小学奥数数列原理寒假课件
《数列概念》课件
《数列概念》PPT课件
数列是一系列按一定规律排列的数值。本课件将介绍数列的基本概念，不同 类型的数列，以及数列的应用。
什么是数列
数列是一系列按照特定规律排列的数值，可以通过公式或递推关系来表示。 数列的概念在数学和实际生活中都有广泛的应用。
数列的基本形式
1 等差数列
数列中的每个数与它前一个数之差相等。
等差数列的求和公式
求和公式：Sn = n/2[2A1 + (n-1)d]，其中Sn表示前n项和，A1表示第一项，d 表示公差。
等比数列
等比数列是一种数列，其中每个数与它前一个数之比相等。可使用通项公式和求和公式来计算等比数列 的任意项和总和。
等比数列的通项公式
通项公式：An = A1 * r^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示第一项，r表示公比。
单调有界数列的极限
根据单调有界数列的性质，可以推导出单调有界数列必定存在极限。极限可以是数列的最大值或最小值。
数列的应用
数列不仅在数学中有广泛应用，还在其他学科和实际生活中有很多应用，如 物理学、经济学、生态学等。
数列在物理学中的应用
物理学中的许多自然现象可以用数列来描述和解释，如运动轨迹、震动频率、 量子力学等。数列为解决实际问题提供了重要数学工具。
斐波那契数列的递推公式
递推公式：F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n > 2)。
斐波那契数列的通项公式
通项公式：F(n) = (phi^n - (-phi)^(-n)) / sqrt(5)，其中phi = (1 + sqrt(5)) / 2。
序列的极限
极限是数列中数值随着项数无限增加时的趋势或稳定值。极限理论既是数学学科中的重要内容，也有广 泛的应用。
数列数列的概念ppt课件
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝n3n2＋1(n≥2)． 当n＝1时，a1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝32n2＋n2.
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
第1讲 数列的概念
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
探究二：由 Sn 求 an
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
寒假五年级奥数-[第1讲]等比数列(一)
![寒假五年级奥数-[第1讲]等比数列(一)](https://img.taocdn.com/s3/m/78003a6ba58da0116c1749e5.png)
寒假五年级奥数竞赛班等比数列（一）什么是等差数列？一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。
什么是等比数列？和等差数列类似，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。
找出下列数列的规律，继续写出两项，并说出哪些是等差数列，哪些是等比数列？⑴5，5，5，5⑵1，2，4，7，11⑶6，12，24，48，96⑷2，3，5，8，13⑸20，17，14，11，8世界杯期间，e度社区举办了竞猜得金币活动。
只要你竞猜成功，你的金币数就会乘以一个固定的倍数（可以是分数）。
小昊昊原来有200个e度金币，在竞猜成功两次后，金币数变成了450个。
那么小昊昊下一次竞猜成功后，会有多少金币？一个等比数列，其相邻两项的差（大减小）构成一个公比为4的等比数列，第3项比第2项小12。
那么第1项是多少？一个等比数列，第1项和第5项的和是164，第2项和第6项的和是492。
那么第1项是多少？计算：1＋2＋4＋8＋…＋1024在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．下列数列哪些是等差数列，哪些是等比数列？( )①99999，，，， ②41236108324，，，， ③9186817671，，，， A ．等差数列：①，等比数列：②，③B ．等差数列：①，③，等比数列：①，②C ．等差数列：①，③，等比数列：②D ．等差数列：③，等比数列：①，②2．世界杯期间，e 度社区举办了竞猜得金币活动。
只要你竞猜成功，你的金币数就会乘以一个固定的倍数(可以是分数)。
小昊昊原来有150个e 度金币，在竞猜成功两次后，金币数变成了600个。
那么小昊昊下一次竞猜成功后，会有( )金币。
A ．1000B ．1100C ．1200D ．13003．一个等比数列，其相邻两项的差(大减小)构成一个公比为6的等比数列，第3项比第2项小10。
数列ppt课件
详细描述 利用混合数列的性质进行计算； 求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数 列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的 应用领域不断扩大，如组合数学 、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念， 是研究连续函数的基础。通过数 列，可以理解函数的极限、连续 性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应 用。通过数列的收敛性，可以研 究无穷级数的和，以及其在数学 分析中的各种应用。
