复数的四则运算导学案2
2013-2014学年高二1-2导学案：3.2复数四则运算(2)
n n ⑶( z1 z2 ) n z1 z |2 | z |2
4、 i i 3 i 5 i 33 的值是 5、当 z 1i 时， z 100 z 50 1 的值是
2
6、
( 1 3i ) 3 (1 i )6
2 i 1 2i
等于
a bi 为实数，则 cdi
7、 设 a 、 b 、 c 、 d R ，若 8、 （1）
i 2014
姓名：
学号：
第
学习小组
N 3 ，
3．计算： i i 2 i 3
．
4．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n ，则复数 m ni n mi 为实数 的概率为
2
． ．
5．设 a R ，且 a i i 为正实数，则 a
1 i
1 i
2
1 i
1 i
2
9、
1 i 2015 ( ) 1 i
3 2
10.、知 1 2
i ，求使 ( i ) n N 的最小正整 数 n＝
.
【课堂研讨】
例 1.计算 (1 2i ) (3 4i )
例2. 复数 z 满足 (1 2i) z 4 3i, 求 z.
3
5．.8+6i 的平方根是__________. 6、 已知
(1 i ) 3 =a+3i,则 a 等于 1 i
高中数学 3.2 1复数的四则运算学案 新人教A版选修22
2013年高中数学 3.2 1复数的四则运算学案新人教A版选修2-2一、学法建议：1、在学习中，要把概念和运算融为一体，切实掌握好。
2、复数加、减法的几何意义是难点，它们与平面向量的加、减法运算法则完全相同，用类比方法可对照学习，温故而知新。
3、要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：（1）利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。
4、要熟练掌握复数乘法，除法的运算法则，特别是除法法则，更为重要，是考试的重点。
5、在化简运算中,如能合理的运用i和的性质，常能出奇制胜，事半功倍，所以在学习中注意积累并灵活运用。
6、性质：zz=│z│2=│z│2是复数运算与实数运算互相转化的重要依据，也是把复数看做整体进行运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐领会。
二、例题分析：第一阶段[例1]复数z满足│z+i│+│z-i│=2求│z+1+i│的最值。
思路分析：利用复数的几何意义对条件和所求结论分别给以几何解释，如能判断满足条件的z点在一条线段上，所求结论为线段上的点到点（-1,-1)的距离的最值.解答：│z+i│+│z-i│=2表示复数z的对应点Z与点A(0,-1)B(0,1)距离之和为2,而│AB│=2∴条件表示以A、B为端点的线段，而│z+1+i│=│z-(-1-i)│表示点Z到点C(-1,-1)的距离，因而，问题的几何意义是求线段AB上的点到C点距离的最大值与最小值，如图易见│z+1+i│max=│BC│=,│z+1+i│min=│AC│=1,[例2]思路分析：题目涉及共轭复数、模以及复数的加、减运算，把Z表示成代数形式，依复数相等的充要条件求出Z的值。
解答：第二阶段[例3]思路分析：题目是用集合的语言表述的，由两点间距离公式d=│z1-z2│联想│z-2│≤2的几何意义，再结合条件AB=B来建立关于b的等式，这里需要对集合B作深入理解。
《7.2 复数的四则运算》集体备课导学案
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义知识点一 复数的加法与减法 (1)复数的加减法运算法则 (a ＋b i)±(c ＋d i)＝□01(a ±c )＋(b ±d )i. (2)复数加法的运算律复数的加法满足□02交换律、□03结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝□04z 2＋z 1；(z 1＋z 2)＋z 3＝□05z 1＋(z 2＋z 3)．知识点二 复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )．由平面向量的坐标运算法则，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )．这说明两个向量OZ 1→与OZ 2→的和就是与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．因此复数的加法可以按照向量加法来进行．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的□01终点，并指向被减向量的向量Z 2Z 1→所对应的复数．设z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i ，则d ＝|Z 1Z 2|＝|Z 2Z 1→|＝|z 1－z 2|＝|(x 1＋y 1i)－(x 2＋y 2i)|＝|(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)i|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(3)复平面内的两点间距离公式：d ＝□02|z 1－z 2|.其中z1，z 2是复平面内的两点Z 1和Z 2所对应的复数，d 为Z 1和Z 2间的距离．如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是□03OZ →，与z 1－z 2对应的向量是□04Z 2Z 1→.复数模的两个重要性质 (1)||z 1|－|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|＋|z 2|； (2)|z 1＋z 2|2＋|z 1－z 2|2＝2|z 1|2＋2|z 2|2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( ) (4)两个共轭虚数的差为纯虚数．( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．做一做(1)计算：(3＋5i)＋(3－4i)＝________. (2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.(3)已知向量OZ 1→对应的复数为2－3i ，向量OZ 2→对应的复数为3－4i ，则向量Z 1Z 2→对应的复数为________．答案 (1)6＋i (2)－11i (3)1－i题型一 复数的加、减运算例1 计算：(1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)．[解] (1)原式＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i ＝－4－10i. (2)原式＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i.复数代数形式的加、减法运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i 2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解 (1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i)＝－1＋i ＋1＋(1＋i)＝1＋2i.题型二 复数加、减运算的几何意义例2 已知四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．[解] 解法一：设点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 则D (x ，y )．又由已知得A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)， ∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.解法二：设点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ， 又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知得AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5， 即点D 对应的复数为3＋5i.[条件探究] 若一个平行四边形的三个顶点对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ，求第四个顶点对应的复数．解 设1＋3i ，－i,2＋i 对应A ，B ，C 三点，D 为第四个顶点，则①当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 对应的复数是3＋5i.②当四边形ABDC 是平行四边形时，点D 对应的复数为1－3i.③当四边形ADBC 是平行四边形时，点D 对应的复数为－1＋i.(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则． (3)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：(1)点C ，D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ， 所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i. 因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)， 设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5. (2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152＝210.所以sin B ＝752＝7210， 所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7.所以平行四边形ABCD 的面积为7. 题型三 复数加、减运算的几何意义的应用 例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.[解] 解法一：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1，① (a －c )2＋(b －d )2＝1.② 由①②得2ac ＋2bd ＝1. ∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3.解法二：设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C . ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°＝ 3.掌握以下常用结论：在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．解解法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3.如图，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，由图可知|Z1Z3|为最小值且最小值为1.