微专题----椭圆中斜率乘积为的问题解析
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
微专题：解析几何中斜率之积为定值（2221ab k k -=•）的问题探究【教学重点】掌握椭圆中2221ab k k -=•的形成的路径探寻及成果运用理性判断【教学难点】运算的设计和化简活动一：2221ab k k -=•形成的路径探寻1. 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB的斜率都存在，求PO ABK K •．【解析】 ：设点()0,y x P，()11,y x A ，()22,y x B ，则有；；)2(1)1(1222222221221=+=+bya xb y a x （代点作差）将①式减②式得，，，所以所以，即22ab K K POAB-=•．【结论形成总结】【结论1】 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，则1222-=-=•e ab K K POAB ．2.已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，若直线PA,PB 的斜率都存在，记直线PA,PB 的斜率分别为21k k ，．求21k k •的值。
【解法1】：设()0,y x P，()11,y x A 又因为A,B 是关于原点对称，所以点B 的坐标为()11-,-y x B ，所以212021201010101021x x y y x x y y x x y y k k --=++•--=•．又因为点()00,y x P ，()11,y x A 在椭圆上，所以有；；)2(1)1(1221221220220=+=+b y a x b y a x两式相减得，2221202120-ab x x y y =--，所以2221ab k k -=•．【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。
2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题
微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →为定值；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R.图34-1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T的方程为x 22＋y 2＝1.设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM→＝cos θOA →＋sin θOB →.(1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(2)求OA 2＋OB 2的值．(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.图34-2求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1,0)，且与椭圆C 相交于E，F两点．图34－3(1)求椭圆C的方程；(2)若△AEF的面积为10，求直线l的方程；(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值． (1)x 24＋y 23＝1；(2)①－34；②m ＝1.因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式y 20＝3－34x 20)所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.…………………………8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 21， 所以P (6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21).…………………………12分(求出点P 的坐标) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q (24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21).…………………………13分(由点P 坐标求得Q 坐标) 设M (m ,0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →，即12k 13＋4k 21×(24k 21－21＋12k 21－m )＝－12k 11＋12k 21×(6－8k 213＋4k 21－m )， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1. …………………………16分(由三点共线构建方程，并求出m 的值)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －m )，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2…………………………10分 而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k (x 1－m )x 1＋2·k (x 2－m )x 2＋2＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－14，13分 化简得k 2(3m 2－12)4m 2k 2＋16mk 2＋16k2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1. …………………………16分答题模板 第一步：求出椭圆方程；第二步：设点P 坐标，推出点P 坐标满足的等式，y 20＝3－34x 20；第三步：利用第二步中的等式推出k 1k 2＝－34；第四步：联立方程组，写出韦达定理；第五步：写出点P 的坐标；第六步：由条件求出Q 点坐标；第七步：由P ，M ，Q 共线，列出关于m 的方程，并求得解.作业评价已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为____________．如图34-4所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．图34-4已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .(i )设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii )设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ()－4，0，过点R ()3，0作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(22，12)，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过定点．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点(均异于椭圆的左、右顶点)．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6.⑴求椭圆的标准方程；(2)设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2.①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断k1k2是否为定值，并说明理由．。
椭圆中斜率之积为定值的问题
椭圆中斜率之积为定值的问题
哎呀，啥是椭圆中斜率之积为定值的问题呀？这对我这个小学生来说，简直就像一个超级大怪兽！
我们先来看看椭圆是啥吧。
椭圆就像一个被压扁的圆，它有两个焦点，就像两个小眼睛盯着你。
那斜率又是什么呢？想象一下，你在山坡上往上爬，山坡的陡峭程度就是斜率。
那在椭圆里，斜率之积为定值，这可太神奇啦！比如说，有两个点在椭圆上，它们连接起来的线的斜率相乘，结果居然是一个不变的数！这难道不像魔法吗？
我就想啊，这和我们平常玩的游戏有啥不一样？比如说跳皮筋，每次跳的高度都不一样，可在椭圆里，这斜率之积居然就固定啦！
老师给我们讲的时候，我瞪大眼睛，心里直犯嘀咕：“这咋就这么难理解呢？”同桌也一脸迷茫，小声跟我说：“这比数学作业还难！”
我们一起努力思考，互相讨论。
我问他：“你说这是不是就像我们跑步，速度和时间的乘积是路程，在椭圆里就是斜率和啥啥的乘积是个定值？”他摇摇头说：“我也不太清楚呢！”
后来，老师又给我们举了好多例子，画了好多图，慢慢地，好像有点懂啦。
我觉得吧，这椭圆中斜率之积为定值的问题，虽然一开始让人头疼，但只要我们不放弃，努力去想，还是能搞明白的。
就像爬山，虽然过程很累，但爬到山顶看到美景的那一刻，一切都值得啦！所以呀，遇到难题别害怕，加油冲就对啦！。
椭圆中斜率乘积为定值引出的直线过定点问题
点P为椭圆：C：x2a2+y2b2=1的左顶点左顶点，过点P的两条直线分别与C交于两点、A、B , 两点；直线、PA、PB的斜率之积为t(t≠b2a2)，则直线AB过定点(−a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;图一证明：证明：法一：法一：设直线AB为x=my+n .则{x=my+nx2a2+y2b2=1⇒(b2m2+a2)⋅y2+2mnb2y+b2n2−a2b2=0 .则由题得：Δ=(2mnb2)2−4⋅(b2m2+a2)⋅(b2n2−a2b2)=4a2b2⋅(a2+b2m2−n2)>0 ; 由根与系数的关系得：{y1+y2=−2mnb2b2m2+a2y1⋅y2=b2n2−a2b2b2m2+a2;设A(my1+n,y1) , B(my2+n,y2) , 又P(−a,0), kPA⋅kPB=t ,所以kPA⋅kPB=y1−0my1+n+a⋅y2−0my2+n+a=t⇔(tm2−1)⋅y1y2+tm(n+a)⋅(y1+y2)+t(n+a)2=0 ;代入{y1+y2=−2mnb2b2m2+a2y1⋅y2=b2n2−a2b2b2m2+a2得：(tm2−1)⋅b2n2−a2b2b2m2+a2+tm(n+a)⋅(−2mnb2b2m2+a2)+t(n+a)2=0 ,化简得：(a2t−b2)n2+2ta3n+ta4+a2b2=0 ,因式分解得：[(a2t−b2)n+a(a2t+b2)]⋅(n+a)=0 ,(t≠b2a2)解得：n=a⋅b2+a2tb2−a2t ,或者n=−a（此时直线过点，不符合题意，舍去）（此时直线AB过点P，不符合题意，舍去）因此直线AB过定点(−a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;法二：法二：椭圆：C：x2a2+y2b2=1向右平移a个单位长度，即将椭圆C的左顶点P平移到原点O，如图二；图二则此时椭圆方程为(x−a)2a2+y2b2=1 ,化简为x2a2−2xa+y2b2=0；设平移后直线AB为mx+ny=1 .联立{mx+ny=1x2a2−2xa+y2b2=0得：x2a2−2xa⋅(mx+ny)+y2b2=0；化简得：(1a2−2ma)⋅x2−2na⋅xy + +1b2⋅y2=0 ,等式两边同时除以x2齐次化得：1b2⋅(yx)2−2na⋅(yx)+1a2−2ma=0 ;设平移后A(x1,y1) , B(x2,y2) ,又平移后的直线、PA、PB的斜率之积依然为t(t≠b2a2)，则kPA⋅kPB=t=y1x1⋅y2x2 .由根与系数的关系得：y1x1⋅y2x2=1a2−2ma1b2=t，解得：m=b2−a2t2ab2 ,所以平移后直线AB为b2−a2t2ab2⋅x+ny=1，过定点(2ab2b2−a2t,0) ,再平移回去即可得原直线过定点(2ab2b2−a2t−a,0) ,化简即可得直线AB过定点(−a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;注：如果点P为椭圆C右顶点右顶点，则直线AB过定点(a⋅a2t+b2a2t−b2,0) ;对于法一法一，因式分解是一个难点，想必到这里会劝退了一波人，不过这里有巧可钻；从图一可知，当点A或点B在无限靠近点P时，直线AB也无限接近点P，所以在解关于n的方程时，必有一增根n=−a；因此在因式分解(a2t−b2)n2+2ta3n+ta4+a2b2=0时，可以借助这一点，利用多项式除法化简即可得[(a2t−b2)n+a(a2t+b2)]⋅(n+a)=0；对于法二法二，则是利用齐次化的方法，对于解决斜率之和与斜率之积问题，齐次化的方法不失为一种简单而又巧妙的方法；。
