高中数学等比数列
高中数学等比数列知识点总结
高中数学等比数列知识点总结一、定义与概念等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。
同时，等比数列的第一项a₁不能为0，且数列中的每一项均不为0。
特别地，当公比q=1时，等比数列变为常数列，即每一项的值都相同。
二、等比中项在等比数列中，如果三个数a、G、b依次组成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项，且G²=a*b（G≠0）。
三、性质等比数列具有一些重要的性质。
例如，在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2k（m，n，p，q，k∈N*），则有am·an=ap·aq=a2k。
此外，等比数列的连续项之间具有特定的乘积关系，如aₙ₊₂aₙ₋₂=aₙ²（n≥2）。
四、公式等比数列的公式包括通项公式和前n项和公式。
通项公式为an=a1q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。
前n项和公式分为两种情况：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
在使用前n项和公式时，需要注意对q=1和q≠1进行分类讨论，以避免因忽略特殊情况而导致的错误。
五、应用与实例等比数列在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，在国际象棋起源的传说中，宰相通过等比数列的方式向国王请求奖励，展示了等比数列在解决实际问题中的应用。
此外，等比数列还在物体跳跃高度的计算、光的反射与折射、经济学中的GDP增长和人口增长、生物学中的繁殖规律等领域发挥着重要作用。
综上所述，高中数学等比数列知识点包括定义与概念、等比中项、性质、公式以及应用与实例等方面。
通过深入学习和理解这些知识点，可以更好地掌握等比数列的本质和规律，并能够将其应用于实际问题的解决中。
等比数列的性质-高中数学知识点讲解
等比数列的性质1．等比数列的性质【等比数列】（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这2个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．注：时，为常数列．q （q 0）q＝1 an等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第项的通项公式，＝，这里a 为首项，q 为公比，n a a q n﹣1n 1 1푎1(1―푞푛)我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，S =n，表示的是前面项的n1―푞和．③若m n＝q p ，且都为正整数，那么有a •a ＝a •a ．m n p q例：成等比数列，则＝．2，x，y，z，18 y解：由成等比数列，设其公比为，2，x，y，z，18 q4则，解得，18＝2q q2＝32∴．y＝2q ＝23＝6故答案为：．6本题的解法主要是运用了等比数列第项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，n继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．【等比数列的性质】（1）通项公式的推广：＝，（，）．a a q ﹣n m N*•n mn m*（2）若{a n}为等比数列，且，则k l＝m n，（k，l，m，n N ） a •a＝a •ak l m n（3）若{ }{ }（项数相同）是等比数列，则 a a a b ，仍是等比数列．a ，b {（} 0），，{•}n n n n n푎1＞0푎1＜0푎1＞0푎1＜0 （4）单调性：{푞＞1或{0＜푞＜1是递增数列；{0＜푞＜1或{{a } {a } q＝1 {a }푞＞1是递减数列；是 n n n 常数列；是摆动数列．q＜0 {a }n1/ 1。
高中数学《等比数列》逐字稿
高中数学《等比数列》逐字稿数列是数学中非常基础的概念之一，而等比数列是数列中的一种特殊类型，它具有非常重要的意义。
本文将带您逐字学习高中数学《等比数列》的知识。
一、定义等比数列是指从第二项开始，每一项与它的前一项的比相等的数列。
简单来说，就是一个数列中每一个数都是它前面那个数乘以相同的常数。
例如：2，4，8，16，32 就是一个等比数列，公比为 2。
二、公式等比数列的通项公式为：an=a1*q^(n-1) ，其中 a1 为首项，q 为公比，n 为项数。
三、性质1. 如果公比 q 大于 1，那么随着项数的增加，等比数列中的项会越来越大（指绝对值），并且不存在极限；如果公比 q 在0和1之间，那么随着项数的增加，等比数列中的项会越来越小（指绝对值），并趋于 0；如果公比 q 小于 0，而且 n 为奇数，那么等比数列中的各项都是负数。
2. 在等比数列中，任意三项的比值恒等于相邻两项的比值。
这是因为：a3/a2=q，a2/a1=q，两式相除即得 a3/a1=q^2。
3. 求等比数列的前 n 项和的公式为：S_n = a1(1-q^n)/(1-q) 。
如果公比 q 大于 1，那么 S_n 会趋向无限大；如果公比在 0 到 1 之间，那么 S_n 会趋于一个有限数；如果公比小于 0，而且 n 为奇数，那么 S_n 为负数。
四、应用等比数列是数学中非常重要的一种数列，它在实际应用中有很广泛的用途，例如在金融领域中，等比数列被广泛用于计算复利；在物理学中，等比数列也被用于计算电路中电容和电感的阻抗；在生物学中，等比数列则可以用来计算生物种群的增长等。
五、总结通过本文的学习，我们了解到了等比数列的定义、公式、性质和应用。
掌握这些知识对于高中数学的学习非常重要，也为今后进一步深入学习数学打下了坚实的基础。
第4节 等比数列通项公式
第二章
数列
第四节 等比数列通项公式
必备新知：
1.等比数列的定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于
同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常
用字母 q 表示(q≠0)．
典例分析：
例 1：已知数列{an}是首项为 2，公差为﹣1 的等差数列．令 bn=（ ）
∴
，解得
或
，
∴a4= =16．
故选：B． 解法二：∵等比数列{an}满足 a2=4，a6=64， ∴a42=a2a6=4×64=256， ∵偶数项的符号相同，∴a4=16． 故选：B．
练习：等比数列{an}的各项均为正数，且 a1+2a2=4，a42=4a3a7，则 a5=（ ） A． B． C．20 D．40
则 a13a14a15=q36•a1a2a3=24×3=48， 故选：A．
例 6：设数列{an}是单调递增的等差数列，a1=2 且 a1﹣1，a3，a5+5 成等比数列，
则 a2017=（
）
A．1008 B．1010 C．2016 D．2017
解：∵数列{an}是单调递增的等差数列，
a1=2 且 a1﹣1，a3，a5+5 成等比数列，
∴
，
（2+2d）2=（2﹣1）（2+4d+5）， 解得 d=﹣ （舍）或 d= ，
∴a2017=2+2016×（ ）=1010． 故选：B．
练习：已知等比数列{an}的各项都为正数，且 a3，
A．
B．
C．
D．a3，
成等差数列，
∴
，则
，
化简得，q2﹣q﹣1=0，解得 q=
高中数学选择性必修二 4 3 1 1等比数列的概念和通项公式(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
4.3.1.1等比数列的概念和通项公式知识点一 等比数列的概念(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示． (2)符号语言：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，n ∈N *)【重点总结】(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．要点二 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 【重点总结】(1)若G 是a 与b 的等比中项，则G a ＝bG，所以G 2＝ab ，G ＝±ab.(2)与“任意两个实数a ，b 都有唯一的等差中项A ＝a ＋b2”不同，只有当a 、b 同号时a 、b 才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab 与－ab ；当a ，b 异号时没有等比中项．(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 要点三 等比数列的通项公式设等比数列{a n }的公比为q ，则这个等比数列的通项公式是a n ＝11n a q (a 1，q ≠0且n ∈N *)． 【重点总结】(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列． (2)在公式a n ＝a 1q n －1中，有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a 1，q 为两个基本量．(3)对于等比数列{a n }，若q<0，则{a n }中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{a n }各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列为{a n }，且满足a na n －1＝q (n ≥2，q 为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．( )(2)在等比数列{a n }中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）×（4）× 2．(多选题)下列数列不是等比数列的是( )A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1a3，…C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，…D ．0,0,0，… 【答案】ACD【解析】A 中，222≠3×2222，A 不是等比数列；B 中，1a 21a ＝1a 31a 2＝…，B 是等比数列；C 中，当s ＝1时，不是等比数列；当s ≠1时，是等比数列，所以C 不是等比数列；D 显然不是等比数列．故选ACD. 3．已知{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝22，则a 3＝( ) A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．4 【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则有1×q 3＝22＝(2)3，∴q ＝2，∴a 3＝a 4q＝2，故选B.4．已知等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________. 【答案】－2n 或(－2)n【解析】∵a 1＝－2，a 3＝－8，∴a 3a 1＝q 2＝－8－2＝4，∴q ＝±2，∴a n ＝(－2)·2n －1或a n ＝(－2)·(－2)n －1，即a n＝－2n 或a n ＝(－2)n .题型一 等比数列通项公式的求法及应用 探究1 基本量的计算 【例1】在等比数列{a n }中 (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .【解析】(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22-53n .(2)方法一：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 方法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6. 【重点小结】 (1)由a 7a 4＝q 3便可求出q ，再求出a 1，则a n ＝a 1·q n －1.(2)两个条件列出关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再由a n ＝1求n ；也可以直接先由q ＝a 3＋a 6a 2＋a 5入手．【方法归纳】等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．探究2 等比数列的实际应用【例2】计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低13，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )A ．300元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元 【答案】C【解析】降低后的价格构成以23为公比的等比数列，则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400(元)． 【方法技巧】关于等比数列模型的实际应用题，先构造等比数列模型，确定a 1和q ，然后用等比数列的知识求解． 【跟踪训练1】(1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( ) A ．－2 B ．1或－2 C ．1 D ．1或2 【答案】B【解析】a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2q 2＝2q ＋2q 2＝4， 即q 2＋q －2＝0，解得q ＝1或q ＝－2，故选B.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，已知a 1＝6，a 1＋a 2＋a 3＝78，则a 2等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．36 【答案】B【解析】设公比为q ，由已知得6＋6q ＋6q 2＝78， 即q 2＋q －12＝0解得q ＝3或q ＝－4(舍去)． ∴a 2＝6q ＝6×3＝18.