话说函数三种定义的利与弊
函数的优缺点
函数的优缺点
函数是一种常用的编程范式，它使程序代码变得更加有条理和结构化，使用函数可以使程序简洁明了，而且易于读写、维护和理解。
下面分别从优点和缺点讨论函数的优缺点。
函数的优点：
1. 增强代码可复用性：函数可以有效地将相同的一系列功能放到一起形成一个整合性的部分，一次编写就可以多次使用。
2. 更少的编写量：由于可复用性，函数可以最小化程序代码的编写量，在许多问题中只需要几行代码就可以完成任务。
3. 易于维护：编写的函数模块可以在任何时候方便地测试和更新，而且不会影响其他程序模块的正常运行。
4. 易于读写与理解：函数使程序易读及易理解，在程序的执行过程中，函数只需要被调用即可完成功能，在读写程序和理解其流程时容易理解。
函数的缺点：
1. 代码膨胀：使用函数会导致程序代码量增加，有时可能会被认为是一种浪费，因为可能没有必要将代码拆分成多个细小的函数实现。
2. 增加了程序复杂性：多函数的程序比单函数的程序复杂得多，尤其是当程序规模较大时，追踪函数之间的调用关系显得非常困难。
3. 提高程序运行时间：函数的调用可能增加程序的执行时间，因为在函数的调用、返回的过程中都要消耗时间，如果程序中函数层级过多，则可能会增加程序的运行时间。
总之，函数的优点和缺点都是相关的，在编写程序的时候，应根据具体情况灵活调用函数，尽量保持代码的可读性，并且注意控制函数的调用层级，从而可以最大化利用函数的优点，同时减少其缺点所带来的影响。
解析数学中的函数概念与应用
解析数学中的函数概念与应用函数是数学中一个非常重要的概念，广泛应用于各个领域。
它是描述两个集合之间元素对应关系的一种数学结构，可以用来表示自然界、社会现象和科学规律等各种复杂问题。
本文将从函数的定义、性质以及实际应用方面进行解析。
一、函数的定义与性质函数最基本的定义是：给定一个集合X和Y，在X中每个元素都存在着唯一对应于Y中的另一个元素，则称这种对应关系为函数。
我们通常将X称为定义域，记作D，而Y则称为值域，记作R。
在实际问题中，我们经常遇到两个集合之间具有多对多或者无法建立明确对应关系的情况。
而通过引入函数这一概念，我们能够清晰地描述出集合之间元素之间相互联系，并且能够提供运算方法进行分析和计算。
在研究函数时需要考虑几个重要性质：1. 定义域：表示变量可以取值范围2. 值域：表示变量映射后可能得到的值范围3. 单调性：指随着自变量增加（或减少），因变量是否同步增加（或减少）4. 奇偶性：描述函数关于原点对称性，即f(x)=f(-x)为偶函数，f(x)=-f(-x)为奇函数5. 有界性：表示函数在某一区间上取值是否有限二、函数的应用领域1. 自然科学中的应用在物理学、化学等自然科学领域，函数被广泛使用。
例如，在物理运动学中，我们可以通过数学模型建立速度和时间之间的关系，并将其表示为一个函数。
这样可以方便地预测和分析物体运动的规律。
2. 经济与金融中的应用经济与金融是另一个重要领域，也离不开对函数的研究与应用。
例如，在经济增长模型中，我们会使用生产函数来描述劳动力、资本和技术进步之间的关系，并分析各个因素对经济发展的影响。
3. 工程技术中的应用工程技术领域同样需要利用函数进行建模和计算。
比如，在控制系统设计过程中，需要根据输入信号和输出信号之间进行数学转换并通过控制算法达到所期望结果。
4. 数据分析与机器学习数据分析与机器学习也是函数应用的重要领域之一。
通过建立合适的数学模型，可以对数据进行描述、分析和预测。
八年级数学-函数的表示法及其优点和不足
八年级数学-函数的表示法及其优点和不足答：表示函数有三种方法：解析法,列表法,图象法．结合其意义、优点与不足,分别说明如下．(1)利用解析式(如学过的代数式)表示函数的方法叫做解析法．用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确．已学利用函数的解析式,求自变量x＝a时对应的函数值,还可利用函数的解析式,列表、描点、画函数的图象,进而研究函数的性质,又可利用函数解析式的结构特点,分析和发现自变量与函数间的依存关系,猜想或推导函数的性质(如对称性、增减性等),探求函数的应用等．不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y的对应值需要逐个计算、有时比较繁杂．(2)通过列表给出y与x的对应数值、表示y是x的函数的方法叫做列表法.列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系,于是一些数学用表应运而生.(3)利用图象表示y是x的函数的方法叫做图象法．用图象表示函数的优点是形象直观,清晰呈现函数的增减变化、点的对称、最大(或小)值等性质．图象法的不足之处是所画出的图象是近似的、局部的,观察或由图象确定的函数值往往不够准确．由于函数关系的三种表示方法各具特色,优点突出,但大都存在着缺点,不尽人意,所以在应用中本着物尽其用、扬长避短、优势互补的精神,通常表示函数关系是把这三种方法结合起来运用,先确定函数的解析式,即用解析法表示函数；再根据函数解析式,计算自变量与函数的各组对应值,列表；最后是画出函数的图象．注意问题设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y 都有唯一的值与它对应．那么就说x是自变量,y是x的函数．这段话给出了函数的概念,要全面理解它的含义,应从字词语句入手思考．（1）函数的概念的基础是一个变化过程中有两个变量x与y,要研究它们之间的关系．（2）对于x的每一个值,就是变量x允许取的任意一个值,这些值组成了自变量x的取值范围．（3）对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,说明变量x 与y有确定的对应关系,即y是x的函数．其中“唯一”的意义是“有一个且只有一个”．综上所述,不难发现,（1）是基础,（2）是自变量x的取值范围,（3）是x与y的对应规律．因为函数的本质是对应,函数关系是变量x与y的一种特殊关系．所以自变量的取值范围和两个变量的对应规律缺一不可．在初中阶段,理解函数概念必须抓住这两个要素．要判断两个（或几个）函数是不是同一个函数,也必须根据函数的这两个要素思考、鉴别、确定,即不仅要求它们的对应规律相同,还需要它们的自变量的取值范围相同．。
函数的概念剖析
函数的概念剖析函数是数学中的一个重要概念，也是计算机科学中必不可少的一部分。
函数可以看作是一个特定关系的规则，它将一个或多个输入映射到一个确定的输出。
简单来说，函数就是一个输入和输出之间的映射关系。
在数学中，函数可以用符号表示，通常是f(x)。
其中，x表示输入变量或自变量，f(x)表示输出变量或因变量。
函数的定义域是输入变量的取值范围，而值域则是输出变量的取值范围。
函数具有以下几个重要的特性：1. 唯一性：对于每一个输入值，函数只能有唯一的输出值。
即使两个不同的输入值具有相同的输出值，它们也被认为是不同的函数。
