港澳台联考数学模拟题(5)

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港澳台全国联考试题：数学-圆的方程选择题5-5(含答案)

4
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1 C． ( , 2) 2 1 D． (, ) (2, ) 2
38．
O1 : x 2 y 2 4 x 6 y 12 0 与 O2 : x 2 y 2 8 x 6 y 16 0 的位置关系是（
C． m
1 4
D． m 1
17．某中学在新课改活动中，成立了机器人小组，他们在一次实验中，要观察坐标平面内沿一正方形四周运动的质点，为了记录这个质点的任何时刻的运动数据和位置，特在垂直于坐标平面原点的正上方 1 个单位长度处安装一探测仪，它的探测范围是以自身为球心，半径可调节的球，现已知质点运动轨迹的正方形四个顶点为（0，0）、（1，0）、（1，1）、（0，1），那么探测仪的探测半径最少要调到（）北京博飞教育中心
2 a0 3
C． 2 a 0
D． 2 a
2 3
）
23．圆 x +y －2x+4y－20=0 截直线 5x－12y+c=0 所得的弦长为 8，则 c 的值是（ A．10 B．10 或－68 C．5 或－34 D．－68 24．若方程 x 2 y 2 3 x my m 0表示圆，则实数 m 的取值范围为（
2 2
） D． 90
C． 60
2
33．点 M（ x 0 , y 0 ）在圆 x y R 外，则直线 x 0 x y 0 y R 2 与圆的位置关系是 A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
34．圆心在 y 轴上且通过点 (3,1) 的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是 A. x y 10 y 0
） (C)相离（D）以上情况均有可能（）

香港(新版)2024高考数学统编版模拟(押题卷)完整试卷

香港（新版）2024高考数学统编版模拟(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若，则（）A．B．C．D．第(2)题若，是虚数单位，则 “”是“为纯虚数 ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(3)题已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的分位数是（）A．44.5B．45C．45.5D．46第(4)题在正方体中，E，F分别是，的中点，则（）A．B．平面BCEC．D．平面第(5)题下列函数中，在上单调递增的是（）A．B．C．D．第(6)题设，是双曲线的左，右焦点，过的直线与轴和的右支分别交于点，，若是正三角形，则（）A．2B．4C．8D．16第(7)题已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A．B．C．D．第(8)题已知是等比数列，若，，则的值为（）A．9B．C．D．81二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列代数式的值为的是（）A．B．C．D．第(2)题已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（）A．椭圆的焦点坐标为(2,0)､(-2,0)B．椭圆C的长轴长为C．直线的方程为D．第(3)题近期羽毛球价格的上涨引起了广泛热议.小郅同学调查了甲、乙两种有较大影响力品牌的羽毛球在2024年3月~7月的各月平均价格（单位：打/元）如下表，甲、乙两球的受众群体分别约占总群体的30%与70%，则以甲、乙两球为样本，对其和样本的平均值与方差的数值的计算结果正确的是：（）.月34567甲708095105130乙5560707585A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积.当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆.椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，点P在椭圆C上，且点P与椭圆C左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆C的两个焦点分别为，，则的值可能为______.（横线上写出满足条件的一个值）第(2)题已知函数，那么在点处的切线方程为___________．第(3)题若是虚数单位，则复数________．（写成最简结果）四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知都是正数，且，用表示的最大值，.（1）证明；（2）求M的最小值.第(2)题如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．(1)求证：平行四边形为矩形；(2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离．第(3)题奥运会个人射箭比赛中，每名选手一局需要射3箭，某选手前三局的环数统计如下表：环数第1局10107第2局899第3局10810(1)求该选手这9箭射中的环数的平均数和方差；(2)若以该选手前9箭射中不同环数的频率代替他每一箭射中相应环数的概率，且每一次射箭互不影响，求他第4局的总环数不低于29的概率．第(4)题已知函数．（1）若，求的最小值；（2）若时，有两个零点，求a的取值范围．第(5)题已知函数.(1)若，求的极小值；(2)若对任意的和，不等式恒成立，求的最大值.。

港澳台学生联考真题：数学-椭圆选择题5-5(含答案)

