金融数学第二章均值-方差资产选择模型

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第二章 均值方差资产选择模型
市场证券组合
市场证券组合(Market Portfolio)的概念是Fama于1968年提出来的，它是 指包括市场上每一种证券的总的组合，其中每种证券的组合权重等于该种证券 在市场交易中尚未清算部分的价值在市场上全部证券的总价值所占的比例。从 理论上讲，市场证券组合是风险性证券的理想证券组合，每个“具有高度理性” 的投资者都按一定的比例持有它。
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第二章 均值方差资产选择模型
2 (RP ) 2 2 (R1) (1 )2 2 (R2 ) 2 (1 ) (R1) (R2 )
[ (R1) (1 ) (R2 )]2
{
E(Rp ) E(R1)
E(R2 ) E(R2 )
[
(
R1
)
(
R2
)]
(
R2
)}2
即
(Rp )
E(Rp ) E(R1)
M-V准则
2
M-LPV准则
第二章 均值方差资产选择模型
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第二章 均值方差资产选择模型
均值-方差准则与随机占优准则的关系
在某些条件下期望-方差准则与随机占优准则是等价的。 M-V准则与SSD准则的等价关系
证明
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第二章 均值方差资产选择模型
即 于是有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( r uF ) ( r uG )
F(r) (r uF ) ( r uG ) G(r)
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投资组合线
第二章 均值方差资产选择模型
两证券的投资组合线
E(RP ) E(R1) (1 )E(R2 )
1
(RP ) [ 2 2 (R1) (1 )2 2 (R2 ) 2 (1 ) (R1) (R2 )]2
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可以得到
E(Rp ) E(R2 )
第二章 均值-方差资产选择模型
➢均值-方差准则 ➢组合投资理论概述 ➢最优组合系数 ➢最小方差集
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第二章 均值方差资产选择模型
第一节 均值-方差准则
均值-方差准则
假定投资者均为风险厌恶型,在具有相同的期望收益率的诸多投资机会中， 总是选择收益率方差最小的投资机会；或者在具有相同的收益率方差的诸种 投资机会中，总是选择期望收益率最大的投资机会。
E(R2 ) E(R2 )
[
(
R1)
(
R2
)]
(
R2
)
进一步的，在 (R) E(R) 坐标系下，即为直线
它们是从点
E
(
R
p
)
E
( (
R1 R1
) )
E
(R2 (R2
) )
[
(
Rp
)
(
R2
)]
E
(
R2
)
E
(
R
p
)
E
( (
R1 R1
) )
E
( (
R2 R2
) )
[
(
R
p
)
(
R2
)]
E
(
R2
)
[0,
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第二章 均值方差资产选择模型
第二节 组合投资理论概述
组合向量
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解
xA
30000 50000
0.6
xB
60000 50000
1.2
xC
20000 50000
0.4
于是该投资的组合向量为
X (0.6,1.2,0.4)
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第二章 均值方差资产选择模型
证券组合收益率期望与方差
r
r
F (t)dt G(t)dt
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第二章 均值方差资产选择模型
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第二章 均值方差资产选择模型
u G(t) F (t)]dt u G(2u x) F (2u x)]dx
u
G(2u t) F (2u t)]dt
u
{[G(t) G(2u t)] [F (t) F (2u t)]}dt 0 7
E(RP ) 0.510% 0.58% 9%
1
2 (RP ) [0.52 15% 0.52 12% 2 0.5 0.5 0.4 15% 12%]2 11.3%
投资组合的期望收益率介于两种证券之间，但是风险却比两种证券都要低。 这个简单的例子也说明了“不要将所有的鸡蛋放入同一个篮子”的原因。
此时，证券组合的收益率为
RP i (1 )RA
相应的收益率期望和方差分别为 E(RP ) i (1 )E(RA)
E(RP ) x1E(R1) x2E(R2 ) L xN E(RN )
2 (RP ) E{[ X R E( X R)][ X R E( X R)]}
X E{[R E(R)][R E(R)]}X
X X
NN
xi xjij
i1 j1
NN
xi xj iji j
i1 j1 12
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E(R1) E(R2 )
2 (RP ) 2 2 (R1) (1 )2 2 (R2 ) 2 (1 ) (R1) (R2 )
以下来看几种特殊情况
1
(RP ) [ 2 2 (R1) (1 )2 2 (R2 )]2 E(Rp ) E(R2 )
E(R1) E(R2 )
投资组合为双曲线。
如假设股票市场只有A和B两种股票构成，且股票A的均衡市场价格为400万 美元，股票B的均衡市场价格为600万美元，则显然任何“具有高度理性”的投资者 都会按照 2：3的比例投资A股和B股。
市场证券组合是一个理论上的抽象概念，现实生活中并不存在。通常的做 法是选取一些覆盖面较大的股票价格指数来代表它。如美国标准普尔500股指数 和道琼斯价格指数等。
E
( (
R1 R1
) )
E(R2
(R2
) )
(
R2
)
E
(
R2
)]
向右发射，斜率为
E(R1) E(R2 ) (R1) (R2 )
的两条射线。
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第二章 均值方差资产选择模型
E(Rp
)
E ( R1 )
(R1)
E(R2
(R2
) )
[
(
Rp
)
( R2
)]
E ( R2
)
和
E
(
Rp
)
E
( (
R1 R1
) )
E
(R2 ( R2
) )
[
(
R
p
)
(
R2
)]
E
(
R2
)
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第二章 均值方差资产选择模型
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第二章 均值方差资产选择模型
由图，至少可以得到两点结论： （1）投资组合线均通过A和B两点，且
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第二章 均值方差资产选择模型
含债券和股票的两证券投资组合线
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M-LPV则与TSD准则的等价关系 定理2.2 对于绝对风险厌恶递减型投资者而言， M-LPV准则与TSD准则等价。
证明略。 值得注意的是，均值-方差准则的基本思想是以投资收益率的方差来作为
投资风险的度量，这正是大多数主流经济学家所认同的,因此在本书后续的章 节中，均采用这种度量方法.