解法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z＋i|＋|z－i|＝2，所以x2＋(y＋1)2＋x2＋(y－1)2＝2，又x 2＋(y ＋1)2＝2－x 2＋(y －1)2≥0，所以0≤ x 2＋(y －1)2≤2，因为x 2＋(y ＋1)2＝2－x 2＋(y －1)2， 所以两边平方可得1－y ＝x 2＋(y －1)2，即(1－y )2＝x 2＋(y －1)2，且0≤1－y ≤2. 所以x ＝0且－1≤y ≤1，则z ＝y i(－1≤y ≤1)． 所以|z ＋i ＋1|＝|1＋(y ＋1)i|＝12＋(y ＋1)2≥1，等号在y ＝－1即z ＝－i 时成立． 所以|z ＋i ＋1|的最小值为1.1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 A解析 ∵z 1－z 2＝(3＋i)－(1－i)＝2＋2i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第一象限．2．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z －等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D ．4i答案 A解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i 为纯虚数，得x ＝0，且y ≠－3，又|z |＝x 2＋y 2＝|y |＝3，∴y ＝3，∴z ＝3i ，∴z －＝－3i.故选A.3．非零复数z 1，z 2分别对应复平面内的向量O A →，O B →，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则( )A ．O A →＝OB → B ．|O A →|＝|O B →|C ．O A →⊥O B →D ．O A →，O B →共线答案 C解析 如图，由向量的加法及减法法则可知，O C →＝O A →＋O B →，B A →＝O A →－O B →.由复数加法及减法的几何意义可知，|z 1＋z 2|对应O C →的模，|z 1－z 2|对应B A →的模．又|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以四边形OACB 是矩形，则O A →⊥O B →.4．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋i D ．1－i答案 A解析 z ＝2i ＋(1－i)＝1＋i.故选A.5．如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应复数0,3＋2i ，－2＋4i.求：(1)向量AO →对应的复数． (2)向量CA →对应的复数． (3)向量OB →对应的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以向量AO →对应的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以向量CA →对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为OB →＝OA →＋OC →，所以向量OB →对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.。
《复数的四则运算》单元教学设计(2课时)
《复数的四则运算》单元教学设计（2课时）一、内容和内容解析1.内容复数的加减运算及其几何意义，复数的乘除运算．本单元的知识结构：本单元建议用2课时：第一课时，复数的加减运算及其几何意义；第二课时，复数的乘、除运算.2.内容解析引入一类代数对象，就要研究它的运算．本节主要讨论复数的加法、乘法运算，并从它们的逆运算角度给出复数减法、除法的运算法则，本节还讨论复数加、减运算的几何意义.通过本节的学习，侧重提升学生的数学运算、直观想象素养．复数的四则运算法则都是规定的，但这种规定是有“依据”的，也是有层次的.第一层次，复数的加法和乘法法则是直接规定的，规定的“依据”就是在复数概念引入时，得到的“规则”，即实数系扩充到复数系后，我们希望“数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律”. 教学时应引导学生体会复数运算法则和运算律规定的合理性. 以此为载体，教给学生研究数学问题的思路和方法. 第二层次，复数的减法运算和除法运算法则，是通过复数的减法运算是加法运算的逆运算，除法运算是乘法运算的逆运算得到的，为什么可以看成逆运算，是类比了实数减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算得到的.在教学过程中，要让学生感受转化与化归的数学思想，感受加减运算和乘除运算中辩证统一的思想，进一步体会类比是研究数学问题的重要方法,教材在规定了复数的四则运算后，让学生分别与多项式的运算法则进行比较，发现两者的共性.目的是通过类比，让学生借助多项式的四则运算法则去进行复数的四则运算，从而避免了不必要的死记硬背．如：复数a+bi中实部和虚部a，b看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而就容易发现两个复数相加与两个“一次二项式”相加——合并同类项一致．这样，得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”. 通过这种比较，加深理解，淡化记忆，提升学生的数学运算素养.复数加法和减法的几何意义是借助复数的几何意义以及向量加法和减法的几何意义得到的，主要体现在三方面：一是复数与复平面内以原点为起点的平面向量一一对应；二是向量加法和减法的坐标形式及其几何意义；三是复数的加法和减法的运算法则．教学中要让学生充分感受数形结合以及类比的数学思想，感受普遍联系的唯物主义观点，提升学生的直观想象素养.综上所述，本单元的教学重点是：复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义．二、目标和目标解析1. 目标（1）掌握复数代数表示的四则运算的运算法则和运算律，体会转化与化归的数学思想方法，发展数学运算素养.（2）发现复数的四则运算和多项式的四则运算的共性，体会类比的思想方法.（3）了解复数加、减运算的几何意义，体会数形结合的思想方法，发展直观想象素养.（4）了解在复数集中求解一元二次方程的方法.2. 目标解析达成目标（1）的标志是：学生能够依据数系扩充的规则，自主探索，合理地规定复数加法和乘法的运算法则，能够通过减法和加法互为逆运算，除法和乘法互为逆运算，得到减法和除法的运算法则，并在其中体会转化与化归的思想方法.学生能够利用复数的四则运算法则，进行简单的复数代数表示的运算.达成目标（2）的标志是：学生能够通过类比发现复数的加减运算和乘除运算与多项式的加减运算和乘除运算的“共性”，得到“两个复数相加（减）或相乘（除），类似于两个多项式相加（减）或相乘（除）”.达成目标（3）的标志是：学生能够通过复数与平面向量一一对应的关系、平面向量加法和减法的几何意义以及复数加减运算法则，得出复数加减运算的几何意义.达成目标（4）的标志是：学生能够利用复数的四则运算法则,在复数集范围内求解一元二次方程，得出复数集内一元二次方程的求根公式.三、教学问题诊断分析学生在初中已经学习过多项式的四则运算，在“数系的扩充和复数的概念”一节已经了解了数系扩充的规则，即：“数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律”.在教师的引导下，应该能够得出复数加法运算和乘法运算运算法则的“合理”规定.因前一节刚刚学习了复数的几何意义，学生对复数与复平面上的点以及平面向量三者之间一一对应的关系比较熟悉，所以，较易得出复数加法的几何意义，同时类比加法的几何意义，能够得出复数减法的几何意义.由于减法运算和除法运算是分别通过加法运算和乘法运算的逆运算得到的，而学生对逆运算会感觉不好理解，学习中可能会存在一些困难，所以本单元的教学难点是：复数减法和除法的运算法则.四、教学支持条件分析在复数加法和减法几何意义的教学中，可借助几何画板或Geogebra软件，呈现复数所对应的平面向量以及加减运算后所得到的平面向量，帮助学生更好地理解复数加法和减法的几何意义.五、课时教学设计第一课时7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（一）课时教学内容复数的加减运算及其几何意义.（二）课时教学目标1.掌握复数加法和减法运算的运算法则及其运算律.2.了解复数加法运算和减法运算的几何意义.（三）教学重点与难点教学重点：复数加法运算的运算法则及其运算律，复数加、减运算的几何意义．教学难点：复数减法运算的运算法则．（四）教学过程设计1.复数加法运算和减法运算引言：同学们，上一节课，我们把实数集扩充到了复数集，引入新数集后，我们就要研究其中的数之间的运算.我们通过上一节的研究，已经了解了，数集扩充后，复数集中的数依然满足四则运算和相应的运算律.本单元我们主要讨论复数的加法、乘法运算，并从它们的逆运算角度给出复数减法、除法的运算法则.这一单元分为两课时，我们这节课先来学习复数的加减运算及其几何意义.下节课我们再学习复数的乘除运算.问题1上一节，我们在将实数集扩充到复数集的时候，遵循了数系扩充的规则，这个规则是什么？师生活动：学生思考回答：数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.设计意图：复数加法运算法则是规定的，但这种规定是基于数系扩充的一般规则，先让学生复习数系扩充的一般规则，温故知新，为后续复数加法运算法则的规定做好铺垫.问题2 我们规定，复数的加法法则如下：设是任意两个复数，那么它们的和当b=0,d=0时，？和规定的复数的加法运算法则比较，说明了什么？师生活动：学生易得a+c. 教师引导学生得出：复数的加法法则与实数的加法法则一致，这说明复数系与实数系中加法运算协调一致．设计意图：通过特例，让学生感受复数系中加法的运算法则和实数系中加法的运算法则是协调一致的.问题3 同学们，我们已经规定了复数的加法运算法则，请大家类比一下，复数的加法运算和多项式的加法运算有什么共性？师生活动：教师引导，学生思考回答：可以把复数a+bi中实部和虚部看作常数，i看作“变元”，从而将复数a+bi看成是“一次二项式”，进而就容易发现两个复数相加与两个“一次二项式”相加——合并同类项一致．这样，可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是“合并同类项”.教师总结：两个复数相加，类似于两个多项式相加.对复数的加法法则不需要死记硬背.设计意图：让学生通过类比，体会复数加法运算法则和多项式加法运算法则的联系性.问题4 复数的加法是否和多项式的加法一样，也满足交换律和结合律呢？追问：你能试着证明你的结论吗？师生活动：教师引导，学生由多项式加法的交换律和结合律，容易猜测得出复数的加法也满足交换律和结合律.之后让学生分成两大组，分别证明复数加法的交换律和结合律，证明完成后，由学生进行展示与互评.设计意图：让学生经历观察、类比、猜想、证明的过程，培养逻辑推理素养.问题5我们知道，实数的减法是加法的逆运算，类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？师生活动：学生思考回答.教师引导：首先类比实数的减法，规定复数的减法是加法的逆运算，即用两个复数的加法定义两者的差；即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi（x，y∈R）叫做复数a+bi（a，b∈R）减去复数c+di（c，d∈R）的差，记作(a+bi)-(c+di)．然后依据复数的加法、复数相等的定义，c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d.