2021届高三高考数学理科一轮复习知识点专题2-2 函数的单调性与最值【含答案】

2021届高三高考数学理科一轮复习知识点

专题2.2 函数的单调性与最值

【核心素养分析】

1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。

【重点知识梳理】

知识点一函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1

么就说函数f(x)在区间D上是增函

数

当x1f(x2)，那

么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象

描述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

知识点二函数的最值

前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

(1)对于任意的x∈I，都有

f(x)≤M；

(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；

(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M

(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论

M 为最大值

M 为最小值

【特别提醒】

1.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝

1

f （x ）

的单调性相反. 2.“对勾函数”y ＝x ＋a

x (a >0)的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].

【典型题分析】

高频考点一 确定不含参函数的单调性(区间)

例1.（2020·新课标Ⅱ）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在1(,)2

+∞单调递增

B. 是奇函数，且在11(,)22

-单调递减

C. 是偶函数，且在1

(,)2

-∞-单调递增

D. 是奇函数，且在1

(,)2

-∞-单调递减

【答案】D

【解析】由

()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭

，关于坐标原点对称，

又

()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，

()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；

当11,22x ⎛⎫

∈-

⎪⎝⎭

时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--， ()ln 21y x =+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭

上单调递增，()ln 12y x =-在11,22

⎛⎫

- ⎪⎝⎭

上单调递减，

()f x ∴在11,22

⎛⎫

- ⎪⎝⎭

上单调递增，排除B ； 当1,2x ⎛⎫∈-∞-

⎪

⎝

⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛

⎫=----==+ ⎪--⎝⎭

，

2121x μ=+

-在1,2⎛

⎫-∞- ⎪⎝

⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛

⎫

-∞-

⎪⎝

⎭

上单调递减，D 正确. 【举一反三】（2020·山东青岛二中模拟）函数y ＝x 2＋x －6的单调递增区间为________，单调递减区间为________．

【答案】[2，＋∞) (－∞，－3] 【解析】令u ＝x 2＋x －6，

则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.

易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数， 所以y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)。 【方法技巧】确定函数单调性的方法 (1)定义法．利用定义判断．

(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．

(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“Ⅱ”连接．

(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．

【变式探究】（2020·河北石家庄第一中学质检）函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(4，＋∞)

【答案】D

【解析】函数y ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9图象的对称轴为直线x ＝1，由x 2－2x －8>0，解得x >4或x <－2，所以(4，＋∞)为函数y ＝x 2－2x －8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间为(4，＋∞)．

高频考点二 确定含参函数的单调性(区间)

例2.（2020·华东师大附中模拟）函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．(0,2] D ．[2，＋∞)

【答案】A

【解析】由题意得，f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2，

当x ≥2时，[2，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间；

当x ＜2时，(－∞，1]是函数f (x )的单调递增区间，[1,2]是函数f (x )的单调递减区间． 【方法技巧】判断函数单调性常用以下几种方法：

(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．

(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．

(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间．

(4)性质法：①对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f (x )±g (x )增减性质进行判断；

【变式探究】（2020·安徽蚌埠二中模拟）判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1

x (其中1

【解析】函数f (x )＝ax 2＋1

x (1

证明：设1≤x 1