数学分析 教学大纲

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

《数学分析》教学大纲 一、 课程性质

本课程是高等院校数学与应用数学专业和信息与计算科学专业的一门重要基础课，对培养学生的数学素养和科学研究能力有着重要的意义，是进一步学习复变函数论、微分方程、微分几何、概率论、实变函数与泛函分析等后继课程的阶梯。

对数学与应用数学专业的学生来说，学习本课程也为深入理解中学数学打下必要的基础。

二、 课程教学基本目的与任务

本课程的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识。

通过本课程的学习，应使学生：

1 对极限的思想和方法有较深刻的认识，从而有助于培养学生的辩证唯物主义观点。

2 正确理解数学分析的基本概念，基本上掌握数学分析中的论证方法，获得较熟练的演算技能和初步应用能力。

3对数学与应用数学专业的学生来说，能应用数学分析的有关知识深入浅出地处理好中学教材。

2 实施本大纲时，请注意以下几点：

（1） 在不影响基本要求的情况下，本大纲所列各单元讲授顺序和时数安排，可作适当调整。

（2） 为避免教学上的难点过于集中，有些定理可先提出并应用，把证明推迟进行，如实数的一些基本定理可移到一元函数微积分学之后，又如定积分中“上和与下和”、“可积条件”的证明可移到积分法之后。

（3） 作为数学与应用数学专业的学生，应对“实数理论”有一定的理解，本大纲把“实数理论”作为附录放在最后，建议结合实数基本定理的证明作适当介绍。

（4） 大纲列入部分带*号（或在附注中说明）的内容，供选用。

三....[教学方式]:

以课堂讲授为主,讨论为辅,适当讲解一些理论性较强的课后习题。

四、教材《数学分析》编者刘玉莲高等教出版社。教学参考《数学分析》主编吴顺唐南京大学出版社

五、教学内容与要求

预备知识 实数集[教学时数]：16学时

[教学内容]：实数概述，绝对值不等式，区间与邻域，

第一章 函数[教学时数]：16学时

函数概念，函数的几种表示法（解析法，列表法和图像法等），一些特殊类型的函数（有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数），函数的有理运算，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数。

[教学要求]：

1、深刻理解函数的定义，很好地理解分段函数。

2、会确定函数的定义域。

3、掌握函数的表示法，重点掌握解析表示法。

4、理解函数的

有界性（包括无界性）、单调性、奇偶性和周期性的定义，能按定义证明一些简单问题。

5、理解复合函数和反函数的概念，知道它们存在的条件。

6、知道哪些函数是基本初等函数，何谓初等函数。

[教学重点与难点]:

重点: 理解函数、四类特性函数、复合函数和反函数的定义，能按定义证明一些简单问题。

难点: 分段函数的概念，函数无界性定义。

[教学方式]:

以课堂讲授为主,讨论为辅,适当讲解一些理论性较强的课后习题。

[附注]：

1 为了与中学数学相衔接，用无限十进小数来定义实数，并指出它的性质。

2 在中学已学过“集合”、“对应”的基础上，建议用“映射”观点定义函

数，并引用记号f：A→R 。

第二章：数列极限[教学时数]：20学时。

[教学内容]：数列，子列，数列极限的ε－N定义，收敛数列性质——唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算、单调有界数列极限存在定理、柯西收敛准则、数列极限与子列极限关系、施托兹定理。

1、能熟练地书写数列极限的“ε－N”定义及否定叙述，并能应用“ε－N”定义验证和证明一些简单的数列极限的问题。

2、能准确叙述和证明：数列的有界性、单调性、极限的唯一性、有理运算定理、数列极限与子列极限关系定理。

3、会应用迫敛性、单调有界数列存在极限定理、施托兹定理、四则运算定理以及复合运算定理熟练地计算极限。

4、会运用柯西收敛准则证明极限的敛散性。

5、会用数列与子列极限的关系判断某些数列发散。

[教学重点与难点]:

重点: 理解数列极限的“ε－N”定义及否定叙述，准确叙述和证明数列极限性质并求数列极限。

难点: 准确理解“ε－N”定义及否定叙述，运用数列极限有关定理来证明数列极限的敛散性。

4、函数极限，ε－δ定义，ε－A定义，单侧极限、函数极限性质——唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算、复合函数极限定理、归结原则、函数极限的柯西准则、两个重要极限、无穷小量及其阶的比较，记号 、～，广义极限，无穷大量，无穷大量的阶的比较*。

