粒子群与模拟退火的混合算法求解旅行商问题

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粒子群优化算法求解旅行商问题

粒子群优化算法求解旅行商问题黄　岚,王康平,周春光,庞　巍,董龙江,彭　利(吉林大学计算机科学与技术学院,长春130012)提要:首先介绍粒子群优化的搜索策略与基本算法,然后通过引入交换子和交换序的概念,构造一种特殊的粒子群优化算法,并用于求解旅行商问题.实验表明了在求解组合优化问题中的有效性.关键词:粒子群优化算法;旅行商问题;组合优化中图分类号:T P 31 文献标识码:A 文章编号:1671-5489(2003)04-0477-04收稿日期:2003-07-10.作者简介:黄　岚(1974～),女,博士研究生,讲师,从事智能算法与应用的研究,E -m ail:lanh @.联系人:周春光(1947～),男,教授,博士生导师,从事计算智能的研究,E -mail :cgzh ou @mail .jlu .edu .cn .基金项目:国家自然科学基金(批准号:60175024)和教育部“符号计算与知识工程”重点实验室基金.粒子群优化算法(Particle swarm optim izatio n,简称PSO)最初由Kennedy 和Eberhart [1]提出,是一种基于叠代的优化方法,因其概念简单、实现容易,而引起学术界的广泛重视.目前已被应用于多目标优化、模式识别、信号处理和决策支持等领域[2～4].旅行商问题(Traveling salesman problem,简称T SP)描述为:给定n 个城市和两两城市之间的距离,求一条访问各城市一次且仅一次的最短路线.T SP 是著名的组合优化问题,是NP 难题,常被用来验证智能启发式算法的有效性[5,6].目前,PSO 算法在很多连续优化问题中得到成功应用,而在离散域上的研究和应用还很少,尤其是用PSO 求解TSP 问题是一个新的研究方向.1　基本粒子群算法在PSO 算法中,粒子群在一个n 维空间中搜索,其中的每个粒子所处的位置都表示问题的一个解.粒子通过不断调整自己的位置X 来搜索新解.每个粒子都能记住自己搜索到的最好解,记作P id ,以及整个粒子群经历过的最好位置,即目前搜索到的最优解,记作P g d .每个粒子都有一个速度,记作V ,V ′id =X V id +G 1rand()(P id -X id )+G 2rand()(P gd -X id ),(1.1)其中V id 表示第i 个粒子第d 维上的速度,X 为惯性权重,G 1,G 2为调节P id 和P gd 相对重要性的参数,rand()为随机数生成函数.这样,可以得到粒子移动的下一位置:X ′id =X id +V id .(1.2)从(1.1)式和(1.2)式可以看出,粒子的移动方向由三部分决定,自己原有的速度V id 、与自己最佳经历的距离(P id -X id )和与群体最佳经历的距离(P g d -X id ),并分别由权重系数X ,G 1和G 2决定其相对重要性.PSO 的基本算法步骤描述如下:(1)初始化粒子群,即随机设定各粒子的初始位置X 和初始速度V ;(2)计算每个粒子的适应度值;(3)对每个粒子,比较它的适应度值和它经历过的最好位置P id 的适应度值,如果更好,更新P id ;(4)对每个粒子,比较它的适应度值和群体所经历最好位置P gd 的适应度值,如果更好,更新P gd ;(5)根据(1.1)式和(1.2)式调整粒子的速度和位置;(6)如果达到结束条件(足够好的位置或最大迭代次数),则结束;否则转步骤(2).Vol.41 吉林大学学报(理学版) No.4　2003年10月 JOU RNAL OF JILIN UNIVERSIT Y (SCIENC E EDITION)477～480　PSO 是一种进化计算方法,它有以下几个进化计算的典型特征:有一个初始化过程,在这个过程中,群体中的个体被赋值为一些随机产生的初始解;通过产生更好的新一代群体来搜索解空间;新一代群体产生在前一代的基础上.2　旅行商问题TSP 是运筹学、图论和组合优化中的NP 难题,常被用来验证智能启发式算法的有效性.主要的智能启发式算法包括最近邻域搜索、模拟退火、神经网络方法、遗传算法和蚂蚁算法等.旅行商问题描述如下:给定n 个城市及两两城市之间的距离,求一条经过各城市一次且仅一次的最短路线.其图论描述为:给定图G =(V ,A ),其中V 为顶点集,A 为各顶点相互连接组成的弧集,已知各顶点间连接距离,要求确定一条长度最短的Hamilton 回路,即遍历所有顶点一次且仅一次的最短回路.设d ij 为城市i 与j 之间的距离,即弧(i ,j )的长度.引入决策变量:x ij =1,若旅行商访问城市i 后访问城市j ;0,否则,(2.1)则T SP 的目标函数为min Z =∑n i ,j =1x ij d ij .(2.2) T SP 问题描述非常简单,但最优化求解很困难,若用穷举法搜索,则要考虑所有可能情况,并两两对比,找出最优,其算法复杂性呈指数增长,即所谓的“组合爆炸”.所以,寻求和研究T SP 的有效启发式算法,是问题的关键.PSO 算法虽然成功地应用于连续优化问题中,但在组合优化问题中的研究和应用还很少.下面将通过引入交换子和交换序的概念,对基本PSO 算法进行改造,并将其应用于求解T SP 问题中.3　交换子和交换序定义3.1　设n 个节点的T SP 问题的解序列为S =(a i ),i =1,…,n .