圆的方程复习课
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| 3b b | 2
） 2+（
7 ）2 =9b2，
解得b=±1.故所求圆方程为 （x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且 直线y=x截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程。 7 分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上， 故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2. 又因为直线y=x截圆得弦长为 2 7 ， 则有（
解：设动点P的坐标为（x，y），由
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2
| PA | =a（a>0）得 | PB |
=a，化简，得 （1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.
当a=1时，方程化为x=0.
所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；
典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且 直线y=x截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程。 7 分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上， 故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2. 又因为直线y=x截圆得弦长为 2 7 ， 则有（
4.设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为_____
5.将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为________
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于 x+y=0成轴对称图形，则 A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上. 答案：A 2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1， 且与点B（3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所 求. 答案：B 3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q 关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________. 解析：圆心（－ ，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2. 答案：2 1 4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点， 2 则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________. 解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2. 再由d－r=2－1=1，知最小距离为1. 答案：1 5. （2005年北京海淀区期末练习）将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆 （x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________. 解析：由向量平移公式即得a=（－1，2）.
| 3b b | 2
） 2+（
7 ）2 =9b2，
解得b=±1.故所求圆方程为 （x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
【例2】设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点， 动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0）， 求P点的轨迹.
【例2】设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点， 动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0）， 求P点的轨迹.
点击双基
1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t 4+9=0（t∈R） 表示圆方程，则t的取值范围是
A. 1 t 1 7 B. 1 t 1 2 C. 1 t 1 7
D. 1 t 2
2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部， 则a的取值范围是
7
2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部， wenku.baidu.coma的取值范围是
A. a 1
1 B. a 13
.
1 C. a 13
D. a 1
解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部 ，所以 1 2 2 2 a （5a+1－1） +（12a） <1 即(13a) <1 .
13
点击双基
y 2 Dx Ey F 0（D +E －4F＞0） 1 D E 其中圆心为 ( , ) ，半径为 D 2 E 2 4F . 2 2 2
2
2 2
2 2 x 、y 说明：1、 项的系数相同，没有 xy 项。
2、求圆的一般方程，只需求D、E、F 三个参数。 3、 2 D E 2 4F 0 方程表示圆 2 2 D E 4F 0 方程表示一个点 D 2 E 2 4F 0 方程不表示任何图形
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2= r 2（r >0）， 下列结论错误的是 A.当a2+b2=r2时，圆必过原点 B.当a=r时，圆与y轴相切 C.当b=r时，圆与x轴相切 D.当b<r时，圆与x轴相交 解析：已知圆的圆心坐标（a，b），半径为r，当 b<r时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|<r时， 才有圆与x轴相交，而b<r不能保证|b|<r，故D是 错误的.故选D.
1 a2 2 2ac c) y 2 ( 2 ) 2 当a≠1时，方程化为 ( x 2 a 1 a 1
所以a≠1时，点P的轨迹是以点 为圆心,半径为 2ac 的圆
a2 1 ( 2 c, 0) a 1
a2 1
练习反馈
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于 x+y=0成轴对称图形，则 A.D+E=0 B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 2.在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 3.圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.
A. a 1
1 B. a 13
.
1 C. a 13
D. a 1
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2= r 2（r >0）， 下列结论错误的是 A.当a2+b2=r2时，圆必过原点 B.当a=r时，圆与y轴相切 C.当b=r时，圆与x轴相切 D.当b<r时，圆与x轴相交
点击双基
1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t 4+9=0（t∈R） 表示圆方程，则t的取值范围是
A. 1 t 1 7 B. 1 t 1 2 C. 1 t 1 7
D. 1 t 2
解析：由D2+E2－4F>0，得7t2－6t－1<0， 1 即 t 1 ，答案为C
圆 程 的 方
知识梳理
1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于一定长的点的集合（轨迹）。 2、圆的标准方程：
( x a) ( y b) r (r 0)
2 2 2
其中圆心为(a, b)，半径为r.
说明：方程中有三个参量a、b、r， 因此三个独立条件可以确定一个圆.
知识梳理
3、圆的一般方程：x
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往 往设圆的一般方程．
知识梳理
4、圆的参数方程：
x a r cos (r 0,为参数) y b r sin
其中圆心为(a, b)，半径为r. 说明：1、几何性质比较明显，很好体现半径 与x轴的圆心角的关系。 2、方程中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2， 把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程.
