高二数学讲义：直线与方程
直线与方程知识点归纳
直线与方程知识点归纳1. 直线的定义和性质直线是平面上两个不同点之间的所有点的集合。
直线具有以下性质： - 直线没有宽度和长度，只有方向 - 直线上的任意两点可以确定一条直线 - 直线可以延伸无限远2. 直线的方程直线可以用方程来表示。
常见的直线方程有三种形式：点斜式、斜截式和截距式。
2.1 点斜式点斜式方程的形式为：y - y1 = m(x - x1)其中(x1, y1)是直线上的一点，m是直线的斜率。
2.2 斜截式斜截式方程的形式为：y = mx + b其中m是直线的斜率，b是直线在 y 轴上的截距。
2.3 截距式截距式方程的形式为：Ax + By = C其中A、B和C是常数，且A和B不同时为0。
3. 直线的斜率直线的斜率描述了直线的倾斜程度。
斜率可以通过两点之间的坐标计算得到，公式如下：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
直线的斜率还可以根据直线的方程得到。
对于点斜式和斜截式方程，斜率即为方程中的m值。
对于截距式方程，斜率可以通过以下公式计算：m = -A / B4. 直线的截距直线的截距是指直线与坐标轴的交点。
直线的截距可以通过直线的方程得到。
对于斜截式方程，直线与 x 轴的截距为(b, 0)；直线与 y 轴的截距为(0, b)。
对于截距式方程，直线与 x 轴的截距为(C/A, 0)；直线与 y 轴的截距为(0,C/B)。
5. 直线的平行和垂直关系两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
如果直线的斜率为m1，另一条直线的斜率为m2，则两条直线平行的条件为m1 = m2。
两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为 -1。
如果直线的斜率为m1，另一条直线的斜率为m2，则两条直线垂直的条件为m1 * m2 = -1。
6. 直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与 x 轴的夹角。
直线的倾斜角可以通过直线的斜率计算得到。
倾斜角的计算公式为：θ = arctan(m)其中m是直线的斜率。
高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程
高中数学必修知识点总结：第三章直线与方程1. 直线的一般方程直线的一般方程可以表示为：Ax + By + C = 0。
其中A、B、C是常数，A和B 不同时为0。
这个方程可以通过直线上任意两点的坐标来确定。
2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为：y = kx + b。
其中k是直线的斜率，b是y轴截距。
通过斜截式方程，我们可以方便地确定直线的斜率和截距。
3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为：y - y1 = k(x - x1)。
其中(x1, y1)是直线上的一个已知点，k是直线的斜率。
根据点斜式方程，我们可以通过已知点和斜率来确定直线的方程。
4. 直线的两点式方程直线的两点式方程可以表示为：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
通过两点式方程，我们可以直接利用已知点的坐标来确定直线的方程。
5. 直线的斜率公式和截距公式直线的斜率可以通过斜率公式来计算：k = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
直线的截距可以通过截距公式来计算：b = y1 - kx1。
通过斜率公式和截距公式，我们可以方便地计算直线的斜率和截距。
6. 直线的平行和垂直关系如果直线1的斜率等于直线2的斜率，则直线1和直线2平行。
如果直线1的斜率与直线2的斜率的乘积为-1，则直线1和直线2垂直。
7. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点可以通过将y设为0得到，直线与y轴的交点可以通过将x 设为0得到。
8. 直线的倾斜角直线的倾斜角可以通过斜率来计算：θ = arctan(k)，其中k是直线的斜率。
9. 直线的距离公式直线Ax + By + C = 0到点(x0, y0)的距离可以通过公式计算：d = |Ax0 + By0 +C|/√(A²+B²)。
10. 直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为以下三种情况：•直线与线段相交•直线与线段不相交•直线与线段重合通过计算直线与线段的交点，可以确定它们的位置关系。
高二数学直线及方程知识点
高二数学直线及方程知识点直线及方程是高中数学中重要的知识点之一，对于理解几何形状和解决实际问题都具有重要的作用。
本文将介绍高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线的关系等内容。
希望通过本文的阅读，能够帮助同学们更好地理解和掌握直线及方程的知识。
1. 直线方程的表示形式直线方程的表示形式通常有一般式、截距式和斜截式等。
一般式的直线方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数且A和B不同时为0。
截距式的直线方程形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示x轴和y轴上的截距。
斜截式的直线方程形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
2. 直线的性质与判定直线具有很多重要的性质，包括平行、垂直、相交等。
两条直线平行的判定条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的判定条件是它们的斜率的乘积为-1。
两条直线相交时，它们的交点可以通过联立两条直线的方程求解得到。
此外，对于一条直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，其斜率可以通过Δy/Δx来计算。
3. 直线与曲线的关系直线与曲线之间有时会有特殊的关系，比如切线和法线。
曲线在某一点的切线是曲线在该点处与切线相切，切线的斜率等于曲线在该点的导数。
曲线在某一点的法线是与切线垂直的直线，其斜率等于切线的斜率的相反数。
通过分析曲线的性质及其方程，我们可以画出曲线在不同点处的切线和法线。
4. 直线与线段的关系直线和线段也有一些特殊的关系，比如线段的中垂线和角平分线。
线段的中垂线是线段的中点与线段所在直线的垂线，中垂线会将线段平分成两个相等的部分。
线段的角平分线是线段的两边所在直线的夹角的平分线，角平分线将角分成两个相等的角。
总结：本文介绍了高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线、线段的关系等内容。
通过对这些知识点的理解和掌握，可以帮助同学们更好地应对数学学习中的问题和挑战，为解决实际问题提供有力的数学工具。
高中数学直线与方程课件
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直线与方程 结 束
2．斜率公式 (1)定义式：直线 l 的倾斜角为 α≠π2，则斜率 k＝__ta_n__α_. (2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，
y2－y1 则 l 的斜率 k＝_x_2_－__x_1 .
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(3)已知两直线的一般方程 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2 ＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．
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直线与方程 结 束
[例 1] (1)直线 xsin α＋y＋2＝0 的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) C．0，π4
B．0，π4∪34π，π D．0，π4∪π2，π
[解析] (1)因为直线 xsin α＋y＋2＝0 的斜率 k＝－sin α，又 －1≤sin α≤1，所以－1≤k≤1.设直线 xsin α＋y＋2＝0 的倾斜 角为 θ，所以－1≤tan θ≤1，而 θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范
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6. [考点二] (2016·苏北四市一模)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6
＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为_____．
解析：由两直线平行可得，a(b－3)－2b＝0，
即2b＋3a＝ab，2a＋3b＝1.