所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.教师要指出这里实际上使用的是待定系数法，它也是确定复数的一个一般性的方法．追问：复数的减法和多项式减法有什么共同点？师生活动：学生通过类比，易得：两个复数相减，类似于两个多项式相减，也可以看成是合并同类项.设计意图：通过类比实数减法是加法的逆运算，引导学生推导得出复数减法的法则，体会待定系数法是确定复数的一般方法，体会类比是研究问题的常用的逻辑思维方法.通过与多项式减法的类比，发展学生的逻辑推理素养.2.复数加、减运算的几何意义问题6 复数的几何意义是什么？追问1：向量加法的几何意义是什么？追问2：你能由向量加法的几何意义出发，得出复数加法的几何意义吗？师生活动：学生思考回答，教师利用PPT展示复数的几何意义以及向量加法的几何意义.师生活动：教师从三个方面进行引导：一是复数与复平面内以原点为起点的平面向量一一对应；二是向量加法的坐标形式及其几何意义；三是复数的加法法则.师生共同推导得出：这说明两个向量的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，如下图所示，这就是复数加法的几何意义．设计意图：让学生通过类比、推理，得出复数加法的几何意义，体会数形结合思想的作用，加深对复数几何意义的理解，提升数学直观想象素养.追问2：类比复数加法几何意义得出的过程，你能得出复数减法的几何意义吗？师生活动：学生自主探究，类比加法几何意义得出的过程，得出复数减法的几何意义，即：复数的减法可以按照向量的减法来进行，如下图所示：3.复数加减运算及其几何意义的简单应用例1计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).师生活动：学生独立完成，教师展示学生答题结果，并进行评价.解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4)i=-11i.设计意图：让学生利用向量加、减运算法则和运算律进行简单的运算求解，巩固新知.4. 课堂练习教科书第77页练习第1题.师生活动：学生独立完成，口答结果，教师进行评价反馈.教师进一步指出复数的加减运算类似于多项式加减运算的“合并同类项”，复数的减法运算可以转化成加法运算.设计意图：及时巩固新知，检查学生对复数加减运算法则和运算律的掌握程度，培养学生运用所学知识解决数学问题的能力，提升数学运算素养.师生活动：学生独立完成，教师利用信息技术进行展示、评价、反馈.设计意图：通过该例题加深学生对复数代数形式加法运算几何意义的理解，通过画图培养学生数形结合思想和直观想象素养.例3根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点之间的距离．教师指出：本题的计算结果实际上就是平面上两点间的距离公式，在高二年级的解析几何的教学中还会进一步学习.5. 课堂练习教科书第77页练习第2，4题.设计意图：进一步巩固复数加减法运算的几何意义，体会利用复数的几何意义可以将几何问题代数化，体会转化与化归的数学思想.6. 课堂小结问题7通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈.师生活动：学生思考回答，教师补充完善.预设答案：知识方面：学习了复数加减运算的运算法则、运算律以及几何意义；思想方法方面：类比的研究方法，转化与化归的数学思想等.设计意图：通过对本节内容从知识和方法上进行总结，使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识.7. 课后作业教科书习题7.2第1，2，5题.（五）目标检测设计1．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于( )．A．0 B．2iC．6 D．6－2i设计意图：考查学生对复数加法运算掌握的情况.2．已知＝2＋i，＝1＋2i，则复数z＝－对应的点位于( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限设计意图：考查学生对复数加减法运算法则和复数加法运算几何意义的掌握情况.设计意图：考查复数的加减运算.第二课时7.2.2 复数的乘、除运算（一）课时教学内容复数的乘除运算.（二）课时教学目标1.掌握复数乘、除运算的运算法则及其运算律.2.会在复数范围内求解一元二次方程.（三）教学重点与难点教学重点：复数乘法运算的运算法则．教学难点：复数除法运算的运算法则．（四）教学过程设计1.复数的乘法运算及其应用引言：上节课，我们学习了复数的加减运算及其几何意义，这节课我们来继续学习复数的乘除运算.问题1我们规定，复数的乘法法则如下：设=a+bi，= c+di(a，b,c,d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.复数的乘法法则和多项式的乘法法则有什么共性和差异？师生活动：学生思考口答，教师板书.学生通过类比，易得：将复数a+bi看成是关于i的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式的乘法进行，只要在所得的结果中把换成-1，并且把实部与虚部分别合并即可．教师指出，复数的乘法法则类似多项式的乘法法则，也没有必要专门去记忆复数乘法的法则．设计意图：通过类比，进一步加强数学知识间的联系，问题2合理规定了复数乘法的运算法则之后，你认为我们还应该继续研究什么？师生活动：学生类比复数加法的研究过程，容易想到接下来应该去研究复数乘法的运算律.追问1：你认为复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？师生活动：学生类比多项式乘法，易得出复数的乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律的猜想.即：追问2：怎样证明你的猜想？师生活动：教师根据学情，让学生证明他们的猜想.可以分成3个大组，每组同学分别证明其中一个结论，也可以证明其中一个，如复数乘法的交换律，另两个留作课后作业.教师重点展示（或板书）其中一个结论的证明过程.以复数乘法的交换律为例：设计意图：让学生经历猜想、证明的过程，感受数学的严谨性.通过形式化的证明，培养学生的逻辑推理素养和数学运算素养．例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)．师生活动：学生独立完成，之后利用信息技术手段展示、自评、互评.解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.教师要提醒学生注意(-2i)(4i)=8，而不是-8.设计意图：一是让学生明晰，依据复数乘法的结合律，这种连乘形式有意义，可以看成左到右依次相乘；二是让学生熟悉复数的乘法．例2计算：（1）(2+3i)(2-3i)；（2）(1+i)2.师生活动：教师应先引导学生观察两个式子的特点，进而指出计算时，可以用复数的乘法法则计算，也可以用初中学过的乘法公式计算．学生独立完成后进行展示、自评、互评.（5）如果一元多项式方程有虚根，那么虚根以共轭复数的形式“成对出现”．设计意图：由特殊到一般，猜想得出共轭复数的性质，体会推广和一般化是得出数学结论的一种逻辑思维方法.问题4类比复数减法运算法则的规定，你怎样来规定复数除法的运算法则？师生活动：类比复数的减法是加法的逆运算，以及实数的除法是乘法的逆运算，学生可以得出可以由复数的除法是乘法的逆运算来探求复数除法的法则．追问1：请尝试由复数的除法是乘法的逆运算以及复数乘法的运算法则，来规定复数除法的运算法则.师生活动：教师指出：把满足(c+di) (x+yi)=a+bi（a，b，c，d，x，y∈R，且c+di≠0）①的复数x+yi，叫做复数a+bi除以复数c+di的商. 学生尝试推导，教师巡视并给予个别指导.由①计算可得(c x -dy)+ (cy+d x) i =a+bi.根据复数相等的定义，有c x -dy=a，cy+d x=b.师生活动：学生思考回答，可以将“分母实数化”，即：教师指出，这是求两个复数商的简便方法，类似于两个根式相除，只要把分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），就可以使分母“实数化”，化简后就得出所求．因此无需记忆复数除法的运算法则.设计意图：通过问题串的引导，让学生进一步经历研究问题的思路和方法，感受转化与化归的思想，发展逻辑推理素养.例3 计算（1+2i）÷（3-4i）．师生活动：学生独立完成，教师反馈评价.设计意图：让学生及时掌握上述复数除法运算的过程.例4在复数范围内解下列方程：师生活动：教师引导分析，学生自主完成. 师生共同利用信息技术反馈、评价.设计意图：呼应本章章引言提出的问题，彻底解决一元二次方程的求解问题，培养学生的运算求解能力.3.课堂练习教科书第80页练习第3，4题.4.单元小结（1）你对复数四则运算法则规定的合理性，以及复数的加、减运算与向量的加、减运算的一致性有什么体会？（2）复数的四则运算和多项式的四则运算有哪些异同点？师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、回答，互相补充，教师进行点评，帮助完善.设计意图：帮助学生梳理本单元的重点知识以及主要的研究思路和方法.5.课后作业教科书习题7.2第3，4，6，7题.（五）目标检测设计1.已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=（）.（A）-2-i（B）-2+i（C）2-i（D）2+i设计意图：考查学生对复数代数表示式四则运算法则和运算律的掌握程度，同时评价数学运算能力.2.若复数满足.设计意图：评价学生对共轭复数概念的理解程度和复数代数表示式乘、除运算的掌握程度.3.若复数是关于x的方程的一个根，则pq的值为．设计意图：考查学生对实系数方程根、复数相等条件的理解程度和对复数代数表示式四则运算的掌握程度，同时评价运算求解能力.。
北师大1-1-3§4导数的四则运算法则导学案
第四章 数系的扩充与复数的引入§2复数的四则运算 基础自主预习1.复数的加法与减法（1）设bi a +和di c +是任意两个复数，则=+±+)()(di c bi a i d b c a )()(±+±. (2)复数加法的运算律复数加法满足交换律、结合律，即对任何,,,321C z z z ∈有=+21z z 12z z +，=++321z z z)(321z z z ++.2.复数的乘法与除法（1）设bi a +与di c +是任意两个复数，则=++))((di c bi a i bc ad bd ac )()(++-. 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何,,,321C z z z ∈有=⋅21z z 12z z ⋅，=⋅⋅321)(z z z )(321z z z ⋅⋅，=+⋅)(321z z z 3121z z z z +在复数范围内，正整数指数幂的运算律成立，即=⋅nmz z nm z+，=n m z )(mnz，=n z z )(21nn z z 21)(+∈N n（2）共轭复数：),(R b a bi a z ∈+=的共轭复数为bi a z -=；在复平面内，复数),(R b a bi a z ∈+=与其共轭复数为bi a z -=对应的点关于x 轴对称；||||z z =且=⋅z z 22b a +=22||||z z =.