高二数学讲义：直线与方程

讲义：直线与方程

内容讲解：

1、直线的倾斜角和斜率：

（1）设直线的倾斜角为α()

0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα⎛⎫=≠ ⎪⎝

⎭.当2

π

α=时，斜率不存在.

（2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率21

2121

()y y k x x x x -=≠-.

2、两直线的位置关系：

两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则：

（1）1l ∥2l ⇔12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-； （3）1l 与2l 重合⇔12k k =且12b b =

3、直线方程的形式：

（1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距）

（3）两点式：

11

21212121

(,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点）

（4）一般式：(

)

22

00x y C A B A +B += +≠

（5）截距式：

1x y

a b

+=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距）

4、直线的交点坐标：

设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ⇔

≠；（2）1l ∥2l 111222

A B C A B C ⇔=≠；（3）1l 与2l 重合

111

222

A B C A B C ⇔

==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y

间的距离公式12PP =

原点()0,0O 与任一点(),x y P

的距离OP =

6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=

的距离d =

（1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax C

d A +=

（2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By C

d B

+=

（3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=

的距离d =

7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=

间的距离d =

8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为

()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈

9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称：

（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012

022

x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨

+⎪=⎪⎩

（2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有

122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y C

B

+=-且12x x =

c 、0A B ⋅≠时，有12121212022y y B

x x A

x x y y A B C -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⋅+⋅+=⎪⎩

典型例题

例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1． ① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．

②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．

③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2

3．

④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．

变式训练1.

（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°

（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）

A ．－3，4

B ．2，－3

C ．4，－3

D ．4，3

（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7 B

．－

7 C

．7

D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．

例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.

变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.

例3．直线3y x =绕原点逆时针旋转0

90，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）1

13

y x =+

例4．（全国Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75

其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）

例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程.