2211 二次函数
二次函数的特殊性质与公式解析与归纳
二次函数的特殊性质与公式解析与归纳二次函数是数学中的一种常见函数形式，由形如y = ax^2 + bx + c 的方程所表示。
在二次函数中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
本文将就二次函数的特殊性质进行探讨，并对其公式进行解析与归纳。
一、二次函数的图象特殊性质1. 对称轴：二次函数的图象总是关于一条垂直于x轴的直线对称。
这条直线称为二次函数的对称轴。
对称轴的方程可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)2. 零点：二次函数在坐标系中与x轴相交的点称为零点。
求二次函数的零点可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)其中，b^2-4ac被称为判别式，当判别式大于0时，函数有两个不相等的零点；当判别式等于0时，函数有一个唯一的零点；当判别式小于0时，函数没有实数解。
3. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项的系数a所决定。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
4. 最值点：二次函数的最值点就是函数的最大值或最小值点。
最值点的纵坐标称为二次函数的最值。
当二次函数的开口向上时，最值为最小值；当二次函数的开口向下时，最值为最大值。
最值点的横坐标可以通过对称轴的x坐标计算得出。
二、二次函数的公式解析与归纳1. 一次项系数的影响：在二次函数的标准形式y = ax^2 + bx + c中，一次项系数b确定了对称轴的位置。
当b>0时，对称轴向右平移；当b<0时，对称轴向左平移。
2. 二次项系数的影响：二次项系数a决定了二次函数的开口方向。
当|a|>1时，开口较为陡峭；当0<|a|<1时，开口较为平缓；当a=1时，开口最为平缓；当a=0时，函数退化为一次函数。
3. 常数项的影响：常数项c表示二次函数与y轴的交点，也即函数在x=0时的取值。
当c>0时，函数在原点下方与y轴相交；当c<0时，函数在原点上方与y轴相交。
二次函数详解(附习题、答案)
⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ）
四、二次函数 与 的比较
从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 ．
五、二次函数 图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式： （ ， ， 为常数， ）；
2.顶点式： （ ， ， 为常数， ）；
3.两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
向下
X=h
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
向下
X=h
时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ．
三、二次函数图象的平移
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式： 的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ．
《二次函数》知识点知识点总结
《二次函数》知识点知识点总结《二次函数》知识点总结一、二次函数的定义一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，那么就叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。
需要注意的是，二次函数的二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么就变成了一次函数。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。
抛物线的顶点坐标为（b ／ 2a，（4ac b²) ／ 4a）。
三、二次函数的表达式1、一般式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）2、顶点式：y ＝ a(x h)²＋ k（a ≠ 0），其中顶点坐标为（h，k）3、交点式：y ＝ a(x x₁)（x x₂)（a ≠ 0），其中 x₁、x₂是抛物线与 x 轴交点的横坐标四、二次函数的性质1、当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大。
函数有最小值，当 x ＝ b ／ 2a 时，y 最小值＝（4ac b²) ／ 4a 。
2、当 a ＜ 0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小。
函数有最大值，当 x ＝ b ／ 2a 时，y 最大值＝（4ac b²) ／ 4a 。
五、抛物线的平移抛物线的平移实质上是它的顶点（h，k）的移动（点的移动规律）。
向左平移 h 个单位长度，顶点坐标变为（h m，k）；向右平移 m个单位长度，顶点坐标变为（h ＋ m，k）。
向上平移 n 个单位长度，顶点坐标变为（h，k ＋ n）；向下平移 n个单位长度，顶点坐标变为（h，k n）。
六、二次函数与一元二次方程的关系二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），当 y ＝ 0 时，就变成了一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）。