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究微专题：解析几何中斜率之积为定值的问题探究教学重点】掌握椭圆中斜率之积为定值的运算设计和化简。
教学难点】如何理性判断问题的路径探寻及成果运用。
活动一：斜率之积为定值的路径探寻假设AB是椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$上的一条不过原点的弦，点P是弦AB的中点，且直线OP和AB的斜率都存在，求$K_{AB} \cdot K_{PO}$。
解析】设点$P(x,y)$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则有$\frac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\sqrt{a^2-b^2}$（代点作差）。
将$AB$的斜率$k_{AB}$表示为$\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$，$OP$的斜率$k_{OP}$表示为$\frac{y}{x}$，则有：begin{aligned} K_{AB}&=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{(y_1-y)+(y-y_2)}{(x_1-x)+(x-x_2)} \\ &=\frac{y_1-y}{x_1-x} \cdot \frac{y-y_2}{x-x_2}=-\frac{b^2}{a^2} \cdot\frac{x-x_2}{y-y_2} \\ K_{PO}&=\frac{y}{x}=-\frac{b^2}{a^2} \cdot \frac{x_1-x_2}{y_1-y} \end{aligned}$$因此，$K_{AB} \cdot K_{PO}=\frac{b^4}{a^4} \cdot\frac{(x-x_2)(x_1-x_2)}{(y-y_2)(y_1-y)}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$。
结论形成总结】结论1】若$AB$是椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)$上的非直径的弦，点$P$是弦$AB$的中点，且直线$OP$和$AB$的斜率都存在，则$K_{AB} \cdot K_{PO}=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$。
微专题：椭圆中斜率之积为定值的问题探究
微专题：解析几何中斜率之积为定值（2221ab k k -=•）的问题探究【教学重点】掌握椭圆中2221ab k k -=•的形成的路径探寻及成果运用理性判断【教学难点】运算的设计和化简活动一：2221ab k k -=•形成的路径探寻1. 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB的斜率都存在，求PO ABK K •．【解析】 ：设点()0,y x P，()11,y x A ，()22,y x B ，则有；；)2(1)1(1222222221221=+=+bya xb y a x （代点作差）将①式减②式得，，，所以所以，即22ab K K POAB-=•．【结论形成总结】【结论1】 若AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，则1222-=-=•e ab K K POAB ．2.已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，若直线PA,PB 的斜率都存在，记直线PA,PB 的斜率分别为21k k ，．求21k k •的值。
【解法1】：设()0,y x P，()11,y x A 又因为A,B 是关于原点对称，所以点B 的坐标为()11-,-y x B ，所以212021201010101021x x y y x x y y x x y y k k --=++•--=•．又因为点()00,y x P ，()11,y x A 在椭圆上，所以有；；)2(1)1(1221221220220=+=+b y a x b y a x两式相减得，2221202120-ab x x y y =--，所以2221ab k k -=•．【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。
微专题22椭圆中两直线斜率积答案
微专题22例题答案：)53,0(-.解法1设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k 4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.直线MN 的斜率为k 2－15k ，直线MN 的方程为y －1－4k 21＋4k 2＝k 2－15k )418(2k kx ++， 即y ＝k 2－15k x －35，直线MN 过定点)53,0(-.解法2同解法1，求出直线方程，利用特值法求出定点．解法3先由对称思想可知，直线MN 过的定点位于y 轴上，特值化易得直线MN 过的定点为P )53,0(-. 再证明如下：设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，联立椭圆方程，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0. 解得x M ＝－8k 4k 2＋1，y M ＝1－4k 24k 2＋1.同理可得x N ＝8kk 2＋4，y N ＝k 2－4k 2＋4.所以k MP ＝y M ＋35x M ＝k 2－15k ，k NP ＝y N ＋35x N ＝k 2－15k .所以k MP ＝k NP .故直线MN 过的定点为P )53,0(-.解法4设直线MN 的方程为l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2m ＝2m4k 2＋1.y 1y 2＝(kx 1＋m)(kx 2＋m)＝k 2x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 24k 2＋1.由题设AM ⊥AN ，即AM →·AN →＝0.AM →·AN →＝(x 1，y 1－1)(x 2，y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝4m 2－44k 2＋1＋m 2－4k 24k 2＋1－2m 4k 2＋1＋1＝0，化简得5m 2－2m －3＝0，解得m ＝1(舍)，m ＝－35.所以直线MN 的方程为y ＝kx －35，过定点)53,0(-.变式联想变式1 答案：)0,56(.解析：方法同上．通过变式1引导同学们发现第一个结论；结论1：过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．则直线MN 过定点),(0222202222y b a b a x b a b a +--+-. 变式2 答案：)y 1414,1414(A A S -+-+λλλλ，其中x A ，y A 分别为点A 的横、纵坐标． 解析：本题可以参照例题的做法，也可以设直线MN 的方程为y ＝kx ＋n ，由韦达定理找出n ，k 的关系．比较两种做法，寻找每一种方法的合理性．通过变式2引导同学们发现第二个结论与第三个结论，结论2 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点P(x 0，y 0)的两条直线分别交椭圆于M ，N 两点．当k PM ·k PN ＝λ，则直线MN 过定点),(0222202222y ba b a x b a b a -+--+λλλλ.发现并强调注意，此时λ≠b 2a 2. 结论3当λ＝b 2a 2且x 0y 0≠0时，直线MN 的斜率为定值－y 0x 0.串讲激活串讲1答案：定点(1，0)．证法1设T(9，m)，直线TA 方程为y －0m －0＝x ＋39＋3，即y ＝m12(x ＋3)，直线TB 方程为y －0m －0＝x －39－3，即y ＝m6(x －3)．分别与椭圆x 29＋y 25＝1联立方程，同时考虑到x 1≠－3m ，x 2≠3，解得M )8040,80)80(3(222m m m m ++-，N)2020,20)20(3(222m mm m +-+-. 当x 1≠x 2时，直线MN 方程为y ＋20m20＋m 240m 80＋m 2＋20m 20＋m 2＝x －3（m 2－20）20＋m 23（80－m 2）80＋m 2－3（m 2－20）20＋m 2令y ＝0，解得x ＝1.此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点(1，0)．证法2前与证法1同，若x 1＝x 2，则由240－3m 280＋m 2＝3m 2－6020＋m 2及m ＞0，得m ＝210，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠210，直线MD 的斜率k MD ＝40m80＋m 2240－3m 280＋m 2－1＝10m40－m 2，直线ND 的斜率k ND ＝－20m 20＋m 23m 2－6020＋m 2－1＝10m40－m 2，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．证法3注意到k AM ·k BN ＝－b 2a 2＝－59，k BN k AM ＝k TN k TM ＝|m|9－3|m|9＋3＝2，则k BM ·k BN ＝－109，即椭圆中过右顶点B(3，0)的直线BM ，BN 斜率之积为定值－109，因此，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．x ＝（ta 2＋b 2）·x 0ta 2－b 2＝⎝⎛⎭⎫－109×9＋5×3－109×9－5＝1，y ＝（－b 2－ta 2）·y 0ta 2－b2＝0. 串讲2答案：(1)C 的方程为x 24＋y 2＝1； (2)定点(2，－1)．解析：(1)由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2＞1a 2＋34b 2知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此⎩⎨⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t|＜2，可得A ，B 的坐标分别为)24,(2t t -，)24,(2t t --.则k 1＋k 2＝－1，得t ＝2，不符合题意．从而可设l ：y ＝kx ＋m(m ≠1)，将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，(3) 则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0.即(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)－8km4k 2＋1＝0.解得k ＝－m ＋12，当且仅当m ＞－1时，Δ＞0，欲使l ：y ＝－m ＋12x ＋m ，即y ＋1＝－m ＋12(x －2)．所以l 过定点(2，－1)．新题在线答案：(1)x 22＋y 2＝1；(2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝2；(3)直线PQ 过定点，定点为(1，1)．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M(2，m)，由CD ⊥OM 得k CD ＝－1k OM ＝－2m ，则CD 方程为y ＝－2m (x －1)，即2x ＋my －2＝0. 因为圆心H )2,1(m，则圆心H 到直线CD 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪2＋m 22－24＋m 2＝m 224＋m 2. 圆半径为r ＝OM 2＝4＋m 22，且CD 2＝62，由d 2＋2)2(CD ＝r 2，代入得m ＝±2. 因为点M 在x 轴下方，所以m ＝－2，此时圆H 方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.(3)设PQ 方程为：y ＝kx ＋b(b ≠－1)，A(0，－1)，令P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， 由直线AP 与AQ 的斜率之和为2得y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝2，由y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b 得2k ＋（b ＋1）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2，①联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kbx ＋2b 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4kb 1＋2k 2，x 1x 2＝2b 2－21＋2k 2代入①得，(b＋1)(b ＋k －1)＝0，由b ≠－1得b ＋k －1＝0，即b ＝1－k ，所以PQ 方程为y ＝kx ＋1－k ＝k(x －1)＋1，所以直线PQ 过定点，定点为(1，1)．。