定义交换子SO(i 1,i 2)为交换解S 中的点a i 1和a i 2,则S ′=S +SO(i 1,i 2)为解S 经算子SO(i 1,i 2)操作后的新解,这里为符号“+”赋予了新的含义.例3.1　有一个5节点的T SP 问题,其解为S =(13524),交换算子为SO(1,2),则S ′=S +SO(1,2)=(13524)+SO(1,2)=(31524). 定义3.2　一个或多个交换子的有序队列就是交换序,记作SS.SS =(SO 1,SO 2,…,SO n ),(3.1)其中SO 1,SO 2,…,SO n 是交换子,它们之间的顺序是有意义的.交换序作用于一个TSP 解上意味着这个交换序中的所有交换子依次作用于该解上,即S ′=S +SS =S +(SO 1,SO 2,…,SO n )=[(S +SO 1)+SO 2]+…+SO n .(3.2) 定义3.3　不同的交换序作用于同一解上可能产生相同的新解,所有有相同效果的交换序的集合称为交换序的等价集.定义3.4　若干个交换序可以合并成一个新的交换序,定义Ý为两个交换序的合并算子.例3.2　设两个交换序SS 1和SS 2,按先后顺序作用于解S 上,得到新解S ′.假设另外有一个交换序SS ′作用于同一解S 上,能够得到相同的解S ′,可定义SS ′=SS 1ÝSS 2,(3.3)SS ′和SS 1ÝSS 2属于同一等价集.一般来说,SS ′不惟一.定义3.5　在交换序等价集中,拥有最少交换子的交换序称为该等价集的基本交换序.可按如下的方法构造一个基本交换序.设给定两个解路径A 和B ,需要构造一个基本交换序SS,使得B +SS =A .A :(12345); B:(23154).478 吉林大学学报(理学版)V ol.41　可以看出,A (1)=B (3)=1,所以第一个交换子是SO (1,3),B 1=B +SO (1,3),得到B 1:(13254),A (2)=B 1(3)=1,所以第二个交换子是SO (2,3),B 2=B 1+SO (2,3),得到B 2:(12354).同理,第三个交换子是SO(4,5),B 3=B 2+SO(4,5)=A .这样,就得到一个基本交换序:SS =A -B =(SO(1,3),SO(2,3),SO(4,5)).4　求解TSP 的PSO 算法基本PSO 算法中的速度算式(1.1)已不适合T SP 问题,于是重新构造了速度算式:V ′id =V id ÝA (P id -X id )ÝB (P gd -X id ),(4.1)其中A ,B (A ,B ∈[0,1])为随机数.A (P id -X id )表示基本交换序(P id -X id )中的所有交换子以概率A 保留;同理,B (P g d -X id )表示基本交换序(P gd -X id )中的所有交换子以概率B 保留.由此可以看出,A 的值越大,(P id -X id )保留的交换子就越多,P id 的影响就越大;同理,B 的值越大,(P gd -X id )保留的交换子就越多,P g d 的影响就越大.求解T SP 的PSO 算法步骤描述如下:(1)初始化粒子群,即给群体中的每个粒子赋一个随机的初始解和一个随机的交换序;(2)如果满足结束条件,转步骤(5);(3)根据粒子当前位置X id ,计算其下一个位置X ′id ,即新解;1)计算P id 和X id 之间的差A ,A =P id -X id ,其中A 是一个基本交换序,表示A 作用于X id 得到P id ;2)计算B =P gd -X id ,其中B 也是一基本交换序;3)根据(4.1)式计算速度V ′id ,并将交换序V ′id 转换为一个基本交换序;4)计算搜索到的新解X ′id =X id +V id ;(4.2) 5)如果找到一个更好的解,则更新P id ;(4)如果整个群体找到一个更好的解,更新P g d .转步骤(2).(5)显示求出的结果值.5　实验与结论我们用14个点的T SP 标准问题(问题来源及最好解见http ://w ww .crpc .rice .edu /softlib /tsplib /)来验证算法的有效性.实验环境为PC (PentiumIV -2GHz CPU ,256M RAM ,Win 2000OS ,VC++6.0).14点T SP 的问题描述列于表1,初始的随机解与本算法获得的最好解如图1所示,算法性能分析列于表2.Table 1　TSP with 14nodesN ode1234567891011121314Co or dinate X16.4716.4720.0922.3925.2322.0020.4717.2016.3014.0516.5321.5219.4120.09Coo rdinate Y 96.1094.4492.5493.3797.2496.0597.0296.2997.3898.1297.3895.5997.1394.55Table 2　Analyses of the algorithm performanceSize of so lutio n space(14-1)!/2=3113510400N um ber of par ticles in t he sw ar m100A ver age number o f iter atio ns20000A ver age size o f sear ch space20000*100=2000000Search space /solutio n space2000000/3113510400=0.064%Best so lution of the alg or ithm1→10→9→11→8→13→7→12→6→5→4→3→14→2L eng th 30.8785(Equal to the best know n r esult in the w or ld) 从实验结果可以看出,算法只搜索了一个很小的区域就得到了一个已知最好的解,收敛速度很快,这表明算法有效.