二次根式的乘法与积的算术平方根PPT讲稿
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人教版数学八年级下册《二次根式的乘法》ppt课件
解：(2)∵ 2
13= 22 13= 52
，
3 6= 32 6= 54 ，
又∵52＜54，
∴ 52＜ 54 ，
∴
52＞ 54
两个负数比较大小，
绝对值大的反而小
,即 2 13＞-3 6.
探究新知
方法点拨
比较两个二次根式大小的方法：
(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，
400 20
20
5
16 25 =_________；
900 30
25 36 =_________.
(3) 25 36= ___×___=____；
30
6
5
观察两者有什么关系？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 9= 4 9 ；
(2) 16 25= 16 25 ；
第1课时 二次根式的乘法
新课导入
？
面积＝
面积＝
？
b
正方形面积 ＝ a • a
＝ ( a )2
＝a
长方形面积 ＝ a • b
＝
？
探究新知
知识点1： 二次根式的乘法
计算下列各式：
3
(1) 4 9 = ___×___=____；
2
6
36 6
4 9 =_________；
4
(2) 16 25 ___×___=____；
探究新知
知识点 2
二次根式乘法法则的逆用
一般地：
a b ab （a≥0，b≥0）
反过来，就得到：
（a≥0，b≥0）
语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算
【人教版】八年级数学下册：16.2《二次根式的乘法》ppt课件
A．a≤0 B．a＜0
C．0＜a≤1 D. a＞0
11．若 a＞0，把 －b4a化成最简二次根式为( C )
2 A.b
－ab
B．－2b ab
C．－2b －ab D. 2b －ab
23
12．(2015·南京)计算
5× 3
15的结果是__5__．
13．若 xx－ －23＝ xx－ －23成立，则 x 的取值范围是__x_＞__3____.
A. 3 B. 4 1
C. 8 D. 2 9．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1) 3a2b；(2) 52；(3) x2＋y2；(4) 6；(5) x2y2；(6) 0.21.
解：(3)(4)是最简二次根式，其它不是，理由略
22
10．已知 1－a2 a＝ 1a－a，则 a 的取值范围是( C )
解：依题意得：8 25n÷8 5n＝ 25n×n5＝ 2
27
18．小强在做题时发现： 1－12＝ 21， 2－25＝2 25， 3－130＝3 130， 4－147＝4 147，……
按上述规律，第 5 个等式应是____5_－__25_6_＝__5____25_6_，
由此猜想第 n 个等式是___n_－__n_2_＋n__1_＝__n____n_2_＋n__1_．
9
13．把二次根式 a －1a根号外的因式移入根号内为( B ) A. －a B．－ －a C．－ a D. a 14．已知一个长方形的长和宽分别为 2 5 cm 和 10 cm，则这个 长方形的面积为__1_0__2__cm2 . 15．已知 xy＜0，则 x2y化简后为__－__x__y__．
C.
914＝ 9＋
1 4
《二次根式的乘法和除法》PPT课件 (公开课获奖)2022年湘教版
是为了去掉分母中的根号.
化简二次根式时，最
后结果一般要求分母中不
含有二次根式.
结论
b ba＞0，b≥0.
aa
把公式（*）从右至左看就可得：
b ba＞0，b≥0.
aa
利用上述公式，可以进行二次根式的除法运算.
例3 计算：
( 1 )1 5 ； ( 2 ) 3 4 2 ；( 3 )1 4 .
3
5 6
6
本课节内容
二次根式的乘、除法
说一说
积的算术平方根的性质是什么？ a · b = a ·b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 ) .
我们把 a ·b = a ·b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 ) 从右至左看， 就可得
a ·b = a b ( a ≥ 0 , b ≥ 0 )
利用上述公式，可以进行二次根式的乘法运算．
做一做
（1）在数轴上表示下列各数，并比较它 们的大小：-15，-3，-1，-5；
（2）求出（1）中各数的绝对值，并比 较它们的大小；
（3）你发现了什么？
判断： (1)若一个数的绝对值是 2 ， 则这个数 是2 ； (2)|5|＝|－5|； (3)|－0.3|＝|0.3|； (4)|3|＞0； (5)|－1.4|＞0； (6)有理数的绝对值一定是正数； (7)若a＝b，则|a|＝|b|； (8)若|a|＝|b|，则a＝b； (9)若|a|＝－a，则a必为负数； (10)互为相反数的两个数的绝对值相等；
解 (1) 15 3
=
15 3
=
5.
( 2 ) 3 42 56
=
3 5
42 6
=
3 5
7.