2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题
微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律.过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN →为定值；(2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R.图34-1在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T的方程为x 22＋y 2＝1.设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM→＝cos θOA →＋sin θOB →.(1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；(2)求OA 2＋OB 2的值．(江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 29＋y 25＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.图34-2求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的长轴长为4，两准线间距离为4 2.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1,0)，且与椭圆C 相交于E，F两点．图34－3(1)求椭圆C的方程；(2)若△AEF的面积为10，求直线l的方程；(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′，求证：k·k′为定值．(本小题满分16分)(2019·南京一模) 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l：y＝k(x－m)(m∈R)与椭圆C相交于P，Q两点．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆的左顶点为A，记直线AP、AQ的斜率分别为k1、k2.①若m＝0，求k1k2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值． (1)x 24＋y 23＝1；(2)①－34；②m ＝1.因为椭圆C 的两个焦点间距离为2，两准线间的距离为2×a 2c ＝8，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3，所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. …………………………3分(求出椭圆方程)①设P (x 0，y 0)，由于m ＝0，则Q (－x 0，－y 0)，由x 204＋y 203＝1，得y 20＝3－3x 204…………………………5分(设出点P (x 0，y 0)求出关系式y 20＝3－34x 20)所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·－y 0－x 0＋2＝y 20x 20－4＝3－3x 204x 20－4＝－34.…………………………8分(利用上面关系式，推证k 1k 2＝定值．) ②由(1)得A (－2,0)．设P (x 1，y 1)，设直线AP 的方程为AP ：y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y ，得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以x A ·x 1＝16k 21－123＋4k 21，…………………………10分(联立方程组，写出韦达定理)所以x 1＝6－8k 213＋4k 21， 代入y ＝k 1(x ＋2)得y 1＝12k 13＋4k 21， 所以P (6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21).…………………………12分(求出点P 的坐标) 由k 1k 2＝－14，得k 2＝－14k 1，所以Q (24k 21－21＋12k 21，－12k 11＋12k 21).…………………………13分(由点P 坐标求得Q 坐标) 设M (m ,0)，由P ，Q ，M 三点共线，得PM →＝λQM →，即12k 13＋4k 21×(24k 21－21＋12k 21－m )＝－12k 11＋12k 21×(6－8k 213＋4k 21－m )， 化简得(m －1)(16k 21＋4)＝0，所以m ＝1. …………………………16分(由三点共线构建方程，并求出m 的值)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －m )，消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4m 2k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8mk 23＋4k 2，x 1·x 2＝4m 2k 2－123＋4k 2…………………………10分 而k 1k 2＝y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝k (x 1－m )x 1＋2·k (x 2－m )x 2＋2＝k 2[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2]x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－14，13分 化简得k 2(3m 2－12)4m 2k 2＋16mk 2＋16k2＝－14，即m 2k 2＋mk 2－2k 2＝0. 因为k 2≠0，所以m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)． 当m ＝1时，Δ＞0，所以，m ＝1. …………………………16分答题模板 第一步：求出椭圆方程；第二步：设点P 坐标，推出点P 坐标满足的等式，y 20＝3－34x 20；第三步：利用第二步中的等式推出k 1k 2＝－34；第四步：联立方程组，写出韦达定理；第五步：写出点P 的坐标；第六步：由条件求出Q 点坐标；第七步：由P ，M ，Q 共线，列出关于m 的方程，并求得解.作业评价已知椭圆x 216＋y 24＝1的左顶点为A ，过A 作两条弦AM ，AN 分别交椭圆于M ，N 两点，直线AM ，AN 的斜率记为k 1，k 2，满足k 1·k 2＝－2，则直线MN 经过的定点为________．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为____________．如图34-4所示，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的上、下顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上，且异于点A ，B ，直线AP ，BP 与直线l ：y ＝－2分别交于点M ，N .当点P 运动时，以MN 为直径的圆经过的定点是______．图34-4已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.若k 1·k 2＝－1，则直线l ：y ＝kx ＋m 过定点________．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .(i )设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；(ii )设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ()－4，0，过点R ()3，0作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(22，12)，记椭圆的左顶点为A.(1)求椭圆的方程；(2)设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆于D，E两点，且k1k2＝2，求证：直线DE恒过定点．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线l与椭圆交于C，D两点(均异于椭圆的左、右顶点)．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6.⑴求椭圆的标准方程；(2)设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2.①若k2＝3k1，求证：直线l过定点；②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断k1k2是否为定值，并说明理由．。
椭圆两直线斜率之积结论
椭圆两直线斜率之积结论一、结论的定义与性质椭圆两直线斜率之积结论是指在椭圆上任意取两点，连接这两点的直线的斜率之积等于定值。
这个定值与椭圆的参数有关，但与点的位置无关。
这一结论具有普遍性和可预测性，适用于所有椭圆和直线。
二、结论的证明方法证明椭圆两直线斜率之积结论的方法有多种，其中一种比较常见的方法是通过参数方程进行证明。
参数方程是描述椭圆形状和大小的一种数学表示方法，通过引入参数方程，我们可以将椭圆的几何性质转化为代数表达式，从而利用代数方法进行证明。
具体证明步骤如下：首先，设椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ(θ为参数)在椭圆上任取两点，分别设为P1(x1,y1)和P2(x2,y2)计算连接这两点的直线的斜率k1和k2，即k1=dy1/dx1，k2=dy2/dx2利用椭圆参数方程的导数公式，可以计算出k1*k2的表达式，最终证明它是一个定值。
三、结论的推广与应用椭圆两直线斜率之积结论不仅适用于普通椭圆，也适用于其他形状的曲线，如抛物线、双曲线等。
此外，该结论还可以扩展到高维空间中的超球等类似形状。
在应用方面，这个结论可以用于解决一些与曲线相切、与曲线长度相关的问题。
四、结论的拓展与引申椭圆两直线斜率之积结论可以拓展到其他数学领域，如解析几何、微分几何、线性代数等。
例如，在解析几何中，这个结论可以用于研究曲线的性质和构造新的曲线方程；在微分几何中，这个结论可以用于研究曲面的性质和构造新的曲面方程；在线性代数中，这个结论可以用于研究矩阵的性质和构造新的矩阵方程。
五、结论在数学问题中的应用椭圆两直线斜率之积结论可以应用于以下数学问题：求解与椭圆相关的曲线方程；研究椭圆上的线段长度之比；求解与椭圆相关的最值问题；利用这一结论构造新的数学命题和定理。
六、结论在其他领域的应用除了在数学领域的应用外，椭圆两直线斜率之积结论还可以应用于其他领域：天文学：在天文学中，这个结论可以用于研究行星和卫星的运动轨迹；物理学：在物理学中，这个结论可以用于研究物体的运动轨迹和受力分析；工程学：在工程学中，这个结论可以用于研究机械部件的运动轨迹和优化设计。
椭圆中一类斜率之积为定值 高考数学
主讲人：某某某老师
某某学校
一、教材习题变式构建模型
二、高考解题析游刃有余
试卷讲评课件
椭圆是高考考查的难点之一，椭圆中一类斜率之积问题早有出现.