数学二次函数高一知识点
数学二次函数高一知识点一、二次函数的定义与性质二次函数是函数中最常见也最重要的一类函数，其定义形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二次函数的图像是抛物线。
1. 定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
- a决定抛物线开口的方向和抛物线的开口程度（正数为开口向上，负数为开口向下）。
- b决定抛物线的位置，也称为抛物线的对称轴。
- c决定抛物线与y轴交点的纵坐标。
2. 零点：二次函数的零点是指使得函数值为0的x值。
如果二次函数有两个不同的零点，那么抛物线与x轴有两个交点。
- 零点可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来获得。
3. 对称轴：二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称。
这条直线称为对称轴，可通过利用二次函数的特点可知对称轴的横坐标为-x坐标的一半。
4. 领域：二次函数的定义域为全体实数。
即二次函数对任意实数x都有定义。
5. 单调性：二次函数的单调性取决于a的正负，当a > 0时，二次函数单调递增；当a < 0时，二次函数单调递减。
6. 极值点：若二次函数的开口向上，则二次函数的最小值为极值点；若开口向下，则二次函数的最大值为极值点。
二、二次函数的图像及其性质1. 垂直方向的平移：通过改变常数c的值，可以实现二次函数整体上下平移。
当c > 0时，抛物线上移；当c < 0时，抛物线下移。
2. 水平方向的平移：通过改变常数b的值，可以实现二次函数整体左右平移。
对于函数y = ax^2 + bx + c，当b > 0时，抛物线右移；当b < 0时，抛物线左移。
3. 拉伸与压缩：通过改变常数a的值，可以实现二次函数整体的拉伸或压缩。
当|a| > 1时，抛物线沿x轴方向压缩；当|a| < 1时，抛物线沿x轴方向拉伸。
4. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过计算得到，顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
高中数学二次函数及其图像性质的分析与解答
高中数学二次函数及其图像性质的分析与解答一、二次函数的定义与性质二次函数是指具有形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的图像特点1. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标。
求二次函数的零点可以通过解方程ax^2+bx+c=0来实现。
例如，对于函数y=x^2-3x+2，解方程x^2-3x+2=0，得到x=1和x=2，因此函数的零点为x=1和x=2。
2. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的中心轴线，对称轴的方程为x=-b/2a。
例如，对于函数y=2x^2+4x-3，对称轴的方程为x=-4/(2*2)=-1，因此对称轴为x=-1。
3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点（当抛物线开口向下时）或最低点（当抛物线开口向上时）。
顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标可以通过将对称轴的横坐标代入函数得到。
例如，对于函数y=-x^2+2x+3，对称轴的横坐标为x=2/(-2)=-1，将x=-1代入函数得到y=-(-1)^2+2*(-1)+3=4，因此顶点为(-1, 4)。
三、二次函数图像的平移与伸缩1. 平移：二次函数的图像可以通过平移来改变其位置。
平移的方式有两种：水平平移和垂直平移。
水平平移是指将整个图像沿x轴平行移动，垂直平移是指将整个图像沿y轴平行移动。
平移的规律为：y=a(x-h)^2+k，其中(h, k)为平移的距离。
2. 伸缩：二次函数的图像可以通过伸缩来改变其形状。
伸缩的方式有两种：水平伸缩和垂直伸缩。
水平伸缩是指将整个图像沿x轴方向拉伸或压缩，垂直伸缩是指将整个图像沿y轴方向拉伸或压缩。
伸缩的规律为：y=a(bx-c)^2+d，其中a为垂直伸缩的比例因子，b为水平伸缩的比例因子，c为水平方向的平移距离，d为垂直方向的平移距离。
人教版2018年九上数学2211二次函数ppt课件
③ 当m=＿2 ＿时，y是关于x的二次函数 .
5.若函数 y(a4)xa23a2a 是二次函数，求： 〔1〕求a的值. (2) 求函数关系式. 〔3〕当x=-2时，y的值是多少？
解（：1）由题意，得
a2
3a 2
2,
a 4 0,
解得 a = 1;
（2）当a=-1时，函数关系式为 y( 14 )x2 1 5 x2 1 .
解：由题意得：
m2 2m1 2 m1 0
m 的 取 值 范 围 是 m 3
【解题小结】此题考察正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进展解题.
三 二次函数的值
ห้องสมุดไป่ตู้
例4 一个二次函数 y(k1)xk23k42x1. 〔1〕求k的值. 〔2〕当x=0.5时，y的值是多少？
k 2 3k 4 2,
典例精析
例1 以下函数中哪些是二次函数？为什么？〔x是自
变量〕
① y=ax2+bx+c
② s=3-2t²
③不一y=定x2是，缺少
a≠0的条件.
y1 x2
④不是，右边 ⑥是分y=式(.x+3)²-x²
不是，x的最 高次数是3.