我们实验所采用的虽然是只有14个点TSP 算例,并且算法比目前解决TSP 问题的经典算法479　N o.4　黄　岚等:粒子群优化算法求解旅行商问题 (如Lin -Ker nig han [7]算法)在解决问题的能力和速度方面有一定的差距,但应用PSO 算法解决T SP 问题是一种崭新的尝试.Fig .1　The solution paths of TSP with 14nodes参考文献[1]　Eber har t R,K ennedy J.A N ew O pt imizer U sing Par ticles Sw ar m T heor y [C].P ro c Sixt h Inter natio nal Sy mpo -sium on M icr o M a chine and Human Science.N ag oya ,Japa n:IEEE Serv ice Cent er,Piscataw ay ,1995.39～43.[2]　Xie X ,Z ha ng W ,Y ang Z .Adaptiv e P art icle Sw arm O pt imization on Indiv idua l L evel [C ].I nt ernatio nal Confer -ence o n Signal Pr ocessing (ICSP 2002).Beijing :2002.1215～1218.[3]　Par sopoulos K E,V rahat is M N.R ecent A ppr oaches to Global Optimiza tio n P ro blems T hr oug h Par ticle Swar mOptimizatio n [J].N atur al Comp uting ,2002,1(2～3):235～306.[4]　Ray T ,L iew K M .A Sw ar m M etaphor for M ultio bjectiv e Desig n Optimiza tio n [J ].Eng ineer ing Op timiz ation ,2002,34(2):141～153.[5]　Zhou Chun-g uang(周春光),Liang Y an-chun(梁艳春).Computational Intellig ence(计算智能)[M ].Cha ng chun(长春):Jinlin U niver sity Pr ess(吉林大学出版社),2001.269～277.[6]　Huang L an (黄　岚),W ang Kang -ping (王康平),Z ho u Chun -guang (周春光),et al .Hybr id A nt Colo ny A lgo -rithm for T r aveling Salesm an Pr oblem(基于蚂蚁算法的混合方法求解旅行商问题)[J].J ournal of J ilin U niv er sity (S cience Ed ition )[吉林大学学报(理学版)],2002,40(4):369～373.[7]　L in S ,K ernig han B W .A n Effectiv e Heur istic A lg or ithm for the T r aveling Salesman Pr oblem [J ].Op er ationsRes ,1973,21:498～516.Particle Swarm Optimization for Traveling Salesman Problems HU ANG Lan,WANG Kang-ping ,ZHOU Chun-guang,PANG W ei,DONG Long-jiang ,PENG Li(College of Comp uter S cience and T echnology ,J ilin U niver sity ,Changchun 130012,China )Abstract :This paper intr oduces the basic alg orithm and search strateg ies of particle sw ar m o ptimiza-tio n (PSO ),via presenting the concepts of sw ap operato r and sw ap sequence an alg orithm of a kind of special particle swar m o ptimization is constructed and then pro poses its application to trav eling sales-man problem s(T SP).T he ex periments show the new PSO can achieve g ood results.Keywords :particle sw arm optim ization;traveling salesm an pr oblem ;combinatorial optimization(责任编辑:赵立芹)480 吉林大学学报(理学版)V ol.41　。