本文从教材出发，通过一系列的变式，转化和化归达到高考考查要求，
体现出试题源于教材且高于教材的理念，同时，找到在椭圆中一类斜
−′
=
′
=
，则
=
−
= ，则′ = −
−
−
−′
′
−
故，直线与直线的斜率之积为定值− 。
=
........②
′
− ，
........③
试卷讲评课件
x2
[变式3]：已知椭圆Γ： 2
率之积问题的通性.
一、教材习题变式构建模型
试卷讲评课件
典型习题：(人教A版选修2-1)设点A，B的
坐标分别为 −5,0 、 5,0 ，直线AM，BM相交
4
于点M，且他们的斜率之积为− ，求点M的轨
9
迹方程。
试卷讲评课件
解：如图1，设点 , ，由已知得， =
⋅ =
⋅ =
−
故，直线与直线的斜率之积为定值− 。
试卷讲评课件
【评析】此题也属于斜率之积为定值，但此解法与变式1、2、3有所不
同，直线与椭圆有一个交点，联立两直线方程得出点的坐标，继
而得出 ∗ 式，再联立直线方程与椭圆方程，消去其中一个变量，得出
关于另一变量的一元二次方程，再利用一元二次方程有一个实数解
(完整word版)小专题椭圆----斜率之积是定值
OxyPAB椭圆一个性质的应用性质 如图1，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ⋅为定值22b a-．证明 设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+by a x ①1221221=+b y a x ② 由①－②得22122212by y a x x --=-， 所以22212212a b x x y y -=--， 所以222111222111PA PBy y y y y y b k k x x x x x x a-+-⋅=⋅==--+-为定值． 这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题，下举例说明．一、证明直线垂直例1 如图2，已知椭圆22142x y +=，,A B 是其左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，连结AM 交椭圆于点P ．求证：MO PB ⊥．证明 设(2,)M y ，由性质知12PA PBk k ⋅=-，即12MA PB k k ⋅=- ③图1图2直线MA ，MO 的斜率分别为24MA y y k a == ，2MO y y k a ==， 所以12MA MO k k =④ 将④代入③得1MO PB k k ⋅=-，所以MO PB ⊥．例2 如图3，PQ 是椭圆不过中心的弦，A 1、A 2为长轴的两端点，A 1P 与Q A 2相交于M ，P A 2与A 1Q 相交于点N ，则MN ⊥A 1A 2．证明 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由性质知1222PA PA b k k a ⋅=-，即1222MA NA b k k a ⋅=-，所以222211ab a x y a x y -=-⋅+ ⑤1222QA QA b k k a ⋅=， 即2122MA NA b k k a ⋅=-，所以221122ab a x y a x y -=-⋅+ ⑥ 比较⑤与⑥得1221()()()()x a x a x a x a +-=+-，所以2112()()a x x a x x -=-， 所以12x x =．所以MN ⊥x 轴，即MN ⊥A 1A 2．二、证明直线定向例3 如图4，已知A (2，1)，B (－2，－1)是椭圆E ：x 26＋y 23＝1上的两点，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ．CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在．求证：直线MN 的斜率为定值．证明 设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，由性质知12CA CB k k ⋅=-，即12MA NB k k ⋅=-， 12DA DBk k ⋅=-，即12NA MB k k ⋅=-．所以111222N M M N y y x x +-⋅=--+，11(224)2M N M N M N M N y y y y x x x x +--=-+-- ⑦xy AOB CDMN 图4图3111222N M M N y y x x -+⋅=-+-，11(224)2M N M N M N M N y y y y x x x x -+-=--+- ⑧由⑦－⑧得()M N M N y y x x -=--所以1MN k =-，即直线MN 的斜率为定值1-．三、证明点的纵坐标之积为定值例4 如图5，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过椭圆C 的右焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线P A ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点． 记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，求证：y M ·y N 为定值．证明 当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9.当直线AB 的斜率k 存在时，由性质知k P A k ＝－34，所以k P A ＝－34k .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (－x 2，－y 2)， 所以直线P A 的方程为y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)，因为右准线l 的方程为4x =， 所以y M ＝－34k(x 2＋4)－y 2，因为,,A F B 三点共线，所以直线AB 的斜率k ＝y 2(x 2－1).所以y M ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)4y 2－y 2.因为直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2.所以y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22x 2.又因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22， 所以y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)＋4－x 22x 2＝－9，所以y M y N 为定值－9.图5由以上几个例题，同学们会看到，这个性质解决问题中起到了化繁为简作用，希望同学们领悟其中的道理，并进一步运用这个性质解决更多的问题．。
圆与椭圆两个几何性质的类比——椭圆中两直线斜率乘积为定值的应用
y －y
a
a
＝
２＝
２
x２
x２
１ －x２
１ －x２
２
１
２
２
b２ ２
－ ２(
x１ －x２
２)
a
b２
＝－
．
２
x２
a２
１ －x２
圆的性质 ２ 垂 径 定 理:平 分 弦 (非 直 径)的 直 径
垂直于弦 ．
如图 ５ 所示,圆 O 中若 M 是弦 AB (
AB 不
是直径)的 中 点,则 OM ⊥AB ．
a
,
)
,
(
证明 设 Q (
x１ y１ B x２ ,
y２ ),则 A (－x２ ,
y１－(－y２) y１＋y２
y１－y２
,
,
－y２),得 kAQ ＝
＝
k
BQ ＝
x１－(－x２) x１＋x２
x１－x２
所以
y１ ＋y２ y１ －y２
kAQ kBQ ＝
＝
x１ ＋x２ x１ －x２
x２
x２
１
２
b２(
１－ ２ )－b２(
０)．如 图 １１
所 示, 设 P (
x０ ,y０ ), 则
Q (－x０ ,－ y０ ),且 知
x２
０
＋
４
y２
０
２
＝１,即 x２
０ ＋２
y０ ＝４．
２
因为 A (－２,
０),所以
图 １１
y０
y２
y２
－y０
１
０
０
kAP kAQ ＝
＝－
押题第34道 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题(解析版)
所以x＝0 x2＋y2＋4y－8＝0.
