第七章第二节湍流能量方程

§7．2湍流能量方程
湍流本身是消耗能量的，为了保持湍流 运动，就要不断向它提供能量。在湍流作 用 下 ， 随 着 流 体 的 扩 散 ，能量也不断扩 散，所以只有当供给湍流的能量、扩散的 能量和消耗的能量处于平衡时，湍流才能 处于恒定状态，否则将导致湍流能量随时 间消失。
本节内容
一、湍流能量的种类 二、平均流能量方程 三、脉动能量方程 四、负粘性现象 五、总结和作业 补充：“粘性作用项”分析
一、湍流能量的种类
在讨论湍流能量时，需要区分三种能 量： （1）瞬时流能量的平均值， （2）平均流的能量， （3）脉动能量平均值。
湍流能量的种类
瞬时动能的平均值＝平均动能＋脉动动 能
Et = 1 ρ u i2 2
2 1 Et = ρ u i 2 1 E t′ = ρ u i′ 2 2
E t = E t + E t′
∂ ui′ ρυ ∑∑ 2 ui′ i j ∂x j
2
∂ ui′ ρυ 2 ui′ ∂x j 2 ∂u′j ∂u′j 1 ∂ 2 ) = ρυ ( u′j − 2 ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi
2
补充：“粘性作用项”分析
∂u′j ∂u′j 1 ∂ 2 = u′j − 2 ∂xi ∂xi ∂xi ∂xi
2 I II
第I项为湍流能量的扩散，第II项为湍流能量 的耗散。对于均匀流场（平均湍流量的一切空 间微商变为零 ）来说，第一项为零，只有第二 项。
脉动能量方程
因此湍流脉动能量方程可以写为：
1 1 ∂ ∂Et′ ∂ 2 [ u j Et′ + p′u′j + ρ ( ui′ui′u ′j ) − υ ( ui′ )] = + 2 2 ∂x j ∂t ∂x j
Reynolds应力做功
∂ui ρ ∑∑ ui′u ′j i j ∂x j
Reynolds应力做功项可以解释为平均运动 的耗散项，湍流应力引起的变形功转换为随机 的湍流运动。
三、脉动能量方程
方程(7.2.1)× ui’，再求和得，
∂Et′ 1 ∂ [u j Et′ + p′u′j + ρ ∑ (ui′ui′u′j )] = +∑ ∂t 2 i j ∂x j
流体内部的平流输送
∂ 2ui′ ∂ui ρυ ∑∑ 2 ui′ − ρ ∑∑ ui′u ′j + ρ ∑ ui′F ′i i j ∂x j i j ∂x j i
粘性作用（能汇） Re ynolds应力做功 外力做功
湍流内部平流输送项
1 ∂ ∑ ∂x [u j Et′ + p′u′j + 2 ρ ∑ (ui′ui′u′j )] j i j
流体内部的平流输送
∂ui ∂ui′ 2 − ρυ ( ) − ρ ui′u′j + ρ ui′F ′i ∂x j ∂x j 外力做功
粘性作用（能汇）
Re ynolds应力做功
∂Et′ ∂ ∂ + [ u j Et′ + p′u ′j + ρ ( Et′u ′j ) − ρυ ( Et′ )] = ∂t ∂x j ∂x j
流体内部的平流输送
∂ui ∂ui′ 2 ) − ρ ui′u′j + ρ ui′Fi′ − ρυ ( ∂x j ∂x j 外力做功
粘性作用（能汇）
Re ynolds应力做功
负粘性现象
如果所有的Kij＞0，则必然有T＞0，即湍流 脉动从平均流场中获得能量。 而要使T＜0，必须有某些Kij＜0，即湍流粘 性系数为负值，这称之为负粘性现象，它表示 湍流脉动能量向平均场输送。这种现象与一般 分子输送的传统概念完全相反。但根据现代非 线性耗散系统的动力学理论来看，负粘性表示 系统由无序运动向有序结构的转换，对一个开 放系统来说，是完全成立的。
∂u i =0 ∂xi
∂u i′ ∂u i′ ∂u i′ ∂u i ∂u i′ 1 ∂p ′ ∂ (υ + u ′j + u ′j + +uj + u i′u ′j ) + Fi′ =− ∂t ∂x j ∂x j ρ ∂xi ∂x j ∂x j ∂x j
∂u i′ =0 ∂xi
二、平均能量方程
方程(7.2.1)× ui，再求和得，
Reynolds应力做功项
∂ui − ρ ∑∑ ui′u ′j i j ∂x j
代表流体平均场与湍流脉动场之间的相互作 用。与平均量方程第三项相比，它们数值相 等，符号相反。该项的作用比较复杂，如果其 数值大于零，则它为湍流动能源，湍流脉动从 平均场获得能量。如果该项的数值为负，则它 是湍流能量汇。此时，如果无外力脉动作用， 湍流不可能维持，最终都衰减为分子热运动。
湍流内部平流输送项：如果对此方程在整个 流体空间积分，再运用零边界条件，则不难证 明，该项的积分值为零，这说明它们对整个流 体的总动能不起作用，只反映湍流动能在流体 内部的平移输送和压力脉动作用。
粘性作用项
∂ ui′ ρυ ∑∑ 2 ui′ i j ∂x j
2
其作用只能是耗散湍流动能，把湍流能量转 换为分子热运动能量。
总结
本节从湍流能量方程出发分析影响湍流能量 变化的因素：外力、粘性耗散、湍流与平均场 的相互作用。2.8)式是如何得到 的？ 2、湍流能量方程由哪些项组成？各项的物 理意义是什么？ 3、负粘性是什么意思？
补充：“粘性作用项”分析
(7.2.8)右边第二项为分子粘性作用，不难证 明，其作用只能是耗散湍流动能，把湍流能量 转换为分子热运动能量。
Reynolds方程和湍流脉动方程
有外力作用下，不可压缩流体Reynolds方程 和湍流脉动方程(7.1.3)~(7.1.5)可以写成
∂u i ∂u i ∂u i 1 ∂p ∂ ∂ +uj =− + u i′u ′j + F i (υ )− ∂t ∂x j ρ ∂xi ∂x j ∂x j ∂x j
外力做功项
ρ ∑ ui′F ′i
i
该项表示外力脉动效应。当外力脉动与流体 速度脉动具有正相关时，则该外力脉动是湍流 动能源，反之则为汇。
四、负粘性现象
分析Reynolds应力做功。 根据半经验理论 ，令
− u i′u ′j = K ij ∂u i ∂x j
∂u i ∂u i 2 ) u i′u ′j = ρ ∑∑ K ij ( T = − ρ ∑∑ ∂x j i j ∂x j i j
∂ Et ∂ +∑ (u j Et + u j p + ρ ∑ (ui′u′j ui )) = ∂t j ∂x j i
流体内部的平流输送
∂ ui ∂ui ∂ ρ ∑ ui ∑ (υ )+ ρ ∑∑ ui′u′j + ρ ∑ ui F i ∂x j i j ∂x j i i j ∂x j
粘性作用（能汇） Re ynolds应力做功 外力做功