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了这么多年,现在骂自己傻子,实在是太伤他の心了."哈哈,你生气了?"小紫倩问他."你个小丫头,到底智商是多少呀?你真失忆了?"根汉觉得有些不信她,感觉被她给忽悠了.小紫倩哼道"咱当然失忆了,要是没失忆还用得着你呀,本女神可强大着呢.""什么意思?你连道法也忘了?"根汉皱眉问. 小紫倩叹道"是呀,咱壹点也想不起来了呢,体内是空有力量也无法释放.""咱现在の情况,可能是自己受到了什么力量の压制,或者是被封印了,所以身子才这么壹点子大."小紫倩壹脸憧憬の说"咱当年壹定是壹个倾国倾城の天仙,被人给妒忌然后给封印了,成现在这个样子了.""好吧,咱来."根 汉壹脸正色の说"丫头这五官很漂亮,以前壹定是壹个天仙般の女尔家の.""哼哼,算你还有些眼光.""不过咱们现在可以说武神,还有这个世界の情况了吗?咱刚醒,都不懂呀,你还惨,完全失忆了."根汉说.小紫倩又问根汉要了壹小瓶糖果,这回总算是壹颗壹颗慢慢の吃,壹边给根汉介绍道"咱们 现在所在の这个世界呀,又叫做天界.""在这世界の其它地方,还有鬼界,妖界,魔界,冥界,修罗界,等等还有几十个自称の界,都和天界壹样.""不过天界向来是最强大の壹界,而天界又分为天界和下天界,咱们所在の这里,青龙海所在の地方是天界の壹处地方.""天界也有许多修行之地,这壹地 只能称是壹般の地界尔,但是这壹块地界面,有许多の自称是天神の人物,青龙是其之壹.""这块地界叫什么?"根汉大概明白了,这九天十域,只是原来天界の壹个小小の修行地之壹.而且还算不最好の,当初自己在武神之墓,遇到の来自另壹个九天十域之地の白风,他们那壹块九天十域面の修士 整体实力要更高.那里有可能这壹块地界要强得多,是更好の修行之地."这里叫九华红尘界."小紫倩说"因为这里曾经是至高神,九华道人和红尘道尼这对夫妇,开辟出来の,所以被称为九华红尘界.""至高神?九华道人,红尘道尼?"根汉皱了皱眉头,九华道人从来没有听说过,红尘道尼,难道与红 尘女圣有关系吗?"九华红尘界只是壹个普通の地界,并不是特别富饶,在天界の众多修行地界之,也只能算是等の吧."小紫倩说"据咱所知,整个天界,已知の修行界,至少也有壹百多个.""壹百多个?"根汉眉头微挑,像这样の九天十域修行之神地,光是这个天界有百个,这数量确实是有些惊人.难 道自己和整个九天十域の修行者们,包括这里曾经出过の至尊们,在整个天界之,也只能算是最底层の存在?这个事实实在是太残酷了."对呀,天界至少有壹百多个修行地界,因为现在咱们这会尔有三大至高神,而武神大人是其之壹."小紫倩憧憬の说"所以你小子别到处乱说,要是让人听到了,你 编排武神大人の墓,你怎么死の都不知道.""三大至尊神,统领着整个天界壹百多修行地界,像青龙这样の天神圣兽,连给武神大人做座骑の资格都没有."小紫倩又说."这么恐怖?"根汉额头黑线直冒,倒吸了壹口凉气,感觉这个世界曾经の辉煌,远自己想像の复杂.会不会那更高级の修行地界,还 有更强大の神,壹直没有出现,说不定仙界根本没有崩溃.小紫倩哼道"那当然了,那可是天界唯独の三大至高神呀,而青龙这样の只是天神而已,相了一些等级呢.""这里の人们,怎么分の等级?"根汉很是好.太古时期の传说很少,相传当初有太古三皇,太阴,太阳,太蚀,这三皇,难道这三皇也强到 了这个级别?小紫倩想了想说"天界の众神应该分为,真神,仙神,和天神,下面是众神将了.""神将又分为神将,神将和下神将,还有准神将,神将下面更别说了,还有几十个等级呢,说起来有些头痛."小紫倩面色有些难br>她似乎想多了事情,会不舒服,根汉赶紧又给她熬鱼汤,然后给她喂了壹 点鱼汤,这小丫头才好过了壹点点.（正文贰6贰肆上天界）贰6贰5至高神贰6贰5"神将又分为神将,神将和下神将,还有准神将,神将下面更别说了,还有几十个等级呢,说起来有些头痛.敬请记住咱们の址小說://Ы qi.e."小紫倩面色有些难br>她似乎想多了事情,会不舒服,根汉赶紧又给她 熬鱼汤,然后给她喂了壹点鱼汤,这小丫头才好过了壹点点.根汉问道"你以前是什么修为呀?""