辽宁省2018-2019学年高一(上)第一次联考数学试卷
2018-2019学年人教A版高中数学必修1课件：3.1.1函数的应用
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
辽宁省沈阳市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
辽宁省沈阳市2018-2019学年高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在下列选项中，能正确表示集合0，和关系的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，求解一元二次方程，得：或，可得，即可作差判定，得到答案。
【详解】由题意，解方程，得：或，，又0，，所以，故选：B．【点睛】本题考查了集合的包含关系判断及应用，其中解答中正确求解集合B是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于简单题。
2.若，则下列结论不正确的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用作差法证明A、B正确，根据不等式证明C正确，D错误【详解】由题意，对于A中，因为，，故A正确，对于B中国，因为，，故B正确，对于C中，因为，两边同除以ab，可得，故C正确，对于D中，因为，故D错误，故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质应用，以及作差法比较大小关系，其中解答中熟记不等关系与不等式，熟练应用作出比较法进行比较是解答的关键，属于基础题，着重考查推理与运算能力。
3.设函数，则A. 1B. 3C. 6D. 9【答案】A【解析】【分析】由题意，求出，而将带入即可求出的值，即得出答案。
【详解】由题意，根据分段函数的解析式，可得．故选：A．【点睛】本题考查对数的运算，及函数求值问题，其中解答中熟记对数的运算，以及合理利用分段函数的解析式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
4.若，则的最小值是A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意，化简可得，利用基本不等式，即可求解最值，得到答案．【详解】由题意，因为，所以，则，当且仅当即时，取得最小值4，故选：D．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，其中解答中化简构造基本不等式的使用条件，合理应用基本不等式求解是解答本题的关键，属于基础试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．5.函数的零点所在区间A. B. C. D.【答案】B【解析】通过计算，的函数，并判断符号，由零点存在性定理，即可得到答案。
2018-2019学年湖北省部分重点中学高三(上)第一次联考数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．12．下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）4．已知函数，则以下说法正确的是（）A．f（x）的对称轴为B．f（x）的对称中心为C．f（x）的单调增区间为D．f（x）的周期为4π5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．686．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°7．若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）A．3B．7C．10D．49．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（）B．（]C．（）D．（]10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣212．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n+1=2a n a n+1，且n∈N*，则a8=．14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于．15．设实数x，y满足，则的取值范围是．16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（2分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间和极值；（3）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）①求实数m的取值范围；②求证：x1+x2＜0．2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．1【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：iz=1+2i，∴﹣i•iz=﹣i（1+2i），z=﹣i+2则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【分析】利用命题的否定判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误；幂函数的形状判断④的正误；【解答】解：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；满足命题的否定形式，正确；②若p∧q是真命题，p是真命题，则￢p是假命题；所以②不正确；③“a＞5且b＞﹣5”可得“a+b＞0”成立，“a+b＞0”得不到“a＞5且b＞﹣5”所以③不正确；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减，正确，反例：y=，可知：x∈（﹣∞，0）时，函数是增函数，在（0，+∞）上单调递减，所以④正确；故选：A．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及命题的否定，复合命题的真假，充要条件的应用，是基本知识的考查．3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）【分析】当B=∅时，m+1＞2m﹣1，当B≠∅时，，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B⊆A，∴当B=∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2，成立；当B≠∅时，，解得2≤m≤3．综上，实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知函数，则以下说法正确的是（）A．f（x）的对称轴为B．f（x）的对称中心为C．f（x）的单调增区间为D．f（x）的周期为4π【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数，令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故它的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故A不正确．令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，故它的图象的对称中心为（﹣，0 ），k∈Z，故B正确．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，故它增区间[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，故C不正确．该函数的最小正周期为=π，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．68【分析】首先运用a n=求出通项a n，判断正负情况，再运用S10﹣2S2即可得到答案．【解答】解：当n=1时，S1=a1=﹣2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣4n+1）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=2n﹣5，故a n=，据通项公式得a1＜a2＜0＜a3＜a4＜…＜a10∴|a1|+|a2|+…+|a10|=﹣（a1+a2）+（a3+a4+…+a10）=S10﹣2S2=102﹣4×10+1﹣2（﹣2﹣1）=67．故选：C．【点评】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意n=1的情况，是一道基础题．6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°【分析】利用正弦定理把已知等式转化成角的关系，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求cosA的值，结合A的范围即可得解A的值．【解答】解：∵b=acosC+c．∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinC，可得：sinAcosC+sinCcosA=sinAcosC+sinC，可得：sinCcosA=sinC，∵sinC≠0，∴cosA=，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．注重了对学生基础知识综合考查，属于基础题．7．若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．【分析】由题意求出cosα，cos（α+β），利用β=α+β﹣α，通过两角差的余弦函数求出cosβ，即可．【解答】解：α，β为锐角，则cosα===；＜sinα，∴，则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数的化简求值，注意角的范围与三角函数值的关系，考查计算能力．8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）A．3B．7C．10D．4【分析】由“等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和”可求得公差，再由a k+a4=0可求得结果．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和，∴9+36d=4+6d，其中d为等差数列的公差，∴d=﹣，又∵a k+a4=0，∴1+（k﹣1）d+1+3d=0，代入可解得k=10，故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式及其应用，涉及方程思想，属基础题．9．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（）B．（]C．（）D．（]【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为e x﹣2m=﹣3有解，即可得到结论．【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）=e x﹣2m，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，则切线斜率k=e x﹣2m，满足（e x﹣2m）=﹣1，即e x﹣2m=﹣3有解，即2m=e x+3有解，∵e x+3＞3，∴m＞，故选：A．【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决本题的关键．10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）【分析】根据已知得出x，y的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数z=x﹣y的最大值，再根据最值给出λ的求值范围．【解答】解：由题意得x，y的约束条件．画出不等式组表示的可行域如图示：在可行域内平移直线z=x﹣y，当直线经过3x+y﹣2=0与x=3的交点A（3，﹣7）时，目标函数z=x﹣y有最大值z=3+7=10．x﹣y＜λ+恒成立，即：λ+≥10，即：．解得：λ∈（0，1]∪[9，+∞）故选：D．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣2【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b，c＞0且（a+b）（a+c）=4﹣2，则2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥=2=2，当且仅当a+b=a+c=﹣1时取等号．故选：D．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．【分析】根据题意可得函数g（x）=xf（x）=e x﹣ax2在x∈（0，+∞）时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可【解答】解：∵x∈（0，+∞），∴x1f（x1）＜x2f（x2）．即函数g （x ）=xf （x ）=e x ﹣ax 2在x ∈（0，+∞）时是单调增函数． 则g′（x ）=e x ﹣2ax ≥0恒成立． ∴2a ≤，令，则，x ∈（0，1）时m'（x ）＜0，m （x ）单调递减， x ∈（1，+∞）时m'（x ）＞0，m （x ）单调递增， ∴2a ≤m （x ）min =m （1）=e ， ∴．故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导数的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，且n ∈N*，则a 8=．【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步根据通项公式求出结果． 【解答】解：数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，则：（常数），数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．则：，所以：，当n=1时，首项a 1=1， 故：．所以：．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于﹣3．【分析】由已知中向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，我们易求出•的值，进而根据在方向上的投影等于得到答案．【解答】解：∵||=1，|﹣|=4，|+|=2，∴|+|2﹣|﹣|2=4•=﹣12∴•=﹣3=||||cosθ∴||cosθ=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的含义与物理意义，其中根据已知条件求出•的值，是解答本题的关键．15．设实数x，y满足，则的取值范围是[﹣，] ．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最值．【解答】解：由实数x，y满足，得到可行域如图：由图象得到的范围为[k OB，k OA]，A（1，1），B（，）即∈[，1]，∈[1，7]，﹣ [﹣1，]．所以则的最小值为﹣；m最大值为：；所以的取值范围是：[﹣，]故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查了简单线性规划问题；关键是正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求出其最值，然后根据对勾函数的性质求m的范围．16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．【解答】解：类比P是边长为a的正△ABC内的一点，本题可以用一个正四面体来计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故答案为：a．【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．【分析】（1）用向量数量积公式计算后再化成辅助角形式，最后用正弦函数的周期公式和对称轴的结论可求得；（2）将方程有解转化为求函数的值域，然后用正弦函数的性质解决．【解答】解：（1）∵f（x）=•=2sin（+x）•sin（+x）﹣cos2x=2sin2（+x）﹣cos2x=1﹣cos[2（+x）]﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，∴最小正周期T=π，由2x﹣=+kπ，得x=+，k∈Z，所以f（x）的对称轴为：x=+，k∈Z，（2）因为f（x）﹣m=2可化为m=2sin（2x﹣）﹣1在x∈[，]上有解，等价于求函数y=2sin（2x﹣）﹣1的值域，∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]∴y∈[0，1]故实数m的取值范围是[0，1]【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算．