数列求和定稿课件讲义和练习.doc

数列求和
一:核心梳理、茅塞顿开
数列求和的常用方法
1.公式法
（1）直接应用等差、等比数列的求和公式；
（2）掌握一些常见的数列的前n项和：123
+++……+n=，1+3+5+……+=
2.倒序相加法：如果一个数列{}n a，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n 项和即可用倒序相加发，如数列的前n项和就是此法推导的。

3.错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如数列的前n项和就是用此法推导的.
4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

常见的拆项公式
有：
1
()
n n k
=
+
，=，
1
(21)(21)
n n
=
-+
，等.
例1．求和：
（1）
)
(
)2
(
)1
(2n
a
a
a n-
+
+
-
+
-
（2）
)1
2
)(1
2(
1
5
3
1
3
1
1
+
-
+
+
⨯
+
⨯n
n
（3）
)1
(
3
2
11
2≠
+
+
+
+-x
nx
x
x n
四、练习题：
1．数列}{n a 的通项公式是)(11
+∈++=N n n n a n ，若它的前n 项和为10，则其项数n 为
A ．11
B ．99
C ．120
D ．121
2．数列 ,211
,,3211
,211
,1n ++++++的前n 项和为
A ．122+n n
B ．12+n n
C ．12
++n n D ．12+n n
3．数列}{n a 的通项是14-=n a n ，n a a a b n n +++= 21
，则数列}{n b 的的前n 项和为
4．设221
)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，
可求
)0()4()5(f f f ++-+- )6()5(f f ++的值为A ．23 B ．2 C ．22 D ．22
6．22222212979899100-++-+- 的值是
7．数列 ,21
)12(,,815,413,211n n +-的前n 项和为n S ，则=n S
8．在等比数列}{n a 中，1221-=+++n n a a a ，则=+++2
222
1n a a a
9．数列2211,(12),(122),,(1222),n -+++++++的通项公式n a = ，前n 项和n S = .
10．若数列{}n a 满足 12a =，1(1)2n n na n a +-+=，则数列{}n a 的通项公式n a =_ __
13．已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为.621
,33=⋅=S a S n
（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）求和：n
S S S 1
1121+++ .
14．设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=
（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n
n n b a c =
，求数列}{n c 的前n 项和n T .
15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，4096n n a S +=。

（1）求数列{}n a 的通项公式（2）设数列2{log }n a 的前n 项和为n
T
16若{}
n a 的通项为n a =100项和100S = 。

17若{}n a 的通项为141
2-=n a n ，则前n 项和=n S 。

18.已知数列{}n a 的前n 项和)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n ,=-+312215S S S
19.在数列{}n a 中，11=a ，241+=+n n a S ，
(1)设n n n
a a
b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列； (2)设,2n
n n a c =求证:数列{}n c 是等差数列； (3)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式。

赠送以下学习资料
和倍差倍问题
学习目标
通过和倍、差倍问题的学习，除了掌握这类问题的解决方法以外，其重点要学习画线段图。

二、基础知识
1.和倍问题是已知两个数的和及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题。

基本的数量关
系：和÷(倍数+1)=较小数 (即1倍数、标准数)
2.差倍问题是已知两个数的差及它们之间的倍数关系而求这两个数各是多少的应用题。

基本公式：差
÷(倍数的差)＝标准数(一倍数)
例题解析
一、和倍问题
例1：某班为“希望工程”捐款，两组少先队员共交废报纸240千克，第一组交的废报纸是第二组的3倍，问两组各交废报纸多少千克？
小结：解答基本的和倍问题，先确定其中一个数作为标准数(1倍数)，再找出两数的和，及其相对应的倍数关系，这样就可以求出标准数，也就可求出另一个数(较大数)。

基本的数量关系：和÷(倍数+1)=较小数 (即1倍数、标准数)
练一练：NBA球星姚明到底有多高？现在已知小明和姚明的身高和是339厘米，姚明的身高大约是小明身高的2倍。

你能够算出来吗？
例2：哥哥原有108元，弟弟有60元，如果现在想把哥哥的钱调整到弟弟的5倍，弟弟应给哥哥多少钱？
练一练：妹妹有课外书20本，姐姐有课外书25本，姐姐给妹妹多少本后，妹妹课外书是姐姐的2倍？例3：二个同学共做了23道题。

如果乙同学再多做1题，将是甲同学做的2倍，二个同学各做了几题？
例4：熊猫水果店运来水果380千克，其中苹果比梨的3倍还少40千克，水果店运来苹果和梨各多少千克?
练一练：果园里种桃树和梨树共340棵,其中桃树的棵数比梨树的3倍多20棵，梨树种了多少棵？
例5：三捆电线共长273米，其中第二根的长度是第一根长度的2倍，第三根的长度是第二根长度的2倍。

三根电线各多少米？
练一练：甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数比丙数的3倍少2。

求这三个数。

例6：某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人？
二、差倍问题
例1：某小学参观科普展览，第一天参观的人数比第二天多200人。

已知第一天参观的人数是第二天的
3倍，两天参观的各是多少人？
练一练：已知甲、乙两个数的商是4，而这两个数的差是30，那么这两个数中较小的一个是多少？
例2：甲、乙两车间原来人数相等，因工作需要，从甲车间调24人到乙车间.这时乙车间人数是甲车间的4倍.甲、乙两个车间原来各有多少人
例3：四（1）班与四（2）班原有图书的本数一样多。

后来，四（1）班又买来新书118本，四（2）班从本班原有书中取出70本送给一年级同学。

这时，四（1）班的图书是四（2）班的3倍。

求两班原有图书各多少本
例4：有大、小两猴都有一些桃子。

小猴比大猴少13个，如果小猴再给大猴6个，这时小猴的桃子相当于大猴的1半，求大、小两猴原来各有多少个？
练一练：有两块布料，第一块148米，第二块100米，两块布各剪去同样的一段后，剩下的米数第一块是第二块的3倍。

两块布各剪去多长？
例5：猪、牛、羊跑步，如果，牛为猪跑得2倍，羊为牛跑的4倍，羊比猪多跑56，那么三动物共跑了多少路？
试一试：两个自然数相除商是15，余数是7，并且被除数比除数大735。

求这两个数。

例6：某工厂有两堆煤，第一堆比第二堆多50吨，两堆煤各用去75吨后，剩下的第一堆煤是第二堆煤的3倍。

求两堆煤原来各有多少吨？
试一试：用中国象棋的车，马，炮分别表示不同的自然数。

如果：车÷马＝2，炮÷车＝4，炮－马＝56，那么“车＋马＋炮”等于多少？
课后作业：
1.小华和小瓜分别栽花和种瓜，一共88棵，小华栽花的棵数是小瓜种瓜棵数的3倍.小华栽了多少花？
小瓜种了多少瓜？
2.学校图书馆买来故事书、科技书共1000本，科技书比故事书的2倍多12本，求学校买故事书、科
技书各多少本?
3.果园里有梨树、桃树、核桃树共526棵。

梨树比桃树的2倍多24棵，核桃树比桃树少18棵。

求梨
树、桃树及核桃树各有多少棵？
4.食堂运来一些大米和面粉，其中大米比面粉多270千克，买的大米刚好是面粉重量的4倍，买来大
米和面粉各多少千克？
5.有两根同样长的铁丝，第一根用去16米，第二根用去6米，剩下的铁丝，第二根的长是第一根的3
倍。

两根铁丝原来各多长？
6.甲、乙、丙三人进行口算比赛，已知甲做的题目是乙的2倍，乙做的是丙的3倍，又已知丙比甲少
做了24题，求三人各做了多少题？。