直线与方程知识点
直线与方程知识点直线是数学中的基本概念之一，它在几何学、代数学和物理学中都有广泛的应用。
本文将介绍直线的定义、特征和常见的方程形式，以及如何用这些知识点解决与直线相关的问题。
一、直线的定义与特征直线是由无数个无限接近的点组成的。
这些点在直线上是无序排列的，并且在直线的两个方向上都是无限延伸的。
直线没有宽度和厚度，只有长度。
直线具有以下特征：1.无限延伸性：直线在两个方向上都是无限延伸的，没有终点。
2.点的共线性：直线上的任意两个点都是共线的，即它们可以用一条直线连接起来。
3.独一性：通过直线上的任意两个点，只有一条直线可以过去。
二、直线的方程形式直线的方程是用来描述直线的数学表达式。
常见的直线方程形式有点斜式和截距式。
1.点斜式方程：点斜式方程是通过直线上的一个已知点和直线的斜率来表示直线的方程。
假设已知直线上的一个点为P（x1，y1），直线的斜率为k，那么点斜式方程为y - y1 = k(x - x1)。
2.截距式方程：截距式方程是通过直线在坐标系的截距来表示直线的方程。
截距是指直线与坐标轴的交点。
假设直线与x轴的交点为A（a，0），与y轴的交点为B（0，b），那么截距式方程为x/a + y/b = 1。
三、如何确定直线的方程要确定直线的方程，我们需要已知直线上的一个点和直线的斜率或两个截距点。
1.已知斜率和已知点：如果已知直线上的一个点P（x1，y1）和直线的斜率k，可以使用点斜式方程y - y1 = k(x - x1)来确定直线的方程。
2.已知两个截距点：如果已知直线与x轴的交点A（a，0）和与y轴的交点B（0，b），可以使用截距式方程x/a + y/b = 1来确定直线的方程。
四、直线的性质与应用直线在几何学和代数学中有许多重要的性质和应用。
下面是几个常见的例子：1.直线的斜率：斜率是直线的一个重要属性，表示直线的倾斜程度。
斜率可以通过直线上任意两点的坐标计算得到。
如果两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），那么斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
高中数学-直线的方程基础讲义
2.1.1直线的倾斜角与斜率一、知识点1.直线倾斜角的定义：①当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴 与直线l 之间所成的角叫直线l 的倾斜角②当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定直线l 的倾斜角为注：（1）直线的倾斜角的取值范围为（2）从运动变化的观点来看，当直线l 与x 轴相交时，将x 轴绕直线l 与x 轴的 按 方向旋转到与直线重合时所转的 叫直线的倾斜角（3）直线的倾斜角的几何意义：从“形”上直观地描述了直线对x 轴正方向的2.直线斜率的定义：①倾斜角不为090的直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写的字母k 表示，即=k②倾斜角为900的直线的斜率注：（1）直线的倾斜角α与斜率k 的关系：①当00=α时，=k ，此时直线与x 轴②当00900<<α时，k ，且k 随α的增大而③当090=α时，k ，此时直线与x 轴④当0018090<<α时，k ，且k 随α的增大而3.过两点的直线的斜率公式：过两点),(),,(222111y x P y x P )(21x x ≠的直线的斜率=k 例1.判断（1）任何一条直线都有倾斜角 （ ）（2）任何一条直线都有斜率 （ ）（3）若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为αtan （ ）（4）若直线的斜率为αtan ，则直线的倾斜角为α （ ）（5）倾斜角相等的直线，斜率也相等 （ ）（6）斜率相等的直线，倾斜角也相等 （ ）（7）倾斜角越大的直线，斜率也越大 （ ）（8）斜率越大的直线，倾斜角也越大 （ ）例2.已知直线的倾斜角为α，斜率为k ，则 ⑴若)3,6(ππα∈，则∈k ； ⑵若)65,3(ππα∈，则∈k ； ⑶若)33,3(--∈k ，则∈α ； ⑷若)1,1(-∈k ，则∈α 例3.已知点)2,3(),3,4(B A -，过点)10(-，P 的直线l 与线段AB 有公共点，求（1）直线l 的斜率k 的取值范围；（2）直线l 的倾斜角α的取值范围例4.已知实数y x ,满足82+-=x y ，且32≤≤x ，求x y 的最大值与最小值例5.已知实数y x ,满足)11(222≤≤-+-=x x x y ，求23++x y 的最大值与最小值例6.求函数)1(213≥+-=x x x y 的值域例7.已知函数)1ln()(+=x x f ，比较45ln ,34ln ,23ln 的大小例8.一束光线从点)32(，-A 射入经x 轴上点P 反射后，通过点)75(，B ，求点P 的坐标例9.已知点)14(),52(-，，B A ，在y 轴上求一点P ，使PB PA +最小，求点P 的坐标例10.证明不等式)0,0(>>>>++m a b ba mb m a例12.已知点)21(),13(),04(),32(，，，，---Q P B A ，判断直线AB 与PQ 的位置关系例13.已知)32(),24(),12(),00(D C B A -，判断四边形ABCD 的形状2.1.2 两直线的平行与垂直的判定一、知识点1.两直线的平行的判定：设两不重合的直线21,l l 的斜率分别是21,k k ，则1l ∥2l ⇔ 注：（1）1l ∥2l ⇔21k k =成立的前提：①21,l l 不重合；②斜率21,k k 都存在（2）1l ∥2l ⇒（3）21k k =⇒例1.判断直线AB 与PQ 是否平行？并说明理由.（1）)2,1(),1,3(),0,4(),3,2(---Q P B A（2）)1,1(),4,3(),1,2(),2,1(----Q P B A（3）)5,5(),2,5(),10,3(),2,3(Q P B A ---（4）)3,2(),4,3(),1,2(),1,0(Q P B A --例2.已知四边形ABCD 四个顶点分别为)0,0(A ，)1,2(-B ，)2,4(C ，)3,2(D ，试判断四边形ABCD 形状，并给出证明例3.已知平行四边形ABCD 中，)3,4(),0,1(),1,0(C B A ，求点D 的坐标2.两直线的垂直的判定：设两直线21,l l 的斜率分别是21,k k ，则⇔⊥21l l 注：（1）⇔⊥21l l 121-=k k 的前提是（2）⇒⊥21l l（3）121-=k k ⇒例4.判断直线AB 与PQ 是否垂直？并说明理由.（1）)6,6(),3,0(),6,3(),0,6(--Q P B A（2）)1,2(),1,2(),2,1(),2,1(Q P B A ----（3）)40,10(),40,10(),100,3(),4,3(Q P B A -例5.已知点)3,2(),1,1(),1,5(C B A -，试判断ABC ∆的形状例6.已知点)3,2(),2,3(),0,1(),1,0(D C B A ，试判断四边形ABCD 的形状作业：（1）已知)0,3(),2,2(),1,1(C B A -三点，求点D 的坐标，使AB CD ⊥，CB ∥AD（2）已知点)23,3(),,(),4,42(),2,3(+-----m D m m C m B m A ，若直线CD AB ⊥，求m 的值2.2 直线的方程一、知识点1.直线的方程的概念：一般地，如果一条直线l 与一个方程满足：①以这个方程的解为坐标的点都②直线上任何一点的坐标都那么这个方程称为 的方程，这条直线称为 的直线2.直线的点斜式方程：过点),(00y x P 且斜率为k 的直线方程为： ， 特别的，当直线l 的斜率0=k 时，直线l 的方程为当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 的方程为注：（1）直线的点斜式方程只适合于 的直线（2）过点),(00y x P 的直线有 条，可以分为两类：第一类：斜率存在的直线，方程为第二类：斜率不存在的直线，方程为例1.直线1+=x y 绕其上一点)4,3(P 逆时针旋转090后得到直线l ，求直线l 的点斜式方程例2.已知直线l 过点)0,1(，且与直线)1(33-=x y 的夹角为030，求直线l 的方程3.直线的斜截式方程（1）截距的定义：我们把直线l 与x 轴的焦点)0,(a 的 称为直线l 在x 轴上的截距，又叫 ；把直线l 与y 轴的焦点),0(b 的 称为直线l 在y 轴上的截距，又叫注：由截距的定义知截距不是距离，它是直线与x 轴，y 轴交点的 和 ，距离是非负的，而截距有正有负，也可以为0，当直线与坐标轴正半轴相交时，截距为 ，当直线与坐标轴的负半轴相交时，截距是 ，当直线过原点时，截距为（2）直线的斜截式方程：斜率为k ，纵截距为b 的直线l 的方程为 注：（1）直线的截距式方程只适合于 的直线（2）斜截式方程b kx y +=中，x 的系数为直线的 ，常数项b 为直线的4.斜截式下两直线位置关系的判定：设直线1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=，则（1）21,l l 重合⇔（2）1l ∥2l ⇔（3）21,l l 相交⇔（4）21l l ⊥⇔例3.（1）过点)1,1(且与直线72+=x y 平行的直线方程为（2）过点)1,1(且与直线72+=x y 垂直的直线方程为例4.（1）当a 为何值时，直线1l :a x y 2+-=与直线2l ：2)2(2+-=x a y 平行？（2）当a 为何值时， 直线1l : 3)12(+-=x a y 与直线2l ：34-=x y 垂直？2.2.2直线的两点式方程一、知识点1.直线的两点式方程：过点),(),,(222111y x P y x P ),(2121y y x x ≠≠的直线方程为 注：（1）两点式方程只适合于 的直线（2）当21x x =时,直线的斜率 ，方程是 当21y y =时,直线的斜率为 ，方程是例1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程.（1）)3,0(),1,2(-Q P（2）)0,5(),5,0(B A（3）)0,0(),5,4(D C --例2.