，所以 MN 为直径的圆过定点(0，－2±2
3)．
3、（2020·连云港高三）已知椭圆 C：x42＋y22＝1 的上顶点为 A，直线 l：y＝kx＋m 交椭圆于 P，Q 两点，设 直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2.若 k1·k2＝－1，则直线 l：y＝kx＋m 过定点________．
(kx1＋m)(kx2＋m)－ 2(kx1＋m＋kx2＋m)＋x1x2＋2＝0，k2x1x2＋
mk(x1＋x2)＋m2－ 2k(x1＋x2)－2 2m＋x1x2＋2＝0， (k2＋1)21m＋2－2k42 ＋k(m－ 2)(－1＋4km2k2)＋m2－2 2m＋2＝0，(k2＋1)(2m2－4)＋k(m－ 2)· (－4km)＋(m2－2 2m＋2)(1＋2k2)＝0.所以 3m2－2 2m－2＝0，
2
2
故直线 l 的斜率存在，设直线 l：y＝k(x－1)，代入椭圆方程得(1＋2k2)x－4k2x＋2k2－4＝0.
因为 D(1，0)在椭圆内，所以
Δ>0 恒成立．设
E(x1，y1)，F(x2，y2)，则有
x1＋x2＝
1
4k 2 2k
2
，x1x2＝
2k 2 1 2k
4
2
.故 EF＝ຫໍສະໝຸດ x1 x2 2 y1 y2 2 ＝
，由(2)知
x1＋x2＝
1
4k 2 2k
2
，
x1x2＝
2k 2 4 1 2k 2
，代入上式得
y1 x1
2
＋
y2 x2
2
＝k·
4k 2 8 2k 2
4
4k 2 4 8k 2
2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题简案
微专题34例题导引例题答案：⎝⎛⎭⎫0，－35. 变式联想变式1解析： (1) 设点P (x 0，y 0)，则点Q (－x 0，－y 0)，点A (－2，0)，所以直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0＋2， 所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2y 0x 0＋2. 同理可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 0x 0－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2y 0x 0－2，所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4. 又点P 在椭圆C 上，故x 204＋y 203＝1， 即x 20－4＝－43y 20， 所以AM →·AN →＝4＋4y 20x 20－4＝1(定值)． (2)设点P (x 1，y 1)，点Q (x 2，y 2)．设直线AP 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋2），x 24＋y 23＝1，消去y 并整理得(3＋4k 21)x 2＋16k 21x ＋16k 21－12＝0，所以－2＋x 1＝－16k 213＋4k 21，x 1＝6－8k 213＋4k 21，y 1＝12k 13＋4k 21， 所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6－8k 213＋4k 21，12k 13＋4k 21. 因为k 1·k 2＝－1，所以点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 21－83k 21＋4，－12k 13k 21＋4.当k 21＝1时，6－8k 213＋4k 21＝－27＝6k 21－83k 21＋4， 点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为x ＝－27， 由此可见，如果直线PQ 经过定点R ，则点R 的横坐标一定为－27； 当k 21≠1时，k PQ ＝12k 13＋4k 21－－12k 13k 21＋46－8k 213＋4k 21－6k 21－83k 21＋4＝7k 14（1－k 21）， 直线PQ 的方程为y －12k 13＋4k 21＝7k 14（1－k 21）(x －6－8k 213＋4k 21)， 令x ＝－27，得y ＝7k 14（1－k 21）⎝ ⎛⎭⎪⎫－27－6－8k 213＋4k 21＋12k 13＋4k 21＝0， 所以直线PQ 过定点R ⎝⎛⎭⎫－27，0 变式2答案： (1) 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，则x 212＋y 21＝1①，x 222＋y 22＝1②. 因为OM →＝cos θOA →＋sin θOB →，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1cos θ＋x 2sin θ，y ＝y 1cos θ＋y 2sin θ.又因为点M 在椭圆上，故 （x 1cos θ＋x 2sin θ）22＋(y 1cos θ＋y 2sin θ)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x 212＋y 21cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫x 222＋y 22sin 2θ＋2(x 1x 22＋y 1y 2)cos θsin θ＝1. 将①②代入上式，得⎝⎛⎭⎫x 1x 22＋y 1y 2cos θsin θ＝0， 因为cos θsin θ≠0，所以x 1x 22＋y 1y 2＝0， 所以k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2＝－12为定值． (2)3.串讲激活串讲答案：定点(1，0)．新题在线例题答案：(1)x 24＋y 22＝1；(2)x ±y －1＝0； (3)证明：设直线l ：y ＝k (x －1)， 代入椭圆整理得(2k 2＋1)k 2－4k 2x ＋2k 2x ＋2k 2－4＝0，设E (x 1，k (x 1－1))，F (x 2，k (x 2－1))，∴x 1，2＝4k 2±16k 4－4（2k 2＋1）（2k 2－4）2（2k 2＋1）， ∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1， 直线AE 的方程为y ＝k （x 1－1）x 1＋2(x ＋2)， 令x ＝3，解得 M (3，5k （x 1－1）x 1＋2)，同理，得 N (3，5k （x 2－1）x 2＋2) ∵Q 为M ，N 的中点，∴y Q ＝5k 2(x 1－1x 1＋2＋x 2－1x 2＋2)＝5k －15k 2·x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2x 1＋2x 2＋4， 将 x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1， 代入上式整理得y Q ＝－53k， ∴k ′＝－53k 3－1＝－56k， ∴k ·k ′＝－56为定值．。
微专题----椭圆中斜率乘积为的问题解析
椭圆中斜率乘积为22b a的问题【热身训练】1. 设12B B 、是椭圆22221(0)x y a b ab的上下两顶点，P 是椭圆上异于12B B 、的任一点，直线12PB PB 、与x 轴相交于点,,M N 求证：OM ON 为定值.2. 平面直角坐标系系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)右焦点的直线03y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 中点且OP 的斜率为21，则椭圆M 的方程为.【例题精讲】例1：已知椭圆22:182xy，点(22,2),(22,2)A B ，O 为坐标原点．（I ）若P 是椭圆上任意一点，OPmOAnOB ，求22mn 的值；（II ）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆上的两个动点，满足OM ONOA OB k k k k ，试探究OMN 的面积是否为定值，说明理由．变题1：,S T 椭圆2:14xy上异于顶点的点，若P 是椭圆上异于,S T 任意一点，满足OP mOS nOT ，且221(0)mn mn，求OS OT k k 的值.变题2：如图，椭圆的中心为原点O ，离心率22e，一条准线的方程为22x .（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P 满足:2OPOM ON ,其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12，问：是否存在两个定点12,F F ,使得12PF PF 为定值？若存在，求出12,F F 的坐标；若不存在，请说明理由.变题3：已知椭圆2:14xy，设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆上异于顶点的两个动点，且OMN 的面积是1，试探究OM ON k k 是否为定值．【课后练习】1. 设点P 是椭圆22:14xE y上的任意一点(异于左,右顶点A,B)，直线,PA PB 分别交直线10:3l x与点M,N ，求证:PN BM .2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14xC y上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x yy r 作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若255r. ①求证：1214k k ；②求OP OQ 的最大值；③试探究22OPOQ 是否为定值..xO·yM PQ【热身训练】1. 设12B B 、是椭圆22221(0)x y a b ab的上下两顶点，P 是椭圆上异于12B B 、的任一点，直线12PB PB 、与x 轴相交于点,,M N 求证：OM ON 为定值.2a2. 