高中数学同步学案 函数的平均变化率

第2课时 函数的平均变化率学 习 目 标核 心 素 养1.理解斜率的含义及平均变化率的概念．(重点)2．掌握判断函数单调性的充要条件．(重点、难点) 通过利用函数f(x)的平均变化证明f(x)在I 上的单调性,提升数学运算和培养逻辑推理素养.1．直线的斜率(1)定义：给定平面直角坐标系中的任意两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),当x 1≠x 2时,称y 2－y 1x 2－x 1为直线AB 的斜率；(若记Δx＝x 2－x 1,Δy＝y 2－y 1,当Δx≠0时,斜率记为ΔyΔx),当x 1＝x 2时,称直线AB 的斜率不存在．(2)作用：直线AB 的斜率反映了直线相对于x 轴的倾斜程度． 2．平均变化率与函数单调性若I 是函数y ＝f(x)的定义域的子集,对任意x 1,x 2∈I 且x 1≠x 2,记y 1＝f(x 1),y 2＝f(x 2),Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1⎝⎛⎭⎪⎫即Δf Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1,则 (1)y ＝f(x)在I 上是增函数的充要条件是ΔyΔx ＞0在I 上恒成立；(2)y ＝f(x)在I 上是减函数的充要条件是ΔyΔx＜0在I 上恒成立．当x 1≠x 2时,称Δf Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1为函数y ＝f(x)在区间[x 1,x 2](x 1＜x 2时)或[x 2,x 1](x 1＞x 2时)上的平均变化率．通常称Δx 为自变量的改变量,Δy 为因变量的改变量．3．平均变化率的物理意义(1)把位移s 看成时间t 的函数s ＝s(t),则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t 1,t 2]上的平均速度,即v ＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1.(2)把速度v 看成时间t 的函数v ＝v(t),则平均变化率的物理意义是物体在时间段[t 1,t 2]上的平均加速度,即a ＝v (t 2)－v (t 1)t 2－t 1.1．已知点A(1,0),B(－1,1),则直线AB 的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2A [直线AB 的斜率1－0－1－1＝－12.]2．如图,函数y ＝f(x)在[1,3]上的平均变化率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2B [Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－33－1＝－1.]3．一次函数y ＝－2x ＋3在R 上是________函数．(填“增”或“减”) 减 [任取x 1,x 2∈R 且x 1≠x 2. ∴y 1＝－2x 1＋3,y 2＝－2x 2＋3, ∴Δy Δx ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2＜0,故y ＝－2x ＋3在R 上是减函数．] 4．已知函数f(x)＝2x 2＋3x －5,当x 1＝4,且Δx＝1时,求Δy 的平均变化率Δy Δx .[解] ∵f(x)＝2x 2＋3x －5,x 1＝4,x 2＝x 1＋Δx ,∴Δy＝f(x 2)－f(x 1)＝2(x 1＋Δx)2＋3(x 1＋Δx)－5－(2x 21＋3x 1－5)＝2(Δx)2＋(4x 1＋3)Δx. 当x 1＝4,Δx＝1时,Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21. 则Δy Δx ＝211＝21.平均变化率的计算【例1】 一正方形铁板在0 ℃时边长为10 cm,加热后会膨胀,当温度为t ℃时,边长变为10(1＋at)cm,a 为常数．试求铁板面积对温度的平均膨胀率．[思路点拨] 由正方形的边长与面积关系列出函数表达式,再求面积的平均变化率． [解] 设温度的增量为Δt ,则铁板面积S 的增量ΔS＝102[1＋a(t ＋Δt)]2－102(1＋at)2＝200(a ＋a 2t)Δt＋100a 2(Δt)2, 所以平均膨胀率ΔS Δt＝200(a ＋a 2t)＋100a 2Δt.1．关于平均变化率的问题在生活中随处可见,常见的有求某段时间内的平均速度、平均加速度、平均膨胀率等．找准自变量的改变量和因变量的改变量是解题的关键．2．