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判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类 型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和； 利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的 数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性 质等知识点。 求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
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总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察 等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
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详细描述
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求等差数列的通项公式；
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求等差数列的项数；
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等差数列的求和公式
总结词
等差数列的求和公式是用来计算数列 中所有项的和的数学公式。
详细描述
等差数列的求和公式是 S_n = n/2 * (2a_1 + (n - 1)d)，其中 S_n 表示前 n 项的和，a_1 表示首项，d 表示公差， n 表示项数。这个公式可以帮助我们快 速计算出等差数列中所有项的和。
03 等比数列
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意项与它的前一项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字排列，其中任意一项与它的前一项的比值都等于同一个常数。这个常数被称为公比， 通常用字母q表示。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示数列中每一项的数学表达式。
04 数列的极限与收敛
数列的极限定义
极限的定义
对于数列${ a_{n}}$，如果当$n$ 趋于无穷大时，$a_{n}$趋于某个
常数$a$，则称$a$为数列${ a_{n}}$的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性 等性质。
极限的运算性质
极限具有可加性、可乘性、可分离 性等运算性质。
收敛数列的性质
在经济学中的应用
在经济学中，很多问题也可以转化为求和问题，例如计算总收益、总成本等。而求和问题 同样可以转化为数列的极限问题。因此，数列的极限和收敛的概念在经济学中也有着广泛 的应用。
05 数列的级数
级数的定义与分类
要点一
定义
级数是无穷数列的和，可分为数项级数和函数项级数。
要点二
分类
根据项的正负和收敛性，级数可分为正项级数、负项级数 、交错级数等。
正项级数的审敛法
小学奥数数列原理寒假课件
第一讲数列除了偶数列和等比数列，必须是从1 开始计算的才能使用下面这些公式，如果不是，必须补全了再用。
一、八个基本数列1、自然数列1+2+3+4+5+……n=n(n+1)/22、奇数列1+3+5+7+9+……+(2n-1)=n×n3、偶数列2+4+6+8+……+2n=n(n+1)4、等差列公式：1.和=（首项+末项）×项数÷2 =中间数×项数2.项数=（末项-首项）÷公差+13.末项=首项+（项数-1）×公差5、等比数列2,6,18,54,112，……6、斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,34，……7、自然数平方数列（正方形数列）12+22+32+42+52+……+n2=n(n+1)(2n+1)/68、自然数立方数列13+23+33+43+53+……+n3=n2(n+1)2/4二、两个形数1、正方形数:1,4,9,16,……2、三角形数:1,3,6,10,……练习题1.有一等差数列，相邻的两项的差是2，第10项是37，试求出它的第5项是多少。
2. 已知一个等差数列的首相是4，公差是5，问84这个数是这个等差数列的第几项？3．2003×2+2001×2+···+3×2+1×2=4、.5.求值：① 6+11+16+...+501. ② 101+102+103+104+ (999)6.1000+999-998+997+996-995+···106+105-104+103+102—101=7、如果每一对兔子每月能生一对新兔子，而每一对新兔子在出生后的第三个月里开始生一对新兔子，在不发生死亡的情况下，一对初生的兔子1年能繁殖到多少对？8、邮局门前共有10级台阶.若规定一步只能登上一级或两级台阶，问上这个台阶共有多少种不同的上法？9、10954433221⨯++⨯+⨯+⨯+⨯10、计算：70696766131210976431+++++++++++++11、 2004×2003-2003×2002+2001×2000-2001×2000+……+2×112、10×9 - 9×8 + 8×7 - 7×6 + 6×5 - 5×4 + 4×3 - 3×2 + 2×113、 有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29……这列数第101 个数是多少？14、计算：=-++⋯+-++-+123252627282930__________。
