2019年福州市质检理科试卷

2019年福州市普通高中毕业班质量检测
数学（理科）试卷 （完卷时间：120分钟；满分150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设复数z 满足i 1i z ⋅=-，则z 的共轭复数为 A. 1i -+ B. 1i + C. 1i -- D. 1i -
2.已知集合{}
{}
2213,20A x x B x x x =+>=--<，则A B U = A. {}
12x x << B. {}
11x x -<< C. {}211x x x -<<>，或 D. {}
1x x >-
3.中国传统文化是中化民族智慧的结晶，是中化民族的历史遗产在现实生活中的展现.为弘扬中华民族传统文化，某校学生会为了解本校高一1000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下：
参加场数
1
2
3
4
5
6
7
参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20% 26% 18% m% 4% 2% 以下四个结论中正确的是 A. 表中m 的数值为10
B. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人
C. 估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人
D. 若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1000名学生中抽取容量为50 的样本，则分段间隔为25 4.等比数列
{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为n S .若3264,64a a a ==，则5S =
A. 32
B. 31
C. 64
D.63 5. 已知sin π162θ⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，且2θπ0,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π3cos θ⎛⎫- ⎪⎝⎭
= A. 0 B.
12 C. 1 D. 32
6.设抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足．若直线 AF 的斜率为3-，则PAF △的面积为
A. 23
B. 43
C.8
D. 83
7.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几
何体的三视图，则该几何体的体积为
第7题图
A.32
B.16
C.
323 D.803
8.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,ωϕπ⎛
⎫
><
⎪2⎝
⎭
图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数()f x 的图象向左平移3
π
个单位长度后，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 为偶函数，则函数()f x 在区间0,
2π⎛
⎫
⎪⎝⎭
上的值域是 A. 1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦
B. ()1,1-
C. (]0,2
D.(]
1,2- 9. 已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2x
g x h x -=．若存在[]
11x ∈-，，使
得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为
A.－1
B.
35 C. 1 D. 35
- 10.如图，双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为
12,F F ，过2F 作线段2F P 与C 交于点Q ，且Q 为2PF 的中点．若等腰△12PF F 的底边2PF 的长等于
C 的半焦距，则C 的离心率为 A. 22157-+ B. 23 C. 2215
7
+ D.32
11.如图，以棱长为1的正方体的顶点A 为球心，以2为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为 A. 34π
B.
2π C.
32π D.94
π 12. 已知数列{}n a 满足11a =，()2
12
2
124n
n n n n a a a na n
++=++，则8a =
A.64892-
B. 32892-
C. 16892-
D. 78
92
-
第Ⅱ卷
第10题
图
第11题图
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知两个单位向量,a b r r
，满足3a b b +=，则a 与b 的夹角为__________．
14. 已知点()0,2A ，动点(),P x y 的坐标满足条件0
x y x
≥⎧⎨
≤⎩，则PA 的最小值是 ．
15. ()()2
5
11ax x +-的展开式中，所有x 的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a 的值为__________．
16.已知函数()2e
()ln 2e x f x a x =-有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （12分）
ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若角A ，B ，C 成等差数列，且32
b =
． （1）求ABC △的外接圆直径； （2）求a c +的取值范围． 18. （12分）
如图，四棱锥P ABCD -，//AB CD ，90BCD ∠=︒，224AB BC CD ===，PAB △为等边三角形，平面
PAB ⊥平面ABCD ， Q 为PB 中点．
(1) 求证：AQ ⊥平面 PBC ；
(2)求二面角B PC D --的余弦值． 19.（12分）
最近，中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究成果认为，房租支出超过月收入
1
3
的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入
1
3
的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户
进行调查．甲小区租户的月收入以[)03，，[)36，，[)69，，[
)912，，[]1215，（单位：千元）
分组的频率分布直方图如上：
乙小区租户的月收入（单位：千元）的频数分布表如下：
第18题
月收入 [)03，
[)36，
[)69，
[)912，
[]1215，
户数
38
27
24
9
2
（1）设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M 表示事件“甲小区租户的月收入低于6
千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”.把频率视为概率，求M 的概率； （2）利用频率分布直方图，求所抽取甲小区100户租户的月收入的中位数；
（3）若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的22⨯列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“幸福指数高低与租住的小区”有关.
幸福指数低
幸福指数高
总计
甲小区租户 乙小区租户
总计
附：临界值表
()2P K k ≥
0.10 0.010 0.001 k
2.706
6.635
10.828
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++．
20. （12分）
已知圆O ：2
2
2
x y r +=，椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的短半轴长等于圆O 的半径，且
过C 右焦点的直线与圆O 相切于点13,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）若动直线l 与圆O 相切，且与C 相交于,A B 两点，求点O 到弦AB 的垂直平分线距离的最大值.
21. （12分） 已知函数()()()ln 11x
f x a x a x
=
-+∈+R ，2m 12e e ()x g x x +=-. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若0a <，[]
12,0,e x x ∀∈，不等式12()()f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.
22. [选修44-：坐标系与参数方程] （10分）
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1232
x t y a t ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线
()03
θρπ
=
≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 交于,A B 两点. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）当AB OP =时，求a 的值. 23.[选修45-：不等式选讲] （10分） 已知不等式21214x x ++-<的解集为M. （1）求集合M ；
（2）设实数,a M b M ∈∉，证明：1ab a b +≤+.。