...二次根式的乘除(2)》公开课课件_图文.ppt.ppt
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人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
吉林省松原市宁江区第五中学人教版九年级数学上册课件：212二次根式的乘除(共17张PPT)
的条件是 m>5 .
课堂小结：
1.利用商的算术平方根的性质化简二次根式.
2.二次根式的除法有两种常用方法： (1)利用公式：
a a (a ≥0，b 0) bb
(2)把除法先写成分式的形式,再进行分母有 理化运算.
3.在进行分母有理化之前,可以先观察把能化 简的二次根式先化简,再考虑如何化去分母 中的根号.
21.2二次根式的乘除(2)
二次根式的乘法：
a b aba 0, b 0
算术平方根的积等于各个被开方数积的算 术平方根.
ab a ba 0,b 0
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根. 思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？
请试着自己举出一些例子．
a a a 0, b 0
1.被开方数不含分母
2.被开方数不含能开得尽方的因数或因 式
练习：1.把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 －4 14
37
21
（2） 2 3 40 5 30
注意：要进行根式化简, 关键是要搞清楚分式的分子 和分母都乘什么,有时还要先 对分母进行化简.
练习：
2.在括号内填写适当的数或式子使等式成立.
81 25x2
x
0
9 5x
(3)
16b2c a2
a
0, b
0
4b a
c
(4) 0.09 169 39 0.64 196 112
a b
a b
a 0,b 0
a b
a b
例6.计算:
1 3 2 3 2 3 8
5
27
2a
在二次根式的运算中,最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式.
(2)最后结果中的二次根式要求写成最简 的二次根式的形式.
课堂小结：
1.利用商的算术平方根的性质化简二次根式.
2.二次根式的除法有两种常用方法： (1)利用公式：
a a (a ≥0，b 0) bb
(2)把除法先写成分式的形式,再进行分母有 理化运算.
3.在进行分母有理化之前,可以先观察把能化 简的二次根式先化简,再考虑如何化去分母 中的根号.
21.2二次根式的乘除(2)
二次根式的乘法：
a b aba 0, b 0
算术平方根的积等于各个被开方数积的算 术平方根.
ab a ba 0,b 0
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根. 思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？
请试着自己举出一些例子．
a a a 0, b 0
1.被开方数不含分母
2.被开方数不含能开得尽方的因数或因 式
练习：1.把下列各式化简(分母有理化)：
（1）－4 2 －4 14
37
21
（2） 2 3 40 5 30
注意：要进行根式化简, 关键是要搞清楚分式的分子 和分母都乘什么,有时还要先 对分母进行化简.
练习：
2.在括号内填写适当的数或式子使等式成立.
81 25x2
x
0
9 5x
(3)
16b2c a2
a
0, b
0
4b a
c
(4) 0.09 169 39 0.64 196 112
a b
a b
a 0,b 0
a b
a b
例6.计算:
1 3 2 3 2 3 8
5
27
2a
在二次根式的运算中,最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式.
(2)最后结果中的二次根式要求写成最简 的二次根式的形式.
人教版八年级数学下册第十六章16.2二次根的乘除课件(3课时,共61张PPT)
求证： a b a b a 0,b 0.
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b)2 ( a)2 ( b)2 ab.
∴ a b 就是ab算术平方根.
又∵ ab 表示ab算术平方根， ∴ a b ab (a 0,b 0.)
知识归纳
二次根式乘法法则：
例8 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
反之： ab = a b （a≥0，b≥0 ）． （a≥0，b≥0 ）．
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
解：(2)∵
，
(1)
___×___=____;
（a≥0，b≥0 ）．
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2 7= ？
精典例题
例1 计算：
（1） 16 81 ；（2） 12 ；（3） 4a2b3 ． 解：（1） 16 81=36；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
目标导学三：二次根式的除法
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
合作探究
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1） ４ = ９
特殊化，从能开得尽方的 二次根式乘法运算开始思考！
2 7= ？
目标导学一：二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9= __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36=__5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___3_0_.
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b)2 ( a)2 ( b)2 ab.
∴ a b 就是ab算术平方根.
又∵ ab 表示ab算术平方根， ∴ a b ab (a 0,b 0.)
知识归纳
二次根式乘法法则：
例8 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
反之： ab = a b （a≥0，b≥0 ）． （a≥0，b≥0 ）．
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
解：(2)∵
，
(1)
___×___=____;
（a≥0，b≥0 ）．
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2 7= ？
精典例题
例1 计算：
（1） 16 81 ；（2） 12 ；（3） 4a2b3 ． 解：（1） 16 81=36；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
目标导学三：二次根式的除法
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
合作探究
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1） ４ = ９
特殊化，从能开得尽方的 二次根式乘法运算开始思考！
2 7= ？
目标导学一：二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9= __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36=__5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___3_0_.
