小学奥数知识名师点拨 例题精讲 圆柱与圆锥.教师版
小学六年级奥数教案—圆柱圆锥
小学六年级奥数圆柱圆锥圆柱与圆锥这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。
例1如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？分析与解：本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。
这表明容器可以装8份5升水，已经装了1份，还能装水5×（8－1）=35（升）。
例2 用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。
这样做成的铁桶的容积最大是多少？（精确到1厘米3）分析与解：铁桶有以60厘米的边为高和以40厘米的边为高两种做法。
时桶的容积是桶的容积是例3有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米3。
现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。
问：瓶内现有饮料多少立方分米？分析与解：瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计算。
比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变，所以空余部分的体积应当相同。
将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变，高为 20＋5=25（厘米）例4皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。
皮球的直径为15厘米，水桶中后，水桶中的水面升高了多少厘米？解：皮球的体积是水面升高的高度是450π÷900π＝0.5（厘米）。
答：水面升高了0.5厘米。
例5有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）。
如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？分析与解：需要涂漆的面有圆柱体的下底面、外侧面、上面的圆环、圆孔的侧面、圆孔的底面，其中上面的圆环与圆孔的底面可以拼成一个与圆柱体的底面相同的圆。
涂漆面积为例6将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。
小学六年级奥数第十九章圆锥和圆柱
第十九章圆锥和圆柱知识要点圆柱、圆锥的意义，表面积、体积的计算方法及计算公式是相互关联的，理解掌握计算名称意义表面积计算公式体积计算公式圆柱体一个长方形以它的一边为轴旋转一周形成的几何体表面积＝侧面积＋底面积×2S＝Ch＋2πr体积＝底面积×高V＝Sh圆锥一个直角三角形以它的一条直角边为轴旋转一周形成的几何体表面积＝侧面积＋底面积S＝πr l＋πr2体积＝13×底面积×高V＝13πr2h(其中r表示底面圆的半径，h表示高，C表示底面周长，V表示体积，S表示面积，l表示母线长)计算圆柱和圆锥的表面积和体积时，要注意分析题中的已知条件，善于发现所求问题和已知条件的关系，通过转换或变换找出内在的联系。
例1 一个圆柱体，高4厘米，把它的底面分成许多个相等的扇形，然后切开，拼成一个与圆柱体等底、等高的近似长方体，这时长方体的表面积比圆柱的表面积增加了48平方厘米。
求圆柱体的体积是多少立方厘米。
点拨长方体的六个面，其中有四个面是由圆柱转换来的，有两个面即被切开后没有盖住的两个长方形，长都是圆柱的高，宽都是底面的半径。
解圆柱的底面半径：48÷2÷4＝6(厘米)圆柱的底面积：62×3.14＝37.68(平方厘米)圆柱的体积：37.68×4＝150.72(立方厘米)答：圆柱的体积是150.72立方厘米。
例2 一个圆柱形钢材被切割成如下形状，求圆柱形钢材剩下的侧面积是多少？点拨我们可以发挥一下想象：剩下的侧面展开后会是一个什么形状？(可做实验)我们会发现是两个一样的梯形，所以我们求两个梯形的面积问题可解。
解 (4＋5)×(3.14×2×12)×12×2＝9×3.14＝28.26(平方分米)其中3.14×2×12是底面周长的一半，即梯形的高。
答：剩下的侧面积是28.26平方分米。
小学奥数讲义：圆柱和圆锥
小学奥数讲义：圆柱和圆锥圆柱和圆锥【知识要点】1、圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积圆柱的体积＝底面积×高2、圆锥的体积＝31×底面积×高【精选例题】1、圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米。
(结果用π表示)2、如图所示，圆柱形的售报亭的高和底面直径相等，且顶部平均分成六份，开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口。
问：窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱侧面积的几分之几？3、下图所示图形是一个底面直径是20厘米的装有一部分水的圆柱形容器，水中放着一个底面直径为12厘米，高为10厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中的水下降了几厘米？4、如图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？5、有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30立方分米。
现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见图）。
问：瓶内现有饮料多少立方分米？6、有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（如图）。
如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？7、一车工用一段长30厘米，直径为8厘米的圆钢，车一个如下图所示的零件，这个零件的表面积是多少？8、如图，在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实心圆柱体，容器内盛有m 升水时，水面恰好经过圆柱体的上底面。
如果将容器倒置，圆柱体有8厘米露出水面。
已知圆柱体的底面积是正方体底面积的81，求实心圆柱体的体积。
【练习】1、将一个棱长是20厘米的正方体，削成一个圆柱体，并且使圆柱体的体积最大，求此时削去的那部分体积。
2、把一段长1.2m 的圆钢切成两段，表面积增加50平方厘米，这段圆钢的体积是多少立方厘米？3、用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。
小学奥数：圆柱与圆锥.专项练习及答案解析
立体图形 表面积体积 圆柱hr222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积2πV r h =圆柱圆锥h r22ππ360nS l r =+=+圆锥侧面积底面积 注：l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 21π3V r h =圆锥体板块一 圆柱与圆锥【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)11111.50.5【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为22 3.14 1.514.13⨯⨯=(立方米)，侧面积为2 3.14(0.51 1.5)118.84⨯⨯++⨯=(立方米)，所以该物体的表面积是14.1318.8432.97+=(立方米)．【答案】32.97【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？例题精讲圆柱与圆锥【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为266π10π()24π560π18π20π98π307.722⨯+⨯⨯+⨯=++==(平方厘米)．【答案】307.72【例 3】 (希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 当圆柱的高是12厘米时体积为210300π()122ππ⨯⨯=(立方厘米)当圆柱的高是12厘米时体积为212360π()102ππ⨯⨯=(立方厘米)．所以圆柱体的体积为300π立方厘米或360π立方厘米．【答案】300π立方厘米或360π立方厘米【例 4】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 圆的直径为：()16.561 3.144÷+=(米)，而油桶的高为2个直径长，即为：428(m)⨯=，故体积为100.48立方米．【答案】100.48立方米【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为：2π1062.8⨯⨯=(厘米)，原来的长方形的面积为：10462.81022056⨯+⨯⨯=（）（）(平方厘米)． 【答案】2056【例 5】 把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.562 6.28÷=厘米，底面半径为6.28 3.1421÷÷=厘米，所以原来的圆柱体的体积是2π188π25.12⨯⨯==(立方厘米)．【答案】25.12【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24412.56÷=(厘米)，侧面积是：12.5612.56157.7536⨯=(平方厘米)，两个底面积是：()23.1412.56 3.142225.12⨯÷÷⨯=(平方厘米)．所以表面积为：157.753625.12182.8736+=(平方厘米)．【答案】182.8736【例 6】 (两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm ，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm ．(π取3.14)第2题【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面．设圆柱体底面半径为r ，高为h ，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大： 2222008(cm )r h ⨯⨯=，所以2502(cm )r h ⨯=，所以，圆柱体侧面积为： 22π2 3.145023152.56(cm )r h ⨯⨯⨯=⨯⨯=．【答案】3152.56【巩固】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(π3=)【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面，长方形的长等于圆柱体的高为10厘米，宽为圆柱底面的直径，设为2r ，则210240r ⨯⨯=，1r =(厘米)．圆柱体积为：2π11030⨯⨯=(立方厘米)．【答案】30【例 7】 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=)【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积．(法1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径． 可知，圆柱体的高为()250.24 3.1424÷⨯=(厘米)，所以增加的表面积为24216⨯⨯=(平方厘米)；(法2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为50.24立方厘米，而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半，为3.142 6.28⨯=厘米，所以侧面长方形的面积为50.24 6.288÷=平方厘米，所以增加的表面积为8216⨯=平方厘米． 【答案】16【例 8】 右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm 的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这是一个半圆柱体与长方体的组合图形，通过分割平移法可求得表面积和体积分别为：11768平方厘米，89120立方厘米．【答案】89120【例 9】 输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输2.5毫升，12分钟已输液2.51230⨯=(毫升)，因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是10050150+=(毫升)．【答案】150【例 10】 (”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)8(单位：厘米)4106【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水构成高为6厘米的圆柱，空气部分构成高为1082-=厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所以瓶子的容积为：24π()(62) 3.1432100.482⨯⨯+=⨯=(立方厘米)．【答案】100.48【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？26【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的623÷=倍．所以酒精的体积为326.4π62.17231⨯=+立方厘米，而62.172立方厘米62.172=毫升0.062172=升．【答案】0.062172【巩固】一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)253015【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深25cm，因为酒瓶深30cm，这样所剩空间为高5cm的圆柱，再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：101015π375π22⨯⨯=瓶中剩余空间的体积1010(3025)π125π22-⨯⨯=酒瓶容积：375π125π500π1500(ml)+==【答案】1500【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为752cm-=，从而水与空着的部分的比为4:22:1=，由图1知水的体积为104⨯，所以总的容积为()4022160÷⨯+=立方厘米．