《三角形的高》(第5课时)教案-拓展版

《三角形的高》(第5课时)教案-拓展版
《三角形的高》（第5课时）教案拓展版
教学目标
知识技能
1．三角形的高线的定义．
2．三角形的高线的画法．
数学思考
经历探索新知识的过程，提高学生的动手操作能力、观察能力和归纳总结能力．
解决问题
能利用三角形的高进行有关推理和计算．
情感、态度
在解决问题的过程中，体会用折纸、画图等方法给问题的解决带来的方便，增强学习数学的兴趣．
教学重点
能够正确地画出三角形的高线，并理解高线的含义．
教学难点
钝角三角形高的画法；三角形三条高的位置关系．
教学过程
一、情境导入：
多媒体展示以下问题，请学生回忆，思考，举手回答．
1．垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
2．过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条？怎么画？
前面我们学习了三角形的中线、内角平分线，在三角形中还有什么特殊的线段呢？今天来探究这一问题．
设计意图：通过问题情境，在回顾与思考的基础上，激发学生学习兴趣，引入新课．
二、探究新知：
1．三角形的高的概念
如图，三角形房梁中，立柱与横梁有什么特殊位置关系？
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．如图，AF是△ABC的高，AF⊥BC．
斜
梁斜梁
横梁
立柱
2．做一做
准备一张锐角三角形纸片．
(1)你能画出这个三角形的三条高吗?你能用折纸的方法得到它们吗?
(2)这三条高之间有怎样的位置关系?
设计意图：这里要求画出和折出锐角三角形的三条高并观察它们的位置关系，因为前面已经得出了三角形的角平分线和中线的结论，因此得出结论比较容易，但是要折出三条高还是比较难．
3．议一议
在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形．
(1)画出直角三角形的三条高．它们
有怎样的位置关系?
(2)你能折出钝角三角形的三条高吗?
它们所在的直线交于一点吗?
先回顾三角形的高的定义，再讨论直角三角形和钝角三角形的高的画法．
然后交流直角三角形和钝角三角形的三条高的位置关系．
归纳总结：三角形的三条高所在直线交于一点．
强调：①三角形的三条高线都是线段；
②锐角三角形的三条高在三角形的内部，直角三角形的斜边上的高在三角形的内部，而直角边互相垂直，所以两直角边是它的两条高；钝角三角形夹钝角的边上的高在其边的延长线上，在三角形的外部，另一条高在三角形的内部；
③三角形的三条高所在的直线相交于一点，交点所在的位置随三角形的形状的不同而不同；
④高与垂线与直角紧密连在一起；
⑤画钝角三角形夹钝角的两边上的高时，需注意是过哪一点作哪一边延长线的垂线．
4．想一想
分别指出下图中△ABC 的三条高． C D B A E F
C
B A
设计意图：这里分别画出了直角三角形和钝角三角形的三条高，目的是为了进一步认 识这两种三角形中高的位置的特殊性．
三、典例精讲：
例1 如图,在△ABC 中,AD ,AF 分别是BC 边上中线和高,
（1）AF 是图中哪几个三角形的高？
（2）图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由．
F D C
B
解：（1）AF 是△ABC ，△ABD ，△ABF ，△ADF ，△ADC ，△AFC 的高
（2）△ABD 与△ACD 的面积相等．理由如下：
因为BD =DC ，
所以12BD ﹒ AF =12
DC ﹒ AF ． 由三角形的面积公式可知．△ABD 与△ACD 的面积相等．
例2 在Rt ABC △中，︒=∠90BAC ，AD 是ABC △的高，找出图中相等的角．（直角除外）
分析：根据题意可知，图中有三个直角三角形，分别是Rt ABC △、Rt ABD △、Rt ADC △，根据“直角三角形的两个锐角互余”可以得出三组互为余角的角，再根据“同角（或等角）的余角相等”可以找出相等的角．
解：∵在Rt ABC △中，︒=∠90BAC ,
∴︒=∠+∠90B C ．（直角三角形的两个锐角互余） 又∵在Rt ABD ∆中，︒=∠90BDA ，∴︒=∠+∠90B BAD ． ∴C BAD ∠=∠．（同角的余角相等）
同理可得：B CAD ∠=∠．
四、课堂练习
如图，AC 为BC 边上的垂线，CD 为AB 边上的垂线，DE 为BC 边上的垂线，D ，E 分别在△ABC 的AB 和BC 边上，下列说法：
E D
C
B A
（1）△ABC 中，AC 是BC 边上的高；（2）△BCD 中，DE 是BC 边上的高；
（3）△ABE 中，DE 是BE 边上的高；（4）△ACD 中，AD 是CD 边上的高．
其中正确的个数有（ ）．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