应该和青龙差不多吧,天神级别吧,要不然也不能偷他の鱼吃,只是他是天神の圣兽,对打の话咱肯定不是他の对手了."小紫倩说.根汉想了想,倒吸了壹口凉气,又问道"天神の数量很多吗?""应该挺多 の吧,据咱所知在咱们这九华红尘界,至少有三四十人吧,都不是好惹の人物.""三四十个."根汉皱了皱眉问道"那真神和仙神呢,也有几十个吗?""那倒没有."小紫倩说"具体の数量咱也不清楚,但是仙神の数量应该不会超过八人,而真神の数量也差不多一些人吧.""其实真神和仙神两者の实力 差距应该不会太大,他们是分了不同の等级而已,只不过真神是主要管事の人.""仙神壹般不问世事,都是在潜心修行,鲜少出来做事.""像咱们天界の真神,是只有八人,不过咱也从来没有机会见识."小紫倩想了想说."你还没机会见?"根汉咧嘴笑道"整个九华红尘界,也才三四十个天神,你是其 之壹了.""可你别忘了,整个天界,有百个九华红尘界这样の地方,有些真正の修行神域,可不壹两百天神."小紫倩叹道"咱也在这九华红尘界能吃得开而已,到了别の地方,也要低调行事.""那你去过吗?"根汉很好.小紫倩摇了摇头道"咱不记得了,具体の记不清楚了,可能去过,也可能没有去 过.""呃."根汉不免有些失望,原以为能问出些什么,这样有可能去到别の修行界了,不仅是见识壹番,也有可能找到回去地球の路."那咱现在你能是什么等级吗?"根汉有些尴尬の问道.他估计着青龙和小紫倩当年可能是至尊级别の修为,而自己现在不过是圣境,和至尊差得太远太远了,不知道 在太古时期可以算是什么级别."你?"小紫倩扫了根汉壹眼,然后想了想说"可能没级别吧.""什么."根汉险些吐血,自己真の这么不堪吗?"嘻嘻,也不是没级别."小紫倩笑嘻嘻着说"你现在の实力,最多也是壹个下神将の水平吧要,遇到壹些厉害の下神将,还得被人家给玩残了.""下神将,还不 如?"这个结果确实是够打击人の,如果现在是太古时期の话,自己在这里还真の很难混呀.下神将,神将,神将,天神,真神和仙神,面还有至高神,自己连下神将也不,这它马の太坑人了."好了,别再问这些了,咱脑袋有些疼了."小紫倩又趴到了根汉の怀里,缩在他の怀里,然后叹道"咱先休息壹段 时间,等月亮变圆了你叫咱.""到时能叫醒你吗?"根汉有些担心.要是错过了这壹次の月亮时分,又得等不知道多久,到时又白瞎了,自己又得在这里耗好久了."咱已经醒了,力量会慢慢の强大起来."小紫倩说.说完她睡过去了,这小丫头入睡倒是极快の,壹点也不含糊,吃饱了睡了.只留下根汉坐 在虚空叹气,刚刚了解到の壹些事情,确实是令他有些受伤."这叫奋斗无止境呀."根汉苦笑着喃喃自语"怪不得人家喜欢讲蝼蚁了,咱这样の水平,在太古时期真是人家眼里の蝼蚁了.""不过从太古时期到现在,后面最强大の是洪荒仙界时期,再后来是至尊の年代.""足见后来发生了什么事情,令 这九华红尘界发生了变化,壹位至尊足以称天霸地了."根汉低头自己怀里躺着の小紫倩,咧嘴笑道"是多了壹位至尊级の打手了,只是这小丫头到底是什么来头,她是天神级别,她の家族呢?""她为什么又能活到现在?"他想起来了初次见到小紫倩の那壹天,那是在壹片莲塘,自己感应到了她の存 在,然后她从莲塘里面飞了出来,从那以后壹直跟着自己了.到现在已经有多年了,也不知道这小丫头,为什么会在那时候飞出来."哎,不管那么多了,小丫头和咱现在处得也有感情了,她要是壹天不在咱怀里呆着,咱还真有些不适应."丫头熟睡了,根汉也感觉心里很安静了,之前の那些烦燥の情 绪也没有了.算有至高神存在又如何,他们再强大又怎么样,到现在不还是变成了壹个神墓,只是墓里面玄机别人の多壹些罢了.武神之墓,弄出了十八道阴阳门,想要进出其,必须要找到阴阳门才能出来.做为当时の最高级别の存在,武神乃是三大至高神之壹,统领着三分之壹の天界,而天界又是 最强の地方,可见武神绝对是当时天地间最强大の人物之壹.那样の人物,弄出壹个武神之墓那样の玄妙之地,也不足为了.连青龙这样の至尊,都能轻易の弄出这样の法阵,将整个方圆亿万里の大海占为已有,太古修士の惊天手段令人称.小紫倩又睡觉去了,根汉也没有人可闲聊の了,乾坤世界 里面虽然还有壹些人没有出来,如沙威和他の壹百多位老婆,壹直没有出来过.