（3）复数的除法i dc adbc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a di c bi a 2222))(())(()()(+-+++=-+-+=++=+÷+ 22(1)2,(1)2i i i i +=-=-，1i i=-，11,11i ii i i i +-==--+ 练习：计算（1）(14)(72)i i +-+（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[ 【答案】（1）i 28+；（2）i 52+；（3）i 412-练习：计算（1）)1)(1)(6(11)5(;11)4(;1)3(;)1)(2(,)1)(1(22i i ii i i i i i -++--+-+【答案】2)6()5(;)4(;)3(;2)2(;2)1(i i i i i ---练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--. 【答案】.2;7;25;5;34,23i i i i i -+----++∈z由①、②，得1.若复数z满足1)43(=-+iz，则z的虚部是（）A.2-B.4C.3D.4-【答案】B【解析】有复数的加减法运算知iz42+-=，故虚部为4.2．(1－i)2·i＝（）A．2－2i B．2+2i C．2 D．－2【答案】C【解析】(1－i)2·i22)121(2=-=⋅--iii3.2=的值为（）A.1- B.122+ C.122-+ D.1【答案】C212===-+，故选C4．【2010·辽宁抚顺市一模】若(2i)i ia b-=+，其中,a b∈R，i为虚数单位，则a b+=．【答案】3【解析】2i ia b+=+1,2a b⇒==．5.2006)11(ii-+=___________【答案】1-【解析】1)()11(,1122501420062006-==⋅==-+∴=-+iiiiiiiii智能提升作业1.设1z i=+（i是虚数单位），则22zz+= ( )A．1i-- B．1i-+ C．1i- D．1i+【答案】 D 【解析】2222(1)1211z i i i i z i+=++=-+=++, 故选D. 2.复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -= 【答案】Ｂ【解析】由bia bi a -=+1得1))((=-+bi a bi a ，即221a b +=.反之也成立，故只能选B. 3．(浙江省桐乡一中2011届高三文)如果复数ibi212+-(b ∈R ，i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于 ( )A ．2B ．32C ．32- D ．2 【答案】C 【解析】.,32,422.5)4(22)21)(21()21)(2(212C b b b i b b i i i bi i bi 选即-=+=-∴--+-=-+--=+-4.设a 、b 、c 、d R ∈，若a bic di++为实数，则，（ ） A ．0bc ad +≠ B.0bc ad -≠ C.0bc ad -= D.0bc ad +=【答案】C 【解析】由2222a bi ac bd bc ad i c di c d c d ++-=++++,且因为 a bi c di++为实数，所以其虚部220bc adc d -=+，即0bc ad -=故答案选C ．5.设复数z 的共轭复数是z ，若复数i t z i z +=+=21,43，且21z z ⋅是实数，则实数t 为( ) A ．43B 34 C.34- D.43- 【答案】A【解析】i t t i t i z z )34(43))(43(21-++=-+=⋅,若21z z ⋅为实数，则034=-t ，从而43=t . 6.在复平面内，复数iii -++-11331对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】化简得()()()()()()i i i i i i i i 212111133331-=+-++-+--，对应的点在第四象限．7.若11i z =+，2i z a =-，其中i 为虚数单位，且12z z ⋅∈R ，则实数a = ． 【答案】1-【解析】,)1()1())(1(21R i a a i a i z z ∈+++-=++=⋅故.1,01-==+a a 8.若1z i=-,那么100501z z ++的值是【答案】1005010050111z z z i ==++=++- 50255025222()()11122i ii i i i i =++=++=++=【答案】3b =，0c =9.设复数z 满足1z =,且z i ⋅+)43(是纯虚数,求z -【解析】设,(,)z a bi a b R =+∈，由1z =1=；z ⋅)43(=(34)()34(43)i z i a bi a b a b i +=++=-++是纯虚数，则340a b -=44155,3334055a a a b b b ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨-=⎪⎪⎪⎩==-⎪⎪⎩⎩或， 所以 4343,5555z i i -=--+或10.设复数z 满足5||=z ，且z i ⋅+)43(在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，)(,25|2|R m m z ∈=-，求z 和m 的值.【解析】设出z 的代数形式),(R y x yi x z ∈+=∵5||=z ，∴2522=+y x .i y x y x yi x i z i )34()43()()43()43(++-=+⋅+=⋅+又z i ⋅+)43(在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则它的实部与虚部互为相反数，∴.03443=++-y x y x化简得x y 7=，将其代入2522=+y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22722y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22722y x .∴i z 22722+=或i z 22722--= 当i z 22722+=时，,25|71||2|=-+=-m i m z 即,507)1(22=+-m 解得0=m 或2=m . 当i z 22722--=时，同理可得0=m 或2-=m . 教学参考本节主要学习和应用导数的四则运算法则，从而为导数的广泛应用“架桥铺路”，所以要使学生准确地掌握法则，并熟练应用。
高中数学 3.2复数的四则运算学案 苏教版选修2-2
3．2 复数的四则运算二、预习指导1．预习目标(1)了解复数的代数表示法；(2)能进行复数代数形式的四则运算．2．预习提纲(1)复数四则运算法则：①加法法则：______________ ；②减法法则：______________ ；③乘法法则：______________ ；复数的乘法满足交换律、结合律和分配律吗?④除法法则：______________ ．(2)复数的正整数指数幂的运算律：① ____________________ ；② ____________________ ；③ ____________________ ．(3)我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为________；_____数的共轭复数仍是它本身．(4)你能总结出i的正整数指数幂的规律吗?(5)你能写出方程x3=1的三个根吗?(6)阅读课本第106页至第110页内容，并完成课后练习．(7)结合课本第107页的例1，学习复数的加法法则和减法法则；结合课本第107页的例2，学习复数的乘法法则，体会复数的乘法满足结合律；结合课本第107页的例3，进一步运用复数的乘法法则，体会在复数范围内，对x2＋y2进行分解因式；结合课本第108页的例4，体会方程x3=1的三个根的相互关系；对于课本第109页的例5，解法1是运用复数的除法法则，解法2是使分母“实数化”，将复数除法化归为复数乘法，请仔细体会，并将两种解法作比较．3．典型例题(1)复数的加减运算两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．复数的加法运算是一种规定，减法是加法的逆运算．复数的加减运算可类比多项式的加减运算，但不是多项式运算的合情推理，而是一种新的规定，它是数学建构过程中的重要组成部分，运算时可类比多项式合并同类项法则来理解和记忆．例1 计算(2＋3i)＋(4－5i)－ (－2－i)的值．解：原式=(2＋4＋2)＋(3－5＋1)i=8－i．(2)复数的乘法与乘方复数的乘法运算法则：(i)(i)()()i a b c d ac bd bc ad ++=-++乘法运算律：1221123123(1);(2)()()z z z z z z z z z z ==；(3)1231213()z z z z z z z +=+；(4)m nm nz z z+=；(5)()m n mn z z =；(6)1212()m m nz z z z =例2 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(12-)3；)6＋)6． 分析：复数的乘法运算与多项式的乘法运算相类似，先两两结合展开，利用n i 化简后， 在再将复数的实部与虚部合并；而乘方运算应注意合理利用一些常用且有效的结论来处理． 解：(1)原式=(11－2i)(－2＋i)=2015i -+；(2)原式=331(1)(2--+= －1；(3)原式=661(i)(2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦＋661(i)(2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦= －2． 点评：在运算过程中，注意运用常用技巧及规律，如有关复数的方幂：①i 的周期性：i 4n ＋1=i ；i4n ＋2= －1；i4n ＋3= －i ；i 4n=1(n Z ∈)；②若12ω=-，则=ω212--，=ω31，1＋=ω+ω20．(3)共轭复数共轭复数的定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数称为共轭复数．共轭复数的性质：① z z =；② 1212z z z z ±=±；③ 对于复数z ，z 是实数z z ⇔=；④ 若z 为纯虚数，则0z z +=．例3 已知复数22121()i 2(13)i()z m m m z m m R =+++=+-∈与是共轭复数，求m 的值． 分析：根据共轭复数的定义知：两个共轭复数的实部相同，虚部互为相反数． 解：由22121()i 2(13)i()z m m m z m m R =+++=+-∈与是共轭复数得：2212,(13).m m m m ⎧+=⎪⎨+=--⎪⎩解得：1,1.m m =±⎧⎨=⎩从而m =1． 即m =1时，12,z z 是共轭复数．点评：共轭复数是复数集中比较重要且具有独特性质的复数，应准确把握它的代数特征：虚部互为相反数．例4 已知f (z )=2z ＋z －3i ，f (z ＋i)=6–3i ，求f (－z )的值．分析：先利用f (z )=2z ＋z －3i ，f (z ＋i)=6–3i ，得到复数z 满足的等式，然后设z =a ＋b i(,a b R ∈)，利用复数相等得到关于实数a ，b 的方程组，解方程组即可． 解：f (z ) = 2z ＋z －3i ，∴ f (z ＋i )=2()()3z i z i i +++-=22z z i +-．又f (z ＋i )=6–3i ，∴22z z i +-=6– 3i ，即2z z +=6－i ． 设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，∴2()()6a bi a bi i -++=-，即3a －bi =6－i ．由复数相等的定义知：36,1.a b =⎧⎨-=-⎩解得：2,1.a b =⎧⎨=⎩∴z =2＋i ．∴ f (－z )=2(－2－i )＋(－2＋i )－3i = －6－4i ．