平均变化率
变化率简介

变化率简介变化率是学习导数的前提,它在描述各种变化规律的过程中起着非常重要的作用,速度和加速度就是两个典型例子.新教材人教A 版中,对于变化率主要从以下两个方面介绍:1、平均变化率;2、瞬时变化率.一、平均变化率函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆或(00[,]x x x +∆)上的平均变化率是商yx∆∆,其中x ∆是自变量x 在0x 处的改变量,可正可负,但不能为0,y ∆是函数值相应的改变量,即00()()y f x x f x ∆=+∆-(y ∆为正、负、零均可)所以00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆,下面通过举例来进一步加深对概念的理解。
例1、求332-=x y 在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率.解:当自变量从0x 到x x ∆+0之间变化时,函数的平均变化率为:x f∆∆=∆-∆+=x x f x x f )()(00xx x x ∆---∆+=]33[]3)(3[2020 x x xx x x ∆+=∆∆+∆⋅=36)(3602评注:此类题目只需要紧扣定义式,注意运算过程就可以了. 评注:⑴函数平均变化率的求法可分两步:①求y ∆;②求yx∆∆.⑵不论0x 、x ∆中的哪一个变化,都会引起函数平均变化率的变化。
拓展:函数()y f x =的平均变化率的几何意义为其图象上割线的斜率。
即:函数()y f x =的图象为曲线C ,曲线C 上有一点00(,)P x y 及邻近一点00(,)Q x x y y +∆+∆,则割线PQ 的斜率0000y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。
利用平均变化率的几何意义,可解决一些实际问题,举例如下:例2、某电视机厂有甲、乙两条生产流水线,产量S (单位:台)与时间t (单位:天)的关系如图所示,问:(1)0t 天内,甲、乙两条生产线的平均日产量哪个大?(2)在接近0t 天时,甲、乙两条生产线谁的日产量大?0,)x y y ∆+∆解析:(1) 0t 天内,甲、乙两条生产线的平均日产量,即函数1()S f t =与2()S f t =在0[0,]t 内的平均变化率,其都为直线OA 的斜率,所以0t 天内,甲、乙两条生产线的平均日产量相同。
函数的平均变化率

例1.求函数y=x2在区间[x0,x0+△x] (或[x0+△x,x0])的平均变化率。
解:函数y=x2在区间[x0,x0+△x] (或
f(x0 x)f(x0)[(x 0x+0△ x , x 0x ] ))的2平 均x 变0 2 化 率 为
x
x
2x0 x
由上式可以看出,当x0取定值时,△x取不同的值, 函数的平均变化率不同,当△x取定值,x0取不同 的值时,该函数的平均变化率也不一样。 例如,x0取正值,并不断增大时,该函数的平均变 化率也不断地增大,曲线变得越来越陡峭。
许多小段,每一小段的山坡可视为平直
的。例如,山坡DE可近似的看作线段
DE,再用对平直山坡AB分析的方法,
得到此段山路的陡峭程度可以用比值近
似y地刻画。f (xk1) f (xk)
x
xk1 xk
y
x
注意各小段的 是不尽相同的。但不管是哪
一小段山坡,高度的平均变化都可以用起点、
终点的纵坐标之差与横坐标之差的比值
来度y量。 f (xk1) f (xk)
x
xk1 xk
由此我们引出函数平均变化率的概念。
函数平均变化率的概念:
一般地,已知函数y=f(x),x0,x1是
其定义域内不同的两点,记△x=x1-x0,
△y=y1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+△x)-
f(x0).
则当△x≠0时,商
f(x0x)f(x0)y
一质点运动的方程为s=1-2t2,则在
一段时间[1,2]内的平均速度为
()
○ A.-4
B.-8
○ C. -6
D.6
C
三.将半径为R积增加△S等于( 8 ) R R4 R2
平均变化率的概念及几何意义

所以,所求切线的斜率为2,因此,所求的切线方程为 即
四、课堂运用
【基础】
1.求 在 到 之间的平均变化率,并求 , 时平均变化率的值.
【解析】当变量从 变到 时,函数的平均变化率为
当 , 时,平均变化率的值为: .