平面直角坐标系系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)右焦点的直线03yx 交M 于A ，B 两点，P 为AB 中点且OP 的斜率为21，则椭圆M 的方程为.22163xy【例题精讲】例1：已知椭圆22:182xy，点(22,2),(22,2)A B ，O 为坐标原点．（I ）若P 是椭圆上任意一点，OPmOAnOB ，求22m n 的值；（II ）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆上的两个动点，满足OM ONOA OB k k k k ，试探究OMN 的面积是否为定值，说明理由．解：（Ⅰ）2222,22OPmOA nOB m n mn ，得2222,22P m n mn ，221m n m n ，即2212mn（II ）（解法一）由条件得，121214y y x x ，平方得22222212121216(8)(8)x x y y x x ,即22128x x 122112OMNS x y x y 222212211212122x y x yx x y y =222222211212212(1)2(1)2884x xx x x x 221212222x x 故OMN 的面积为定值2（解法二）①当直线MN 的斜率不存在时，易得OMN 的面积为2②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为ykxt22222114842082x ykxktx tykx t由1122(,),(,)M x y N x y ，可得2121222428,1414tktx x x x kk，2222121212122814tky y kx tkx tk x x kt x x xtk又121214OM ONy y k k x x ，可得2241tk因为2121MNkx x ，点O 到直线MN 的距离21t dk12122OMNt SMN dx x 2121242t x x x x 222216282214ktt k综上：OMN 的面积为定值 2变题1：,S T 椭圆22:14xy上异于顶点的点，若P 是椭圆上异于,S T 任意一点，满足OP mOS nOT ，且221(0)mn mn，求OS OT k k 的值.解：设112200(,),(,),(,)S x y T x y P x y ，由OPmOSnOT ，有012012,x mx nx y my ny ，因为P 是椭圆22:14xy 上任意一点，所以有221212()()14mx nx my ny ，即222222121212122()()(2)1444x x x x m y n y mn y y 因为,S T 椭圆22:14xy上异于顶点的点，所以222212121,144x x y y ，所以2212122(2)14x x mnmn y y ，因为221(0)mnmn ，所以12122204x x y y ，因为,S T 椭圆22:14xy 上异于顶点的点，所以120,0x x ，所以120x x ，所以121214y y x x ，即14OS OTk k .变题2：如图，椭圆的中心为原点O ，离心率22e，一条准线的方程为22x .（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P 满足:2OPOM ON ,其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12，问：是否存在两个定点12,F F ,使得12PF PF 为定值？若存在，求出12,F F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由22ac e，222ac a2c ＝22，解得2,2ac ，2222bac，故椭圆的标准方程为22142x y .（2）设1122(,),(,),(,)M x y N x y P x y ,则由2OP OMON ,得12122,2xx x yy y ，因为M,N 椭圆22:142xy上的点，所以222211221,14242xyx y ，故22221212(2)(2)4242x x y y xy2222112212121212()4()2524242x y x y x x y y x x y y 因为直线OM 与ON 的斜率之积为12，即12OM ONk k ，也即121212y y x x ，所以121220x x y y ，所以22542xy，即2212010xy，所以P 点是椭圆22221(25)(10)x y上的点．设该椭圆的左、右焦点为12,F F ，则由椭圆的定义有12PF PF 为定值45，又因为22(25)(10)10c ，因此两定点的坐标为12(10,0),(10,0)F F ．变题3：已知椭圆22:14xy，设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆上异于顶点的两个动点，且OMN 的面积是1，试探究OM ON k k 是否为定值．解：①当直线MN 的斜率不存在时，设:MN x t ,22(,1),(,1),44ttM t N t 则可得OMN 的面积为214tt ，所以2114tt ，即2t ，所以221114224OM ONtk k t，②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为ykx t2222211484104x y kxktx tykx t由1122(,),(,)M x y N x y ，可得2121222418,1414tktx x x x kk，2222121212122414tky y kx t kx t k x x kt x x xtk因为2121MN kx x ，点O 到直线MN 的距离21t dk12122OMNt SMN dx x 2121242t x x x x 222216141214ktt k可得22241tk，所以22222212222122441114441414114OM ONtky y tkt k k k x x t t tk，综上：OM ON k k 为定值14．1.设点P 是椭圆22:14xE y上的任意一点(异于左,右顶点A,B)，直线,PA PB 分别交直线10:3l x与点M,N ，求证:PN BM .证明：设110(,),3M y 则134MBk y ，1316PAMAk k y ，所以4MB PA k k ，设(,)P x y ，则222211422444PA PBx y yyk k x x xx ，所以1PB MBk k ，即PNBM2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14xC y上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x yy r 作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M 的方程；（2）若255r. ①求证：1214k k ；②求OP OQ 的最大值；③试探究22OPOQ 是否为定值.解：（1）因为椭圆C 右焦点的坐标为(3,0)，所以圆心M 的坐标为1(3,)2，从而圆M 的方程为2211(3)()24xy.（2）①因为圆M与直线1:OP yk x 相切，所以10021||2551k x y k，即22201001(45)10450x k x y k y ，同理，有222020020(45)10450x k x y k y ，所以12,k k 是方程222000(45)10450x k x y k y 的两根，从而2220001222201545(1)1451444545454x x y k k x x x .②设点111222(,),(,)P x y P x y ，联立12214yk x xy，解得222111221144,1414kxy k k，同理，222222222244,1414k x y k k ，所以222112221114444,141414kk OPkk kxO·yM PQ222222212222111222222222221211114444441164411414144414k k k k k kk OQk kk kk kk k 2222112211441161414k k OP OQk k 221221520()252(14)4k k ，当且仅当112k 时取等号. 所以OP OQ 的最大值为52.③由②有所以22222111222111441165205141414k k k OPOQk kk。
椭圆斜率乘积为定值结论
椭圆斜率乘积为定值结论椭圆是数学中的一个重要的曲线，而其斜率乘积为定值的结论也是一个重要的定理，本文就围绕这一主题，分步骤阐述其原理和应用。
一、椭圆的基本概念椭圆是由一个固定的点F（称为焦点）和到该点的距离与一个固定的长度2a（称为长轴）之和等于常数2c的点P构成的几何图形。
椭圆的形状由长轴和短轴大小决定，而长轴所在的直线称为主轴，短轴所在的直线称为副轴。
二、椭圆的斜率公式在直角坐标系中，椭圆的一般式为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心。
设椭圆上一点P的坐标为(x,y)，则其斜率为dy/dx = -b²(x - h)/(a²(y - k))。
通过对dy/dx进行简单的数学变换，可以得到斜率公式：m = ±b/a * sqrt(a² - x²)/y其中，m为椭圆上点P的切线的斜率。
三、斜率乘积为定值的结论根据斜率公式，我们可以得到一条重要的结论：椭圆上任意两点P和Q 的切线的斜率乘积等于常数k。
即：mP * mQ = ±k其中正负号取决于切线的方向，常数k为椭圆的参数，即k = b²/a²。
这个结论的证明不属于本文讨论的范围，但其应用却是非常广泛的。
四、斜率乘积的应用1. 椭圆的法线根据斜率公式，我们还可以得到椭圆上任意一点的法线的斜率为：mN = -y/(b²/a² * x)法线的斜率乘以切线的斜率等于-1，即：mP * mN = -1可以发现，这个结果与斜率乘积为定值的结论是一致的。
2. 椭圆的切线方程已知椭圆上一点P(x0,y0)，求其切线方程。
我们可以使用斜率公式求出切线的斜率m，然后将其带入点斜式方程y - y0 = m(x - x0)即可得到切线的方程。
例如，对于椭圆x²/4 + y²/9 = 1，求其在点(1,√5)处的切线方程。
与椭圆有关的斜率之积为定值的问题
则 4m2n2 (m2k 2 n2 t2 ) .