2. 映射关系：每一个输入值都有且只有一个输出值。
函数不能将一个输入值映射到多个输出值。
3. 解析性：函数可以用数学表达式、图表或图形来描述。
4. 可逆性：有些函数存在逆函数的概念。
逆函数是将输出作为输入，并返回原始输入的函数。
但并不是所有的函数都有逆函数。
5. 封闭性：函数的定义域内的任何输入值都应该在函数规则中有对应的输出值。
如果有些输入值在函数中没有定义或定义为无穷大，那么该函数不是一个封闭函数。
函数在现实生活中无处不在，它们是描述关系、模拟现象和求解问题的基础。
以下是几个常见领域中函数的应用示例：1. 数学：函数是数学中最基本的概念之一。
它们用于描述几何图形、函数图像和关系式。
函数不仅存在于代数和几何中，还在微积分、概率论和统计学中扮演着重要的角色。
2. 物理学：物理学中有许多函数用于描述自然界中的各种现象。
例如，速度和加速度是物理学中常用的函数，它们将时间作为输入变量，通过规律的关系给出物体的位置和运动状态。
3. 经济学：经济学中的函数可用于描述市场供求关系、消费者行为和企业利润等经济现象。
这些函数通常根据多个因素如价格、需求、成本等来决定特定的结果。
4. 计算机科学：在计算机科学中，函数是程序中的重要组成部分。
函数可以用来封装具有特定功能的代码块，以实现代码的模块化和重用。
通过调用函数，可以将问题划分为更小的子问题，使程序更易于理解和维护。
函数的定义与性质
函数的定义与性质函数是数学中一个重要的概念，常用于描述两个数集之间的关系。
本文将介绍函数的定义及其一些性质，以及函数在数学中的应用。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
设有两个非空的集合A和B，若对于A中的每一个元素a，都有一个唯一的元素b与之对应，即a与b之间存在一个关系f，且该关系满足“对于A中的每个元素a，都存在一个唯一的b，使得(a,b)∈f”这一条件，则我们称f为从A到B的一个函数。
二、函数的性质1. 定义域和值域函数的定义域是指所有输入的可能取值的集合，而值域是指所有可能的输出值的集合。
在给定函数的定义时，需要明确指出其定义域和值域。
2. 单射、满射和双射一个函数可以具有不同的性质，如单射、满射和双射。
若函数f中的每一个输出值对应于不同的输入值，则该函数是单射。
若函数f中的每一个输出值都能在输入值集合A中找到对应的元素，则该函数是满射。
若一个函数同时是单射和满射，则它被称为双射。
3. 复合函数复合函数是指将两个函数进行组合得到的新函数。
设有函数f和g，其中f的值域是g的定义域，那么复合函数(g∘f)(x)就是对于集合A中的每一个元素x，首先使用f进行映射得到一个值，再将该值作为g的输入进行映射，从而得到最终的输出。
4. 反函数若函数f是一个双射，则它存在一个反函数f^(-1)，满足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x。
反函数是函数中非常重要且有用的概念。
三、函数的应用函数在数学中有着广泛的应用。
它可以用于描述实际问题中的关系，例如速度与时间的关系、温度与时间的关系等。
函数还可以用于建模和解决各种实际问题，如经济学中的需求函数和供给函数、物理学中的力学函数等。
函数的定义与性质不仅在数学中有重要意义，也在其他学科和领域中有广泛的应用。
理解函数的定义和性质有助于我们更好地理解和应用数学知识。
总结：本文介绍了函数的定义及其性质。
函数导论中函数的定义与性质介绍
函数导论中函数的定义与性质介绍导语：函数是数学中重要的概念之一，对于理解数学以及应用数学知识至关重要。
本文将对函数的定义、性质以及导数等基础知识进行介绍，希望能够对初学者有所帮助。
一、函数的定义函数是一种映射，在数学中用来描述自变量和因变量之间的关系。
具体来说，函数是一组由自变量确定的值与因变量确定的值的对应关系，通常用$f(x)$表示，其中$x$为自变量，$f(x)$为因变量。
函数可以理解为一种变换，将给定的自变量映射为唯一的因变量。
函数的定义有多种形式，最常见的是反函数和隐函数。
反函数是指当$f(x)$是单调可逆的，即在定义域内每个值对应了唯一的函数值，并且该函数值也对应了唯一的自变量值时，反函数就存在。
具体来说，如果在一个函数的定义域内，对于任意的自变量$x$，都有一个唯一的因变量$f(x)$，并且如果对于每个函数值$f(x)$，都存在唯一的自变量$x$能够映射到该函数值上，则反函数存在。
另一个常见的函数类型是隐函数，是指存在一种由多个变量构成的方程表达式，使得其中某个变量可以被其他变量表示出来。
例如，$x^2+y^2=1$就是一个隐函数，其中$x$和$y$都是自变量，方程的解为弧长为$1$的圆上的所有点，其中$x$和$y$是相互依赖的。
二、函数的性质函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性和对称性等。
单调性是指函数在定义域内的变化趋势，可以是单调递增或单调递减。
例如，$f(x)=x^2$是单调递增的，在定义域内增加$x$的值时，对应的函数值也会单调递增。
奇偶性是指函数的正负性质，例如$-f(x)=f(-x)$就是一个奇函数，表示当自变量取相反数时函数取相反数。
周期性是指函数的值在一定的周期内不变，例如正弦函数$f(x)=\sin(x)$是以$2\pi$为周期的，即在周期内函数的值是相同的。
对称性是指函数在某个平面或轴上对称的性质，包括$x$轴对称、$y$轴对称和原点对称等。
例如，$f(x)=x^2$在$x$轴对称，而$f(x)=\sin(x)$以原点为对称中心。
初中函数的概念是什么有哪些知识点
初中函数的概念是什么有哪些知识点变量与常量，在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
初中函数的概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法，两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法，把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法，用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
学过的函数(0)常函数(1)正比例函数，反比例函数(2)一次函数(3)二次函数初中函数的知识点是什么I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c (a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A(x₁，0)和B(x₂，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
函数知识点总结