【答案】60【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3=)5cm【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设圆锥的高为x 厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：()22215π611π6π63x x ⨯⨯=-⨯⨯+⨯⨯⨯，解得9x =，所以容器的容积为：221π612π69540π16203V =⨯⨯+⨯⨯⨯==(立方厘米)．【答案】1620【例 11】 (希望杯2试试题)如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 在水中的木块体积为55375⨯⨯=(立方厘米)，拿出后水面下降的高度为7550 1.5÷=(厘米)【答案】1.5【例 12】 有两个棱长为8厘米的正方体盒子，A 盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B 盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个，现在A 盒注满水，把A 盒的水倒入B 盒，使B 盒也注满水，问A 盒余下的水是多少立方厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 将圆柱体分别放入A 盒、B 盒后，两个盒子的底面被圆柱体占据的部分面积相等，所以两个盒子的底面剩余部分面积也相等，那么两个盒子的剩余空间的体积是相等的，也就是说A 盒中装的水恰好可以注满B 盒而无剩余，所以A 盒余下的水是0立方厘米．【答案】A 盒余下的水是0立方厘米【例 13】 兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长1.6米．然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的164．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 最后拉出的面条直径是原先面棍的164，则截面积是原先面棍的2164，细面条的总长为：21.6646553.6⨯=(米)．注意运用比例思想．【答案】6553.6【例 14】 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为18分钟水面升高：502030-=(厘米)．所以圆柱中没有铁块的情形下水面升高20厘米需要的时间是：20181230⨯=(分钟)，实际上只用了3分钟，说明容器底面没被长方体底面盖住的部分只占容器底面积的13:124=，所以长方体底面面积与容器底面面积之比为3:4．【答案】3:4【例 15】 一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度．(法1)：808(8016)6406410⨯÷-=÷=(厘米)；(法2)：设水面上升了x 厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：8016(8)x x =+，解得：2x =，8210+=(厘米)．(提问”圆柱高是15厘米”，和”高为12厘米的长方体铁块”这两个条件给的是否多余？) 【答案】10【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 8010(8016)12.5⨯÷-=，因为12.512>，所以此时水已淹没过铁块，8010(8016)1232⨯--⨯=，32800.4÷=，所以现在水深为120.412.4+=厘米 【答案】12.4【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 玻璃杯剩余部分的体积为80(1513)160⨯-=立方厘米，铁块体积为1612192⨯=立方厘米，因为160192<，所以水会溢出玻璃杯，所以现在水深就为玻璃杯的高度15厘米【总结】铁块放入玻璃杯会出现三种情况：①放入铁块后，水深不及铁块高；②放入铁块后，水深比铁块高但未溢出玻璃杯；③水有溢出玻璃杯．【说明】教师可以在此穿插一个关于阿基米德测量黄金头冠的体积的故事． 一天国王让工匠做了一顶黄金的头冠，不知道工匠有没有掺假，必须知道黄金头冠的体积是多少，可是又没有办法来测量．(如果知道体积，就可以称一下纯黄金相应体积的重量，再称一下黄金头冠的重量，就能知道是否掺假的结果了)于是，国王就把测量头冠体积的任务交给他的大臣阿基米德．(小朋友们，你们能帮阿基米德解决难题吗？)阿基米德苦思冥想不得其解，就连晚上沐浴时还在思考这个问题．当他坐进水桶里，看到水在往外满溢时，突然灵感迸发，大叫一声：”我找到方法了……”，就急忙跑出去告诉别人，大家看到了一个还光着身子的阿基米德．他的方法是：把水桶装满水，当把黄金头冠放进水桶，浸没在水中时，所收集的溢出来的水的体积正是头冠的体积．【答案】15【例 16】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面如右图的新容器，底面积是72—6×6=36(平方厘米)．水的体积是72 2.5180⨯=(立方厘米)．后来水面的高为180÷36=5(厘米)．【答案】5【例 17】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】若圆柱体能完全浸入水中，则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：222515217517.72πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=(厘米)．它比圆柱体的高度要大，可见圆柱体可以完全浸入水中．于是所求的水深便是17.72厘米．【答案】17.72【例 18】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】两个圆柱直径的比是1:2，所以底面面积的比是1:4．铁块在两个杯中排开的水的体积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的14，即120.54⨯=(厘米)．【答案】0.5【巩固】有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米．这段钢材有多长？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底面半径是水桶底面半径的520，即41，钢材底面积就是水桶底面积的161．根据体积一定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，钢材的长是水面下降高度的16倍． 6÷(520)2=96(厘米)，(法2)：3．14×202×6÷(3．14×52)=96(厘米)． 【答案】96【例 19】 一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和，因而水深为：22251521817.725πππ⨯⨯+⨯⨯=⨯（厘米）；它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中．此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形．底面积为225221πππ-=，水的体积保持不变为2515315ππ⨯=．所以有水深为315617217ππ=(厘米)，小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出于是6177厘米即为所求的水深． 【答案】6177【例 20】 如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【关键词】华杯赛，初赛，3题【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 圆锥的体积是211624,33ππ⨯⨯⨯=，圆柱的体积是248128ππ⨯⨯=．所以，圆锥体积与圆柱体积的比是16:1281:243ππ=. 【答案】1:24【例 21】 一个圆锥形容器高24厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中，水面高多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设圆锥形容器底面积为S ，圆柱体内水面的高为h ，根据题意有：1243S Sh ⨯⨯=，可得8h =厘米．【答案】8【例 22】 (”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水 升．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍，圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍，所以容器容积是水的体积的8倍，即508400⨯=升．【答案】400【例 23】 如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的23，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？甲乙【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设圆锥容器的底面半径为r ，高为h ，则甲、乙容器中水面半径均为23r ，则有21π3V r h =容器，221228ππ33381V r h r h =⨯=乙水（），222112219πππ333381V r h r h r h =-⨯=甲水（），2219π198188π81r h V V r h ==甲水乙水，即甲容器中的水多，甲容器中的水是乙容器中水的198倍． 【答案】198倍【例 24】 张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【关键词】华杯赛，决赛，口试，23题【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 底面周长是3，半径是32π，2233()24πππ⨯=所以今年粮囤底面积是234π，高是2．同理，去年粮囤底面积是224π，高是1．2232(2)(1) 4.5.44ππ⨯÷⨯=因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍．【答案】4.5【例 25】 (仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是 平方米．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：22208ππ1008400π22⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦(立方厘米)，薄膜展开后为一个长方体，体积保持不变，而厚度为0.04厘米，所以薄膜展开后的面积为8400π0.04659400÷=平方厘米65.94=平方米．另解：也可以先求出展开后薄膜的长度，再求其面积．由于展开前后薄膜的侧面的面积不变，展开前为22208ππ84π22⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(平方厘米)，展开后为一个长方形，宽为0.04厘米，所以长为84π0.046594÷=厘米，所以展开后薄膜的面积为6594100659400⨯=平方厘米65.94=平方米． 【答案】65.94【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积．因此，纸的长度 ：()22 3.1410093.1410 3.1437143.50.040.04⨯-⨯-⨯≈≈==纸卷侧面积纸的厚度(厘米) 所以，这卷纸展开后大约71.4米． 【答案】71.4【巩固】如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 卷在一起时铜版纸的横截面的面积为2218050ππ7475π22⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(平方厘米)，如果将其展开，展开后横截面的面积不变，形状为一个长方形，宽为0.25毫米(即0.025厘米)，所以长为7475π0.025938860÷=厘米9388.6=米．所以这卷铜版纸的总长是9388.6米．本题也可设空心圆柱的高为h ，根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解，其中h 在计算过程将会消掉． 【答案】9388.6米【例 26】 (人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆，所以，外侧表面积为：210106444π225368π⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-(平方厘米)； 内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积，需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内，所以内侧表面积为：()24316244π22π232192328π24π22416π⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯=+-+=+(平方厘米)，所以，总表面积为：22416π5368π7608π785.12++-=+=(平方厘米)．⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如右上图，只要求出这个几何体的体积，用原立方体的体积减去这个体积即可．挖出的几何体体积为：24434444π2321926424π25624π⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=++=+(立方厘米)； 所求几何体体积为：()10101025624π668.64⨯⨯-+=(立方厘米)． 【答案】668.64板块二 旋转问题【例 27】 如图，ABC 是直角三角形，AB 、AC 的长分别是3和4．将ABC ∆绕AC 旋转一周，求ABC ∆扫出的立体图形的体积．(π 3.14=)CB A 43【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如右上图所示，ABC ∆扫出的立体图形是一个圆锥，这个圆锥的底面半径为3，高为4，体积为：21π3412π37.683⨯⨯⨯==．