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A．
2 2
2 2
B． 2 1
C． 2 2
D．
2 1 2
35．椭圆 x 8 y 1 的焦点坐标是（ A． ( 1, 0) B． (0, 7 )
）． C． ( 14 , 0) 4 D． Fra bibliotek0, 2 )
A． 1 B． 2 C． 3 D． 2
x2 x2 2 y 1 与双曲线 y 2 1 有相同的焦点 F1、F2，P 是这两条曲线的一 4．若椭圆 4 2
个交点，则 F1 PF2 的面积是（ A．4 B．2 C．1 D．）
1 2
5．一个圆的圆心为椭圆的右焦点 F，且该圆过椭圆的中心交椭圆于点 P, 直线 PF 1 （F 1 为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ A．） D． 3 1
离心率分别为 e1 和 e2 ，且线段 MF1 的垂直平分线过 F2 ，则 A． 3 2 2 B． 3 2 C． 2 3 2
1 e2 的最小值为（ e1 2
）
D． 2 2
8．已知 F1 , F2 是椭圆 C1 :
x2 y 2 1 与双曲线 C2 的公共焦点， A, B 分别是 C1 , C2 在第二、四象限的公共 4
2
1 2
B．
2
2 2
C．
2
3 2
6．方程 mx ny 0 与 mx ny 1 ( m n 0) 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（
）
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x2 y 2 7．设 F1 , F2 是椭圆 C1 ： 2 2 1 （ a b 0 ）与双曲线 C2 的公共焦点，它们在第一象限交于点 M ， a b

2022-2023学年华侨、港澳、台联考高考数学模拟试卷(含解析)

2022-2023学年华侨、港澳、台联考高考数学模拟试卷（含解析）题号一二三总分得分一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合且，则( )A. B. C. D.2.已知复数，则的共轭复数( )A. B. C. D.3.已知向量，若，则( )A. B. C. D.4.不等式的解集为( )A. B.C. D.5.以为焦点，轴为准线的抛物线的方程是( )A. B. C. D.6.底面积为，侧面积为的圆锥的体积是( )A. B. C. D.7.设与是函数的两个极值点，则常数的值为( )A. B. C. D.8.已知函数若，则( )A. B. C. D.9.函数的反函数是( )A. B.C. D.10.设等比数列的首项为，公比为，前项和为令，若也是等比数列，则( )A. B. C. D.11.若双曲线：的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为( )A. B. C. D.12.在，，，，，，，，中任取个不同的数，则这个数的和能被整除的概率是( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.曲线在点处的切线的方程为．14.直线被圆所截得的弦长为．15.若，则______．16.设函数，且是增函数，若，则______．17.在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的大小为______．18.设是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数．若，则______．三、解答题（本大题共4小题，共60.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.本小题分记的内角，，的对边分别为，，，已知，，．求；求．20.本小题分设是首项为，公差不为的等差数列，且，，成等比数列．求的通项公式；令，求数列的前项和．21.本小题分甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．求甲获胜的概率；设为结束比赛所需要的局数，求随机变量的分布列及数学期望．22.本小题分已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交于，两点，，四边形的面积为．求；求的方程．答案和解析1.【答案】【解析】【分析】本题考查了集合的描述法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．化简集合，然后根据即可求出的值．【解答】解：，且，，解得．故选：．2.【答案】【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：，则．故选：．3.【答案】【解析】解：，，．，，．故选：．由已知可得，计算即可．本题考查两向量共线的坐标运算，属基础题．4.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，属于基础题．根据绝对值的性质去掉绝对值，然后求解即可．【解答】解：，或，即或解得：或或，不等式的解集为．故选D．5.【答案】【解析】解：以为焦点，轴为准线的抛物线中，所以顶点坐标为焦点与准线与轴的交点的中点的横坐标为，即该抛物线的方程为：，故选：．由抛物线的焦点坐标及抛物线的准线方程可得的值，进而求出顶点的坐标，可得抛物线的方程．本题考查抛物线的平移及抛物线的方程的求法，属于基础题．6.【答案】【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，由题意可得，解得，，圆锥的高．圆锥的体积是．故选：．设圆锥的底面半径为，母线长为，由已知列式求得与，再由勾股定理求圆锥的高，然后代入圆锥体积公式求解．本题考查圆锥体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的极值，属于基础题．由题意知和是导函数的方程的两个根，解方程即可得出结果．【解答】解：，由题意，知和是方程的两个根，所以有解得，，，故选A．8.【答案】【解析】解：函数，，函数的一条对称轴为，即或，故或．不妨时，时，不成立；当时，成立，故，故选：．由题意，可得函数的一条对称轴为，即或再检验选项，可得结论．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】【解析】解：由可得：，因为，所以，则，所以原函数的反函数为．故选：．根据的范围求出的范围，再反解出，然后根据反函数的定义即可求解．本题考查了求解函数的反函数的问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.【答案】【解析】解：由题意可知，，，，，若也是等比数列，，即，即，解得或舍去．故选：．由题意可知，，，，再结合等比数列的性质，即可求解．本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．11.【答案】【解析】解：由双曲线：的方程可得渐近线方程为，由题意可得，所以双曲线的离心率，故选：．由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得渐近线的斜率，进而求出，的关系，再求离心率的值．本题考查双曲线的性质的应用及直线相互垂直的性质的应用，属于基础题．12.【答案】【解析】在，，，，，，，，中任取个不同的数，基本事件总数，，，被除余；，，被除余；，，刚好被除，若要使选取的三个数字和能被整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，这个数的和能被整除的不同情况有：，这个数的和能被整除的概率为．故选：．基本事件总数，，，被除余；，，被除余；，，刚好被除，若要使选取的三个数字和能被整除，则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，由此能求出结果．本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数研究在曲线上某点的切线方程，是基础题．求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，即切线的斜率，然后由直线的点斜式方程得答案．【解答】解：由，得，，即曲线在点处的切线的斜率为，则曲线在点处的切线方程为，整理得：．故答案为：．14.【答案】【解析】【分析】本题考查弦长的求法，考查圆、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解，是基础题．圆的圆心，半径，圆心到直线的距离，直线被圆所截得的弦长为．【解答】解：圆的圆心，半径，圆心到直线的距离：，直线被圆所截得的弦长为：．故答案为：．15.【答案】【解析】解：由，得．故答案为：．由已知直接利用二倍角的正切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．16.【答案】【解析】解：函数，且，，，或，函数，且是增函数，，故答案为：．先利用指数幂的运算化简求出，再利用指数函数的单调性求解即可．本题考查指数函数的单调性和指数幂的运算，属于基础题．17.【答案】【解析】解：如图所示，分别取、的中点、，由正三棱柱的性质可得、、，两两垂直，建立空间直角坐标系．则，，，，，，，异面直线与所成角的大小为．故答案为：．通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，属中档题．18.【答案】【解析】解：由是定义域为的奇函数，可得；由是定义域为的偶函数，可得．若，则，又可得，即有．故答案为：．由函数的奇偶性的定义和指数的运算性质，解方程可得所求值．本题考查函数的奇偶性的定义和运用，体现了方程思想和数学运算等核心素养，属于基础题．19.【答案】解：，由正弦定理可得，，由余弦定理可得，，即，解得，．，，，．【解析】根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．根据的结论，以及正弦定理，即可求解．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．20.【答案】解：已知是首项为，公差不为的等差数列，又，，成等比数列，则，即，又，即，则；由可得：，则，则当为偶数时，，当为奇数时，，即．【解析】由已知条件可得：，求得，然后求通项公式即可；由可得：，则，然后分两种情况讨论：当为偶数时，当为奇数时，然后求和即可．本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了捆绑求和法，属基础题．21.【答案】解：由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为，比赛四局且甲获胜的概率为，比赛五局且甲获胜的概率为，所以甲获胜的概率为．随机变量的取值为，，，则，，，所以随机变量的分布列为：则随机变量的数学期望为．【解析】由题意分别求得三局、四局、五局比赛甲获胜的概率，然后相加可得甲获胜的概率；由题意可知的取值为，，，计算相应的概率值可得分布列，进一步计算数学期望即可．本题主要考查事件的独立性，离散型随机变量及其分布列，分布列的均值的计算等知识，属于基础题．22.【答案】解：由对称性知，，不妨取点在第一象限，设，则，解得，，因为四边形的面积为，所以，所以．设椭圆的方程为，由知，，代入椭圆方程有，又，所以，，故椭圆的方程为．【解析】由对称性知，不妨取点在第一象限，先求得点的坐标，再利用四边形的面积为，可得的值；设椭圆的方程为，代入点的坐标，并结合，求得，的值，即可．本题考查椭圆的几何性质，椭圆方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。