函数知识点总结函数是计算机编程中非常重要的概念，几乎所有的编程语言都支持函数的使用。
本文将详细介绍函数的定义、特点、分类、作用以及常见问题等内容，以帮助读者理解函数的基本概念与使用方法。
一、函数的定义和特点函数是指一段完成特定任务的代码块，可以接受输入参数，并返回结果。
函数可以看作是一个封装了具体功能的工具，通过调用函数可以简化代码的编写与调试，提高代码的可读性和可维护性。
函数具有以下特点：1. 封装性：函数将复杂的代码封装在一个独立的模块中，使得代码结构更加清晰，易于阅读。
2. 可重用性：通过函数的调用，可以重复使用已经编写好的功能模块，避免重复编写相同的代码。
3. 减少冗余：通过函数的封装，可以将重复出现的代码集中在一个地方，减少了代码冗余，提高了代码的可维护性。
4. 提高代码的可读性：通过给函数命名以及使用注释，可以使得代码更易读懂，便于他人理解。
5. 函数是程序的基本组成部分，能够协调各个功能的运行，提高程序的整体性能。
二、函数的分类根据函数的返回值类型、参数类型以及作用等方面的不同，可以将函数分为以下几种类型：1. 无参数无返回值函数：这种函数不需要接受任何参数，执行完特定的任务后不返回任何结果。
例如，一个简单的打印“Hello World!”的函数就属于无参数无返回值函数。
2. 无参数有返回值函数：这种函数同样不需要接受任何参数，但是执行完特定的任务后会返回一个结果。
例如，一个获取系统当前时间的函数就属于无参数有返回值函数。
3. 有参数无返回值函数：这种函数需要接受至少一个参数，执行完特定的任务后不返回任何结果。
例如，一个用来求解方程根的函数就属于有参数无返回值函数。
4. 有参数有返回值函数：这种函数需要接受至少一个参数，执行完特定的任务后会返回一个结果。
例如，一个用来计算两个数之和的函数就属于有参数有返回值函数。
三、函数的作用函数在编程中具有重要的作用，主要包括以下几个方面：1. 代码封装：函数能够将具有特定功能的代码封装成一个独立的模块，提高代码的可读性和可维护性。
函数的三种定义方式
函数的三种定义方式一、函数的定义函数是一段被封装起来的代码块，用于实现特定的功能。
它是程序的基本组成单元，可以重复使用，提高代码的可读性和重用性。
函数定义的一般形式如下：def函数名(参数1, 参数2, ...):# 函数体# ...return返回值函数定义的关键字是def，紧接着是函数名，括号中是参数列表，用逗号分隔。
函数体是由冒号后的缩进代码块组成，可以包含多条语句。
return关键字用于返回函数的结果，可以省略。
二、函数的三种定义方式Python中有三种定义函数的方式，分别是普通函数，匿名函数和高阶函数。
2.1 普通函数普通函数是最常见的函数定义方式。
它可以根据需要接收参数，执行特定的功能，然后返回结果。
普通函数的定义方式如下：def函数名(参数1, 参数2, ...):# 函数体# ...return返回值普通函数通过def关键字定义，后面是函数名和参数列表，函数体由冒号后的缩进代码块组成。
最后使用return语句返回函数的结果。
2.2 匿名函数匿名函数也被称为lambda函数，是一种短小、简洁的函数定义方式。
它只能由单条表达式组成，不需要使用def关键字定义函数名。
匿名函数的定义方式如下：lambda参数1, 参数2, ...: 表达式lambda关键字表示定义一个匿名函数，后跟参数列表和冒号，冒号后是一个表达式，表达式的结果将作为匿名函数的返回值。
2.3 高阶函数高阶函数是指能够接收函数作为参数或者返回函数的函数。
它可以将函数作为一等公民对待，实现更加灵活和抽象的编程。
高阶函数的定义方式如下：def高阶函数名(函数名):# 函数体# ...return函数高阶函数使用def关键字定义，后面是函数名和参数列表，函数体可以包含多条语句。
最后使用return语句返回一个函数。
三、函数的应用场景函数的定义方式决定了它们的应用场景。
下面是函数的三种定义方式在实际编程中的应用场景：3.1 普通函数的应用场景普通函数可以实现复杂的逻辑，较为常见的应用场景有： - 封装特定功能的代码片段，提高代码重用性。
函数的认识与应用
函数的认识与应用函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、计算机科学等。
本文将从函数的定义、特性以及实际应用等方面进行论述。
一、函数的定义和特性函数是一种关系，它将一个集合的元素（称为输入）映射到另一个集合的元素（称为输出）。
用数学符号表示，函数通常以f(x)的形式表示，其中f为函数的名称，x为自变量，而f(x)则表示函数对自变量x 的输出。
函数可以用图像、表格或者公式的形式来表示。
函数具有以下特性：1. 唯一性：对于每一个输入，函数只有唯一的输出。
换句话说，不会存在一个输入对应多个输出，或者没有输出的情况。
2. 定义域和值域：函数的定义域指的是所有能够输入的值的集合，而值域则指的是所有可能的输出值的集合。
3. 可逆性：有些函数是可逆的，即存在一个逆函数可以将输出映射回对应的输入。
但并不是所有函数都是可逆的。
4. 连续性：连续函数是指在其定义域的任意连续区间上都没有断点的函数。
连续函数在数学和物理问题的建模与解决中具有重要作用。
二、函数的应用函数在实际生活和各个领域中有着广泛的应用。
以下将介绍一些典型的应用场景。
1. 物理学中的函数应用函数在物理学中经常被用来描述物理量之间的关系。
例如，位移函数可以描述一个物体的位置随时间的变化情况；速度函数可以描述物体在不同时间点的速度变化；而加速度函数则描述了物体速度随时间的变化情况。
这些函数的应用帮助我们更好地理解和解释物理现象。
2. 经济学中的函数应用经济学中的函数被广泛应用于描述供应和需求之间的关系。
例如，收入函数可以描述收入与工作时间、工资之间的关系；消费函数可以描述消费支出与收入之间的关系。
通过建立这些函数，经济学家能够更好地预测和分析经济问题。
3. 计算机科学中的函数应用计算机科学中的函数被广泛应用于程序设计和算法实现。
函数在这个领域中可以用来封装和组织代码，提高代码的重用性和可维护性。
函数还可以用来模拟和解决各种计算问题，例如排序、搜索等。
(完整版)初中函数概念大全
函数及其有关观点1、变量与常量在某一变化过程中，能够取不一样数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量 x 与 y ，假如对于 x 的每一个值， y 都有独一确立的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。
2、函数分析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数分析式或函数关系式。
使函数存心义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优弊端（ 1）分析法两个变量间的函数关系，有时能够用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做分析法。