模拟退火与蚁群混合并行算法解旅行商问题

模拟退火与蚁群混合并行算法解旅行商问题
许智宏，宋勃，郭艳艳
（河北工业大学计算机科学与软件学院，天津３００）０４１
摘要求解ＴＰ问的智能优化算法主要包括蚁群算法和模拟退火算法等，这些算法求解ＴＰ问题的速度比传Ｓ题Ｓ统的精确求解算法有很大改进，但在问题的求解空间逐渐增加时，串行执行速度往往还是无法满足人们的需求．针对此问题，研究了蚁群算法、模拟退火算法以及两者的混合算法的并行实现方法，建立了ＰＣ机群实验平台，基于ＭＰＩ环境对蚁群算法、模拟退火算法以及混合算法的并行算法进行了测试．根据理论研究和实际测试的结
ＡｂｔａｔＴｅｉｔｌｇｎｐｉｉａｉｎａｇｒｈｒｏｖｎＳｉｌｃｕｅｎｏｏｙａｇｒｔｍｎｉｌｔｄａ－ｓｒｃｈｅｌｅｔｔｚｔｌｏｔｍｓｏｌｉｇＴＰｍａｎｙｉｌｄｔｌｎｌｏｉｎｉｏｍｏｉｆｓｎａｃｈａｄｓｍｕａｅｎｎａｉｇｔ．Ｔｈｓｌｏｉｍｓａｅｓｎｆａｔｄａｔｇｓｎｎｆｓｅａａｉｏａｘｃｌｏｔｍｓｅｌ，ｅｃｎｅｅｇｒｔａｈｖｉｉｃｎｖｎａｅｄｒｔｒｈｎｔｄｔｎｌａｔｇｒｈ．Ｂｕ，ｔｅｓｅｄｈｇｉａａｕａｔｒｉｅａｉｔｈｐｅｉｏｅｏｓｂｅｔｅｅｐｅｅｄａｈｃｌｆＰｉｃｅｓｒｄａｌ．Ｆｒｔｅｐｏｌｍ，ｔｉａｅｉｃｓｅｓｆｎｉｔｍｐｓｉｌｍｅｔｏｌ ’ ｎｅｓｅｓａｅｏｏｐＳｔＴＳｒａｅｇａｕｌｎｙｏｒｂｅｈｈｓｐｒｄｓｕｓｄｐｈａａｌｈｄｔｅｐｒｌｌｔｏｓｏｉｌｍｅｔｈｎｏｏｙａｇｒｈｅｍｅｔｍｐｅｎｅａｔｌｎｌｏｔｍ，ｔｅｉｌｔｄａｎａｉｇａｄｔｅｈｂｄａｇｒｔ，ｅｔｂｉｈｄｔｃｉｈｍｕａｅｅｌｎｙｒｌｏｉｓｎｎｈｉｍｈｓａｌｅｓａｃｕｔｒｏＣｓｓｓｅｌｓｅｆＰｙｔｍ，ａｄｔｓｅｅｐａｌｌｌｏｉｓｉＰ．Ｂａｅｎｔｅｔｅｒｔｎｒｃｉａｔｄ，ｔｅｐｒｎｔｄｔａｌｇｒｔｅｈｒｅａｍｈＭＩｎｓｄｏｏｅｉａｄｐａｔｌｕｙｈｅ－ｈｈｃｃｓｆｒｎｃｉｅｅｃｓｂｔｅａａｌｌｌｏｔｍｓａｄｔａｉｏａｌｏｉｍｓｒｎｌｚｄｈｅｆａｉｉｔｆｒｃｅｉｇｏｍａｅｄｆｒｎｅｅｗｅｎｐｒｌｇｒｈｄｔｎｌｇｒｔｅａｉｎｒｉａｈｅａａｙｅ，ｔｅｓｌｙｏｐｏｅｄｎｗｅｂｉｐｒｌｌｌｏｉｏｖＰｉｌｓｅｆＣｓｓｉｕｓｄａｄｓｍｅａａｌｇｒｈｔｓｌｅＴＳｃｕｔｒＰｓｓｅｎｅａｔｍｏｎｏｗａｄｃｏａｉｇｕｏｃｕｉｎｂｕａａｌｌｆｃｅｃｍｅｎｎｆｌｎｌｓｏｓｏｔｒｌｉｉｎｙｃａｐｅｅｗｅｅａｈｅｅ．ｒｃｉｖｄＫｅｒｓＴＰｉｌｔｄａｅｌｇａｇｒｈ；ａｔｏｏｙａｇｒｔ；ｈｂｄａｇｒｔｍ；ｐｒｌｌｏｕｉｇｙｗｏｄＳ；ｓｍｕａｅｎａｉｌｏｔｍｎｉｎｌｎｌｏｈｃｉｍｙｒｌｏｉｉｈａａｌｍｐｔｅｃｎ

