小学奥数数列原理寒假课件

第一讲数列

除了偶数列和等比数列，必须是从1 开始计算的才能使用下面这些公式，如果不是，必须补全了再用。

一、八个基本数列

1、自然数列

1+2+3+4+5+……n=n(n+1)/2

2、奇数列

1+3+5+7+9+……+(2n-1)=n×n

3、偶数列

2+4+6+8+……+2n=n(n+1)

4、等差列公式：

1.和=（首项+末项）×项数÷2 =中间数×项数

2.项数=（末项-首项）÷公差+1

3.末项=首项+（项数-1）×公差

5、等比数列

2,6,18,54,112，……

6、斐波那契数列

1,1,2,3,5,8,13,21,34，……

7、自然数平方数列（正方形数列）

12+22+32+42+52+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6

8、自然数立方数列

13+23+33+43+53+……+n3=n2(n+1)2/4

二、两个形数

1、正方形数:1,4,9,16,……

2、三角形数:1,3,6,10,……

练习题

1.有一等差数列，相邻的两项的差是2，第10项是37，试求出它的第5项是多少。

2. 已知一个等差数列的首相是4，公差是5，问84这个数是这个等差数列的第几项？

3．2003×2+2001×2+···+3×2+1×2=

4、.

5.求值：① 6+11+16+...+501. ② 101+102+103+104+ (999)

6.1000+999-998+997+996-995+···106+105-104+103+102—101=

7、如果每一对兔子每月能生一对新兔子，而每一对新兔子在出生后的第三个月里开始生一对新兔子，在不发生死亡的情况下，一对初生的兔子1年能繁殖到多少对？

8、邮局门前共有10级台阶.若规定一步只能登上一级或两级台阶，问上这个台阶共有多少种不同的上法？

9、10954433221⨯++⨯+⨯+⨯+⨯

10、计算：70696766131210976431+++++++++++++

11、 2004×2003-2003×2002+2001×2000-2001×2000+……+2×1

12、10×9 - 9×8 + 8×7 - 7×6 + 6×5 - 5×4 + 4×3 - 3×2 + 2×1

13、 有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29……这列数第101 个数是多少？

14、计算：=-++⋯+-++-+123252627282930__________。

15、按规律排列的一串数：2,5,9,14,20,27，……………,这串数的第2008 个数是多少？

16、求：152 +162 +172 +……+ 212 =？

17、222221171615+++

18、求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.

19、连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？

20、 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？

21、 把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.

22、100到200之间不能被3整除的数之和是多少？

六、例题讲解

例1 1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70

解析：对于数列求和一定先观察规律，根据所找规律就有相应的解题方法。

法一：看出是一双重等差数列，则分别求两个等差数列的和，再加起来就可以了。则原式=（1+4+7+……+70）+（3+6+9+……+69）=1680

法二：将3+4 看为一组，6+7 看为一组……

原式=1+7+13+19+……+139=（1+139）×24÷2=1680

法三:原数列补上2,5,8……，68 后则为一自然数列

则原式=（1+2+3+……+70）-（2+5+8+……+68）=1680

例2 2004×2003-2003×2002+2001×2000-2001×2000+……+2×1

铺垫：乘法分配律的应用

（100+4）×25=100×25+4×25=2500+100=2600

37×28+63×28=（37+63）×28=100×28=2800

303×217-302×217=（303-302）×217=217

10×9 - 9×8 + 8×7 - 7×6 + 6×5 - 5×4 + 4×3 - 3×2 + 2×1

=（10-8）×9+（8-6）×7+（6-4）×5+（4-2）×3+2×1

=2×9+2×7+2×5+2×3+2×1

=2×（9+7+5+3+1）

=2×25

=50

例2 与上题规律一样

原式=2×2003+2×2001+2×1999+……+2×1

=2×（2003+2001+1999+ (1)

=2×10022 ……连续奇数求和公式

=2008008

例3 有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29……这列数第101 个数是多少？

解析：对于数列问题，找出规律是第一步。

法一：a2=1+1

a3=1+1+2

a4=1+1+2+3

……

a101=1+1+2+3+……+100=1+5050=5051

法二：递推归纳。发现数列中的差是有规律的，那么把各个差表示出来

a2-a1=1

a3-a2=2

a4-a3=3

……

a101-a100=100

再把所有的等式相加，大多数项都抵消了。最后左边剩下a101-a1，右边

=1+2+3+……+100

2010 年四年级秋季班第一讲整数与数列程雪

四年级秋季班（七级下） 1.4

即a101-a1 =1+2+3+……+100=5050， a101=5050+ a1=5051。

拓展（2009 迎春杯中年级决赛题）有一个数列，从第三项起，每一项都是它前面两项的和，

已知第二项是39，第十项是2009，求前8 项的和。