B1-4.2换元积分法(第2类换元法)

(
)
• 原变量回代 所谓原变量回代就是从代换函数 x =( t ),t It 解
出相应的反函数并代入求得的积分结果中。
对三角代换，可通过辅助三角形确定相应反函数。 本例，由代换 x = ( t )= asin t，可作出辅助三角形：
由此写出相应反函数及相关三角函数。 t = ( x ) = arcsin x , a a cos t = a 2 − x 2 .
由复合函数微分关系式逆转可得积分关系式
f ( x)d x
x = ( t )
f ( t ) ( t ) d t .
将此关系式看成是积分转换式，其意义可理解为： 若右端积分∫ f[( t )] ( t )d t 易于积出，则可由其求出左端的
积分 ∫ f( x )d x .
此时有

=a
x 2 − a 2 d x = tan t a sec t tan t d t = a tan 2 t d t sec t x
= a ( sec 2 t − 1 ) d t = a ( tan t − t ) + C 1
x 2 − a 2 - a arccos a + C 1 . x
例. 求
), , 解: 令 x = a tan t , t ( − 则 2 2
x 2 + a 2 = a 2 tan 2 t + a 2 = a sec t
dx = a sec t d t a sec 2 t d t = sec t d t ∴ 原式 = a sec t = ln sec t + tan t + C1
−1 (t = + (C t )] )d t( tx=) −1 ( x ) t= [ft[]
• 对换元过程的理解
第二换元法可理解为，若积分∫ f( x )d x 难以积出, 可考虑根据 f( x )具体情况选择适当代换 x = ( t )使积
分转化为形如 ∫ f[( t )] ( t )d t 的积分考察。
x = a sec t x
a
t
当 x < a 时，对应有 t ( /2 , )，此时 tan t < 0 ， 此时有
x2 − a2 = x a sec 2 t − a 2 = tan t = − tan t . a sec t sec t sec t

x 2 − a 2 d x = − tan t a sec t tan t d t sec t x
2 a 1 a sin ta cos t + C 2 2 a − x d x = t + 2 2 2 a = arcsin x + 1 x a 2 − x 2 + C . 2 a 2
a
t
a2 − x2
x
此例代换可用于求如下形式的无理式的积分：
R( x,
a 2 − x 2 )d x .
例：求积分
dx , (a 0) . 2 2 x +a 对于无理函数的积分常需考虑

通过代换将其转化为有理函数进行积分。 对本例，为去掉二次根号，应设法将根
号内部分化为完全平方。
由被积式根号内形式联想到恒等式： 1 + tan 2 t = sec 2 t ，( 2k - /2 < t < 2k + /2 )； 故可考虑根据这种函数关系设置相应代换 x = ( t )= a tan t 以去掉二次根。
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
(1)
( 2)


f ( x , n ax + b ) d x , 令 t = n a x + b
a x +b n , c x+d
f (x
) dx ,
令 t=
n a x +b c x+d
第 四 节 讲
(3) ( 4) ( 5)
f ( x , a 2 − x 2 ) d x , 令 x = a sin t 或 x = a cos t f ( x , a 2 + x 2 ) d x , 令 x = a tan t f ( x , x 2 − a 2 ) d x , 令 x = a sec t
换函数的反函数存在，从可通过原变量回代求出给定 积分∫ f( x )d x ，即
( t ) dt f ( ) t f ( x )d x =
t = ( x )
.
(2) 第二换元法的应用 从应用角度讲，用第二换元法计算不定积分主要考 虑两个问题：
• 代换函数及相应代换区间 x =( t ), t I 的选择；
若该积分易于积出，即可求得函数 ( t )，使得 ∫ f[( t )] ( t )d t = ( t )+ C， 则可通过相应的逆代换 t = ( x ) 求出原积分，即有 f ( x ) d x = f ( t ) ( t ) d t = ( t ) + C = ( x ) + C .
x 2 − a 2 = a 2 sec 2 t − a 2 = a tan t dx = a sec t tan t d t
a sec t tan t d t = sec t d t ∴ 原式 = a tan t = ln sec t + tan t + C1
x = ln a +
t
x2 − a2
x2 − a2 + C 1 a
(C = C1 − ln a )
当 x − a 时 , 令 x = − u , 则 u a , 于是
= − du u2 − a2
= − ln u + u 2 − a 2 + C1
= − ln − x + x 2 − a 2 + C1
= − ln a2 − x − x2 − a2 + C1
由分项积分法只能求出由基本积分表上的
简单函数的和差所构成的函数的积分，而对于
其它的函数形式，如由这些简单函数乘积或复 合构成的函数的积分，分项积分法就显得无能
为力了。因此必需进一步研究积分的方法。
换元积分法是由复合函数微分运算法则导 出的积分法则，它是积分运算中应用得最多，
解决问题最多，也是最灵活的积分方法。
从运算角度看，第二换元法的换元过程实际可分
为三个步骤： ∫ f ( x )d x
x = ( t )
选择适当代换及代换区间作代换 x = ( t ),t I 计算积分求出原函数
f ( t ) ( t ) d t
= (t ) + C
= ( x ) + C .
.
定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 , 则有换元公式
其中 t = −1 ( x ) 是 x = (t ) 的反函数 .
证: 设 f [ (t )] (t ) 的原函数为 (t ) , 令 则


(t ) = f [ (t )] (t ) F ( x ) = [ −1 ( x ) ] d dt 1 F ( x ) = = f [ (t )] (t ) = f ( x) d t dx (t ) f ( x ) dx = F ( x ) + C = [ −1 ( x )] + C
(6)

f (a x ) dx , 令 t = a x
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒数代换 2. 常用基本积分公式的补充
例. 求
a −x dx . 例. 求 4 x 1 解: 令x = t ,则
原式ห้องสมุดไป่ตู้=
2
2
a2 −
1 t4
1 t2
1 −1 2 2 2 d t = − ( a t − 1) 2 t d t t
计算代换函数反函数 t = ( x ) 并回代
• 对换元条件的理解 第二换元法实际求出的是积分 ∫ f[( t )] ( t )d t = ( t )+ C . 换元条件要求代换函数 x = ( t )在某区间 I t 内是
单调可导的函数，且 ( t ) 0，其意义就在于保证代
y
x = a sec t

−π
x2 − a2 dx x
a
−π 2
x (−, − a ) (a, + )
O
−a
π 2
π
x
用第二换元法去根号 • 选择代换形式及代换区间 令：x = ( t )= a sec t，t 0 , π 则 d x = d( asec t )= a sec t tan t d t .
• 计算相应的积分

a 2 − x 2 d x = ( a cos t ) ( a cos t d t ) = a 2 cos 2 t d t
2 2 a a 1 sin 2 t + C ( ) = d t = t + 1 + cos 2 t 2 2 2 2 a = t + 1 a sin ta cos t + C = ( t ) + C . 2 2
原式 = − 1 2
2a

1 ( a 2t 2 − 1) 2
3 2
d( a 2 t 2 − 1)
( a t − 1) =− +C 2 3a
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
2 2
例. 求
1 dx 解: 原 = 2 d( x + 1) 2 ( x + 1) + ( 22 ) 式 x +1 1 +C = arctan 2 2