点评：本题中要求f (－z )的值关键先求出z ，求复数z 时通常设复数(,)z a bi a b R =+∈，利用复数相等的定义将问题实数化，从而使问题得到解决．(5)复数的除法满足(c ＋di )(x ＋yi )=(a ＋bi )的复数x ＋yi (x ，y ∈R )叫复数a ＋bi 除以复数c ＋di 的商，记为：(a ＋bi )÷(c ＋di )或者dic bia ++． 一般地，我们有di c bi a ++=22)(b a i ad bc bd ac di c di c di c bi a +-++=--⋅++=i dc adbc d c bd ac 2222+-+++． 例5 已知2222227832a ab b a b ia b abi i+++-=+++，求实数a ，b ．分析：要求两个未知数的值，必须列出两个方程，这可以由两个复数相等的充要条件而得到．因此我们先得将已知等式变形．解：已知左边=22()()[][]a b abi a b abi a b abi a b abi a b abi+-+++-=++++=()a b abi +-，右边=(278)(32)657856(32)(32)13i i ii i i ---==-+-，所以()a b abi +-=5－6i ．由复数相等的定义知：532623a b a a ab b b +==⎧⎧⎧⎨⎨⎨==⎩⎩⎩=解得或= 点评：该例解答是否简便关键在于采取的变形方法．表面上看对已知等式作如下的变形：2222(2)(32)()(278)a ab b a b i a b abi i ++++=++-，再施行复数运算较为简便．但事实上不如上述解答简捷．这是因为已知式的左边的分式并非杂乱无章的，只要我们仔细观察就会发现它是一个按一定规律排列的关于a ，b 对称的式子，因此就得到如此简捷的解法． 4．自我检测(1)(1－2i)–(2–3i)＋(3–4i)－…＋(2007－2008i)=______________． (2)已知复数,230i z +=满足0035,z z z z +=-则复数z = ______________． (3)设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a =______________． (4)复数()221i i +=______________． (5)复数32(1)i i +=______________． 三、课后巩固练习A 组1． 若()()12i i ++=a+bi ,其中,,a b R i ∈为虚数单位,则a b +=_______. 2． 计算:ii+-13=_______(i 为虚数单位). 3． 若复数z 满足1iz i =+,则z =_______.4． 设a b ∈R ，,117ii 12ia b -+=-,则a b +的值为____. 5． 若复数z 满足(2)z i z =-，则z =______________． 6．已知2()2a i i -=，那么实数a =______________．7．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =______________．8．若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，则22b a +=______________．9．)2321(i +-)2321(i --)2321(i -6=______________．10．设,,,,a b c d R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是______________． 11．设复数：z 1=1＋i ，z 2=x ＋2i (x ∈R )，若z 1 z 2为实数，则x = ______________． 12．若复数z 满足方程220z +=，则3z =______________．13．416x -分解为一次式的乘积为______________．14．复数－7＋24i 的平方根为______________．15．已知复数z 满足3i )z ＝3i ，则z =______________．16．已知复数1z i =-，则21z z =-______________．17．11ii+-表示为a ＋bi (a ，b ∈R )，则a ＋b = ． 18．计算：(1)31()i i -； (2)(2)12i i i +-； (3)1＋22i；(4)(1)(12)1i i i -++； (5) 201311⎪⎭⎫⎝⎛-+i i ； (6)()()221111iii i -+++-；3； (8)3123i i ++；19．计算： (1) (1－i )＋(2－i 3)＋(3－i 5)＋(4－i 7)；(2) (22－22i )2＋(22＋22i )2； (3) (a ＋bi )(a －bi )(－a ＋bi )(－a －bi )．20．计算： (1)ii i 1212++；(2)1i i + (3)212i i-+-+． B 组21．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是______________． 22．已知z =，则z 100＋z 50＋1=______________．23．i 1i 2i 3i 4…i2001= ，(1－i )11的实部为 ，)2321(i +-2001的虚部为 ．24．已知a 是实数，iia +-1是纯虚数，则a =______________． 25．复数ai i1+2-为纯虚数，则实数a为_____ ．26．设复数z 满足i z i 23)1(+-=+，则z 的实部是_________．27.已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-，复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，则2z =———．28．复数11212i i+-+-的虚部是______________． 29．若2121,43,2z z i z i a z 且-=+=为纯虚数，则实数a 的值为______________． 30．已知11mni i=-+，其中m ，n 是实数，则m ni +=___________． 31．复数11z i=-的共轭复数是______________．32．复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=____________ ． 33．若i z i1+2=，则复数z =__________ ．34．设z 1=2＋3i ，z 2=4－5i ，则2121z z z z -= ______________． 35．若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz ，则z =______________． 36．设z 的共轭复数是z ，若z ＋z =4，z ·z ＝8，则zz=______________． 37．设211z z iz =-，已知z 2的实部是1-，则z 2的虚部为 ．38．若f (z )=z ，z 1=3＋4i ，z 2=－2＋i ，则)(21z z f -的值为______________． 39．设,x y 为实数，且511213x y i i i+=---，求x y +的值． 40．已知x ，y ∈R ，复数(3x ＋2y )＋5xi 与复数18)2(+-i y 相等，求x ，y 的值． 41．已知复数z =1＋i ，求实数a ，b ，使22(2)az bz a z +=+．42．已知1(3)(4)z x y y x i =++-，2(42)(53)z y x x y i =--+(,)x y R ∈．设12z z z =-，且132z i =+，求12,z z ．C 组43．已知12()1,23,5,f z z z i z i =-=+=-求12()f z z -．44．已知关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i )t ＋2xy ＋(x －y )i =0(x ，y ∈R )． (1)当方程有实根时，求点(x ，y )的轨迹方程； (2)求方程实根的取值范围．45．求同时满足下列两个条件的所有复数： (1)10z z +是实数，且1＜10z z+≤6； (2)z 的实部和虚部都是整数． 46．设z 为虚数，1w z z=+是实数，且－1＜w ＜2，若设z =a ＋bi (b ≠0)． (1)求a 2＋b 2的值，及a 的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数；(3)求w－u2的最小值．五、拓展视野如果a，b，c，d都是实数，那么关于x的方程：x2＋(a＋bi)x＋(c＋di)=0有实根的充要条件是什么?下面是某同学给出的解法：由题意知x∈R，且x2＋ax＋c＋(bx＋d)i=0，∴20,(1)0.(2) x ax cbx d⎧++=⎨+=⎩由(2)得dxb=-，代入(1)得d2－abd＋b2c=0．以上解法是否正确?请给出你的评价．3.2 复数的四则运算（1）1004-1005i （2）9+6i （3）-1 （4）-4 （5）21.(1)(2)131,34i i i a bi a b a b ++=+=+⇒==⇒+=2.i i i i i i i i 212413)1)(1()1)(3(13-=--=-+--=+-3.1i -4.由117ii 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,所以=5=a b ，,=8a b +5．1+i 6．-1 7．-1 8．5 9．1 10．ad +bc =0 11．-2 12．i 22± 13．(x +2)(x -2)(x +2i )(x -2i )14．3+4i 或-3-4i 15．34 16．2 17. 1 18．(1) -8i (2) -1 (3) -1 (4) 2-i (5) i (6) -1 (7) i (8)1710i+ (9) i 19．(1)10；(2)0；(3)(a 2+b 2)220．(1)i ；(2)12i-；(3) 0 17．0 22．-i 23．i ，-32，0 24．1 25.2 26.1 27.1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-，∵ 12z z R ∈，∴ 242z i =+ 28．15 29．38 30．2+i 31．1122i - 32．i - 33． i 2+ 34．44i 35．i -136．±i 37．1 38．5+3i39．解：(1)(12)2()()112252525x y x i y i x y x yi i y +++=+=+++--， 而55(13)13131022i i i +==+- 所以123252252x y x y +=+=且，解得x ＝－1，y ＝5， 所以x ＋y ＝4.40．x = -2，y =12 41．2,1,a b =-⎧⎨=-⎩或4,2,a b =-⎧⎨=⎩42．z 1=5-9i ，z 2=-8-7i 43． 4-4i 44．(1)设实根为t ，则t 2+2t +2xy +(t +x -y )i =0，根据复数相等的充要条件，得t 2+2t +2xy =0，且t +x -y =0.消去t 得：(x -1)2+(y +1)2=2；(2)所求点的轨迹是以(1,-1)t=y-x 与圆有公共点，≤-4≤t ≤0.45．设,,z x yi x y Z =+∈，则222210101010()x y z x yi x y i z x yi x y x y+=++=++-+++， 因为10z z +为实数，所以2210y y x y-+=0，所以y =0或x 2+y 2=10.当y =0时，1010z x z x +=+，因为1010x x x x+≥+≤-或 又1＜10z z+≤6，所以y =0不合题意. 当x 2+y 2=10时，1010210x z x x z +=+=，所以1＜2x ≤6,又因为x ∈Z ,所以x =1,2,3 分别代入检验，得z =1±3i ，或z =3±i . 46．(1)222211()()a b w z a bi a b i z a bi a b a b =+=++=++-+++, 因为-1＜w ＜2，所以w 为实数，所以220bb a b-=+， 又因为b ≠0,所以a 2+b 2=1.此时w =2a ∈(-1,2),所以1(,1)2a ∈-.(2)221(1)[(1)][(1)]1(1)(1)1z a bi a bi a bi bu i z a bi a b a-----+-====-++++++, 因为b ≠0，所以u 是纯虚数.(3)222222112()222(1)311(1)(1)b b a w u a i a a a a a a a -⎡⎤-=--=+=+=++-⎢⎥++++⎣⎦因为1(,1)2a ∈-，所以11(,2)2a +∈，所以1(1)21a a ++≥+， 当且仅当a =0时取等号，所以w -u 2的最小值为1.。
