机抽取第二张，获得第二个数字．（1）用画树状图的方法，列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况；（2）计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少？1．计算：4sin45°+|﹣2|（﹣13）0．2．计算：4cos30°+（10﹣2|．3．计算：﹣（﹣2）2sin45°+（﹣1）3．4．计算：2sni60°+|101．先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中a=2．2．先化简，再求值：（m﹣n）2﹣m（m﹣2n），其中m n 3．先化简，再求值：（x﹣2）（x+2）+x2（x﹣1），其中x=﹣1．4．先化简，再求值：（3﹣x）（3+x）+（x+1）2，其中x=2．1．先化简，再求值：222x x x-+÷22444x x x -+-﹣12x ，其中x2．先化简，再求值：（1﹣11x +）•2x ，其中x =2017．3．先化简，再求值：（22x x -+2x x +）÷24x x -，其中x =﹣1．4．先化简，再求值：2221x x x x -++÷（1﹣21x +），其中x =专题4 方程与方程组1．解方程：233x-=54x+﹣1．2．解方程：512x+=1﹣123x-．3．解方程组：2359x yx yì+=ïí+=ïî①②．4．解方程组：23344x yx yì+=ïí-=ïî①②．专题5 分式方程（原专题7）1．解分式方程：3x =41x +．2．解方程：12x -+2=12x x --．3．解方程：2x x ++1x =1．4．解方程：31x -﹣231x x +-=0．专题6 不等式与不等式组1．解不等式43x+﹣312x-＞1，并将解集在数轴上表示出来．2．解不等式：213x-≤324x+﹣1，并把解集表示在数轴上．3．解不等式组：2132(1)x xx xì+ïí+ïî＞①＜②，并把解集在数轴上表示出来．4．解不等式组：2(3)1021xx xì+ïí+ïî＞①＞②，并把解集在数轴上表示出来．专题7 求函数解析式（原专题10）1．设一次函数y=kx+b的图象经过A（1，3）、B（0，﹣2）两点，求k，b的值．2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，求这个二次函数的解析式．3．已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为（﹣1，2），且图象过点（1，﹣3），（1）求这个二次函数的关系式；（2）写出它的开口方向、对称轴．专题8 方程（组）与不等式应用1．某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？2．苏州某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已知这两旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团各有多少人？3．某商店欲购进A、B两种商品，若购进A种商品5件和B种商品4件需300元；若购进A 种商品6件和B种商品8件需440元；（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？（2）若该商店准备用不超过1610元购进A、B两种商品共50件，问至多购进A种商品多少件？专题9 一元二次方程应用（原专题13）1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？2．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元．（1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元．3．如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．专题10 分式方程应用（原专题14）1．甲、乙两人制作某种机械零件，已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用的时间与乙做84个所用的时间相等，求甲、乙两人每小时各做多少个零件？2．王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？3．星期天，小明和小芳从同一小区门口同时出发，沿同一路线去离该小区1800米的少年宫参加活动，为响应“节能环保，绿色出行”的号召，两人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，结果小明比小芳早6分钟到达，求小芳的速度．专题11 函数应用（原专题16）1．某商场欲购进一种商品，当购进这种商品至少为10千克，但不超过30千克时，成本y（元/千克）与进货量x（千克）的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（2）若该商场购进这种商品的成本为9.6元/千克，则购进此商品多少千克？2．某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与x（元）间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若商场要使每天获得的利润最大，每件商品的售价定为多少？专题12 解直角三角形应用（原专题17）1．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）2．在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离．现测得AC=30m，∠B=30°，∠CAE=45°，请你求出A、B两个凉亭之间的距离．专题13 统计（原专题18）1．如图是我市某校八年级学生为贫困山区学生捐款情况抽样调查的条形图和扇形统计图．（1）求本次抽样的学生有多少人；（2）在扇形统计图中，求该样本中捐款15元的人数所占的圆心角度数；（3）若该校八年级学生有800人，据此样本求八年级捐款总数．2．学校准备购买一批课外读物．学校就“我最喜爱的课外读物”从“文学”“艺术”“科普”和“其他”四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图如下：请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）条形统计图中，m=，n=；（2）扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是度；（3）学校计划购买课外读物8000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？1．我校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督查．（1）请补全如下的树状图；（2）求恰好选中两名男学生的概率．2．有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张．（1）列表或画树状图表示所有取牌的可能性；（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案：A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案获胜概率更高？1．如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，BC=EF，AB=DE，AF=C D．求证：BC∥EF．2．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE，求证：AB=A D．3．如图所示，O是AC上一点，过O作△ABC的边BC的平行线MN，交∠ACB的平分线于E，交△ABC的∠ACB的外角平分线于F．求证：OE=OF．专题16 平行四边形（原专题21）1．已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO=BO，E、F分别是OC、OD中点．求证：（1）△AOC≌△BOD；（2）四边形AFBE是平行四边形．2．如图，已知点E，C在线段BF上，BE=EC=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）试判断：四边形AECD的形状，并证明你的结论．专题17 特殊平行四边形1．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．求证：△ACD≌△EDC．2．如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）若AF＝1，△AED的面积为4.5，求EF的长．1．如图，AB为⊙O直径，AD⊥CD于D，CD是⊙O的切线．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若CD=3，AC=5，求⊙O的半径长．2．如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ．（1）求证：NQ⊥PQ；（2）若⊙O的半径R=2，NP=23，求NQ的长．。

