(新)高考中立体几何与三棱柱
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B 1
C B
A
D
C 1
A 1
1.【2012高考重庆文20】(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分) 已知直三棱柱111ABC A B C -中,4AB =,3AC BC ==,D 为AB 的中点。(Ⅰ)求异面直线1CC 和AB 的距离;(Ⅱ)若11AB A C ⊥,求二面角11A CD B --的平面角的余弦值。
【解析】(Ⅰ)如答(20)图1,因AC=BC , D 为AB 的中点,故CD ⊥AB 。又直三棱柱中,1CC ⊥ 面ABC ,故1CD CC ⊥ ,所以异面直线
1CC 和AB 的距离为225BC BD -=(Ⅱ):由1CD ,CD ,AB BB ⊥⊥故CD ⊥ 面11A ABB ,从而1CD DA ⊥ ,1CD DB ⊥故11A DB ∠ 为所求的二面角11A CD B --的平面角。
因1A D 是1A C 在面11A ABB 上的射影,又已知11C,AB A ⊥ 由三垂线定理的逆定理得
11D,AB A ⊥从而11A AB ∠,1A DA ∠都与1B AB ∠互余,因此111A AB A DA ∠=∠,所以1Rt A AD ≌11Rt B A A ,因此
1111
AA A B AD AA =得2
1118AA AD A B =⋅= 从而2
2
111123,23A D AA AD B D A D +===所以在11A DB 中,由余弦定理得222111111111
cos 23
A D D
B A B A DB A D DB +-==⋅
2.【2012高考新课标文19】(本小题满分12分)
如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=1
2AA 1,D 是棱AA 1的中点
(I)证明:平面BDC 1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 【答案】
3.【2012高考陕西文18】(本小题满分12分) 直三棱柱ABC- A 1B 1C 1中,AB=A A 1 ,CAB ∠=2
π
(Ⅰ)证明11B A C B ⊥;
(Ⅱ)已知AB=2,BC=5,求三棱锥11C A AB - 的体积 【答案】
4.【2012高考辽宁文18】(本小题满分12分)
如图,直三棱柱///
ABC A B C -,90BAC ∠=,2,AB AC ==
AA ′=1,点M ,N 分别为
/A B 和//B C 的中点。
(Ⅰ)证明:MN ∥平面/
/
A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥/
A MNC -的体积。
(椎体体积公式V=
1
3
Sh,其中S 为地面面积,h 为高)
5.【2012高考江苏16】(14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111A B AC =,D E ,分别是棱1BC CC ,上的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥,为11B C 的中点.
求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ; (2)直线1//A F 平面ADE .
【答案】证明:(1)∵111ABC A B C -是直三棱柱,∴1CC ⊥平面ABC 。 又∵AD ⊂平面ABC ,∴1CC AD ⊥。
又∵1AD DE CC DE ⊥⊂,
,平面111BCC B CC DE E =,,∴AD ⊥平
面11BCC B 。
B
C C 1
B 1
又∵AD ⊂平面ADE ,∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。 (2)∵1111A B AC =,F 为11B C 的中点,∴111A F B C ⊥。
又∵1CC ⊥平面111A B C ,且1A F ⊂平面111A B C ,∴11CC A F ⊥。 又∵111 CC B C ⊂,平面11BCC B ,1
111CC B C C =,
∴1A F ⊥平面111A B C 。 由(1)知,AD ⊥平面11BCC B ,∴1A F ∥AD 。
又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ,∴直线1//A F 平面ADE 6. (2013新课标Ⅱ)18.(本小题满分12分)
如图,直棱柱111ABC A B C -中,,D E 分别是1,AB BB 的中点,
12
2
AA AC CB AB ===
. (Ⅰ)证明:1//BC 平面1A CD ; (Ⅱ)求二面角1D A C E --的正弦值.
7. (2013新课标1卷18)如图,三棱柱111C B A ABC -中,CB CA =,1AA AB =,0
160=∠BAA
C
B
1
A 1
(1)证明:C A AB 1⊥;
(2)若平面ABC ⊥平面B B AA 11,CB AB =,求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值
解:(Ⅰ)取AB 中点E ,连结CE ,1A B ,1A E , ∵AB=1AA ,1BAA ∠=0
60,∴1BAA ∆是正三角形, ∴1A E ⊥AB , ∵CA=CB , ∴CE ⊥AB , ∵1CE A E ⋂=E ,∴AB ⊥面1CEA , ∴AB ⊥1AC ; ……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知EC ⊥AB ,1EA ⊥AB ,
又∵面ABC ⊥面11ABB A ,面ABC ∩面11ABB A =AB ,∴EC ⊥面11ABB A ,∴EC ⊥1EA , ∴EA ,EC ,1EA 两两相互垂直,以E 为坐标原点,EA 的方向为x 轴正方向,|EA |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系O xyz -, 有题设知A(1,0,0),
1A (0,
3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),则BC =(1,0,
3),1BB =1AA =(-31AC =(0,33), ……9分
设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向量,
则100BC BB ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩n n ,即3030
x z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,可取n =3,1,-1), ∴1cos ,A C n =
11|A C A C •n |n ||10
∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为
10
……12分 8.(2013北京卷理17)如图,在三棱柱111C B A ABC -中,C C AA 11是边长为4的正方形,平面⊥ABC 平面C C AA 11,5,3==BC AB . (1)求证:⊥1AA 平面ABC ;