已知三角形的顶点是)2,0(),3,3(),0,5(C B A --（1）求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程（2）求BC 边上垂直平分线所在直线的方程（3）求BC 边上高所在直线的方程2.直线的截距式方程：过点)0)(,0(),0,( ab b B a A 的直线方程为注：（1）直线的截距式方程适用于 的直线，即直线的截距式方程不能表示 的直线例3.根据下列条件求直线方程（1）在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距是3；（2）在x 轴上的截距为-5，在y 轴上的截距是6；例4.已知直线l 经过点P(1,2)，并且点A(-2,3)和点B(4,-5)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程例5.求过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条？它们的方程是什么？变式：（1）过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距互为相反数的直线有几条？（2）过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条?（3）过(1,2)并且在y 轴上的截距是x 轴上的截距的2倍的直线有几条?注：不过原点且截距相等的直线的斜率为不过原点且截距互为相反数的直线的斜率为例6.已知直线l经过点P(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成三角形面积是4，求直线l的方程例7.直线l过点P(1,2)且与x轴,y轴的正半轴交于A,B两点，求使三角形AOB面积最小时直线l的方程例8.已知直线l过点P(3,2)且与x轴,y轴正半轴交于A,B两点，（1）求使△AOB面积最小时直线l的方程.PA⋅的值最小时直线l的方程.（2）求PBOA+的值最小时直线l的方程.（3）求OB（4）求△AOB周长最小时直线l的方程作业：1.已知△ABC 的顶点A(5，1),AB 边上的中线CM 所在的中线方程为2x-y-5=0,AC 边上的高BH 所在的直线方程为x-2y-5=0(1)求AC 所在的直线方程；(2)求点B 的坐标2.已知两直线1l :ax-by+4=0,2l :(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b 的值(1)21l l 且1l 过点（-3,-1)(2)1l //2l 且坐标原点到这两条直线的距离相等3.直线过点)2,34(P 且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A,B 两点，O 为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：(1)△AOB 的周长为12；(2)△AOB 的面积为6，若存在，求出方程，若不存在，说明理由2.2.3直线的一般式方程一、知识点1.直线的一般式方程：注：（1）直线的一般式方程适合于 的直线（2）平面上任一条直线都可以用一个关于x,y 的二元一次方程表示；关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线（3）对直线的一般式方程B A C By Ax ,(0=++不同时为0)①当0≠B 时，方程可化为可化为 ，其斜率为 ，纵截距为 ②当0=B 时，方程可化为 ，表示一条 的直线（4）对于直线方程的一般式，一般作如下约定：①一般按含x 项、含y 项、常数项顺序排列；②x 项的系数为正③x ，y 的系数和常数项一般不出现分数例1.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a=0(a ∈R)．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围例2.设直线l 的方程为62)12()32(22-=-++--m y m m x m m ，根据下列条件分别确定m 的值（1）l 在x 轴上的截距是-3；（2）l 的斜率是-1例3.直线0=++c by ax ，当0<ab ，0<bc 时，此直线不通过的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限例4.两条直线2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置关系是( )A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.平行或重合例5.若直线(m+2)x+(2-m)y=2m 在x 轴上的截距为3，则m 的值是例6.直线Ax+By+C=0通过第一、二、四象限，则（ ）(A)A ·B>0,A ·C>0 (B)A ·B>0,A ·C<0(C)A ·B<0,A ·C>0 (D)A ·B<0,A ·C<02.一般式下两直线的位置关系：设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A（1）21,l l 重合⇔（2）1l ∥2l ⇔（3）21,l l 相交⇔（4）21l l ⊥⇔例7.已知直线1l ：x+(a+1)y-2+a=0和2l ：2ax+4y+16=0，若1l ∥2l ，求a 的值例8.已知直线1l ：x-ay-1=0和2l ：a2x+y+2=0，若1l ⊥2l ，求a 的值2.3.1两条直线的交点坐标一、知识点1.两条直线的交点坐标：用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A （1）若方程组有且只有一个解, 则两条直线（2）若方程组无解, 则两条直线（3）若方程组有无数解, 则两条直线例1.求直线1l ：0243=-+y x 和2l ：022=++y x 的交点坐标例2.判断下列各对直线的位置关系，如果相交,求出交点坐标.（1）1l ：0=-y x 和2l ：01033=-+y x（2）1l ：043=+-y x 和2l ：026=-y x（3）1l ：0543=-+y x 和2l ：01086=-+y x例3.若三条直线1l ：044=++y x ，2l ：01=++y mx ，3l ：01=+-y x 不能围成一个三角形，求m 的值例 4.若三条直线1l ：01=++y ax ，2l ：01=++ay x ，3l ：0=++a y x 能围成一个三角形，求m 的取值范围例5.若直线1l ：12++=k kx y ，2l ：042=-+y x 的交点在第四象限，求k 的取值范围2.3.2两点间的距离一、知识点1.平面上任意两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式：=AB 注：（1）当AB ⊥x 轴时，=AB ；当AB ⊥y 轴时，=AB（2）任意一点P(x,y)到坐标原点的距离为2.斜率为k 的直线上两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式：=AB == =例1.已知点)7,2(),2,1(B A -，在x 轴上求一点P ，使PB PA =，并求PA 的值例2.在直线l:3x-y+1=0上求一点P ，使点P 与两点A(1,-1),B(2,0)的距离相等例3.已知点A(7,-4) ,B(-5,6), 求线段AB 的垂直平分线的方程例4.证明：平行四边形ABCD 四条边的平方和等于两条对角线的平方和例5.证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等例6.已知 8422)(22+-++-=x x x x x f ，问x 取何值时)(x f 最小，最小值为多少？例7.已知8422)(22+--+-=x x x x x f ，问x 取何值时)(x f 最小，最小值为多少？例8.已知10,10<<<<y x ，求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-++-+-+++y x y x y x y x2.3.3点到直线的距离一、知识点1.点到直线的距离的定义：过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q 点， 的长度叫做点P 到直线l 的距离2.点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线l ：0=++C By Ax 的距离=d 注：（1）用此公式时直线要先化成一般式（2）当0=A 时，点),(00y x P 到直线l 的距离=d 当0=B 时，点),(00y x P 到直线l 的距离=d例1.求点P(-1,2)到直线l ：3x=2的距离注：（1）点),(00y x P 到x 轴的距离=d（2）点),(00y x P 到x 轴的距离=d（3）点),(00y x P 到直线x=a 的距离=d（4）点),(00y x P 到直线y=b 的距离=d例2.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(-1,0)，求△ABC 的面积例3.已知直线l 经过点P(1,2),并且点A(-2,3)和点B(4,-5)到直线l 的距离相等，求直线l 的方程.例4.△ABC 中，A(3,3)，B(2,-2)，C(-7,1)，求∠A 的平分线AD 所在的直线方程注：角平分线定理：设AD 为△ABC 的∠A 的平分线(内角平分线或外角平分线)，则例5.直线l 过点P(2,-5)且与点A(3,-2)，B(-1,6)距离之比为1:2，求直线l 的方程例6.在抛物线4 y 2x 上求一点P ，使P 到直线l : y=4x-5的距离最短,并求出这个最短距离.例7.直线l 经过点 P(－2，1), 且A(-1，3)到l 的距离等于1, 求直线l 的方程2.3.4两条平行直线间的距离一、知识点1.两平行线间的距离的定义：指夹在两平行线间的 的长度2. 两条平行线间的距离公式：两平行线1l ：01=++C By Ax 和2l ：02=++C By Ax 间的距离=d注：（1）使用两条平行直线间的距离公式的前提条件： ①把直线方程化为一般式方程．②两条直线方程中x ，y 系数必须分别相等．（2）斜截式下两直线1l ：1b kx y +=,2l ：2b kx y +=间的距离=d 例1.已知直线1l ：0872=--y x ,2l ：01216=--y x ，1l 与2l 是否平行？若平行，求1l 与2l 间的距离例2.求与两平行线1l ：2x-3y+4=0，2l ：2x-3y-2=0距离相等的直线l 的方程注：与两平行线1l ：01=++C By Ax ,2l ：02=++C By Ax 距离相等的直线l 的方程为21 例3.已知直线1l 过点A(0,1)，2l 过点B(5,0)，若1l //2l ，且21,l l 距离为5，求直线21,l l 的方程例4.求与直线2x-y-1=0平行且距离为5的直线l 的方程例5.两条互相平行的直线分别过点A(6,2),B(-3,-1)，且各自绕着点A,B 旋转，设两平行线间的距离为d ，（1）求d 的取值范围（2）求当d 取最大值时两直线的方程例6.l 过点P(-2,1)，点A(-1,3)到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程。
