第7章多元函数积分学16-16(曲线与曲面积分习题课)

x y ax , y 0 .
2 2
解
P x (e sin y my ) e x cos y m y y
Q x (e cos y m ) e x cos y x x y
M
P Q 即 y x
Q P m （较简单） x y
L f ( x, y )ds
f [, ] 2 2 dt

LPdx Qdy
[ P (, ) Q(, )]dt

算
一代二换三定限 ( )
一代二换三定向（限）
与路径无关的四个等价命题
条 件
在单连通开区域D 上 P ( x , y ), Q( x , y ) 具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
o
A(a ,0)
x
I
L O A

OA
AMOA

OA
y
M
Q P ( )dxdy AMOA x y D
m dxdy m a 2 ,
D
o
A(a ,0)
x
8
O A
0 dx (e x m ) 0 0,
0
a
I
AMOA
点 A(1,1)的曲线 y sin
例 4 计算 I
L
(e x sin y my )dx (e x cos y m )dy ,其中 L
为由点( a ,0) 到点( 0,0)的上半圆周 x 2 y 2 ax , y 0 .
例 1.计算
其中L为圆周
解：一代： 利用极坐标 ,
化为定积分的计算式较复杂…….
解2
P 2 ( x 2 xy) 2 x y y
y
1
A
Q 2 ( x y4 ) 2x x x
P Q 即 , 知曲线积分与路径无关 y x
1 2 1 4
o
1
x
23 故原式 0 x dx 0 (1 y )dy . 15
(4) 利用Stokes斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
例 1 计算 例2 计算
其中L为摆线 上对应 t 从 2 到 0的一段弧.
例3 计算 I
其中L为圆周
y
o
A(2 a,0)
x
L
( x 2 2 xy )dx ( x 2 y 4 )dy ,其中 L为由点O (0,0) 到 x. 2


A ds (rotA n )dxdy

L ( A n)ds divAdxdy
D
A dS ( rotA n)dS
推广
A( M )为空间向量场

推广
divAdv

Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy x y z P Q R
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关 价 ( 2)
C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
命 ( 3) 在D内存在U ( x , y )使du Pdx Qdy
P Q 题 (4) 在D内, y x
曲面积分
对面积的曲面积分
定 义 联 系 计 算
n
对坐标的曲面积分
例5 计算 例6. 计算
其中 为曲线
其中由平面 y = z 截球面 从 z 轴正向看沿逆时针方向.
沿有向闭曲线 所作的功, 其中 例7 求力 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
例8、计算I

L
xdy ydx ， 2 2 4x y
高等数学A
第7章 多元函数积分学
7.2 曲线曲面积分
习题课
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
7.2 曲线曲面积分复习课
曲 线 曲 面 积 分 复 习
一、内容小结 二、曲线积分的计算法
三、第二类曲线积分计算方法 四、曲面积分的计算法
一、内容小结
1.曲线积分与曲面积分
曲线积分
对弧长的曲线积分
定 义 联 系 计
y
补充路径： L1 : y 0, x : 0 2 a
o
A(2 a, 0)
x
(2a y)dx xdy
L
L L1

L1
2dxdy
D
2 a
0
2adx 摆线的面积...-4 a 2
？
说明:解法1较好
例3
计算 I
(x
L
2
2 xy )dx ( x y )dy ,
(1) 统一积分变量 用参数方程 第一类: 用参数方程
用直角坐标方程
用极坐标方程
第二源自文库:
用直角坐标方程 第一 类: 下小上大 第二类: 下始上终
(2) 确定积分上下限
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;
(2) 利用积分与路径无关的等价条件;
(3) 利用Green公式 (注意加辅助线的技巧) ;

o
例8、计算I

L
xdy ydx 2 2 2 其中 L 为 ( x 1) y R ( R 0)取逆时针。 2 2 4x y
Q P y 2 4 x 2 解： x y 4 x 2 y 2 Q P (1 （ ) R 1) I ( )dxdy 0 x y D ( 2（ ) R 1) xdy ydx Q P ( 3（ ) R 1) I ( )dxdy 0 2 2 x y l 4x y D