（ 2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（ 3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数分析式画其图像的一般步骤（ 1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（ 2）描点：以表中每对对应值为坐标，在座标平面内描出相应的点（ 3）连线：依据自变量由小到大的次序，把所描各点用光滑的曲线连结起来。
一次函数和正比率函数1、一次函数的观点：一般地，假如y kx b （k ， b 是常数， k0），那么 y 叫做 x 的一次函数。
特别地，当一次函数y kx b 中的 b 为 0 时， y kx （ k 为常数， k 0）。
这时， y 叫做 x 的正比率函数。
2、一次函数、正比率函数的图像 全部一次函数的图像都是一条直线一次函数 y ＝ kx ＋b( k ≠ 0) 的图像是经过点（ 0， b ）的直线 ( b 是直线与 y 轴的交点的纵坐标，即一次函数在y 轴上的截距 ) ；正比率函数 ykx 的图像是经过原点（ 0， 0）的直线。
3、斜率：y 2 y 1k tanx 1x 2①直线的斜截式方程，简称斜截式 : y ＝kx ＋ ( ≠ 0)b k②由直线上两点确立的直线的两点式方程，简称两点式:yA( x 1, y 1)P(x 0 y 0)y=kx+bdB( x 2, y 2)by kx b (tan ) x by 2 y 1x( x x 1 ) y 1ax 2x 1x③由直线在x轴和y 轴上的截距确立的直线的截距式方程，简称截距式：x y1a b④设两条直线分别为， l 1 ： yk 1 x b 1l 2 ： yk 2 x b 2 若l 1l 2k 1 k 21若 l 1 // l 2 ，则有 l 1 // l 2 k 1 k 2 且 b 1 b 2 。
函数的三种表示方法
解：由题意可知：x秒后两车行驶路程分别是： 甲车为：20x 乙车为：25x 两车行驶路程差为：25x-20x=5x 两车之间距离为：500-5x 所以：y随x变化的函数关系式为： y=500-5x 0≤x≤100
用描点法画图：
小结
通过本节课学习,我们认识了函数的三种不 同的表示方法,并归纳总结出三种表示方法的优 缺点,学会根据实际情况和具体要求选择适当的 表示方法来解决相关问题,进一步知道了函数三 种不同表示方法之间可以转化,为下面学习数形 结合的函数做好了准备．
２．用解析式与图象法表示等边三角形 周长L是边长a的函数．
解：因为等边三角形的周长L是边长a 的3倍．所以周长L与边长a•的函数关系 可表示为：
L=3a a>0
我们可以用描点法来画出函数L=3a 的图象．列表：
a…1 2 L…3 6
描点、连线：
3 4… 9 12 …
3.甲车速度为20米／秒,乙车速度为 25米／秒．现甲车在乙车前面500 米,设x秒后两车之间的距离为y 米．求y随x 0≤x≤100 变化的函数 解析式,并画出函数图象．
函数的三种表示方法
八年级数学一次函数
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1、列表法：
X ┅ -3 -2 -1 0 1 2 3 ┅ y ┅ -2.5 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 ┅
2、解析式法：y=x+0.5
3、图象法：
函数的几种表示方法的优缺点：
列表法比较直观、准确地表示出函数中两 个变量的关系。解析式法则比较准确、全面 地表示出了函数中两个变量的关系。至于图 象法它则形象、直观地表示出函数中两个变 量的关系。
函数的定义和性质
函数的定义和性质函数是数学中一个重要的概念，它描述了数和数之间的关系。
通过函数，我们可以将一个输入值映射到一个唯一的输出值。
在本文中，我们将探讨函数的定义以及它的性质。
一、函数的定义函数可以用以下的方式来定义：设有两个集合A和B，如果对于A 中的每一个元素a，都能够找到B中的一个唯一元素b与其对应，那么我们就说存在一个函数f，它将A中的元素映射到B中的元素。
我们可以用符号f: A→B来表示这个函数。
其中，A称为函数的定义域，B 称为函数的值域。
例如，我们可以定义一个函数f: ℝ→ℝ，它将实数集中的每个元素x映射到它的平方x^2。
在这个例子中，A和B都是实数集，函数f将A中的每个实数映射到B中的一个实数。
二、函数的性质函数具有以下几个基本性质：1. 唯一性：对于函数f的每个输入值，都存在唯一的输出值与之对应。
换句话说，函数的映射是一对一的。
2. 定义域与值域：函数的定义域是输入可以取值的范围，而值域是函数的输出值可以取值的范围。
函数的定义域和值域可以是实数集、整数集或其他集合。
3. 范围：函数的范围是所有可能的输出值的集合。
换句话说，范围是值域在函数映射下的像。
4. 正向函数：如果对于任意的输入值，函数都能够产生一个输出值，那么我们称这个函数为正向函数。
正向函数可以用来描述实际问题中的因果关系。
5. 反向函数：如果对于函数的每个输出值，都能够找到一个或多个输入值与之对应，那么我们称这个函数具有反向函数。
反向函数用来描述逆向的关系。
6. 函数的图像：函数的图像是在坐标系中表示的一组点。
每个点的横坐标是函数的输入值，纵坐标是函数的输出值。
通过函数的图像，我们可以直观地看到函数的性质和特征。
7. 函数的运算：函数之间可以进行加法、减法、乘法和除法等运算。
通过函数的运算，我们可以得到新的函数，描述不同函数之间的关系。
三、总结函数是数学中的一个重要概念，它描述了数与数之间的关系。
函数的定义包括了定义域、值域和映射关系。
谈函数相关概念的理解
谈函数相关概念的理解函数是数学中非常基础和重要的概念，它在数学以及其他科学领域中都有着重要的应用。
在数学中，函数是一个非常广泛的概念，它涵盖了很多内容，比如初等函数、复合函数、反函数、函数的变化率等等。
而在其他科学领域，函数也是一个非常实用的工具，比如在物理学中，函数可以表示物体的运动规律；在经济学中，函数可以表示供求关系；在工程学中，函数可以表示电路的特性等等。
那么，什么是函数呢？在数学中，函数可以简单地理解为一个“对应关系”，即一个集合中的每一个元素都与另一个集合中的唯一元素建立了一种关系。
在更加严格的定义中，函数可以看做是一个从一个集合到另一个集合的映射，它将每个输入元素映射到一个唯一的输出元素上。
在代数表示中，我们通常用符号“y=f(x)”来表示函数，其中x是自变量，y是因变量，f(x)则表示了x与y之间的对应关系。
在数学中，我们通常将函数分为初等函数和非初等函数两类。