2.求函数y=5x2+6在区间[2,2+ ]的平均变பைடு நூலகம்率
【解析】 ,
所以平均变化率为
【巩固】
1.自由落体运动的运动方程为 ,计算t从3s到3.1s,3.01s,3.001s各段的平均速度(位移s的单位为m)。
【解析】要求平均速度,就是求 的值,为此需求出 、 。
设在[3,3.1]的平均速度为v1,则
,
。
所以 。
同理 。
。
2.过曲线 上两点 和 作曲线的割线,求出当 时割线的斜率.
【解析】当 时
=4Δt+4+8t0,
= (4Δt+4+8t0)=4+8t0.
【拔高】
1.函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,Δy=()
A.f(x0+Δx)B.f(x0)+Δx
C.f(x0)·ΔxD.f(x0+Δx)-f(x0)
【答案】D
【解析】Δy看作相对于f(x0)的“增量”,可用f(x0+Δx)-f(x0)代替.
一对一辅导教案
学生
性别
年级
学科
授课教师
上课时间
年 月 日
第( )次课
共( )次课
课时: 课时
教学课题
平均变化率的概念及几何意义;
教学目标
1.了解平均变化率的几何意义;
2.会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点与难点
平均变化率的概念,导数的几何意义
计算变化率公式范文

计算变化率公式范文变化率是指其中一变量在一段时间内的变化程度。
它可以帮助我们了解事物的增长或减少的速度,以及变化的幅度。
在各个领域中,变化率都有着广泛的应用,如经济学中的经济增长率、物理学中的速度等。
变化率的计算公式可以根据具体情况而定,下面将介绍几个常见的计算变化率的公式。
1.相对变化率(或百分比变化率)相对变化率是指一个量相对于原始状态的变化幅度的百分比。
它用于比较两个不同时间点或两个不同条件下的数量变化程度。
相对变化率的计算公式如下:相对变化率=(新状态值-原始状态值)/原始状态值×100%例如,假设公司的销售额在去年是100万美元,在今年增加到120万美元。
那么相对变化率可以通过以下公式计算:相对变化率=(120-100)/100×100%=20%2.平均变化率平均变化率表示一个变量在一段时间内的平均增长或减少速度。
它是根据起始和终止状态的变量值计算得出的。
平均变化率的计算公式如下:平均变化率=(终止状态值-起始状态值)/时间间隔例如,公司在2024年底的总资产是100万美元,在2024年底增加到120万美元。
那么平均变化率可以通过以下公式计算:平均变化率=(120-100)/(2024年-2024年)=20万美元/年3.比例变化率比例变化率用于比较两个变量之间的比例变化程度。
它可以帮助我们了解两个变量在变化过程中的相对关系。
比例变化率的计算公式如下:比例变化率=新变量/原变量例如,假设城市的人口在2000年是100万人,在2024年增加到120万人。
那么比例变化率可以通过以下公式计算:比例变化率=120/100=1.24.导数变化率在微积分中,导数是变化率的一个重要概念。
导数可以用来求解函数在其中一点的变化率,即函数在该点的切线的斜率。
导数变化率的计算公式如下:导数变化率 = dy / dx其中,dy表示变量y的微小变化量,dx表示变量x的微小变化量。
例如,假设物体的位移函数为s(t)=2t^2+3t+1(其中t为时间)。
《平均变化率》教案及教案说明

《平均变化率》教案及教案说明一、教学目标:1. 让学生理解平均变化率的定义及其几何意义。
2. 让学生掌握平均变化率的计算方法。
3. 让学生能够应用平均变化率解决实际问题。
二、教学内容:1. 平均变化率的定义2. 平均变化率的计算方法3. 平均变化率的应用三、教学重点与难点:1. 教学重点:平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 教学难点:平均变化率的计算方法及应用。
四、教学方法:1. 采用问题驱动法,引导学生主动探究平均变化率的定义、计算方法及应用。
2. 利用多媒体课件,直观展示平均变化率的图形,增强学生对概念的理解。
3. 开展小组讨论,让学生在合作中思考、交流,提高解决问题的能力。
五、教学过程:1. 导入新课:通过生活中的实例,引出平均变化率的概念。
2. 讲解与演示:讲解平均变化率的定义,展示相关图形,让学生直观理解。
3. 自主学习:学生自主探究平均变化率的计算方法。
4. 小组讨论:学生分组讨论,分享各自的方法,互相学习。
5. 练习与应用:布置练习题,让学生巩固所学知识,并应用到实际问题中。
6. 总结与反思:对本节课的内容进行总结,引导学生思考如何更好地运用平均变化率解决实际问题。
7. 作业布置:布置适量作业,巩固所学知识。
教案说明:本教案以学生为主体,注重培养学生的自主学习能力、合作意识及解决问题的能力。
在教学过程中,充分利用多媒体课件,直观展示平均变化率的图形,有助于学生更好地理解概念。
通过生活中的实例,让学生感受数学与生活的紧密联系,激发学生的学习兴趣。