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数列的分类
有穷数列和无穷数列
• 有穷数列的项数是有限的，无穷数列的项数是无限的 。
等差数列和等比数列
• 等差数列的相邻两项之差是一个常数，等比数列的相 邻两项之比是一个常数。
有序数列和无序数列
• 有序数列是指各项按照一定的顺序排列的数列，无序 数列是指各项没有固定的顺序排列的数列。
数列的应用
在数学领域的应用
数列极限的性质
唯一性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则其极限是唯一的。
有界性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，则存在正数$M$，使得当$n$
充分大时，有$|a_n| < M$。
保号性
如果数列$\{ a_n \}$收敛于$A$ ，且当$n$充分大时，有$a_n > 0$（或$a_n < 0$），则有$A >
数学分析
收敛数列在数学分析中有 着广泛的应用，如泰勒级 数、洛朗兹级数等。
THANKS
感谢观看
公式
03
an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式
通项公式的推导
由等差数列的定义可知，an=a1+(n-1)d，当n=1时，a1=a1+(1-1)d，即 a1=a1+0d=a1，当n=2时，a2=a1+d=(a1+d)，当n=3时， a3=a1+2d=(a1+d)+d=a2+d,依次类推，得出通项公式an=a1+(n-1)d。
减法
如果$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$且$\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$， 则有$\lim_{n \rightarrow \infty}(a_n - b_n) = A - B$。
数列的概念-动画讲解PPT课件
知识点二 数列的通项公式
如果一个数列{an}的第n项an 与n之间的关系可以用一个公式来
表示,那么这个公式就称为数 列 的 通 项 公 式 , 即 a n = f (n ) .
因此,如果已知一个数列的通项公式,那么只要依次
用 1 ,2 ,3 ,4 , ... 代 替 公式中的n 就可以求出这个数列的各项 。
知识点三 数列的分类
数列
特点
按照数列的项数是有限还是无限来分，数列可分为有穷数列
有穷数列、无穷数 和无穷数列.切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的
列
项数再多，只要是有限项，就是有穷数列。
单调数列
常数列
按前后项之间的大小关系来分。
若前面的项永远小于它后面的项，即a1<a2<a3<⋯<an<⋯,这
技巧
点拨
由数列的前n项和表达式求通项公式时
但最终结果要根据具体情形一分为二，或合二为一.
典例解析
例3
已知数列{an}的通项公式为an=2n2+3
(1)试写出该数列的前3项
(2)试判断75是不是该数列的项,若是,是第几
项?
解析
技巧
点拨
(1)将n=1,2,3代入通项公式,
得a1=5,a2=11,a3=21.
(2)由75=2n2+3得n=6或n=-6(舍去),所以75是该数
列的第6项.
本题第（1）问是利用数列的通项公式求数列中的项，将n的值代入通项
公式即可求解；
第（2）问是判断一个数是否为数列中的项，把这个数代入通项公式解
关于n的方程即可，解出的n必须是正整数.
谢谢
n+2
小学奥数-(数列求和)PPT
目录
01
教学课件概述
教学课件是根据教学大纲和教学目标，针对特定教学内容制作的多媒体教学资源。
定义
旨在辅助教师进行教学，提高教学效果，增强学生的学习兴趣和参与度。
目的
定义与目的
演示型课件
交互型课件
游戏型课件
仿真型课件
课件类型及特点
01
02
03
04
以幻灯片、动画等形式展示教学内容，适用于课堂演示和讲解。
数列求和
小学奥数全能解法及训练
解法精讲
精讲1
（1）1、2、3、4、5、6
（2）2、4、6、8、10、12
（3）5、10、15、20、25、30
数列
首项
末项
项数
a1
an
n
精讲2
（1）1、2、3、4、5、6
（2）2、4、6、8、10、12
（3）5、10、15、20、25、30
1
2
5
公差
等差数列
d
精讲3
数列:1、3、5、7、9、11……
首项+公差×（2-1）
第3项: 5=1+2 ×2
第4项: 7=1+2 ×3
第2项: 3=1+2
首项+公差×（3-1）
首项+公差×（4-1）
an=a1+(n-1)×d
精讲4
数列:6 、10 、14 、18 、22 、26 30 、34 、38
将多张图片进行排版和组合，形成具有逻辑关系和视觉冲击力的图表或画廊效果。
图片排版与组合
图片编辑与美化方法
选用通用的音频视频格式，确保课件能够在不同设备和平台上正常播放。
小学奥数《等差数列》教学课件
练习6：8 个不同自然数组成一个等差数列，已知所有数的和是 272，请问其中最小数的最 小值是多少？
新知探究
mathematics
新知阐述：
变形等差数列：
隔项等差数列：奇数项构成等差数列，偶数项构成等差数列；
例题8：有一个数列，第一项为 12，第二项为 19，从第三项起，如果它的前两项和是奇数， 那么该项就等于前两项的和，如果它的前两项和是偶数，该项就等于前两项的差（较大数减 较小数），那么，这列数中第多少项第一次超过 2016？
等差数列
首项、末项、公差、项数的关系； 已知三个，求另一个
总结归纳
mathematics
例题7： （1）计算：1+3+4+6+7+9+10+12+37+39+40； （2）有一列数：1，2，4，7，11，16，22，29，37，…… ，问这列数的第 101 个是多少?