⑤y=x²+x³+25
y=6x+9
二 二次函数定义的应用
例2 ym3xm27.
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y＝2x＋1 C．y＝3x2＋1
B．y 2
x
D．y
1 x2
1
4. 函数 y=3x2m-1－5
二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)
二次函数知识点、考点、典型例题及练习（附解析）一、二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做，，是常数，0二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
y ax c=+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的二、专题与考点专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a，244ac b a-）. 例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）图2图1专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.例2 已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（）A.y=2a（x-1）B.y=2a（1-x）C.y=a（1-x2）D.y=a（1-x）22.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且AOOC=12，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．A BC D图1菜园墙图23.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.图1考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题：本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例：某商场将进价2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．三、典型例题题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ）A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4）点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是（ ）○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数(含答案)
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数基础闯关全练1．（2019天津蓟州期中）下列函数中，一定是二次函数的为( )A.y=ax ²+bx+cB.y=x(-x+1)C.y=（x -1）²-x ²D.21y x 2．二次函数y= -x ²+2x 的二次项系数是_________，一次项系数是______，常数项是____．3．（2019重庆沙坪坝月考）用一根长为10 m 的木条，做一个长方形的窗框，若长为x m ，则该窗户的面积y(m ²)与长x( m)之间的函数表达式为_____________.能力提升全练1．已知函数y=（m -2）+4x+7是二次函数，则代数式的值为( )A ．4B.C.4或D ．±2．有一块矩形场地如图22-1-1-1所示（单位：m ），长为40 m ，宽为30 m ，现要将这块地划分为四块，分别种植：A:兰花；B:菊花；C ：月季；D:牵牛花，这块场地中，种植菊花的面积y( m ²)与B 场地的一边长x(m)之间的函数关系式是____________.图22-1-1-12222223．已知函数y=（m²-m）X²+（m-1）x+m+1．(1)若这个函数是关于算x的一次函数，求m的值；(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的值．五年中考全练1．（2019重庆七十一中月考，6，★☆☆）函数）y=（m-5）X²+X是二次函数的条件为( ) A．m为常数，且m≠0B．m为常数，且m≠5C.m为常数，且m=0D.m可以为任何数二、填空题2．（2018广西贺州昭平期中，14，★☆☆）当m____________时，函数y=（m-1）x²+3x-5是二次函数．五年中考全练填空题（2014安徽中考，12，★☆☆）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=______________.核心素养全练1．（2018云南曲靖宣威期中）设y=y₁-y₂，y₁与x成正比例，y₂与x²成正比例，则y关于x的函数是( )A．正比例函数B.一次函数C．二次函数D．以上均不正确2.2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，……．若有n条直线相交，交点最多为m个，求m关于n的函数表达式，并指出它是什么函数.答案基础闯关全练1．B解析：当a=0时，y=ax ²+bx+c 不是二次函数；y=x （-x+1）=-x ²+x ，是二次函数；y=（x -1）²-x ²=-2x+1，是一次函数；不是二次函数．故选B ．2．答案-1;2;0 解析根据定义容易得出答案，要注意符号．3．答案y=-x ²+5x(0<x<5)解析因为长为xm ，所以宽为（5-x ）m ，由长方形的面积公式可得y=x （5 -x ）=-x ²+5x ，即y=-x ²+5x( 0<x<5)．能力提升全练1. B解析：∵函数y=(m -2)+4x+7是二次函数．∴解得m=-2， ∴．2．答案y=-x ²+30x( 0<x<30)解析 由题意知B 场地的边长为xm 的边的邻边长为(30-x) m,∴y=x( 30-x)=-x ²+30x(0<x<30).3．解析(1)y=（m ²-m ）x ²+(m -1)x+m+1是关于x 的一次函数,则解得m=0(2)若y=（m ²-m ）X ²+( m -1)x+m+1是关于x 的二次函数，则m ²-m ≠0，解得m ≠0且m ≠1． ∴m 可以是除了1和0的所有实数，2x 1 y三年模拟全练一、选择题1.B解析：函数y=（m -5）x ²+x 是二次函数的条件是m 为常数，且m ≠5．故选B ．二、填空题2．答案≠1解析 ∵函数y=（m -1）x ²+3x -5是二次函数．∴m -1≠0．解得m ≠1．五年中考全练填空题答案a( 1+x)²解析 ∵一月份新产品的研发资金为a 元，二月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ．∴二月份新产品的研发资金为a （1+x ）元，∴三月份新产品的研发资金为a （1+x ）(1+x)=a(1+x)²元，即y 关于x 的函数关系式为y=a(1+x)²．核心素养全练1．C 设y₁=k₁x(k₁≠0)，y₂=k₂x ²(k₂≠0)，则y=k₁x -k₂x ²，所以y 是关于x 的二次函数，故选C ．2．解析 每一条直线与其他（n -1）条直线都有1个交点，这样在一条直线上共有(n -1)个交点，而共有n 条直线，则应共有n （n -1）个交点．而这n （n -1）个交点中，有一半的交点与另一半交点重合，故n 条直线相交，交点个数最多为m=n(n -1)，化简得m=n ²-n ，是二次函数． 212121。