在练习与应用环节,注重让学生将所学知识运用到实际问题中,提高学生的数学素养。
本教案旨在让学生掌握平均变化率的知识,培养学生的数学思维能力。
六、教学评估:1. 课堂问答:通过提问,了解学生对平均变化率定义的理解程度。
2. 练习题:收集学生的练习作业,评估学生对平均变化率计算方法的掌握情况。
3. 小组讨论:观察学生在小组讨论中的表现,评估学生的合作能力和问题解决能力。
10初中数学“一元二次方程平均变化率问题”知识点全解析

初中数学“一元二次方程平均变化率问题”知识点全解析一、引言一元二次方程平均变化率问题在初中数学中占有重要地位,这类问题常常出现在各种考试和实际应用中。
掌握这类问题的解决方法,不仅可以提高学生的数学成绩,还可以培养其逻辑思维和解决问题的能力。
本文将详细解析一元二次方程平均变化率问题的概念、方法、应用及注意事项,帮助同学们更好地掌握这一知识点。
二、平均变化率的概念平均变化率描述了一个量在某一时间段内的平均变化情况。
在一元二次方程中,平均变化率通常用来描述函数图像在某一段内的斜率或倾斜程度。
设函数y=f(x),在区间[x₁, x₂]上的平均变化率为(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)。
三、一元二次方程与平均变化率的关系一元二次方程y=ax²+bx+c(a≠0)的图像是一个抛物线。
这个抛物线的形状和位置由系数a、b、c决定。
当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。
而抛物线的对称轴为x=-b/2a,顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
对于一元二次方程,我们可以通过计算其在某一区间上的平均变化率,来了解函数在该区间的变化情况。
特别地,当区间选取为对称轴两侧等距的两个点时,平均变化率可以反映抛物线的开口方向和宽度。
四、求解一元二次方程平均变化率问题的方法1.确定区间:首先确定需要计算平均变化率的区间[x₁, x₁]。
这个区间可以是题目给出的,也可以是根据实际问题自行选择的。
2.计算函数值:分别计算f(x₁)和f(x₁)的值,即把x₁和x₁代入一元二次方程中求得对应的y值。
3.计算平均变化率:利用公式(f(x₁)-f(x₁))/(x₁-x₁)计算平均变化率。
这个值可以反映函数在区间[x₁, x₁]内的平均变化情况。
4.分析结果:根据计算出的平均变化率,分析函数在指定区间的变化趋势和速度。
如果平均变化率为正,说明函数在该区间内总体呈上升趋势;如果平均变化率为负,说明函数在该区间内总体呈下降趋势。
第1章 1.1.1 平均变化率

1.1 导数的概念 1.1.1 平均变化率学习目标 1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率,并能用平均变化率解释一些实际问题.知识点 平均变化率1.一般地,函数f (x )在区间[x 1,x 2]上的平均变化率为f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1.2.平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.特别提醒:在函数平均变化率的定义中,应注意以下几点: (1)函数在区间[x 1,x 2]上有意义.(2)在式子f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1中,x 2-x 1>0,而f (x 2)-f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)实质:函数值的增量与自变量的增量之比. (4)作用:刻画函数值在区间[x 1,x 2]上变化的快慢.1.平均变化率一定为正值.( × )2.函数的平均变化率为零,说明函数没有发生变化.( × ) 3.在平均变化率中,函数值的增量为正值.( × )4.函数在区间上的变化速度与平均变化率的绝对值大小有关.( √ )一、实际问题中的平均变化率例1 (1)蜥蜴的体温与阳光的照射有关,其关系为T =120t +5+15,其中T 为体温(单位:℃),t 为太阳落山后的时间(单位:min),则t =0到t =10 min ,蜥蜴的体温的平均变化率为_______℃/min. 答案 -1.6解析 ΔT Δt =T (10)-T (0)10-0=⎝ ⎛⎭⎪⎫12010+5+15-⎝ ⎛⎭⎪⎫1200+5+1510=-1.6(℃/min),∴从t =0到t =10 min ,蜥蜴的体温的平均变化率为-1.6℃/min.(2)某森林公园在过去的10年里,森林占地面积变化如图所示,试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率.解 前5年森林面积的平均变化率为6.5-2.55-0=0.8(公顷/年).后5年森林面积的平均变化率为14.5-6.510-5=1.6(公顷/年).