高二数学讲义直线与方程
讲义：直线与方程内容讲解：1、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为α()0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.当2πα=时，斜率不存在.（2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率212121()y y k x x x x -=≠-.2、两直线的位置关系：两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则：（1）1l ∥2l ⇔12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-； （3）1l 与2l 重合⇔12k k =且12b b =3、直线方程的形式：（1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式：1121212121(,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点）（4）一般式：()2200x y C A B A +B += +≠（5）截距式：1x ya b+=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距）4、直线的交点坐标：设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠；（2）1l ∥2l 111222A B C A B C ⇔=≠；（3）1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y间的距离公式12PP =原点()0,0O 与任一点(),x y P的距离OP =6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =（1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax Cd A +=（2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By Cd B+=（3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离d =8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩（2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y CB+=-且12x x =c 、0A B ⋅≠时，有12121212022y y Bx x Ax x y y A B C -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩典型例题例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1． ① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－23．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）A ．30° B．60° C．120° D．150°（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7 B．－7．7．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.例3．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+例4．（全国Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程.例6.一条直线从点A(3,2)出发,经过x轴反射,通过点B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程例7、已知点A(－3,5) 和B(2,15) , 在直线l： 3x－4y+4=0上找一点P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值.例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x-y=0,斜边的中点为A(4,2),求其它两边所在直线的方程.例9、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.例10、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及PBPA+的值为最小.例11、过点A(0,1)做一直线l,使它夹在直线1l:x-3y+10=0和2l:2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.巩固训练1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为π4，则m的值是（）A、3B、2C、-2D、2与32、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )A、 (－a,－b) B 、 (a,－b) C、 (b,a) D、 (－b,－a)3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )A、3x+4y－122=0B、 3x+4y+122=0C、 3x+4y－24=0D、3x+4y＋24=04、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )A 、1B 、2C 、3D 、45、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为 （ ）A 、(a －b,a ＋b)B 、(a ＋b, a －b)C 、(2a,0)D 、(0,2a)6、若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ）A 、[]010， B 、(0，10)C 、13313，⎡⎣⎢⎤⎦⎥ D 、(-∞，0] [10，＋∞)7、过定点P(2,1)作直线l ,交x 轴和y 轴的正方向于A 、B ，使△ABC 的面积最小，那么l的方程为 （ ）A 、x-2y-4=0B 、x-2y+4=0C 、2x-y+4=0D 、x+2y-4=08、若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有（ ）A 、A·B ≠0 B 、A ≠0或B ≠0C 、C ≠0D 、A 2＋B 2=09、已知直线l 1：3x ＋4y=6和l 2：3x-4y=-6，则直线l 1和l 2的倾斜角是（ ）A 、互补B 、互余C 、相等D 、互为相反数10、直线(2m 2-5m-3)x-(m 2-9)y ＋4=0的倾斜角为π4，则m 的值是（ ）A 、3B 、2C 、-2D 、2与311、△ABC 的一个顶点是A(3,-1),∠B、∠C 的平分线分别是x=0,y=x ，则直线BC 的方程是 （ ） A 、y=2x+5 B 、y=2x+3 C 、y=3x+5 D 、y=-252x + 12、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )A 、k ＞1B 、0＜k ＜21C 、k ＜21D 、21＜k ＜113、直线(m+2)x+m y m m 2)32(2=--在x 轴上的截距是3,则实数m 的值是( )A 、52B 、6C 、- 52D 、-614、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，-4),则第四个顶点坐标为 。
《直线与方程》复习课件(17张ppt)
方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组 无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点 一个 无数个 零个
直线L1,L2间的位置关系 相交 重合
平行
5、3种距离
（1).两点距离公式 | AB | (x1 x2)2 ( y1 y2)2
(2)点线距离公式 设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,
a=1或-3
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
2x+3y-1=0
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； 2x-y+5=0
.
