初中数学特殊四边形的辅助线做法及口决

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.

在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.

下面介绍一些辅助线的添加方法.

一、和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.

1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例1 、如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.

求证:OE与AD互相平分.

分析:

因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证.

证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形，

所以OC//DE，OC=DE，因为0是AC的中点，

所以A0//ED，AO=ED,

所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分.

说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.

2．利用两组对边平行构造平行四边形

例2、如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.

分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.

证明:过点E作EH//BC,交AC于H,因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又AE=BF,所以△AEH≌△FBG,

所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.

说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.

3．利用对角线互相平分构造平行四边形

例3 、如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.

分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.

证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG，

因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形，

所以AC=BG，

AC//BG，所以∠1=∠4，因为AE=EF，

所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，

所以BF=BG=AC.

图3 图4

说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.

二、和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.

例4 、如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF 是菱形.

分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD是∠BAC的平分线，AE=AC，可通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE.

求AD平分CE.

证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE，得△ACE是等腰三角形，

因为AO平分∠CAE，所以AO⊥CE，且OC=OE，因为EF//CD，所以∠1=∠2，

又因为∠EOF=∠COD，所以△DOC可以看成由△FOE绕点O旋转而成，所以OF=OD，所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形.

例5、如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC 上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.

分析：要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.

证明：连结BD、DF.

因为AC、BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，

所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF≥DE，

当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以

EF+BF的最小值恰好等于DE的长.

说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.

三、与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种：

（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；

（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.

例6、如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.

分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.

解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G.

因为四边形ABCD是矩形，

所以PF2=CH2=PC2-PH2，

DF2=AE2=AP2-EP2，

PH2+PE2=BP2，

所以 PD2=PC2-PH2+AP2-EP2

=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，

所以 PD=3

.

说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长.

四、与正方形有关辅助线的作法