反思感悟 平均变化率问题在生活中随处可见,常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等.分清自变量和因变量是解决此类问题的关键.跟踪训练1 某质点沿方程为y =f (x )=5x 2+3(x 表示时间,f (x )表示位移)的曲线运动,则该质点从x =10到x =11的平均速度等于________. 答案 105解析 因为f (x )=5x 2+3,则质点从x =10到x =11的平均速度为v =f (11)-f (10)11-10=(5×112+3)-(5×102+3)11-10=105.二、函数在某区间上的平均变化率例2 (1)求函数f (x )=3x 2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率; (2)求函数g (x )=3x -2在区间[-2,-1]上的平均变化率. 解 (1)函数f (x )=3x 2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为f (2.1)-f (2)2.1-2=(3×2.12+2)-(3×22+2)0.1=12.3.(2)函数g (x )=3x -2在区间[-2,-1]上的平均变化率为g (-1)-g (-2)(-1)-(-2)=[3×(-1)-2]-[3×(-2)-2](-1)-(-2)=(-5)-(-8)-1+2=3.反思感悟 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x 2-x 1. (2)求函数值的改变量f (x 2)-f (x 1). (3)求平均变化率f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1.跟踪训练2 (1)计算函数y =f (x )=x 2从x =1到x =1+Δx 的平均变化率,其中Δx 的值为: ①2;②1;③0.1;④0.01;(2)思考:当Δx 越来越小时,函数f (x )在区间[1,1+Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势? 解 (1)因为f (1+Δx )-f (1)=(1+Δx )2-12=(Δx )2+2Δx , 所以f (1+Δx )-f (1)Δx =(Δx )2+2Δx Δx =Δx +2.①当Δx =2时,平均变化率Δx +2=4, 即函数f (x )=x 2在区间[1,3]上的平均变化率为4; ②当Δx =1时,平均变化率Δx +2=3, 即函数f (x )=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3;③当Δx =0.1时,平均变化率Δx +2=2.1,即函数f (x )=x 2在区间[1,1.1]上的平均变化率为2.1; ④当Δx =0.01时,平均变化率Δx +2=2.01,即函数f (x )=x 2在区间[1,1.01]上的平均变化率为2.01.(2)当Δx 越来越小时,函数f (x )在区间[1,1+Δx ]上的平均变化率逐渐变小,并接近于2. 三、函数平均变化率的应用例3 婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,则婴儿体重在第________年增长较快.答案 一解析 ∵ΔW 1Δt 1=11.25-3.7512-0=0.625,ΔW 2Δt 2=14.25-11.2524-12=0.25, ∴ΔW 1Δt 1>ΔW 2Δt 2,故第一年婴儿体重的平均变化率大,婴儿体重增长较快. 反思感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢,平均变化率的绝对值越大,函数在区间上的变化速度越快;平均变化率的绝对值越小,函数在区间上的变化速度越慢.跟踪训练3 汽车行驶的路程S 和时间t 之间的函数图象如图所示.在时间段[t 0,t 1],[t 1,t 2],[t 2,t 3]上的平均速度分别为v 1,v 2,v 3,则三者的大小关系是______________.答案 v 3>v 2>v 1解析 v 1=S (t 1)-S (t 0)t 1-t 0=k OA ,v 2=S (t 2)-S (t 1)t 2-t 1=k AB ,v 3=S (t 3)-S (t 2)t 3-t 2=k BC ,由图象知,k OA <k AB <k BC , 所以v 3>v 2>v 1.1.如图,函数y =f (x )在A ,B 两点间的平均变化率等于( )A .1B .-1C .2D .-2答案 B解析 平均变化率为1-33-1=-1.故选B.2.一物体的运动方程是S =3+2t ,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A .0.4 B .2 C .0.3 D .0.2 答案 B解析 v =S (2.1)-S (2)2.1-2=7.2-70.1=2.3.