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等； x+y-1=0或3x+2y=0
直线的交点个数与直线位置的关系
6
D.
π
6
B
3、直线的5种方程
名 称 已知条件
标准方程 适用范围
点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y y1 k(x x1) 不垂直于x轴的直线
斜截式 斜率k和y轴上的截距 y kx b 不垂直于x轴的直线
两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) 截距式 在x轴上的截距a
在y轴上的截距b
d | Ax0 By0 C | A2 B2
（3）两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 d | C1 C2 | A2 B2
点（1,3）到直线3x 4 y 4 0的距离为
中点坐标公式
x0
y0
高二上数学知识点直线方程
高二上数学知识点直线方程直线方程是高二数学学习中的一大重点知识。
掌握直线的基本性质和直线方程的求解方法，对于解决与直线相关的问题至关重要。
本文将系统地介绍高二上学期数学中关于直线方程的知识点。
一、直线的基本性质在研究直线方程之前，我们首先需要了解直线的基本性质。
直线由无数个点组成，其中任意两点可以确定一条直线。
直线还具有斜率和截距两个重要的特征。
1. 斜率（k）：斜率是直线的一个重要性质，表示直线的倾斜程度。
斜率的计算公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)，其中两点为直线上的任意两个点。
2. 截距（b）：截距是直线与纵坐标轴相交的位置。
直线与纵坐标轴的交点的坐标为(0, b)，其中 b 为截距的值。
二、直线方程的求解方法在学习直线方程的求解方法之前，我们先介绍两种常见的直线方程形式：一般式和斜截式。
1. 一般式：一般式直线方程的形式为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 是常数，A、B 不同时都为 0。
2. 斜截式：斜截式直线方程的形式为 y = kx + b，其中 k 为斜率，b 为截距。
接下来，我们将介绍三种常见的方法来求解直线方程。
1. 两点法：两点法是一种常用的求解直线方程的方法，可以通过已知直线上的两个点来求解直线方程。
假设已知一直线上的两个点为 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，则可以使用斜率公式来求解斜率 k，并将其中一个点的坐标代入斜截式方程求解截距 b，最终得到直线方程。
2. 斜率截距法：斜率截距法是一种简便的求解直线方程的方法。
已知直线的斜率 k 和截距 b，可以直接将它们代入斜截式方程 y = kx + b 中，即可得到直线方程。
3. 点斜式法：点斜式法是一种通过已知直线上的一个点和斜率来求解直线方程的方法。
已知直线上的一个点为 A(x1, y1)，直线的斜率为 k，可以使用斜率公式将斜率和坐标代入斜截式方程，进而得到直线方程。
三、直线方程的应用直线方程在数学中具有广泛的应用价值，能够解决与直线相关的各类问题。
数学必修二第三章直线与方程
*9.直线系过定点问题
含有一个待定系数(参数)的二元一次方程过定点问题 的解法：
(1)特殊值法，利用不论参数取何值，方程都有解， 给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x、y的两个 方程，从中解出的x、y的值即为所求定点的坐标．
(2)分离参数法：经过将方程整理为m(A1x＋B1y＋ C1)＋A2x＋B2y＋C2＝0，则该方程表示 的直线一定过直线A1x＋B1y＋C1＝0和 A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而交点就 是定点．
一、知识讲解
1.直线方程 (1)坐标平面内，任意一条直线的方程都 是关于x、y的二元一次方程；每一个关于 x、y的二元一次方程都表示一条直线．
特别注意x＝a也是一条直线，此 直线垂直于x轴，直线上任意一 点的横坐标都是a
(2)常见表达式的几何意义 ① x2＋y2表示动点 P(x，y)到原点(0,0)的距离． (x－1)2＋(y＋2)2 表示动点 P(x，y)到定点(1，－2)的距离 的平方． ②yx表示动点 P(x，y)与原点连线的斜率． yx＋－23表示动点 P(x，y)与定点(3，－2)连线的斜率． ③|x＋2y－1|表示动点 P(x，y)到直线 x＋2y－1＝0 的距 离的 5倍等等．
(6)与直线y＝kx＋b平行的直线方程可设为y＝kx＋b1.
(7)与 y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线方程可设为 y＝－1kx
＋b1.
(8)过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y ＋C2＝0的交点(A1B2－A2B1≠0)的直线方程可设为 (A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2y＋B2y＋C2)＝0.
