动力学第一章(3节).

R cos R2 sin 13
例：已知铅垂摇杆在图示瞬
时的角速度为 ，角加速度 为 ，求此瞬时水平AB杆的
角速度和角加速度。
A
R vr
AB=3R
L
r
B ve
va

解：动点： 杆上B点 动系： 半圆滑道 定系： 地面
运动分析 绝对运动： 圆周运动 相对运动： 圆周运动 牵连运动： 曲线平移
aan aat ae ar
方向： C O OC
大小： R 2 R
?
?

ar
ae
c
x
O

aan aat
公式在 y
方向投影:
R2 sin R cos ae
方法二：
yA h R R sin
y A R cos R cos yA Rcos R sin
24
方法一：动点：套筒 A ; 动系：摇杆O1B
25
方法二：动点：摇杆O1B 上的A ; 动系：OA杆
26
如何选取动点、动系?
A
B
o

u
M
A
cR

O
求： ωoA , αoA
A

动点：M (园心） 动系： OA杆
求：vA , aA
动点： A（AB 杆上） 动系： 轮C
o1
求： ωoA , αoA
aat aan cot aet cot aen arn / sin
aa (aat )2 (aan )2
15
五、动系为定轴转动时的加速度合成定理
M ve vr
aaer O
R
轮O匀角速转动, 点M沿轮O边缘运动.
动点：M点 动系：圆盘 定系：地面
绝对运动：圆周运动 相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动
va ve vr
7
证明：动系为平移时的加速度合成定理.
z z'
M
vo'
o'
ao'
y'
o x'
y
va vo' x' i' y' j' z' k'
aa

dva dt

dvo' dt
x'i'y'
j' z' k'
x
ao' ar
M 动点
O x y z 为定参考系
求：B点的绝对（加）速度
1、速度分析： va ve vr
方向：
B切向
大小： ? L ?
va ve cot Lcot
vr va / sin L / sin
AB

va AB

va 3R
14
A
arn R aan
aat
aen
r
B
art
va L ctg
vr L / sin
例：已知动系的角速度和动点的相 对速度，求动点的科氏加速度。
y
y'
aC
x'
M vr
aC 2vr x

M aC
vr
aC 2vr sin 20
例：已知滑块以匀速 u 平移，求在图示位置时, 杆的角速度和角加速度.
y y' va
ve A
x'
解：动点：板上与杆的接触点B
动系：OA杆 定系：地面/机座 运动分析 绝对运动： 直线运动 相对运动： 直线运动
•相对（加）速度：动点相对动系的（加）速度.
vr x' i' y' j'z' k' ar x' i'y' j'z' k'
5
y'
y

vr A x'
M
A x'
y M vr
y'
O
x
O
x
•瞬时重合点：
在某瞬时,动系上与 动点重合的点.
•牵连（加）速度：
瞬时重合点相对 定系的（加）速度
运动分析 绝对运动： 圆周运动
相对运动： 直线运动
牵连运动： 直线平移

va
vr
O
ve c
R
求：牵连速度、 牵连加速度

速度分析： va ve vr
方向： OC
大小： R ? ?
va cos ve
ve R cos 300 12
方法一：加速度分析
A
y
h
aa ae ar
牵连速度 v e , 牵连加速度 a e
二、速度合成定理
va ve vr
三、动系为平移时 的加速度合成定理
aa ae ar
6
证
z'
相对运动轨迹
明 ：
z t 时刻
z' t t 时刻
速 度
o' y' x'
相对运动轨迹
合
x'
成
M'
定
理o
M(P)
y
y'
P'
x
研究绝对速度、相对速度、牵连速度之间的关系.
4
z
x'
ro'
o
x
z'
o' r' M
r y'
y
r xi yj zk
r' x'i' y' j'z'k' ro' xo'i yo' j zo'k r ro' r'
•绝对（加）速度：动点相对定系的（加）速度.
va xi yj zk
aa xi yj zk
aa

d dt
ω r
d dt
x'i' y'
j' z' k'

α

r

ω va

x'i' y'
j'z'k'x' di' dt

y' dj' dt

z' dk' dt
α r ω (ve vr ) ar x'(ω i') y'(ω j') z'(ω k')
aa ae art arn
A点切向
?
a?
aa
cos

ae
sin

a
n r
aa

a tan

u2
r cos3
A点法向
vr2 / r
11
例：已知图示瞬时圆盘的角
速度 和角加速度 , 求杆
上A点的速度和加速度.
A
300
解：动点： 盘心C 动系： T形杆 定系： 地面
日心参考系中 行星的运动轨迹
地心参考系中 金星的运动轨迹
选取适当的参考系, 可使描述运动的形式简单.
1
2
z'
y'
x'
问题: 要画y = f (x)的曲线, 绘图机构如何运动?
问题: 直升飞机作机动飞行时, 旋翼上某一点的速度如何计算?
用几个简单的运动合成一个复杂的运动. 要研究同一物体(点)在不同参考系中运动的关系.
vP ωr aP α r ω (ω r)
va ve vr
va ω r x'i' y' j'z'k'
aa

d dt
ω r
d dt
x'i' y'
j ' z' k '
dk' k'
dt
18
vP ω r ve
aP α r ω (ω r) ae
B
o
动点：B （ O1B 杆上）
动系： OA杆
动点、动系选取 : (1) 动点、动系不能选在同一个刚体上.
(2) 相对运动轨迹简单已知(直线、圆). 27
A'
例：已知 AB=L，求小 B' 环M的速度和加速度.
M
1 2 , 300
2
vr2 vr1 v A' e2
A 1
vP

dr dt
ωr
aP vP α r ω vP
O’x’y’z’是固连在刚体上的坐标系
di' ?, dj' ?, dk' ?
dt
dt
dt
di' ω i', dj' ω j', dk' ω k'
dt
dt
dt
17
z O’x’y’z’是固连坐标系 r' x' i' y' j' z' k'
求：绝对速度 绝对加速度
10
速度分析： B
加速度分析： B
vr va
u