属基础题．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得，结合sinB≠0，可得，结合A为三角形内角，可求A 的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得：，从而可得：，即，又B为三角形内角，所以sinB≠0，于是，又A为三角形内角，所以．（Ⅱ）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，得：，所以，所以≤2+，即△ABC面积的最大值为2+．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的性质列出关于公差d的方程，利用方程求得d，然后写出通项公式；（2）根据单调数列的定义推知a n=2n﹣1，然后利用已知条件求得b n的通项公式，再由错位相减法求得答案．【解答】解：（1）∵a8是a5，a13的等比中项，{a n}是等差数列，∴（1+7d）2=（1+4d）（1+12d）解得d=0或d=2，∴a n=1或a n=2n﹣1；（2）由（1）及{a n}是单调数列知a n=2n﹣1，（i）当n=1时，T1=b1===．（ii）当n＞1时，b n==，∴T n=+++…+……①∴T n=+++…++……②①﹣②得T n=+++…+﹣=﹣，∴T n=﹣．综上所述，T n=﹣．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题综上所述，20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．令n=1时，，n=2时，， n=3时，，由于2a 2=a 1+a 3， 所以，解得k=﹣1． 由于=（2n ﹣1）（n +1），且n +1≠0， 则a n =2n ﹣1；（2）由于===，所以S n =+…+=+n==．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．21．（2分）已知函数f （x ）=ax +lnx （a ∈R ） （1）若a=2，求曲线y=f （x ）在x=1处的切线方程； （2）求f （x ）的单调区间和极值；（3）设g （x ）=x 2﹣2x +2，若对任意x 1∈（0，+∞），均存在x 2∈[0，1]，使得f （x 1）＜g （x 2），求实数a 的取值范围．【分析】（1）利用导数的几何意义，可求曲线y=f （x ）在x=1处切线的斜率，从而求出切线方程即可；（2）求导函数，在区间（0，﹣）上，f'（x ）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x ）＜0，故可得函数的单调区间；求出函数的极值即可；（3）由已知转化为f （x ）max ＜g （x ）max ，可求g （x ）max =2，f （x ）最大值﹣1﹣ln （﹣a ），由此可建立不等式，从而可求a 的取值范围．【解答】解：（1）由已知f′（x）=2+（x＞0），…（2分）∴f'（1）=2+1=3，f（1）=2，故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3，故切线方程是：y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0…（4分）（2）求导函数可得f′（x）=a+=（x＞0）．…当a＜0时，由f'（x）=0，得x=﹣．在区间（0，﹣）上，f'（x）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，﹣），单调递减区间为（﹣，+∞），=﹣1﹣ln（﹣a）…（10分）故f（x）极大值=f（﹣）（3）由已知转化为f（x）max＜g（x）max．∵g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x2∈[0，1]，∴g（x）max=2…（11分）由（2）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），所以ln（﹣a）＞﹣3，解得a＜﹣．…（14分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查求参数的值，解题的关键是转化为f（x）max＜g（x）max．22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）①求实数m的取值范围；②求证：x1+x2＜0．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的最小值，求出m的范围，构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴∴a=1，∴f（x）=e x，f令h（x）=x2e x﹣1，h'（x）=（2x+x2）e x，h（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，所以x∈（﹣∞，0）时，h（x），即x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，所以函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减．（Ⅱ） 由条件可知，g（x）=e x﹣x+m+1，①g'（x）=e x﹣1，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，要使函数有两个零点，则g（x）min=g（0）=m+2＜0，∴m＜﹣2．‚②证明：由上可知，x1＜0＜x2，∴﹣x2＜0，∴构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，所以m（x）＞m（0）即g（x2）=g（x1）＞g（﹣x1）又g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．。
2018-2019年大连市中考数学真题(附答案)
2018年辽宁省大连市中考数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（分）（2018•大连）﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．D．2．（分）（2018•大连）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（分）（2018•大连）计算（x3）2的结果是（）A．x5B．2x3C．x9D．x64．（分）（2018•大连）如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．135°5．（分）（2018•大连）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．长方体6．（分）（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．37．（分）（2018•大连）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是（）A．B．C．D．8．（分）（2018•大连）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32x+b的图象与反比例函数y=的9．（分）（2018•大连）如图，一次函数y=k1图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当kx+b＜时，x的取值范围为（）1A．x＜2 B．2＜x＜6 C．x＞6 D．0＜x＜2或x＞6 10．（分）（2018•大连）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（分）（2018•大连）因式分解：x2﹣x= ．12．（分）（2018•大连）五名学生一分钟跳绳的次数分别为189，195，163，184，201，该组数据的中位数是．13．（分）（2018•大连）一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为cm．14．（分）（2018•大连）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为．15．（分）（2018•大连）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是，则旗杆AB的高度约为m．（精确到．参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）16．（分）（2018•大连）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（分）（2018•大连）计算：（+2）2﹣+2﹣218．（分）（2018•大连）解不等式组：19．（分）（2018•大连）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．20．（分）（2018•大连）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为%；（2）被调查学生的总数为人，其中，最喜欢篮球的有人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为%；（3）该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生数．四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．（分）（2018•大连）甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，求甲平均每分钟打字的个数．22．（分）（2018•大连）【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，...，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621， (47)3=141，28×2=96，49×1=49．【发现】根据你的阅读回答问题：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是．【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．猜想mn的最大值为，并用你学过的知识加以证明．23．（分）（2018•大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E 在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）24．（分）（2018•大连）如图1，直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AC，连接BC，将△ABC沿射线BA平移，当点C到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤a，a＜m ≤b时，函数的解析式不同）．（1）填空：△ABC的面积为；（2）求直线AB的解析式；（3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．25．（分）（2018•大连）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．26．（分）（2018•大连）如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m ﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m 的值．2018年辽宁省大连市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（分）（2018•大连）﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C．D．【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．【解答】解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选：A．【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（分）（2018•大连）在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用第二象限内点的符号特点进而得出答案．【解答】解：点（﹣3，2）所在的象限在第二象限．故选：B．【点评】此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．3．（分）（2018•大连）计算（x3）2的结果是（）A．x5B．2x3C．x9D．x6【分析】根据幂的乘方运算性质，运算后直接选取答案．【解答】解：（x3）2=x6，故选：D．【点评】本题主要考查幂的乘方，底数不变，指数相乘的性质，熟练掌握性质是解题的关键．4．（分）（2018•大连）如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．135°【分析】先利用等腰直角三角形的性质得出∠1=45°，再利用平行线的性质即可得出结论；【解答】解：如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠1=45°，∵l∥l'，∴∠α=∠1=45°，故选：A．【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，求出∠1=45°是解本题的关键．5．（分）（2018•大连）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．三棱柱D．长方体【分析】由常见几何体的三视图即可判断．【解答】解：由三视图知这个几何体是三棱柱，故选：C．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是熟练掌握常见几何体的三视图．6．（分）（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．7 C．4 D．3【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC=3，OB=OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，根据勾股定理，得：OB===4，∴BD=2OB=8，故选：A．【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．7．（分）（2018•大连）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率是（）A．B．C．D．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球标号为偶数的情况数，即可求出概率．【解答】解：列表得：所有等可能的情况数有9种，它们出现的可能性相同，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有5种结果，所以两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为，故选：D．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．（分）（2018•大连）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）=32．故选：B．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．（分）（2018•大连）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的1x+b＜时，x的取值范围为（）图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1A．x＜2 B．2＜x＜6 C．x＞6 D．0＜x＜2或x＞6【分析】根据图象直线在反比例函数图象的下方部分的对应的自变量的值即为所求．x+b＜时，x的取值范围为0＜x＜2或x 【解答】解：由图象可知，当k1＞6．故选：D．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．10．（分）（2018•大连）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α【分析】根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，∠CBD=α，∠ACB=∠EDB，∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°，∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α，故选：C．