基于粒子群算法的旅行商问题优化研究

基于粒子群算法的旅行商问题优化研究旅行商问题是指在给定城市之间的距离和一个出发城市时，寻找一条路径，使得从出发城市出发，途经其它所有城市一次后回到出发城市的总距离最短。

对于大规模问题而言，寻找最优解十分困难，因此，本文将探讨一种基于粒子群算法的旅行商问题优化研究。

粒子群算法是基于社会行为的一种优化算法，通过模拟鸟群或鱼群等群体的行为，实现问题解的优化。

该算法为启发式算法的一种，能够在复杂问题中高效寻找最优解，尤其适用于涉及到无序的问题。

在旅行商问题中，我们将旅行商的路径看作是一个个体解，而整体群体即为一组路径集合。

首先，我们随机生成一组个体解，即随机生成一组路径。

每个个体解都可以表示为一个包含所有城市的排列，其中每个城市只出现一次。

接下来，我们需要定义适应度函数，以评估每个个体解的优劣程度。

在旅行商问题中，适应度函数为路径的总距离。

因此，适应度越高，路径越短，个体解越优。

在粒子群算法中，每个个体解会根据自身和群体的经验进行调整。

具体而言，每个个体解会将自身的最优解与群体的最优解进行比较，然后以一定的概率选择更新自己的路径。

粒子群算法中的粒子会保留自身历史最佳路径（个体最优解）和群体历史最佳路径（全局最优解）。

每个粒子将通过学习自身和周围粒子的经验来调整自身的路径。

通过迭代优化，最终得到最优解。

在实际应用中，粒子群算法的效果与参数设置紧密相关。

例如，群体规模、粒子的速度和加速度因子等参数的选择对最终结果的影响很大。

除了基本的粒子群算法，还有一些改进的算法可用于解决旅行商问题。

例如，自适应粒子群算法、混合粒子群算法等。

这些改进算法通常通过调整算法的参数或引入新的算法策略来提高求解效果。

总结起来，基于粒子群算法的旅行商问题优化研究可以通过模拟鸟群或鱼群等群体的行为，通过定义适应度函数和调整个体解的路径来求解最优路径。

通过适当设置算法的参数以及使用改进的粒子群算法，可以在旅行商问题中得到更优解。

然而，粒子群算法虽然在解决旅行商问题等优化问题中取得了一定的效果，但其仍存在一些缺点。

混合遗传粒子群算法求解旅行商问题

混合遗传粒子群算法求解旅行商问题旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是指给定一系列城市和每对城市之间的距离，求解出访问每个城市一次并回到起始城市的最短路径。

这一问题在组合优化领域被广泛研究，是一个NP-hard问题，因此需要借助优化算法来求解。

