求二次函数解析式 综合题 练习+答案

求二次函数解析式：综合题

例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式．

分析：本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因

A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法．

如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有

∴x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．因此，有

ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2)

∴抛物线的解析式为

y=a(x-x1)(x-x2) (*)

(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)

我们将(*)称为抛物线的两根式．

对于本例利用两根式来解则更为方便．

解：∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)

∴设抛物线的解析式为

y＝a(x＋1)(x-1)

又∵抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1

∴函数解析式为y=-x2＋1．

说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：

①三项条件确定二次函数；

②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；

③二次函数的解析式有三种形式：

究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定．

例2 由右边图象写出二次函数的解析式．

分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点．

解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)．

设解析式为y=a(x＋1)2+2

∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为

y=-2(x+1)2+2，即y=-2x2-4x．

说明：已知顶点坐标可以设顶点式．

本题也可设成一般式y=ax2+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，

本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为

y=a(x+2)²x再将顶点坐标(1，2)代入求出a．

例3 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2．

分析：(1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2 解：

(1)设y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)

∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8

∴解析式y=2x2+4x-6

(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x 轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．

(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y 随x增大而减小

∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n

∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)

说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx＋c，得：

题(2)充分利用对称性可简化计算．

例4 已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．

分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点

A′(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，±2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法．

解法(一)：

∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，

∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．

故设二次函数式y=a(x＋1)2＋2

或y=a(x+1)2-2

又∵抛物线经过点A(-3，0)

∴0=a(-3＋1)2＋2或0=a(-3＋1)2-2

所求函数式是

解法(二)：

根据题意：设函数解析式为y=ax2＋bx＋c ∵点A(-3，0)在抛物线上

∴0=9a-3b＋c ①

又∵对称轴是x=-1

∵顶点M到x轴的距离为2

解由①，②，③组成的方程组：

∴所求函数的解析式是：

解法(三)：

∵抛物线的对称轴是x=-1

又∵图象经过点A(-3，0)

∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)

∴设函数式为y=a(x+3)(x-1)

把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得

2=a(-1＋3)(-1-1)或-2=a(-1＋3)(-1-1)

解关于a的方程，得

∴所求函数式为：

说明：比较以上三种解法，可以看出解法(一)和解法(三)比解法(二)简便．

M点到x轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是-2，不要漏掉一解．

例5 已知抛物线y=x2-6x＋m与x轴有两个不同的交点A 和B，以AB为直径作⊙C，

(1)求圆心C的坐标．

(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在⊙C上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

分析：(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点．

(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在⊙C上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于⊙C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断．

解：(1)∵y=x2-6x＋m=(x-3)2+m-9

∴抛物线的对称轴为直线x=3

∵抛物线与x轴交于A和B两点，且AB是⊙C的直径，由抛物线的对称性

∴圆心C的坐标为(3，0)

(2)∵抛物线与x轴有两个不同交点

∴△=(-b)2-4m＞0，∴m＜9

设A(x1，0)，B(x2，0)

∵抛物线的顶点为P(3，m-9)