北师大版数学高二《复数的四则运算》教材解读教案 选修2-2
高中数学 《复数的四则运算》教材解读教案 选修2-2一、数系的扩充和复数的概念1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．我们知道，方程210x +=在实数范围内无解，于是需引入新数i 使方程有解，显然，需要21i =-．数系的扩充过程：自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C ．2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部．注意复数132i -的虚部是3-，而不是3i -．3．复数相等的充要条件a bi c di a c +=+⇔=且()b d a bcd =∈R ，，，注意事项：（1）复数a bi +(0)(0)(0)(0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 （2）复数集C ⎧⎨⌝⎩R R 实数集虚数集 （3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. 二、复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应．2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，．3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ．在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为22z a b =+．三、复数代数形式的四则运算1．复数的加法、减法①运算法则()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±．其运算法则类似于多项式的合并同类项②复数加法的运算律对于任意的123z z z ∈C ，，，有：交换律：1221z z z z +=+．结合律：123123()()z z z z z z ++=++．③复数加法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有12OZ OZ OZ +=（如图1）．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d +=++，，即得OZ 与复数()()a c b d i +++对应．可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．④复数减法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应（如图2），根据向量加法的三角形法则有：2211OZ Z Z OZ +=．于是：1221OZ OZ Z Z -=．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d -=--，，即得21Z Z 与复数()()a c b d i -+-对应．于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．2．复数代数形式的乘法运算①运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++．两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把2i 换为1-，并且把实部与虚部分别合并即可．②运算律：交换律：1221z z z z =··．结合律：123123()()z z z z z z =····．分配律：1231213()z z z z z z z +=+．③虚数i 的乘方及其规律：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =，．可见，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41()n i n *=∈N ，即i 具有周期性且最小正周期为4．④共轭复数a bi +与a bi -互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．它的几何意义是：共轭的两个复数关于x 轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3．复数代数形式的除法运算运算法则：2222(0)a bi ac bd bc ad i c di c di c d c d ++-=++≠+++． 其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．。
3.2复数的四则运算导学案2
3.2《复数的四则运算》导学案（2）学习目标1、理解复数代数形式的四则运算法则。
2、能运用运算律进行复数的四则运算。
学习重难点 复数的除法运算 学习过程： 一、复习巩固：1、复数加减法的运算法则：(1)运算法则：设复数z 1=a+bi,z 2=c+di ，那么：z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i ；z 1-z 2=(a-c)+(b-d)i 。
(2)复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有： z 1+z 2=z 2+z 1，(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)。
2、复数的乘法：(1)复数乘法的法则：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi 2=(ac-bd)+(bc+ad)i 。
(2)复数乘法的运算律：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。
即对任何z 1，z 2，z 3有： z 1z 2=z 2z 1；(z 1z 2)z 3=z 1(z 2z 3)；z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3。
3、共轭复数的概念、性质：定义：实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。
复数z =a +bi 的共轭复数记作,=-z z a bi 即设z =a +bi (a ,b ∈R ),那么2-2z z a z z bi +==；。
12121212,z z z z z z z z +=+-=- 4、i 的指数变化规律：4n i =1，41n i +=i ，42n i +=1-，43n i +=i - 44142430,()n n n n i i i i n N ++++++=∈【巩固练习】1．计算:(1+2 i )2_____=2．计算i 3(1)+_____=3．若z C ∈且z i (3)1+=,则z _____=. 4．已知m R ∈且m i R 3()+∈,则m _____.=5．已知z i 1322=-+,求z z z 322339+++的值.6．计算: i +2i 2+3i 3+…+2008i 2008;7.已知复数222(32)(R)x x x x i x +-+-+∈是420i -的共轭复数，求x 的值。
高中数学 复数的四则运算2教案 苏教版选修2-2
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修2-2教案：复数的四则运算2教学目标 理解并掌握复数的的除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 重点难点重点：复数的除法运算。
难点：复数的除法运算教学过程 1、实数集R 中正整数指数的运算律,在复数集C 中仍然成立.即对*12,,,z z z C m n N ∈∈及有: 1212()()m n m nm n mn n n nz z z z z z z z z +===在计算复数的乘方时，要用到虚数单位i 的乘方，对于i 的正整数指数幂，易知 1234,1,,1i i i i i i ==-=-=一般地，如果*n N ∈，那么我们有 44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-例2:设1322i ω=-+,求证: (1)2310,(2)1ωωω++==2. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者dic bi a ++ 3. 复数除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R)，除以c +di (c ，d ∈R)，其商为x +yi (x ，y ∈R)，即(a +bi )÷(c +di )=x +yi∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+ (dx +cy )i .∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点评：①待定系数法②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法例3计算(12)(34)i i +÷-解：例4 计算ii i i 4342)1)(41(++++-课外作业课本66页3 第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
复数的四则运算法则教案1北师大版选修22
总结反思：i的乘方运算的周期性规律是？
探究三：有关 1的三次方根
例1.设 ，求证：
（1） （2） （3）
变式练习：（B级）设 ，求证：
（1） (2) (3)
探究四：复数的除法的定义与运算法则：
例2.计算
解法一：（待定系数法）
解法二：（除法法则）
模块三达标提升
当堂检测：
1.（A级）若复数 ，则复数 的虚部等于
教学
重点
1.复数的加法运算法则
2.复数的减法运算法则
3.复数的乘法运算法则
教学
难点
1.复数的加、减法运算法则
2.复数的乘法运算法则
学法
指导
在学习中，要把概念和运算融为一体，切实掌握好。复数的加、减法运算法则类似于多项式中的合并同类项。复数的乘法与多项式的乘法完全类似，只是在运算过程中要把 换成 ，然后把实部与虚部分别合并。
教学过程
师生互动
反思
模块一预习导学
基础训练回顾：
1.分别写出下列复数 的共轭复数
2.