求平均变化率只需要三个步骤：(1)求出或者设出自变量的改变量；(2)根据自变量的改变量求出函数值的改变量；(3)求出函数值的改变量与自变量的改变量的比值．1．路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m 的人以84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C 处沿直线匀速离开路灯．(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式； (2)求人离开路灯10 s 内身影长度y 关于时间t 的平均变化率．[解] (1)如图所示,设此人从C 点运动到B 点的位移为x m,AB 为身影长度,AB 的长度为y m,由于CD∥BE ,则AB AC ＝BE CD ,即y y ＋x ＝1.68,所以y ＝0.25x.(2)84 m/min ＝1.4 m/s,则y 关于t 的函数关系式为y ＝0.25×1.4t＝0.35t,所以10 s 内平均变化率Δy Δt ＝3.510＝0.35(m/s), 即此人离开灯10 s 内身影长度y 关于时间t 的平均变化率为0.35 m/s.利用平均变化率证明函数的单调性【例2】 若函数y ＝f(x)是其定义域的子集I 上的增函数且f(x)＞0,求证：g ＝f (x )在I 上为减函数． [思路点拨] 由y ＝f(x)在I 上为增函数的充要条件可得Δy Δx ＞0,再证ΔgΔx ＜0即可．[证明] 任取x 1,x 2∈I 且x 2＞x 1,则Δx＝x 2－x 1＞0,Δy＝f(x 2)－f(x 1), ∵函数y ＝f(x)是其定义域的子集I 上的增函数, ∴Δy＞0,ΔyΔx＞0,∴Δg＝g(x 2)－g(x 2)＝1f (x 2)－1f (x 1)＝f (x 1)－f (x 2)f (x 1)f (x 2).又∵f(x)＞0,∴f(x 1)f(x 2)＞0且f(x 1)－f(x 2)＜0,∴Δg＜0, ∴Δg Δx ＜0,故g ＝1f (x )在I 上为减函数．单调函数的运算性质若函数f (x ),g (x )在区间I 上具有单调性,则：(1)f (x )与f (x )＋C (C 为常数)具有相同的单调性. (2)f (x )与a·f (x ),当a ＞0时具有相同的单调性；当a ＜0时具有相反的单调性. (3)当f (x )恒为正值或恒为负值时,f (x )与1f (x )具有相反的单调性.(4)在f(x),g(x)的公共单调区间上,有如下结论： f(x) g(x) f(x)＋g(x) f(x)－g(x) 增函数 增函数 增函数 不能确定单调性增函数 减函数 不能确定单调性增函数 减函数 减函数 减函数 不能确定单调性减函数 增函数不能确定单调性减函数2．已知函数f(x)＝1－3x ＋2,x∈[3,5],判断函数f(x)的单调性,并证明．[解] 由于y ＝x ＋2在[3,5]上是增函数,且恒大于零,因此,由性质知f(x)＝1－3x ＋2为增函数． 证明过程如下：任取x 1,x 2∈[3,5]且x 1＜x 2,即Δx＝x 2－x 1＞0, 则Δy＝f(x 2)－f(x 1)＝1－3x 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 1＋2＝3x 1＋2－3x 2＋2＝3(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0,∴Δy＞0,∴ΔyΔx ＞0,故函数f(x)在[3,5]上是增函数．二次函数的单调性最值问题[探究问题]1．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的对称轴与区间[m,n]可能存在几种位置关系,试画草图给予说明？提示：2．求二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 在[m,n]上的最值,应考虑哪些因素？ 提示：若求二次函数f(x)在[m,n]上的最值,应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b2a与区间[m,n]的关系． 【例3】 已知函数f(x)＝x 2－ax ＋1,求f(x)在[0,1]上的最大值． [思路点拨][解] 因为函数f(x)＝x 2－ax ＋1的图像开口向上,其对称轴为x ＝a 2,当a 2≤12,即a≤1时,f(x)的最大值为f(1)＝2－a ； 当a 2>12,即a>1时,f(x)的最大值为f(0)＝1.1．在题设条件不变的情况下,求f(x)在[0,1]上的最小值．[解] (1)当a2≤0,即a≤0时,f(x)在[0,1]上单调递增,∴f(x)min ＝f(0)＝1.(2)当a2≥1,即a≥2时,f(x)在[0,1]上单调递减,∴f(x)min ＝f(1)＝2－a.