数学例题
mathematics
练习7：计算 4+5 +8+9+12+13+…+100 +101
数学例题
mathematics
1，5，3，10，5，15，7，20，9，25，11，30，13，35，15，40……
二级等差数列：数列从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排 成新的数列，这个新数列是一个等差数列； 1，3，7，13，21，31，43，57，73……
等差数列是最常见 的数列
数学例题
mathematics
数学例题
mathematics
《数列的概念》课件
数学表达
如果对于任意的正整数n，都有an=(-1)^n*b(n)，其中b(n)是另一个数列，则称数列{an} 具有奇偶性。
03
数列的应用
在数学中的应用
性质
递推数列的每一项都可以通过前一项或前几项计 算得出，具有很强的规律性。
THANK YOU
公式
通项公式为 $a_n = a_1 times r^{(n-1)}$，其 中 $a_1$ 是首项，$r$ 是公比。
3
性质
等比数列的任意一项都可以通过首项和公比计算 出来，且任意两项之间的比值都是固定的。
递推数列
定义
递推数列是一种通过递推关系式来定义数列的数 列。
公式
递推数列的通项公式通常不能直接求解，需要通 过递推关系式逐步计算得出。
《数列的概念》ppt课件
• 数列的定义 • 数列的性质 • 数列的应用 • 数列的运算 • 数列的拓展
01
数列的定义
数列的描述
总结词
数列是一种特殊的函数，它按照一定的次序排列。
详细描述
数列是一种有序的数字排列，每个数字都有其对应的位置，并且每个位置上的 数字都是唯一的。数列可以看作是函数的特例，其中自变量是自然数或整数， 因变量是实数或复数。
02 03
详细描述
有界性是数列的一个重要性质，它保证了数列不会发散到无穷大或无穷 小。具体来说，如果存在正数M，使得对于所有n，数列的第n项an都 满足|an|≤M，则称数列有界。
数学表达
如果存在正数M，使得对于所有n，都有|an|≤M，则称数列{an}有界。
数列 完整版课件PPT
第七层 第六层 第五层 第四层 第三层 第二层
第一层
4 5 6
7 8 9
10
从1984到2008年金牌数
15, 5, 16, 16, 28,31,51
奥运 之光
认真观察，寻找规律
某种放射性物质不断变为其他物质，每经过一年， 剩留的这种物质是原来的84%，设这种物质最初的质量 是1，则这种物质各年开始时的剩留量排成一列数：
设问：同学们，３１天你们一共收入了多少?付 出了多少呢？
收入了３１０万元的同时，共付出： １+２+２２+２３+……+２３０ ＝？
在学习了数列的相关知识后你们会 发现，31天你们一共需要付出 2147483647分，即2000多万元。
第三章 数列 ３.１ 数列
何曼妮
毕节六中
从上往下钢管的根数依次为多少？ 从下 往上钢管的根数依次为多少？
单调递增数列 （ an+1＞an）
单调递减数列 （ an+1＜an）
摆动数列 （ an+1与an的大小关系不定）
常数列 （ an为一个常数）
２、根据数列的项数可分为：
有穷数列、无穷数列
例１、根据下面数列{an}的通项公式写出它的前5项：
（１）
an
n 2n 1
（2）
an
(1)n
•
n
变式：
数列{an}中，
１,0.84，0.842， 0.843， ．．．．．．
探究一： 以下五列数有什么共同特点？
一、二、 1，2， 22，23，24，…,230
①
均有 是一
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ②
一定
10, 9, 8, 7, 6, 5, 4
小学五年级奥数之认识数列精品PPT教学课件
1
什么是数列？
按一定规律排列的数
是一列数，可以有限，可以无限
如：1，2，3，4，5，…… 1，1，2，3，5，8，13，21
2020/12/6
2
认识数列
观察：1，3，5，7，9，……，19
第 第 第 第第
第
项数
一 二 三 四五
十
项 项 项 项项
项
首项
2020/12/6
末项
（73-1）÷2+1=37（个） 即1+73是第37个算式。
2020/12/6
16
概念：
数列，数列的项； 数列的性质观察；
数列的分类：
递增数列，递减数列； 有限数列，无限数列，常数列； 等差数列；递推数列，周期数列；