函数f (x )=2x +4在区间[a ,b ]上的平均变化率为________. 答案 2 解析f (b )-f (a )b -a =(2b +4)-(2a +4)b -a =2(b -a )b -a=2. 4.一个半径为r 的圆面,当半径增大Δr 时,面积S 的平均变化率为________. 答案 2πr +π·Δr解析 半径增大Δr 时,面积增加ΔS =π(r +Δr )2-πr 2 =π(Δr )2+2πr ·Δr ,所以ΔS Δr =π(Δr )2+2πr ·Δr Δr=2πr +π·Δr .5.某市一天12小时内的气温变化图如图所示,则在区间[0,4]内温度的平均变化率为________ ℃/h.答案 -14解析 Δy Δx =f (4)-f (0)4-0=-14(℃/h).1.知识清单: (1)平均变化率.(2)平均变化率的几何意义及应用. 2.方法归纳:转化法.3.常见误区:对平均变化率的理解不透彻导致出错.1.已知函数y =2+1x ,当x 由1变到2时,函数的增量Δy 等于( )A.12 B .-12 C .1 D .-1 答案 B解析 Δy =⎝⎛⎭⎫2+12-(2+1)=-12. 2.已知函数f (x )=x 2+2,则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为( ) A .4 B .3 C .2 D .1 答案 A解析 ∵f (3)=11,f (1)=3,∴该函数在区间[1,3]上的平均变化率为f (3)-f (1)3-1=11-33-1=4.3.某质点沿曲线运动的方程为f (x )=-2x 2+1(x 表示时间,f (x )表示位移),则该质点从x =1到x =2的平均速度为( ) A .-4 B .-8 C .6 D .-6 答案 D解析 由题意得该质点从x =1到x =2的平均速度为f (2)-f (1)2-1=-8+1-(-2+1)1=-6.4.一根金属棒的质量y (单位:kg)是长度x (单位:m)的函数,y =f (x )=3x ,则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( )A.25kg/m B.35kg/m C.34kg/m D.12kg/m 答案 B解析 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是 f (9)-f (4)9-4=3(9-4)9-4=35(kg/m).5.质点运动规律的方程是S =t 2+3,则在时间[3,3+Δt ]内,相应的平均速度是( ) A .6+Δt B .6+Δt +9ΔtC .3+ΔtD .9+Δt答案 A解析 平均速度为(3+Δt )2+3-32-3Δt =6Δt +(Δt )2Δt=6+Δt .6.国庆黄金周7天期间,某大型商场的日营业额从1 300万元增加到4 100万元,则该商场国庆黄金周期间日营业额的平均变化率是______万元/天. 答案 400解析 日营业额的平均变化率为4 100-1 3007=400(万元/天).7.函数y =x 3+2在区间[1,a ]上的平均变化率为21,则a =________. 答案 4解析 (a 3+2)-(13+2)a -1=a 3-1a -1=a 2+a +1=21.解得a =4或a =-5.∵a >1,∴a =4.8.函数y =f (x )=-2x 2+5在区间[2,2+Δx ]内的平均变化率为________. 答案 -8-2Δx解析 ∵Δy =f (2+Δx )-f (2)=-2(2+Δx )2+5-(-2×22+5)=-8Δx -2(Δx )2, ∴ΔyΔx=-8-2Δx ,即平均变化率为-8-2Δx . 9.已知函数f (x )=x 2+3x 在[0,m ]上的平均变化率是函数g (x )=2x +1在[1,4]上的平均变化率的3倍,求实数m 的值.解 函数g (x )在[1,4]上的平均变化率为g (4)-g (1)4-1=9-33=2.函数f (x )在[0,m ]上的平均变化率为f (m )-f (0)m -0=m 2+3mm =m +3.令m +3=2×3,得m =3.10.为了检测甲、乙两辆车的刹车性能,分别对两辆车进行了测试,甲车从25 m/s 到0 m/s 花了5 s ,乙车从18 m/s 到0 m/s 花了4 s ,试比较两辆车的刹车性能. 解 甲车速度的平均变化率为0-255=-5(m/s 2).乙车速度的平均变化率为0-184=-4.5(m/s 2),平均变化率为负值说明速度在减少,因为刹车后,甲车的速度变化相对较快,所以甲车的刹车性能较好.11.已知函数f (x )=-x 2+x 的图象上一点(-1,-2)及邻近一点(-1+Δx ,-2+Δy ),则ΔyΔx 等于( ) A .3 B .3Δx -(Δx )2 C .3-(Δx )2 D .3-Δx答案 D解析 ∵Δy =f (-1+Δx )-f (-1)=-(-1+Δx )2+(-1+Δx )-(-2)=3Δx -(Δx )2 ∴ΔyΔx=3-Δx . 