【答案】37.68【例 28】 已知直角三角形的三条边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 以3cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm ，高是3cm 的圆锥体，体积为2313.144350.24(cm )3⨯⨯⨯= 以4cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3cm ，高是4cm 的圆锥体，体积为2313.143437.68(cm )3⨯⨯⨯= 以5cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高345 2.4⨯÷=cm 的两个圆锥，高之和是5cm 的两个圆的组合体，体积为2313.14 2.4530.144(cm )3⨯⨯⨯=【答案】30.144【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ABC【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设BC a =，AC b =，那么以BC 边为轴旋转一周，所形成的圆锥的体积为2π3ab ，以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为2π3a b ，由此可得到两条等式：224836ab a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两条等式相除得到43b a =，将这条比例式再代入原来的方程中就能得到34a b =⎧⎨=⎩，根据勾股定理，直角三角形的斜边AB 的长度为5，那么斜边上的高为2.4．如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起，底面半径为2.4，高的和为5，所以体积是22.4π59.6π3⨯=．【答案】9.6π【例 29】 如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)ABAB【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 扫出的图形如右上图所示，白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形．两个圆锥的体积之和为212π3530π903⨯⨯⨯⨯==(立方厘米)；圆柱的体积为2π310270⨯⨯=(立方厘米)，所以白色部分扫出的体积为27090180-=(立方厘米)．【答案】180【巩固】(华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？。
六年级数学下册圆柱和圆锥知识点讲解
六年级数学下册圆柱和圆锥知识点讲解数学是必考科目之一，故从一年级开始我们就要认真地学习数学，认真对所学的每个知识点，小编通过准备了这篇六年级数学下册圆柱和圆锥知识点讲解以供大家参考1、认识圆柱和圆锥，掌握它们的基本特征。
认识圆柱的底面、侧面和高。
认识圆锥的底面和高。
2、探索并掌握圆柱的侧面积、表面积的计算方法，以及圆柱、圆锥体积的计算公式，会运用公式计算体积，解决有关的简单实际问题。
3、通过观察、设计和制作圆柱、圆锥模型等活动，了解平面图形与立体图形之间的联系，发展学生的空间观念。
4、圆柱的两个圆面叫做底面，周围的面叫做侧面，底面是平面，侧面是曲面，。
5、圆柱的侧面沿高展开后是长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高，当底面周长和高相等时，侧面沿高展开后是一个正方形。
6、圆柱的表面积 = 圆柱的侧面积 +底面积2 即S表=S侧+S底2或2h + 2r27、圆柱的侧面积 = 底面周长高即S侧=Ch 或 2h8、圆柱的体积=圆柱的底面积高，即V=sh或 r2h(进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。
这种取近似值的方法叫做进一法。
)9、圆锥只有一个底面，底面是个圆。
圆锥的侧面是个曲面。
10、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
圆锥只有一条高。
(测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。
)11、把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
12、圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一，即V锥=1/3 Sh 或 r2h313、常见的圆柱圆锥解决问题：①、压路机压过路面面积(求侧面积);②、压路机压过路面长度(求底面周长);③、水桶铁皮(求侧面积和一个底面积);④、厨师帽(求侧面积和一个底面积);通风管(求侧面积)。
以上就是小编为大家整理的有关六年级数学下册圆柱和圆锥知识点讲解的全部内容，希望能够对大家在数学上的学习有所帮助！。
第1讲 圆柱与圆锥(小数版)(知识梳理+典例分析+举一反三+巩固提升)北师大版
第1讲圆柱与圆锥知识点一：面的旋转1.点动成线，线动成面，面动成体。
2.认识圆柱和圆锥圆柱和圆锥都有底面、侧面和高；圆柱有无数条高，圆锥只有一条高。
知识点二：圆柱的表面积1.圆柱的表面积（1）S侧＝Ch或S侧＝πdh或S侧＝2πrh。
（2）S表＝S侧＋2S底或S表＝2πrh＋2πr2。
2.圆柱表面积的实际应用计算圆柱的表面积要注意联系实际，弄清表面积包括几个面，再灵活运用公式进行计算。
知识点三：圆柱的体积1.圆柱体积的计算公式V＝Sh，V＝πr2h，V＝π(d÷2)2h。
2.圆柱体积计算公式的应用V＝π(C÷π÷2)2h 。
知识点四：圆锥的体积1.把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去的体积是剩下体积的2倍。
2.圆锥体积的计算公式：圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥的体积的3倍。
考点一：面的旋转例1．（2020秋•东安区校级期中）在圆柱的后面画“√”。
1．（2020•农安县）标出下面圆锥的顶点、高、底面半径．2．（2020•滕州市）如图所示长方形、半圆形、梯形、三角形快速旋转一周，能形成什么图形？请你连一连．3．（2020•盐城模拟）用刀将橡皮泥捏成的圆柱切成两个部分，截面会是什么形状？请你在图中简单地将切法表示出来，画出四种．（注意：位置不同、截面形状相同的只算一种）考点二：圆柱的表面积例2．（2020•桃江县）圆柱的侧面展开后变成了一个长方形，在括号里填出长和宽的数据．（π取3.14，单位：cm）1．（2020•保定）动手操作，用心思考．同学们，在学习圆柱体体积时，我们经历了观察、操作、讨论等活动过程，理解了圆柱体体积计算的推导过程，下面，请你用画图或文字材料说明圆柱体体积的推导过程，要讲清楚吆！2．（2020•喀什地区模拟）一个圆柱形的游泳池，底面直径是10米，高是4米．在它的四周和底部涂水泥，每千克水泥可涂5平方米，共需多少千克水泥？3．（2020春•偃师市期中）把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了200平方厘米．已知圆柱高20厘米，求圆柱的体积．考点三：圆柱的体积例3．（2020春•南海区期中）一个圆柱形水池，底面直径为10m，高为5m，要在它的四周和底面抹上水泥．（1）抹水泥部分的面积是多少平方米？（2）如果抹水泥的人工费是每平方米12元，抹完整个水池一共需要人工费多少钱？1．（2020•大同）一个底面周长是3.14分米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的．将两个同样大小的鸡蛋放入杯子中，浸没在水中．这时水面上升8厘米，刚好与杯子口相平，求玻璃杯的容积．2．（2020•炎陵县）一个底面内直径是4分米的圆柱形无盖的铁桶，高5分米．①做这个铁桶需用铁皮多少？（接口处忽略不计）②如果铁桶装有的水，那么装的水有多少升？3．（2019春•中原区期末）利用卷尺或直尺，求出如图这个装有一些水的瓶子的容积？写出你设计的操作过程，不用计算．（瓶子的厚度忽略不计）考点四：圆锥的体积例4．（2020春•偃师市期中）计算如图圆锥的体积．（单位：厘米）1．（2020•长白县）一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是2.5米．用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？2．（2019春•陈仓区期中）求如图的表面积和体积，圆锥只求体积．3．（2019春•中原区期末）设计一个与体积相等的圆锥，写出你设计圆锥的有关数据．1．（2020春•阜平县期末）把绕O点逆时针旋转90°后得到的图形是（）A．B．C．D．2．（2020春•南海区期末）从2时到8时，时针绕中心点顺时针旋转（）°．A．180B．90C．603．（2020•农安县）求一只圆柱形油桶能装油多少升，是求它的___；求这只铁桶所占空间的大小，是求它的____.（）A．表面积；体积B．体积；容积C．容积；体积4．（2020•清丰县）把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，圆锥的高与之前圆柱的高比较（）A．圆锥高是圆柱高的3倍B．圆锥高是圆柱高的6倍C．圆锥高是圆柱高的D．不变5．（2020春•雁塔区期中）圆柱形水管的内直径是2分米，水在水管内的流速是每秒3分米，每秒流过的水有（）升．A．3.14B．6.28C．9.42D．12.566．（2020•茶陵县）圆柱体积公式推导：把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把它切开拼成一个近似的长方体，这个近似长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高……这个推导过程蕴含了（）的数学思想．A．一一对应B．数形结合C．类比归纳D．转化7．（2020春•峄城区期末）把长60厘米的圆柱体按3：2截成了一长一短两个小圆柱体后，表面积总和增加了30平方厘米．截成的较长一个圆柱的体积是（）立方厘米．A．360B．540C．720D．10808．（2020春•峄城区期末）一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积比圆柱的体积少0.8立方分米，那么圆柱的体积是（）立方分米．A．0.4B．0.8C．1.2D．2.49．（2020春•宽城县期末）钟表的时针从“1”到“3”，是按方向旋转了度．10．（2020春•唐县期末）你知道方格纸上图形的位置关系吗？（1）图形B可以看作图形A绕点顺时针方向旋转90°得到的．（2）图形C可以看作图形B绕点O顺时针方向旋转得到的．（3）图形B绕点O顺时针旋转180°到图形所在位置．（4）图形D可以看作图形A绕点O方向旋转得到的．11．（2020•固阳县）把一段重12千克的圆柱形钢材切削成一个最大的圆锥体，这个圆锥体重千克. 12．（2020•平罗县）如图是一个直角三角形，它的面积是cm2，如果以AB所在直线为轴旋转一周，那么形成的立体图形的体积是cm3.13．（2020春•莱阳市期末）一个圆锥和一个圆柱等底等高，它们的体积相差60立方厘米，这个圆锥的体积是．14．（2020春•莱阳市期末）一个圆柱的底面半径是5分米，高12分米，沿着这个圆柱的底面直径垂直锯开，它的表面积增加平方米．15．（2020春•莱阳市期末）一个长方形的长和宽分别为3厘米和2厘米，以3厘米的边为轴旋转，旋转后形成一个圆柱体．这个圆柱的底面积是平方厘米，体积是立方厘米．16．（2020春•雁塔区期中）如图是一个底边6cm，高8cm的等题三角形，以这条高为轴，旋转形成的立体图形是，它的高是cm，底面积是cm2，体积是cm3．17．（2020春•陕州区期末）一根长2米的直圆柱木料，横着截去2分米，和原来比，剩下的圆柱体木料的表面积减少12.56平方分米，原来圆柱体木料的底面半径是分米，底面积是平方分米，体积是立方分米．18．（2020秋•槐荫区期末）把圆柱的侧面沿高展开，得到的是一个形；把圆锥的侧面展开，得到的是一个形．19．（2020春•雁塔区期中）底面直径是d，高是d的圆柱的侧面展开图是正方形．（判断对错）20．（2020春•成武县期末）正常运行的时钟，时针从指向“6”到指向“3”，是逆时针旋转．（判断对错）21．（2020•官渡区）如果圆柱的高不变，底面半径扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的8倍．（判断对错）22．（2020•苍溪县）用一张正方形纸围成一个圆柱（接口处忽略不计），这个圆柱的底面周长和高相等．（判断对错）23．（2020•桃江县）圆锥与长方体的底面积和高分别相等，长方体体积一定是圆锥体积的3倍．（判断对错）24．（2020春•定陶区校级期中）计算圆锥的体积．25．（2020•英山县）计算如图圆柱的表面积和体积．（单位：厘米）26．如图，在直角三角形ABC中，以AC所在的直线为轴旋转一周．（1）可以得到一个什么图形？这个图形的高是多少？（2）它的底面周长是多少？27．转动长方形ABCD．形成右边的两个圆柱，说一说它们分别是以长方形的哪条边为轴旋转形成的？底面半径和高分别是多少？28．今天是红红的生日，同学们送给她一个大蛋糕，蛋糕是圆柱形的．服务员阿姨说要配上十字形的丝带才漂亮．你知道至少要多长的丝带才合适吗？（打结处要10 dm）29．（2020•长沙）图中所示图形是一个底面直径为30厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为8厘米，高12厘米的一个圆锥体铅锤，水面刚好盖住铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？（π＝3.14结果保留两位小数）30．（2020•峨山县）数学课本91页第12题是这样的：把一块棱长10厘米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是20厘米的圆锥形铁块．这个圆锥形铁块的高约是多少？（得数保留整数）．解答时，乐乐列出了下面的综合算式，老师却认为是错误的．乐乐：10×10×10÷[3.14×（20÷22]（1）乐乐的方法错在了哪里？请作出分析．（2）请用正确的方法重新解答这道题．31．（2020春•灌阳县期末）一个圆柱形容器，从里面量底面直径是12cm．容器中完全浸入一个高为9cm 的圆锥形铁锭，当铁锭取出时，水面下降了2cm．这个圆锥形铁锭的体积约是多少立方厘米？（结果保留整数）32．（2020春•诸城市期末）制作一个底面直径20厘米，高5厘米的无盖圆柱形水桶，至少需要多少平方厘米的铁皮？33．（2020春•雁塔区期中）在一个棱长为4厘米的正方体上面的中心，挖去一个底面半径为1厘米、高2厘米的圆柱，求所得物体的表面积．。