初等函数是指由有限次常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数经过有限次的代数运算（加、减、乘、除和复合）得到的函数。
而非初等函数则是指那些不能由常见的初等函数构造得到的函数，比如椭圆函数、Gamma函数、Beta函数等等。
初等函数在数学中有着非常广泛的应用，几乎出现在所有的数学领域中。
函数的概念并不仅仅局限于数学中，它在其他科学领域中也有着广泛的应用。
比如在物理学中，函数可以表示物体的运动规律。
物体运动的速度、加速度、位移等往往可以用函数来描述，这样就可以更加直观地理解物体的运动规律。
在经济学中，函数可以表示供求关系。
通过函数来描述市场上商品的价格和数量之间的关系，可以更加方便地进行经济分析和预测。
在工程学中，函数可以表示电路的特性。
工程师可以通过函数来描述电路的电压、电流、功率等特性，从而更好地设计和优化电路。
在数学中，我们还会涉及到一些与函数相关的重要概念，比如复合函数、反函数和函数的变化率。
复合函数是指由两个或多个函数组合而成的函数，比如f(g(x))。
话说函数三种定义的利与弊
话说函数三种定义的利与弊2009年第1期数学教育研究?l5?话说函数三种定义的利与弊陈秀峰(浙江省宁波市鄞州中学315101)函数是一种特殊的关系,是数学的一个基本而又重要的概念,在现代数学中,它几乎渗透到数学的各个分支,怎样定义函数?根据数学发展的演变,一般有以下三种:变量说,对应说(映射说),关系说.下面就这三种定义,谈谈各自的利弊.1函数变量说的利弊回顾先回顾函数一词的起因.把函数(function)这个词用作数学述语,最早是德国数学家莱布尼兹(Leibniz),在他1673年的一篇手稿里,用函数一词表示一个随着曲线上的点变动而变动的量,此词出现前,牛顿(New—ton)自1665年开始微积分的研究工作后,～直用流量(fluent)一词来表示变量间的关系.早在1775年,欧拉(Euler)曾提出:”如果当某些变量以这样一种方式依赖于另一变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随之变化,那么前面的变量称为后面变量的函数.”由以上定义,逐渐演变为目前的函数的”变量说”.它是这样定义的:”设X与是两个变量,如果当变量-z 在实数的某一范围中变化时,变量按一定的规律随z 的变化而变化,我们称z为自变量,Y为因变量,变量叫做变量z的函数,记作Y一厂().”这样用一个变量随另一个变量的变化而变化的说法有许多好处.首先,在日常生活中或生产实践中,各变量之间多半大致已经”天然地”建立了对应关系,因此,虽然变量说并未突出对应关系,却不致误会,例如, 要讨论正方形的面积Y和边长-z的关系,总是在同一个正方形中考虑面积值与边长值的对应.其次,从物理意义上看,例如,一厂(),反映了质点运动时路程随时间变化而变化的规律,”变量说”刻划得自然,形象,直观且通俗易懂.但是,不能不看到,”变量说”有其缺陷的一面.1.”变量说”对函数的实质——对应,缺少充分的刻划,这是最致命的弊病.虽然其定义中也指出了自变量与因变量的概念,但未明确函数是z,y双方变化的一个总体,而却把变量定义为z的函数,使学生思想上先人为主,记住了函数就是y,这与函数是反映变量与变量之间的关系是相悖的.究竟函数是指,,还是,(z),还是一,(z)?变量说易于模糊三者的区别.我们说,只有厂才是函数,而,(z)仅是指函数,在的值,是一个数或是一个元素,而y一厂(z)是借以确定,的方程,是一个式子.因此严格说来,一,(-z)不应读作Y是X的函数,而应读作Y是, 实施于z的结果.应该看到,人们常把对数函数写作logx而不写成log,认为log是没有意义的符号,必须写成logx才对,这是不妥的.当然,一旦掌握了厂,厂(),Y 一厂(z)的区别后,在应用上为方便起见也准许有意识的混同使用,但这与因概念不清而混用是两回事. 2.”变量说”强调的是两个变量及变量域——自变量与因变量,定义域和值域,而对对应规律却轻描谈写,一笔带过.由于忽略对应规律,单纯强调两个变量的相依关系——当z变化时,Y随之变化,则易误解为:Y—sinz +COSz=1不是函数;同样,由于忽视对应规律,单纯强调定义域和值域,则易误解为:Y—sinx,Y—cosz是同一函数.3.变量说把定义域和值域仅规定在实数范围内,也是局限的.例如,一切三角形组成的集合与一切圆组成的集合,因为每个三角形对应于一个外接圆,这种对应关系已不是”量”之间的关系.为此必须延伸函数的概念,把它扩展为”映射”,突出”对应”,不必强调量.2函数对应说与函数变量说优劣比较函数的”对应说”是这样定义的:”设A与B是两个集合,如果按照某一确定的对应关系,对于集合A中每一确定的元素z,总有集合B中一个确定的元素Y和它对应,那么这个对应关系就叫一个映射.当A,B为数集时,称为函数.”由此可见,”对应说”也就是”映射说”.目前这种定义,已越来越多地被一些教科书所采用.首先,”对应说”较之”变量说”,虽然稍觉抽象,但它却抓住了函数本质属性,突出了两个集合元素间的对应就是函数.在对应说中,函数可看作”暗箱”,例如, 上面提到的正方形面积与边长关系的例子,即Y—z, 输入z,输出z,于是”暗箱”相当于”平方机”的作用(如图).输入———-.(j至[卜_+输出其次,”变量说”是建立在变量的基础上,而”对应说”是建立在集合的基础上.事实上,所谓”变量是指有量可度的量,如长度,距离,时间等.但是当某客体无量可度时怎么办?采用了”对应说”,则”变量说”中那种把定义域,值域的变化范围——实数集,作为限制,就自然消失了.因此,”对应说”远比”变量说”的定义普遍得多.只有这样,函数的定义才能适应各种不同的研究对象,使函数呈现出各种形态并被赋以专门的名称.例如在几何空间中有变换的概念;我们还可以把函数看作某空间的一个元素,建立函数集与函数集的对应,于是出现了”算子”的概念.最后,”对应说”在处理复合函数与反函数问题上,远比”变量说”方便且自然,对应说”明确是一种单值对应,这样就排除了多函数的概念,这是因为多值函数不存在逆,又不能进行四则运算,因而缺少研究价值的缘故.?16?数学教育研究2009年第1期3函数关系说的利弊分析在定义关系的基础上,也可定义函数概念——把函数关系看作一个特殊的关系.设R是一个二元关系,如果还满足(z,Y)∈R, (zt,)ER,一定有y—Y2,则称R是函数关系.因此,函数就是两个集合的关系,但两个集合的关系不一定是函数.例如:设X={1,2,3),Y一{4,5,6,7),令R一{(1,4),(1,6),(2,7),(3,5),(3,7)),这里对于X中的元素1,对应y中的元素4和6;3对应5和7.所以R 是由X到y的关系,而不是函数.由此可见,关系和函数虽然都是刻划两集合元素之间的联系,但是有区别的.函数的定义域是某个集合的全体,而不能是这个集合的真子集,在”关系说”对函数的定义中,对于任给的xEX,则存在唯一的yEY与之对应.而仅对关系而言,对于任给的X∈X,可以有多于一个的y中的元素与之对应,所以函数是一种特殊的关系.