人教版初中数学课标版九年级上册第二十二章2211二次函数共26张
喷泉(1)
课件说明
? 本课是在已经学习了一次函数的基础上，继续进 行函数的学习，学习二次函数的定义，这是对函数知 识的完善与提高．
? 学习目标： 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．
? 学习重点： 理解二次函数的定义．
你知道吗？
函数
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。
解：由题意得：
(0<x<20)
x m
y m2
x m
（40-2x ）m
①∵2m+n=2 ②∵2m+n=2 ③∵2m+n=2 ④∵ m-n=2 ⑤ ∵ m-n=2
m-n=2 m-n=1
m-n=0
2m+n=1 2m+n=0
∴ m=4/3 ∴ m=1
n=-2/3
n=0
∴ m=2/3 n=2/3
∴ m=1 n=-1
（3）
这些函数有什 认真观察以上出现的三个函数解析式，分别么说共出同哪点些？ 是常数、自变量和函数．
函数解析式
自变量 函数
y=6x2
x
y
n
d
x
y
这些函数 自变量的最高次项都是 二次的！
函数（1）（2）（3）有什么共同 点？
一般地，形如 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0) 的函数，叫做 二次函数 .
(1) y=3(x-1)2+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3-2t2
(4) y=(x+3)2-x2
(5)y= _1x_2-x
人教版初中数学九年级上册22.1.1 二次函数1
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数 项：
13
(1)d= n2- n , (2)y=1-x2, (3)y=-x(x-3)
22
3、 二次函数 y=ax2+c 中，当 x=3 时，y=26 ;当 x=2 时，y=11 ;则当 x=5 时，
y=
.
4、已知一个直角三角形的两条直角边的和为 10cm。
1、 ⑴一次函数；⑵二次函数；⑶反比例函数；⑷二次函数；⑸正比例函数
13
2、 ⑴ ，- ⑵-1，1 ⑶-1，3
22
3、 74
1
25
4、 ⑴S= x(10-x ),0＜x＜10；⑵S= cm2
2
2
5、 ⑴当 a≠0 时；⑵当 a=0 且 b≠0 时；⑶当 a=0，c=0， b≠0 时。
6、 m=2
7、 s=2x2
8、 ⑴ห้องสมุดไป่ตู้=-4x2+24x ⑵当 AB=2 时 BC=16；当 AB=4 时 BC=8
相信自己，就能走向成功的第一步 教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维
可以让他们更理性地看待人生
TB:小初高题库
（1）求这个直角三角形的面积 S 与其中一条直角边长 x 之间的函数关系式和自变量 x
的取值 范围；
（2）求当 x=5cm 时直 角三角形的面积。
5、函数 y=ax2+bx+c (a、b、c 是常 数)，问当 a、b、c 满足什么条件时， （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
6、若 y m2 m x m2 m 是二次函数，求 m 的值。
7、一个小球由静止开始在一个斜坡上 向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离 s
二次函数含答案
二次函数一、 知识梳理1.二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 2. 二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称 3. 思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.(×)(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．(×)(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×) (4)当n >0时，幂函数y ＝x n是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f (x )＝(k 2－1)x 2＋2x －3在(－∞，2)上单调递增，则k ＝±22.(×)(6)已知f (x )＝x 2－4x ＋5，x ∈[0,3)，则f (x )max ＝f (0)＝5，f (x )min ＝f (3)＝2.(×)二、 基础自测1．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为()A.－1－52B.－1＋52C ．1D ．－1答案 D解析 因为b >0，故对称轴不可能为y 轴，由给出的图可知对称轴在y 轴右侧，故a <0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a 2－1＝0，a ＝±1，又a <0，所以a ＝－1，故选D.2．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值X 围为________． 答案 [1,2]解析 y ＝x 2－2x ＋3的对称轴为x ＝1.当m <1时，y ＝f (x )在[0，m ]上为减函数．∴y max ＝f (0)＝3，y min ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝2.∴m ＝1与m <1矛盾，舍去．当1≤m ≤2时，y min ＝f (1)＝12－2×1＋3＝2，y max ＝f (0)＝3.当m >2时，y max ＝f (m )＝m 2－2m ＋3＝3，∴m ＝0或m ＝2，与m >2矛盾，舍去．综上所述，1≤m ≤2.3. (2014·)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．答案 (－22，0) 解析 作出二次函数f (x )的草图，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎨⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎨⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0.三、 典型例题题型一 二次函数的图象和性质例1已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)XX 数a 的取值X 围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．【思维升华】 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键都是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解． 变式1 求函数在[0,2]上的值域.变式2 (1)已知函数在区间上有最小值3,求.(2)已知二次函数,若在上的最小值为,求的表达式.变式3 (1)如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．(2)若函数f (x )＝2x 2＋mx －1在区间[－1，＋∞)上递增，则f (－1)的取值X 围是________．