故选B.(3)某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍． 【答案】1.259【解析】设这个林场今年的树木总量是m ，第n 年末的树木总量为a n ，则a n ＋1＝a n ＋a n ×25%＝1.25a n . 则a n ＋1a n＝1.25，则数列{a n }是公比q ＝1.25的等比数列． 则a 10＝a 1q 9＝1.259 m.所以a 10a 1＝1.259.题型二 等比中项【例3】已知等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．【解析】设该等比数列的公比为q ，首项为a 1， 因为a 2－a 5＝42，所以q ≠1，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168a 1q －a 1q 4＝42， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝168a 1q (1－q 3)＝42①②因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)，所以由②除以①，得q (1－q )＝14.所以q ＝12.所以a 1＝4212－⎝⎛⎭⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝⎛⎭⎫1210＝9. 所以a 5，a 7的等比中项是±3. 【方法归纳】(1)首项a 1和q 是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法． (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项． 【跟踪训练2】如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【解析】∵－1，a ，b ，c ，－9成等比数列， ∴a 2＝(－1)×b ，b 2＝(－1)×(－9)＝9 ∴b <0，∴b ＝－3.又b 2＝ac ，∴ac ＝9.故选B.题型三 等比数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝13(a 1－1)＝a 1，解得：a 1＝－12，当n ＝2时，S 2＝13(a 2－1)＝a 1＋a 2，解得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．【变式探究1】将本例中条件换为“数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”，求证：{a n ＋1}成等比数列，并求a n .【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n －1.【变式探究2】将本例中的条件换为“数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1”，求a n . 【解析】令a n ＋1－A ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －A ·⎝⎛⎭⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝⎛⎭⎫12n ＋1. 由已知条件知A3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －3×⎝⎛⎭⎫12n . 又a 1－3×⎝⎛⎭⎫121＝－23≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －3×⎝⎛⎭⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列． 于是a n －3×⎝⎛⎭⎫12n ＝－23×⎝⎛⎭⎫13n －1，故a n ＝3×⎝⎛⎭⎫12n －2×⎝⎛⎭⎫13n . 【方法归纳】判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是常数)或a na n －1＝q (q 是常数，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列． 【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错【例5】在等比数列{a n }中，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．－27 【答案】B【解析】由等比中项的性质得a 27＝a 5a 9＝81，∴a 7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a 7＝9，故选B. 【易错警示】 1. 出错原因没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a 7＝±9，错选A. 2. 纠错心得在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当.一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，3a 是1a ，2a 的等差中项，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．12-或1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【分析】首先根据题意得到3122a a a =+，从而得到2210q q --=，再解方程即可. 【解析】由题知：3122a a a =+，所以221q q =+，即2210q q --=，解得12q =-或1q =.故选：A2．已知等比数列{}n a 满足2512,4a a ==，则公比q =（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由352a a q =即可求出．【解析】 352a a q =，即3124q =，解得12q =． 故选：B ．3．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35【答案】B 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知可得q 和1a ，代入等比数列的求和公式即可 【解析】因为 2312a a a =23114a q a a ==，42a ∴=，3474452224a a a a q +=⨯=+， 所以11,162q a ==，551161231112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，故选：B.4．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（ ）个． A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【答案】D 【分析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，根据题意，由()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩求解. 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，由题意得：123123453493a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，即()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩， 解得132a q =⎧⎨=⎩，所以45148a a q ==，故选：D5．在等比数列{}n a 中，若1614a a a ⋅⋅为定值，n T 为数列{}n a 的前n 项积，则下列各数为定值的是（ ） A ．11T B ．12TC ．13TD ．14T【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式用1,a q 表示出1614a a a ，然后再分别表示出各选项中的积进行判断． 【解析】设公比为q ，则()35133186161411111a a a a a q a q a q a q =⋅==为定值，即61a q 为定值，(1)112(1)211111n n n n n n n T a a q a qa qa q--+++-=⋅==，11555111111()T a q a q ==，不是定值，1211126621211T a q a q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，不是定值，13786131311()T a q a q ==，是定值，1413131414221411()T a q a q ⨯==，不是定值．故选：C ．6．在各项都为正数的数列{}n a 中，首项12,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，且()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，则10S =（ ） A ．1022 B ．1024C ．2046D ．2048【答案】C 【分析】当2n ≥时，1n n n a S S -=-，故可以得到()()11220n n n n a a a a --+-=，因为120n n a a -+>，进而得到120n n a a --=，所以{}n a 是等比数列，进而求出102046S = 【解析】由()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，得22140nn a a --=，得()()11220n n n n a a a a --+-=， 又数列{}n a 各项均为正数，且12a =， ∴120n n a a -+>，∴120n n a a --=，即12nn a a -= ∴数列{}n a 是首项12a =，公比2q 的等比数列，其前n 项和()12122212n n nS +-==--，得102046S =，故选：C.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =-，则202120221S a +=（ ）A ．2B ．1C ．12D ．13【答案】B 【分析】由21n n S a =-，根据n a 与n S 的关系，得出{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解析】由数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，当1n =时，可得11121a S a ==-，所以11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以202120212021122112S -==--，202120222a =，所以2021202211S a +=. 故选：B.8．在等比数列{}n a 中，()23122a a a a +=+，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．1 C ．1-或1 D ．1-或2【答案】D 【分析】用1,a q 表示出已知等式后可得结论． 【解析】由题意知()()211210a q q a q +-+=，所以()()120q q +-=，所以1q =-或2q.故选：D .二、多选题9．(多选题)已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ） A ．若30a >，则20210a > B ．若40a >，则20200a > C ．若30a >，则20210S > D ．若30a >，则20210S <【答案】ABC【分析】根据等比数列通项式，前n 项和n S 代入即可得出答案. 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，当30a >，则2018202130a a q=>，A 正确； 当40a >，则2016202040a a q=>，B 正确. 又当1q ≠时，()20211202111a q qS -=-，当1q <时，2021202110,10,0q qS ->->∴>，当01q <<时，2021202110,10,0q q S ->->∴>，当1q >时，2021202110,10,0q qS -<-<∴>当1q =时，2021120210S a =>，故C 正确，D 不正确. 故选：ABC10．(多选题)若数列{a n }是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（ ） A ．{ca n }(c 为常数) B ．{a n ＋a n ＋1}C ．{a n ·a n ＋1)D ．{}3n a【答案】CD 【分析】A. 由c ＝0判断；B.q ＝－1时判断；CD.由等比数列的定义判断. 【解析】当c ＝0时，{ca n }不是等比数列，故A 错误；当数列{a n }的公比q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故B 错误； 由等比数列的定义，选项CD 中的数列是等比数列，故CD 正确. 故选：CD11．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，227a =，369127a a a ⋅⋅=，则当n T 最大时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】AB【分析】 设等比数列{}n a 的公比为q ，求出q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式，解不等式1n a ≥，求出n 的取值范围，即可得解.