北师大版六年级数学下册《圆柱和圆锥》知识要点总结及典型例题
北师大版六年级数学下册《圆柱和圆锥》知识要点总结及典型例题北师大版六年级数学下册《圆柱和圆锥》知识要点总结及典型例题（赶紧收藏）其他单元陆续更新……第一单元、圆柱和圆锥一、面的旋转1、“点、线、面、体”之间的关系是：点的运动形成线；线的运动形成面；面的旋转形成体。
2.面的旋转：圆柱（1）圆柱是由是由长方形绕长或宽旋转360度得到的立体图形，这个长方形的长和宽就是圆柱体的底面半径和高，沿高线切割后的切面是长方形；如果由正方形旋转则得到的圆柱体底面半径和高相等，沿高线切割后的切面是正方形。
（2）基本特征：a、圆柱有三个面，2个底面+1个侧面；圆柱的两个底面是半径相等的（或完全相等的）两个圆，侧面是一个曲面。
b、圆柱上下两个底面间的距离叫做圆柱的高。
c、圆柱有无数条高，且高的长度都相等。
圆锥（1）圆锥是由直角三角形绕一条直角边旋转360度得到的立体图形，围绕旋转的直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥的底面半径；沿高线切割后的切面是等腰三角形。
（2）基本特征：a、圆锥有两个面，1个底面+1个侧面；圆锥的底面是一个圆，和底面相对的位置是顶点，侧面是一个曲面，展开是一个扇形。
b、圆锥顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
c、圆锥只有一条高。
二、圆柱的表面积1、沿圆柱的高剪开，圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形）。
长方形的长相当于圆柱的底面周长，宽相当于圆柱的高；如果展开是一个正方形则说明圆柱的底面周长和高相等。
（如果不是沿高剪开，有可能还会是平行四边形或其他不规则图形，但都可以剪拼成长方形或正方形）2、.圆柱的侧面积＝底面周长×高，用字母表示为：S侧＝ch。
3、圆柱的侧面积公式的应用：（1）已知底面周长和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝ch；（2）已知底面直径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝πdh；（3）已知底面半径和高，求侧面积，可运用公式：S侧＝2πrh4、圆柱表面积的计算方法：如果用S侧表示一个圆柱的侧面积，S底表示底面积，d表示底面直径，r表示底面半径，h表示高，那么这个圆柱的表面积为：S表=S侧+2S底或 S表=2πrh+2πr25、圆柱表面积的计算方法的特殊应用：（1）圆柱的表面积只包括侧面积和一个底面积的，例如无盖水桶等圆柱形物体。
六年级奥数-圆柱圆锥
六年级数学辅导讲义--- 圆柱和圆锥强化训练圆柱体和圆锥体有关的体积、外表积1.如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？2. 用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。
这样做成的铁桶的容积最大是多少？〔精确到1厘米3〕3.有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形〔不包括瓶颈〕，容积是30分米3。
现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余局部的高度为5厘米〔见右图〕。
问：瓶内现有饮料多少立方分米？4.皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。
皮球的直径为15厘米，水桶底面直径为60厘米。
皮球有45的体积浸在水中〔见下列图〕。
问皮球掉进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？5.有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米〔见右图〕。
如果将这个零件接触空气的局部涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？6将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。
7.右图是一顶帽子。
帽顶局部是圆柱形，用黑布做；帽沿局部是一个圆环，用白布做。
如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？8.一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。
当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？9.用直径为40厘米的圆钢锻造长300厘米、宽100厘米、厚2厘米的长方形钢板，应截取多长的一段圆钢？容器高度的几分之几？10.11.11..右上图是一个机器零件，其下部是棱长为20厘米的正方体，上部是圆柱形的一半。
求它的外表积与体积。
12.有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器内，求水深。
小学奥数 圆柱与圆锥 精选例题练习习题(含知识点拨)
板块一 圆柱与圆锥【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)1【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【例 3】 (希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这例题精讲圆柱与圆锥【例 4】如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14)=【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)【例 5】把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？【例 6】一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2cm．(π取3.14)2008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2第2题【巩固】已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40平方厘米，求圆柱体的体积．(π3=)【例 7】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=)【例 8】右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积．【例 9】输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【例 10】一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)(单位：厘米)【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【巩固】一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)253015【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容积是多少立方厘米？(π3)5cm【例 11】(希望杯2试试题)如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米．【例 12】有两个棱长为8厘米的正方体盒子，A盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B 盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个，现在A盒注满水，把A盒的水倒入B盒，【例 13】兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长1.6米．然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米……照此继续进行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的164．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何浪费)【例 14】一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比．【例 15】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【例16】一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米？【例17】一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？【例18】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【巩固】有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了6厘米．这段钢材有多长？【例19】一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?【例20】如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【例21】一个圆锥形容器高24厘米，其中装满水，如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中，水面高多少厘米？【例22】(”希望杯”一试六年级)如图，圆锥形容器中装有水50升，水面高度是圆锥高度的一半，这个容器最多能装水升．【例23】如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的23，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？甲乙【例 24】张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【例 25】 (仁华考题)如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？【巩固】如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？【例26】(人大附中分班考试题目)如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下底面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．板块二 旋转问题【例 27】 如图，ABC 是直角三角形，AB 、AC 的长分别是3和4．将ABC ∆绕AC 旋转一周，求ABC ∆扫出的立体图形的体积．(π 3.14=)CBA43【例 28】 已知直角三角形的三条边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)【巩固】如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？ABC【例 29】 如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)ABAB【巩固】(华杯赛决赛试题)如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？BA【例 30】 如图，从正方形ABCD 上截去长方形DEFG ，其中AB=1厘米，DE=12厘米，DG=13厘米。
【精品奥数】六年级下册数学思维训练讲义-第二讲 圆柱与圆锥(一) 人教版(含答案)
第二讲圆柱与圆锥（一）第一部分：趣味数学旋转杂技表演“咚咚哐、咚咚哐，”随着阵阵锣鼓声,几何城中在进行晚会。
在高大的舞台上,竖立着一根根又高又大的柱子,柱子旁边有各种各样的图形“各位观众,你们好!”主持小姐走到舞台前,用清脆的声音向大家说,“旋转杂技表演现在开始!”话音刚落,在舞台的中央,排出了一列被隐藏了半边的图形:怎么全是半个图形呀?”有的观众议论。
“咚咚哐!”又一阵锣鼓声响,随着动听的音乐,舞台上的半个图形,全部都旋转起来奇迹出现了,原来,台上的半个图形,一旋转,就变成了美丽的立体图了:“真好看啊!”大家情不自禁地鼓起掌来“你们看,长方形绕它的一条边旋转周,就成为圆柱了。
”“直角三角形绕一条直角边旋转一周,就形成了圆锥!”“哈哈!旋转杂技真有趣啊!”“圆的一半以直径为轴旋转一周就成球形了。
”“还有花瓶啊，”大家边议论边欣赏,台上台下一片欢腾。
第二部分：习题精讲例题1：一个圆柱体底面周长和高相等。
如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积。
分析：一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．解题的关键在于求出底周长。
根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用上图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C＝12.56÷2＝6.28（厘米）．这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了．解：底面周长（也是圆柱体的高）：12.56÷2＝6.28（厘米）．侧面积：6.28×6.28＝39.4384（平方厘米）两个底面积（取π＝3.14）：表面积：39.4384＋6.28＝45.7184（平方厘米）答：这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米．练习1：一个圆柱体,高减少3厘米,表面积就减少37.68平方厘米,那么这个圆柱面积是多少？2.圆柱形的售报亭的高和底面直径相等,如图所示,开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口，窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几?3.如图所示,从棱长为10的立方体(正方体)中挖去一个底面半径为2，高为10的圆柱体后,得到的几何体的表面积和体积各是多少?(x取3)例题2：一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米。
小学数学圆柱和圆锥专项讲义(知识点+例题+作业)