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2020数学九年级全一册课时练因式分解的方法1.十字相乘法(1)把二次项系数和常数项分别水解因数;(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;(3)确认最合适的十字图并写下因式分解的结果;(4)检验。

2.加公因式法(1)找出公因式;(2)加公因式并确认另一个因式;①找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母;②加公因式并确认另一个因式，特别注意必须确认另一个因式，需用原多项式除以公因式，税金的商即是加公因式后剩的一个因式，也需用公因式分别除去原多项式的每一项，谋的剩的另一个因式;③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

3.未定系数法(1)确定所求问题含待定系数的一般解析式;(2)根据并集条件，列举一组不含未定系数的方程;(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

轴对称知识点1.如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形;这条直线叫做对称轴。

2.轴对称图形的对称轴，就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3.角平分线上的点到角两边距离相等。

4.线段垂直平分线上的任一一点至线段两个端点的距离成正比。

5.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

6.轴对称图形上对应线段成正比、对应角成正比。

7.画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。

8.点(x,y)关于x轴对称的点的座标为(x,-y)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)点(x,y)关于原点轴对称的点的座标为(-x,-y)9.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，(等边对等角)等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，缩写为三线合一。

10.等腰三角形的判定：等角对等边。

11.等边三角形的三个内角成正比，等同于60，12.等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。

存有一个角就是60的等腰三角形就是等边三角形有两个角是60的三角形是等边三角形。

13.直角三角形中，30角所对的直角边等同于斜边的一半。

不等式1.掌控不等式的基本性质,并可以灵活运用：(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变，即：如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c。

(2)不等式的两边都除以(或除以)同一个正数，不等号的方向维持不变，即为：如果a>b,并且c>0,那么ac>bc。

(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，即：如果a>b,并且c<0,那么ac2.比较大小：(a、b分别则表示两个实数或整式)一般地：如果a>b，那么a-b就是正数;反过来，如果a-b就是正数，那么a>b;如果a=b，那么a-b等于0;反过来，如果a-b等于0，那么a=b;如果a即：a>b<===>a-b>0;a=b<===>a-b=0;aa-b<0。

3.不等式的边值问题：能够并使不等式设立的未知数的值，叫作不等式的求解;一个不等式的所有求解，共同组成这个不等式的边值问题;谋不等式的边值问题的过程，叫作求解不等式。

4.不等式的解集在数轴上的表示：用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：①边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈;②方向：大向右，小向左。

一元一次方程的数学分析1.一般方法：①回去分母：回去分母就是指等式两边同时除以分母的最轻公倍数。

②去括号：括号前是“+”,把括号和它前面的“+”去掉后,原括号里各项的符号都不改变。

括号前是“-”,把括号和它前面的"-"去掉后,原括号里各项的符号都要改变。

(改成与原来相反的符号。

③移项：把方程两边都加之(或乘以)同一个数或同一个整式，就相等于把方程中的某些项发生改变符号后，从方程的一边安远至另一边，这样的变形叫作移项。

④合并同类项：通过合并同类项把一元一次方程式化为最简单的形式：ax=b(a≠0)。

⑤系数化成1。

2.图像法：一元一次方程ax+b=0(a≠0)的根就是它所对应的一次函数f(x)=ax+b函数值为0时，自变量x的值，即一次函数图象与x轴交点的横坐标。

3.求根公式法：对于关于x的一元一次方程ax+b=0(a≠0)，其求根公式为：x=-b/a。

整式1.整式：整式为单项式和多项式的泛称，就是有理式的一部分，在有理式中可以涵盖提，减至，乘坐，除、乘方五种运算，但在整式中除数无法所含字母。

2.乘法(1)同底数幂相加，底数维持不变，指数相乘。

(2)幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(3)内积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把税金的幂相加。

3.整式的除法(1)同底数幂相乘，底数维持不变，指数相乘。

(2)任何不等于零的数的零次幂为1。

分数的性质1.分数中间的一条横线叫做分数线，分数线上面的数叫做分子，分数线下面的数叫做分母。

读作几分之几。

2.分数可以定义成一个乘法算式：例如二分之一等同于1除以2。

其中，1分子等同于被除数，-分数线等同于除号，2分母等同于除数，而0.5分后数值则等同于商。

3.分数还可以表述为一个比，例如;二分之一等于1：2，其中1分子等于前项，—分数线等于比号，2分母等于后项，而0.5分数值则等于比值。

4.当分子与分母同时乘坐或除以相同的数(0除外)，分后数值不能变化。

因此，每一个分数都存有无穷个与其成正比的分数。

利用此性质，可以展开约分及通分。

5.一个分数不是有限小数，就是无限循环小数，像π等这样的无限不循环小数，是不可能用分数代替的。

正负数加减法则顺口溜正正相加，和为正。

负负相乘，和为负。

正减负来，得为正。

负减正去，若非负。

其余没说，看大小。

谁小就往，谁边好像。

有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。

(1)有理数：就是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分后，多以选择题，填空题，计算题的形式发生，难易度属直观。