从而,当 kOA kOB
a2b2k 2 b2t2 a2b2 a2t2
n2 m2
时,可得 t2
m2k 2
n2 ,即 0 .
当 0 时,可得 t2
m2k 2 n2 ,即 kOA kOB
a2b2k 2 b2t2 a2b2 a2t2
kOB
n2 m2
kHale Waihona Puke AkQBm2b4 n2a4
直线 AB 与曲线 C1 相切 点 Q 在曲线 C2 上.
y
b T
n B
O
m
a
x
P Q
A
证明:设点 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) , Q(x0, y0 ) ,则:
(1) kOA
kOB
n2 m2
kQA
kQB
m2b4 n2a4
.
由于椭圆 C
1.当 m2
a2b2 a2 b2
,
n2
a2b2 a2 b2
时,可得：
结论 1. kOA kOB
1
kQA kQB
b4 a4
OP AB
直线
AB 与圆 C1 :
x2 a2b2 a2 b2
y2 a2b2 a2 b2
1 相切 点 Q 在椭圆 C2 :
x2 a2(a2 b2)
b2
y2 b2(a2 b2)
将上下而求索.
n2 y02 b4
1得 b4 x02 a2b4 a4 y02 a4b2
n2 m2
,即 kOA kOB
n2 m2
.
所以,结论“ kOA kOB
n2 m2
点 Q 在曲线 C2 上”是成立的.
斜率乘积为定值e^2-1的椭圆的性质赏析
斜率乘积为定值e^2-1的椭圆的性质赏析
椭圆是二维空间中最常见的曲线，是一种椭圆型的抛物线，其斜率乘积为定值e^2-1的椭圆也被称为双曲线。
双曲线表示
了一种特殊的几何形状，其斜率乘积为定值e^2-1的椭圆是双
曲线中最经典的一种。
双曲线具有许多独特的特性，其中最重要的是它的斜率乘积为定值e^2-1的椭圆的几何性质。
由于双曲线的斜率乘积为
定值e^2-1的椭圆，它的形状不受外部影响而改变。
另外，当
双曲线的斜率乘积为定值e^2-1的椭圆的焦点距离越大，它的
形状就越“扁”，而且它的反比例就越大。
此外，双曲线的斜率乘积为定值e^2-1的椭圆的离心率e也是一个重要的特征。
双曲线的斜率乘积为定值e^2-1的椭圆可以用于描述物理
运动，特别是电子在电场中的运动。
此外，双曲线的斜率乘积为定值e^2-1的椭圆还可以用于模拟光线在空气中的传播，以
及空气中的湍流运动。
另外，双曲线的斜率乘积为定值e^2-1
的椭圆也可以用于描述物体在重力场中的运动，以及宇宙中的星系形成及变迁。
双曲线的斜率乘积为定值e^2-1的椭圆在现代几何学中也
有着广泛的应用，比如用于描述复杂几何图形，它可以精确描述几何图形，而且不受精度影响。
此外，双曲线的斜率乘积为定值e^2-1的椭圆在数学几何学中也有着重要的应用，比如用
于描述曲线的参数方程，以及求解曲线的面积等问题。
总之，双曲线的斜率乘积为定值e^2-1的椭圆是一种具有独特的几何性质的双曲线，它在物理学、数学几何学及现代几何学中都有着广泛的应用，是一种重要的数学工具。
椭圆上关于原点对称的点斜率乘积
椭圆上关于原点对称的点斜率乘积
椭圆曲线是一个二次多项式，它是以原点和轴的双曲线的组合而成的几何形状。
椭圆存在于几何和分析几何中，在坐标中表示为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$其中$a$和$b$分别是椭圆曲线的长短轴，且$a > b$。
椭圆上任意一点都关于原点对称，它们的坐标都是一对类似的对称点，用$(x,y)$表示该点，那么对称点（$-x,-y$）就是椭圆上关于原点对称的点。
那么当我们求椭圆上任意两点关于原点对称的时候，他们的斜率都是相同的，即：$$\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k$$椭圆上任意两点关于原点对称的点的斜率乘积就是：$$k \times (-k) = -k^2$$ 所以，对于椭圆上任意两点关于原点对称的点而言，其斜率乘积都是一个确定值 -k^2。
椭圆曲线是广泛应用于几何学、空间分析及几何学、历史学等研究领域中最重要的几何曲线术语。
它的空间变换、曲线拟合、椭圆势能场等，在几何学的立体空间永恒的概念中具有很重要的作用，在许多物理工程、航空物理学等领域中也得到了广泛的应用。
总之，椭圆是几何学中的重要概念，而椭圆上任意两点关于原点对称的点的斜率乘积都是 -k^2，这种特性可以在各个领域得到应用，可以说是几何学研究中一个很有用的概念。
椭圆上两点关于原点对称斜率乘积
椭圆上两点关于原点对称斜率乘积椭圆上两点关于原点对称斜率乘积（The Product of Slopes of Two Points on an Ellipse Respect to the Origin）是一个研究圆形图形的重要方面，也是比较容易理解的一个力学原理。
它可以帮助我们更好地理解椭圆的形状和性质，从而更好地利用椭圆的形状和性质。
首先，要了解椭圆上两点关于原点对称斜率乘积的意义，必须先了解斜率的概念。
斜率是指直线斜率。
它是指两个点之间的垂直距离和水平距离之比。
其次，要了解椭圆上两点关于原点对称斜率乘积，首先必须了解椭圆的定义和特性。
椭圆是一种特殊的抛物线，它是一种形状变形的圆，它的长轴和短轴的比值决定了椭圆的形状。
椭圆有两个特殊的点，它们分别是椭圆的长轴和短轴的两个端点，称为椭圆的焦点。
椭圆的切线方程是一个二次函数的形式，它可以表示椭圆上所有点的位置关系。
椭圆上两点关于原点对称斜率乘积，就是指两个点在椭圆上时，它们关于原点对称的斜率的乘积。
这个乘积必须等于椭圆的长轴和短轴的比值的平方。
也就是说，如果椭圆的长轴和短轴的比值是a：b，那么椭圆上任意两点关于原点对称的斜率的乘积是a2：b2。
椭圆上两点关于原点对称斜率乘积在研究圆形图形中有着重要的意义，它可以帮助我们更好地理解椭圆的形状和性质。
它可以用来计算椭圆上任意两点之间的距离，从而了解椭圆的形状。
此外，椭圆上两点关于原点对称斜率乘积也可以用于证明椭圆的一些性质。
比如，它可以证明椭圆的对称性，以及椭圆的长轴和短轴的比值。
另外，椭圆上两点关于原点对称斜率乘积也可以用于求解椭圆的方程。
比如，可以利用椭圆上两点关于原点对称斜率乘积来求解椭圆的切线方程。
总之，椭圆上两点关于原点对称斜率乘积是一个重要的力学原理，可以用来研究圆形图形，并有助于更好地理解椭圆的形状和性质，从而更好地利用椭圆的形状和性质。
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椭圆中斜率乘积为22ba-的问题【热身训练】1. 设12B B 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上下两顶点，P 是椭圆上异于12B B 、的任一点，直线12PB PB 、与x 轴相交于点,,M N 求证：OM ON 为定值 .2. 平面直角坐标系系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 中点且OP 的斜率为21，则椭圆M 的方程为 .【例题精讲】例1：已知椭圆22:182x y γ+=，点(A B -，O 为坐标原点． （I ）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值；（II ）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．变题1：,S T 椭圆2:14y γ+=上异于顶点的点，若P 是椭圆γ上异于,S T 任意一点，满足OP mOS nOT =+，且221(0)m n mn +=≠，求OS OT k k ⋅的值.变题2：如图，椭圆的中心为原点O ，离心率22e = ，一条准线的方程为22x =. （1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P 满足:2OP OM ON =+,其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在两个定点12,F F ,使得12PF PF +为定值？若存在，求出12,F F 的坐标；若不存在，请说明理由.变题3：已知椭圆2:14y γ+=，设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上异于顶点的两个动点，且OMN ∆的面积是1，试探究OM ON k k ⋅是否为定值．【课后练习】1. 设点P 是椭圆22:14x E y +=上的任意一点(异于左,右顶点A,B )，直线,PA PB 分别交直线10:3l x =与点M ,N ，求证:PN BM ⊥.2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14x C y +=上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M（2）若r =. ①求证：1214k k =-；②求OP OQ ⋅的最大值；③试探究是否为定值..【热身训练】1. 设12B B 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上下两顶点，P 是椭圆上异于12B B 、的任一点，直线12PB PB 、与x 轴相交于点,,M N 求证：OM ON 为定值 .2a 2. 