4.直线的方程
方程名称
方程形式
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
斜截式 两点式 截距式 一般式
高中数学必修2第三章直线与方程总结
第三章 直线与方程 知识点 总结代县中学高二数学组一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向；②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）；②垂直：斜率k 不存在；③范围： 斜率 k ∈ R 。
当 α=0°时，k=0当0<α<90°时，k.>0当α=90°时，k 不存在当90°<α<180°，k<03、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α ①构造直角三角形（数形结合）；②斜率k 值于两点先后顺序无关；③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：判断方法一：222111:,:b x k y l b x k y l +=+=①平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=；<2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直②垂直：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即；<2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==；④相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）判断方法二：11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，①1l ∥2l ⇔ 122112211221A B A B B C B C =≠≠且或A C A C ，当（A ，B ，C 不为0时）212121C C B B A A ≠= ②1l ⊥2l ⇔12120A A B B +=③重合：A 1B 2=A 2B 1且B 1C 2=B 2C 1或A 1C 2=A 2C 1，212121C C B B A A == ④相交：A 1B 2≠A 2B 1 ，2121B B A A ≠ 二、方程与公式：1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可； ③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可； ④截距式：1=+by a x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。
高二数学直线与方程知识点
高二数学直线与方程知识点直线和方程是高中数学中常见的知识点，对于学习数学的同学来说是非常重要的基础内容。
本文将对高二数学中与直线和方程相关的知识点进行详细介绍。
一、直线的一般方程在平面直角坐标系中，一条直线可以由其一般方程表示，即Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
这个方程表示了所有直线上的点的集合。
二、直线的斜截式方程直线的斜截式方程表示为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b 为直线与y轴的截距。
斜截式方程直观地表示了直线与y轴交点的位置以及直线的斜率。
三、直线的点斜式方程直线的点斜式方程表示为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，k为直线的斜率。
点斜式方程表示了直线上两点之间的关系，通过已知一点和斜率可以确定一条直线。
四、直线的截距式方程直线的截距式方程表示为x/a + y/b = 1，其中a、b分别为直线与x轴和y轴的截距。
截距式方程可以快速确定直线与坐标轴的交点位置。
五、直线的平行和垂直关系两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等，而两条直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积为-1。
平行和垂直关系是直线之间的重要性质，可以通过斜率的性质进行判断和证明。
六、直线与线段的位置关系直线与线段的位置关系可以分为三种情况：相交，平行和重合。
通过判断直线与线段的交点个数和位置可以确定其位置关系。
七、直线的距离公式直线与平面上任意一点的距离可以通过点到直线的距离公式计算。
设直线的一般方程为Ax + By + C = 0，点P的坐标为(x₁, y₁)，则点P到直线的距离为d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)。
八、方程的根与解法在解方程时，我们常用到的方法有因式分解法、配方法、公式法等。
根据方程的形式选择合适的解法，通过化简方程逐步求解来确定方程的根。
九、一次函数方程一次函数方程表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
直线与方程知识点归纳高二
直线与方程知识点归纳高二直线与方程知识点归纳直线和方程是高中数学中的重要知识点，它们广泛应用于几何学和代数学中。
了解直线和方程的基本概念、性质和应用，对于深入理解数学知识和解决实际问题非常重要。
本文将对直线与方程的相关知识进行归纳和总结。
一、直线的定义和性质直线是几何中最基本的图形之一，它由一系列无限延伸的点组成，并且任意两点都能确定一条直线。
直线有以下性质：1. 直线的斜率：直线的斜率是描述其倾斜程度的一个值，可以表示为一个数值或者一个代数表达式。
斜率可以用于计算直线上两点间的变化率，也可以用于判断直线的平行性和垂直性。
2. 直线的截距：直线与坐标轴的交点称为截距，分为x轴截距和y轴截距。
两个截距可以用来确定直线的位置和方程。
3. 直线的方程：直线可以通过方程来表示，常见的直线方程形式有点斜式、一般式、截距式等。
其中点斜式方程是通过直线上的一点和斜率来确定的，一般式方程是通过直线的系数和常数项来确定的，截距式方程是通过直线与坐标轴的截距来确定的。
二、方程的基本概念和性质方程是用来表示等式的数学语句，包括代数方程、几何方程等。
在数学中，方程有以下重要概念和性质：1. 未知数和已知数：方程中的未知数是需要求解的变量，已知数是已知的常数或者已知的变量。
通过方程可以求解出未知数的值，从而使等式成立。
2. 方程的解：一个方程可以有一个或多个解，解是使得方程成立的未知数的值。
解可以通过代入法、消元法、因式分解等方法求解。
3. 一元方程和二元方程：一元方程只有一个未知数，例如x+3=7；二元方程有两个未知数，例如x+y=10。
三、直线与方程的关系直线和方程是密切相关的，直线可以表示为一个方程，并且方程可以描述直线的各种性质和特征。
下面介绍几个常见的与直线和方程相关的概念和定理：1. 直线的平行和垂直关系：如果两条直线的斜率相等，那么它们平行；如果两条直线的斜率乘积为-1，那么它们垂直。
2. 直线的交点：两条直线的交点是使得两个方程同时成立的点，可以通过联立方程求解来确定交点的坐标。
沪教版高中数学高二第二学期1直线与方程复习 课件
直线方程法， 向量平行法， 线段相等法。
(2)如果直线通过点(－1,－3), 并且与x轴
平行，那么的方程是（ ）A。
（A）y＋3=0 （B）y－3=0
（C）x＋1=0 （D）x－1=0
若将此题中的平行改为垂直，答案怎样？
练习2：
设a, b, c分别是ABC中A, B, C所对的边长，则直 线l1 : sin A x a y c 0与l2：b x sin B y sin C 0
沪教版高中数学高二第二学期11.1直 线与方 程复习 课件
特殊地： 设点P（x，y），则
P到x轴的距离为__|y_|____; P到y轴的距离为____|x_|__; P到直线x-a=0的距离为 __|x_-_a_|__; P到直线y-b=0的距离为__|y_-_b_|__;
沪教版高中数学高二第二学期11.1直 线与方 程复习 课件
1、两直线的位置关系 沪教版高中数学高二第二学期11.1直线与方程复习 课件
l1 : a1x b1 y c1 0 l2 : a2 x b2 y c2 0
aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
D a1 a2
b1 b2
Dx
c1 c2
b1 b2
Dy
a1 a2
c1 c2
相交 D≠0时,方程组有唯一解
的位置关系是（ C）
A、平行 B、重合 C、垂直 D相交但不垂直
练习3：
、直线L过点A(2,3)，且被两平行线 L1:3x+4y-7=0和L2:3x+4y+8=0截得的线段 长为3 2 ,试求直线的方程
练习4、一直线被两直线L1:4x+y+6=0,L2:3x5y-6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点， 求该直线方程
《高中数学必修二课件：直线方程与函数》
本课程将教授直线方程与函数的基础知识，包括直线的定义、性质和表示方 法，以及函数的定义和图像。
直线的定义
直线是由无限多个点组成的，其每个点在同一条直线上的位置是由直线所决定的。
直线的性质
1 无曲率
直线没有曲率，是一条完全笔直的路 径。
3 等斜率
直线上的所有点具有相同的斜率。
斜率的计算方法
1
两点式
通过两点的坐标来计算斜率，公式为m =
截距式
2
(y2 - y1) / (x2 - x1)。
通过直线与y轴的截距来计算，斜率等于
截距。
3
点斜式
通过给定点的坐标和斜率来计算，斜率 即为给定的斜率。
与x轴和y轴平行的直线
1 x轴方向
与x轴平行的直线的斜率为0。
2 y轴方向
与y轴平行的直线的斜率不存在。
一次函数的定义
一次函数是形如f(x) = ax + b的函数，其中a反倒数
两条直线的斜率互为相反数，这意味着它们 的斜率乘积为-1。
直线与函数的关系
直线可以用函数的形式表示，其中x为自变量，y为因变量。
函数的定义
函数是一个关系，它将每个自变量的值映射为一个唯一的因变量的值，通常用f(x)或y来表示。
函数图像
函数图像是描述函数在坐标系中的集合，展示自变量和因变量之间的关系。
2 无界限
直线是无限延伸的，没有起点和终点。
直线的表示方法
截距式
通过直线与x轴和y轴的截距 来表示，形式为y = mx + b。
点斜式
通过直线上一点和直线的斜 率来表示，形式为y - y1 = m(x - x1)。
小思花高二数学讲解直线与直线的方程
小思花高二数学讲解直线与直线的方程
直线是数学中最基础的概念之一，它的出现完全改变了我们的视角，从而构成了整个数学的基础。