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33696127a a a a ⋅⋅==，可得613a =，13q ∴==，所以，225212733n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 令531n n a -=≥，解得5n ≤，故当n T 最大时，4n =或5.故选：AB.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．在等比数列{}n a 中，1521,8,n a a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若63k S =，则k =________．【答案】6【分析】由1521,8a a a ==，解得2q求解. 【解析】在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为1521,8a a a ==，所以48,0q q q =≠，解得2q， 所以126312kk S -==-，解得6k =， 故答案为：613．在正项等比数列{}n a 中，若13a 、312a 、22a 成等差数列，则2021202020232022a a a a -=-________．【答案】19【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据已知条件求出q 的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13a 、312a 、22a 成等差数列，则31232a a a =+，即211132a q a a q =+， 可得2230q q --=，0q >，解得3q =， 因此，()20212020202120202202320222021202019a a a a a a q a a --==--. 故答案为：19. 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若241,4n n a S b a a +==，数列{}n a 的通项公式为___________． 【答案】21()2n n a -= 【分析】当1n =时，求得102b a =>，再由n n S a b =-+，得到11(2)n n S a b n --=-+≥， 相减可得120n n a a --=，结合等比数列的通项公式，求得b ，进而求得数列的通项公式.【解析】由题意，正项数列{}n a 满足241,4n n a S b a a +==， 当1n =时，可得1111a S a a b =++=，则102b a =>， 由n n S a b =-+，则11(2,)n n S a b n n N +--=-+≥∈，两式相减可得120n n a a --=，所以1(22)1,n n n n N a a +-≥=∈， 即数列{}n a 为公比为12的等比数列， 所以2416,4b a a b ==，所以2441461a b a b =⨯=，解得4b =， 所以122b a ==，所以数列{}n a 的通项公式为1121112()()22n n n n a a q ---==⨯=.故答案为：21()2n n a -=.四、解答题15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，172n n S a ++=，2211log log n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2022n m T >对所有*n N ∈恒成立，求满足条件m 的最小整数值.【答案】（1）322n n a -= （2）674【分析】（1）利用递推公式，结合前n 项和与第n 项的关系、等比数列的定义进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.（1）由题意172n n S a ++=，当2n ≥时，172n n S a -+=，两式相减得：17n n n a a a +=-，即：()182n n a a n +=≥，所以2n ≥时，{}n a 为等比数列又因为1n =时，217272216a S =+=⨯+=， 所以218a a =， 所以，对所有*n N ∈，{}n a 是以2为首项，8为公比的等比数列，所以132282n n n a --=⨯=；（2） 由题知：32312212211log log log 2log 2n n n n n b a a -++==⋅⋅ ()()13231n n =-+11133231n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以12111111111134473231331n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭所以111202220221674167433131n T n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以满足2022n m T >恒成立的最小m 值为674.16．等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ；（2）求12111nS S S +++. 【答案】（1）33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=（2）()231n n + 【分析】（1）由{}n b 的公比22S q b =及2212b S +=可解得3q =，由11b =则n b 可求，又由22S q b =可得29S =，26a =，213d a a =-=，则n a 可求；（2）由（1）可得3(1)2n n n S +=，则122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故由裂项相消法可求12111nS S S +++. （1） 等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =，222212S q b b S ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3q =，13n n b -=. {}n b 各项均为正数，∴3q =，13n n b -=.由23b =，得29S =，26a =，213d a a =-=，∴()3313n a n n =+-=. （2）3(1)3(1)322n n n n n S n -+=+=， 122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111211111132231n S S S n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪+⎝⎭ 2121313(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝2a n －5，求证{a n －5}是等比数列．【答案】证明见解析【分析】由a n ＋1－5＝2(a n －5)结合等比数列的定义证明即可.【解析】证明：由a n ＋1＝2a n －5得a n ＋1－5＝2(a n －5)． 又a 1－5＝－1≠0，故数列{a n －5}是首项为－1，公比为2的等比数列．。
高中数学必修五--等比数列
这些数列 有什么共同点
概念形成
一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 an q (q 0) ． an1
概念形成
二、等比数列的通项公式
概念形成
四、等比数列的性质
（1）在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项，
即 an2 an1 an1 (n 2) ．
（2）在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积等于首末两项之积，即
a1 an a2 an1 a3 an2 L ．
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an ap aq ．
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an
bn} ，{k
an}
(k
0)
，{ 1 an
} 仍为等比数列，公比分别为
q1
q2
，
q1 ，
1 q1
．Байду номын сангаас
（5）等比数列依次每 n 项的和仍为等比数列，公比为 qn
n
（6） a1 a2 L an (a1 an )2 ． （正项数列中）
课堂小结
四、等比数列的性质
一个思想 类比思想
两个方法 不完全归纳法
叠乘法
三个公式
谢谢大家
人教版高中数学必修五
不完全归纳法
叠乘法
概念形成
二、等比数列的通项公式
【问题3】怎样用函数观点来分析等比数列的通项公式呢？
类比思想
概念形成
高中数学等比数列知识点总结
《高中数学等比数列知识点总结》在高中数学的学习中，等比数列是一个重要的知识点。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还为其他学科的学习提供了重要的数学工具。
本文将对高中数学等比数列的知识点进行全面总结。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如：数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，公比 q= 2。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为\(a_n = a_1q^{n - 1}\)，其中\(a_n\)表示数列的第 n 项，\(a_1\)表示数列的首项，q 表示公比。
1. 推导过程- 设等比数列\(\{ a_{n}\}\)的首项为\(a_1\)，公比为 q。
- 则\(a_{2}=a_{1}q\)，\(a_{3}=a_{2}q = a_{1}q^{2}\)，\(a_{4}=a_{3}q = a_{1}q^{3}\)……- 由此可归纳出等比数列的通项公式\(a_n = a_1q^{n -1}\)。
2. 通项公式的应用- 已知等比数列的首项和公比，可以求出数列的任意一项。
- 已知等比数列的任意两项，可以求出公比和其他项。
三、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
1. 等比中项的性质- \(G^{2}=ab\)。
- 若\(a\)，\(b\)同号，则等比中项有两个，且互为相反数。
2. 应用举例- 已知两个数的积和其中一个数，可以求出另一个数的等比中项。
四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式为\(S_{n}=\begin{cases}na_{1},(q = 1)\\\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1- q},(q\neq1)\end{cases}\)。
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（ ） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
高中数学专题 等比数列,等比数列前n项和公式
一. 专题内容：等比数列，等比数列前n项和公式二. 知识点：1. 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫{a n}叫做等比数列。
3. 等比中项的定义：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
（3）若{a n}为等比数列，公比为q(q≠-1)，则{a2n-1+a2n}也是等比数列，公比为q2.（4）若{a n}、{b n}是等比数列，则{a n b n}也是等比数列。
二. 例题选讲例1. 已知数列{a n}为等比数列，解：小结：首项a1和公比q是确定等比数列{a n}最基本的量，而已知条件可转为关于a1与q 的方程。
例2. 已知数列{a n}满足：lga n=3n+5，试用定义证明{a n}是等比数列。
证明：小结：若{a n}是等差数列，b n=a n可以证明数列{b n}为等比数列，反之若{a n}为等比数列且a n>0，则可证明{lga n}为等差数列。
例3. 若a、b、c成等比数列，试证：a2+b2，ac+bc，b2+c2也成等比数列。
证明：由a、b、c成等比数列，则小结：证明数列成等比数列，可利用等比数列的定义，而证明三个数a，b，c成等比，可证明b2=ac，要注意说明a、b、c全不为零。
例4. 已知四个数前3个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为-128，求这四个数。
解：因此所求的四个数为-4，2，8，32或4，-2，-8，-32。
小结：根据四个数前3个成等差，后三个成等比，列方程可利用a 、q 表示四个数，时解方程也较为方便。
例 5.求n 及公比q 。
解：。
或，公比的值为综上所述，2126 q n小结：等比数列中五个基本量a 1、q 、a n 、n 、S n ，知三可求二，列方程组是求解的常用方法。
解本题的关键是利用a 1·a n =a 2·a n-1，进而求出a 1、a n ，要注意a 1、a n 是两组解。
高中数学《等比数列的概念及通项公式》知识点讲解及重点练习
