话说函数三种定义的利与弊

话说函数三种定义的利与弊

2009年第1期数学教育研究?l5?

话说函数三种定义的利与弊

陈秀峰(浙江省宁波市鄞州中学315101)

函数是一种特殊的关系,是数学的一个基本而又

重要的概念,在现代数学中,它几乎渗透到数学的各个

分支,怎样定义函数?根据数学发展的演变,一般有以

下三种:变量说,对应说(映射说),关系说.下面就这三

种定义,谈谈各自的利弊.

1函数变量说的利弊回顾

先回顾函数一词的起因.把函数(function)这个词

用作数学述语,最早是德国数学家莱布尼兹(Leibniz),

在他1673年的一篇手稿里,用函数一词表示一个随着

曲线上的点变动而变动的量,此词出现前,牛顿(New—ton)自1665年开始微积分的研究工作后,～直用流量(fluent)一词来表示变量间的关系.

早在1775年,欧拉(Euler)曾提出:”如果当某些变

量以这样一种方式依赖于另一变量,即当后面这些变

量变化时,前面这些变量也随之变化,那么前面的变量

称为后面变量的函数.”

由以上定义,逐渐演变为目前的函数的”变量说”.

它是这样定义的:”设X与是两个变量,如果当变量-z 在实数的某一范围中变化时,变量按一定的规律随z 的变化而变化,我们称z为自变量,Y为因变量,变量叫做变量z的函数,记作Y一厂().”

这样用一个变量随另一个变量的变化而变化的说

法有许多好处.首先,在日常生活中或生产实践中,各变量之间多半大致已经”天然地”建立了对应关系,因此,虽然变量说并未突出对应关系,却不致误会,例如, 要讨论正方形的面积Y和边长-z的关系,总是在同一个正方形中考虑面积值与边长值的对应.其次,从物理意义上看,例如,一厂(),反映了质点运动时路程随时间变化而变化的规律,”变量说”刻划得自然,形象,直观且通俗易懂.

但是,不能不看到,”变量说”有其缺陷的一面.

1.”变量说”对函数的实质——对应,缺少充分的

刻划,这是最致命的弊病.虽然其定义中也指出了自变量与因变量的概念,但未明确函数是z,y双方变化的一

个总体,而却把变量定义为z的函数,使学生思想

上先人为主,记住了函数就是y,这与函数是反映变量与变量之间的关系是相悖的.

究竟函数是指,,还是,(z),还是一,(z)?变量

说易于模糊三者的区别.我们说,只有厂才是函数,而,(z)仅是指函数,在的值,是一个数或是一个元素,

而y一厂(z)是借以确定,的方程,是一个式子.因此严格说来,一,(-z)不应读作Y是X的函数,而应读作Y是, 实施于z的结果.应该看到,人们常把对数函数写作logx而不写成log,认为log是没有意义的符号,必须写成logx才对,这是不妥的.当然,一旦掌握了厂,厂(),Y 一

厂(z)的区别后,在应用上为方便起见也准许有意识

的混同使用,但这与因概念不清而混用是两回事. 2.”变量说”强调的是两个变量及变量域——自变

量与因变量,定义域和值域,而对对应规律却轻描谈写,一笔带过.

由于忽略对应规律,单纯强调两个变量的相依关系——当z变化时,Y随之变化,则易误解为:Y—sinz +COSz=1不是函数;同样,由于忽视对应规律,单纯

强调定义域和值域,则易误解为:Y—sinx,Y—cosz是同一函数.

3.变量说把定义域和值域仅规定在实数范围内,

也是局限的.例如,一切三角形组成的集合与一切圆组成的集合,因为每个三角形对应于一个外接圆,这种对

应关系已不是”量”之间的关系.为此必须延伸函数的概念,把它扩展为”映射”,突出”对应”,不必强调量.

2函数对应说与函数变量说优劣比较

函数的”对应说”是这样定义的:”设A与B是两个

集合,如果按照某一确定的对应关系,对于集合A中每一

确定的元素z,总有集合B中一个确定的元素Y和它对应,那么这个对应关系就叫一个映射.当A,B为数集时,称为函数.”由此可见,”对应说”也就是”映射说”.目前这种定义,已越来越多地被一些教科书所采用.

首先,”对应说”较之”变量说”,虽然稍觉抽象,但

它却抓住了函数本质属性,突出了两个集合元素间的对应就是函数.在对应说中,函数可看作”暗箱”,例如, 上面提到的正方形面积与边长关系的例子,即Y—z, 输入z,输出z,于是”暗箱”相当于”平方机”的作用(如图).

输入———-.(j至[卜_+输出

其次,”变量说”是建立在变量的基础上,而”对应

说”是建立在集合的基础上.事实上,所谓”变量是指有量可度的量,如长度,距离,时间等.但是当某客体无量可度时怎么办?采用了”对应说”,则”变量说”中那种

把定义域,值域的变化范围——实数集,作为限制,就

自然消失了.因此,”对应说”远比”变量说”的定义普遍得多.只有这样,函数的定义才能适应各种不同的研究对象,使函数呈现出各种形态并被赋以专门的名称.例如在几何空间中有变换的概念;我们还可以把函数看作某空间的一个元素,建立函数集与函数集的对应,于是出现了”算子”的概念.

最后,”对应说”在处理复合函数与反函数问题上,

远比”变量说”方便且自然,对应说”明确是一种单值对应,这样就排除了多函数的概念,这是因为多值函数不存在逆,又不能进行四则运算,因而缺少研究价值的缘故.

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16?数学教育研究2009年第1期

3函数关系说的利弊分析

在定义关系的基础上,也可定义函数概念——把

函数关系看作一个特殊的关系.

设R是一个二元关系,如果还满足(z,Y)∈R, (zt,)ER,一定有y—Y2,则称R是函数关系.因

此,函数就是两个集合的关系,但两个集合的关系不一定是函数.例如:设X={1,2,3),Y一{4,5,6,7),令R

一

{(1,4),(1,6),(2,7),(3,5),(3,7)),这里对于X中