[教学要求]：

1、能熟练地书写各种类型极限的“ε－A”和“ε－δ”定义及其否定叙述，并能应用“ε－A”和“ε－δ”定义验证和证明一些简单的函数极限问题。

2、能准确叙述复合函数极限定理与海涅定理，并能熟练应用。

3、能准确叙述并证明函数的极限性质——唯一性、局部有界性、局部保号性和不等式性质。

4、会应用迫敛性、有理运算、复合函数极限定理及两个重要极限，熟练地

计算极限。

5、会用海涅定理判断某些函数极限不存在。

[教学重点与难点]:

重点: 准确理解函数极限的“ε－δ”定义和“ε－A”定义，会运用函数的极限性质以及两个重要极限来计算函数极限。

难点: 函数极限的“ε －δ”定义和海涅定理。

[附注]：

在记号 、～的举例时，可介绍记号O，并说明无穷大量与无穷小量的关系。



5、函数在一点的连续性，单侧连续性，间断点及其分类，连续函数局部性质，区间上的连续函数性质——有界性、最值性、介值性、一致连续性，反函数的连续性，初等函数连续性[教学要求]：

1、深刻理解函数在一点连续、左右连续和在区间上连续的定义，并能熟练书写函数在一点连续的各种等价叙述。

2、掌握不连续点的分类，并会具体地判别不连续点的类型。

3、理解初等函数在其定义域的连续性及其几何意义，会用闭区间上连续函数的性质处理一些简单问题。

[教学重点与难点]:

重点: 准确理解连续性定义、间断点及其分类，会用区间上的连续函数性质证题。

难点: 间断点及其分类，用闭区间上连续函数的性质证 [附注]：

1、在讲授“初等函数连续性”时，应给出“实指数的乘幂”的定义。

2、“闭区间上连续函数性质的证明”

闭区间套定理，确界定理，有限覆盖定理，聚点定理，致密性定理，数列的Cauchy收敛准则,闭区间上连续函数性质的证明。

[教学要求]：

1、理解描述实数连续性的几个定理的意义，并能应用它们证明一些理论问题。

2、知道这几个定理的等价性，并能给出其中几个的等价性证明。

[教学重点与难点]:

重点: 理解实数连续性的几个定理，并能应用它们证明一些理论问题。

难点: 理解确界定理、有限覆盖定理、聚点定理。

[附注]:

以区间套定理为主要工具证明其它定理。

第四章 导数与微分[教学时数]：24学时。

[教学内容]：导数的引入（切线问题与瞬时速度问题），导数定义，单侧导数，导函数，导数的几何意义，和，商，积的导数，反函数的导数，复合函数的导数，初等函数的导数，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用，高阶导数，高阶微分，由参量方程表示的曲线的斜率。

[教学要求]：

1、掌握导数与微分的定义，并了解它们的几何意义，知道导数与微分的异同及其不同的功用。

2、会用导数的定义计算函数的导数，牢记导数公式表中的公式，会用复合函数的求导法则，熟练地计算初等函数的导数。

3、知道应用微分能作函数值近似值计算的道理。

[教学重点与难点]:

重点: 理解导数定义和

性质，熟练地计算初等函数的导数。

难点: 高阶导数的计算。



[附注]：

1、结合求导举例，可介绍对数求导法。

2、高阶导数的莱伯尼兹公式可述而不证。

第五章 中值定理

[教学时数]：20学时。

[教学内容]：费尔马定理 ，洛尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理（泰勒公式及其拉格朗日型余项）及唯一性定理，近似计算，函数的单调性及其判别法，极值，最大值与最小值，曲线的凹凸性，拐点，渐近线，函数的图像的讨论，洛毕达法则。

[教学要求]：

1、能正确地叙述洛尔定理、拉格朗日定理和柯西定理、泰勒定理及其唯一性的条件和结论，理解作辅助函数对定理证明的意义，知道它们的分析意义和几何意义。

2、具有应用拉格朗日型定理证明一些简单理论问题。

3、记住带有拉格朗日余项的泰勒公式（包括马克劳林展开式）以及几个重要初等超越函数的马克劳林展开式。

4、能熟练地应用洛毕达法则计算待定型极限。

5、会应用导数研究函数状态（单调性、极值、凹凸性），知道描绘函数图像的方法和步骤。

[教学重点与难点]:

重点: 理解洛尔定理、拉格朗日定理和柯西定理、泰勒定理，应用洛毕达法则计算待定型极限，应用导数研究函数状态。

难点: 中值定理、泰勒定理和洛毕达法则的证明。



第六章 导数的应用[教学时数]：20学时。

[教学内容]：函数的单调性及其判别法，极值，最大值与最小值，曲线的凹凸性，拐点，渐近线，函数的图像的讨论，洛毕达法则。

[教学重点与难点]:

1、能熟练地应用洛毕达法则计算待定型极限。

2、会应用导数研究函数状态（单调性、极值、凹凸性），知道描绘函数图像的方法和步骤。

应用导数研究函数状态。



第七章 不定积分24学时


[教学内容]：原函数与不定积分概念，基本积分表，线性运算法则，换元

积分法，分部积分法，三角函数有理式的不定积分，几种无理函数的不定积分如

几种不能用初等函数表示的不定积分。

[教学要求]：

1、理解原函数与不定积分的概念，知道两者之间的区别。

2、牢记不定积分表中的公式。

3、能熟练地应用变量替换法和分部积分法计算各类函数的不定积分。

4、掌握将有理函数化为分项分式的方法。

[教学重点与难点]:

重点: 不定积分的计算。

难点: 用变量替换法和分部积分法计算各类函数的不定积分，求有理函数的不定积分。



[附注]:

连续函数的原函数存在性的证明留待第九章“定积分”中进行。

第八章 定积分24学时

[教学内

容]：定积分的引入（曲边梯形面积与变力作功），定积分定义及几何意义，可积的必要条件，大和、小和及其性质，可积的充要条件，可积函数类——在闭区间上连续的函数、在闭区间只有有限个间断点的有界函数、单调有界函数，定积分性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质，积分第一中值定理、积分第二中值定理，微积分学基本定理，牛顿——莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法定义对数函数*，并导出对数函数和指数函数的基本性质*。

[教学要求]：

1、理解定积分的概念、构造积分和的思想方法与积分和极限的意义。

2、了解大和与小和的定义及其性质，掌握可积的必要充分条件，并会用这个条件证明三类函数的可积性。

3、掌握定积分的性质与微积分学基本定理，能应用定积分的性质与微积分

学基本定理证明一些简单的理论问题。

4、能熟练地应用换元积分法、分部积分法、牛—莱公式计算定积分。

[教学重点与难点]:

重点: 掌握函数可积的充要条件，证明三类函数的可积性，应用定积分的性质与微积分学基本定理证明一些简单的理论问题，熟练地应用换元积分法、分部积分法、牛—莱公式计算定积分。

难点: 掌握函数可积的充要条件，应用定积分的性质与微积分学基本定理证明一些理论问题。

第九章 定积分的应用

[教学时数]：20学时。

[教学内容]：简单平面图形面积，曲线的弧长与弧微分，曲率*，已知截面面积函数的立体体积，旋转体体积与侧面积，平均值，物理应用（压力、功、静力矩与重心等）。

[教学要求]：

1、理解微元法的意义，会用微元法将实际问题抽象为定积分。

2、掌握定积分在几何上的应用（特别是计算面积和弧长）。

[教学重点与难点]:

重点: 理解微元法的意义，掌握平面图形面积、曲线的弧长与弧微分、已知截面面积函数的立体体积的计算公式。

难点: 理解微元法、弧微分概念。



第十一章 反常 10学时

[教学内容]：无穷限积分概念，柯西准则，线性运算法则,比较原则，柯西判别法，阿贝尔判别法与狄利克判别法，绝对收敛，无穷限积分收敛性判别法。

瑕积分概念，瑕积分收敛性判别法。

[教学要求]：

1、掌握无穷限积分和瑕积分的收敛与发散概念及其简单性质，会应用收敛定义计算无穷限积分和瑕积分。

2、会应用敛散性定义和敛散性判别法判别无穷限积分和瑕积分的敛散性。

[教学重点与难点]:重点: 无穷限积分概念，柯西准则。

难点: 瑕积分收敛性判别法，无穷限积分收敛性判别法。

[附注]：

注意介绍无穷限积

分与瑕积分的相互转化。

第十章 数项级数（24学时。）

[教学内容]：数项级数收敛与和的定义，柯西准则，收敛的基本性质，正项级数比较原则，比式判别法，根式判别法，一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱伯尼兹判别法，阿贝尔判别法与狄利克莱判别法，绝对收敛级数的重排定理，条件收敛级数的黎曼定理*，级数乘法*。