3. =
4.若复数 满足 ，则 =
5.计算
模块二合作探究
探究一：复数的正整数指数幂运算律：
（1）
（2）
(3)
探究二：复数的乘方运算：
。。。。。。
4n+1=, 4n+2=, 4n+3=, 4n=
1.（A级）计算：
（1） （2）
（2）设 ，在复数集C内，你能将 分解因式吗？
例3.已知复数Z满足 ，求Z的值
模块三达标提升
1.(A级) 的值为
2.(A级)i表示虚数单位，则 =
3.(A级)计算： =
北师大版数学高二选修2学案 5.2.2复数的四则运算(二)
精
讲
互
动
例1计算： ， ， ， 并总结规律(课本 ).
例2计算 ， ， ，
例3已知： ,求证：（1） ,
(2) , (3)
例4计算
解：
例5计算
解：
达
标Hale Waihona Puke 训练课本107页练习
1．
2．
3．
（选做题）已知z是虚数，且z+ 是实数，求证： 是纯虚数.
作业
反思
板书
设计
5.2.2
目标
1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；
2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题.
重点
复数代数形式的除法运算
二次备课
难点
对复数除法法则的运用
自
主
学
习
复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi) (c+di)或者
北师大版高中数学选修高二复数的四则运算导学案
5.2复数的四则运算一、学习目标：1、掌握复数的加法运算及意义；2.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。
二、学习重点：1.复数的代数形式的加、减运算及其几何意义2.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念学习难点：1.加、减运算的几何意义2.乘除运算三、学习方法：探析归纳，学练结合四、学习过程（一）、复习准备：1.与复数一一对应的有？2.试判断下列复数1+4i,7-2i,6,i,-2-0i,7i,0,0-3i在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3.同时用坐标和几何形式表示复数z1=1+4i与Z2=7-2i所对应的向量，并计算OZ1+OZ2。
向量的加减运算满足何种法则？4.类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？（二）、探析新课：1.复数的加法运算及几何意义①.复数的加法法则：z=a+bi与Z=c+di，则Z+Z=(a+c)+(b+d)i。
1212例1．设m∈R，复数z=1 m的取值范围．m2+mm+2+(m-15)i,z=-2+m(m-3)i，若z+z是虚数，求212②复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）例2、如图在复平面上复数i，1，4+2i所应对的点分别是A、B、C，求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数．2、复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若Z+Z=Z，则Z叫做Z减去Z的差,记作Z=Z-Z。
122121④讨论：若Z=a+b,Z=c+di，试确定Z=Z-Z是否是一个确定的值？1212（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）⑤复数的加法法则及几何意义：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
例3．已知复数z=3+2i,z=1-3i,则复数z=z-z，在复平面内对应的点位于复平面1212内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.复数代数形式的乘法运算①.复数的乘法法则：(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i。
高中数学 复数的四则运算2教案 苏教版选修2-2
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修2-2教案：复数的四则运算2教学目标 理解并掌握复数的的除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算重点难点重点：复数的除法运算。
难点：复数的除法运算教学过程 1、实数集R 中正整数指数的运算律,在复数集C 中仍然成立.即对*12,,,z z z C m n N ∈∈及有:1212()()m n m nm n mn n n nz z z z z z z z z +===在计算复数的乘方时，要用到虚数单位i 的乘方，对于i 的正整数指数幂，易知 1234,1,,1i i i i i i ==-=-=一般地，如果*n N ∈，那么我们有 44142431,,1,n n n n i i i i i i +++===-=-例2:设1322i ω=-+,求证: (1)2310,(2)1ωωω++==2. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y ∈R)叫复数a+bi 除以复数c+di 的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者dic bi a ++ 3. 复数除法运算规则：①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )，即(a +bi )÷(c +di )=x +yi∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+ (dx +cy )i .∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx 解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x 于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将dic bi a ++的分母有理化得： 原式=22()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++. 点评：①待定系数法②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法例3计算(12)(34)i i +÷-解：例4 计算ii i i 4342)1)(41(++++-课外作业课本66页3 中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
江苏省镇江市高中数学3.2复数的四则运算导学案2(无答案)苏教版选修2_2
复数的四则运算
课题：复数的四则运算(第2课时)
【学习目标】
知识与技能：掌握复数的加法运算及意义；
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律；
3．情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、
实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
【学习重点】复数加法、减法运算。
【学习难点】复数加法、减法运算的运算律。
【学习流程】
复习回顾
1、虚数单位：
2、复数的定义：
3、复数的代数形式：
4、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
5、复数集与其它数集之间的关系：
6、两个复数相等的定义：
重点点拨：
复数加法、减法运算的运算律。
例题分析
例1．计算：。
例2．计算：。
巩固练习：
1．已知复数，，，则___________。
2．计算=________________________。
3．设，，当时，复数=________。
4．已知，，若，=__________________。
课堂小结
通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？能解决哪些问题？
笔记栏：学后反思。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(二)学案 苏教版选修12
3.2 复数的四则运算（二）学习目标 1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解复数的乘方，正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.3.了解i 幂的周期性．知识点一 复数的乘方与i n (n ∈N *)的周期性思考 计算i 5，i 6，i 7，i 8的值，你能推测i n (n ∈N *)的值有什么规律吗？1．复数范围内正整数指数幂的运算性质 对任何z ，z 1，z 2∈C 及m ，n ∈N *，有z m z n ＝z m ＋n，(z m )n ＝________，(z 1z 2)n ＝z n 1z n2.2．虚数单位i n (n ∈N *)的周期性 i 4n＝__________，i4n ＋1＝__________，i4n ＋2＝__________，i4n ＋3＝__________.知识点二 复数的除法思考 如何规定两复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i≠0)相除？把满足(c ＋d i)(x ＋y i)＝a ＋b i(c ＋d i≠0)的复数x ＋y i(x ，y ∈R )叫做复数a ＋b i 除以复数c ＋d i 的商．且x ＋y i ＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i.类型一 i 的运算性质 例1 计算下列各式的值． (1)1＋i ＋i 2＋…＋i 2 017.(2)(1－1i )2 014＋(1－i)2 014.(3)(－12＋32i)3.反思与感悟 (1)虚数单位i 的性质： ①i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．②i 4n＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈N *)．(2)复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，1i ＝－i 等一些重要结论简化运算．