一个常用的优化算法是粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO），它模拟了鸟群觅食行为的过程，通过迭代更新粒子的位置和速度来搜索全局最优解。

然而，传统的PSO算法在解决TSP问题上存在一些问题，比如易陷入局部最优、搜索空间过大等。

为了克服传统PSO算法的缺点，近年来研究者们提出了混合遗传粒子群算法（HPSO），它将遗传算法的操作引入到PSO算法中，以增加搜索的多样性和全局搜索能力。

混合遗传粒子群算法的基本流程如下：1. 初始化粒子群的位置和速度，其中每个粒子代表一种解决方案，即一个可能的路径。

2. 根据每个粒子的适应度值（路径的总长度），更新个体最优位置和全局最优位置。

3. 更新粒子的速度和位置，利用粒子自身的经验和群体的信息进行搜索。

4. 判断终止条件，如达到最大迭代次数或找到满足要求的最优解。

5. 输出全局最优解。

混合遗传粒子群算法将PSO算法中的速度更新和位置更新与遗传算法中的交叉和变异操作相结合，通过交叉和变异来增加种群的多样性，避免陷入局部最优。

同时，通过PSO算法来利用群体信息，加速搜索过程。

在求解TSP问题中，混合遗传粒子群算法可以在较短的时间内找到接近最优的解，有效地减少了搜索空间，提高了求解效率。

然而，对于大规模TSP问题，仍然存在一定的局限性。

混合遗传粒子群算法是一种有效的求解旅行商问题的优化算法，它结合了粒子群算法和遗传算法的优点，能够在较短时间内找到较好的解。

但对于更大规模的问题，仍需要进一步的改进和优化。

用粒子群优化算法求解旅行商问题综述

【ｙｗｏｄ】ｒｖｌｇＳｅｍａｒｂｅｆｓ）ＰｒｅｅＳａｍＯｔｚｔｎ（Ｓ）ＫｅｒｓＴａｅｉａｓｎＰｏｌｎｌｍＰ；ａｔｌｗｒｐｉａｉＰＯｉｍｉｏ
王文峰等，重新定义了ＰＯ的速度和位置公式的基础上，在Ｓ１引言．收建结旅行商问题（ｒｖｌｇＳｅｍｎＰｏｌｍ，Ｓ是一个经典的组合针对易早熟，敛慢酌缺陷，立局部极小区域的扰动机制，合局部ＴａｅｉａｓａｒｂｅＴＰ）ｎｔＳＣ，ＤＳ优化问题。经典ＴＰ可以描述为：个商品推销员要去若干个城市推搜索算法ＰＥ提出了一种混合离散粒子群算法ＨＰＯ结合生物Ｓ一销商品，推销员从一个城市出发，要经过所有城市后，到出发界中物种在生存密度过大时个体会自动分散迁徙的特性和局部搜索该需回ＳＣ地。应如何选择行进路线，使总的行程最短。从图论的角度来看，以该算法（Ｅ）后，提出了一种新的自逃逸混合离散粒子群算法ＳＨＰＯ。问题实质是在一个带权完全无向图中，一个权值最小的Ｈｍｉｏ找ａｌｎ回（ＥＤＳ）ｔ３．合粒子群算法高尚等【结合遗传算法、群算法和模拟２混ｌ圳蚁路。问题的可行解是所有顶点的全排列，着顶点数的增加，产生该随会