本文旨在向读者介绍直线的定义及其方程的推导过程，希望能帮助大家更好的理解直线的性质。
首先，我们来介绍直线的定义，直线是一条位于平面内两个点之间，无限延伸的一条线。
它可以用两点来描述，我们可以把平面坐标系统上任意两点（$P_1(x_1, y_1)$与$P_2(x_2, y_2)$）之间的连线想象成是一条直线。
接下来，我们来看看直线的方程。
一般情况下，直线的方程可以由两类表示，分别是一般式和斜截式。
首先介绍一般式，直线的一般式形如：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A、B不能同时为0，否则此式即不是一条直线。
例如，直线2x + 3y + 4 = 0，则A = 2，B = 3，C = 4。
接下来介绍斜截式，直线的斜截式形如：y = mx + b，其中m为直线斜率，b为常数项。
上述例子中，我们可以求得该直线的斜率m = -2/3，常数项b = 4/3。
除了一般式和斜截式，还有另外一种表示直线的方式叫做直角坐标形式，直角坐标形式的等式为：x cosθ + y sinθ = r，其中θ为直线与x轴正半轴夹角，r为两个轴之间的距离。
以上就是直线的定义以及其三种方程，相信通过本文的介绍，读者都能更加清楚地了解到直线的定义与它的方程的表示，并能够在数学的学习与应用中灵活运用。
高二数学讲义：直线与方程
讲义：直线与方程内容讲解：1、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为0180，斜率为k ，则tan2k.当2时，斜率不存在. （2）当090时，0k ；当90180时，0k.（3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率212121()y y k x x x x .2、两直线的位置关系：两条直线111:l y k x b ，222:l y k x b 斜率都存在，则：（1）1l ∥2l 12k k 且12b b ；（2）12121l l k k ；（3）1l 与2l 重合12k k 且12b b 3、直线方程的形式：（1）点斜式：00y y k x x （定点，斜率存在）（2）斜截式：y kx b （斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式：1121212121(,)y y x x y y x x y y x x （两点）（4）一般式：2200x y C A B （5）截距式：1xya b（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距）4、直线的交点坐标：设11112222:0,:0l Ax B y c l A x B y c ，则：（1）1l 与2l 相交1122A B A B ；（2）1l ∥2l 111222A B C A B C；（3）1l 与2l 重合111222A B C A B C .5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y 间的距离公式22122121()()PP x x y y 原点0,0与任一点,x y的距离22OPxy6、点000(,)P x y 到直线:0l xy C 的距离022Ax By CdA B（1）点000(,)P x y 到直线:0l x C 的距离0Ax CdA （2）点000(,)P x y 到直线:0l y C 的距离0By CdB （3）点0,0到直线:0l x y C 的距离22C dAB7、两条平行直线10xy C 与20xy C 间的距离1222C C dAB8、过直线1111:0l A x B y c 与2222:0l A xB y c 交点的直线方程为111222()()A xB yC A x B y c R9、与直线:0l x y C 平行的直线方程为0x y D C D与直线:0l xy C 垂直的直线方程为xy D 10、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012022x x x y y y （2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C 对称，则：a 、0B 时，有122x x C A且12y y ；b 、0A 时，有122y y C B且12x xc 、0A B 时，有1212121222y y B x x A x x y y AB C 典型例题例1.已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．①当m ＝时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝时，直线在x 轴上的截距为1．③当m ＝时，直线在y 轴上的截距为－23．④当m ＝时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝时，直线过原点．变式训练 1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是（）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是（）A ．7B ．－77C ．77D ．－7（4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．例2.已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.变式训练 2.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.例3．直线3y x 绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( )（Ａ）1133yx（Ｂ）113yx （Ｃ）33yx （Ｄ）113yx 例4．（全国Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l xy l xy 与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15②30③45④60⑤75其中正确答案的序号是.（写出所有正确答案的序号）例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程.例6.一条直线从点A(3,2)出发,经过x轴反射,通过点B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程例7、已知点A(－3,5) 和B(2,15) , 在直线l：3x－4y+4=0上找一点P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值.例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x-y=0,斜边的中点为A(4,2),求其它两边所在直线的方程.例9、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.PA的值为最小.例10、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及PB例11、过点A(0,1)做一直线l,使它夹在直线1l:x-3y+10=0和2l:2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.巩固训练，则m的值是（）1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为4A、3B、2C、-2D、2与32、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )A、 (－a,－b) B 、 (a,－b) C、 (b,a) D、 (－b,－a)3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )A、3x+4y－122=0B、 3x+4y+122=0C、 3x+4y－24=0D、3x+4y＋24=04、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )A、1B、2C、3D、45、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为（）A 、(a －b,a ＋b) B、(a ＋b, a －b) C、(2a,0) D、(0,2a)6、若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（）A 、010， B、(0，10)C 、13313，D 、(-∞，010，＋∞）7、过定点P(2,1)作直线l ,交x 轴和y 轴的正方向于A 、B ，使△ABC 的面积最小，那么l的方程为（）A 、x-2y-4=0 B、x-2y+4=0 C、2x-y+4=0 D、x+2y-4=08、若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有（）A 、A ·Ｂ0 B、A 0或B 0 C、C 0 D、A 2＋B 2=09、已知直线l 1：3x ＋4y=6和l 2：3x-4y=-6，则直线l 1和l 2的倾斜角是（）A 、互补 B、互余 C、相等 D、互为相反数10、直线(2m 2-5m-3)x-(m 2-9)y ＋4=0的倾斜角为4，则m 的值是（）A 、3 B、2 C、-2 D、2与311、△ABC 的一个顶点是A(3,-1),∠B 、∠Ｃ的平分线分别是x=0,y=x ，则直线BC 的方程是（） A、y=2x+5 B 、y=2x+3 C、y=3x+5 D、y=-252x 12、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )A 、k ＞1 B、0＜k ＜21 C 、k ＜21 D 、21＜k ＜113、直线(m+2)x+m y m m 2)32(2在x 轴上的截距是3,则实数m 的值是( )A 、52 B 、6 C 、-52 D、-614、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，4),则第四个顶点坐标为。
高中数学教学课件：直线与方程
高中数学教学课件：直线与方程高中数学教学课件：直线与方程一、直线1、直线的定义：直线是点在空间中的有序集合，用坐标表示为{(x, y, z) | x, y, z ∈ R}。
2、直线的性质：（1）直线是无限长的；（2）直线是不可弯曲的；（3）直线上有无穷多个点。