【考察内容】复数以及混合运算(期中、期末必考计算)数轴、相反数、绝对值和倒数(选择、填空)。

(2)整式的以此类推：中考试题中分值约为4分后，题型以挑选和填空题居多，难易度属极易。

【考察内容】①整式的概念和直观的运算，主要就是同类项的概念和化简表达式②完全平方公式，平方差公式的几何意义③利用加公因式法和公式法水解因式。

(3)一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有(归纳、总结、延伸)应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。

中考分值约为1-3分，题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题，难易度为易。

【实地考察内容】①方程及方程解的概念②根据题意列于一元一次方程③解一元一次方程。

题型：追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。

(4)几何：角和线段，为下卷学三角形打基础相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。

(1)平行线和平行线：平行线和平行线就是历年中考中常用的考点。

通常以填空题，选择题形式发生。

分值为3-4分后，难易度为易。

【考察内容】①平行线的性质(公理)②平行线的判别方法③结构平行线，利用平行线的性质解决问题。

(2)平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。

【实地考察内容】①考察平面直角坐标系内点的坐标特征②函数自变量的值域范围和球函数的值③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。

(3)二元一次方程组：中考分值约为3-6分后，题型主要以挑选，答疑居多，难易度为中。

【考察内容】①方程组的数学分析，求解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。

(4)不等式和不等式组：中考试题中分值约为3-8分后，挑选，填空题，答疑题居多。

【考察内容：】①一元一次不等式(组)的数学分析，不等式(组)边值问题的数轴则表示，不等式(组)的整数解等，题型以挑选，填空题居多。

②列不等式(组)解决经济问题，调配问题等，主要以解答题为主。

③留心不等式(组)和函数图像的融合问题。

(5)数据库的收集整理与描述分值通常在6-10分后，题型近几年主要以答疑题发生，偶尔以挑选填空题发生。

难易度为中。

【考察内容】①常用统计图和平均数，众数，中位数的排序分析。

②方差，极差的应用分析③与现实生活有关的实际问题的实地考察热点。

题目著重考查统计学的科学知识分析和数据处理。

三角形、全等三角形、轴对称、整式的乘除与因式分解、分式。

(1)三角形：就是初中数学的基础，中考命题中的重点。

中考试题分值约为18-24分后，以填空题，挑选，答疑题，也可以发生一些证明题目。

【考查内容】①三角形的性质和概念，三角形内角和定理，三边关系，以及三角形全等的性质与认定。

②三角形全等融入平行四边形的证明③三角形运动，卷曲，转动，堆叠构成的新数学问题④等腰三角形的性质与判定，面积，周长等⑤直角三角形的性质，勾股定理就是重点⑥三角形与圆的相关位置关系⑦三角形中位线的性质应用领域(2)全等三角形(3)轴对称：图形的轴对称就是中考题的新题型，热点题型。

分值通常为3-4分后，题型以填空题，挑选，作图居多，偶尔也可以发生答疑题。

【考察内容】①轴对称和轴对称图形的性质辨别。

②注意镜面对称与实际问题的解决。

(4)整式的秦九韶与因式分解：中考试题中分值约为4分后，题型以挑选，填空题居多，难易度属极易。

【考察内容】①整式的概念和直观的运算，主要就是同类项的概念和化简表达式②完全平方公式，平方差公司的几何意义③利用加公因式法和公式法水解因式。

(5)分式：中考试题中分值约为6-8分，主要以填空，简答计算题型出现，难易度属于中。

【实地考察内容】①分式的概念，性质，意义②分式的运算，化简表达式。

③列分式方程解决实际问题。

二次根式、勾股定理、四边形、一次函数和数据的分析。

(1)二次根式(2)勾股定理：求解直角三角形，求解直角三角形的科学知识就是近几年各地中考命题的热点之一，实地考察题型为选择题，填空题，应用题居多，分值通常8-12分后，难易度恼怒。

【考察内容】①常用锐角的三角函数值的排序②根据图形计算距离，高度，角度的应用题③根据题中得出的信息构筑图形，创建数学模型，然后用解直角三角形的科学知识解决问题。

(3)四边形：初中数学中考中的重点内容之一，分值一般为10-14分，题型以选择，填空，解答证明或融合在综合题目中为主，难易度为中。

【实地考察内容】①多边形的内角和，外角和等问题②图形的方形问题③平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形的性质和判定。

(4)一次函数：一次函数图像与性质就是中考必修的内容之一。

中考试题中分值约为10分后左右题型多样，形式有效率，综合应用性弱。

甚至存有存有探究题目发生。