用模拟退火算法解决TSP问题

用模拟退火算法解决TSP问题旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是指一个旅行商要在不重复地经过全部的指定城市之后回到起点，所需要走的最短路径长度是多少。

由于TSP问题具有NP难度，因此传统的精确算法要花费大量的计算资源，得到的结果往往也只能是近似最优解。

而模拟退火算法是一种集合随机性和概率思想的启发式方法，可以快速地在解空间中搜索到一个较优的解。

一、模拟退火算法的原理及过程模拟退火算法是一种以概率为基础的全局优化算法，它的基本思想是利用随机性来逃离局部最优解，让搜索过程在解空间中跳跃，最终逐渐接近全局最优解。

模拟退火算法的过程可以分为三个阶段：初始化阶段、搜索阶段和收敛阶段。

初始化阶段：首先需要对问题进行建模，将问题转化为算法可处理的形式。

在TSP问题中，需要建立一个城市间距离矩阵。

然后随机生成一个初始解，通常是一个随机序列，表示旅行商经过城市的顺序。

搜索阶段：对生成的初始解进行扰动，得到一个新的解，并计算新解的目标函数值。

如果新解比原解更优，则直接接受该解。

如果新解比原解更劣，则有一定的概率接受该解，概率随着时间的推移逐渐降低。

收敛阶段：在搜索过程中，随着温度的不断下降，概率接受劣解的概率越来越小，这时算法逐渐收敛到一个局部最优解，也可能是全局最优解。

二、TSP问题的建模及求解TSP问题可以建立一张城市距离矩阵，然后用随机序列来表示旅行商经过城市的顺序。

目标函数可以定义为旅行商经过所有城市的总路径长度。

假设有n个城市，城市之间的距离矩阵为D，表示第i个城市和第j个城市之间的距离。

而旅行商经过城市的顺序可以用一个长度为n的序列{1,2,...,n}来表示，表示旅行商先经过第1个城市，然后是第2个城市，一直到第n个城市，然后再回到原点。

设目前的解序列为s={s1,s2,...,sn}，则其总路径长度为：L(s) = ∑i=1n D(si,si+1) + D(sn,1)其中D(si,si+1)表示城市si和si+1之间的距离，D(sn,1)表示最后回到起点的距离。

旅行商问题——模拟退火算法实现

旅⾏商问题——模拟退⽕算法实现1.问题描述旅⾏商问题（Travelling Salesman Problem, 简记TSP，亦称货郎担问题)：设有n个城市和距离矩阵D=[d ij]，其中d ij表⽰城市i到城市j的距离（i，j=1，2 … n），则问题是要找出遍访每个城市恰好⼀次的⼀条回路并使其路径长度为最短。

2.算法设计对原问题进⾏分析，TSP的⼀个解可表述为⼀个循环排列：Π= (Π1，Π2，Π3… Πn），即Π1→Π2→ … →Πn→Π1有（n-1）！/2 种不同⽅案，若使⽤穷举法，当n很⼤时计算量是不可接受的。

旅⾏商问题综合了⼀⼤类组合优化问题的典型特征，属于NP 难题，不能在多项式时间内进⾏检验。

若使⽤动态规划的⽅法时间复杂性和空间复杂性都保持为n的指数函数。

本次实验利⽤模拟退⽕算法（Simulated Annealing）求解TSP问题。

模拟退⽕算法最早由N.Metropolis等⼈于1953年提出，基于物理中固体物质的退⽕过程与⼀般组合优化问题之间的相似性。

该算法从某⼀较⾼初温出发，伴随温度参数的不断下降，结合概率突跳特性在解空间随机寻找全局最优解。

退⽕是将固体加热到⾜够⾼的温度，使分⼦呈随机排列态，然后逐步降温冷却，最后分⼦以低能状态排列，得到稳定状态的固体。

退⽕的过程有：（1）加温过程：增强粒⼦运动，消除系统原本可能存在的⾮均匀态；（2）等温过程：对于与环境换热⽽温度不变的封闭系统，系统状态的⾃发变化总是朝向⾃由能减少的⽅向进⾏，当⾃由能达到最⼩时，系统平衡；（3）冷却过程：使粒⼦热运动减弱并逐渐趋于有序，系统能量逐渐下降，从⽽得到低能的晶体结构。