数列性质的应用：
观察数列运算规律，找出新数列，得到原数列规律。
2020/12/6
递推数列：
如： 1，1，2，3，5，8，13，21 ，……
周期数列：
如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，1，……
2020/12/6
7
实战演练2
观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。 （1）5，9，13，17， 21 ， 25 。 （2）1，4，9，16， 25 ， 36 。 （3）4，5，7，11，19， 35 ， 67。
2020/12/6
8
找出下列各数列的规律，在横线上，填出适当的数。 （1）5，15，45，135， 405 ， 1215 。 （2）60，63，68，75， 84 ， 95 。 （3）180，155，131，108， 86 ， 65 。 （4）0，1，1，2，3，5， 8 ， 13 。
2020/12/6
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第一讲数列
除了偶数列和等比数列，必须是从1 开始计算的才能使用下面这些公式，如果不是，必须补全了再用。
一、八个基本数列
1、自然数列
1+2+3+4+5+……n=n(n+1)/2
2、奇数列
1+3+5+7+9+……+(2n-1)=n×n
3、偶数列
2+4+6+8+……+2n=n(n+1)
4、等差列公式：
1.和=（首项+末项）×项数÷2 =中间数×项数
2.项数=（末项-首项）÷公差+1
3.末项=首项+（项数-1）×公差
5、等比数列
2,6,18,54,112，……
6、斐波那契数列
1,1,2,3,5,8,13,21,34，……
7、自然数平方数列（正方形数列）
12+22+32+42+52+……+n2=n(n+1)(2n+1)/6
8、自然数立方数列
13+23+33+43+53+……+n3=n2(n+1)2/4
二、两个形数
1、正方形数:1,4,9,16,……
2、三角形数:1,3,6,10,……
练习题
1.有一等差数列，相邻的两项的差是2，第10项是37，试求出它的第5项是多少。
2. 已知一个等差数列的首相是4，公差是5，问84这个数是这个等差数列的第几项？
3．2003×2+2001×2+···+3×2+1×2=
4、.
5.求值：① 6+11+16+...+501. ② 101+102+103+104+ (999)
6.1000+999-998+997+996-995+···106+105-104+103+102—101=
7、如果每一对兔子每月能生一对新兔子，而每一对新兔子在出生后的第三个月里开始生一对新兔子，在不发生死亡的情况下，一对初生的兔子1年能繁殖到多少对？
8、邮局门前共有10级台阶.若规定一步只能登上一级或两级台阶，问上这个台阶共有多少种不同的上法？
9、10954433221⨯++⨯+⨯+⨯+⨯
10、计算：70696766131210976431+++++++++++++
11、 2004×2003-2003×2002+2001×2000-2001×2000+……+2×1
12、10×9 - 9×8 + 8×7 - 7×6 + 6×5 - 5×4 + 4×3 - 3×2 + 2×1
13、 有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29……这列数第101 个数是多少？
14、计算：=-++⋯+-++-+123252627282930__________。
15、按规律排列的一串数：2,5,9,14,20,27，……………,这串数的第2008 个数是多少？
16、求：152 +162 +172 +……+ 212 =？
17、222221171615+++
18、求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.
19、连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？
20、 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？
21、 把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.