答案 (1)5(2)(－∞，－3] 解析 (1)由题意知 ⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. (2)∵抛物线开口向上，对称轴为x ＝－m4，∴－m4≤－1，∴m ≥4.又f (－1)＝1－m ≤－3，∴f (－1)∈(－∞，－3]．题型二 二次函数的应用例2 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的X 围． 解 (1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1，即k 的取值X 围为(－∞，1)．【思维升华】 有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点． 变式已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)XX 数a 的取值X 围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1； 当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， 所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故a 的取值X 围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．分类讨论思想在二次函数最值中的应用例3已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．【思维点拨】 参数a 的值确定f (x )图象的形状；a ≠0时，函数f (x )的图象为抛物线，还要考虑开口方向和对称轴位置．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减，∴f (x )min ＝f (1)＝－2.[2分] (2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]，∴f (x )在[0，1a ]上递减，在[1a，1]上递增．∴f (x )min ＝f (1a )＝1a －2a ＝－1a.[6分]②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.[9分](3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.[11分]综上所述，f (x )min ＝⎩⎨⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.【提示】 (1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a 的符号进行了讨论，又对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论． (2)在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论. 变式求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．解：f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .(1) 当a <0时，由图①可知，f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a(2)当0≤a 1时，由图②可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .(3)当1<a ≤2时，由图③可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1(4)当a >2时，由图④可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1. 综上，(1)当a <0时，f (x )min ＝－1，f (x )max ＝3－4a ；(2)当0≤a 1时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝3－4a ；(3)当1<a ≤2时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝－1； (4)当a >2时，f (x )min ＝3－4a ，f (x )max ＝－1 【课堂总结】 方法与技巧1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解 【失误与防X 】1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.专项训练（A 组）1．如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是()A ．a ≥8B ．a ≤8C ．a ≥4D ．a ≥－4答案 A解析 函数图象的对称轴为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象可能是()答案 C解析若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a <0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，因此选C.3．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于()A ．－1B ．1C ．2D ．－2答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.4. 对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值X 围是________．答案 (－4,4)解析 由题意得⎩⎨⎧5－a >0，36－4(5－a )(a ＋5)<0，解得－4<a <4.5. 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]，应进行讨论． 当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减． 则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ， －2<a <1，－1，a ≥1.6. 已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．若方程f (x )＋6a＝0有两个相等的根，求f (x )的单调区间．解 ∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0， ∴f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1.将a ＝－15代入①式得f (x )＝－15x 2－65x －35＝－15(x ＋3)2＋65，∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－3]，单调减区间是[－3，＋∞)．专项训练（B 组）7．