(3)当0<a 2<1,即0<a<2时,f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 2上单调递减,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2，1上单调递增,故f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24.2．在本例条件不变的情况下,若a ＝1,求f(x)在[t,t ＋1](t∈R)上的最小值． [解] 当a ＝1时,f(x)＝x 2－x ＋1,其图像的对称轴为x ＝12,①当t≥12时,f(x)在其上是增函数,∴f(x)min ＝f(t)＝t 2－t ＋1；②当t ＋1≤12,即t≤－12时,f(x)在其上是减函数,∴f(x)min ＝f(t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1；③当t<12<t ＋1,即－12<t<12时,函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减,在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增,所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34.二次函数在闭区间上的最值设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0),则二次函数f(x)在闭区间[m,n]上的最大值、最小值有如下的分布情况： 对称轴与区间的关系－b2a ＜m ＜n, 即－b2a∈(－∞,m)m ＜－b2a ＜n,即－b2a∈(m ,n)m ＜n ＜－b2a ,即－b2a∈(n ,＋∞)图像最值f(x)max ＝f(n), f(x)min ＝f(m)f(x)max＝max{f(n),f(m)},f(x)min＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a f(x)max ＝f(m), f(x)min ＝f(n)1．平均变化率中Δx ,Δy ,ΔyΔx的理解 (1)函数f(x)应在x 1,x 2处有定义；(2)x 2在x 1附近,即Δx＝x 2－x 1≠0,但Δx 可正可负；(3)注意变量的对应,若Δx＝x 2－x 1,则Δy＝f(x 2)－f(x 1),而不是Δy＝f(x 1)－f(x 2)；(4)平均变化率可正可负,也可为零．但是,若函数在某区间上的平均变化率为0,并不能说明该函数在此区间上的函数值都相等．2．判断函数y ＝f(x)在I 上单调性的充要条件(1)y ＝f(x)在I 上单调递增的充要条件是ΔyΔx ＞0恒成立；(2)y ＝f(x)在I 上单调递减的充要条件是ΔyΔx＜0恒成立.1．思考辨析(1)一次函数y ＝ax ＋b(a≠0)从x 1到x 2的平均变化率为a.( ) (2)函数y ＝f(x)的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1的几何意义是过函数y ＝f(x)图像上两点A(x 1,f(x 1)),B(x 2,f(x 2))所在直线的斜率．( )(3)在[a,b]上,y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)任意两点的平均变化率都相等．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)×2．函数f(x)＝x 从1到4的平均变化率为( ) A.13 B.12 C ．1D ．3A [Δy＝4－1＝1,Δx＝4－1＝3,则平均变化率为Δy Δx ＝13.]3．李华在参加一次同学聚会时,他用如图所示的圆口杯喝饮料,李华认为：如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同),那么杯子中饮料的高度h 是关于时间t 的函数h(t),则函数h(t)的图像可能是( )B [由于圆口杯的形状是“下细上粗”,则开始阶段饮料的高度增加较快,往后高度增加得越来越慢,仅有B 中的图像符合题意．]4．一质点的运动方程为s ＝8－3t 2,其中s 表示位移(单位：m),t 表示时间(单位：s)．求该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．[解] 该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝8－3(1＋Δt )2－8＋3×12Δt ＝(－6－3Δt)(m/s)．。