小学数学圆柱和圆锥专项讲义（知识点+例题+作业）一、重要知识点和概念圆柱[][]2d s S r ch π⎡⎢⎡⎢⎢⎢→⎢⎢↔⎢⎢→⎢⎢⎢⎢⎣⎢∍→=⎢⎣⎡⎢⎢⎢→=⨯⎢=⎢⎢⊃⎣底面侧面侧面定义：上下两个面叫做底面。
上下两底面间的距离叫做圆柱的高圆柱两底面之间的距离处处相等底面圆柱有无数条高并且都相等。
：上、下两底面面积相等（展开图）圆柱的侧面积展开图是一个长方形这个长方形的长就是圆柱的底面周长宽等于圆柱的高s 底面周长高侧面即s 圆柱的底面周长与高相等时侧面展开是正方形⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣1⎡⎢⎢⊃⎢⎢⎣（）求圆柱形物体的是地面积就是求圆柱形物体的底面积 （2）求制作通风管需要的铁皮面积就是求圆柱形物体的侧面积 （3）求作一个无盖的水桶所需的铁皮面积就是求侧面积与一个底面积的和 （4）求制作油桶所用的铁皮面积就是求油桶的表面积要用侧面积加上两个底面积V s h →=←体积计算：长方体的体积公式 圆锥：(⎡⎡⎢⎢∍⎢⎢⎢⎢⎣⎢→⎢⎢⎢⎣底面：圆锥只有一个底面，底面是个圆。
面）侧面：侧面展开是一个扇形，扇形的弧长是圆锥的底面周长，扇形的面积是圆锥的侧面积。
（点）顶点：圆锥只有一个顶点从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥高，圆锥只有一条高。
→体积：圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一。
13v sh →=圆柱和圆锥V ↔（）113324⎡⇔⎢⎢⎢⎢⇔⎢⎢⎢⎢→⎢⎢⎢⎢→⎢⎢⎣（）圆锥体积等于和它等底等高的圆柱体积的 圆柱体积等于和它等底等高的圆锥体积的倍。
2（2）圆锥体积比和它等底等高的圆柱体积少3 圆柱体积比和它等底等高的圆锥体积大倍。
（3）如果圆柱和圆锥的体积相等底面积也相等 圆锥的高是圆锥的3倍。
（）如果圆柱和圆锥的体积相等，高也相等 圆锥的底面积是圆柱的3倍。
二、例题与解析例1， 压路机的滚筒长1.5米，底面半径0.6米，以每分钟滚动15周计算，把25434平方米的地基压完一遍，需要多少小时？分析与解：压路机的滚筒在地面滚动一周，压过的路面面积等于滚筒的侧面积，可以先算出每分钟压过的路面面积，再除总面积，就可以求出所需时间。
苏教版六年级数学下册奥数培优 第3讲 圆柱和圆锥 (圆柱和圆锥的体积)
苏教版六年级数学下册第3讲圆柱和圆锥（圆柱、圆锥的体积）知识概述这一讲，我们研究圆柱、圆锥的体积的计算问题。
圆柱的体积等于底面积乘高，圆锥的体积等于底面积乘高再乘三分之一;圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的三分之一，反过来，圆柱的体积等于与它等底等高的圆锥体积的三倍。
通过研究，进一步提高空间想象能力和解决实际问题的能力。
例1、圆柱的底面周长为18.84分米，高为5分米，体积是多少立方分米?练习：1、一个圆柱体底面半径是2分米，侧面积是62.8平方分米，这个圆柱体的体积是多少立方分米?2、一个圆锥形石子堆，底面周长为25.12米，高为3米，每立方米石子重2吨，如果用一辆载重为4吨的汽车运，要运多少次才能运完?3、一个圆锥形沙堆高7.2米，底面周长是31.4米，每立方米沙重1.5吨，现如果用去这堆沙的60％，还剩多少吨沙?例2、一个圆柱体的体积是502.4立方厘米，底面直径是8厘米，圆柱的高是多少?练习：1、挖一个底面直径是4米的圆柱形蓄水池，要使其能装下56.52立方米的水，应该挖几米深?2、一个圆柱形水桶的体积是24立方分米，底面积是7.5平方分米，里面装了25％的水，水面高多少分米?3、一个圆锥体积是5.024立方米，底面周长是12.56米，这个圆锥的高是多少米?例3、一个圆柱和一个圆锥等底等高。
已知它们的体积差是30立方分米，求圆柱和圆锥的体积。
练习：1、一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱和圆锥的体积相差6立方厘米，圆柱和圆锥的体积各是多少立方厘米?2、有两个底面积相等的圆柱，一个高6分米，体积是48立方分米。
另一个圆柱的高为8分米，体积是多少?3、一个圆锥的高是另一个圆锥的高的2倍，底面圆的半径也是另一个圆锥底面半径的2倍，它的体积是另一个圆锥的体积的几倍?例4、李华要造一个直径是4厘米，长2分米的圆柱形零件毛坏，应截取直径为8厘米的圆倒多长?练习；1、锻造厂要锻造一个直径为60毫米，高20毫米的圆柱体零件毛坯，要截取直径为40毫米的圆倒多长?2、一个圆锥形麦堆，底面周长25.12米，高3米，把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤正好装满，这个圆柱形粮囤的高是多少米?3、将一块底面积为5平方分米、高6分米的长方体铁块熔铸成底面积为8平方分米的圆锥，圆锥的高是多少分米?课后练习1、圆柱形煤油桶底面直径6分米，高12分米，内装煤油的体积占桶的容积的34，桶内有煤油( )升2、圆锥的底面周长为18.84分米，高为5分米，它的底面积是（ ）平方分米，体积是( )立方分米。
圆柱与圆锥(奥数)(1)
圆柱与圆锥(奥数)(1)一、圆柱与圆锥1．一个底面半径为12厘米的圆柱形杯中装有水，手里浸泡了一个底面直径是12厘米，高是18厘米的圆锥体铁块，当铁块从杯中取山来时，杯中的水面会下降多少厘米??【答案】解： ×3.14×（12÷2）2×18÷（3.14×122）= ×3.14×36×18÷（3.14×144）=1.5（厘米）答：桶内的水将下降1.5厘米。
【解析】【分析】水面下降部分水的体积就是圆锥的体积，根据圆锥的体积公式先计算出圆锥体铁块的体积，也就是水面下降部分水的体积。
用水面下降部分水的体积除以杯子的底面积即可求出水面下降的高度。
2．工厂要生产一节烟囱，烟囱长2.5m，横截面是直径为40cm的圆。
（1）做一节烟囱一共需要铁皮多少平方米?（接头处忽略不计）（2）如果烟囱中充满废气，一节烟囱中最多可以容纳废气多少立方米?【答案】（1）解：40cm=0.4m3.14×0.4×2.5=3.14（m2）答：做一节烟囱一共需要铁皮3.14平方米。
（2）解：3.14×（0.4÷2）2×2.5=0.314（m3）答：一节烟囱中最多可以容纳废气0.314立方米。
【解析】【分析】1cm=0.01m，（1）做一节烟囱一共需要铁皮的平方米数=这节烟囱横截面的周长×长，其中这节烟囱横截面的周长=横截面的半径×2×π；（2）一节烟囱中最多可以容纳废气的立方米数=这节烟囱的容积=πr2h。
据此代入数据作答即可。
3．如下图，爷爷的水杯中部有一圈装饰，是悦悦怕烫伤爷爷的手特意贴上的。
这条装饰圈宽5cm，装饰圈的面积是多少cm2?【答案】解：3.14×6×5＝94.2（cm²）答：装饰圈的面积是94.2cm2。
小学奥数精讲第二讲 圆柱与圆锥知识讲解
方厘米)．所以表面积为：144 24 168 (平方厘米)．
3.一个圆锥的底面周长是 18 厘米，高是 5 厘米，它的体积为______立方厘米.（π 取 3） 【答案】45
\2/
8. 如图，从棱长为 10 的立方体中挖去一个底面半径为 2，高为 10 的圆柱体后，得到的几何体的表 面积是______，体积是______．（π 取 3）
【答案】 696 ， 880 【解析】表面积为 6 10 10 2 2 310 3 22 2=696 ，体积为10 10 10 3 22 10=880 .
油
水
【答案】7 【解析】铁块被放入以后，“水层”的底面积变成了 128 平方厘米，“水层”高度变成了 9 厘米，说明 9 厘米高的铁块没入水中，3 厘米高的铁块浸入油中．“油层”增加的体积是 3 8 8 192 立方厘米， 增加的高度是192 16 12 1厘米．因此“油层”的高度是 7 厘米．
2
2 4
4
去年粮囤底面积是
22
，高是 1． ( 32
22 2) (
1) 4.5. 因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的 4.5
4
4
4
倍．
12. 一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是______ 立方厘 米．( π 取 3.14 )
10 6
8
4 (单位：厘米)
【答案】100.48 【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出， 瓶中的水构成高为 6 厘米的圆柱，空气部分构成高为10 8 2 厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分 之和，所以瓶子的容积为： π (4)2 (6 2) 3.14 32 100.48 (立方厘米)．
六年级奥数圆柱与圆锥教师版
六年级奥数圆柱与圆锥教师版 立体图形表面积 体积 圆柱h r222π2πS rh r =+=+圆柱侧面积个底面积 2πV r h =圆柱圆锥hr22ππ360n S l r =+=+圆锥侧面积底面积 注：l 是母线,即从顶点到底面圆上的线段长 21π3V r h =圆锥体板块一 圆柱与圆锥【例 1】 如图,用高都是1米,底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？〈π取3.14〉11111.50.5【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 从上面看到图形是右上图,所以上下底面积和为22 3.14 1.514.13⨯⨯=〈立方米〉,侧面积为2 3.14(0.51 1.5)118.84⨯⨯++⨯=〈立方米〉,所以该物体的表面积是14.1318.8432.97+=〈立方米〉．【答案】32.97【例 2】 有一个圆柱体的零件,高10厘米,底面直径是6厘米,零件的一端有一个圆柱形的圆孔,圆孔的直径是4厘米,孔深5厘米〈见右图〉．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆,那么一共要涂多少平方厘米？例题精讲圆柱与圆锥【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和,为266π10π()24π560π18π20π98π307.722⨯+⨯⨯+⨯=++==〈平方厘米〉． 【答案】307.72【例 3】 〈希望杯2试试题〉圆柱体的侧面展开,放平,是边长分别为10厘米和12厘米的长方形,那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．〈结果用π表示〉【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 当圆柱的高是12厘米时体积为210300π()122ππ⨯⨯=〈立方厘米〉 当圆柱的高是12厘米时体积为212360π()102ππ⨯⨯=〈立方厘米〉．所以圆柱体的体积为300π立方厘米或360π立方厘米． 【答案】300π立方厘米或360π立方厘米【例 4】 如右图,是一个长方形铁皮,利用图中的阴影部分,刚好能做成一个油桶〈接头处忽略不计〉,求这个油桶的容积．〈π 3.14=〉【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 圆的直径为：()16.561 3.144÷+=〈米〉,而油桶的高为2个直径长,即为：428(m)⨯=,故体积为100.48立方米．【答案】100.48立方米【巩固】如图,有一张长方形铁皮,剪下图中两个圆及一块长方形,正好可以做成1个圆柱体,这个圆柱体的底面半径为10厘米,那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？〈π 3.14=〉【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的,可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等,则剪下的长方形的长,即圆柱体底面圆的周长为：2π1062.8⨯⨯=〈厘米〉,原来的长方形的面积为：10462.81022056⨯+⨯⨯=（）（）〈平方厘米〉．【答案】2056【例 5】 把一个高是8厘米的圆柱体,沿水平方向锯去2厘米后,剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 沿水平方向锯去2厘米后,剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积,所以原来圆柱体的底面周长为12.562 6.28÷=厘米,底面半径为6.28 3.1421÷÷=厘米,所以原来的圆柱体的体积是2π188π25.12⨯⨯==〈立方厘米〉．【答案】25.12【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米,表面积就减少50.24平方厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 圆柱体底面周长和高相等,说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米,表面积就减少50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分,值是50.24平方厘米,所以底面周长是50.24412.56÷=〈厘米〉,侧面积是：12.5612.56157.7536⨯=〈平方厘米〉,两个底面积是：()23.1412.56 3.142225.12⨯÷÷⨯=〈平方厘米〉．所以表面积为：157.753625.12182.8736+=〈平方厘米〉． 【答案】182.8736【例 6】 〈两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛〉一个圆柱体形状的木棒,沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大22008cm ,则这个圆柱体木棒的侧面积是________2cm ．〈π取3.14〉第2题 【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意可知,切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面．设圆柱体底面半径为r ,高为h ,那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：2222008(cm )r h ⨯⨯=,所以2502(cm )r h ⨯=,所以,圆柱体侧面积为：22π2 3.145023152.56(cm )r h ⨯⨯⨯=⨯⨯=．【答案】3152.56【巩固】已知圆柱体的高是10厘米,由底面圆心垂直切开,把圆柱分成相等的两半,表面积增加了40平方厘米,求圆柱体的体积．〈π3=〉【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面,长方形的长等于圆柱体的高为10厘米,宽为圆柱底面的直径,设为2r,则210240r⨯⨯=,1r=〈厘米〉．圆柱体积为：2⨯⨯=〈立方厘米〉．