数学人教版《二次根式的乘除》课件2
灵活应用，能力提升
例3 （课本P1 h km,电视节目信号的传播半径为r km,则它们之间存在近似关系 ,其中R是地球半径,R≈6400km.”如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传
播半径之比r 是多2少Rh？
解：半径之比= 2Rh1 2R h1 h1 h1 h2 h1h2
=4 5 5
灵活应用，能力提升
例1 变式 计算：2 2 -5 0.2 3 5
切勿漏了符号
解：原式=-2 53 2 1 5
5 =- 6 2 5 5
5
小数化成分数
=-
6 5
5
2
=-6 2
灵活应用，能力提升
例2 计算：3 27 1 50 6 2
解：原式=
3
1 2
27 50 6
= 3 225 2
3.两部分结果相乘 可将根号前的系数对应乘除，再将被开方数对应乘除
二次根式乘除混合运算的解题策略
(1) 被开方数不含分母;
4.约分、化简
课后练习，拓展提升
练习1 计算：
1 8 5
3 40
22
12 -
3 4
5
2
3 1 2 2 1 1 2
3 35
解：1原式= 1 8 5
3 40
= 1 1 3
可将根号前的系数对应乘除，再将被开方数对应乘除 (1) 被开方数不含分母;
5 5
41 2
(2) 被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
可将根号前的系数对应乘除，再将被开方数对应乘除
9 (2) 被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
解：原式=23 5 2 5 (1) 被开方数不含分母;
(1) 被开方数不含分母;
21.2《二次根式的乘除》2课件
5
D.
50
2.计算： (1) 18
8
5 21 (2) 7 10
2
3a 12b (3) 5 21a
( 4)
1000 m 150 m
3
融会贯通
2.化简: (1)15
12 2 45
1 7 3 4 5 10
2 ( 2) 3 40
1 1 (4)2 1 5 2 6
融会贯通
B 能力训练
举一反三
例3：计算
解：
1
3 5
3 2 2 27
3
8 2a
1 解法1..
3 3 15 15 15 3 5 5 25 5 5 5 5 25
3 3 5 15 解法2.. 5 5 5 5
在二次根式的运算中， 最后结果要求：
(1)分母中不含有二次根式.
2 3
3 1 3 18 3 9 3 3 2 18 2
2
3 1 2 18
举一反三
3 例2 化简: 1） （ 100
36 a (2) 2 25b
3 解: 1） （ 100
3 100 10
6 a 2 5b 25b 36 a
3
36 a (2) 2 25b
找学生口述解题过程，教师将过程写在黑板上.
A C
解:∵AB2=AC2+BC2 AC 2 BC 2 ∴AB
2.52 6 2
B
5 2 2
36
169 4 13 2 6.5(cm)
答：AB的长为6.5cm.
趁热打铁
练习1: (1) 18 2
72 ( 2) 6
b b (3) 2a 6a (4) 2 5 20 a
162二次根式的乘除2精品PPT课件
计算 1 24
解：
3
2 3 1
2 18
1 24 24 8 4 2 2 2 33
2 3 1 3 1 3 18 3 9
2 18 2 18 2
3 3
试一试 (1)
计算：
32 2
3 4 1 7
5 10
(2) 50 10
(4)2 11 5 1 26
解：1 32 32 16 4
分别为a,b.已知S=2 3 ,b= 10 ,求a.
解：因为S =ab, 所以a= S 2 3 2 3 10 30 b 10 10 10 5
拓展
已知a 1 ,b 1 ,求代数式 a b 的值.
32 2 32 2
a 2 ab b
解：a=3 2 2 ,b 3＋2 2
原式=
ab
（
（2）2 5 •（ 5 ）＝ 10
（3） a－1 •（
a－1）＝ a－1 （4）3
2＝
3
6
2.把下列各式的分母有理化：
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2y 2 4xy
3.化简：
（1）－ 19 ÷ 95
（2）9 1 ÷（－ 3 2 1）
48
24
例7 设长方形的面积为S，相邻两边长
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0,
b
0
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
解：((43))（(21001）)..660ab492222××58c79x1＝11=29669=29=51＝6ab2200258c..2x16095492=＝××=41153b965a969xc==00..483ab××11c43
解：
3
2 3 1
2 18
1 24 24 8 4 2 2 2 33
2 3 1 3 1 3 18 3 9
2 18 2 18 2
3 3
试一试 (1)
计算：
32 2
3 4 1 7
5 10
(2) 50 10
(4)2 11 5 1 26
解：1 32 32 16 4
分别为a,b.已知S=2 3 ,b= 10 ,求a.