【点评】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．（分）（2018•大连）因式分解：x2﹣x= x（x﹣1）．【分析】提取公因式x即可．【解答】解：x2﹣x=x（x﹣1）．故答案为：x（x﹣1）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．12．（分）（2018•大连）五名学生一分钟跳绳的次数分别为189，195，163，184，201，该组数据的中位数是189 ．【分析】根据中位数的意义，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【解答】解：这5名学生跳绳次数从小到大排列为163、184、189、195、201，所以该组数据的中位数是189，故答案为：189．【点评】本题考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．13．（分）（2018•大连）一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为9 cm．【分析】根据弧长公式L=求解即可．【解答】解：∵L=，∴R==9．故答案为：9．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L=．14．（分）（2018•大连）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为．【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．15．（分）（2018•大连）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是，则旗杆AB的高度约为m．（精确到．参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE=53°，∵BC=DE=6m，∴AE=DE•tan53°≈6×≈，∴AB=AE+BE=AE+CD=+=≈，故答案为：【点评】此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．16．（分）（2018•大连）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为6﹣2．【分析】如图作A′H⊥BC于H．由△CDF∽△A′HC，可得=，延长构建方程即可解决问题；【解答】解：如图作A′H⊥BC于H．∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H=BA′=1，BH=A′H=，∴CH=3﹣，∵△CDF∽△A′HC，∴=，∴=，∴DF=6﹣2，故答案为6﹣2．【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（分）（2018•大连）计算：（+2）2﹣+2﹣2【分析】根据完全平方公式和零指数幂的意义计算．【解答】解：原式=3+4+4﹣4+=．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（分）（2018•大连）解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x≤﹣1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集为x≤﹣1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．19．（分）（2018•大连）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE=DF．【分析】只要证明△BEO≌△DFO即可；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OD=OB，∵AE=CF，∴OE=OF，在△BEO和△DFO中，，∴△BEO≌△DFO，∴BE=DF．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（分）（2018•大连）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有 4 人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为32 %；（2）被调查学生的总数为50 人，其中，最喜欢篮球的有16 人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为24 %；（3）该校共有450名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生数．【分析】（1）依据统计图表中的数据即可得到结果；（2）依据最喜欢羽毛球的学生数以及占被调查总人数的百分比，即可得到被调查总人数，进而得出最喜欢篮球的学生数以及最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比；（3）依据最喜欢排球的学生数占被调查总人数的百分比，即可估计该校最喜欢排球的学生数．【解答】解：（1）由题可得，被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有4人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为32%，故答案为：4；32；（2）被调查学生的总数为10÷20%=50人，最喜欢篮球的有50×32%=16人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比=×100%=24%；故答案为：50；16；24；（3）根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生数为×450=54人．【点评】本题考查统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识，从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．（分）（2018•大连）甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，求甲平均每分钟打字的个数．【分析】设甲平均每分钟打x个字，则乙平均每分钟打（x+20）个字，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设甲平均每分钟打x个字，则乙平均每分钟打（x+20）个字，根据题意得：=，解得：x=60，经检验，x=60是原分式方程的解．答：甲平均每分钟打60个字．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．（分）（2018•大连）【观察】1×49=49，2×48=96，3×47=141，...，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621， (47)3=141，28×2=96，49×1=49．【发现】根据你的阅读回答问题：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625 ；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50 ．【类比】观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．猜想mn的最大值为900 ，并用你学过的知识加以证明．【分析】【发现】（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625；（2）观察题目给出的等式即可发现a与b的数量关系是a+b=50；【类比】由于m+n=60，将n=60﹣m代入mn，得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，利用二次函数的性质即可得出m=30时，mn的最大值为900．【解答】解：【发现】（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．故答案为625；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50．故答案为a+b=50；【类比】由题意，可得m+n=60，将n=60﹣m代入mn，得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，∴m=30时，mn的最大值为900．故答案为900．【点评】本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．23．（分）（2018•大连）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E 在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）先判断出AC⊥BD，进而求出BC=AB=8，进而判断出△BCD∽△DCE，求出CD，再用勾股定理求出BD，最后判断出△CFD∽△BCD，即可得出结论．【解答】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°，∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC，∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC，∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD，∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4，在Rt△BCD中，BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF=，∴AC=2AF=．【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出BC=8是解本题的关键．五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）24．（分）（2018•大连）如图1，直线AB与x轴、y轴分别相交于点A、B，将线段AB绕点A顺时针旋转90°，得到AC，连接BC，将△ABC沿射线BA平移，当点C到达x轴时运动停止．设平移距离为m，平移后的图形在x轴下方部分的面积为S，S关于m的函数图象如图2所示（其中0＜m≤a，a＜m ≤b时，函数的解析式不同）．（1）填空：△ABC的面积为；（2）求直线AB的解析式；（3）求S关于m的解析式，并写出m的取值范围．【分析】（1）由图2结合平移即可得出结论；（2）判断出△AOB≌△CEA，得出AE=OB，CE=OA，再由图2知，点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍，即可利用三角形ABC的面积求出OB，OA，即可得出结论；（3）分两种情况，利用三角形的面积公式或三角形的面积差即可得出结论．【解答】解：（1）结合△ABC的移动和图2知，点B移动到点A处，就是图2中，m=a时，S=S △A'B'D=，点C移动到x轴上时，即：m=b时，S=S△A'B'C '=S△ABC=，故答案为，（2）如图2，过点C作CE⊥x轴于E，∴∠AEC=∠BOA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠OAB+∠CAE=90°，∵∠OAB+∠OBA=90°，∴∠OBA=∠CAE，由旋转知，AB=AC，∴△AOB≌△CEA，∴AE=OB，CE=OA，由图2知，点C的纵坐标是点B纵坐标的2倍，∴OA=2OB，∴AB2=5OB2，由（1）知，S==AB2=×5OB2，△ABC∴OB=1，∴OA=2，∴A（2，0），B（0，1），∴直线AB的解析式为y=﹣x+1；（3）由（2）知，AB2=5，∴AB=，①当0≤m≤时，如图3，∵∠AOB=∠AA'F，∠OAB=∠A'AF，∴△AOB∽△AA'F，∴，由运动知，AA'=m，∴，∴A'F=m，∴S=AA'×A'F=m2，②当＜m≤2时，如图4同①的方法得，A'F=m，∴C'F=﹣m，过点C作CE⊥x轴于E，过点B作BM⊥CE于E，∴BM=3，CM=1，易知，△ACE∽△FC'H，∴，∴∴C'H=，在Rt△FHC'中，FH=C'H=由平移知，∠C'GF=∠CBM，∵∠BMC=∠GHC'，∴△BMC∽△GHC'，∴，∴∴GH=，∴GF=GH﹣FH=∴S=S△A'B'C '﹣S△C'FG=﹣××=﹣（2﹣m）2，即：S=．【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，平移的性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解本题的关键．25．（分）（2018•大连）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求证：AC=AD．小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明AC=AD．用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以证明；②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并证明你的猜想．【分析】（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．想办法证明△AEC≌△AED即可；方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．想办法证明∠ACD=∠ADC即可；（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．理由三角形内角和定理证明即可；②结论：BD=k•DE．如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC．首先证明△DFE∽△BAK，推出==，推出BK=k•DE，再证明△BCD≌△BCK，可得BD=BK；【解答】解：（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，∴∠CAE=∠CDB，∵∠CDB+∠ACD=90°，∴∠CAE+∠ACD=90°，∴∠AEC=90°，∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，∴△AEC≌△AED，∴AC=AD．方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，∴∠A=∠BCF，∵∠BCF+∠ACF=90°，∴∠A+∠ACF=90°，∴∠AFC=90°，∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，∴∠ACF=∠B，∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，∴AC=AD．（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．理由：在△DEF中，∵∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°，在△DFG中，∵∠GFD+∠G+∠FDG=180°，∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，∴∠DEF=∠FDG．②结论：BD=k•DE．理由：如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC．∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，∴∠EDF=∠ABK，∵∠DFE=∠A，∴△DFE∽△BAK，∴==，∴BK=k•DE，∴∠AKB=∠DEF=∠FDG，∵BC=BC，∠CBD=∠CBK，∴△BCD≌△BCK，∴BD=BK，∴BD=k•DE【点评】本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．26．（分）（2018•大连）如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m ﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解；（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，由AB∥x轴且AB=4，可得出点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5），设BD=t，则点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值，再利用三角形的面积公式即可得出S△ABC 的值；（3）由（2）的结论结合S=2可求出a值，分三种情况考虑：①当m＞2m△ABC﹣2，即m＜2时，x=2m﹣2时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，x=m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，x=2m﹣5时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值．