π11030【答案】30【例 7】一个圆柱体的体积是50.24立方厘米,底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后,再截开拼成一个和它等底等高的长方体,表面积增加了多少平方厘米？〈π 3.14=〉【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】从图中可以看出,拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同,长方体的前后两个侧面面积与原来圆柱体的侧面面积相等,所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积．〈法1〉这两个侧面都是长方形,且长等于原来圆柱体的高,宽等于圆柱体底面半径．可知,圆柱体的高为()2⨯⨯=50.24 3.1424÷⨯=〈厘米〉,所以增加的表面积为24216〈平方厘米〉；〈法2〉根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面,侧面面积与长方体的长的乘积就是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等,为50.24立方厘米,而拼成的长方体的长等于圆柱体底面周长的一半,为3.142 6.28⨯=厘米,所以侧面长方形的面积为50.24 6.288÷=平方厘米,所以增加的表面积为⨯=平方厘米．8216【答案】16【例 8】右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体,上部是圆柱体的一半．求这个零件的表面积和体积．【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】这是一个半圆柱体与长方体的组合图形,通过分割平移法可求得表面积和体积分别为：11768平方厘米,89120立方厘米．【答案】89120【例 9】输液100毫升,每分钟输2.5毫升．如图,请你观察第12分钟时图中的数据,问：整个吊瓶的容积是多少毫升？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 100毫升的吊瓶在正放时,液体在100毫升线下方,上方是空的,容积是多少不好算．但倒过来后,变成圆柱体,根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输2.5毫升,12分钟已输液2.51230⨯=〈毫升〉,因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐,上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是10050150+=〈毫升〉．【答案】150【例 10】 〈”希望杯”五年级第2试〉一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水〈如图〉,由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．〈π取3.14〉 8(单位：厘米)4106【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变,所以空气部分的体积也不变,从图中可以看出,瓶中的水构成高为6厘米的圆柱,空气部分构成高为1082-=厘米的圆柱,瓶子的容积为这两部分之和,所以瓶子的容积为：24π()(62) 3.1432100.482⨯⨯+=⨯=〈立方厘米〉．【答案】100.48【巩固】一个酒精瓶,它的瓶身呈圆柱形〈不包括瓶颈〉,如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时,瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时,空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？ 26【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由题意,液体的体积是不变的,瓶内空余部分的体积也是不变的,因此可知液体体积是空余部分体积的623÷=倍．所以酒精的体积为326.4π62.17231⨯=+立方厘米,而62.172立方厘米62.172=毫升0.062172=升．【答案】0.062172【巩固】一个酒瓶里面深30cm,底面内直径是10cm,瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm．酒瓶的容积是多少？〈π取3〉253015【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】观察前后,酒瓶中酒的总量没变,即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深25cm,因为酒瓶深30cm,这样所剩空间为高5cm的圆柱,再加上原来15cm高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：101015π375π22⨯⨯=瓶中剩余空间的体积1010(3025)π125π22-⨯⨯=酒瓶容积：375π125π500π1500(ml)+==【答案】1500【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水,瓶底面积为10平方厘米,〈如下图所示〉,请你根据图中标明的数据,计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】由已知条件知,第二个图上部空白部分的高为752cm-=,从而水与空着的部分的比为4:22:1=,由图1知水的体积为104⨯,所以总的容积为()4022160÷⨯+=立方厘米．【答案】60【巩固】一个透明的封闭盛水容器,由一个圆柱体和一个圆锥体组成,圆柱体的底面直径和高都是12厘米．其内有一些水,正放时水面离容器顶11厘米,倒放时水面离顶部5厘米,那么这个容器的容积是多少立方厘米？〈π3=〉5cm【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设圆锥的高为x 厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变,有：()22215π611π6π63x x ⨯⨯=-⨯⨯+⨯⨯⨯,解得9x =, 所以容器的容积为：221π612π69540π16203V =⨯⨯+⨯⨯⨯==〈立方厘米〉． 【答案】1620【例 11】 〈希望杯2试试题〉如图,底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水,水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块,木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出,水面将下降________厘米．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 在水中的木块体积为55375⨯⨯=〈立方厘米〉,拿出后水面下降的高度为7550 1.5÷=〈厘米〉【答案】1.5【例 12】 有两个棱长为8厘米的正方体盒子,A 盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个,B 盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块4个,现在A 盒注满水,把A 盒的水倒入B 盒,使B 盒也注满水,问A 盒余下的水是多少立方厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 将圆柱体分别放入A 盒、B 盒后,两个盒子的底面被圆柱体占据的部分面积相等,所以两个盒子的底面剩余部分面积也相等,那么两个盒子的剩余空间的体积是相等的,也就是说A 盒中装的水恰好可以注满B 盒而无剩余,所以A 盒余下的水是0立方厘米．【答案】A 盒余下的水是0立方厘米【例 13】 兰州来的马师傅擅长做拉面,拉出的面条很细很细,他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍,长1.6米．然后对折,拉长到1.6米；再对折,拉长到1.6米……照此继续进行下去,最后拉出的面条粗细〈直径〉仅有原先面棍的164．问：最后马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米？〈假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形,而且没有任何浪费〉【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 最后拉出的面条直径是原先面棍的164,则截面积是原先面棍的2164,细面条的总长为：21.6646553.6⨯=〈米〉．注意运用比例思想．【答案】6553.6【例 14】 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3分钟时水面恰好没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米,长方体的高为20厘米,求长方体底面面积与容器底面面积之比．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 因为18分钟水面升高：502030-=〈厘米〉．所以圆柱中没有铁块的情形下水面升高20厘米需要的时间是：20181230⨯=〈分钟〉,实际上只用了3分钟,说明容器底面没被长方体底面盖住的部分只占容器底面积的13:124=,所以长方体底面面积与容器底面面积之比为3:4． 【答案】3:4【例 15】 一只装有水的圆柱形玻璃杯,底面积是80平方厘米,高是15厘米,水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米,高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度．〈法1〉：808(8016)6406410⨯÷-=÷=〈厘米〉；〈法2〉：设水面上升了x 厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：8016(8)x x =+,解得：2x =,8210+=〈厘米〉．〈提问”圆柱高是15厘米”,和”高为12厘米的长方体铁块”这两个条件给的是否多余？〉【答案】10【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯,底面积是80平方厘米,高是15厘米,水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米,高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】8010(8016)12.5⨯÷-=,因为12.512>,所以此时水已淹没过铁块,8010(8016)1232⨯--⨯=,32800.4÷=,所以现在水深为120.412.4+=厘米【答案】12.4【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯,底面积是80平方厘米,高是15厘米,水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米,高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 玻璃杯剩余部分的体积为80(1513)160⨯-=立方厘米,铁块体积为1612192⨯=立方厘米,因为160192<,所以水会溢出玻璃杯,所以现在水深就为玻璃杯的高度15厘米【总结】铁块放入玻璃杯会出现三种情况：⒈放入铁块后,水深不及铁块高；⒉放入铁块后,水深比铁块高但未溢出玻璃杯；3.水有溢出玻璃杯．【说明】教师可以在此穿插一个关于阿基米德测量黄金头冠的体积的故事．一天国王让工匠做了一顶黄金的头冠,不知道工匠有没有掺假,必须知道黄金头冠的体积是多少,可是又没有办法来测量．〈如果知道体积,就可以称一下纯黄金相应体积的重量,再称一下黄金头冠的重量,就能知道是否掺假的结果了〉于是,国王就把测量头冠体积的任务交给他的大臣阿基米德．〈小朋友们,你们能帮阿基米德解决难题吗？〉阿基米德苦思冥想不得其解,就连晚上沐浴时还在思考这个问题．当他坐进水桶里,看到水在往外满溢时,突然灵感迸发,大叫一声：”我找到方法了……”,就急忙跑出去告诉别人,大家看到了一个还光着身子的阿基米德．他的方法是：把水桶装满水,当把黄金头冠放进水桶,浸没在水中时,所收集的溢出来的水的体积正是头冠的体积．【答案】15【例 16】一个圆柱形玻璃杯内盛有水,水面高2.5厘米,玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后,水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面如右图的新容器,底面积是72—6×6=36〈平方厘米〉．水的体积是72 2.5180⨯=〈立方厘米〉．后来水面的高为180÷36=5〈厘米〉．【答案】5【例 17】一个盛有水的圆柱形容器,底面内半径为5厘米,深20厘米,水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米,高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】若圆柱体能完全浸入水中,则水深与容器底面面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和,因而水深为：222515217517.72πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=〈厘米〉．它比圆柱体的高度要大,可见圆柱体可以完全浸入水中．于是所求的水深便是17.72厘米．【答案】17.72【例 18】有甲、乙两只圆柱形玻璃杯,其内直径依次是10厘米、20厘米,杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块,当取出此铁块后,甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯,且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】两个圆柱直径的比是1:2,所以底面面积的比是1:4．铁块在两个杯中排开的水的体积相同,所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的14,即120.54⨯=〈厘米〉．