平面直角坐标系系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线03=-+y x 交M 于A ，B 两点，P 为AB 中点且OP 的斜率为21，则椭圆M 的方程为 .22163x y += 【例题精讲】例1：已知椭圆22:182x y γ+=，点(A B -，O 为坐标原点． （I ）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值；（II ）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．解：（Ⅰ）()2OP mOA nOB=+=-+，得()P -，()()221m n m n -++=，即2212m n +=（II ）（解法一）由条件得，121214y y x x =-，平方得22222212121216(8)(8)x x y y x x ==--, 即22128x x +=122112OMN S x y x y ∆=-=2== 故OMN ∆的面积为定值2（解法二）①当直线MN 的斜率不存在时，易得OMN ∆的面积为2 ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+()()22222114842082x y k x ktx t y kx t ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩由1122(,),(,)M x y N x y ，可得()2121222428,1414t ktx x x x k k --+==++， ()()()2222121212122814t k y y kx t kx t k x x kt x x x t k -=++=+++=+又121214OM ON y y k k x x ⋅==-，可得2241t k =+因为12MN x x =-，点O 到直线MN的距离d =12122OMNt S MN d x x ∆=⋅⋅=⋅-2t =22t ==综上：OMN ∆的面积为定值2变题1：,S T 椭圆22:14x y γ+=上异于顶点的点，若P 是椭圆γ上异于,S T 任意一点，满足OP mOS nOT =+，且221(0)m n mn +=≠，求OS OT k k ⋅的值.解：设112200(,),(,),(,)S x y T x y P x y ，由OP mOS nOT =+，有012012,x mx nx y my ny =+=+，因为P 是椭圆22:14x y γ+=上任意一点，所以有221212()()14mx nx my ny +++=， 即222222121212122()()(2)1444x x x x m y n y mn y y +++++=因为,S T 椭圆22:14x y γ+=上异于顶点的点，所以222212121,144x x y y +=+=， 所以2212122(2)14x x m n mn y y +++=， 因为221(0)m n mn +=≠，所以12122204x x y y +=，因为,S T 椭圆22:14x y γ+=上异于顶点的点，所以120,0x x ≠≠，所以120x x ⋅≠，所以121214y y x x =-，即14OS OT k k ⋅=-. 变题2：如图，椭圆的中心为原点O ，离心率22e = ，一条准线的方程为22x =. （1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P 满足:2OP OM ON =+,其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在两个定点12,F F ,使得12PF PF +为定值？若存在，求出12,F F 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由22==a c e ，22a c=a 2c ＝22，解得2,2a c ==2222b a c =-=， 故椭圆的标准方程为22142x y +=. （2）设1122(,),(,),(,)M x y N x y P x y ,则由2OP OM ON =+,得12122,2x x x y y y =+=+，因为M,N 椭圆22:142x y γ+=上的点，所以222211221,14242x y x y +=+=， 故22221212(2)(2)4242x x y y x y +++=+ 2222112212121212()4()2524242x y x yx x y y x x y y =++++⋅+⋅=+⋅+⋅因为直线OM 与ON 的斜率之积为12-，即12OM ON k k ⋅=-，也即121212y y x x =-，所以121220x x y y ⋅+⋅=，所以22542x y +=，即2212010x y +=， 所以P 22221(25)(10)=上的点．设该椭圆的左、右焦点为12,F F ， 则由椭圆的定义有12PF PF +为定值522(25)(10)10c =-=，因此两定点的坐标为12(10,0),(10,0)F F -．变题3：已知椭圆22:14x y γ+=，设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上异于顶点的两个动点，且OMN ∆的面积是1，试探究OM ON k k ⋅是否为定值．解：①当直线MN 的斜率不存在时，设:MN x t =,((,M t N t 则可得OMN ∆的面积为1t =，即t =所以221114224OM ONt k k t -⋅=-=-=-，②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+()()2222211484104x y k x ktx t y kx t ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩由1122(,),(,)M x y N x y ，可得()2121222418,1414t ktx x x x k k--+==++， ()()()2222121212122414t k y y kx t kx t k x x kt x x x t k-=++=+++=+因为12MN x x =-，点O 到直线MN的距离d =12122OMNt S MN d x x ∆=⋅⋅=⋅-2t =12t == 可得22241t k =+，所以()()()22222212222122441114441414114OM ONt k y y t k t k k k x x t t t k ---+⋅======----+， 综上：OM ON k k ⋅为定值14-． 1. 设点P 是椭圆22:14x E y +=上的任意一点(异于左,右顶点A,B )，直线,PA PB 分别交直线10:3l x =与点M ,N ，求证:PN BM ⊥. 证明：设110(,),3M y 则134MB k y =，1316PA MA k k y ==，所以4MB PA k k =，设(,)P x y ，则222211422444PA PBx y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---， 所以1PB MB k k ⋅=-，即PN BM ⊥2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设点00(,)M x y 是椭圆22:14x C y +=上一点，从原点O 向圆22200:()()M x x y y r -+-=作两条切线分别与椭圆C 交于点,P Q ，直线,OP OQ 的斜率分别记为12,k k .（1）若圆M 与x 轴相切于椭圆C 的右焦点，求圆M（2）若r =. ①求证：1214k k =-；②求OP OQ ⋅的最大值；③试探究是否为定值. 解：（1）因为椭圆C 右焦点的坐标为0)，所以圆心M 的坐标为1)2±，从而圆M 的方程为2211(()24x y -+±=.（2）①因为圆M 与直线1:OP y k x ==， 即222010010(45)10450x k x y k y -++-=， 同理，有222020020(45)10450x k x y k y -++-=，所以12,k k 是方程2220000(45)10450x k x y k y -++-=的两根，从而222000122220001545(1)1451444545454x x y k k x x x ---+-====----. ②设点111222(,),(,)P x y P x y ，联立12214y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222111221144,1414k x y k k ==++， 同理，222222222244,1414k x y k k ==++， 所以222112221114444,141414k k OP k k k +=+=+++222222212222111222222222221211114444441164411414144414k k k k k k k OQ k k k k k k k k ++++=+====++++++ 2222112211441161414k k OP OQ k k ++⋅=⋅++221221520()252(14)4k k +≤=+， 当且仅当112k =±时取等号. 所以OP OQ ⋅的最大值为52.③由②有所以22222111222111441165205141414k k k OP OQ k k k ++++=+==+++。