二、方程1、方程的概念：方程是一个等式，包含未知数和已知数。
通过求解未知数，可以得到问题的解。
2、方程的种类：（1）线性方程：形如ax + by + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，x、y为未知数；（2）非线性方程：形如x^2 + y^2 = r^2的方程，其中r为已知数，x、y为未知数。
三、直线与方程1、直线方程的表示方法：（1）点斜式：y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上一点，k为直线的斜率；（2）截距式：x/a + y/b = 1，其中a、b分别为直线在x、y轴上的截距；（3）两点式：y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1)(x - x1)，其中(x1, y1)、(x2, y2)为直线上两点。
2、直线方程的应用：（1）求直线与坐标轴的交点：当直线方程为x/a + y/b = 1时，令y = 0可得直线在x轴上的截距a，令x = 0可得直线在y轴上的截距b；（2）求直线在坐标轴上的截距：当直线方程为y - y1 = k(x - x1)时，令y = 0可得直线在x轴上的截距x = x1 - (y1/k)，同理可得直线在y轴上的截距y = y1 + (x1k)。
四、教学建议1、注重学生对直线和方程基本概念的理解，明确不同表示方法的适用范围和优缺点；2、通过实例让学生掌握如何将实际问题转化为数学模型，提高解决问题的能力；3、针对不同类型方程的特点，引导学生掌握相应的求解方法，提高计算能力；4、结合实际应用场景，让学生了解直线方程在日常生活和科学研究中的应用，提高学习兴趣。
总之，在高中数学教学中，直线与方程是重要的基础知识，对于学生后续的学习和生活都具有重要意义。
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讲义：直线与方程内容讲解：1、直线的倾斜角和斜率：（1）设直线的倾斜角为α()0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭.当2πα=时，斜率不存在.（2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率212121()y y k x x x x -=≠-.2、两直线的位置关系：两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则：（1）1l ∥2l ⇔12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-； （3）1l 与2l 重合⇔12k k =且12b b =3、直线方程的形式：（1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距）（3）两点式：1121212121(,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点）（4）一般式：()2200x y C A B A +B += +≠（5）截距式：1x ya b+=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距）4、直线的交点坐标：设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠；（2）1l ∥2l 111222A B C A B C ⇔=≠；（3）1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y间的距离公式12PP =原点()0,0O 与任一点(),x y P的距离OP =6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =（1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax Cd A +=（2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By Cd B+=（3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离d =7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离d =8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称：（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩（2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y CB+=-且12x x =c 、0A B ⋅≠时，有12121212022y y Bx x Ax x y y A B C -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩典型例题例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1． ① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－23．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．变式训练1.（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）A ．－3，4B ．2，－3C ．4，－3D ．4，3（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7 B．－7 C．7D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.例3．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+例4．（全国Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程.例6.一条直线从点A(3,2)出发,经过x轴反射,通过点B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程例7、已知点A(－3,5) 和B(2,15) , 在直线l：3x－4y+4=0上找一点P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值.例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x-y=0,斜边的中点为A(4,2),求其它两边所在直线的方程.例9、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.例10、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及PBPA+的值为最小.例11、过点A(0,1)做一直线l,使它夹在直线1l:x-3y+10=0和2l:2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.巩固训练1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为π4，则m的值是（）A、3B、2C、-2D、2与32、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )A、 (－a,－b) B 、 (a,－b) C、 (b,a) D、 (－b,－a)3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )A、3x+4y－122=0B、 3x+4y+122=0C、 3x+4y－24=0D、3x+4y＋24=04、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )A、1B、2C、3D、45、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为 （ ）A 、(a －b,a ＋b)B 、(a ＋b, a －b)C 、(2a,0)D 、(0,2a)6、若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ）A 、[]010， B 、(0，10)C 、13313，⎡⎣⎢⎤⎦⎥ D 、(-∞，0] [10，＋∞)7、过定点P(2,1)作直线l ,交x 轴和y 轴的正方向于A 、B ，使△ABC 的面积最小，那么l的方程为 （ ）A 、x-2y-4=0B 、x-2y+4=0C 、2x-y+4=0D 、x+2y-4=08、若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有（ ）A 、A·B ≠0 B 、A ≠0或B ≠0C 、C ≠0D 、A 2＋B 2=09、已知直线l 1：3x ＋4y=6和l 2：3x-4y=-6，则直线l 1和l 2的倾斜角是（ ）A 、互补B 、互余C 、相等D 、互为相反数10、直线(2m 2-5m-3)x-(m 2-9)y ＋4=0的倾斜角为π4，则m 的值是（ ）A 、3B 、2C 、-2D 、2与311、△ABC 的一个顶点是A(3,-1),∠B、∠C 的平分线分别是x=0,y=x ，则直线BC 的方程是 （ ） A 、y=2x+5 B 、y=2x+3 C 、y=3x+5 D 、y=-252x + 12、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )A 、k ＞1B 、0＜k ＜21C 、k ＜21D 、21＜k ＜113、直线(m+2)x+m y m m 2)32(2=--在x 轴上的截距是3,则实数m 的值是( )A 、52B 、6C 、- 52D 、-614、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，-4),则第四个顶点坐标为 。
15、平行线3x ＋4y －7=0与3x ＋4y ＋8=0截直线x －7y ＋19=0所得线段的长度等于____________.16、已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为17、 一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点为(0,0)时，求此直线方程。