(3)1 6 4=1 6 4=7 3=7 3 3 3=2 3 1.
《二次根式的乘法 22积的算术平方根》PPT课件
能力提升练 8．计算 9a2· ba(a＞0，b≥0)的结果是__3___a_b__．
能力提升练
9．计算：
(1)
15×
解：原式＝ 45；
15×45＝ 9＝3.
(2)6 8×(－3 2)； 解：原式＝－18 16＝－18×4＝－72.
(3) 5×(－2 10)× 212.
解：原式＝－2 5×10×52＝－2 125＝－2×5 5＝－10 5.
能力提升练
10．已知矩形花坛与圆形花坛面积相等，矩形花坛的长为 140π m，宽为 35π m．求圆形花坛的半径．
解：设圆形花坛的半径为 r m. 由题意得 πr2＝ 140π× 35π，解得 r＝ 70(r＝－ 70不合题意， 舍去)． 所以圆形花坛的半径是 70 m.
素养核心练
11．已知 2＝a， 20＝b，用含 a、b 的式子表示 0.016. 解：∵ab＝2 10， 0.016＝0.04 10， ∴ 0a.0b16＝0.2041010＝50， ∴ 0.016＝a5b0＝0.02ab.
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
温馨提示： 此PPT
可修改编辑
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
二次根式及二次根式的乘除法ppt课件
3 1 (a b)2 (a b)
3 1 (a b) a b
3
3. (2 mx 3 ny)(3 ny+2 mx) (2 mx)2 (3 ny)2 =4mx-9ny.
8
例4：计算
1. 5 2 3
13 5 5 13
13 5 5 13
13 5
5 13
2. 13 5 0.6 2 3
13
5
13 5 13 0.6 13 5
=- 13 5 5 1 3 13
=- 25 3
9
例4：计算
3. 2m-4n 4 m-2n 1
6
a2
5
2ma 2
3
ma (m 2n)
6 5 1 43
2(m-2n) a2
2ma 2 m 2n
ma
5 4m2a 2
5 2m a 2
5m a
5
3
二、例题和练习
例1：x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
1. 5 x x2
解：
Q
5 x 0, x20
x 5, x 2.
∴x≤5且x≠-2时，原式在实数范围内有意义.
4
二、例题和练习
例1：x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
2. x x
解：Q
x 0, x 0
x 0, x 0.
即x=4，代入不等式得 此时，y-1<0,
y 1. 2
| y 1| (y 1) 1 y 1. 1 y 1 y 1 y
6
二、例题和练习
例3：计算
1. 3 30 1 2 2 0.4 43
解：原式 3 1 30 8 2
4
35
3 32 4
34 2 43 27Fra bibliotek例3：计算
3 1 (a b) a b
3
3. (2 mx 3 ny)(3 ny+2 mx) (2 mx)2 (3 ny)2 =4mx-9ny.
8
例4：计算
1. 5 2 3
13 5 5 13
13 5 5 13
13 5
5 13
2. 13 5 0.6 2 3
13
5
13 5 13 0.6 13 5
=- 13 5 5 1 3 13
=- 25 3
9
例4：计算
3. 2m-4n 4 m-2n 1
6
a2
5
2ma 2
3
ma (m 2n)
6 5 1 43
2(m-2n) a2
2ma 2 m 2n
ma
5 4m2a 2
5 2m a 2
5m a
5
3
二、例题和练习
例1：x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
1. 5 x x2
解：
Q
5 x 0, x20
x 5, x 2.
∴x≤5且x≠-2时，原式在实数范围内有意义.
4
二、例题和练习
例1：x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.
2. x x
解：Q
x 0, x 0
x 0, x 0.