Pdx Qdy Rdz

斯托克斯公式
Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系
L
Pdx Qdy (
D
Q P )dxdy x y
A( M )为平面向量场
或 L
Qdx Pdy (
D
P Q )dxdy x y
n
f ( x , y, z )ds lim f ( i ,i , i )si R( x , y, z )dxdy lim R( i ,i , i )( Si ) xy 0 0 i 1 i 1
Pdydz Qdzdx Rdxdy ( P cos Q cos R cos )dS
(1,1) x3 y5 (1,1) 23 2 或: 原式 u( x, y) x y (0,0) 3 5 (0,0) 15
x x I ( e sin y my ) dx ( e cos y m )dy , 例 4 计算 L
其中 L 为由点( a ,0) 到点( 0,0) 的上半圆周
2 4
其中 L 为由点O ( 0,0) 到点 A(1,1) 的曲线 y sin x . 2
解1 一代二换三定向

1
L
( x 2 2 xy )dx ( x 2 y 4 )dy
2 2 2 ( x 2 x sin x) ( x sin x) cos x dx 0 2 2 2 2
i rotA x 0 j y 0 k {xz , yz , 0} z xyz
o x
1y
设为z=y , 方向向上,
0
n (0, 1, 1)
Dxy :x 2 2 y 2 1
W rotA n dS yzdxdy

y dxdy
其中L为摆线
y
o
A(2 a, 0)
x
(2a y)dx xdy

(2a y)dx xdy a t sin t d t
2 L 2
0
a
2
t cos t sin t 2
0
解2: P 1, Q 1,
y x Q P 2(形式简单) x y
2. 各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式 计算 曲面积分 Guass公式
计算 重积分
3.三重积分与曲面积分的联系
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z 高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
其中L为( x 1)2 y 2 R 2 ( R 0)取逆时针。
例5 计算
其中由平面 y = z 截球面
从 z 轴正向看沿逆时针方向.
解1: （参数法）因在 上有 故
z
o x
1y
原式 =
1 3 1 2 2 2 4 2 2
z
解2： 斯托克斯公式
对坐标的曲线积分
L
f ( x , y )ds lim f ( i , i )si
0 i 1
n
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
n 0 i 1
lim [ P ( i , i )xi Q( i , i )yi ]
L Pdx Qdy L ( P cos Q cos )ds

( A n)ds
Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ( )dv x y z
5.场论初步 梯度
u u u gradu i j k x y z

通量 Pdydz Qdzdx Rdxdy 散度
P Q R divA x y z

环流量 Pdx Qdy Rdz
旋度
R Q P R Q P rotA ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
二、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) 转化 定积分

f ( x , y , z )ds
2 f [ x, y, z( x, y )] 1 z x z2 y dxdy Dxy
R( x , y , z )dxdy
R[ x , y, z( x , y )]dxdy
Dxy
一代,二换,三投四定限(与侧无关)
一代,二投,三定向 (与侧有关)

OA
m 2 m 2 a 0 a . 8 8
三、第二类曲线积分计算方法 • 若路径不封闭，先判断积分是否与路径无关 • 若路径封闭，先看能否利用格林公式 •
Q P 若路径不封闭，且积分与路径有关，但 x y
的形式较简单，则添加路径使之封闭，考虑
利用格林公式（二重积分以求得）；
二换
ds
原式 =

r 2 r 2 d a d
L
rds
a cos a d
2

2
说明: 若用参数方程计算, 则
y
o
2 2 ds x y dt
r
t
ax
则化为定积分的计算式 较复杂…….
例2 计算
上对应 t 从 2 到 0的一段弧. 解1: 一代二换三定向
I
xdy ydx
2 2
l 4x y
i rotA x y j y z k {1,1,1} z x
z
B
利用Stokes公式
n
C
y A x 设三角形区域为 , 方向向下, 则 : z 1 x y , 下侧 3 0 W rotA n dS 3dxdy n (1, 1, 1) 2
2
广义极坐标 变换求二重 积分
例6. 计算
其中 为曲线
z
解: 利用轮换对称性 , 有

2
o
y
x
2
ds y ds z ds

2
x
(的重心在原点)
利用重心公式知
2 I ( x 2 y 2 z 2 )ds 3 4 3 a 3
沿有向闭曲线 所作的功, 其中 例7 求力 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三角形的 整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向. 解：