§4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．知识点一等比数列的概念1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：a na n－1＝q(n∈N *且n>1)⎝⎛⎭⎫或a n＋1a n＝q，n∈N*.思考为什么等比数列的各项和公比q均不能为0?答案由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为0，因此q也不能为0.知识点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.思考当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？答案不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．知识点三等比数列的通项公式若等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则a n＝a1q n－1(n∈N*)．知识点四等比数列通项公式的推广和变形等比数列{a n}的公比为q，则a n＝a1q n－1①＝a m q n－m②＝a1 q·qn.③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q>0且q≠1时，y＝a1q·qx为指数型函数．1．数列1，－1,1，－1，…是等比数列．( √ )2．若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( × )3．等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( × )4．常数列一定为等比数列．( × )一、等比数列中的基本运算例1 在等比数列{a n }中：(1)a 1＝1，a 4＝8，求a n ；(2)a n ＝625，n ＝4，q ＝5，求a 1；(3)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .解 (1)因为a 4＝a 1q 3，所以8＝q 3，所以q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)a 1＝a n q n －1＝62554－1＝5， 故a 1＝5.(3) 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①，得q ＝12，从而a 1＝32. 又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，故n ＝6.反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a 1，a n ，n ，q ，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．跟踪训练1 在等比数列{a n }中：(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5；(2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n .解 (1)因为a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3， 所以a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4， 从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12， 所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.二、等比中项的应用例2 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝__________，ac ＝___________. 答案 －3 9解析 因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2＝9，b ＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3，而b 又是a ，c 的等比中项，故b 2＝ac ，即ac ＝9.反思感悟 (1)由等比中项的定义可知G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ，所以只有a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a ，G ，b 成等比数列等价于G 2＝ab (ab >0)．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，a 1＝－16，a 4＝8，则a 7等于( )A ．－4B ．±4C ．－2D ．±2答案 A解析 因为a 4是a 1与a 7的等比中项，所以a 24＝a 1a 7，即64＝－16a 7，故a 7＝－4.三、等比数列通项公式的推广及应用例3 在等比数列{a n }中．(1)已知a 3＝4，a 7＝16，且q >0，求a n ；(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n .解 (1)∵a 7a 3＝q 7－3＝q 4＝4， ∴q 2＝2，又q >0，∴q ＝2，∴a n ＝a 3·q n －3＝4·(2)n －3＝122n +(n ∈N *)．(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5，又q ≠0，∴a 1＝q .由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ，∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝12或q ＝2. ∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2. ∴a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．反思感悟 (1)应用a n ＝a m q n －m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1.(2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.跟踪训练3 已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.四、灵活设元求解等比数列问题例4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．答案 45解析 (1)设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列．即⎩⎪⎨⎪⎧ 2(aq －1)＝(a －1)＋(aq 2－4)，2(aq 2－4)＝(aq －1)＋(aq 3－13)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a (q －1)2＝3，aq (q －1)2＝6， 解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．解 方法一 设前三个数分别为a q，a ，aq ， 则a q·a ·aq ＝216， 所以a 3＝216.所以a ＝6.因此前三个数为6q，6,6q . 由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23. 故所求的四个数为9,6,4,2.方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d )2， 由题意知14(4－d )2×(4－d )×4＝216， 解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.反思感悟 几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为a q，a ，aq . 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，a q 2，a q，a ，aq ，aq 2，… (2)四个符号相同的数成等比数列设为a q 3，a q，aq ，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，a q 5，a q 3，a q，aq ，aq 3，aq 5，… (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3.跟踪训练4 在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或352B ．4或352C ．4D.352答案 B解析 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22. 由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20. ∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5.当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝352.1．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )A ．±12B ．±2 C.12D ．－2 答案 D解析 因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2. 2．(多选)已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A ．6B ．－6C ．－12D ．12答案 AB解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)×(－16)＝16，b ＝±4， ∴ab ＝±6.3．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( )A ．4B ．8C ．6D ．32答案 C解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.4．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( )A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1) C ．(－2)nD ．－(－2)n 答案 A解析 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.5．在等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则数列{a n }的公比为________，通项公式为a n ＝______________.答案 ±2 (－2)n 或－2n解析 ∵a 3a 1＝q 2， ∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .1．知识清单：(1)等比数列的概念．(2)等比数列的通项公式．(3)等比中项的概念．(4)等比数列的通项公式推广．2．方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法．3．常见误区：(1)x ，G ，y 成等比数列⇒G 2＝xy ，但G 2＝xy ⇏x ，G ，y 成等比数列．(2)四个数成等比数列时设成a q 3，a q，aq ，aq 3，未考虑公比为负的情况． (3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错．1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( )A ．108B ．54C ．36D ．18答案 B解析 因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54.2．(多选)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( ) A ．－4 B ．4 C ．－14 D.14答案 AB解析 由题意得a 26＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2， 所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.4．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( ) A. 2 B ．4 C ．2 D.12答案 C解析 因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设数列{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2. 5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式a n 等于( )A ．22n －1B ．2nC ．22n ＋1D ．22n －3答案 A解析 由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0， 得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4. 由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.6．若{a n }为等比数列，且a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q ＝________.答案 1或－2解析 根据题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，q ＝－2.7．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，且a 1＝________，d ＝________.答案 23－1 解析 ∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1. 8．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4×⎝⎛⎭⎫32n －1解析 由已知可得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝a 2a 1＝64＝32， 所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫32n －1.9．