综上即可得出结论．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．∵AB∥x轴，且AB=4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．∵∠ABC=135°，∴设BD=t，则CD=t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t=0，解得：t1=0（舍去），t2=﹣，∴S△ABC=AB•CD=﹣．（3）∵△ABC的面积为2，∴﹣=2，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣14m+39=0，解得：m1=7﹣（舍去），m2=7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，解得：m=；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣20m+60=0，解得：m3=10﹣2（舍去），m4=10+2．综上所述：m的值为或10+2．【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）利用等腰直角三角形的性质找出点C的坐标；（3）分m＜2、2≤m≤5及m＞5三种情况考虑．2019年辽宁省大连市中考数学真题（附答案）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共9小题，共分）1.-2的绝对值是（）A. 2B. 12C. −12D. −22.如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）3.A. B. C. D.4. 2019年6月5日，长征十一号运载火箭成功完成了”一箭七星”海上发射技术试验，该火箭重58000kg ，将数58000用科学记数法表示为（ ） A. 58×103 B. 5.8×103 C. 0.58×105 D. 5.8x1045. 在平面直角坐标系中，将点P （3，1）向下平移2个单位长度，得到的点P ′的坐标为（ ） A. (3,−1) B. (3,3) C. (1,1) D. (5,1) 6. 不等式5x +1≥3x -1的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C.D.7. 下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 菱形D. 平行四边形 8. 计算（-2a ）3的结果是（ ）A. −8x 3B. −6x 3C. 6x 3D. 8x 3 9. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）A. 23B. 12C. 13D. 1410. 如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，若AB =4，BC =8．则D ′F 的长为（ ）A. 2√5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共7小题，共分）11. 如图，抛物线y =-14x 2+12x +2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点D 在抛物线上，且CD ∥AB ．AD 与y 轴相交于点E ，过点E 的直线PQ 平行于x 轴，与拋物线相交于P ，Q 两点，则线段PQ 的长为______．。
2018～2019学年度辽宁省沈阳市郊联体高一第1学期期末数学试题试题解析
2018～2019学年度辽宁省沈阳市郊联体高一第一学期期末数学试题一、单选题1.已知集合A ＝{﹣2,﹣1,0,1},{|B x y ==,则A ∩B ＝( )A.{﹣2,﹣1,0,1}B.{﹣2,﹣1,0}C.{0,1}D.{﹣1,0,1}【参考答案】：D【试题解答】：求函数的定义域求得集合B ,由此求得两个集合的交集.由10x +≥得[)1,B =-+∞,所以{}1,0,1A B =-I . 故选：D本小题主要考查集合交集的概念和运算,考查函数定义域的求法,属于基础题. 2.命题“∀x ∈R ,x 2＋2x ﹣1＜0”的否定是( ) A.∀x ∈R ,x 2＋2x ﹣1≥0 B.∃x ∈R ,x 2＋2x ﹣1＜0 C.∃x ∈R ,x 2＋2x ﹣1≥0 D.∃x ∈R ,x 2＋2x ﹣1＞0【参考答案】：C【试题解答】：根据全称命题的否定是特称命题的知识,选出正确选项.原命题是全称命题,其否定是特称命题,注意到要否定结论,故C 选项正确. 故选：C本小题主要考查全称命题与特称命题,考查全称命题的否定,属于基础题.3.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤,日取其半,万世不竭”.用现代语言叙述为：一尺长的木棒,每天取其一半,永远也取不完.这样,每天剩下的部分都是前一天的一半,如果把“一尺之锤”看成单位“1”,那么x 天后剩下的部分y 与x 的函数关系式为( )A.()12y x x *=∈NB.()12y xx *=∈N C.()2xy x *=∈ND.()12xy x *=∈N【参考答案】：D【试题解答】：由题意可得剩下的部分所构成的数列为111248L ，，，,从而得到表达式.由题意可得：剩下的部分所构成的数列为111248L ，，，, ∴x 天后剩下的部分y 与x 的函数关系式为()*12x y x N =∈故选D本题以古代文化为背景,考查了函数的解析式,属于基础题.4.若函数()1,4()21,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩,则()2log 3f 等于( ) A.16B.112C.124D.13【参考答案】：C【试题解答】：推导出f(log 23)＝f(log 23＋1)＝f(log 23＋2)＝f(log 23＋3＝2log 3312+⎛⎫ ⎪⎝⎭,由此能求出结果.∵函数()()1,421,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩,∴f(log 23)＝f(log 23＋1)＝f(log 23＋2)＝f(log 23＋3)＝2log 3312+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝111=.3824⨯故选：C.本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.(1)此类求值问题,一般要求的式子较多,不便逐个求解.求解时,注意观察所要求的式子,发掘它们之间的规律,进而去化简,从而得到问题的解决方法;(2)已知函数解析式求函数值,可分别将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时,将代数式作为一个整体代入求解;(3)已知函数解析式,求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值),只需将函数值代入解析式,建立关于自变量(或参数)的方程即可求解,注意函数定义域对自变量取值的限制.5.已知a b R ∈，,且a b >,则下列不等式中恒成立的是( ) A.22a b > B.()lg a b 0->C.a b 22--<D.a1b> 【参考答案】：C【试题解答】：主要利用排除法求出结果.对于选项A ：当0a b >>时,不成立；对于选项B ：当10a b >>>时,()lg 0a b -<,所以不成立； 对于选项D ：当0a b >>时,不成立； 故选：C.本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用,排除法的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.6.已知一次函数21y x =+的图象过点(),P a b (其中0,0a b >>),则2b a的最小值是( ) A.1B.8C.9D.16【参考答案】：B【试题解答】：将(),P a b 代入21y x =+得到,a b 的关系,代入2b a消元,转化成函数最值问题。
辽宁省辽阳市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(含精品解析)
3. 已知函数������(������) = ������ ‒ ������ + 2 + 1，若������( ‒ 1) = 9，则������ = ( )
A. 2
B. ‒ 2
C. 8
【答案】A
D. ‒ 8
【解析】解： ∵ 函数������(������) = ������ ‒ ������ + 2 + 1，������( ‒ 1) = 9， ∴ ������( ‒ 1) = ������3 + 1 = 9， 解得������ = 2． 故选：A． 推导出������( ‒ 1) = ������3 + 1 = 9，由此能求出 a 的值． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
=
2 1
× ‒
22 22
=‒
当������
=‒
2时，������(
‒
2)
=
‒2×2‒2 1 ‒ ( ‒ 2)2
=
1 6
>
0 ，故排除
D，
故选：A．
利用排除法，分别令������ = 2或������ =‒ 2，即可判断答案
本题考查了函数图象的识别，考查了函数值，属基础题．
12. 已知函数������(������) = ������������������������(12������2 ‒ ������������)(������ > 0且������ ≠ 1)在[1,2]上为减函数，则 a 的取值范围为( )
函数������(������) = ������������������2(������ + 1) + 3������ + ������的零点在区间(0,1]上，
2018-2019学年辽宁省凌源市三校联考高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2018-2019学年辽宁省凌源市三校联考高一上学期期末考试数学试题一、单选题 1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先计算A 的补集,然后结合交集运算性质,即可得出答案. 【详解】，.【点睛】本道题考查了集合的混合运算,属于基础题,掌握好补集和交集运算性质,即可. 2．“0x >”是“20x x +>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】20x x +> 01x x ⇒><-或,所以“0x >”是“20x x +>”的充分不必要条件,选A. 3．若函数满足，则（ ）A ．0B ．1C ．4D ．9 【答案】C 【解析】由，令即可得结果.【详解】 因为函数满足， 所以时，， 可得，故选C.【点睛】本题主要考查函数值的求法，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 4．若一个圆锥的表面积为，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（ ）A．1 B．C．D．2【答案】C【解析】结合表面积,侧面为半圆,建立等式,即可.【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则，，所以，，.【点睛】本道题考查了立体几何表面积计算公式,结合题意,建立方程,计算结果,即可,属于基础题. 5．函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】偶次根式被开方式大于等于0,分母不为0,建立不等式,即可.【详解】，，，∴【点睛】本道题考查了函数定义域计算方法,结合对数性质和被开偶次根号数满足的条件,建立等式,计算结果,即可.6．设，表示两个不同平面，表示一条直线，下列命题正确的是（）A．若，，则.B．若，，则.C．若，，则.D．若，，则.【答案】C【解析】由或判断；由，或相交判断；根据线面平行与面面平行的定义判断；由或相交，判断.【详解】若，，则或，不正确；若，，则，或相交，不正确；若，，可得没有公共点，即，正确；若，，则或相交，不正确,故选C.【点睛】本题主要考查空间平行关系的性质与判断，属于基础题. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7．若幂函数的图像过点，则函数的零点为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】结合题意,代入点坐标,计算的解析式,计算零点,即可得出答案.【详解】，，，.【点睛】本道题考查了函数解析式的计算方法和函数零点计算问题,代入点坐标,计算解析式,计算零点,属于较容易题.8．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】求出函数的增区间是，利用列不等式可得结果.【详解】因为函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为，所以函数的增区间是，又因为函数在上是增函数，所以，可得，解得，实数的取值范围是，故选A.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法①求解的．9．若棱长为的正方体的8个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据正方体与球的对称性可得，球的直径等于正方体的对角线长，由此求出球的半径，利用球的表面积公式可得结果.【详解】因为棱长为的正方体的8个顶点都在球的球面上，所以球的直径等于正方体的对角线长，即，所以球的表面积为，故选B.【点睛】本题主要考查正方体与球的性质以及球的表面积公式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，考查了空间想象能力，属于简单题.10．若，，，则的最小值为（）A．2 B．C．4 D．【答案】C【解析】由可得，展开后利用基本不等式求解即可.【详解】因为，，，所以,当时等号成立，所以的最小值为4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11．已知，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用对数的性质，比较a,b的大小，将b,c与1进行比较，即可得出答案。