现在再回顾”对应说”,那里虽然突出了对应法则,但什么是对应法则厂?尚欠明确,显得含糊.我们说,y 一厂(z),这个式子除表示”y是X的函数外”,还表示该函数的具体内容,也即由如何算出Y.另外,若有另一函数=g(z),一般说来厂≠g.但厂和g又怎样区分呢?怎样弥补函数”对应说”的这个缺陷呢?就要借助于”关系说”了.“关系说”虽较抽象,一般中学生较难接受,但”关系说”却把”变量说”中含糊不清的,”对应说”中避开交代其内容的”对应法则厂’,通过对关系添加一个附加条件,把”对应说”定义的函数关系作外延式的数学化描绘,这样,函数概念就完全明确了,它无非是一张理想的表(包括无限多个精确的数据),借此,可以按的值查找出Y的值.总之,”关系说”将函数用集合论的语言加以叙述,除集合论的概念外,没有使用其他未经定义的日常语言,因而是完全数学化了的,也便于为计算机所接受. 然而,”关系说”过于形式化,抽去了函数关系生动形象的直观——变量的运动特征,看不出对应关系,更没有解析式的表达,对初学者不易掌握,在推论中多有不便.综上所述,函数的三种说法各有优点,也各有缺点,应视具体情况加以运用.[责任编校董伸华](上接第2页)戊丙\辛庚,.’z’戊丙甲丁图(5)由这两组图形我们可以看出,利玛窦在当时给周围的人介绍了西方三角函数.介绍的不仅有上面提及的正(余)弦函数和正(余)矢函数,而且还应有正(余) 切函数和正(余)割函数——在图五中有明显的正切, 余切,正割和余割标示.不仅介绍了概念,而且也应当介绍了它们之间的关系,如sin.口+COSa一1,tg+1= sec,等——因为根据图形这些关系是显然的.在上述两个图形之后,此书还有一个图形如图(6)所示.这个图形说明是:”角度:凡三角形佛三角之度皆成两象限.假如乙甲丁勾股形,其丁角五十五度,当乙丙弧,则乙角必三十五度,当乙庚余弧.两角共一象限,九十度.其甲角正方,原系\一,甲丁l’卯\丑\图(6)九十度,合三角成一百八十度.’,L”由此看出利玛窦在这里还介绍了西方数学中关于三角形内角和的概念. 综上,利玛窦在我国传教期间传人了我国西方三角函数知识,他应是传人我国三角函数知识的第一人. 其介绍的三角函数知识有现代角度概念,三角函数概念,正余弦函数表及其应用等.这些内容虽然不是太多,但是却是系统的和明了的,易于学习和掌握.他介绍的这些知识和他与李之藻共同创造的相关概念——正弦,余弦等应当后来西方传教士编写《崇祯历书》时全面传入我国西方三角函数知识的前期基础.参考文献:Eli昊文俊.中国数学史大系(第七卷)[M].北京:北京师范大学出版社,2000.53.[2]方豪.李我存研究[M].杭州:我存杂志社,1937.[3][4][5][6][7]利玛窦,李之藻.同文算指别编[M].中国科学技术典籍通汇[c](数学卷四).郑州:河南教育出版社,1993.267—268,268—271,268,268——269,271.[8]朱维铮.利玛窦中文着译集[c].上海:复旦大学出版社,2001.691—694.[9][1O]E11]利玛窦.理法器撮要[M].利玛窦中文着译集[c].上海:复旦大学出版社,2001.738,739,740.[责任编校钱骁勇]。
谈函数相关概念的理解
谈函数相关概念的理解函数是计算机编程中的重要概念之一，它是一种封装了一系列指令的代码块，可以接受一些输入（参数），并且执行一定的操作，最后返回一个结果。
函数使得程序可以被模块化，使得代码更加清晰、简洁和可维护。
函数的定义通常包括函数名、参数列表、返回类型和函数体。
函数名是函数的名称，用于在程序中调用该函数。
参数列表是一些函数的输入，可以是零个或多个参数，用于提供给函数执行所需的数据。
返回类型是函数的返回值类型，用于指定函数返回的结果的类型。
函数体是由一些代码语句组成的，这些语句是函数执行的操作。
函数的调用是指程序在某个地方调用函数，即执行函数体中的代码。
函数调用时，需要提供函数所需的参数，可通过参数列表列表来传递参数。
函数调用完成后，可以获得函数返回的结果。
函数有一些重要的特点。
函数可以重用。
通过定义函数，可以在不同的地方多次调用函数，从而避免了代码的重复编写。
函数可以传递参数。
参数可以作为函数的输入，通过传递参数，可以使函数在不同的情况下执行不同的操作。
函数可以返回结果。
通过返回值，函数可以将计算的结果传递给调用者，实现数据交互。
函数可以嵌套。
也就是说，在一个函数的代码中可以定义另一个函数，以实现更复杂的逻辑。
函数可以分为两种类型，即内置函数和自定义函数。
内置函数是编程语言提供的一些已经定义好的函数，可以直接使用。
自定义函数是程序员根据需要自己定义的函数，可以根据具体的需求定义函数的名称、参数和操作。
在函数的实现中，有一些常见的概念需要理解。
函数的返回值用于指定函数的执行结果。
函数可以返回一个值，也可以不返回值。
参数是函数所需要的输入。
参数可以分为值传递和引用传递两种方式。
值传递是指将参数的值传递给函数，在函数内部对参数的修改不会影响到函数外部对参数的值。
引用传递是指将参数的地址传递给函数，在函数内部对参数的修改会影响到函数外部对参数的值。
函数还有一些其他概念需要理解。
函数的作用域指的是函数中定义的变量的可见性范围。
谈函数相关概念的理解
谈函数相关概念的理解函数是计算机科学中重要的概念，指的是一组代码块，用于完成特定的任务。
在程序中，定义函数可以使代码更加模块化和可重用。
函数也是面向对象编程中的重要基石，它允许我们将代码组织成一系列可维护和可重用的模块，这些模块可以使程序更加容易理解和管理。
1. 函数的定义和调用函数的定义通常包括函数名称、函数参数、函数体和返回值。
函数的调用是指在程序中使用函数，可以通过函数名称和参数来调用。
2. 参数和返回值参数是函数定义时指定的输入变量，用于传递数据到函数中。
返回值是函数在完成任务后返回的输出结果。
函数可能没有参数和返回值，也可能有多个参数和返回值。
3. 局部变量和全局变量在函数内部定义的变量称为局部变量，它们的作用域仅限于函数中，并且在函数执行完成后会被销毁。
在函数外部定义的变量称为全局变量，它们可以在程序的任何地方访问，但也容易导致代码的混乱和不易维护。
4. 递归递归是指一个函数调用自身的编程技巧。
递归函数可以使程序更加简单，但也容易造成内存溢出和程序崩溃。
5. 匿名函数匿名函数是没有名称的函数，它们通常在需要一次性使用的场景下被创建和使用。
匿名函数也被称为 lambda 函数，可以使用 lambda 表达式来创建。
6. 高阶函数高阶函数是接受一个或多个函数作为参数的函数。
可以将函数作为变量传递给另一个函数，或者将函数作为另一个函数的返回值。
高阶函数是函数式编程中的重要概念，它可以使程序更加模块化和灵活。
总结来说，函数是一种将代码组织成可维护和可重用模块的编程技巧。
理解函数的相关概念可以帮助我们编写更加清晰、高效和可维护的代码。
谈函数相关概念的理解
谈函数相关概念的理解函数是计算机程序中的一种基本组件，它由一系列指令组成，用于执行特定的任务。