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若a n ＝12，求n . 解 (1)因为a 5＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 3q n －3＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.所以a n ＝28－n 或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，即28－n ＝12或32×⎝⎛⎭⎫－12n －3＝12，解得n ＝9.10．在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＝2，a 5＝8，求a 7；(2)已知a 3＋a 1＝5，a 5－a 1＝15，求通项公式a n .解 (1)因为a 5a 3＝q 2＝82，所以q 2＝4，所以a 7＝a 5q 2＝8×4＝32.(2)a 3＋a 1＝a 1(q 2＋1)＝5，a 5－a 1＝a 1(q 4－1)＝15，所以q 2－1＝3，所以q 2＝4，所以a 1＝1，q ＝±2，所以a n ＝a 1q n －1＝(±2)n －1.11．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.12．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 方法一 ∵a 3，a 5的等比中项为±a 4，∴a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.方法二 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12.13．(多选)已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a 等于() A ．－2 B ．2 C ．－8 D. 8答案 BD解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ，a ＋b ＋c ＝12，a (c ＋2)＝b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4，c ＝0.故a ＝2或a ＝8.14．若数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2S n－3，则{a n}的通项公式是________．答案a n＝3·(－1)n－1解析由a n＝2S n－3得a n－1＝2S n－1－3(n≥2)，两式相减得a n－a n－1＝2a n(n≥2)，∴a n＝－a n－1(n≥2)，又a1＝3，故{a n}是首项为3，公比为－1的等比数列，∴a n＝3·(－1)n－1.15．已知在等差数列{a n}中，a2＋a4＝16，a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，把各项按如图所示排列．则从上到下第10行，从左到右的第11个数值为________．答案275或8解析设公差为d，由a2＋a4＝16，得a1＋2d＝8，①由a1＋1，a2＋1，a4＋1成等比数列，得(a2＋1)2＝(a1＋1)(a4＋1)，化简得a1－d＝－1或d＝0，②当d＝3时，a n＝3n－1.由题图可得第10行第11个数为数列{a n}中的第92项，a92＝3×92－1＝275.当d＝0时，a n＝8，a92＝8.16．设数列{a n}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n(n＋2－λ)，且数列{b n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{a n}的公比为q.由题意，可得a n＝8q n－1，且0＜q＜1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，解得q＝12或152(舍去)，所以a n＝8×⎝⎛⎭⎫12n－1＝24－n，n∈N*.(2)b n＝a n(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由b n＞b n＋1，得(n＋2－λ)·24－n＞(n＋3－λ)·23－n，即λ＜n＋1，所以λ＜(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。
数学高中 等比数列的定义(一)
等比数列的定义（一）一．知识梳理1.等比数列的定义（1）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项都与它的前一项的_____都等于________.那么这个数列就叫做等比数列，这个_______叫做等差数列的_______,公比用字母_____表示.（2）等比数列的符号语言：在等比数列{}n a 中，如果_______________（*∈N n ）（或者q a a n n =-1,*∈≥N n n ,2） 2.等比数列的通项公式如果等比数列{}n a 的首项1a ，公比为q ，那么它的通项公式是________________.3.等比中项（1） 如果三个数b G a ,,成等比数列，那么_____叫做a 与b 的等比中项.且=G _________.（2）若11,,+-n n n a a a 成等比数列，则=⋅+-11n n a a _________.4.等比数列的性质：若数列{}{}n n b a ,分别是以21,q q 为公比的等比数列：（1）数列{}n a c ⋅是以公比为______的等比数列..（2）数列{}n a 2是以公比为______的等比数列.（3）数列{}n n b a ⋅是以公比为______的等比数列.二．预习自测1.下面四个数列：（1）;64,32,16,8,4,2,1,1 （2）在数列{}n a 中，已知;2,22312==a a a a （3）常数列;,,,,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅a a a a （4）在数列{}n a 中，)0(1≠=+q q a a nn 其中一定是等比数列的是________.2.等比数列{}n a 满足0852=+a a ，则公比=q _________. A.2 B.2- C.2± D.33.已知等比数列{}n a 的公比为0>n a 2且，若16113=⋅a a ，则=5a _________.A.1B.2C.8D.44.在等比数列⋅⋅⋅++,66,33,x x x 的第四项为__________.A.24-B.0C.12D.245.已知等差数列{}n a 的公差为2,若842,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和=n S ____.A.)1(+n nB.)1(-n nC.2)1(+n nD.2)1(-n n 6.82是等比数列⋅⋅⋅,22,4,24的第_____项 A.10 B.11 C.12 D.137.在等比数列{}n a 中，.8,3253==a a（1）求n a ； （2）若,21=n a 求n .三．典例解析例一：在等差数列{}n a 中，公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，求1042931a a a a a a ++++的值.例二：若数列{}n a 为等比数列：（1）求证：),(*-∈=N m n q a a m n m n ； （2）,1,9,186352==+=+n a a a a a 求.n例三：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数和第四个数的和为16，第二个数和第三个数和为12，求这四个数.例四：已知数列{}n a 的前n 项和为).1(31,-=n n n a S S 求证：数列{}n a 是等比数列并求.n a例五：已知数列{}n a 中，).2(12,111≥+==-n a a a n n（1）证明：数列{}1+n a 是等比数列; （2）求.n a。
2025届高中数学一轮复习课件《等比数列》ppt
高考一轮总复习•数学
第13页
题型
等比数列基本量的计算
典例 1(1)(2023·全国甲卷，理)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn 为{an}的前 n 项和，
S5＝5S3－4，则 S4＝( )
A．7
B．9
C．15
D．30
(2)(2023·全国甲卷，文)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 8S6＝7S3，则{an}的公 转化为基本量 a1，q 的方程．高考试题的设计也常以基本量的计算为主．
第26页
对点练 2(1)在等比数列{an}中，a1，a17 是方程 x2－14x＋9＝0 的两根，则a2aa916的值为 ()
A. 14
B．3
C．± 14
D．±3
(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知 0<a1<1，其前 n 项之积为 Tn，且 T12＝T6， 则 Tn 取得最小值时，n 的值是____9____．
率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的 2 倍．设第二个音的频率为 f1，第八个
音的频率为 f2，则ff21等于(
)
A.11 26
B.8 2
12 C. 2
D．412 2
答案
高考一轮总复习•数学
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(2)在 1 和 2 之间插入 11 个数使包含 1 和 2 的这 13 个数依次成递增的等比数列，记插 入的 11 个数之和为 M，插入 11 个数后这 13 个数之和为 N，则依此规则，下列说法错误的 是( )
高考一轮总复习•数学
第24页
解析：(1)a11＋a12＋…＋a18＝a1a＋1aa8 8＋aa2＋2a7a7＋a3a＋3aa6 6＋a4a＋4aa5 5. 巧妙应用积的对称性，把两个条件代入求值，此法只适用于偶数项的情形．若奇数项呢？
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结等比数列是高中数学中一个非常重要的概念，在数学的各个领域以及实际生活中都有着广泛的应用。
接下来，咱们就来详细地梳理一下等比数列的相关知识点。
一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如，数列 2，4，8，16，32，就是一个等比数列，其公比 q ＝ 2。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，n 为项数。
通项公式可以帮助我们快速求出等比数列中任意一项的值。
比如，在等比数列{an}中，已知首项 a1 ＝ 3，公比 q ＝ 2，要想求第 5 项 a5 ，则 a5 ＝ 3×2^（5 1) ＝ 3×2^4 ＝ 48 。
三、等比中项若 a，b，c 成等比数列，则 b 为 a，c 的等比中项，且 b^2 ＝ ac 。
例如，2，4，8 成等比数列，4 就是 2 和 8 的等比中项，因为 4^2＝ 2×8 。
四、等比数列的性质1、若 m、n、p、q∈N+，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则有 am×an ＝ap×aq 。
比如在等比数列{an}中，a3×a7 ＝ a5×a5 。
2、若{an}是等比数列，公比为 q ，则{an^2}也是等比数列，公比为 q^2 。
3、若{an}是等比数列，公比为 q ，则{1 ／ an}也是等比数列，公比为 1 ／ q 。
4、等比数列的前 n 项和为 Sn ，当q ≠ 1 时，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) ；当 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 。
五、等比数列的求和公式1、当公比 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 。
这很好理解，因为每一项都相等，所以前n 项和就是首项乘以项数。
高中数学等比数列公式
高中数学等比数列公式
等比数列是一种常见的数列，在高中数学中经常出现。
它的公式可以用来计算
数列中的任意一项。
等比数列是由一个首项和一个公比确定的数列。
公比是指数列中的每一项与前
一项的比值相等。
等比数列的通项公式如下：
an = a1 * r^(n-1)
其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，r表示公比。
根据这个公式，我们可以求解数列中任意一项的值。
首先，找到等比数列的首项a1和公比r。
然后，根据给定的要求，计算出所需
的数列项。
例如，如果给定首项a1=2，公比r=3，要求计算数列的第5项。
首先，代入公式计算第5项：
a5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 3^4 = 2 * 81 = 162
所以，数列的第5项为162。
通过等比数列公式，我们可以方便地计算等比数列中任意一项的值，而无需逐
个计算。
这在解决数学问题和实际应用中具有重要意义。
同时，也需要注意数列序号从1开始，因此在计算时要注意序号的对应关系。
总之，等比数列公式是高中数学中重要的概念之一，它可以用来计算等比数列
中的任意一项。
通过理解和掌握这个公式，我们能够更好地应用数列概念解决问题，并提高数学能力。
等比数列知识点归纳总结高中
等比数列知识点归纳总结高中等比数列是高中数学中非常重要的一部分。
在学习等比数列时，我们需要掌握一些关键的知识点。
本文将对等比数列的基本概念、通项公式、前n项和以及求和等内容进行归纳总结。
一、基本概念等比数列是指数列中连续两个数之间的比是一个常数的数列。
该常数称为公比，通常用字母q表示。
在等比数列中，首项一般用字母a表示。
二、通项公式通项公式是指通过将等比数列的第n项与首项a和公比q联系起来，可以直接计算得到任意一项的数值。
等比数列的通项公式为：an = a * q^(n-1)其中，an表示等比数列的第n项，a表示首项，q表示公比，n表示项数。