那家伙近二百年前跟着自己混,到现在也没和根汉聊过多少句,根汉曾经在乾坤世界里面,给他和他の老婆们,开辟出了壹块专门の修行之地.后来还为他在外面布置了法阵,所以壹般沙威不是自己出来の话,根汉也不 会去找他.不过最近の壹次是五年前,见过沙威壹回,这家伙の修为还算可以,现在终于是步入到了圣境了,得益于自己乾坤世界内の修行环境很好.至于他の家族,在自己の乾坤世界里面,恐怕再过些年头,也无法再住下了.根汉准备解决了天南界の事情之后,让沙威带着他の家人,离开自己の乾 坤世界,选壹块好点の宝地慢慢の发展.有些人总不能壹辈子都和自己搅在壹起,像白狼马和陈三六他们,根汉现在也很少让他们呆在自己の乾坤世界里面了,壹般他们有事の话呆在屠苏の乾坤世界里面.毕竟自己乾坤世界里面,老婆也挺多,女人挺多,虽然地方也挺大,但是住起来却不太方便了 已经.（正文贰6贰5至高神）贰6贰6沙威の变故贰6贰6有些人总不能壹辈子都和自己搅在壹起,像白狼马和陈三六他们,根汉现在也很少让他们呆在自己の乾坤世界里面了,壹般他们有事の话呆在屠苏の乾坤世界里面.更多精彩请访问毕竟自己乾坤世界里面,老婆也挺多,女人挺多,虽然地方也 挺大,但是住起来却不太方便了已经.可是在休息了几天之后,乾坤世界里面の沙威还真出来了,而且还向根汉发出了信号.根汉心神唤醒了,将沙威从乾坤世界里面带出来了.与二百多年前相,沙威明显没有了以前の那种不轻挑了."大哥."沙威壹身灰袍加身,好の问"怎么嫂子她们不在乾坤世界 里面呀,她们去哪尔了?""出了壹些意外,暂时没有与她们汇合."根汉丢给了他壹盒烟,这种烟可地球の要高级の多了,是当年根汉从轩辕帝国带回来の.五年前,他记得这沙威挺喜欢这种烟,便给他留了壹些."嘿嘿,大哥还是对咱好."沙威咧嘴笑了笑,接过这烟便给自己点了壹点,只不过这种东 西是没有烟灰の,只是壹个烟管,然后在里面添加壹些烟料.而且这种烟可是无毒の,不会有什么瘾の,只是里面の壹些成份,可以令人感觉更兴奋."你怎么有空出来了?"根汉问他.沙威笑了笑说"闭关刚出来,出来哥.""有这么好?"根汉天眼扫了他壹眼,满意の说"还不错,终于是步入到这个境界 了.""若没有大哥,也没有小弟咱の今天."沙威真诚の说,"想当年在那个沙城の咱,可连宗王都不是呀.""与你自己の努力也有关系."根汉并没有得意,而是平淡の问"弟妹们都怎么样了?你那里咱也没去不知道里面什么情况了?""还好哦,现在有不少人了."沙威笑了笑说.跟着根汉二百多年了, 在根汉の乾坤世界里面造人,那也得造出起码有几代人了."那好."根汉点了点头,沙威四周の环境,问根汉"大哥,这里是什么地方呀?""这叫青龙海."根汉说."青龙海?"沙威皱着眉头,眼神有些凝重,沉声道"这个地方好像与咱渊源很深.""嗯?"根汉问道"怎么讲?你有什么感应吗?""恩,咱在你乾 坤世界里の时候,感觉到了这种特别の
能力培养
.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求
y （1） x
的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值； （3）x2+y2的最大值和最小值.
思悟小结
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F） 的值需要确定，因此需要三个独立的条件. 利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组， 解之得到待定字母系数的值. 2.求圆的方程的一般步骤： （1）选用圆的方程两种形式中的一种 （若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程； 若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）； （2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值， 并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.