12.(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内,路程的变化情况,下列说法正确的是( )A .在0到t 0范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度B .在0到t 0范围内,甲的平均速度等于乙的平均速度C .在t 0到t 1范围内,甲的平均速度大于乙的平均速度D .在t 0到t 1范围内,甲的平均速度小于乙的平均速度答案 BC解析 在0到t 0范围内,甲、乙的平均速度都为v =s 0t 0,故A 错误,B 正确;在t 0到t 1范围内,甲的平均速度为s 2-s 0t 1-t 0,乙的平均速度为s 1-s 0t 1-t 0.因为s 2-s 0>s 1-s 0,t 1-t 0>0,所以s 2-s 0t 1-t 0>s 1-s 0t 1-t 0,故C 正确,D 错误. 13.某人服药后,人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位:mg/mL)来表示,它是时间t (单位:min)的函数,表示c =c (t ),下表给出了c (t )的一些函数值: t /min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c (t )/ (mg/mL) 0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后30~70 min 这段时间内,药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min). 答案 -0.002 解析c (70)-c (30)70-30=0.90-0.9840=-0.002mg/(mL·min).14.如图是函数y =f (x )的图象.(1)函数f (x )在区间[-1,1]上的平均变化率为______; (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________.答案 12 34解析 (1)函数y =f (x )在区间[-1,1]上的平均变化率为f (1)-f (-1)1-(-1)=2-12=12.(2)由函数y =f (x )的图象知, f (x )=⎩⎨⎧x +32,-1≤x ≤1,x +1,1<x ≤3,所以函数y =f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)-f (0)2-0=3-322=34.15.将半径为R 的球加热,若半径从R =1到R =m 时球的体积膨胀率为28π3,则m 的值为________. 答案 2解析 体积的增加量ΔV =4π3m 3-4π3=4π3(m 3-1),所以ΔV ΔR =4π3(m 3-1)m -1=28π3,所以m 2+m +1=7,所以m =2或m =-3(舍).16.圆柱形容器,其底面直径为2 m ,深度为1 m ,盛满液体后以0.01 m 3/s 的速率放出,求液面高度的平均变化率.解 设液体放出t 秒后液面高度为y m , 则π·12·y =π·12×1-0.01t , ∴y =1-0.01πt ,液面高度的平均变化率为 ΔyΔt =1-0.01π(t +Δt )-1+0.01πtΔt =-0.01π,故液面高度的平均变化率为-0.01π.。
2.1平均变化率与瞬时变化率(讲义+典型例题+小练)(解析版)

2.1平均变化率与瞬时变化率(讲义+典型例题+小练)一、平均变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ∆,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆;比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率;例1:1.若函数()2f x x t =-,当1x m ≤≤时,平均变化率为2,则m 等于( )A .5B .2C .3D .1【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平均变化率的公式求解. 【详解】 解:由题得.故选:D2.求函数y =x 3在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.【答案】320x +3x 0·Δx +(Δx )2【解析】 【分析】利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值;利用平均变化率公式求出即可. 【详解】当自变量从x 0到x 0+Δx ,函数的平均变化率为00()()f x x f x x +∆-∆=3300()x x x x +∆-∆ =23233000033()()x x x x x x x x +⋅∆+∆+∆-∆ =2300233()()x x x x x x⋅∆+∆+∆∆ =320x +3x 0·Δx +(Δx )2.