三、前n项和前n项和是指等比数列中前n个数的和。
求等比数列前n项和的公式如下：Sn = a * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示前n项和。
四、性质与应用1. 若公比q>1，则等比数列呈现出递增的趋势；若0<q<1，则等比数列呈现出递减的趋势。
2. 若公比q>1，则等比数列无上界；若0<q<1，则等比数列无下界。
3. 等比数列常常用于解决与倍数关系有关的问题，如利润增长、人口增长等。
总结：在学习等比数列时，我们需要掌握基本概念、通项公式、前n项和以及性质与应用。
等比数列在解决与倍数关系有关的问题时起到非常重要的作用。
通过理解等比数列的概念和公式，并熟练运用相关的求解步骤，我们可以更好地应对相关问题，提高解题效率。
以上就是对等比数列知识点的归纳总结，希望能对你的学习有所帮助。
在学习过程中，多进行相关的练习和实践，加深对等比数列的理解和掌握。
祝你在学习中取得好成绩！。
高中数学等比数列
要求层次重难点等比数列等比数列的概念B 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 灵活应用求和公式解决问题等差比数列的通项公式与前n 项和公式C（一） 知识内容1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示． 2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数； 一个正数与一个负数没有等比中项． <教师备案>1．等比数列通项公式的推导：由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=． 由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=． 4. 等比数列{}n a 的性质（其中公比为q ）：⑴n m n m a a q -=，nn mma q a -=； ⑵若p q m n +=+，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2mp q a a a =⋅； ⑶等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．例题精讲高考要求板块一：等比数列通项等比数列2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．（二）典例分析：1.等比数列定义【例1】 ⑴在等比数列}{n a 中, 116a =-，48a =，则=7a （ ）A ．4-B ．4±C ．2-D ．2±⑵ 在等比数列{}n a 中，若39,a a 是方程231190x x -+=的两根，则6a 的值是_____.⑶在等比数列}{n a 中，公比2q =，且30303212=⋅⋅⋅⋅a a a a ，则30963a a a a ⋅⋅⋅⋅ 等于（ ）A ．102B ．202C ．162D ．152【变式】 已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =___________．【例2】 一个数加上20，50，100后得到的三数成等比数列，其公比为 ．【变式】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．2.等比数列性质【例3】 已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则12231n n a a a a a a ++++=( )A ．()1614n --B ．16(12)n --C ．()32143n --D ．()32123n --【变式】 或判断设{}n a 为公比1q >的等比数列，若2006a 和2007a 是方程24830x x -+=的两根，则20082009a a += ．【变式】 等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a ++=( )A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+【变式】 等比数列{}n a 的公比为2，则123422a a a a ++的值为 ．【例4】 已知等比数列{}n a 满足1611a a +=，且34329a a =. ⑴求数列{}n a 的通项n a ；⑵如果至少存在一个自然数m ，恰使123m a -，2()m a ，149m a ++这三个数依次成等差数列，问这样的等比数列{}n a 是否存在?若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由.【例5】 设{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(12)，，n n b a n =+=，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782，，，，--中，则6q = ．3.证明等比数列<教师备案>数列的递推公式在必修5中为选学内容，目的是使学生了解数列的递推公式是给出数列的一种方法，也是研究数列的一个途径，本板块与等比数列定义结合，根据数列递推公式，重点讲解用待定系数法求数列的通项公式，也可称为换元法． 主要有几种出题形式： 1．1n n a b a c +=⋅+ 2．1()n n a b a c n +=⋅+ 3．11n n n a pa qa +-=+【例6】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)3n n S a =-*()n ∈N⑴求1a ，2a ；⑵求证：数列{}n a 是等比数列．【例7】 已知数列{}n a 满足11a =，1112n n a a +=+，求其通项公式．【例8】 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求n a ．【点评】 解法一利用待定系数法确定常数λ，从而构造新的等比数列，进而求通项公式；解法二仿照所给关系式，两式相减构造新的数列（等差或等比）【变式】 已知数列{}n a 满足11a =-，1132(2)n n n a a n --=+≥，求n a【点评】 当{}()c n 成等比数列时，1()n n a ba c n -=+由于{}()c n 是等比数列()n c n p q ⇔=⋅，且b 是常数，故()c n 一定可像c 一样分解： 设11()n n n n a A B b a A B ---⋅=-⋅，则pqA q b=-，B q =，且{}n n a A B -⋅成等比数列．【变式】 已知1172a =-，13()5(2)2n n a a n -=-+≥，求n a ．【例9】 数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．⑴求c 的值；⑵求{}n a 的通项公式．【变式】 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n *∈N ．⑴证明数列{}n a n -是等比数列； ⑵求数列{}n a 的前n 项和n S ．【点评】 1()n n a ba c n +=+，当数列{}()c n 成等差数列时．⑴若1b =，则1()n n a a c n +-=，这实质上成为“泛等差”数列，因此用“迭加法”即可解决， 即112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+，上一讲已有此类题目，若与等比结合，例如：已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a n +-=-，求n a ．解：∵12n n n a a n +-=-，∴12121a a -=-，23222a a -=-，…，112(1)n n n a a n ---=--(2)n ≥， 迭加法：2n ≥时，有[]211(1222)123(1)n n a a n --=++++-++++-2111(1)(1)(1)(1222)(22)21222n n n n n n n n n n a a a ----=++++++=--+=--而11a =也适合上式 ∴{}n a 的通项公式为(1)212n n n n a -=-- ⑵1()n n a ba c n +=+那么1b ≠且0b ≠时， {}()c n 是等差数列()c n pn q ⇔=+，故()c n 也可以像c 一样分解：[][]1(1)()n n a A n B b a An B +-++=-+则1pA b=-，2(1)q qb pb B b --=-，且{}()n a An B -+成等比数列．也可举更一般的例题：已知112a =-，1321(2)n n a a n n -=+-≥，求n a ．解：设[]{}1()3(1)n n a An B a A n B --+=--+ ∴133(1)3n n a a A n A An B -=---++ 故21232n An A B -=-+-恒成立，故22132AA B =-⎧⎨-=-⎩∴1A =-，1B =-，故{}1n a n ++成等比数列．【例10】 已知数列{}n a 的前n 项和为2*251()n S n n n =++∈N数列{}n b 的前n 项和n B 满足33()22n n B b n *=-∈N⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵将数列{}n a 与{}n b 的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列{}n c ，求数列{}n c 的通项公式．【例11】 设0a 为常数，且1132(*)n n n a a n --=-∈N ．⑴ 证明对任意1n ≥，101[3(1)2](1)25n n n n n n a a -=+-⋅+-⋅；⑵ 假设对任意1n ≥有1n n a a ->，求0a 的取值范围．（一） 知识内容<教师备案>错位相减求和法：非零的等差数列{}n a 、等比数列{}n b 构造数列{}n n a b ⋅，此数列称为差比数列，求它的前n 项和可用错位相减法．等比数列的n 项和也构成一个等比数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等比数列，公比为n q ．通项公式：11n n m n m a a q a q --==；前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．等比数列前n 项和公式的推导：法一：由等比数列的定义知2132121,,,,n n n n a a q a a q a a q a a q ---====，将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-，当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立； 当1q =时，1n S na =． 法二：211111n n S a a q a q a q -=++++，将上式两边同乘以q 得：231111n n qS a q a q a q a q =++++，两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-，以下讨论同法一． 法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．（二）典例分析：1.等比数列求和公式【例12】 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =，则它的公比q =_______，前n 项和n S =_______．【例13】 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655-=S S ，则4=a ．【例14】 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96=SS （ ）A ．2B ．73C ．83D ．3板块二：数列的前n 项和设{}n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令1(12)=+=n n b a n ，，，若数列{}n b 有连续四项在集合{}5323193782--，，，，中，则6=q ．【变式】 等比数列{}n a 的首项11a =-，前n 项和为n S ，公比1q ≠，若105S S ＝3132，则105a a 等于 ．【例15】 等比数列{}n a 中，1512a =，公比12q =-，用n ∏表示它前n 项的积：12...n n a a a ∏=，则1∏，2∏，…，n ∏中最大的是_______．【例16】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(1)()3N n n S a n *=-∈．⑴求1a ，2a ，3a 的值；⑵求n a 的通项公式及10S ．【变式】 在等比数列{}n a 中，12327a a a ⋅⋅=，2430a a +=试求：⑴1a 和公比q ；⑵前6项的和6S .【变式】 ⑴ 在等比数列{}n a 中，已知对任意正整数n ，有21n n S =-，则22212n a a a +++=________．⑵ 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠．⑶ (2008-2009学年度山东省费县必修5考试数学试卷)在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例17】 在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132log log b b ++……314log b +等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【例18】 ⑴等比数列}{n a 中，已知对任意自然数n ，=+⋯+++n a a a a 32121n -，则22212n a a a ++⋅⋅⋅+=( ) A ．()221n - B ．()1213n - C ．41n - D ．