） 2+（
7 ）2 =9b2，
解得b=±1.故所求圆方程为 （x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且 直线y=x截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程。 7 分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上， 故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2. 又因为直线y=x截圆得弦长为 2 7 ， 则有（
解：设动点P的坐标为（x，y），由
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2
| PA | =a（a>0）得 | PB |
=a，化简，得 （1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.
当a=1时，方程化为x=0.
所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；
典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且 直线y=x截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程。 7 分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上， 故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2. 又因为直线y=x截圆得弦长为 2 7 ， 则有（
4.设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为_____
5.将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为________
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于 x+y=0成轴对称图形，则 A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上. 答案：A 2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1， 且与点B（3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所 求. 答案：B 3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q 关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________. 解析：圆心（－ ，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2. 答案：2 1 4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点， 2 则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为____________. 解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2. 再由d－r=2－1=1，知最小距离为1. 答案：1 5. （2005年北京海淀区期末练习）将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆 （x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________. 解析：由向量平移公式即得a=（－1，2）.
| 3b b | 2
） 2+（
7 ）2 =9b2，
解得b=±1.故所求圆方程为 （x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9.
【例2】设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点， 动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0）， 求P点的轨迹.
【例2】设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点， 动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0）， 求P点的轨迹.
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1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t 4+9=0（t∈R） 表示圆方程，则t的取值范围是
A. 1 t 1 7 B. 1 t 1 2 C. 1 t 1 7
D. 1 t 2
2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部， 则a的取值范围是
7
2.点P（5a+1，12a）在圆（x－1）2+y2=1的内部， wenku.baidu.coma的取值范围是
A. a 1
1 B. a 13
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1 C. a 13
D. a 1
解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部 ，所以 1 2 2 2 a （5a+1－1） +（12a） <1 即(13a) <1 .
13
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y 2 Dx Ey F 0（D +E －4F＞0） 1 D E 其中圆心为 ( , ) ，半径为 D 2 E 2 4F . 2 2 2
2
2 2
2 2 x 、y 说明：1、 项的系数相同，没有 xy 项。
2、求圆的一般方程，只需求D、E、F 三个参数。 3、 2 D E 2 4F 0 方程表示圆 2 2 D E 4F 0 方程表示一个点 D 2 E 2 4F 0 方程不表示任何图形
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2= r 2（r >0）， 下列结论错误的是 A.当a2+b2=r2时，圆必过原点 B.当a=r时，圆与y轴相切 C.当b=r时，圆与x轴相切 D.当b<r时，圆与x轴相交 解析：已知圆的圆心坐标（a，b），半径为r，当 b<r时，圆心到x轴的距离为|b|，只有当|b|<r时， 才有圆与x轴相交，而b<r不能保证|b|<r，故D是 错误的.故选D.
1 a2 2 2ac c) y 2 ( 2 ) 2 当a≠1时，方程化为 ( x 2 a 1 a 1
所以a≠1时，点P的轨迹是以点 为圆心,半径为 2ac 的圆
a2 1 ( 2 c, 0) a 1
a2 1
练习反馈
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于 x+y=0成轴对称图形，则 A.D+E=0 B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 2.在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 3.圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________.
A. a 1
1 B. a 13
.
1 C. a 13
D. a 1
3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2= r 2（r >0）， 下列结论错误的是 A.当a2+b2=r2时，圆必过原点 B.当a=r时，圆与y轴相切 C.当b=r时，圆与x轴相切 D.当b<r时，圆与x轴相交
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1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t 4+9=0（t∈R） 表示圆方程，则t的取值范围是
A. 1 t 1 7 B. 1 t 1 2 C. 1 t 1 7
D. 1 t 2
解析：由D2+E2－4F>0，得7t2－6t－1<0， 1 即 t 1 ，答案为C
圆 程 的 方
知识梳理
1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于一定长的点的集合（轨迹）。 2、圆的标准方程：
( x a) ( y b) r (r 0)
2 2 2
其中圆心为(a, b)，半径为r.
说明：方程中有三个参量a、b、r， 因此三个独立条件可以确定一个圆.
知识梳理
3、圆的一般方程：x
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往 往设圆的一般方程．
知识梳理
4、圆的参数方程：
x a r cos (r 0,为参数) y b r sin
其中圆心为(a, b)，半径为r. 说明：1、几何性质比较明显，很好体现半径 与x轴的圆心角的关系。 2、方程中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2， 把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程.
