海涅定理在函数极限证明中的应用

海涅定理在函数极限证明中的应用

摘要：函数极限理论是数学分析中的重要组成部分。关于证明函数极限存在的方法探讨具有十分重要的意义。本文给出了一些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数极限归结为数列极限问题来处理。不仅给出了一类证明函数极限存在的方法，同时也加深了对函数极限和数列极限两者间的关系的理解。

关键词：海涅定理；函数极限；数列极限

Abstract: The limit theory of functions plays an important role in mathematical analysis. Study on the method proving existence of function limit is very meaningful. In this paper, we gave some applications for existence of function limit by using Heine theorem and dealt with the function limit problems to the sequence limit problems. These not only gave a kind of the method for existence of function limit, but also deepen the comprehension about the relationship between the function limit and the sequence limit.

Key words: Heine theorem; function limit; sequence limit

数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。而海涅定理就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁。也是证明函数极限性质和极限存在的判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用。除此之外还可以运用海涅定理优化极限的运算。其意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理。

海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义上来说，效果都是一样的。因此，数列极限和函数极限在一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理。

近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究。此外，一些学者利用海涅定理来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献[1-6]。还有一些学者对海涅定理进行进一步推广，见参考文献[7-10]。根据文献[6，8,10] 对海涅定理进行归类整理的。

1 预备知识

定义1.1[]1 函数在0x 点的极限的定义：设函数()x f 在0x 点的附近（但可能除掉0x 点本身）有定义，又设A 是一个定数。如果对任意给定的0>ε，一定存在0>δ，使得当δ<-<00x x 时，总有()ε<-A x f ，我们就称A 是函数()x f 在0x 点的极限，记为

()A x f x x =→0

lim （或者记为()()0x x A x f →→）.

这时也称函数()x f 在0x 点极限存在，其极限是A 。

2 海涅定理的证明及推广

定理 2.1[]1

海涅定理 ()A x f x x =→0

lim 的充分必要条件为对任何以0x 为极限的

数列{}()0x x x n n ≠，都有()()∞→→n A x f n 。

证明 先证必要性。由于()A x f x x =→0

lim ，所以对任意的0>ε，存在0>δ，当

δ<-<00x x 时，

()ε<-A x f .

但是0x x n →，故对0>δ，又可得正整数N ，n N >时，

δ<-0x x n . 因为0x x n ≠，故上面的不等式可改写为

δ<-<00x x n . 而对于适合这个不等式的n x ，其函数值()n x f 满足

()ε<-A x f n .

亦即当N n >时，这个不等式成立，这也就证明了数列(){}n x f 以A 为极限。

再证充分性。用反证法，若()A x f x x ≠→0

lim ，则对某一个0>ε，不能找到函数极

限定义中的δ，也就是对任意的0>δ，都可以找到一点x '，00x x δ'<-<，使得

()ε≥-'A x f ；特别地，若取δ为11

1,,,

23

，得到123,,,

x x x 满足

1001x x <-<，()1f x A ε-≥；

201

02x x <-<

，()2f x A ε-≥； 301

03

x x <-<，()3f x A ε-≥；

…………

从左边一列可以看出()0n x x n →→∞，0n x x ≠，而右边一列却说数列()n x f 不以A 为极限，与假设矛盾。充分性得证。

等价类型的海涅定理：

定理2.2[]8

设()x f 在M x >上有定义则()lim x f x A →∞

=的充要条件是：对于任

何以∞为极限的数列{}()n n x x M >，都有()A x f n n =∞

→lim 。

证明 先证必要性。因为lim ()x f x A →∞

=，则得到对任意的0ε>，存在0M >，

当x M >时有

()f x A ε-<.

但是n x →∞，故对0M >，可得正整数N ，当n N >时有n x M >。又因为n x M >。故上面的不等式可以改写为

()-n f x A ε<.

亦即当n N >时，这个不等式成立，这也就证明了数列(){}n f x 以A 为极限。

再证充分性。用反证法，假设lim ()x f x A →∞

≠，则对于某一个0ε>，不能找到函

数极限定义中的M ，也就是对任意0M >都能找到一个点i x M >时，使得

()f x A ε-≥。特别地，当取1,2,3,4,

M =时，得到1234

,,,x x x x 适合