解：因为S =ab, 所以a= S 2 3 2 3 10 30 b 10 10 10 5
拓展
已知a 1 ,b 1 ,求代数式 a b 的值.
32 2 32 2
a 2 ab b
解：a=3 2 2 ,b 3＋2 2
原式=
ab
（
（2）2 5 •（ 5 ）＝ 10
（3） a－1 •（
a－1）＝ a－1 （4）3
2＝
3
6
2.把下列各式的分母有理化：
（1）－8 3 （2）3 2
8
27
（3） 5a 10a
（4） 2y 2 4xy
3.化简：
（1）－ 19 ÷ 95
（2）9 1 ÷（－ 3 2 1）
48
24
例7 设长方形的面积为S，相邻两边长
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0,
b
0
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
解：((43))（(21001）)..660ab492222××58c79x1＝11=29669=29=51＝6ab2200258c..2x16095492=＝××=41153b965a969xc==00..483ab××11c43
新人教版《二次根式的乘除》课件公开课PPT
n（n2－1）＋n n2－1
＝
综设上AE所的述长,符为合m,条△件AD的E点的P面只积有为一S个,求,其S关坐于标m为的(2函,-2数√(关"3系" )式). ,并写出自变量m的取值范围;
"(i∴)当△四C边DE形的C最DM大N面是积平为行" 四"8边1"形/",8∵" M,此向时下A平E=移m4=个"9单" /"位2"得"N,B,∴E=NA的B-坐A标E=为" ("39+"n/,"n2-"2).,
按团体票一次性购买16张门票需要35×60%×16＝336(元)．
示为( B ) ②在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
解：由题意，得：①甲组单独施工12天完成，商店需付装修费用3 600元；乙组单独施工24天完成，商店需付装修费用3 360元，比较可 知，甲组比乙组早12天完工，商店早开业12天可盈利200×12＝2 400(元)． 知识点四 列一元一次不等式解应用题
A． 13
B． 12
C． a3
D．
5 3
8．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) 3.5 ；
解：原式＝
14 2
(2)
4 15
；
解：原式＝35 5
(3)
27 3x
；
(4) 16x3＋32x2 (x＞0).
解：原式＝3x x
解：原式＝4x x＋2
∴(的2)A函点B数E=从9关9,O点系．CA式=(出9绵,.并发写阳,沿出x中轴自向变考点量Bm)运等的动取式(值点范E与围xx点; － ＋A,B31不重＝合),过点xxE作－ ＋直31线l平成行立于B的C,交xAC的于点取D.设值AE范的长围为在m,△数AD轴E的上面积可为S表,求S关于m
二次根式的乘除ppt课件
(3)几个二次根式相乘，可利用乘法交换律、结合律简
化运算 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
式时一定要开方 .
3. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 .
感悟新知
知1－练
10
8
10
＝－
9×8＝－20 2.
3
10
3
27÷ ＝－1× 3 ×
8
8
27×
3
感悟新知
知3－练
(5)
(a>0，b>0)；
a3b6
解：∵a>0，b>0，∴
＝
ab
(6)8 ÷3 ÷6 .
a3b6
＝ a2b5＝ab2 b.
ab
4
8 6÷3 3÷6 2＝(8÷3÷6)× 6÷3÷2＝ .
学习目标
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
感悟新知
知1－讲
知识点 1 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则
一般地，有 · ＝ (a ≥ 0，b ≥ 0). 这就
是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的
积的算术平方根 .
感悟新知
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广
(1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单
方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因
式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
C. 0 ≤ x<1
D. x ≥ 0 且x ≠ 1
化运算 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 法则中被开方数a，b既可以是数，也可以是式子，但都
必须是非负的 .
2. 二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的因数或因
式时一定要开方 .
3. 二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个整式 .
感悟新知
知1－练
10
8
10
＝－
9×8＝－20 2.
3
10
3
27÷ ＝－1× 3 ×
8
8
27×
3
感悟新知
知3－练
(5)
(a>0，b>0)；
a3b6
解：∵a>0，b>0，∴
＝
ab
(6)8 ÷3 ÷6 .
a3b6
＝ a2b5＝ab2 b.
ab
4
8 6÷3 3÷6 2＝(8÷3÷6)× 6÷3÷2＝ .
学习目标
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
感悟新知
知1－讲
知识点 1 二次根式的乘法
1. 二次根式的乘法法则
一般地，有 · ＝ (a ≥ 0，b ≥ 0). 这就
是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的
积的算术平方根 .
感悟新知
知1－讲
2. 二次根式的乘法法则的推广
(1)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单
方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因
式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
C. 0 ≤ x<1
D. x ≥ 0 且x ≠ 1