即x=4，代入不等式得 此时，y-1<0,
y 1. 2
| y 1| (y 1) 1 y 1. 1 y 1 y 1 y
6
二、例题和练习
例3：计算
1. 3 30 1 2 2 0.4 43
解：原式 3 1 30 8 2
4
35
3 32 4
34 2 43 27Fra bibliotek例3：计算
《二次根式的乘除》课件
1 除法中的除数
除数中不能含有二次次方根式（分母不能含有根号）。
2 分式的表达问题
如何将二次根式分式化为规定形式的分式是化简过程中的重要问题。
3 注意符号
化简过程中务必注意正负号的符号问题。
总结
1
知识点回顾
二次根式的定义、乘法和除法、化简，及注意事项。
2
实例演示
勾股定理、身高测量、网页搜索。
3
提高思维
例子
√2 × √3 = √(2×3) = √6
二次根式的除法
方法
将除数与被除数都化简成含有单个二次次方根号的形式，然后将它们相除。
例子
√ 10 ÷ √ 2 = √ (10/ 2) = √ 5
注意
除数中不能含有根式。
二次根式的化简
基本法则
可利用有理化分式法则将分母中含有二次次方根式的分式化成规定形式的分 式。
化简二次根式的方法能够锻炼我们的逻辑思维和空间思维。
例子
1 / (√6 + √3) = (√6 - √3) / (6 - 3)
实例演示
勾股定理
身高测量
勾股定理指出，对直角三角形， a²+ b²= c²。
身高测量中，常用毫米线测量 身高，可以根据身高信息判断 健康状况。
网页搜索
网页搜索是日常学习生活中必 不可少的工具，可以快速获取 丰富的信息。
注意事项
《二次根式的乘除》PPT 课件
本课程将为大家详细讲解二次根式的乘除，帮助您轻松掌握这个数学难点。数与一个含有不超过二次次方根式（或有理数）的代数式相乘或相除所得到的 式子称为二次根式。
特点
有理数和二次根式可以相加、相减、相乘、相除。
二次根式的乘法
除数中不能含有二次次方根式（分母不能含有根号）。
2 分式的表达问题
如何将二次根式分式化为规定形式的分式是化简过程中的重要问题。
3 注意符号
化简过程中务必注意正负号的符号问题。
总结
1
知识点回顾
二次根式的定义、乘法和除法、化简，及注意事项。
2
实例演示
勾股定理、身高测量、网页搜索。
3
提高思维
例子
√2 × √3 = √(2×3) = √6
二次根式的除法
方法
将除数与被除数都化简成含有单个二次次方根号的形式，然后将它们相除。
例子
√ 10 ÷ √ 2 = √ (10/ 2) = √ 5
注意
除数中不能含有根式。
二次根式的化简
基本法则
可利用有理化分式法则将分母中含有二次次方根式的分式化成规定形式的分 式。
化简二次根式的方法能够锻炼我们的逻辑思维和空间思维。
例子
1 / (√6 + √3) = (√6 - √3) / (6 - 3)
实例演示
勾股定理
身高测量
勾股定理指出，对直角三角形， a²+ b²= c²。
身高测量中，常用毫米线测量 身高，可以根据身高信息判断 健康状况。
网页搜索
网页搜索是日常学习生活中必 不可少的工具，可以快速获取 丰富的信息。
注意事项
《二次根式的乘除》PPT 课件
本课程将为大家详细讲解二次根式的乘除，帮助您轻松掌握这个数学难点。数与一个含有不超过二次次方根式（或有理数）的代数式相乘或相除所得到的 式子称为二次根式。
特点
有理数和二次根式可以相加、相减、相乘、相除。
二次根式的乘法
二次根式的乘法 积的算术平方根 课件
注意隐含条件
五、师生互动，运用新知 师生互动，
练习化简： (1) 27 (2) 32 (3) 48
(4) 45
(5) 27
(6) 72
化简
(1) 9× 25 (3) 20 − 16
2 2
2 (2) 24 3 (4) (-4)(-25)
练习化简： (1) 16a b
2
(2) 8a b c
3 2
(3) 12x y
提问：观察以上计算结果，你能发现什么？ 提问：观察以上计算结果，你能发现什么？
概括： 概括：
a × b = a ×b
注意： 注意： a、b 必须都是非负数，上式才能成立。 、 必须都是非负数，上式才能成立。 两个二次根式相乘， 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘
用途：二次根式的运算
三、师生互动，运用新知 师生互动，
a × b = a × b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
2.积的算术平方根的性质 （化简） 积的算术平方根的性质: 化简） 积的算术平方根的性质
a ⋅ b = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
利用(1)(2)进行计算和化简二次根式 进行计算和化简二次根式. 利用 进行计算和化简二次根式
在实数范围内， 注意 在实数范围内， 当a≥0时， 时 当a< 0时， 时 有意义。 有意义。 a 没有意义， a 没有意义，
二、提出问题，引出新知 提出问题，
1. 试一试： 试一试：
(1) 4 × 25 = ___ = ___ 4× 25 = ____ = _____
(2) 16 × 9 = ___ = ___ 16×9 = ____ = _____
(6) 4a
2
3
二次根式的乘法与积的算术平方根课件华师大版数学九年级上册
华师版九年级上册
第21章 二次根式
21.2.1&21.2.2 二次根式的乘法 与积的算术平方根
新课导入
1.当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
(1) 1 ； x 1
(2) x 3 . x 1
(3) 1 x 1 . x3
∴ x＞1.
∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
(4) x 2 3 x. ∴ 2 ≤ x ≤ 3.
(2) 1 27 1 27 9 3.
3
3
(3) 2 3 7 ( 2 3) 7 6 7 42.
二次根式乘法法则 a b = ab （a≥0，b≥0）
ab＝ a b （a≥0，b≥0）
归纳知识 1.二次根式乘法法则
a b = ab （a≥0，b≥0）
2.积的算术平方根的性质 ab＝ a b （a≥0，b≥0）
解：（1） 14 7= 14 7= 72 2=7 2.
（3） 3x
1 xy．
3
（2）3 5 2 10=6 5 10=30 2.
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
课堂小结
二 法则
算
次
术
根
平 方
式
根
乘
法 性质
a b ab (a≥0,b≥0) (计算) (化简)
猜想 a b＝ab (a≥0，b≥0)
归纳知识 二次根式乘法法则
a b a b a≥0，b≥0.
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
1.计算：
(1)
3
5 ； (2) (11)3 27 ；5 ； (2) 3
1 3
27 ；
第21章 二次根式
21.2.1&21.2.2 二次根式的乘法 与积的算术平方根
新课导入
1.当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
(1) 1 ； x 1
(2) x 3 . x 1
(3) 1 x 1 . x3
∴ x＞1.
∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
(4) x 2 3 x. ∴ 2 ≤ x ≤ 3.
(2) 1 27 1 27 9 3.
3
3
(3) 2 3 7 ( 2 3) 7 6 7 42.
二次根式乘法法则 a b = ab （a≥0，b≥0）
ab＝ a b （a≥0，b≥0）
归纳知识 1.二次根式乘法法则
a b = ab （a≥0，b≥0）
2.积的算术平方根的性质 ab＝ a b （a≥0，b≥0）
解：（1） 14 7= 14 7= 72 2=7 2.
（3） 3x
1 xy．
3
（2）3 5 2 10=6 5 10=30 2.
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
课堂小结
二 法则
算
次
术
根
平 方
式
根
乘
法 性质
a b ab (a≥0,b≥0) (计算) (化简)
猜想 a b＝ab (a≥0，b≥0)
归纳知识 二次根式乘法法则
a b a b a≥0，b≥0.
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
1.计算：
(1)
3
5 ； (2) (11)3 27 ；5 ； (2) 3
1 3
27 ；
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a
a
(4) 27 1 27 1 9 3
3
3
练习
计算：
(1)5 12 4 27 (2) 6 15 10
解： (1)5 12 4 27 (5 4) 12 27 20 4 3 3 9 20 (2 3 3)2
2018 360
(2) 6 15 10 6 15 10 233552 (235)2
302 30
ab a • b;(a 0,b0)
积的算术平方根法则：
积的算术平方根，等于各因式算 术平方根的积。
例题讲解
化简:
(1) 12 (2) 27 15
(3) 4a3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来。
解: (1) 12 43 22 3 2 3 (2) 27 15 9 3 3 5
3 x
计算
4 9
= 49
4 25 = 4 25
16 9
= 169
100 0.01 = 100 0.01
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何 用a，b表示？成立的条件是什么?
探究
(4)(9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
a b a b(a 0,b 0)
二次根式乘法法则: 两个算术平方根的积，等于它们
2
2
(3). 2 3 2 1 3 2 2
3 2 2 3 2 6
例题讲解
计算：
(1) 3 12 ( 2) x x3
(3)2 ab 3 b (4) 27 1
a
3
解：(1) 3 12 312 36 6
(2) x x3 x x3 x4 x2
(3)2 ab 3 b (2 3) ab b 6 b2 6b
被开方数的积的算术平方根.
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab（a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系 6
(2). 1 32 2
(3). 2 3 2
解：（1） 7 6 6 7 42
(2). 1 32 1 32 16 4
二次根式的乘法与积的算术平 方根课件
复习回顾
二次根式
二次根式的性质
被开方数a≥0； 根指数为2.
( a )2 a（a≥0）
a2
a
a(a 0) a(a 0)
1.计 算：(1)( 7 )2 ;(2)( 5)2 ;
(3) 121 ;(4) (3)2 . 2.当x 3时,化简: ( x 3)2 ; 3.当x 时, 1 x有意义; 4.当x 时, 2 有意义.
92 5 9 5
(3) 4a3 22 a2 a
2a a
(1). 8; (2). 18; (3). a3
化简 25x3 y4
解：由二次根式的意义可知：
25 x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25y4 x3
5y2 x x
5xy2 x