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在下列选项中，能正确表示集合A={-2，0，2}和B={x|x2+2x=0}关系的是（）A. B. C. D.2.若b＜a＜0，则下列结论不正确的是（）A. B. C. D.3.设函数f（x）=，则f（log39）=（）A. 1B. 3C. 6D. 94.若x＞2，则的最小值是（）A. 0B. 1C. 2D. 45.函数f（x）=2x+log2x-3的零点所在区间（）A. B. C. D.6.条件p：关于x的不等式（a-4）x2+2（a-4）x-4＜0（a∈R）的解集为R；条件q：0＜a＜4，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.函数f（x）=2a x+2-1（a＞0且a≠1）图象恒过的定点是（）A. B. C. D.8.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A. ，，则B. ，，则C. ，，则D. ，，，则9.已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-x，则函数f（x）在R上的解析式是（）A. B.C. D.10.在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后，剩余部分几何体如右图所示，已知实心圆柱底面直径为2，高为3，内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形，则剩余部分几何体的表面积为（）A.B.C.D.11.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.12.对任意实数a，b定义运算“⊗”：⊗设f（x）=（x2-1）⊗（4-x），若函数y=f（x）+k恰有三个零点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.=______．14.已知函数f（x）=（2m-1）x m+1为幂函数，则f（4）=______．15.已知是定义在（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是______．16.若正四棱锥P-ABCD的底面边长及高均为a，则此四棱锥内切球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集U是实数集R，集合A={x|x2+3x-4＜0}，集合．（Ⅰ）求集合A，集合B；（Ⅱ）求A∩B，A∪B，（∁U A）∩B．18.已知定义域为R的函数是奇函数，且a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设函数，若将函数g（x）的图象作关于y轴的对称图形后得到函数k（x）的图象，再将函数k（x）的图象向右平移一个单位得到函数h（x）的图象，求函数h（x）的解析式．19.在2018年珠海国际航展中展示的由中国自主研制的新一代隐形战斗机歼-20以其优秀的机动能力，强大的作战性能引起举世惊叹．假设一台歼-20战斗机的制造费用为1250百万元．已知飞机的维修费用第一年为1百万元，之后每年比上一年增加1百万元，若用x表示飞机使用年限（取整数），则在x年中（含第x年）飞机维修费用总和为百万元，记飞机在x年中维修和制造费用的年平均费用为y百万元，即y=（飞机制造费用+飞机维修费用）÷飞机使用年限．（Ⅰ）求y关于x的函数关系式；（Ⅱ）求飞机的使用年限为多少时，年平均费用最低？最低的年平均费用为多少？20.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，∠ABC=∠PCD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，设E、F分别为PD、AD的中点．（Ⅰ）求证：CD AC；（Ⅱ）求证：PB∥平面CEF；21.已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b是实数），x∈R，若f（-1）=4，且方程f（x）+4x=0有两个相等的实根．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在区间，＞上的最小值．22.已知函数f（x），对任意a，b∈R恒有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，有f（x）＞1．（Ⅰ）求f（0）；（Ⅱ）求证：f（x）在R上为增函数；（Ⅲ）若关于x的不等式＜对于任意∈，恒成立，求实数t的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：解方程x2+2x=0，得：x=0或x=-2，B={-2，0}，又A={-2，0，2}，所以B A，故选：B．解一元二次方程x2+2x=0，得：x=0或x=-2，可得B={-2，0}，所以B⊊A，可得解本题考查了集合的包含关系判断及应用，属简单题2.【答案】D【解析】解：A：∵b＜a＜0，∴a2-b2=（a-b）（a+b）＜0，故A正确，B：∵b＜a＜0，∴ab-b2=b（a-b）＜0，故B正确，C：∵b＜a＜0，两边同除以ab，可得＜，故C正确，D：a|+|b|=|a+b|，故D错误，故选：D．利用作差法证明A、B正确，根据不等式证明C正确，D错误本题考查了不等式的性质应用，以及作差法比较大小关系是属于基础题3.【答案】A【解析】解：．故选：A．可求出log39=2，而将x=2带入f（x）=3x-2即可求出f（2）的值，即得出f（log39）的值．考查对数的运算，已知函数求值的方法．4.【答案】D【解析】解：∵x＞2，∴x-2＞0，则=x-2++2=4，当且仅当x-2=即x=3时，取得最小值4，故选：D．由题意可知=x-2++2，利用基本不等式即可求解最值．本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．5.【答案】B【解析】解：∵f（1）=2+log21-3=-1＜0，f（2）=22+log22-3=5-3=2＞0，根据零点存在性定理，f（x）的零点所在区间为（1，2）故选：B．通过计算x=1，x=2，的函数，并判断符号，由零点存在性定理可知选B本题考查了函数零点的判定定理，属基础题6.【答案】B【解析】解：条件p：关于x的不等式（a-4）x2+2（a-4）x-4＜0（a∈R）的解集为R，当a=4时，-4＜0恒成立，当a≠4时，则，解得0＜a＜4，综上所述p中a的取值范围为0≤a＜4，所以则p是q的必要不充分条件，故选：B．先由二次函数的性质求出条件p中a的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断．本题考查了函数恒成立的问题，以及充分必要条件，属于中档题7.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2a x+2-1（a＞0且a≠1），令x+2=0，解得x=-2，∴y=f（-2）=2×a0-1=2-1=1，∴f（x）的图象过定点（-2，1）．故选：B．根据指数函数的图象恒过定点（0，1），求得f（x）的图象所过的定点．本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：A，m，n也可能相交或异面；B，m，n也可能异面；C，同垂直与一个平面的两直线平行，正确；D，m，n也可能异面．故选：C．根据同垂直与一个平面的两直线平行，显然C正确．此题考查了线线，线面，面面之间的关系，属容易题．9.【答案】C【解析】解：设x＜0，则-x＞0，∵x≥0时，f（x）=x2-x，∴f（-x）=（-x）2+x=x2+x，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），∴f（x）=x2+x，∴f（x）=|x|2+|x|=|x|（|x|+1），故选：C．先设x＜0，则-x＞0，然后根据x≥0时函数的解析式及f（x）为偶函数f（-x）=f（x）即可求解．本题主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式，属于基础试题．10.【答案】C【解析】解：剩余几何体的底面积为：2（π-）=2π-2，剩余几何体的侧面积为：（2+2）×3+2π×3=6+6+6π，∴剩余几何体的表面积为：8，故选：C．底面积由圆面积减三角形面积可得，侧面积由三角形周长和圆周长同乘以高可得，故容易得解．此题考查了柱体表面积，难度不大．11.【答案】D【解析】解：∵=20.6＞20=1，＜log31=0，0＜＜lne=1，∴a＞c＞b．故选：D．利用指数函数、对数函数的单调性求解．本题考查对数的大小比较，考查了指数函数与对数函数的性质，是基础题．12.【答案】D【解析】解：当（x2-1）-（x+4）＜1时，f（x）=x2-1，（-2＜x＜3），当（x2-1）-（x+4）≥1时，f（x）=x+4，（x≥3或x≤-2），函数y=f（x）=的图象如图所示：由图象得：-2≤k＜1，函数y=f（x）与y=-k的图象有3个交点，即函数y=f（x）+k的图象与x轴恰有三个公共点；故选：D．化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=-k的图象有3个交点，结合图象求得结果．．本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．13.【答案】19【解析】解：原式=（33）-3×log22-3+lg5•=3-3×（-3）+1=9+9+1=19故答案为：19利用有理指数幂及对数的性质运算可得．本题考查了对数的运算性质，属基础题．14.【答案】16【解析】解：函数f（x）=（2m-1）x m+1为幂函数，∴2m-1=1，解得m=1，∴f（x）=x2，∴f（4）=42=16，故答案为：16．根据幂函数的定义求出m的值，写出f（x）的解析式，计算f（4）的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．15.【答案】[，）【解析】解：∵f（x）是定义在R上的减函数；∴；解得；∴实数a的取值范围是．故答案为：．分段函数f（x）是R上的减函数，从而得出每段函数都是减函数，并且左段函数的右端点大于右段函数的左端点，即得出，解出a的范围即可．考查减函数的定义，分段函数、一次函数和对数函数的单调性．16.【答案】【解析】解：如图，M，N为AD，BC的中点，E，F为切点，则OE=OF=r，EN=NF=，PE=a，PN=，∴OP=a-r，PF==，在△OFP中，，得，∴内切球表面积为4πr2=4π×=，故答案为：．作出图形，利用内切圆半径，边长，高为已知条件建立关于r的方程，得解．此题考查了棱锥内切球问题，难度不大．17.【答案】（本题满分10分）解：（Ⅰ）由全集U是实数集R，集合A={x|x2+3x-4＜0}={x|-4＜x＜1}，-------------（2分）集合={x|-1＜x≤2}．--------------（4分）（Ⅱ）A∩B={x|-1＜x＜1}，--------------（6分）A∪B={x|-4＜x≤2}，--------------（8分）∁U A={x|x≤-4或x≥1}，（∁U A）∩B={x|1≤x≤2}．--------------（10分）【解析】（Ⅰ）解不等式能求出集合A和集合B．（Ⅱ）利用交集、并集、补集定义能求出A∩B，A∪B和（∁U A）∩B．本题考查集合、交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）∵定义域为R的函数是奇函数，∴ ，即，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知．∵，∴g（x）=3x+1．∵函数g（x）的图象作关于y轴的对称图形，得到k（x）的图象，∴k（x）=3-x+1．∵将k（x）的图象向右平移一个单位得到h（x）的图象，∴h（x）=3-（x-1）+1．【解析】（Ⅰ）利用f（0）=0，f（-1）=-f（1）列方程组解得；（Ⅱ）先由（1）求f（x）代入得g（x）=3x+1，然后关于y轴对称，把x换成-x即可得k（x）=3-x+1，最后按照左加右减平移可得．本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得∈-------------（6分）（不写x范围或写错扣2分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，--------（9分）当且仅当，即x=50时，等号成立．---------（11分）答：使用年限为50年时，年平均费用最低，最低的年平均费用为50.5百万元．---------（12分）【解析】（Ⅰ）由y=（飞机制造费用+飞机维修费用）÷飞机使用年限．可得y关于x的函数关系式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，即可．本题主要考查函数模型的建立与应用，还涉及了基本不等式求函数最值问题，属于中档题．20.【答案】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵PA平面ABCD，∴PA CD．∵∠PCD=90°，∴PC CD．…………………（2分）∵PA∩PC=P，∴CD平面PAC，∵AC平面PAC，∴CD AC．…………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ACD=90°．在直角三角形ACD中，∠CAD=60°，CF=AF，∴∠ACF=60°，∴CF∥AB．…………………（6分）∵CF⊄平面PAB，AB平面PAB，∴CF∥平面PAB．…………………（8分）∵E、F分别是PD、AD中点，∴EF∥PA，又∵EF⊄平面PAB，PA平面PAB，∴EF∥平面PAB．∵CF∩EF=F，∴平面CEF∥平面PAB．…………………（10分）∵PB平面PAB，∴PB∥平面CEF．…………………（12分）【解析】（Ⅰ）推导出PA CD，PC CD，从而CD平面PAC，由此能证明CD AC．（Ⅱ）推导出CF∥AB，CF∥平面PAB，EF∥PA，EF∥平面PAB，从而平面CEF∥平面PAB，由此能证明PB∥平面CEF．本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，二次函数f（x）=ax2+bx+1，若f（-1）=4，则a-b+1=4，即b=a-3，又由方程f（x）+4x=0有两个相等的实根，即方程ax2+（a+1）x+1=0有两个相等的实根，则有△=（a+1）2-4a=0，解可得：a=1，b=-2，则f（x）=x2-2x+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，f（x）=x2-2x+1，则f（x）对称轴为x=1，当＜时，f（x）在，单调递减，∴f（x）最小值为f（t）=t2-2t+1；当t＞1时，f（x）在，单调递减，在（1，t]上单调递增，∴f（x）最小值为f（1）=0．【解析】（Ⅰ）根据题意，由f（-1）=4可得a-b+1=4，即b=a-3，又由方程f（x）+4x=0有两个相等的实根，即方程ax2+（a+1）x+1=0有两个相等的实根，分析可得△=（a+1）2-4a=0，解可得a、b的值，代入函数的解析式中即可得答案；（Ⅱ）由二次函数的解析式求出f（x）的对称轴，分情况讨论t的范围，结合二次函数的性质分析函数的最小值，综合即可得答案．本题考查二次函数的性质以及最值，关键是求出a、b的值，确定函数的解析式．22.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，在f（a+b）=f（a）+f（b）-1中，令a=b=0，则f（0）=2f（0）-1，则有f（0）=1；（Ⅱ）证明：任取x1，x2∈R，且设x1＜x2，则x2-x1＞0，f（x2-x1）＞1，又由f（a+b）=f（a）+f（b）-1，则f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-1＞1+f（x1）-1=f（x1），则有f（x2）＞f（x1），故f（x）在R上为增函数．（Ⅲ）根据题意，＜，即＜，则＜，又由f（0）=1，则＜，又由f（x）在R上为增函数，则＜，令m=log2x，∵∈，，则-3≤m≤-1，则原问题转化为2m2-2m+4t-4＜0在m∈[-3，-1]上恒成立，即4t＜-2m2+2m+4对任意m∈[-3，-1]恒成立，令y=-2m2+2m+4，只需4t＜y最小值，而，m∈[-3，-1]，当m=-3时，y最小值=-20，则4t＜-20．故t的取值范围是t＜-5．【解析】（Ⅰ）根据题意，由特殊值法分析：令a=b=0，则f（0）=2f（0）-1，变形可得f（0）的值，（Ⅱ）任取x1，x2∈R，且设x1＜x2，则x2-x1＞0，结合f（a+b）=f（a）+f（b）-1，分析可得f（x2）＞f（x1），结合函数的单调性分析可得答案；（Ⅲ）根据题意，原不等式可以变形为，结合函数的单调性可得，令m=log2x，则原问题转化为2m2-2m+4t-4＜0在m∈[-3，-1]上恒成立，即4t＜-2m2+2m+4对任意m∈[-3，-1]恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，注意特殊值法求出f（0）的值．。
2018-2019学年辽宁省高一(上)第一次联考数学试题(解析版)
可得 的值域． 【详解】
由 可得
，即 ，可得
， ，
，
对称轴为
，
即有 取得最小值 1，
，
，
则 的值域为 ．
【点睛】
本题考查对数函数的定义域和二次函数的值域求法，考查化简运算能力，属于基础题．
18．某大学要修建一个面积为
的长方形景观水池，并且在景观水池四周要修建出
宽为 2m 和 3m 的小路 如图所示 问如何设计景观水池的边长，能使总占地面积最小？ 并求出总占地面积的最小值．
在 上的最大值为 3，求实数 a 的值．
【答案】（1）
；（2）
【解析】 直接利用幂函数的定义建立方程组，求函数幂函数的关系式． 利用 的函数的关系式，进一步利用二次函数的对称轴和区间的关系，利用分类讨
论思想的应用求出 a 的值． 【详解】
幂函数
在
上单调递增
故： 解得： 故：
由于 所以：函数
函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为 由于在 上的最大值为 3，
3．命题 p：
，
的否定是
A． ：
，
B． ：
，
C． ：
，
D． ：
，
【答案】D
【解析】根据含有量词的命题的否定进行判断即可．
【详解】
根据全称命题的否定是特称命题
命题 p：
，
的否定是
“
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
4．设函数
，若
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A 【解析】直接利用幂函数的性质的应用求出结果．
A．
B．
C．
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。
精品解析：【市级联考】辽宁省沈阳市2018-2019学年高一期末数学试题(解析版)
4.若 ，则
的最小值是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】 D 【解析】 【分析】
由题意，化简可得
，利用基本不等式，即可求解最值，得到答案．
【详解】由题意，因为
，所以
，
则
，
当且仅当
即 时，取得最小值 4，
故选： D． 【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，其中解答中化简构造基本不等式的使用条件， 合理应用基本不等式求解是解答本题的关键，属于基础试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
【点睛】本题考查了集合的包含关系判断及应用，其中解答中正确求解集合
，即可作差判定，得到答案。 B 是解答本题的关键，着重考
查了推理与运算能力，属于简单题。
2.若
，则下列结论不正确的是
A.