举一反三:1.求函数223y x x =-+在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率.【答案】在区间23,212⎡⎤⎢⎥⎣⎦和252,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均变化率分别为2312和2512.【解析】【分析】根据题意,由平均变化率的定义求出函数在两个区间上的平均变化率,即可得答案. 【详解】解:根据题意,函数2223(1)2y x x x =-+=-+,在区间23[12,2]的平均变化率为2223[(21)2][(1)2]23122312212y x -+--+==-, 在区间[2,25]12的平均变化率为2225[(1)2][(21)2]25122512212y x -+--+==-. 2.小球在光滑斜面上向下滚动,从开始滚动算起时间t 内所经过的距离为()2s t at =,求小球在时间段[]2,2h +内的平均速度. 【答案】4a ah + 【解析】 【分析】利用平均速度的定义直接可求. 【详解】因为小球在t 内所经过的距离为()2s t at =,所以在时间段[]2,2h +内的平均速度为()()()222222422s h s a h a a ah h h+-+⨯==++--.3.如图,直线l 为经过曲线上点P 和Q 的割线.(1)若(1,2)P ,(5,7)Q ,求l 的斜率;(2)当点Q 沿曲线向点P 靠近时,l 的斜率变大还是变小? 【答案】(1)54(2)斜率变大 【解析】 【分析】(1)直接根据两点的斜率公式计算可得;(2)根据直线的倾斜角的变化及直线的斜率与倾斜角的关系判断即可; (1)解:因为(1,2)P ,(5,7)Q ,所以725514l k -==-; (2)解:当Q 沿曲线向点P 靠近时,直线的倾斜角α(锐角)在变大,又tan k α=,所以直线l 的斜率变大了;二.瞬时变化率设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ∆,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆;当x ∆、△y 都趋向0时。
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选修2 - 2 导数及其应用
1.1.1平均变化率
(总第47导学案)
一、 【教学目标】
1 •感受平均变化率广泛存在于日常生活中,经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
2 •理解平均变化率的意义,为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
二、 【教学重点、难点】
重点:平均变化率的数学意义 难点:平均变化率的实际意义和数学意义
三、 【教学过程】 (一)生活实例:
现有启东市某年3月和4月某天日最高气温记载.
观察:“3月18日到4月18日”与“ 4月18日到4月20日”的温度变化发现:后者短短两 天时
间温度相差14.80
C ,闷热中的人们无不感叹:“天气热得太快了!” ,前者温差 15.10
C ,甚至超过了 14.80C ,而人们却不会发出上述感叹。
这是为什么呢?
因为前者变化缓慢,后者变化太快。
那么用怎样的数学模型来刻画变量变化的快、慢? 这就是本课学习的“平均变化率”。
)数学模型: 以3月18日作为第一天,用曲线图表示为:
T 「C )
C (34, 33.4)
30
/
20: _______ ___________ B _(32,_ 18.6)
1、 曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”,由此联想如何量化直线的倾斜程度?。
2、 由点 B 上升到 C 点,考察 y c — y B 的大小为 __________________ ;同时考察 x c —X B 的大小
为 ____________________ 。
平均变化率为 ________________
3、 气温在区间[1 , 32]上的平均变化率 ,
与气温[32,34]上的平均变化率比较, A 、B 之间的温差与B 、C 之间的温差几乎相同,但
平均变化率相差很大,即平均变化率越大,曲线越陡峭。
10
A (1,
-f
3.5)
20
30 34 t(d)
4、一般地,函数f(x)在区间[X1 , X2]上的平均变化率为_______________________ 。
(三)典题探讨:
例1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品,甲用
5年时间挣到10万元,乙用5个月时
间挣到2万元,如何比较和评价甲,乙两人的经营成果?