[教学要求]：

1、掌握数项级数收敛（级数的和）与发散的概念，熟练地掌握判别数项级数敛散性的判别法。

2、掌握收敛级数的基本性质，记住几何级数和广义级的敛散性。

3、掌握数项级数的绝对收敛和条件收敛的概念，掌握判别数项级数条件收敛与绝对收敛的方法，了解条件收敛级数与绝对收敛级数在运算（交换律、分配律）上的差别。

4、具有证明数项级数中一些简单理论问题的能力。

[教学重点与难点]:

重点: 掌握数项级数收敛定义，掌握数项级数敛散性判别法。掌握判别数项级数条件收敛与绝对收敛的方法。

难点: 掌握数项级数敛散性判别法。



第十一章 函数列与函数项级数

[教学时数]：24学时。 [教学内容]：函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则，函数项级数维尔斯特拉斯优级数判别法，阿贝尔判别法与狄利克莱判别法，函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性，逐项可积性与逐项可微性。

[教学要求]：

1、深刻理解一致收敛概念，并会书写一致收敛定义及其否定叙述，会判别一些常见的函数级数的一致收敛性。

2、能证明函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项微分定理。

3、具有初步证明函数项级数的一些简单理论问题的能力。

4、重点: 理解一致收敛概念，证明函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项微分定理，证明函数项级数的简单理论问题。

难点: 掌握一致收敛概念及一致收敛判别法。



5 、阿贝尔第一定理，收敛半径与收敛区间，一致收敛性，连续性，逐项积分与逐项微分，幂级数四则运算，泰勒级数，泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开

[教学要求]：

会求幂级数收敛半径，记住常用的五个初等函数的马克劳林级数，能将一些简单函数展成泰勒级数和马克劳林级数。

[教学重点与难点]:

重点: 掌握幂级数在收敛区间上的性质，会初等函数的泰勒展开。

难点: 掌握初等函数的泰勒展开。

[教学方式]:

以课堂讲授为主,讨论为辅,适当讲解一些理论性较强的课后习题。

[附注]：

1、幂级数的除法运算可通过举例作介绍。

2、在近似计算中应包括e的计算与无理性证明、π的计算等。

难点: 掌握贝塞尔不等式，黎曼—勒贝格定理。

[教学方式]:

以课堂讲授为主,讨论为辅,适当讲解一些理论性较强的课后习题。

第十二章 广义积分


[教学内容]：广义积分概念，连续性，可积性与可微性，积分顺序的交换，含参量广义积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则，维尔斯特拉斯判别法，连续性，可积性与可微性，

[教学时数]：12学时。

[教学要求]：

1、掌握广义积分概念、广义积分的收敛与一致收敛的概念。

2、广义积分的分析性质（不要求会证明）。

第十三章 多元函数的极限与连续（12学时。）

[教学内容]：平面点集概念（邻域，内点，界点，开域，闭域等），平面点集的基本定理——区域套定理、有限覆盖定理、聚点定理、Cauchy收敛准则、致密性定理。

二元函数的概念，二重极限，累次极限，二元函数的连续性，复合函数的连续性定理，有界闭域上连续函数的性质。

n维空间与n元函数（距离，三角形不等式，极限，连续）*。

[教学要求]：

1、掌握平面点集的一些概念：邻域、内点、界点、区域、闭区域、有界区域、无界区域等，以及描述坐标平面连续性的闭矩形套定理与有限覆盖定理。

2、掌握二元函数和二元函数极限的定义，弄清二重极限与累次极限的区别及联系。

3、掌握二元函数连续的定义，二元连续函数的性质，复合函数的连续性，有界闭区域上连续函数的有界性、最值性、介值性和一致连续性，并知道n元函数也具有这些性质。

[教学重点与难点]:

重点: 掌握二元函数极限的定义、二元连续函数的性质，掌握闭矩形套定理与有限覆盖定理，弄清二重极限与累次极限的区别及联系，，理解有界闭区域上连续函数的有界性、最值性、介值性和一致连续性。

难点: 计算二元函数极限，求二元函数的不连续点，运用二元连续函数的性质证题。

第十四章 多元函数的微（20学时。）

[教学内容]：偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件，全微分在近似计算中的应用，方向导数与梯度，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，高阶导数与顺序无关性,高阶微分，二元函数的泰勒定理，二元函数极值，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线。

[教学要求]：

1、熟练计算偏导数和高阶偏导数，知道偏导数的几何意义。

2、会求空间曲线的切线方程与法平面方程，以及空间曲面的切平面方程与法线方程。

3、理解全微分的意义及其几何意义。

4、理解二元函数泰勒公式的意义，并能写出简单二元函数的泰

勒公式。

5、会求二元函数的极值和最大（小）值，并能计算一些简单极值的应用问题。

6、掌握隐函数概念，理解用函数方程表示（隐）函数的意义，会用隐函数存在定理判别隐函数的存在性和计算隐函数的导数（或偏导数）。

7、掌握隐函数组的概念，理解用函数方程表示（隐）函数的意义，会用隐函数存在定理判别隐函数的存在性和计算隐函数的导数（或偏导数）。

3、会应用拉格朗日乘数法求条件极值。

[教学重点与难点]:

重点: 理解全微分的意义，熟练计算偏导数和高阶偏导数，理解二元函数泰勒公式的意义，会求空间曲线的切线方程与法平面方程和空间曲面的切平面方程与法线方程，会求二元函数的极值和最大（小）值。

难点: 理解方向导数与梯度意义，掌握二元函数的泰勒定理，证明极值的

隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导，隐函数组概念，隐函数组定理，隐函数组求导，条件极值与拉格朗日乘数法。

3、会应用拉格朗日乘数法求条件极值。

重点: 掌握隐函数（隐函数组）的概念，会用隐函数（隐函数组）存在定理判别隐函数（隐函数组）的存在性和计算隐函数（隐函数组）的导数（或偏导数）。



第十五章 重积分[教学时数]：20学时

[教学内容]：二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算（化为累次积分），格林公式以及曲线积分与路径无关条件，二重积分的换元法（极坐标变换与一般变换），三重积分定义与计算，三重积分的换元法（柱坐标变换，球坐标变换与一般变换）。重积分应用（体积，曲面面积，重心*，转动惯量*），n重积分*。无界区域上广义二重积分的收敛性概念*，无界函数的广义二重积分的收敛性概念*。

[教学要求]：

1、能够熟练应用累次积分法计算二重积分和三重积分，并能根据积分区域和被积函数的特征进行适当的变量替换，特别是二重积分的极坐标变换，三重积分的柱面坐标替换和球面坐标替换。

2、掌握格林公式的内容及其意义，并能应用它计算一些简单的曲线积分。

3、会应用二重积分计算光滑曲面的面积。

4、了解无界区域上广义二重积分的收敛性概念。

重点: 应用累次积分法计算重积分，能根据积分区域和被积函数的特征进行适当的变量替换，掌握极坐标变换、柱面坐标替换和球面坐标替换。掌握格林公式的内容，并能应用它计算一些简单的曲线积分。

难点: 利用极坐标变换、柱面坐标替换和球面坐标替换计算重积分。

[教学方式]:

以课堂讲授为主,讨论为辅,适当讲解一些计算技巧和理论性比较强的课后习题。用微元

法讲重

第十六章 曲线积分

[教学内容]：第一型和第二型曲线积分概念与计算，第一型曲线积分与第二型曲线积分二者之间形式上的转化关系。

[教学时数]：6学时。

[教学要求]：

1、掌握第一型曲线积分和第二型曲线积分的概念及它们的共性，并会计算第一型曲线积分和第二型曲线积分。

2、理解第一型曲线积分与第二型曲线积分二者之间形式上的转化关系。

[教学重点与难点]:

重点: 掌握第一型和第二型曲线积分的概念与计算，理解第一型曲线积分与第二型曲线积分二者之间形式上的转化关系。

难点:曲线的方向在积分中的运用。






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