B.
C.
D.
【答案】 D
【解析】
【分析】
利用作差法证明 A、B 正确，根据不等式证明 C正确， D 错误
【详解】由题意，对于 A 中，因为
，
对于 B 中国，因为
，
，故 B 正确，
，故 A 正确，
对于 C 中，因为
，两边同除以 ab，可得
，故 C 正确，
对于 D 中，因为
，故 D错误，
故选： D．
【点睛】本题考查了不等式的性质应用，以及作差法比较大小关系，其中解答中熟记不等关系与不等式，
熟练应用作出比较法进行比较是解答的关键，属于基础题，着重考查推理与运算能力。
定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。
6.条件 p：关于 x 的不等式
的解集为 R；条件 q：
，则 p 是 q 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
2019-2020学年辽宁省沈阳市重点高中协作校高一上学期期中数学试题(解析版)
故选：D.
【点睛】
本题考查运用奇函数的图像的对称性与函数的单调性的关系，求解抽象不等式，关键在于由奇函数的性质和图像特征得出函数值在相应区间的符号，属于中档题.
11．设 在 上有定义，要使函数 有定义，则a的取值范围为
A． ；B． C． ；D．
【答案】B
【解析】由条件得：
【详解】
因为 ，所以 函数的函数值的求解，注意将自变量代入相应的解析式中计算，属于基础题.
7．若函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据已知得函数 的对称轴 ，解之可得选项.
【详解】
由已知得函数 的对称轴 ，解得 ，
当 时，要使关于 的方程 的两根分别在区间 和 内，则需满足 ，即 解得 无解，
综上可知：实数 的取值范围是 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查一元二次方程的根和二次函数之间的关系，在满足一元二次方程的根的区间时，常需考虑对应的二次函数的判别式的符号，函数图像的开口方向，对称轴，特殊函数值的符号等方面，属于中档题.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先判断 , 的符号,再根据函数零点的判定定理,可求得结论.
【详解】
因为函数 的定义域是 ，所以 无意义，
而 ， ， ， ,
所以根据零点存在定理得函数 的零点所在的区间为 ，
故选：C.
【点睛】
本题考查函数的零点存在定理,注意需判断区间端点的函数值的符号，属于基础题.
对于④项，举反例，取 ，满足 且 ，但此时 ，可判断④项；
对于⑤项，举反例，当 ， 时，满足 ，此时 ，可判断⑤项；
2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年辽宁省沈阳市郊联体高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1}，{|B x y ==，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣2，﹣1，0，1}B ．{﹣2，﹣1，0}C ．{0，1}D ．{﹣1，0，1}【答案】D【解析】求函数的定义域求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由10x +≥得[)1,B =-+∞，所以{}1,0,1A B =-.故选：D 【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查函数定义域的求法，属于基础题. 2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x ﹣1＜0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x ﹣1≥0 B ．∃x ∈R ，x 2+2x ﹣1＜0 C ．∃x ∈R ，x 2+2x ﹣1≥0 D ．∃x ∈R ，x 2+2x ﹣1＞0【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识，选出正确选项. 【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故C 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.3．我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x 天后剩下的部分y 与x 的函数关系式为（ ）A ．()12y x x *=∈NB ．()12y xx *=∈N C ．()2xy x *=∈ND ．()12xy x *=∈N【答案】D【解析】由题意可得剩下的部分所构成的数列为111248，，，，从而得到表达式. 【详解】由题意可得：剩下的部分所构成的数列为111248，，，，∴x 天后剩下的部分y 与x 的函数关系式为()*12x y x N =∈故选D 【点睛】本题以古代文化为背景，考查了函数的解析式，属于基础题.4．若函数()1,4()21,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则()2log 3f 等于( ) A ．16B ．112C ．124D ．13【答案】C【解析】推导出f （log 23）=f （log 23+1）=f （log 23+2）=f （log 23+3=2log 3312+⎛⎫ ⎪⎝⎭,由此能求出结果． 【详解】∵函数()()1,421,4xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩,∴f （log 23）=f （log 23+1）=f （log 23+2）=f （log 23+3）=2log 3312+⎛⎫ ⎪⎝⎭=111=.3824⨯故选：C ． 【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．（1）此类求值问题，一般要求的式子较多，不便逐个求解.求解时，注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律,进而去化简，从而得到问题的解决方法;（2）已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解;（3）已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值)，只需将函数值代入解析式，建立关于自变量(或参数)的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制．5．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．22a b > B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 【答案】C【解析】主要利用排除法求出结果． 【详解】 对于选项A ：当0a b >>时，不成立；对于选项B ：当10a b >>>时，()lg 0a b -<，所以不成立； 对于选项D ：当0a b >>时，不成立； 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6．已知一次函数21y x =+的图象过点(),P a b （其中0,0a b >>），则2b a的最小值是（ ） A ．1 B ．8C ．9D ．16【答案】B【解析】将(),P a b 代入21y x =+得到,a b 的关系，代入2b a消元，转化成函数最值问题。
(完整word版)辽宁省沈阳市2018-2019学年度高一上学期期末数学试卷Word版含解析
辽宁省沈阳市2018－2019学年度上学期期末高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）A）∩B=（）1．已知全集N=Z，集合A={﹣1，1，2，3，4}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则（∁UA．{3，4} B．{﹣2，3} C．{﹣2，4} D．{﹣2，0}2．已知=（1，1），=（x，﹣3），若⊥，则x=（）A．3 B．1 C．﹣3或2 D．﹣4或13．函数f（x）=+lg（1﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1）D．（﹣∞，1）4．下列函数，是偶函数，且周期为π的是（）A．y=cos2x﹣sin2x B．y=sin2x+cos2xC．y=cos2x﹣sin2x D．y=sin2x+cosx5．设函数f（x）=，则f（f（﹣3））等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．6．在△ABC中，D是AC中点，延长AB至E，BE=AB，连接DE交BC于点F，则=（）A．+B．+C．+D．+7．已知向量=（sinθ，1），=（0，cosθ），θ∈[﹣，]，则|+|的取值范围是（）A．[0，] B．[0，2] C．[1，2] D．[，2]8．已知a=8.10.51，b=8.10.5，c=log0.3，则（）3A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的值域为[﹣，]C．函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称D．函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=Asinωx的图象10．已知函数f（x），其中a＞0，且a≠1，若f（x）在R上单调，则a的取值范围是（）A．（0，] B．[，1）C．（0，] D．[，1）11．已知向量=（2sinx， sinx），=（sinx，2cosx），函数f（x）=2•，若不等式f（x）≤m在[0，]上有解，则实数m的最小值为（）A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣212．设函数f（x）=﹣|x|，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣2，0] B．（0，2] C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上。
辽宁省沈阳市2018-2019学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在下列选项中，能正确表示集合A ={−2,0，2}和B ={x |x 2+2x =0}关系的是( )A. A =BB. A ⊇BC. A ⊆BD. A ∩B =⌀【答案】B 【解析】解：解方程x 2+2x =0，得：x =0或x =−2，B ={−2,0}，又A ={−2,0，2}，所以B ⊆A ，故选：B ．解一元二次方程x 2+2x =0，得：x =0或x =−2，可得B ={−2,0}，所以B ⊊A ，可得解 本题考查了集合的包含关系判断及应用，属简单题2. 若b <a <0，则下列结论不正确的是( )A. a 2<b 2B. ab <b 2C. 1a <1bD. |a |+|b |>|a +b |【答案】D 【解析】解：A ：∵b <a <0，∴a 2−b 2=(a −b )(a +b )<0，故A 正确，B ：∵b <a <0，∴ab −b 2=b (a −b )<0，故B 正确，C ：∵b <a <0，两边同除以ab ，可得1a <1b，故C 正确， D ：a |+|b |=|a +b |，故D 错误，故选：D ．利用作差法证明A 、B 正确，根据不等式证明C 正确，D 错误本题考查了不等式的性质应用，以及作差法比较大小关系是属于基础题3. 设函数f (x )= 3x−2,x ≥21+log 3(3−x ),x <2，则f (log 39)=( ) A. 1B. 3C. 6D. 9【答案】A【解析】解：f(log39)=f(2)=32−2=1．故选：A．可求出log39=2，而将x=2带入f(x)=3x−2即可求出f(2)的值，即得出f(log39)的值．考查对数的运算，已知函数求值的方法．4. 若x>2，则x+1x−2的最小值是()A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】D【解析】解：∵x>2，∴x−2>0，则x+1x−2=x−2+1x−2+2≥2(x−2)⋅1x−2+2=4，当且仅当x−2=1x−2即x=3时，取得最小值4，故选：D．由题意可知x+1x−2=x−2+1x−2+2，利用基本不等式即可求解最值．本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．5. 函数f(x)=2x+log2x−3的零点所在区间()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】B【解析】解：∵f(1)=2+log21−3=−1<0，f(2)=22+log22−3=5−3=2>0，根据零点存在性定理，f(x)的零点所在区间为(1,2)故选：B．通过计算x=1，x=2，的函数，并判断符号，由零点存在性定理可知选B本题考查了函数零点的判定定理，属基础题6. 