例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,
t s 后容器
甲中水的体积V(t) 5 2
0.1t
(单位:cm 3
),
计算第一个10s 内V 的平均变化率。
注意:负号表示容器甲中的水在减少。
例3、已知函数f(x)
x 2,分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率:
(1)[1,3] ;
( 2)[1,2] ;
( 3)[1,1.1] ;
( 4)[1 ,1.001]。
作出图形,借助图像感知割线斜率 k 的变化,发现割线T 切线,斜率 k T 切线的斜率。
(2)求人离开路灯的第一个 10s 内身影的平均变化率。
(四)课堂小结:
1、一般地,求函数 f(x)在区间[X 1 , X 2]上的平均变化率的步骤:
变化率」
f(
X 2)f(X 1)。
x
X 2 X ]
2、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”
,曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”
例4、如图,路灯高地面 8m , 一个身高为 (1)求身影的长度y 与人距路灯的距离 1.6m 的人以84m/min 的速度离开路灯。
x 之间的关系;
①求自变量的增量
x x 2 x 1 :②求函数的增量 y f(X 2) f (xj ;③求平均
乙
3、对于函数y f (x),当自变量x在X o处有改变量x时,函数值y相应地有改变量y ,
y f(X o X) f(X o) 则f(x)从x0到x0x的平均变化率有更一般的形式
课外作业
1
已知函数y ,当x 由1变为2时,函数值的增量 y 等于 _____________ 。
x
2
函数f (x ) x 1在区间1,m 上的平均变化率为 3,则m 的值为 ___________________
在函数f (x ) 2x
2
1的图像上取一点(1,1)及邻近一点(1
x,1 y ),则一丫
x
设函数y f (x ),当自变量由x o 变到x o
x 时,函数的改变量 y _______________
物体作直线运动的方程为 S 3t
2
5t (位移单位是 m ,时间单位是s ),则物体在2s 到
4s 时的平均速度是 __________________ ,2s 到3s 的平均速度是 __________________
① y f (x o x ) f (x o )叫函数值的增量;
② 亠一定是个变量;
x
③ ― 丄^° ----
x )
__叫做函数在 x 0, x 0
x 是的平均变化率;
x
x
④亠可以是一个常数。
x
某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示, 试分别计算从出生到第 3个月与第6个月到第12 个月该婴儿体重的平均变化率。
已知函数 f ( x )=2x+1,g ( x )= — 2x ,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上 f ( x )及 g ( x ) 的平均变化率。
并指出 y=kx+b 在区间[m , n ]上的平均变化率有什么特点?
甲、乙、丙三人炒股,甲一年前入市,赔了 10800元,乙半年前入市,赔了 6000元,丙 一个月前入市,赚了 800元,试比较这三人的月收益率。
、某人在推动一物体前进时所做的功(单位:
J )关于时间(单位:
S )的函数为
1、
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8
9、
10
已知函数y f (x), x
x 0, x 0 x ,下列说法不正确的是
W=t3 6t216t求此人从1S末到3S末所做功的平均变化率。
11、证明函数f(x) 2x 1的图像上任意两点之间的平均变化率为一个常数,并求出这个常数。
12、求下列函数在给定区间上的平均变化率:
(1) f (x) 2x,x 2,4 ;(2) y sin x, x 0,
4
(3)S(t) 5t2,t t0,t0t ;(4) f (x) x22x 2,x 1,3 .
13、已知曲线f(x) x2,试计算:
3 5
(1) f (x)在1到2,1到,1到的平均变化率;
2 4
n 1
(2) f (x)在1到的平均变化率。
n
14、已知质点M按规律S 2t2 3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),
(2)当i t=2,s
t 0.01 时,求
(3)当i t=2,
s
t 0.01时,求
15、一边长为10cm的正方形薄铁片,加热后膨胀,当温度为t°C时,边长变为
10( 1+at) cm,a为常数,试求在时间t,t t内铁片面积的平均膨胀率。
(1)设从ts时刻起经过ts时,位移的增量记为s,求。