(3)设ω＝－12＋32i ，则ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝ω.跟踪训练1 计算下列各式： (1)i2 006＋(2＋2i)8－(21－i)50. (2)(－1－3i)3＋(－1＋3i)3.类型二 复数的除法例2 (1)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝__________.(2)复数z ＝i －32＋i的共轭复数是____________．反思与感悟 (1)这类问题求解的关键在于“分母实数化”类似于根式除法的分母“有理化”．(2)复数除法的运算结果一般写成实部与虚部分开的形式． 跟踪训练2 (1)设i 是虚数单位，则i3＋i －1＝________.(2)复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 类型三 复数四则运算的综合应用 例3 计算下列各式：(1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－(1＋i 2)2； (2)2＋23＋－－.反思与感悟 (1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减． (2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用．①a ＋b i b －a i ＝a ＋b b i －a i 2＝a ＋ba ＋b i＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化；②记住一些简单结论如1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，(1±i)2＝±2i 等．跟踪训练3 复数z ＝＋2＋－2＋i，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .1．设i 为虚数单位，则复数5－6ii＝____________. 2.＋23＋4i＋＋24－3i＝______________.3．如果复数2－b i1＋2i 的实部与虚部互为相反数，那么实数b ＝________.4．设z 1＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 11，z 2＝i 1·i 2…i 12，则z 1·z 2＝________. 5．计算：(1)若2＋a i 1＋2i＝－2i ，求实数a 的值；(2)若复数z ＝2i1－i，求z ＋3i.1．熟练掌握乘除法运算规则．求解运算时要灵活运用i n的周期性．此外，实数运算中的平方差公式，两数和、差的平方公式在复数运算中仍然成立．2．在进行复数四则运算时，我们既要做到会做、会解，更要做到快速解答．在这里需要掌握一些常用的结论，如(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，1－i1＋i＝－i，1＋i1－i＝i，－b＋a i＝i(a＋b i)．利用这些结论，我们可以更有效地简化计算，提高计算速度且不易出错．3．在进行复数运算时，要理解好i的性质，切记不要出现如“i2＝1”，“i4＝－1”．答案精析问题导学 知识点一思考 i 5＝i ，i 6＝－1，i 7＝－i ，i 8＝1，推测i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)．1．z mn2．1 i －1 －i 知识点二思考 通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式再把分子与分母都乘c －d i ，化简后可得结果． 题型探究例1 解 (1)原式＝1－i 2 0181－i ＝1－i 21－i ＝1＋i.(2)1－1i ＝1＋i 2i ＝1＋i 且(1±i)2＝±2i.∴原式＝(1＋i)2 014＋[(1－i)2]1 007＝(2i)1 007＋(－2i)1 007＝21 007i 3－21 007i 3＝0.(3)(－12＋32i)3＝(－12＋32i)2(－12＋32i)＝(－12－32i)(－12＋32i)＝1.跟踪训练1 解 (1)i 2 006＋(2＋2i)8－(21－i)50＝i4×501＋2＋[2(1＋i)2]4－[2－2]25＝i 2＋(4i)4－i 25＝－1＋256－i ＝255－i. (2)原式＝23(－12－32i)3＋23(－12＋32i)3＝23×1＋23×1＝16. 例2 (1)1＋i (2)－1－i 解析 (1)2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝－2＋2i ＝1＋i.(2)∵z ＝－3＋i2＋i＝－3＋－＋－＝－5＋5i 5＝－1＋i ，∴z 的共轭复数z ＝－1－i. 跟踪训练2 (1)－1 (2)2＋i 解析 (1)∵i ＋1i －1＝＋2－－＋＝2i－2＝－i ， ∴i 3＋i －1＝i 3(－i)＝－i 4＝－1.(2)∵z ＝4＋3i1＋2i ＝＋－5＝10－5i 5＝2－i ，∴复数z ＝2＋i.例3 解 (1)i －231＋23i ＋(5＋i 2)－(1＋i 2)2＝＋231＋23i＋(5－1)－2i2＝i ＋4－i ＝4.(2)原式＝22＋3－－－＝22＋4i－＋＝22＋2]2·i 2＝2·(2i)2·i＝－42i.跟踪训练3 解 ＋2＋－2＋i＝2i ＋－2＋i＝3－i 2＋i＝－－＋－＝1－i.∵a 是纯虚数，设a ＝m i(m ∈R ，且m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋a 1－i＝－2i ＋m＋－＋＝－2i ＋m i －m2＝－m 2＋(m2－2)i<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－m 2<0，m 2－2＝0，得m ＝4，∴a ＝4i. 达标检测 1．－6－5i 解析5－6ii ＝－i2＝－(5i －6i 2)＝－(5i ＋6)＝－6－5i.2.725＋4925i 解析 原式＝－3＋4i 3＋4i ＋3＋4i4－3i＝－3＋－25＋－4－3i＝7＋24i 25＋i ＝725＋4925i. 3．－23解析2－b i1＋2i＝－b－5＝2－2b －＋b5＝2－2b 5－4＋b 5i.由题意知，2－2b＝4＋b ，得b ＝－23.4．1解析 z 1＝(i ＋i 2＋i 3＋i 4＋…＋i 8)＋(i 9＋i 10＋i 11)＝0－1＝－1.z 2＝i 1＋2＋…＋12＝i 78＝－1，∴z 1z 2＝1.5．解 (1)依题意，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)＝2－2i ， ∴a ＝－ 2. (2)∵z ＝2i1－i＝＋－＋＝i(1＋i)＝－1＋i ， ∴z ＝－1－i ， ∴z ＋3i ＝－1＋2i.。
复数四则运算导学案
复数四则运算导学案复数代数形式的四则运算导学案【学习目标】1.掌握复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则及运算律;2.会简单的复数四则运算.【重、难点】重点:复数代数形式的加、减、乘、除的运算难点:复数除法的运算【教学过程】一、知识链接1.实数运算中，加法和乘法都有哪些运算律,2.形如什么样的数叫复数,3.什么叫互为共轭复数,4.复数相等怎么理解,二、自主预习设z = a，bi ; z= c，di (a,b,c,d?R) 121.复数加减法法则z?z=(a，bi)?(c，di)=______________________________________. 122.复数加法运算律对任意z，z，z?C.(1)交换律:z，z=_____________________________________ 12312(2)结合律:(z，z)，z=_________________________________. 1233.复数的乘法法则z?z=(a，bi)(c，di)=________________________________. 124.复数乘法的运算律对于任意z、z、z?C，(1)交换律:z?z=_____________________________ 12312(2)结合律:(z?z)?z=_____________________________ 123(3)分配律:z(z，z)=_____________________________. 1235.复数的除法法则za，bi1,=__________________________. (c，di?0) zc，di2三、例题展现例1 计算:(1)(1，2i)，(3,4i),(5，6i); (2)(1-2i)(3+4i)(-2+i).解:1例2 计算2，i2(1); (2). ()(12)(34)，,,ii1,i解:z例3 已知，求复数z ,2，i1，i解:四、梯级练习【小试牛刀】各小组组长自编1至2道复数的四则运算，算出结果。
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第3课 3. 2 复数的四则运算（2）
班级：高二（ ）班 姓名：____________
教学目标：
1．掌握复数的除法及乘方运算法则及意义；
2．理解并掌握复数进行四则运算的规律．
教学重点：复数乘方运算．
教学难点：复数运算法则在计算中的熟练应用．
教学方法：类比探究法．
教学过程：
一、复习回顾
1．复数的加法，减法和乘法．
2．共轭复数： ),(R b a bi a z ∈+=与i z a b -
＝－互为共轭复数；
实数的共轭复数是它本身；共轭复数的简单性质：2z z a -＋＝；2i z z b -－＝；22z z a b -⋅＝＋． 二、建构数学
乘方运算法则：z ，z 1，z 2∈C ，m ，n ∈N *．
（1）m n m n z z z +＝； (2) ()m n mn z z ＝； (3) 1212()n n n z z z z ＝．
除法运算：z 2＝c ＋d i ≠0，则
2222
i (i)(i)i i (i)(i)a b a b c d ac bd bc ad c d c d c d c d c d ＋＋－＋－＝＝＋＋＋－＋＋． 三、数学应用
例1 计算2i 34i
－－．
例2 计算． 2(1i)_______＋＝；2(1i)_______－＝；1i _______1i ＋＝－1i _______1i
－＝＋； 20111i _______1i ⎛⎫ ⎪⎝⎭
－＝＋．
例3
设
1
22
ω＝－＋，求证：（1）2
10
ωω
＋＋＝；（2）31
ω＝．
结论4
，
思考写出31
x＝在复数范围内的三个根？。