函数可以接受输入参数，并返回输出结果。
在程序中，函数可以定义一次，然后在需要的地方多次调用。
通过使用函数，我们可以将复杂的问题分解为更小的、可重用的部分，从而提高程序的可读性和可维护性。
函数的定义通常包括函数名、输入参数、函数体和返回值。
函数名是函数的唯一标识符，用于在程序中调用函数。
输入参数是函数接受的数据，可以是任意类型的变量或常量。
函数体是由一系列语句构成的代码块，用于实现函数的功能。
返回值是函数执行完毕后返回给调用者的结果。
函数可以有一个或多个输入参数，也可以有一个或多个返回值。
函数可以分为内置函数和自定义函数。
内置函数是编程语言本身提供的函数，用于执行特定的操作。
Python提供了内置函数len()用于计算列表的长度，内置函数print()用于打印输出。
自定义函数是根据程序员的需求自己定义的函数。
程序员可以根据实际需求，编写自定义函数来完成具体的任务。
自定义函数通常比内置函数具有更高的灵活性和扩展性。
函数的调用是程序的一种基本操作，它使得程序能够执行函数定义中的代码。
函数调用通常使用函数名和一对括号来完成。
括号内可以包含相应的参数，用于传递给函数。
当程序执行函数调用时，它会跳转到函数体中执行相应的代码，并在代码执行完毕后返回到函数调用的位置继续执行后续的代码。
函数的返回值是函数执行完毕后返回给调用者的结果。
返回值可以是任意类型的数据，包括基本类型（如整数、浮点数、字符串等）和复合类型（如列表、对象等）。
在函数定义中，可以通过使用return语句来指定函数的返回值。
return语句会导致函数立即返回，并将指定的值作为返回结果返回给调用者。
函数的参数可以分为形式参数和实际参数。
形式参数是函数定义中声明的参数，用于接收函数调用时传递的值。
形式参数在函数体内被当作普通的变量来使用。
实际参数是函数调用时传递给函数的值，用于给形式参数赋值。
谈函数相关概念的理解
谈函数相关概念的理解函数是计算机编程中的一种重要概念，它是一段可重复使用的代码，用于执行特定的任务或运算。
函数可以接收参数、执行一系列操作，并返回结果。
在程序设计中，函数具有模块化、可维护和可扩展的优点，使得代码更加结构化和可读。
函数有以下几个关键要素：函数名、参数列表、返回值和函数体。
函数名是函数的标识符，用于在代码中调用函数。
参数列表是函数接收的输入，可以有零个或多个参数，每个参数有一个名称和类型。
返回值是函数执行完后返回的结果，也可以没有返回值。
函数体是函数的具体实现，包括了一系列的语句和操作。
函数的作用主要有两个方面：避免重复编写相同的代码和提高代码的可读性。
通过将一段逻辑或操作封装进函数中，可以在需要的地方调用函数来实现相同的功能，避免了代码的重复编写。
函数也能提高代码的可读性，使得代码更加易于理解和维护。
通过给函数取一个有意义的名称，使得代码的含义更加清晰明了。
在函数定义时需要定义函数的参数和函数体。
参数可以有默认值，这样在调用函数时可以不传递参数，函数会使用默认值来执行操作。
参数可以按照位置或关键字进行传递。
位置参数是按照参数列表的顺序传递参数，而关键字参数则是通过指定参数的名称来传递参数，这样可以不按照参数列表的顺序进行传递。
返回值可以是一个值，也可以是一个数据结构（如列表、字典），甚至可以是一个函数。
函数还可以递归调用自身。
递归是一种特殊的函数调用方式，函数内部会调用自身来解决问题。
递归函数需要有一个终止条件，否则会无限递归导致程序崩溃。
递归函数在一些数学问题、数据结构和算法中应用广泛，可以简化问题解决的逻辑和代码的实现。
函数还可以接收其他函数作为参数或返回值。
这种函数被称为高阶函数。
高阶函数广泛应用于函数式编程的范式中，可以灵活地组合和操作函数，使得代码更加简洁和灵活。
高阶函数可以用于实现函数的组合、过滤、映射和归约等操作。
最后要提到的是函数的作用域。
函数可以定义在全局作用域中，也可以定义在函数内部的局部作用域中。
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话说函数三种定义的利与弊
2009年第1期数学教育研究?l5?
话说函数三种定义的利与弊
陈秀峰(浙江省宁波市鄞州中学315101)
函数是一种特殊的关系,是数学的一个基本而又
重要的概念,在现代数学中,它几乎渗透到数学的各个
分支,怎样定义函数?根据数学发展的演变,一般有以
下三种:变量说,对应说(映射说),关系说.下面就这三
种定义,谈谈各自的利弊.
1函数变量说的利弊回顾
先回顾函数一词的起因.把函数(function)这个词
用作数学述语,最早是德国数学家莱布尼兹(Leibniz),
在他1673年的一篇手稿里,用函数一词表示一个随着
曲线上的点变动而变动的量,此词出现前,牛顿(New—ton)自1665年开始微积分的研究工作后,～直用流量(fluent)一词来表示变量间的关系.
早在1775年,欧拉(Euler)曾提出:”如果当某些变
量以这样一种方式依赖于另一变量,即当后面这些变
量变化时,前面这些变量也随之变化,那么前面的变量
称为后面变量的函数.”
由以上定义,逐渐演变为目前的函数的”变量说”.
它是这样定义的:”设X与是两个变量,如果当变量-z 在实数的某一范围中变化时,变量按一定的规律随z 的变化而变化,我们称z为自变量,Y为因变量,变量叫做变量z的函数,记作Y一厂().”
这样用一个变量随另一个变量的变化而变化的说
法有许多好处.首先,在日常生活中或生产实践中,各变量之间多半大致已经”天然地”建立了对应关系,因此,虽然变量说并未突出对应关系,却不致误会,例如, 要讨论正方形的面积Y和边长-z的关系,总是在同一个正方形中考虑面积值与边长值的对应.其次,从物理意义上看,例如,一厂(),反映了质点运动时路程随时间变化而变化的规律,”变量说”刻划得自然,形象,直观且通俗易懂.
但是,不能不看到,”变量说”有其缺陷的一面.
1.”变量说”对函数的实质——对应,缺少充分的
刻划,这是最致命的弊病.虽然其定义中也指出了自变量与因变量的概念,但未明确函数是z,y双方变化的一
个总体,而却把变量定义为z的函数,使学生思想
上先人为主,记住了函数就是y,这与函数是反映变量与变量之间的关系是相悖的.
究竟函数是指,,还是,(z),还是一,(z)?变量
说易于模糊三者的区别.我们说,只有厂才是函数,而,(z)仅是指函数,在的值,是一个数或是一个元素,
而y一厂(z)是借以确定,的方程,是一个式子.因此严格说来,一,(-z)不应读作Y是X的函数,而应读作Y是, 实施于z的结果.应该看到,人们常把对数函数写作logx而不写成log,认为log是没有意义的符号,必须写成logx才对,这是不妥的.当然,一旦掌握了厂,厂(),Y 一
厂(z)的区别后,在应用上为方便起见也准许有意识
的混同使用,但这与因概念不清而混用是两回事. 2.”变量说”强调的是两个变量及变量域——自变
量与因变量,定义域和值域,而对对应规律却轻描谈写,一笔带过.