答案：
由已知结合三角形高线的定义：△ABC中，AC是BC边上的高；△BCD中，DE是BC边上的高；△ACD中，AD是CD边上的高．因此应选B．
五、拓展提升
例3如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC的关系．
分析：因为有三角形中的高就有垂直、直角，所以∠ADC，∠BEC都是直角．根据小学所学三角形的内角和为180°，所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°，根据同角的余角相等，即可得出∠DAC＝∠EBC．
解：∠DAC＝∠EBC．
因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，
所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°．
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝90°．
所以∠DAC＝∠EBC．
设计意图：通过练习，加深对三角形的高、中线、角平分线的认识．
六、拓展练习
作出ABC
△中CB边上的高，AB边上的中线，AC边上的角平分线．
分析：作三角形的高线可以用三角尺的直角作垂线，值得注意的是：是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线．作三角形的角平分线、中线，可以分别用量角器、直角测量作图．另外，任意三角形的中线、角平分线和锐角三角形的高线均可以用折纸法作出．
解：
∴AD是CB边上的高，CE是AB边上的中线，BF是AC边上的角平分线
七、课堂小结
1．每个三角形都有三条高线．
2．三角形的三条高交于一点：锐角三角形的高交于三角形内一点，直角三角形的高交于直角的顶点，钝角三角形的高交于三角形外一点．3．三角形的高是线段．
设计意图：归纳总结三角形高的概念，使学生全面了解三角形的高及性质，同时也培养学生系统整理知识的能力．
八、布置作业
1．三角形的角平分线、中线、高线中（）．A．每一条都是线段B．角平分线是射线，其余是线段
C．高线是直线，其余是线段D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段2．下列说法正确的是（）．
①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；
②三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；
③每个三角形都有三条高、中线和角平分线；
④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线．
A．③④B．③C．②③D．①④
3．如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试说明∠DAC与∠EBC的关系．
答案：
1．A．解：由三角形的角平分线、中线、高线的定义可知，三角形的角平分线、中线、高线都是线段．
2．B．
3．解：∠DAC＝∠EBC．
因为AD，BE分别是边BC，AC上的高，
所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°．
所以∠DAC＋∠C＝90°，∠EBC＋∠C＝
90°．
所以∠DAC＝∠EBC．
九、课堂检测
1．下列命题：
（1）直角三角形只有一条高；
（2）钝角三角形只有一条高；
（3）三角形的三条高所在的直线相交于一点，它不在三角形的内部，就在三角形的外部；
（4）三角形的高是一条垂线．其中假命题的个数有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，△ABC的边BC上的高为AF，AC边上的高为BG，中线为AD，已知AF＝6，BC＝10，BG＝5．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AC的长；
（3）说明△ABD和△ACD的面积的关系．
A
G
F D C
B
答案：
1．D ． 2．解：（1）因为BC ＝10，AF ⊥BC ，AF ＝6，所以S △ABC ＝2
1BC ·AF ＝30． （2）因为BG 为△ABC 的高，所以S △ABC ＝12AC ·BG ＝12AC ·BG ＝12
BC ·AF ，因为BG ＝5，BC ＝10，AF ＝6，所以AC ＝12；
（3）因为AF ⊥BC ，所以S △ABD ＝12BD ·AF ，S △ACD ＝12
CD ·AF ，因为AD 为△ABD 的中线，所以BD ＝CD ．所以S △ABD ＝S △ACD ，即△ABD 和△ACD 的面积相等．。