22、100到200之间不能被3整除的数之和是多少？
六、例题讲解
例1 1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70
解析：对于数列求和一定先观察规律，根据所找规律就有相应的解题方法。
法一：看出是一双重等差数列，则分别求两个等差数列的和，再加起来就可以了。
则原式=（1+4+7+……+70）+（3+6+9+……+69）=1680
法二：将3+4 看为一组，6+7 看为一组……
原式=1+7+13+19+……+139=（1+139）×24÷2=1680
法三:原数列补上2,5,8……，68 后则为一自然数列
则原式=（1+2+3+……+70）-（2+5+8+……+68）=1680
例2 2004×2003-2003×2002+2001×2000-2001×2000+……+2×1
铺垫：乘法分配律的应用
（100+4）×25=100×25+4×25=2500+100=2600
37×28+63×28=（37+63）×28=100×28=2800
303×217-302×217=（303-302）×217=217
10×9 - 9×8 + 8×7 - 7×6 + 6×5 - 5×4 + 4×3 - 3×2 + 2×1
=（10-8）×9+（8-6）×7+（6-4）×5+（4-2）×3+2×1
=2×9+2×7+2×5+2×3+2×1
=2×（9+7+5+3+1）
=2×25
=50
例2 与上题规律一样
原式=2×2003+2×2001+2×1999+……+2×1
=2×（2003+2001+1999+ (1)
=2×10022 ……连续奇数求和公式
=2008008
例3 有一列数：1,2,4,7,11,16,22,29……这列数第101 个数是多少？
解析：对于数列问题，找出规律是第一步。
法一：a2=1+1
a3=1+1+2
a4=1+1+2+3
……
a101=1+1+2+3+……+100=1+5050=5051
法二：递推归纳。
发现数列中的差是有规律的，那么把各个差表示出来
a2-a1=1
a3-a2=2
a4-a3=3
……
a101-a100=100
再把所有的等式相加，大多数项都抵消了。
最后左边剩下a101-a1，右边
=1+2+3+……+100
2010 年四年级秋季班第一讲整数与数列程雪
四年级秋季班（七级下） 1.4
即a101-a1 =1+2+3+……+100=5050， a101=5050+ a1=5051。
拓展（2009 迎春杯中年级决赛题）有一个数列，从第三项起，每一项都是它前面两项的和，
已知第二项是39，第十项是2009，求前8 项的和。
解析：从第三项开始，就有了规律，把规律表示出来如下
a3=a2+a1
a4=a3+a2
a5=a4+a3
……
a10=a9+a8
a3+a4+a5+ …+a10= （a2+a3+a4+ …+a9）+（a1+a1+a3+ …+a8）
（a3+a4+a5+ …+a10）-（a2+a3+a4+ …+a9）= （a1+a1+a3+ …+a8）
a10-a2 = （a1+a1+a3+ …+a8）
所以（a1+a1+a3+ …+a8）=2009-39=1970
例4 有一数列1,4,9,16,25,36……，问第1990 个数与第1991 个数相差多少？解析：本题为平方数列，第几项就是几的平方，那么，第1990 个数就是19902 第1991 个数就是19912
两数的差就是 19912 - 19902 = 1991+1990=3981（两数相差为1，其平方差就是两数和）
拓展 314159262 - 31415925×31415927
解析：31415925×31415927 显然可以改写为平方差的形式=（31415926-1）×（31415926+1）
=314159262-1
原式=314159262-（314159262-1）=1
例5 12 - 22 + 32 - 42 + 52 - 62 + 72 - 82 + 92 - 102 + 112
解析：看见这么多平方数，且中间还有减号连接，自然想到平方差公式，但12 -
22 不够减，
则考虑从后减起。
原式=112- 102 + 92 - 82 + 72- 62 + 52 - 42 + 32 -22 + 12
=（11+10）+（9+8）+（7+6）+（5+4）+（3+2）+1
=66
例6 （22+42+62+......+1002）-（12+32+52+ (992)
解析：同上，看见平方数，又有减号，联想到平方差公式。
故拆括号，配对去减。
原式=22-12+42-32+62-52+……+1002-992
=（2+1）+（4+3）+（6+5）+……+（100+99）
=1+2+3+4+5+6+……+100
=5050。