()1413n - ⑵ 若210lg lg lg 110x x x ++⋯+=，求210lg lg lg x x x ++⋯+的值. ⑵ 求和：2(1)(2)(),(0)n a a a n a -+-++-≠．⑶在等比数列{}n a 中，423a =，35209a a +=．若数列{}n a 的公比大于1，且3log 2n n ab =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【例19】 在等比数列{}n a 的前n 项中，1a 最小，且12166,128n n a a a a -+==，前n 项和126n S =，求n 和公比q ．【例20】 设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若3692S S S +=，求数列的公比q ．【例21】 {}n a 的相邻两项1n n a a +，是方程21()03n n x c x -+=的两根，且12a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .板块三：等比数列综合【例22】 已知数列{}n a ：1，12()2-，213()2-，…，11()2n n --，求它的前n 项和．【变式】 已知：数列{}n a 满足21123333,3n n na a a a a -+++++=∈N .⑴求数列{}n a 的通项； ⑵设,n nnb a =求数列{}n b 的前n 项和n S【例23】 已知数列{}n a 的通项公式为5n n a n =⋅，求其前n 项和公式．【例24】 求数列a ，22a ，33a ，…，n na ，…，（a 为常数）的前n 项的和．【变式】 已知等差数列{}n a ，公差为d ，求3521123n n n S a x a x a x a x -=+++(10)x x ≠≠且【变式】 设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+⋅⋅⋅+，已知11T =，24T =．⑴求数列{}n a 的首项和公比; ⑵求数列{}n T 的通项公式．【例25】 已知1a ≠，数列{}n a 是首项为a ，公比为a 的等比数列，令lg (0,)n n n b a a a n *=>∈N ，⑴当2a =时，求数列{}n b 的前n 项和n S ；⑵若数列{}n b 中的每一项总小于它后面的项时，求a 的取值范围．【点评】 本题的⑵属于数列与不等式的结合问题，涉及到分式不等式的解法以及参数的讨论问题，注意与指数函数和对数函数相结合．【例26】 已知函数()f x 是一次函数，且()815f =，()2f ，()5f ，()14f 成等比数列，设()n a f n =，()*n ∈N ．⑴ 求n T ；⑵ 设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ．【例27】 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和()0n S n +>∈N ．⑴求q 的取值范围；⑵设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小．【例28】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，证明0.50.520.51log log log 2n n n S S S +++>【例29】 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和．⑴证明：21lg lg lg 2n n n S S S +++<；⑵是否存在常数0C >使得()()()21lg lg lg 2n n n S C S C S C ++-+-=-成立？并证明你的结论．<教师备案> 1． 复利．复利是指把上期的利息也加入本期的本金计算利息，叫做复利． 2． 复利公式．设有一笔资金的本金为m 元，每期的利率为i ，若按复利计算，则本利和S 可按期数排成下面的数列．板块四：等比数列知识的应用因此本利和是个等比数列，则m 元本金在利率i 下，经n 期后，按复利计算的本利和公式为(1)n n S m i =+习惯上常将复利计算本利和时的利率叫做复利率．【例30】 用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1％，若交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？【例31】 从盛满a 升(1)a >纯酒精的溶液里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满．如此继续下去，那么第n 次操作后溶液的浓度是多少?【变式】 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？【变式】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存入银行，月利按复利计算，月利率为0.2%，每够一年就将一年的本利和改存，年利按复利计算，年利率为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？【例32】 (05上海卷．理12)用n 个不同的实数12,,,n a a a 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。
高中数学等比数列知识点总结最新7篇
高中数学等比数列知识点总结最新7篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】
高一数学《等比数列的性质及应用》教案设计【8篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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等比数列数学公式高中有哪些
等比数列数学公式高中有哪些等比数列数学公式高中1、等比数列的通项公式是：An=A1__q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N__,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2arar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap__aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.数学答题技巧一、调整好状态，控制好自我。
高考数学解题技巧15篇保持清醒。
数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
提前进入角色，考前做好准备。
按清单带齐一切用具，提前半小时到达考区，一方面可以消除紧张、稳定情绪、从容进场，另一方面也留有时间提前进入角色让大脑开始简单的数学活动，进入单一的数学情境。
如：1.清点一下用具是否带齐(笔、橡皮、作图工具、身份证、准考证等)。
2.把一些基本数据、常用公式、重要定理在脑子里过过电影。
3.最后看一眼难记易忘的知识点。
高中数学：第二章 第14课时等比数列的性质
第14课时 等比数列的性质知识点一 等比数列的性质运用1．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10等于( )A ．23B ．32C ．23或32D ．－23或－32 ★答案★ C解析 在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝a 4·a 14＝6， ① 又a 4＋a 14＝5， ②由①，②组成方程组得⎩⎨⎧ a 4＝2，a 14＝3或⎩⎨⎧a 4＝3，a 14＝2.∴a 20a 10＝a 14a 4＝23或32．故选C ．2．一个等比数列中，前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．10项B ．11项C ．12项D ．13项 ★答案★ C解析 设该等比数列为{a n }，由已知a 1a 2a 3＝2，a n －2a n －1a n ＝4及等比数列的性质，得(a 1a n )3＝8，所以a 1a n ＝2．又因为a 1a 2a 3…a n ＝64＝26＝(a 1a n )6， 所以该数列有12项．故选C ．3．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，那么a 4＋a 5＝( ) A ．27 B ．27或－27 C ．81 D ．81或－81 ★答案★ B解析 ∵q 2＝a 3＋a 4a 2＋a 1＝9，∴q ＝±3，因此a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27或－27．故选B ．4．若数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 5等于( )A ．－64B ．－32C ．32D ．64 ★答案★ C解析 ∵数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，∴a 5＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×a 5a 4＝1×(－2)×(－2)2×(－2)3×(－2)4＝(－2)10＝32．知识点二 等比数列的综合问题5．已知{a n }为各项都是正数的等比数列，若a 4a 8＝4，则a 5a 6a 7＝( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．64 ★答案★ B解析 由题意得a 4a 8＝a 26＝4，又因为数列{a n }为正项等比数列，所以a 6＝2，则a 5a 6a 7＝a 36＝8，故选B ．6．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．(1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值． 解 (1)由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1． 经验证，n ＝1时，上式也成立， ∴a n ＝2kn －k ＋1．(2)∵a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列， ∴a 22m ＝a m ·a 4m ．即(4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)， 整理，得mk (k －1)＝0． ∵对任意的m ∈N *成立， ∴k ＝0或k ＝1．7．设关于x 的一元二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3．(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：数列a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式．解(1)根据根与系数的关系，有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝a n ＋1a n ，αβ＝1a n ，代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，得6a n ＋1a n －2a n ＝3，所以a n ＋1＝12a n ＋13．(2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13， 所以a n ＋1－23＝12a n －23．所以数列a n －23是以12为公比的等比数列．(3)当a 1＝76时，a 1－23＝12，故数列a n －23是首项为12，公比为12的等比数列， 所以a n ＝23＋12n (n ＝1，2，3，…)．知识点三 等差数列与等比数列的综合运用8．已知2a ＝3，2b ＝6，2c ＝12，则a ，b ，c ( ) A ．成等差数列不成等比数列 B ．成等比数列不成等差数列 C ．成等差数列又成等比数列 D ．既不成等差数列又不成等比数列 ★答案★ A解析 解法一：a ＝log 23，b ＝log 26＝log 23＋1， c ＝log 212＝log 23＋2． ∴b －a ＝c －b ．解法二：∵2a ·2c ＝36＝(2b )2，∴a ＋c ＝2b ．∴选A ．9．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________． ★答案★ －6解析 由题意，知a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6． ∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6．易错点一 忽略等比数列中的任何一项都不为零10．设等比数列{a n }的公比为q ，k ∈N *，b n ＝a (n －1)k ＋1＋a (n －1)k ＋2＋…＋a nk (n＝1，2，…)，试判断数列{b n }是否是等比数列？如果是，求出其公比；如果不是，请说明理由．易错分析 本题易忽略q ＝－1且k 为偶数时b n ＝0的情况而错判{b n }是等比数列．解 由b n ＝a 1q (n －1)k (1＋q ＋…＋q k －1)， 得b n ＋1＝a 1q nk (1＋q ＋…＋q k －1)．①当1＋q ＋…＋q k －1＝0，即当q ＝－1且k 为偶数时，b n ＝0，此时，数列{b n }不是等比数列．②当1＋q ＋…＋q k －1≠0时，b n ＋1b n ＝a 1q nk (1＋q ＋…＋q k －1)a 1q (n －1)k (1＋q ＋…＋q k －1)＝q k (q k为常数)， 此时，数列{b n }是首项为b 1＝a 1，公比为q k 的等比数列．易错点二 对等比数列中项的符号变化规律弄不清导致错误11．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________．易错分析 本题极易由b 22＝(－4)×(－1)＝4，求得b 2＝±2而致错． 