【答案】0.5【巩固】有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶,里面有一段半径是5厘米的圆柱体钢材浸在水中．钢材从水桶里取出后,桶里的水下降了6厘米．这段钢材有多长？【考点】圆柱与圆锥【难度】3星【题型】解答【解析】根据题意可知,圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积,因为钢材底面半径是水桶底面半径的520,即41,钢材底面积就是水桶底面积的161．根据体积一定,圆柱体的底面积与高成反比例可知,钢材的长是水面下降高度的16倍．6÷〈520〉2=96〈厘米〉,〈法2〉：3．14×202×6÷〈3．14×52〉=96〈厘米〉． 【答案】96【例 19】 一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为5厘米,深20厘米,水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米,高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中．求这时容器的水深是多少厘米?【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 若铁圆柱体能完全浸入水中,则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在水中体积之和,因而水深为：22251521817.725πππ⨯⨯+⨯⨯=⨯〈厘米〉；它比铁圆柱体的高度要小,那么铁圆柱体没有完全浸入水中．此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形．底面积为225221πππ-=,水的体积保持不变为2515315ππ⨯=．所以有水深为315617217ππ=〈厘米〉,小于容器的高度20厘米,显然水没有溢出于是6177厘米即为所求的水深． 【答案】6177【例 20】 如图11-7,有一个圆柱和一个圆锥,它们的高和底面直径都标在图上,单位是厘米．那么,圆锥体积与圆柱体积的比是多少?【关键词】华杯赛,初赛,3题【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 圆锥的体积是211624,33ππ⨯⨯⨯=,圆柱的体积是248128ππ⨯⨯=．所以,圆锥体积与圆柱体积的比是16:1281:243ππ=. 【答案】1:24【例 21】 一个圆锥形容器高24厘米,其中装满水,如果把这些水倒入和圆锥底面直径相等的圆柱形容器中,水面高多少厘米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设圆锥形容器底面积为S ,圆柱体内水面的高为h ,根据题意有：1243S Sh ⨯⨯=,可得8h =厘米．【答案】8【例 22】 〈”希望杯”一试六年级〉如图,圆锥形容器中装有水50升,水面高度是圆锥高度的一半,这个容器最多能装水 升．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 圆锥容器的底面积是现在装水时底面积的4倍,圆锥容器的高是现在装水时圆锥高的2倍,所以容器容积是水的体积的8倍,即508400⨯=升．【答案】400【例 23】 如图,甲、乙两容器相同,甲容器中水的高度是锥高的13,乙容器中水的高度是锥高的23,比较甲、乙两容器,哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？ 甲乙【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设圆锥容器的底面半径为r ,高为h ,则甲、乙容器中水面半径均为23r ,则有21π3V r h =容器,221228ππ33381V r h r h =⨯=乙水（）,222112219πππ333381V r h r h r h =-⨯=甲水（）, 2219π198188π81r h V V r h ==甲水乙水,即甲容器中的水多,甲容器中的水是乙容器中水的198倍． 【答案】198倍【例 24】 张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤．今年改用长3米宽2米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤．问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍?【关键词】华杯赛,决赛,口试,23题【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 底面周长是3,半径是32π,2233()24πππ⨯=所以今年粮囤底面积是234π,高是2．同理,去年粮囤底面积是224π,高是1．2232(2)(1) 4.5.44ππ⨯÷⨯=因此,今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5倍．【答案】4.5【例 25】 〈仁华考题〉如图,有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜,薄膜的直径为20厘米,中间有一直径为8厘米的卷轴,已知薄膜的厚度为0.04厘米,则薄膜展开后的面积是 平方米．【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 缠绕在一起时塑料薄膜的体积为：22208ππ1008400π22⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦〈立方厘米〉,薄膜展开后为一个长方体,体积保持不变,而厚度为0.04厘米,所以薄膜展开后的面积为8400π0.04659400÷=平方厘米65.94=平方米．另解：也可以先求出展开后薄膜的长度,再求其面积．由于展开前后薄膜的侧面的面积不变,展开前为22208ππ84π22⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〈平方厘米〉,展开后为一个长方形,宽为0.04厘米,所以长为84π0.046594÷=厘米,所以展开后薄膜的面积为6594100659400⨯=平方厘米65.94=平方米．【答案】65.94【巩固】图为一卷紧绕成的牛皮纸,纸卷直径为20厘米,中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4 毫米,问：这卷纸展开后大约有多长？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 将这卷纸展开后,它的侧面可以近似的看成一个长方形,它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸的厚度,而面积就是一个圆环的面积．因此,纸的长度 ：()22 3.1410093.1410 3.1437143.50.040.04⨯-⨯-⨯≈≈==纸卷侧面积纸的厚度〈厘米〉 所以,这卷纸展开后大约71.4米．【答案】71.4【巩固】如图,厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱〈纸卷得很紧,没有空隙〉,它的外直径是180厘米,内直径是50厘米．这卷铜版纸的总长是多少米？【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 卷在一起时铜版纸的横截面的面积为2218050ππ7475π22⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〈平方厘米〉,如果将其展开,展开后横截面的面积不变,形状为一个长方形,宽为0.25毫米〈即0.025厘米〉,所以长为7475π0.025938860÷=厘米9388.6=米．所以这卷铜版纸的总长是9388.6米．本题也可设空心圆柱的高为h ,根据展开前后铜版纸的总体积不变进行求解,其中h 在计算过程将会消掉．【答案】9388.6米【例 26】 〈人大附中分班考试题目〉如图,在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞,在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米,侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形,上下底面的洞口是直径为4厘米的圆,求此立体图形的表面积和体积． 【考点】圆柱与圆锥 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴先求表面积．表面积可分为外侧表面积和内侧表面积．外侧为6个边长10厘米的正方形挖去4个边长4厘米的正方形及2个直径4厘米的圆,所以,外侧表面积为：210106444π225368π⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-〈平方厘米〉； 内侧表面积则为右上图所示的立体图形的表面积,需要注意的是这个图形的上下两个圆形底面和前后左右4个正方形面不能计算在内,所以内侧表面积为：()24316244π22π232192328π24π22416π⨯⨯+⨯⨯-⨯+⨯⨯⨯=+-+=+〈平方厘米〉,所以,总表面积为：22416π5368π7608π785.12++-=+=〈平方厘米〉．⑵再求体积．计算体积时将挖空部分的立体图形取出,如右上图,只要求出这个几何体的体积,用原立方体的体积减去这个体积即可．挖出的几何体体积为：24434444π2321926424π25624π⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=++=+〈立方厘米〉；所求几何体体积为：()10101025624π668.64⨯⨯-+=〈立方厘米〉．【答案】668.64板块二 旋转问题【例 27】 如图,ABC 是直角三角形,AB 、AC 的长分别是3和4．将ABC ∆绕AC 旋转一周,求ABC ∆扫出的立体图形的体积．〈π 3.14=〉CB A 43【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右上图所示,ABC ∆扫出的立体图形是一个圆锥,这个圆锥的底面半径为3,高为4, 体积为：21π3412π37.683⨯⨯⨯==． 【答案】37.68【例 28】 已知直角三角形的三条边长分别为3cm ,4cm ,5cm ,分别以这三边轴,旋转一周,所形成的立体图形中,体积最小的是多少立方厘米？〈π取3.14〉【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 以3cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是4cm ,高是3cm 的圆锥体,体积为231 3.144350.24(cm )3⨯⨯⨯= 以4cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是3cm ,高是4cm 的圆锥体,体积为231 3.143437.68(cm )3⨯⨯⨯= 以5cm 的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是斜边上的高345 2.4⨯÷=cm 的两个圆锥,高之和是5cm 的两个圆的组合体,体积为231 3.14 2.4530.144(cm )3⨯⨯⨯= 【答案】30.144【巩固】如图,直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周,那么所形成的圆锥的体积为16π,以AC 边为轴旋转一周,那么所形成的圆锥的体积为12π,那么如果以AB 为轴旋转一周,那么所形成的几何体的体积是多少？ABC 【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设BC a =,AC b =,那么以BC 边为轴旋转一周,所形成的圆锥的体积为2π3ab ,以AC 边为轴旋转一周,那么所形成的圆锥的体积为2π3a b ,由此可得到两条等式： 224836ab a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,两条等式相除得到43b a =,将这条比例式再代入原来的方程中就能得到34a b =⎧⎨=⎩,根据勾股定理,直角三角形的斜边AB 的长度为5,那么斜边上的高为2.4． 如果以AB 为轴旋转一周,那么所形成的几何体相当于两个底面相等的圆锥叠在一起,底面半径为2.4,高的和为5,所以体积是22.4π59.6π3⨯=． 【答案】9.6π【例 29】 如图,ABCD 是矩形,6cm BC =,10cm AB =,对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC 的中点,图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周,则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？〈π取3〉A BA B【考点】旋转问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 扫出的图形如右上图所示,白色部分实际上是一个圆柱减去两个圆锥后所形成的图形． 两个圆锥的体积之和为212π3530π903⨯⨯⨯⨯==〈立方厘米〉； 圆柱的体积为2π310270⨯⨯=〈立方厘米〉,所以白色部分扫出的体积为27090180-=〈立方厘米〉．【答案】180【巩固】〈华杯赛决赛试题〉如图,ABCD 是矩形,6cm BC =,10cm AB =,对角线AC 、BD 相交O ．图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周,则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？。
小学奥数汇编教材 第六讲 圆柱、圆锥、球体
特级教师小学奥数汇编教材第六讲 圆柱、圆锥、球体【专题知识点概述】立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。
其中有自成一类的“染色问题”，也是经常见到的“几何奥数题”。
小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，本讲重点讲解立体图形中的圆柱、圆锥和球体。
【授课批注】 本讲在熟记体积和表面积公式的基础上，要鼓励学生多思考，勤动手，多画图，注重“数形结合以此来培养学生的空间想象能力。
另外，在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。