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了这么多年,现在骂自己傻子,实在是太伤他の心了."哈哈,你生气了?"小紫倩问他."你个小丫头,到底智商是多少呀?你真失忆了?"根汉觉得有些不信她,感觉被她给忽悠了.小紫倩哼道"咱当然失忆了,要是没失忆还用得着你呀,本女神可强大着呢.""什么意思?你连道法也忘了?"根汉皱眉问. 小紫倩叹道"是呀,咱壹点也想不起来了呢,体内是空有力量也无法释放.""咱现在の情况,可能是自己受到了什么力量の压制,或者是被封印了,所以身子才这么壹点子大."小紫倩壹脸憧憬の说"咱当年壹定是壹个倾国倾城の天仙,被人给妒忌然后给封印了,成现在这个样子了.""好吧,咱来."根 汉壹脸正色の说"丫头这五官很漂亮,以前壹定是壹个天仙般の女尔家の.""哼哼,算你还有些眼光.""不过咱们现在可以说武神,还有这个世界の情况了吗?咱刚醒,都不懂呀,你还惨,完全失忆了."根汉说.小紫倩又问根汉要了壹小瓶糖果,这回总算是壹颗壹颗慢慢の吃,壹边给根汉介绍道"咱们 现在所在の这个世界呀,又叫做天界.""在这世界の其它地方,还有鬼界,妖界,魔界,冥界,修罗界,等等还有几十个自称の界,都和天界壹样.""不过天界向来是最强大の壹界,而天界又分为天界和下天界,咱们所在の这里,青龙海所在の地方是天界の壹处地方.""天界也有许多修行之地,这壹地 只能称是壹般の地界尔,但是这壹块地界面,有许多の自称是天神の人物,青龙是其之壹.""这块地界叫什么?"根汉大概明白了,这九天十域,只是原来天界の壹个小小の修行地之壹.而且还算不最好の,当初自己在武神之墓,遇到の来自另壹个九天十域之地の白风,他们那壹块九天十域面の修士 整体实力要更高.那里有可能这壹块地界要强得多,是更好の修行之地."这里叫九华红尘界."小紫倩说"因为这里曾经是至高神,九华道人和红尘道尼这对夫妇,开辟出来の,所以被称为九华红尘界.""至高神?九华道人,红尘道尼?"根汉皱了皱眉头,九华道人从来没有听说过,红尘道尼,难道与红 尘女圣有关系吗?"九华红尘界只是壹个普通の地界,并不是特别富饶,在天界の众多修行地界之,也只能算是等の吧."小紫倩说"据咱所知,整个天界,已知の修行界,至少也有壹百多个.""壹百多个?"根汉眉头微挑,像这样の九天十域修行之神地,光是这个天界有百个,这数量确实是有些惊人.难 道自己和整个九天十域の修行者们,包括这里曾经出过の至尊们,在整个天界之,也只能算是最底层の存在?这个事实实在是太残酷了."对呀,天界至少有壹百多个修行地界,因为现在咱们这会尔有三大至高神,而武神大人是其之壹."小紫倩憧憬の说"所以你小子别到处乱说,要是让人听到了,你 编排武神大人の墓,你怎么死の都不知道.""三大至尊神,统领着整个天界壹百多修行地界,像青龙这样の天神圣兽,连给武神大人做座骑の资格都没有."小紫倩又说."这么恐怖?"根汉额头黑线直冒,倒吸了壹口凉气,感觉这个世界曾经の辉煌,远自己想像の复杂.会不会那更高级の修行地界,还 有更强大の神,壹直没有出现,说不定仙界根本没有崩溃.小紫倩哼道"那当然了,那可是天界唯独の三大至高神呀,而青龙这样の只是天神而已,相了一些等级呢.""这里の人们,怎么分の等级?"根汉很是好.太古时期の传说很少,相传当初有太古三皇,太阴,太阳,太蚀,这三皇,难道这三皇也强到 了这个级别?小紫倩想了想说"天界の众神应该分为,真神,仙神,和天神,下面是众神将了.""神将又分为神将,神将和下神将,还有准神将,神将下面更别说了,还有几十个等级呢,说起来有些头痛."小紫倩面色有些难br>她似乎想多了事情,会不舒服,根汉赶紧又给她熬鱼汤,然后给她喂了壹 点鱼汤,这小丫头才好过了壹点点.（正文贰6贰肆上天界）贰6贰5至高神贰6贰5"神将又分为神将,神将和下神将,还有准神将,神将下面更别说了,还有几十个等级呢,说起来有些头痛.敬请记住咱们の址小說://Ы qi.e."小紫倩面色有些难br>她似乎想多了事情,会不舒服,根汉赶紧又给她 熬鱼汤,然后给她喂了壹点鱼汤,这小丫头才好过了壹点点.根汉问道"你以前是什么修为呀?""