对于等比数列{a n }，若公比为正数，则每一项同号，若公比为负数，则所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号相同．如本题中，无论公比是正数还是负数，b 2与－4一定同号．解 解法一：设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ，则有－7＋3d ＝－1，－4×q 4＝－1，解得d ＝2，q 2＝12，所以a 2－a 1＝d ＝2，b 2＝－4×q 2＝－4×12＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1．解法二：因为－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列， 所以a 2－a 1＝13[(－1)－(－7)]＝2，因为－4，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，所以－4，b2，－1成等比数列，所以b22＝(－4)×(－1)＝4，所以b2＝2或b2＝－2，由b21＝－4×b2＞0知b2＜0，所以b2＝－2，所以a2－a1b2＝2－2＝－1．一、选择题1．等比数列{a n}是递减数列，前n项的积为T n，若T13＝4T9，则a8a15等于()A．±2 B．±4 C．2 D．4★答案★C解析∵T13＝4T9，∴a1a2...a9a10a11a12a13＝4a1a2 (9)∴a10a11a12a13＝4，∵a10a13＝a11a12＝a8a15．∴(a8a15)2＝4，∴a8a15＝±2，又∵等比数列{a n}是递减数列，∴q>0，即a8a15＝2，故选C．2．在公差大于0的等差数列{a n}中，2a7－a13＝1，且a1，a3－1，a6＋5成等比数列，则数列{(－1)n－1a n}的前21项和为()A．21 B．－21 C．441 D．－441★答案★A解析公差d大于0的等差数列{a n}中，2a7－a13＝1，可得2a1＋12d－(a1＋12d)＝1，即a1＝1，a1，a3－1，a6＋5成等比数列，可得(a3－1)2＝a1(a6＋5)，即为(1＋2d－1)2＝1＋5d＋5，解得d＝2(负值舍去)则a n＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N*，数列{(－1)n－1a n}的前21项和为a1－a2＋a3－a4＋…＋a19－a20＋a21＝1－3＋5－7＋…＋37－39＋41＝－2×10＋41＝21．故选A．3．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f(a n)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln |x|．则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④★答案★C解析由等比数列性质知a n a n＋2＝a2n＋1，①f(a n)f(a n＋2)＝a2n a2＝n＋2(a2n＋1)2＝f2(a n＋1)，故正确；②f(a n)f(a n＋2)＝2a n2a n＋2＝2a n＋a n＋2≠22an＋1＝f2(a n＋1)，故不正确；③f(a n)f(a n＋2)＝|a n||a n＋2|＝|a n＋1|2＝f2(a n＋1)，故正确；④f(a n)f(a n＋2)＝ln |a n|ln |a n＋2|≠ln |a n＋1|2＝f2(a n＋1)，故不正确．故选C．4．在数列{a n}中，a1＝2，当n为奇数时，a n＋1＝a n＋2；当n为偶数时，a n ＝2a n－1，则a12等于()＋1A．32 B．34 C．66 D．64★答案★C解析依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66．故选C．5．给定正数p，q，a，b，c，其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx2－2ax＋c＝0()A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D ．有两个异号实根 ★答案★ A解析 ∵p ，a ，q 是等比数列，p ，b ，c ，q 是等差数列，∴a 2＝pq ，2b ＝p ＋c ，2c ＝b ＋q ，b ＋c ＝p ＋q ．解得b ＝2p ＋q 3，c ＝p ＋2q3；∴Δ＝(－2a )2－4bc ＝4a 2－4bc＝4pq －49(2p ＋q )(p ＋2q )＝－89p 2－89q 2＋169pq ＝－89(p 2－2pq ＋q 2)＝－89(p －q )2．又∵p ≠q ，∴－89(p －q )2＜0，即Δ＜0，原方程无实根． 故选A ． 二、填空题6．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．★答案★ 8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }， 则a 1＝1，a 8＝2．插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8． 7．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m－1＝128，则m ＝________． ★答案★ 4解析 ∵a m －1a m ＋1－2a m ＝0，由等比数列的性质可得，a 2m －2a m ＝0， ∵a m ≠0，∴a m ＝2．∵T 2m －1＝a 1a 2…a 2m －1＝(a 1a 2m －1)(a 2a 2m －2)…a m ＝a 2m －2m a m ＝a 2m －1m＝22m －1＝128， ∴2m －1＝7，∴m ＝4．8．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为________．★答案★ 4解析 ∵a 2·a 4＝4＝a 23，且a 3＞0，∴a 3＝2．又a 1＋a 2＋a 3＝2q 2＋2q ＋2＝14，∴1q ＝－3(舍去)或1q ＝2，即q ＝12，a 1＝8．又a n ＝a 1q n －1＝8×12n －1＝12n －4，∴a n ·a n＋1·a n ＋2＝123n －9＞19，即23n －9＜9，∴n 的最大值为4． 三、解答题9．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解 原式可化为⎩⎨⎧(a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100， ∴⎩⎨⎧a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝6或⎩⎨⎧a 5＋a 3＝10，a 5－a 3＝6.∴a 3＝8，a 5＝2，q ＝12或a 5＝8，a 3＝2，q ＝2． ∴当q ＝12时，a 1＝32，a n ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝26－n ．当q ＝2时，a 1＝12，a n ＝2n －2．10．如图所示，在边长为1的等边三角形A 1B 1C 1中，连接各边中点得△A 2B 2C 2，再连接△A 2B 2C 2各边的中点得△A 3B 3C 3，…，如此继续下去，试证明数列S △A 1B 1C 1，S △A 2B 2C 2，S △A 3B 3C 3，…是等比数列．ruize证明 由题意，得△A n B n C n (n ＝1，2，3…)的边长A n B n 是首项为1，公比为12的等比数列，故A n B n ＝12n －1．所以S △AnBnCn ＝34×122n －2．所以S △A n ＋1B n ＋1C n ＋1S △A n B n C n ＝34×122n 34×122n －2＝14． 因此，数列S △A 1B 1C 1，S △A 2B 2C 2，S △A 3B 3C 3，…是等比数列．。
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等比数列
【知识点精讲】 1．定义与定义式
从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.
)(1
为不等于零的常数q q a a n
n =+ 2．通项公式11-=n n q a a ,推广形式:m n m n q a a -=,变式),,(*-∈>=N n m m n a a q m
n m
n
3．前n 项和⎪⎩⎪
⎨⎧≠≠--=--==)
10(11)1()1(111q q q q a a q
q a q na S n n n 且
注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:若a 、b 、c 成等比数列,则b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±=
5．在等比数列{}n a 中有如下性质: (1)若q p n m a a a a N q p n m q p n m ⋅=⋅∈+=+*则,,,, (2)下标成等差数列的项构成等比数列
(3)连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若
{}为等比数列数列n n
n a N n q a a ⇔∈=*+)(1
(2)等比中项法:若{}为等比数列数列
且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*
++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n n n a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想
①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论 ②当{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>> ()1(111-=--+q q a a a n n n )
{}为递减数列等比数列
时或n a q a q a ,10,01,011<<>>< 【例题选讲】
1．关于基本公式的运用
例1． 已知等比数列{}n a 中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n 。
详见优化设计P41典例剖析例1，解答略。
变式：将该题中的等比数列改为等差数列，结果是多少？
例2．已知数列{}n a 为等差数列，公差d ≠0，{}n a 的部分项组成下列数列：113,,n k k k k a a a a ，
恰为等比数列，其中k 1=1, k 2=5, k 3=17，求k 1+k 2+k 3+…+k n 。
2.关于等比数列的证明
例 3.数列{}{}n n b a ,的通项公式分别是,23,2+==n b a n n n 它们公共项由小到大排列的数列是
{}n c ,①写出{}n c 的前5项 ②证明{}n c 是等比数列
思维分析:容易证明{}n c 是等比数列,由定义式,只需找出{}n c 中任意相邻两项关系即可. 解(1) {}n c 的前5项为:8、32、128、512、2048
（2）设1)12(3)23(222,232,1++⋅=+=⋅=+==∴==+p p a p c c b a m m m n n p m 而
{}{}中在又中不在bn a p p a b a m m m n m 221,2)24(3)23(424,+++∴++⋅=+⋅=⋅=∴ {}{}是等比数列故项中的项即是n n n n n m c c c c c a ,4,112=∴∴+++
3.数学应用题----数列建模
例4.一个球应从100米高处自由下落,每次着地后又跳回到原高度的一半落下,当它第10次着地时,共经过了多少米?
思维分析:数列建模过程中，关键是建立递推关系式，然而求出n a ，再结合数列相关性质解题。
解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了 米1002
1002=⨯，因此球第十次着地时共经过的路程为
米3002
11]
)21
(1[1001002
10021002100100100982=--+=+++++
练习 变式4：一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a 元,一年定期，若年利润率为r ，保持不变，且每年到期时，存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回总钱数为多少？
解:)]1()1[()1()1()1(191718r r r
a
r a r a r a +-+=++++++ 4．等比数列综合题
例5 设各项均为正数的数列{}n a 和{}n b 满足5a n ，5b n ，51a n +成等比数列，lgb n ，lga n+1，lgb n+1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n ，b n 。
备用题：（01年全国高考）从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以
此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少5
1
，本年度当地
旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比
上年增加4
1
（1）设n 年内（本年度为第一年）总投入为a n 万元，旅游业收入为b n 万元，写出a n 、b n 的表达式。
（2）至少经过多少年旅游业总收入才能超过总投入？ 思维分析：建立等比数列模型
解：（1）])54
(1[400)511(800)511(8008001n n n a -=-++-+=-
]1)45
[(1600)411(400)411(4004001-=+++++=-n n bn
（2）50≥⇒>-n a b n n ，至少经过5年。
【课堂小结】
1．等比数列的定义、通项、中项、求和；
2．方程的思想、整体代换思想、分类讨论思想；
3．适当注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度。
【课后作业】 高考胜券。