条件p：关于x的不等式(a−4)x2+2(a−4)x−4<0(a∈R)的解集为R；条件q：0<a<4，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】解：条件p ：关于x 的不等式(a −4)x 2+2(a −4)x −4<0(a ∈R )的解集为R ， 当a =4时，−4<0恒成立，当a ≠4时，则 △=4(a −4)2+16(a −4)<0a−4<0，解得0<a <4，综上所述p 中a 的取值范围为0≤a <4，所以则p 是q 的必要不充分条件，故选：B ．先由二次函数的性质求出条件p 中a 的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断．本题考查了函数恒成立的问题，以及充分必要条件，属于中档题7. 函数f (x )=2a x +2−1(a >0且a ≠1)图象恒过的定点是( ) A. (−2,−1)B. (−2,1)C. (−1,−1)D. (−1,1)【答案】B 【解析】解：函数f (x )=2a x +2−1(a >0且a ≠1)，令x +2=0，解得x =−2，∴y =f (−2)=2×a 0−1=2−1=1，∴f (x )的图象过定点(−2,1)．故选：B ．根据指数函数的图象恒过定点(0,1)，求得f (x )的图象所过的定点．本题考查了指数函数恒过定点的应用问题，是基础题．8. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A. m //α，n //α，则m //nB. m ⊂α，n //α，则m //nC. m ⊥α，n ⊥α，则m //nD. α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m //n【答案】C【解析】解：A ，m ，n 也可能相交或异面；B ，m ，n 也可能异面；C，同垂直与一个平面的两直线平行，正确；D，m，n也可能异面．故选：C．根据同垂直与一个平面的两直线平行，显然C正确．此题考查了线线，线面，面面之间的关系，属容易题．9. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−x，则函数f(x)在R上的解析式是()A. f(x)=x2+xB. f(x)=x(|x|−1)C. f(x)=|x|(|x|−1)D. f(x)=|x|(x−1)【答案】C【解析】解：设x<0，则−x>0，∵x≥0时，f(x)=x2−x，∴f(−x)=(−x)2+x=x2+x，∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(−x)=f(x)，∴f(x)=x2+x，∴f(x)=|x|2+|x|=|x|(|x|+1)，故选：C．先设x<0，则−x>0，然后根据x≥0时函数的解析式及f(x)为偶函数f(−x)=f(x)即可求解．本题主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式，属于基础试题．10. 在一个实心圆柱中挖去一个内接直三棱柱洞后，剩余部分几何体如右图所示，已知实心圆柱底面直径为2，高为3，内接直三棱柱底面为斜边长是2的等腰直角三角形，则剩余部分几何体的表面积为()A. 8π+6+62B. 6π+6+62C. 8π+4+62D. 6π+4+62【答案】C【解析】解：剩余几何体的底面积为：2(π−12× 2× 2)=2π−2，剩余几何体的侧面积为：(2 2+2)×3+2π×3=6 2+6+6π，∴剩余几何体的表面积为：8π+4+6 2，故选：C ．底面积由圆面积减三角形面积可得，侧面积由三角形周长和圆周长同乘以高可得，故容易得解． 此题考查了柱体表面积，难度不大．11. 设a =( 2)1.2，b =log 335，c =ln 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a >b >cB. c >b >aC. c >a >bD. a >c >b 【答案】D【解析】解：∵a =( 2)1.2=20.6>20=1，b =log 335<log 31=0，0<c =ln 32<ln e =1， ∴a >c >b ．故选：D ． 利用指数函数、对数函数的单调性求解．本题考查对数的大小比较，考查了指数函数与对数函数的性质，是基础题．12. 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b = a ,a −b <1.b ,a−b≥1设f (x )=(x 2−1)⊗(4−x )，若函数y =f (x )+k 恰有三个零点，则实数k 的取值范围是( )A. (−2,1)B. [0,1]C. [−2,0)D. [−2,1)【答案】D 【解析】解：当(x 2−1)−(x +4)<1时，f (x )=x 2−1，(−2<x <3)，当(x 2−1)−(x +4)≥1时，f (x )=x +4，(x ≥3或x ≤−2)，函数y =f (x )= x +4,(x ≤−2,或x ≥3)x 2−1,(−2<x <3)的图象如图所示：由图象得：−2≤k<1，函数y=f(x)与y=−k的图象有3个交点，即函数y=f(x)+k的图象与x轴恰有三个公共点；故选：D．化简函数f(x)的解析式，作出函数y=f(x)的图象，由题意可得，函数y=f(x)与y=−k的图象有3个交点，结合图象求得结果..本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 2723−2log23⋅log218+lg5×log510=______．【答案】19【解析】解：原式=(33)23−3×log22−3+lg5⋅lg10lg5=33×23−3×(−3)+1=9+9+1=19故答案为：19利用有理指数幂及对数的性质运算可得．本题考查了对数的运算性质，属基础题．14. 已知函数f(x)=(2m−1)x m+1为幂函数，则f(4)=______．【答案】16【解析】解：函数f(x)=(2m−1)x m+1为幂函数，∴2m−1=1，解得m=1，∴f(x)=x2，∴f(4)=42=16，故答案为：16．根据幂函数的定义求出m的值，写出f(x)的解析式，计算f(4)的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．15. 已知f(x)=loga x,x≥1(2a−1)x+a,x<1是定义在(−∞,+∞)上的减函数，则实数a的取值范围是______．【答案】[13,1 2 )【解析】解：∵f(x)是定义在R上的减函数；∴2a−1<00<a<12a−1+a≥log a1；解得13≤a<12；∴实数a的取值范围是[13,12 )．故答案为：[13,12 )．分段函数f(x)是R上的减函数，从而得出每段函数都是减函数，并且左段函数的右端点大于右段函数的左端点，即得出2a−1<00<a<12a−1+a≥0，解出a的范围即可．考查减函数的定义，分段函数、一次函数和对数函数的单调性．16. 若正四棱锥P−ABCD的底面边长及高均为a，则此四棱锥内切球的表面积为______．【答案】3−52πa2【解析】解：如图，M，N为AD，BC的中点，E，F为切点，则OE=OF=r，EN=NF=a2，PE=a，PN=52a，∴OP=a−r，PF=52a−12a=5−12a，在△OFP中，(a−r)2=r2+(5−12a)2，得r=5−14a，∴内切球表面积为4πr2=4π×(5−14a)2=3−52πa2，故答案为：3−52πa2．作出图形，利用内切圆半径，边长，高为已知条件建立关于r的方程，得解．此题考查了棱锥内切球问题，难度不大．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设全集U是实数集R，集合A={x|x2+3x−4<0}，集合B={x|x−2x+1≤0}．(Ⅰ)求集合A，集合B；(Ⅱ)求A∩B，A∪B，(∁U A)∩B．【答案】(本题满分10分)解：(Ⅰ)由全集U是实数集R，集合A={x|x2+3x−4<0}={x|−4<x<1}，-------------(2分)集合B ={x |x−2x +1≤0}={x |−1<x ≤2}.--------------(4分)(Ⅱ)A ∩B ={x |−1<x <1}，--------------(6分)A ∪B ={x |−4<x ≤2}，--------------(8分)∁U A ={x |x ≤−4或x ≥1}，(∁U A )∩B ={x |1≤x ≤2}.--------------(10分)【解析】(Ⅰ)解不等式能求出集合A 和集合B ．(Ⅱ)利用交集、并集、补集定义能求出A ∩B ，A ∪B 和(∁U A )∩B ．本题考查集合、交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18. 已知定义域为R 的函数f (x )=−3x −b 3x +1+a 是奇函数，且a ，b ∈R ． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)设函数g (x )=23f (x )+1，若将函数g (x )的图象作关于y 轴的对称图形后得到函数k (x )的图象，再将函数k (x )的图象向右平移一个单位得到函数 (x )的图象，求函数 (x )的解析式．【答案】解：(Ⅰ)∵定义域为R 的函数f (x )=−3x −b 3x +1+a 是奇函数，∴ f (−1)=−f (1)f (0)=0，即 −30+b 31+a =0−3−1−b 3−1+1+a =−−31−b 31+1+a ， 解得 b =−1a =3； (Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )=−3x +13x +1+3=13(23x +1−1)． ∵g (x )=23f (x )+1，∴g (x )=3x +1．∵函数g (x )的图象作关于y 轴的对称图形，得到k (x )的图象，∴k (x )=3−x +1．∵将k (x )的图象向右平移一个单位得到 (x )的图象，∴ (x )=3−(x−1)+1．【解析】(Ⅰ)利用f (0)=0，f (−1)=−f (1)列方程组解得；(Ⅱ)先由(1)求f (x )代入得g (x )=3x +1，然后关于y 轴对称，把x 换成−x 即可得k (x )=3−x +1，最后按照左加右减平移可得．本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属中档题．19. 在2018年珠海国际航展中展示的由中国自主研制的新一代隐形战斗机歼−20以其优秀的机动能力，强大的作战性能引起举世惊叹.假设一台歼−20战斗机的制造费用为1250百万元.已知飞机的维修费用第一年为1百万元，之后每年比上一年增加1百万元，若用x 表示飞机使用年限(取整数)，则在x 年中(含第x 年)飞机维修费用总和为x (1+x )2百万元，记飞机在x 年中维修和制造费用的年平均费用为y 百万元，即y =(飞机制造费用+飞机维修费用)÷飞机使用年限．(Ⅰ)求y 关于x 的函数关系式；(Ⅱ)求飞机的使用年限为多少时，年平均费用最低？最低的年平均费用为多少？【答案】解：(Ⅰ)由题意可得y =1250+x (1+x )2x =1250x +x 2+12(x ∈N ∗)-------------(6分)(不写x 范围或写错扣2分)(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，y =1250x +x 2+12≥2 1250x ×x 2+12=50.5，--------(9分) 当且仅当1250x =x 2，即x =50时，等号成立.---------(11分)答：使用年限为50年时，年平均费用最低，最低的年平均费用为50.5百万元.---------(12分)【解析】(Ⅰ)由y =(飞机制造费用+飞机维修费用)÷飞机使用年限.可得y 关于x 的函数关系式； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，y =1250x +x 2+12≥2 1250x ×x 2+12=50.5即可． 本题主要考查函数模型的建立与应用，还涉及了基本不等式求函数最值问题，属于中档题．20. 如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠PCD =90∘，∠BAC =∠CAD =60∘，设E 、F 分别为PD 、AD 的中点．(Ⅰ)求证：CD ⊥AC ；(Ⅱ)求证：PB //平面CEF ；【答案】(本小题满分12分)证明：(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵∠PCD=90∘，∴PC⊥CD.…………………(2分)∵PA∩PC=P，∴CD⊥平面PAC，∵AC⊂平面PAC，∴CD⊥AC.…………………(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)得∠ACD=90∘．在直角三角形ACD中，∠CAD=60∘，CF=AF，∴∠ACF=60∘，∴CF//AB.…………………(6分)∵CF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CF//平面PAB.…………………(8分)∵E、F分别是PD、AD中点，∴EF//PA，又∵EF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EF//平面PAB．∵CF∩EF=F，∴平面CEF//平面PAB.