一、圆柱、圆锥、球体圆柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，其半径为r ；圆柱体的侧面展开图是一个长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长。
圆柱体的表面积：S 圆柱=侧面积+2个底面积=2πrh+2πr 2。
圆柱体的体积：2V r h π=圆柱圆锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为r ；圆锥体的侧面展开图是一个扇形。
圆锥体的体积：213V r h π=圆锥体 r球体：343V r π=球体 求圆柱体的表面积．一般的方法是先求出圆柱体的侧面积，然后再加上圆柱的两个底面积。
求圆锥体的表面积需要先求出侧面积（扇形），再求出底面积（圆），两者相加即可。
【重点难点解析】1．圆柱、圆锥和球体的表面积和体积计算。
2．间接利用或逆用公式求解圆柱圆锥球体中的其它量。
3．圆柱圆锥球体等立体图形的组合图形。
【竞赛考点挖掘】1．常见较复杂的组合图形计算。
2．灵活运用公式求解体积表面积外的其余量。
【习题精讲】【例1】（难度级别 ※）一个底面半径的是５厘米．高是１５厘米的圆柱体，试求出它的表面积。
【分析与解】本题是较基础题型。
(１)侧面积：2x3.14x5x15=471(平方米）；(２）底面积：3.14x52=78.5（平方厘米）；(1)表面积：471+78.5x2=628(平方米）。
【数学】圆柱与圆锥(奥数)
【数学】圆柱与圆锥(奥数)一、圆柱与圆锥1．一个圆锥体形的沙堆，底面周长是25.12米，高1.8米，用这堆沙在8米宽的公路上铺5厘米厚的路面，能铺多少米？【答案】解：5厘米＝0.05米沙堆的底面半径：25.12÷（2×3.14）＝25.12÷6.28＝4（米）沙堆的体积： ×3.14×42×1.8＝3.14×16×0.6＝3.14×9.6＝30.144（立方米）所铺沙子的长度：30.144÷（8×0.05）＝30.144÷0.4＝75.36（米）．答：能铺75.36米。
【解析】【分析】根据1米=100厘米，先将厘米化成米，除以进率100，然后求出沙堆的底面半径，用公式：C÷2π=r，要求沙堆的体积，用公式：V=πr2h，最后用沙堆的体积÷（公路的宽×铺沙的厚度）=铺沙的长度，据此列式解答.2．将一根底面直径是20厘米，长1米的圆木沿着直径劈成相等的两半。
每半块木头的表面积和体积是多少?【答案】解：1米=100厘米，表面积：3.14×（20÷2）2+[3.14×20×100]÷2+20×100=5454（平方厘米）体积：3.14×（20÷2）2×100÷2=15700（立方厘米）答：每半块木头的表面积是5454平方厘米，体积是15700立方厘米。
【解析】【分析】根据题意，劈开的每半块木头的表面积是原来木头的表面积的一半增加了一个切面的面积，据此代入公式解答即可；劈开的每半块木头的体积是原来木头的体积的一半，据此代入公式解答即可；圆柱表面积S=2×底面积+侧面积=2×3.14×r2+3.14×d×h；截面面积S=dh；体积V=3.14×r2×h。
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【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】从图中可以看出，拼成的长方体的底面积与原来圆柱体的底面积相同，长方体的前后两个侧面面积
与原来圆柱体的侧面面积相等，所以增加的表面积就是长方体左右两个侧面的面积．
4-4-2 圆柱与圆锥 题库
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(法 1)这两个侧面都是长方形，且长等于原来圆柱体的高，宽等于圆柱体底面半径．
酒的体积：15π 10 10 375π 22
4-4-2 圆柱与圆锥 题库
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瓶中剩余空间的体积 (30 25)π 10 10 125π 22
酒瓶容积： 375π 125π 500π 1500(ml) 【答案】1500
【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10 平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明 的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．
【例 8】 右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为 40cm 的正方体，上部是圆柱体的一半．求这个零件 的表面积和体积．
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】这是一个半圆柱体与长方体的组合图形，通过分割平移法可求得表面积和体积分别为：11768 平方
厘米，89120 立方厘米． 【答案】89120
【巩固】一个酒瓶里面深 30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时 酒深 25cm ．酒瓶的容积是多少？( π 取 3)
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．
当酒瓶倒过来时酒深 25cm ，因为酒瓶深 30cm ，这样所剩空间为高 5cm 的圆柱，再加上原来15cm 高的酒即为酒瓶的容积．
平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是 50.24 平方厘米，所以底面周长是 50.24 4 12.56 (厘米)，侧面积是：12.56 12.56 157.7536 (平方厘米)，两个底面积是：
3.14 12.56 3.14 22 2 25.12 (平方厘米)．所以表面积为：157.7536 25.12 182.8736 (平方厘
1 0.5
1圆锥 【难度】3 星 【题型】解答 【 解 析 】 从 上 面 看 到 图 形 是 右 上 图 ， 所 以 上 下 底 面 积 和 为 2 3.14 1.52 14.13 (立 方 米 )， 侧 面 积 为
2 3.14 (0.5 11.5) 1 18.84 (立方米)，所以该物体的表面积是14.13 18.84 32.97 (立方米)． 【答案】32.97
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体
积的 6 2 3 倍．所以酒精的体积为 26.4π 3 62.172 立方厘米，而 62.172 立方厘米 62.172 毫 31
升 0.062172 升． 【答案】 0.062172
下的长方形的长，即圆柱体底面圆的周长为： 2 π 10 62.8 (厘米)， 原来的长方形的面积为：（10 4 62.8）（10 2） 2056 (平方厘米)． 【答案】2056
【例 5】 把一个高是 8 厘米的圆柱体，沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体 表面积减少12.56 平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的纵切面，长方形的长等于圆柱体的高为 10 厘米，宽为圆柱
底面的直径，设为 2r ，则 2r 10 2 40 ， r 1(厘米)．圆柱体积为： π 12 10 30 (立方厘米)． 【答案】30
【例 7】 一个圆柱体的体积是 50.24 立方厘米，底面半径是 2 厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再 截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ ( π 3.14 )
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】沿水平方向锯去 2 厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的 2 厘
米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.56 2 6.28 厘米，底面半径为 6.28 3.14 2 1 厘米，所以原来的圆柱体的体积是 π 12 8 8π 25.12 (立方厘米)． 【答案】25.12
【例 10】 (”希望杯”五年级第 2 试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶 子的容积是_______ 立方厘米．( π 取 3.14 )
4-4-2 圆柱与圆锥 题库
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【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由于瓶子倒立过来后其中水的体积不变，所以空气部分的体积也不变，从图中可以看出，瓶中的水
100.48 立方米． 【答案】100.48 立方米
【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成 1 个圆柱体，这个圆柱体 的底面半径为 10 厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？( π 3.14 )
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】做成的圆柱体的侧面是由中间的长方形卷成的，可见这个长方形的长与旁边的圆的周长相等，则剪
π
π
【例 4】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求 这个油桶的容积．( π 3.14 )
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答
【解析】圆的直径为：16.56 1 3.14 4 (米)，而油桶的高为 2 个直径长，即为： 4 2 8(m) ，故体积为
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为 7 5 2cm ，从而水与空着的部分的比为 4 : 2 2 :1 ，
由图 1 知水的体积为10 4 ，所以总的容积为 40 2 2 1 60 立方厘米．
【答案】60
【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和高都是 12 厘 米．其内有一些水，正放时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部 5 厘米，那么这个容器的容积 是多少立方厘米？( π 3 )
3 【答案】1620
【例 11】 (希望杯 2 试试题)如图，底面积为 50 平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为 5 厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是 2 厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降________ 厘米．
圆柱与圆锥
例题精讲
圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式
立体图形
表面积
S圆柱 侧面积 2个底面积 2πrh 2πr2
h
圆柱 r
h
r
圆锥
S圆锥
侧面积
底面积
n 360
πl 2
πr 2
注： l 是母线，即从顶点到底面圆上的线段长
体积 V圆柱 πr 2h
V圆锥体
1 πr2h 3
板块一 圆柱与圆锥
【例 1】 如图，用高都是1 米，底面半径分别为1.5 米、1 米和 0.5 米的 3 个圆柱组成一个物体．问这个物体 的表面积是多少平方米？( π 取 3.14 )
4-4-2 圆柱与圆锥 题库
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【巩固】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短 4 厘米，表面积就减少 50.24 平方厘米．求这个圆柱体的 表面积是多少？
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短 4 厘米，表面积就减少 50.24
构成高为 6 厘米的圆柱，空气部分构成高为10 8 2 厘米的圆柱，瓶子的容积为这两部分之和，所 以瓶子的容积为： π ( 4)2 (6 2) 3.14 32 100.48 (立方厘米)．
2 【答案】100.48
【巩固】一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为 26.4π 立方厘米．当瓶子正 放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米．问：瓶内酒精的体积 是多少立方厘米？合多少升？
【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的 直径是 4 厘米，孔深 5 厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂 多少平方厘米？
4-4-2 圆柱与圆锥 题库
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【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为
【考点】圆柱与圆锥 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】设圆锥的高为 x 厘米．由于两次放置瓶中空气部分的体积不变，有：
5 π 62 11 x π 62 1 π 62 x ，解得 x 9 ，
3 所以容器的容积为：V π 62 12 1 π 62 9 540π 1620 (立方厘米)．
可知，圆柱体的高为 50.24 3.14 22 4 (厘米)，所以增加的表面积为 2 4 2 16 (平方厘米)；
(法 2)根据长方体的体积公式推导．增加的两个面是长方体的侧面，侧面面积与长方体的长的乘积就 是长方体的体积．由于长方体的体积与圆柱体的体积相等，为 50.24 立方厘米，而拼成的长方体的长 等于圆柱体底面周长的一半，为 3.14 2 6.28 厘米，所以侧面长方形的面积为 50.24 6.28 8 平方 厘米，所以增加的表面积为 8 2 16 平方厘米． 【答案】16
设圆柱体底面半径为 r ，高为 h ，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大： 2 2r h 2008(cm2 ) ，所以 r h 502(cm2 ) ，所以，圆柱体侧面积为： 2 π r h 2 3.14 502 3152.56(cm2 ) ． 【答案】3152.56