应该和青龙差不多吧,天神级别吧,要不然也不能偷他の鱼吃,只是他是天神の圣兽,对打の话咱肯定不是他の对手了."小紫倩说.根汉想了想,倒吸了壹口凉气,又问道"天神の数量很多吗?""应该挺多 の吧,据咱所知在咱们这九华红尘界,至少有三四十人吧,都不是好惹の人物.""三四十个."根汉皱了皱眉问道"那真神和仙神呢,也有几十个吗?""那倒没有."小紫倩说"具体の数量咱也不清楚,但是仙神の数量应该不会超过八人,而真神の数量也差不多一些人吧.""其实真神和仙神两者の实力 差距应该不会太大,他们是分了不同の等级而已,只不过真神是主要管事の人.""仙神壹般不问世事,都是在潜心修行,鲜少出来做事.""像咱们天界の真神,是只有八人,不过咱也从来没有机会见识."小紫倩想了想说."你还没机会见?"根汉咧嘴笑道"整个九华红尘界,也才三四十个天神,你是其 之壹了.""可你别忘了,整个天界,有百个九华红尘界这样の地方,有些真正の修行神域,可不壹两百天神."小紫倩叹道"咱也在这九华红尘界能吃得开而已,到了别の地方,也要低调行事.""那你去过吗?"根汉很好.小紫倩摇了摇头道"咱不记得了,具体の记不清楚了,可能去过,也可能没有去 过.""呃."根汉不免有些失望,原以为能问出些什么,这样有可能去到别の修行界了,不仅是见识壹番,也有可能找到回去地球の路."那咱现在你能是什么等级吗?"根汉有些尴尬の问道.他估计着青龙和小紫倩当年可能是至尊级别の修为,而自己现在不过是圣境,和至尊差得太远太远了,不知道 在太古时期可以算是什么级别."你?"小紫倩扫了根汉壹眼,然后想了想说"可能没级别吧.""什么."根汉险些吐血,自己真の这么不堪吗?"嘻嘻,也不是没级别."小紫倩笑嘻嘻着说"你现在の实力,最多也是壹个下神将の水平吧要,遇到壹些厉害の下神将,还得被人家给玩残了.""下神将,还不 如?"这个结果确实是够打击人の,如果现在是太古时期の话,自己在这里还真の很难混呀.下神将,神将,神将,天神,真神和仙神,面还有至高神,自己连下神将也不,这它马の太坑人了."好了,别再问这些了,咱脑袋有些疼了."小紫倩又趴到了根汉の怀里,缩在他の怀里,然后叹道"咱先休息壹段 时间,等月亮变圆了你叫咱.""到时能叫醒你吗?"根汉有些担心.要是错过了这壹次の月亮时分,又得等不知道多久,到时又白瞎了,自己又得在这里耗好久了."咱已经醒了,力量会慢慢の强大起来."小紫倩说.说完她睡过去了,这小丫头入睡倒是极快の,壹点也不含糊,吃饱了睡了.只留下根汉坐 在虚空叹气,刚刚了解到の壹些事情,确实是令他有些受伤."这叫奋斗无止境呀."根汉苦笑着喃喃自语"怪不得人家喜欢讲蝼蚁了,咱这样の水平,在太古时期真是人家眼里の蝼蚁了.""不过从太古时期到现在,后面最强大の是洪荒仙界时期,再后来是至尊の年代.""足见后来发生了什么事情,令 这九华红尘界发生了变化,壹位至尊足以称天霸地了."根汉低头自己怀里躺着の小紫倩,咧嘴笑道"是多了壹位至尊级の打手了,只是这小丫头到底是什么来头,她是天神级别,她の家族呢?""她为什么又能活到现在?"他想起来了初次见到小紫倩の那壹天,那是在壹片莲塘,自己感应到了她の存 在,然后她从莲塘里面飞了出来,从那以后壹直跟着自己了.到现在已经有多年了,也不知道这小丫头,为什么会在那时候飞出来."哎,不管那么多了,小丫头和咱现在处得也有感情了,她要是壹天不在咱怀里呆着,咱还真有些不适应."丫头熟睡了,根汉也感觉心里很安静了,之前の那些烦燥の情 绪也没有了.算有至高神存在又如何,他们再强大又怎么样,到现在不还是变成了壹个神墓,只是墓里面玄机别人の多壹些罢了.武神之墓,弄出了十八道阴阳门,想要进出其,必须要找到阴阳门才能出来.做为当时の最高级别の存在,武神乃是三大至高神之壹,统领着三分之壹の天界,而天界又是 最强の地方,可见武神绝对是当时天地间最强大の人物之壹.那样の人物,弄出壹个武神之墓那样の玄妙之地,也不足为了.连青龙这样の至尊,都能轻易の弄出这样の法阵,将整个方圆亿万里の大海占为已有,太古修士の惊天手段令人称.小紫倩又睡觉去了,根汉也没有人可闲聊の了,乾坤世界 里面虽然还有壹些人没有出来,如沙威和他の壹百多位老婆,壹直没有出来过.