…………………(10分)∵PB⊂平面PAB，∴PB//平面CEF.…………………(12分)【解析】(Ⅰ)推导出PA⊥CD，PC⊥CD，从而CD⊥平面PAC，由此能证明CD⊥AC．(Ⅱ)推导出CF//AB，CF//平面PAB，EF//PA，EF//平面PAB，从而平面CEF//平面PAB，由此能证明PB//平面CEF．本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b是实数)，x∈R，若f(−1)=4，且方程f(x)+4x=0有两个相等的实根．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)求函数f(x)在区间[12,t](t>12)上的最小值．【答案】解：(Ⅰ)根据题意，二次函数f(x)=ax2+bx+1，若f(−1)=4，则a−b+1=4，即b=a−3，又由方程f(x)+4x=0有两个相等的实根，即方程ax2+(a+1)x+1=0有两个相等的实根，则有△=(a+1)2−4a=0，解可得：a=1，b=−2，则f(x)=x2−2x+1；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，f(x)=x2−2x+1，则f(x)对称轴为x=1，当12<t≤1时，f(x)在[12,t]单调递减，∴f(x)最小值为f(t)=t2−2t+1；当t>1时，f(x)在[12,1]单调递减，在(1,t]上单调递增，∴f(x)最小值为f(1)=0．【解析】(Ⅰ)根据题意，由f(−1)=4可得a−b+1=4，即b=a−3，又由方程f(x)+4x=0有两个相等的实根，即方程ax2+(a+1)x+1=0有两个相等的实根，分析可得△=(a+1)2−4a=0，解可得a、b的值，代入函数的解析式中即可得答案；(Ⅱ)由二次函数的解析式求出f(x)的对称轴，分情况讨论t的范围，结合二次函数的性质分析函数的最小值，综合即可得答案．本题考查二次函数的性质以及最值，关键是求出a、b的值，确定函数的解析式．22. 已知函数f(x)，对任意a，b∈R恒有f(a+b)=f(a)+f(b)−1，且当x>0时，有f(x)>1．(Ⅰ)求f(0)；(Ⅱ)求证：f(x)在R上为增函数；(Ⅲ)若关于x的不等式f[2(log 2x)2−4]+f(4t−2log2x)<2对于任意x∈[18,12]恒成立，求实数t的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)根据题意，在f(a+b)=f(a)+f(b)−1中，令a=b=0，则f(0)=2f(0)−1，则有f(0)=1；(Ⅱ)证明：任取x1，x2∈R，且设x1<x2，则x2−x1>0，f(x2−x1)>1，又由f(a+b)=f(a)+f(b)−1，则f(x2)=f[(x2−x1)+x1]=f(x2−x1)+f(x1)−1>1+f(x1)−1=f(x1)，则有f(x2)>f(x1)，故f(x)在R上为增函数．(Ⅲ)根据题意，f[2(log2x)2−4]+f[4t−2log2x]<2，即f[2(log2x)2−4]+f[4t−2log2x]−1<1，则f[2(log2x)2−2log2x+4t−4]<1，又由f(0)=1，则f[2(log2x)2−2log2x+4t−4]<f(0)，又由f(x)在R上为增函数，则2(log2x)2−2log2x+4t−4<0，令m=log2x，∵x∈[18,12]，则−3≤m≤−1，则原问题转化为2m2−2m+4t−4<0在m∈[−3,−1]上恒成立，即4t<−2m2+2m+4对任意m∈[−3,−1]恒成立，令y=−2m2+2m+4，只需4t<y最小值，而y=−2m2+2m+4=−2(m−12)2+92，m∈[−3,−1]，当m=−3时，y最小值=−20，则4t<−20．故t的取值范围是t<−5．【解析】(Ⅰ)根据题意，由特殊值法分析：令a=b=0，则f(0)=2f(0)−1，变形可得f(0)的值，(Ⅱ)任取x1，x2∈R，且设x1<x2，则x2−x1>0，结合f(a+b)=f(a)+f(b)−1，分析可得f(x2)>f(x1)，结合函数的单调性分析可得答案；(Ⅲ)根据题意，原不等式可以变形为f[2(log2x)2−2log2x+4t−4]<f(0)，结合函数的单调性可得2(log2x)2−2log2x+4t−4<0，令m=log2x，则原问题转化为2m2−2m+4t−4<0在m∈[−3,−1]上恒成立，即4t<−2m2+2m+4对任意m∈[−3,−1]恒成立，结合二次函数的性质分析可得答案．本题考查函数的恒成立问题，涉及抽象函数的单调性以及求值，注意特殊值法求出f(0)的值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
故选：A． 直接利用幂函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：幂函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
5. 条件“������ > 2”是“������2 > 2”成立的( )条件
A. 必要不充分
B. 充分不必要
C. 充分必要
D. 既不充分也不必要
【答案】B 【解析】解：������2 > 2解得������ > 2或������ < − 2， 则“������ > 2”可推得“������2 > 2”，反之不成立， 故条件“������ > 2”是“������2 > 2”成立的充分不必要条件，
A. ������ > ������ > ������
B. ������ > ������ > ������
C. ������ > ������ > ������
D. ������ > ������ > ������
【答案】A
【解析】解：������
=
20.2
∈
(1,2)，������
=
������������5
式是( )
1
A. ������ = ������3 + 1
1
B. ������ = (������−1)3
1
C. ������ = ������3−1
1
D. ������ = (������ + 1)3
【答案】C 【解析】解：将函数������(������) = ������3的图象向左平移一个单位，得������ = ������(������ + 1) = (������ + 1)3；
本题考查函数的零点所在大致区间的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质和零点存在性定理 的合理运用．
{ 8.
������(������) = 已知
������−10(������ ≥ 3)
������(������ + 2)(������ < 3)，则������(2)的值为( )
A. −6
1，且������2
=
������−1
3，
������−1 ⋅ (������−1 + 1)
������2−2������ + 1 + ������−1
������(������) = 3 3
=9
3
则函数
������2
������2
= ������2−2������ + 1 + 3������−3 = ������2 + ������−2 = 1(1 + 1− 2 ) = −1[2(1−1)2−9] = −2(1−1)2 + 1
D. ￢������：∃������ ∈ [−1,1]，������2−1 > 0
【答案】D 【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题， ∴ 命题 p：∀������ ∈ [−1,1]，������2−1 ≤ 0的否定是：“ ∃������������ ∈ [−1,1]，������2−1 > 0
故选：D．
故选：B． 利用换元法设������ = 3������2 + 1，转化为一元二次函数，利用一元二次函数最值性质进行求解即可．
本题主要考查函数最值的求解，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关
键．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13.
4
计算
163
=
______．
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】C 【解析】解：函数������ = ������������(������2−������ + 1)；
①������2−������
+
1可得
△=
−3
<
0，������2−������
+
1
=
3 4
>
0函数的定义域为
R；
②函数������
=
������2−������
本题考查了函数图象平移与变换的应用问题，是基础题．
12.
������(������) 函数
=
������2(������2 + 1)
(3������2 + 1)2的最大值为( )
1
1
A. 9
B. 8
1
C. 6
【答案】B
1
D. 4
4
【解析】解：设������
=
3������2
+
1，则������
≥
9������2
9������2
9
������ ������2
9 ������ 4 8
9 ������ 4
8，
∵
������
≥
1，
∴
0
<
1 ������
≤
1，
1
则当������
=
1
1
4时，函数取得最大值为8，
此时������ = 4，即3������2 + 1 = 4，������ =± 1时，取等号，
+
1在������
>
12时，函数是增函数；������
<
1
2时，函数是减函数，可得②不正确；
③������2−������
+
1
=
3 4
>
0，可得������
=
������������(������2−������
+
1)
>
������������34；可得函数的值域为
R
不正确；
3
④函数图象关于直线������
2
∈
(0,1)，������
=
������������������307
<
0，
可得������ > ������ > ������．
故选：A．
判断 a，b，c 的大小，然后推出结果即可．
本题考查对数函数值的大小的求法，考查计算能力．
11. 将函数������(������) = ������3的图象向左平移一个单位，再将图象关于直线������ = ������对称，得到的图象对应的函数关系
【答案】8
4
【解析】解：
163
=
23
=
8．
故答案为：8． 利用指数的性质、运算法则直接求解． 本题考查指数式化简求值，考查指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14. 已知函数������(������)是奇函数，当������ > 0时������(������) = 2������−1������，则������(−1) = ______． 【答案】−1 【解析】解： ∵ 函数������(������)是奇函数， ∴ ������(−1) = −������(1) = −(2−1) = −1， 故答案为：−1． 由题意知������(−1) = −������(1)，从而代入函数解析式求解即可． 本题考查了函数的奇偶性的应用.属于基础题．
1 ������
B. ������ = |������|−1
C. ������ = ������������ x
D.
������
=
(1)|������|
2
【答案】D 【解析】解：对于 A，是奇函数，故错误； 对于 B，函数是偶函数，但在(0, + ∞)递增，故错误； 对于 C，函数不具有奇偶性，故错误； 对于 D，函数为偶函数在(0, + ∞)递减； 故选：D． 根据函数单调性以及奇偶性的性质判断即可． 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，是一道基础题．
3. 命题 p：∀������ ∈ [−1,1]，������2−1 ≤ 0的否定是( )
A. ￢������：∀������ ∈ [−1,1]，������2−1 > 0
B. ￢������：∀������ ∈ [−1,1]，������2−1 ≥ 0
C. ￢������：∃������ ∈ [−1,1]，������2−1 ≥ 0
C. ������ < ������
D. ������ > ������
【答案】A
2
1
【解析】解：由于函数������(������) = ������3， = (������2)3，
在第一象限为单调递增函数．
由于：������(������) > ������(������)， 所以：������2 > ������2，
7. 函数������(������) = ������2 + ������������������2������的零点所在的区间为( )
A. (1, 2)
B. ( 2,2)
C. (14,12)
2
D. (12,1)
【答案】D
【解析】解： ∵ 函数������(������) = ������2 + ������������������2������，在������ > 0时，是连续增函数， ∴ ������(1) = 1 + ������������������21 = 1 > 0，
根据分段函数，代值计算即可．
本题考查了分段函数值的求法，属于基础题
9. 关于函数������ = ������������(������2−������ + 1)有如下命题： ①函数的定义域为 R； ②函数是增函数； ③函数的值域为 R；