其中，固体在恒温下达到热平衡的过程采⽤Metropolis⽅法进⾏模拟：温度恒定为T时，当前状态i转为新状态j，如果j状态的能量⼩于i，则接受状态j为当前状态；否则，如果概率p=exp{-(E j-E i)/(k*T)}⼤于[0,1)区间的随机数，则仍接受状态j为当前状态；若不成⽴则保留状态i为当前状态。

计算智能课程设计-粒子群优化算法求解旅行商问题-Matlab实现

摘要：TSP 是一个典型的NPC 问题。

本文首先介绍旅行商问题和粒子群优化算法的基本概念。

然后构造一种基于交换子和交换序[1]概念的粒子群优化算法，通过控制学习因子1c 和2c 、最大速度max V ，尝试求解旅行商问题。

本文以中国31个省会城市为例，通过MATLAB 编程实施对旅行商问题的求解,得到了一定优化程度的路径，是粒子群优化算法在TSP 问题中运用的一次大胆尝试。

关键字：TSP 问题；粒子群优化算法；MATLAB ；中国31个城市TSP 。

粒子群优化算法求解旅行商问题1.引言1.旅行商问题的概述旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem）又译为旅行推销员问题货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。

假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。

路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

TSP问题是一个组合优化问题，其描述非常简单，但最优化求解非常困难，若用穷举法搜索，对N个城市需要考虑N！种情况并两两对比，找出最优，其算法复杂性呈指数增长，即所谓“指数爆炸”。

所以，寻求和研究TSP问题的有效启发式算法，是问题的关键。

2.粒子群优化算法的概述粒子群优化算法(Particle Swarm optimization,PSO)又翻译为粒子群算法、微粒群算法、或微粒群优化算法。

是通过模拟鸟群觅食行为而发展起来的一种基于群体协作的随机搜索算法。

通常认为它是群集智能(Swarm intelligence, SI)的一种。

它可以被纳入多主体优化系统 (Multiagent Optimization System, MAOS). 粒子群优化算法是由Eberhart博士和Kennedy 博士发明。

PSO模拟鸟群的捕食行为。

一群鸟在随机搜索食物，在这个区域里只有一块食物。

所有的鸟都不知道食物在那里。

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粒子群与模拟退火的混合算法求解旅行商问题
旅行商问题 (Traveling Salesman Problem,TSP) 是一种经典的组合优化问题，通常用于模拟旅行者在指定区域内旅行并完成销售任务。

该问题要求找到一个最短路径，以访问给定区域内的所有城市。

粒子群算法 (Particle Swarm Optimization,PSO) 是一种基于
群体智能的优化算法，通常用于求解复杂问题。

模拟退火算法(Simulated Annealing,SA) 是一种基于物理学退火思想的优化算法。

这两种算法都有其优点和局限性，因此将两者结合起来，可以更好地解决 TSP 问题。

在 TSP 问题中，我们需要选择一个最短的路径来完成旅行。

PSO 算法通过优化粒子的质量和方向来寻找最优解，而 SA 算法通过模拟物理学中的退火过程来逐渐加热系统，从而逐渐找到最优解。

因此，将 PSO 算法和 SA 算法结合起来，可以更好地解决 TSP 问题。

具体来说，我们可以将 TSP 问题表示为一个无向图，其中每个
城市表示为一个节点，每条路径表示为一个边。

然后，我们使用 PSO 算法来选择每个粒子的路径，同时使用 SA 算法来逐渐加热系统，直到找到最优解。

在 PSO 算法中，我们可以使用粒子的初始质量和智
慧度来控制粒子的运动方向和速度。

在 SA 算法中，我们可以使用一个温度参数来控制系统的演化过程。

通过将 PSO 算法和 SA 算法结合起来，我们可以更好地解决TSP 问题，并得到更好的优化结果。