A
ve
art aa
u
arn
ae

A
a
va ve vr
方向：
过A点切线
大小： ?
u
?
va ve tan u tan
vr ve / cos u / cos
方向：
大小：
公式在A
点法向 n
方向投影
aa ae ar
2vr
aC
0 OB 0 0 2vr
2vr u2 sin 2 sin 2
OB
h2
22
如何选取动点与动系?
•动点、动系不能选在同一个刚体上. •相对运动轨迹简单（直线、圆）.
23
方法一：动点：套筒 A 动系：摇杆O1 B
方法二：动点：摇杆O1 B 上的 A
动系：OA杆
M 动点
O x y z 为 定参考系
动点 M 的绝对位移： MM '
动点 M 的相对位移： P' M '
O’x’y’z’为 动参考系
P 重合点
lim
t 0
MM '
t

lim
t 0
PP'
t

lim
t 0
P' M
t
'
t 瞬时：重合点 P 的位移： PP '
MM ' PP ' P' M '
va ve vr
ve R va R vr
? aa ae ar
ae 2 R ar

vr2 R
aa

va2 R
(R vr )2
R
2R
vr2 R
2vr
16
定轴转动刚体上任意一点的速度和加速度
z
z' P
r x' o' y'

o
y
x
P 是定轴转动刚体上的任意一点
αr ωve ωvr ar ωvr
z
ae ar 2ω vr
加速度合 成定理:
aa ae ar aC
z' r ' M (P )
r x' o' y'

o
y
x
19
加速度合 成定理:
aa ae ar aC
• 科氏加速度:(Coriolis acceleration) aC 2 vr
u sin 2
h
加速度分析： aa ae ar aC
aa aet aen ar aC
方向： 0
OA 沿 B O 沿BO OA
y
aet

A
a y'
n
o
e
B

ar
u
大小：
x'
OB? OB 2 ?
公式在 y’ 方向投影:
hx
0 aet 0 0 aC
定
轴 转
r ' z' M (P )
r 动
刚 x' o' y'
体

o
y
x
动点：M 动系：o’x’y’z’
定系：oxyz
瞬时重合点：P
di' i', dj' j',
dt
dt
vr x' i' y' j'z' k' ar x' i' y' j'z' k'
ae ar
O’x’y’z’为 动参考系(平移)
动系为平移时：
va ve vr
aa ae ar
8
四、平移刚体和定轴转动刚体上点的速度和加速度
• 刚体平移(translation of rigid body)： 刚体上任意一条直线在运动过程中始终与初始时的直线平行.
B0 A0
B A
平移刚体的运动特性： 刚体上所有点的 •运动轨迹形状相同 •速度相同 •加速度相同
• 刚体定轴转动(rotation of rigid body about a fixed axis)： 刚体（或其延展体）上至少存在两点在运动过程中不动.
速 度：v r
v h 其中h为点到转轴的距离。
v o
B

r
u h x 牵连运动： 定wenku.baidu.com转动
求：牵连速度和牵连加速度
vr va cos u cos ve va sin u sin
ve / OB usin2 / h
速度分析： va ve vr
方向：
OA 沿OA
大小： u
h ? ?
sin
21
vr u cos
加速度：a r ( r) at h, an 2h 9
例：已知滑块在图示瞬时的速度和加速度，求此瞬 时杆上A点的速度和加速度。
B
u
a
r

A
解：动点： 杆上A点 动系： 滑块 定系： 地面
运动分析 绝对运动： 直线运动 相对运动： 圆周运动 牵连运动： 直线平移
B
B'
ve1
M
2
A 1
1. 速度分析：
解：双动系问题
（一）动点： 小环M
B
动系： AA’ 杆 定系： 地面
va ve1 vr1 v M
aet
AB

va AB

va 3R
2、加速度分析：aa ae ar
L
aat aan aet aen art arn
方向： AB B A
B切向 B法向
大小： ?
? 3R

2 AB
L
L 2
v
2 r
(R r)
公式在B点相 对轨迹的法向
n 方向投影:
aat sin aan cos aet cos aen sin 0 arn
3
§1-3、点的复合运动
一、相对运动、牵连运动和绝对运动
z z'
o' M x'
y'
o
y
x
O x y z 为 定参考系
O’x’y’z’为 动参考系
研究运动的点M为 动点
绝对运动(absolute motion)： 动点相对定系的运动. 相对运动(relative motion)： 动点相对动系的运动. 牵连运动(convected motion)： 动系相对定系的运动.