由于忽略对应规律,单纯强调两个变量的相依关系——当z变化时,Y随之变化,则易误解为:Y—sinz +COSz=1不是函数;同样,由于忽视对应规律,单纯
强调定义域和值域,则易误解为:Y—sinx,Y—cosz是同一函数.
3.变量说把定义域和值域仅规定在实数范围内,
也是局限的.例如,一切三角形组成的集合与一切圆组成的集合,因为每个三角形对应于一个外接圆,这种对
应关系已不是”量”之间的关系.为此必须延伸函数的概念,把它扩展为”映射”,突出”对应”,不必强调量.
2函数对应说与函数变量说优劣比较
函数的”对应说”是这样定义的:”设A与B是两个
集合,如果按照某一确定的对应关系,对于集合A中每一
确定的元素z,总有集合B中一个确定的元素Y和它对应,那么这个对应关系就叫一个映射.当A,B为数集时,称为函数.”由此可见,”对应说”也就是”映射说”.目前这种定义,已越来越多地被一些教科书所采用.
首先,”对应说”较之”变量说”,虽然稍觉抽象,但
它却抓住了函数本质属性,突出了两个集合元素间的对应就是函数.在对应说中,函数可看作”暗箱”,例如, 上面提到的正方形面积与边长关系的例子,即Y—z, 输入z,输出z,于是”暗箱”相当于”平方机”的作用(如图).
输入———-.(j至[卜_+输出
其次,”变量说”是建立在变量的基础上,而”对应
说”是建立在集合的基础上.事实上,所谓”变量是指有量可度的量,如长度,距离,时间等.但是当某客体无量可度时怎么办?采用了”对应说”,则”变量说”中那种
把定义域,值域的变化范围——实数集,作为限制,就
自然消失了.因此,”对应说”远比”变量说”的定义普遍得多.只有这样,函数的定义才能适应各种不同的研究对象,使函数呈现出各种形态并被赋以专门的名称.例如在几何空间中有变换的概念;我们还可以把函数看作某空间的一个元素,建立函数集与函数集的对应,于是出现了”算子”的概念.
最后,”对应说”在处理复合函数与反函数问题上,
远比”变量说”方便且自然,对应说”明确是一种单值对应,这样就排除了多函数的概念,这是因为多值函数不存在逆,又不能进行四则运算,因而缺少研究价值的缘故.
?
16?数学教育研究2009年第1期
3函数关系说的利弊分析
在定义关系的基础上,也可定义函数概念——把
函数关系看作一个特殊的关系.
设R是一个二元关系,如果还满足(z,Y)∈R, (zt,)ER,一定有y—Y2,则称R是函数关系.因
此,函数就是两个集合的关系,但两个集合的关系不一定是函数.例如:设X={1,2,3),Y一{4,5,6,7),令R
一
{(1,4),(1,6),(2,7),(3,5),(3,7)),这里对于X中
的元素1,对应y中的元素4和6;3对应5和7.所以R 是由X到y的关系,而不是函数.
由此可见,关系和函数虽然都是刻划两集合元素
之间的联系,但是有区别的.函数的定义域是某个集合的全体,而不能是这个集合的真子集,在”关系说”对函数的定义中,对于任给的xEX,则存在唯一的yEY与之对应.而仅对关系而言,对于任给的X∈X,可以有多于一个的y中的元素与之对应,所以函数是一种特殊的关系.
现在再回顾”对应说”,那里虽然突出了对应法则,
但什么是对应法则厂?尚欠明确,显得含糊.我们说,y 一
厂(z),这个式子除表示”y是X的函数外”,还表示该
函数的具体内容,也即由如何算出Y.另外,若有另一
函数=g(z),一般说来厂≠g.但厂和g又怎样区分
呢?怎样弥补函数”对应说”的这个缺陷呢?就要借助于”关系说”了.
“关系说”虽较抽象,一般中学生较难接受,但”关
系说”却把”变量说”中含糊不清的,”对应说”中避开交代其内容的”对应法则厂’,通过对关系添加一个附加条件,把”对应说”定义的函数关系作外延式的数学化描绘,这样,函数概念就完全明确了,它无非是一张理想
的表(包括无限多个精确的数据),借此,可以按的值
查找出Y的值.
总之,”关系说”将函数用集合论的语言加以叙述,
除集合论的概念外,没有使用其他未经定义的日常语言,因而是完全数学化了的,也便于为计算机所接受. 然而,”关系说”过于形式化,抽去了函数关系生动
形象的直观——变量的运动特征,看不出对应关系,更没有解析式的表达,对初学者不易掌握,在推论中多有不便.
综上所述,函数的三种说法各有优点,也各有缺
点,应视具体情况加以运用.
[责任编校董伸华]
(上接第2页)
戊
丙
\辛庚
,.’
z’
戊
丙甲丁
图(5)
由这两组图形我们可以看出,利玛窦在当时给周
围的人介绍了西方三角函数.介绍的不仅有上面提及的正(余)弦函数和正(余)矢函数,而且还应有正(余) 切函数和正(余)割函数——在图五中有明显的正切, 余切,正割和余割标示.不仅介绍了概念,而且也应当介绍了它们之间的关系,如sin.口+COSa一1,tg+1= sec,等——因为根据图形这些关系是显然的.
在上述两个图形之
后,此书还有一个图形如
图(6)所示.这个图形说
明是:”角度:凡三角形佛
三角之度皆成两象限.假
如乙甲丁勾股形,其丁角
五十五度,当乙丙弧,则
乙角必三十五度,当乙庚
余弧.两角共一象限,九
十度.其甲角正方,原系
\一,甲丁
l’
卯
\丑\
图(6)
九十度,合三角成一百八十度.’,L”由此看出利玛窦在
这里还介绍了西方数学中关于三角形内角和的概念. 综上,利玛窦在我国传教期间传人了我国西方三
角函数知识,他应是传人我国三角函数知识的第一人. 其介绍的三角函数知识有现代角度概念,三角函数概念,正余弦函数表及其应用等.这些内容虽然不是太多,但是却是系统的和明了的,易于学习和掌握.他介
绍的这些知识和他与李之藻共同创造的相关概念——正弦,余弦等应当后来西方传教士编写《崇祯历书》时全面传入我国西方三角函数知识的前期基础.
参考文献:
Eli昊文俊.中国数学史大系(第七卷)[M].北京:北京
师范大学出版社,2000.53.
[2]方豪.李我存研究[M].杭州:我存杂志社,1937.
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[责任编校钱骁勇]。