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值X围是()A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]答案 D解析 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x∈[0,1]，所以a >0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.8.对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ， a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则m 的取值X 围是________． 答案 (0，14)解析 由题意得f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎨⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)， x ≤0，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，x >0. 即222,0(),0x x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0<m <14.9.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值X 围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b 2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2. ∴f (x ) ＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0. 故b 的取值X 围是[－2,0]．10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若a ＝c ，则函数f (x )的图象不可能是()答案 D解析 由A ，B ，C ，D 四个选项知，图象与x 轴均有交点，记两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，若只有一个交点，则x 1＝x 2.因为a ＝c ，所以x 1x 2＝ca＝1，比较四个选项，可知选项D 的-- - x1<－1，x2<－1，所以D不满足．- - 优质资料。
(完整版)初中二次函数知识点详解最新助记口诀
1、二次函数的性质
函数
二次函数
图像
a>0
a<0
y
0 x
y
0 x
性质
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（2）对称轴是xΒιβλιοθήκη ，顶点坐标是（ ， ）；（3）在对称轴的左侧，即当x< 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x> 时，y随x的增大而增大，简记左减右增；
（4）抛物线有最低点，当x= 时，y有最小值，
知识点一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特 ，特别注意a不为零
那么y叫做x的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴
绝对值大开口小，开口向下A负数。
抛物线有对称轴，增减特性可看图。
线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。
如果要画抛物线，描点平移两条路。
提取配方定顶点，平移描点皆成图。
列表描点后连线，三点大致定全图。
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小随基础。
【注】基础抛物线
（2）求抛物线 与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
2211二次函数九年级数学上册精品课件(人教版)
二次函数
一般形式
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
特殊形式
y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）.
二次函数
谢谢观看
二次函数
① 当m=＿1＿时，y是关于x的一次函数； ②当m=＿32＿时，y是关于x的二次函数 .
想一想，当m满足什么条件时，y是关于x的正比例函数 呢？
课堂练习
4. 若函数 y (a 4)xa23a2 a 是二次函数，求： • （1）求a的值. • (2) 求函数关系式.
• （3）当x=-2时，y的值是多少？
此式表示了正方体表
面积y与正方体棱长x之间 的关系，对于x的每一个 值，y都有唯一的一个对 应值，即y是x的函数.
新知探究
问题2 n个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球 队数n有什么关系？
分甲析队：的比每赛个时球同队一要场与比其赛他，n所-1以个比球赛队的各场比次赛数一场12 n，n甲队1对.乙队的比赛与乙队对
（2）当x=时，y的值是多少？
解：（1）由题意，得
k
2
3k
4
2,
k 1 0,
解得k=2.
（2）当k =2时，
将x=0.5代入函数关系式 y x2 2x 1
.
y 0.52 2 0.5 1 0.25
归纳小结
此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系 数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母 参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入 其中，求出以上三个问题所写出来的三个函数 关系式有什么共同点?
y=6x2
①
②
九年级数学《22.1.1二次函数》教学反思
九年级数学《22.1.1二次函数》教学反思
《22.1.1二次函数》教学反思
这节课是安排在学了一次函数、一元二次方程之后的二次函数的第一节课，学习目标是要学生懂得二次函数概念，能分辨二次函数与其他函数的不同，能理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对自变量的取值范围的限制。
依我看，这节课的重点该放在“经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，从而形成定义。
一上完这节课后就有所感触：
1、二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。
许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究。
2、教学要重视概念的形成和建构，在概念的学习过程中，从丰富的现实背景和学生感兴趣的问题出发，通过学生之间的合作与交流的探究性活动，引导分析实际问题，如探究面积问题，利息问题、观察表格找规律及用关系式表示这些关系的过程，引出二次函数的概念，使学生感受二次函数与生活的密切联系。
3、课堂教学要求老师除了深入备好课外，还要懂得根据学生反馈来适时变通，组织学生讨论时该放则放，该收则收，合理使用好课堂40分钟，尽可能把课堂还给学生。
我觉得在教学中，只光热情还不够，没有积极调动学生的学习热情，感染力不足。
今后备课时要重视创设丰富而风趣的语言，来调动学生的积极性。
总之，在数学教学中不但要善于设疑置难，激发学生的学习热情，同时要加强学生自学能力的培养，而且要理论联系实际，只有这样，才会吸引学生对数学学科的热爱。