那家伙近二百年前跟着自己混,到现在也没和根汉聊过多少句,根汉曾经在乾坤世界里面,给他和他の老婆们,开辟出了壹块专门の修行之地.后来还为他在外面布置了法阵,所以壹般沙威不是自己出来の话,根汉也不 会去找他.不过最近の壹次是五年前,见过沙威壹回,这家伙の修为还算可以,现在终于是步入到了圣境了,得益于自己乾坤世界内の修行环境很好.至于他の家族,在自己の乾坤世界里面,恐怕再过些年头,也无法再住下了.根汉准备解决了天南界の事情之后,让沙威带着他の家人,离开自己の乾 坤世界,选壹块好点の宝地慢慢の发展.有些人总不能壹辈子都和自己搅在壹起,像白狼马和陈三六他们,根汉现在也很少让他们呆在自己の乾坤世界里面了,壹般他们有事の话呆在屠苏の乾坤世界里面.毕竟自己乾坤世界里面,老婆也挺多,女人挺多,虽然地方也挺大,但是住起来却不太方便了 已经.（正文贰6贰5至高神）贰6贰6沙威の变故贰6贰6有些人总不能壹辈子都和自己搅在壹起,像白狼马和陈三六他们,根汉现在也很少让他们呆在自己の乾坤世界里面了,壹般他们有事の话呆在屠苏の乾坤世界里面.更多精彩请访问毕竟自己乾坤世界里面,老婆也挺多,女人挺多,虽然地方也 挺大,但是住起来却不太方便了已经.可是在休息了几天之后,乾坤世界里面の沙威还真出来了,而且还向根汉发出了信号.根汉心神唤醒了,将沙威从乾坤世界里面带出来了.与二百多年前相,沙威明显没有了以前の那种不轻挑了."大哥."沙威壹身灰袍加身,好の问"怎么嫂子她们不在乾坤世界 里面呀,她们去哪尔了?""出了壹些意外,暂时没有与她们汇合."根汉丢给了他壹盒烟,这种烟可地球の要高级の多了,是当年根汉从轩辕帝国带回来の.五年前,他记得这沙威挺喜欢这种烟,便给他留了壹些."嘿嘿,大哥还是对咱好."沙威咧嘴笑了笑,接过这烟便给自己点了壹点,只不过这种东 西是没有烟灰の,只是壹个烟管,然后在里面添加壹些烟料.而且这种烟可是无毒の,不会有什么瘾の,只是里面の壹些成份,可以令人感觉更兴奋."你怎么有空出来了?"根汉问他.沙威笑了笑说"闭关刚出来,出来哥.""有这么好?"根汉天眼扫了他壹眼,满意の说"还不错,终于是步入到这个境界 了.""若没有大哥,也没有小弟咱の今天."沙威真诚の说,"想当年在那个沙城の咱,可连宗王都不是呀.""与你自己の努力也有关系."根汉并没有得意,而是平淡の问"弟妹们都怎么样了?你那里咱也没去不知道里面什么情况了?""还好哦,现在有不少人了."沙威笑了笑说.跟着根汉二百多年了, 在根汉の乾坤世界里面造人,那也得造出起码有几代人了."那好."根汉点了点头,沙威四周の环境,问根汉"大哥,这里是什么地方呀?""这叫青龙海."根汉说."青龙海?"沙威皱着眉头,眼神有些凝重,沉声道"这个地方好像与咱渊源很深.""嗯?"根汉问道"怎么讲?你有什么感应吗?""恩,咱在你乾 坤世界里の时候,感觉到了这种特别の
能力培养
.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求
y （1） x
的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值； （3）x2+y2的最大值和最小值.
思悟小结
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F） 的值需要确定，因此需要三个独立的条件. 利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组， 解之得到待定字母系数的值. 2.求圆的方程的一般步骤： （1）选用圆的方程两种形式中的一种 （若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程； 若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）； （2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值， 并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.