初中数学竞赛——圆1.圆的基本性质

第1讲圆的基本性质

知识总结归纳

一•圆的定义：

(1)描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个端点A随之

旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点0叫做圆心，0A叫做半径.

(2)集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径.

(3)圆的表示方法：通常用符号O表示圆，定义中以0为圆心，0A为半径的圆记作“ O O ”读作“圆

0 ”

(4)同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心

圆；能够重合的两个圆叫做等圆•注意：同圆或等圆的半径相等.

二. 弦和弧：

(1)弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.

(2)直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍.

(3)弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距.

(4)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧•以A、B为端点的圆弧记作AB，读作弧AB .

(5)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.

(6)半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.

(7)优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.

(8)弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

三. 垂径定理：

(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

(2)推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且

平分弦所对的另一条弧.

(3)推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.

四. 圆心角和圆周角

(1)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，

我们也称这样的弧为1的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.

(2)圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

(3)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：半圆(或

直径)所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.

推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

(4)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等.

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相

等，那么它们所对应的其余各组量分别相等.

五•直线与圆的位置关系 :

tea

W

位置大糸

图形 定义 性质及判定

相离

©

1 1

直线与圆没有公共点.

d

直线I 与O O 相离

相切

直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的

切线，唯一公共点叫做切点.

d =r=直线I 与O O 相切

相交

直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线.

d

直线I 与O O 相交

六. 切线的判定

(1) 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； (2) 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

(3) 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 七. 弦切角定理

弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

典型例题

.垂径定理及圆的对称性

【例1】 如图所示，在 O O 与三角形所组成的图形中，

OA=OB ，求证：AC=BD •

【例2】 如图所示，同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于C , D 两点，试证明： AC=BD •

A

【例3】 如图，矩形 ABCD 与圆心在

AB 上的 O O 交于点

G 、B F 、E , GB =8cm , AG =1cm ,

DE =2cm ，贝U EF = _________

【例4】 如图所示，在 Rt A ABC 中.C =90 , AC = .2 , BC =1，若以C 为圆心、CB 的长为半径的 圆交AB 于

P ，贝U AP= _______________ .

【例5】 如图，已知O O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离为3，求过点A 的所有弦中最短弦的长度.

【例6】 如图，在O O 的直径PQ 上取一点M ，过M 作两条弦AB 、CD ，若乙PMA ZPMC ，求证:

MD 二MB .

C B

Q

八年级 初一数学超前班

6

思维的发掘能力的飞跃

二.圆心角和圆周角

【例7】 如图，O O 是厶ABC 的外接圆，已知 NABO=50NACB 的大小为 __________________

【例8】 已知：如图，四边形 ABCD 是O O 的内接正方形，点 P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点, 则N BPC

的度数是 _________________ .

【例10】如图，AB 是O O 的直径，CD 是O O 的弦.若NBAD=23°，则ZACD 的大小为 _________________

【例9】

如图，量角器外沿上有 A B 两点，它们的度数分别是 70、40，则.1的度数为

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