港澳台全国联考试题：数学-圆的方程选择题1-5(含答案)

2 2
）
A． ( x 2) ( y 6) 1
2 2
B． ( x 6) ( y 2) 1
2 2
C． ( x 1) ( y 3) 1
2 2
D． ( x 1) ( y 3) 1
2 2
40．若直线 y kx 4 2k 与曲线 y A． 1, B． 1,
2 2 2
B． x ( y 2) 1
2
C． ( x 1) ( y 3) 1
2
2 2
D． ( x 1) ( y 3) 1
2 2
24．直线 3 x 4 y 5 0 与圆 x y 4 相交于 A 、 B 两点，则弦 AB 的长等于（ A． 2 3
2
）
2
A、 ( x 1) ( y 4) 4 C、 ( x 4) ( y 1) 4
2 2 2 2
B、 ( x 1) ( y 4) 4
2 2
D、 ( x 4) ( y 1) 4
2 2
4．已知圆 O ：x y 4 上到直线 l : x y a 的距离等于 1 的点至少有 2 个，则 a 的取值范围为（ A． ( 3 2,3 2) B． ( , 3 2 ) (3 2, ) C． ( 2 2, 2 2 ) D． [ 3 2,3 2 ]
2 2
14．过点 A． 15．已知圆 A． 16．直线 A．相交
有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ C． D．）
）
，则两圆的公共弦长为（ C． 2 D．1 ）
的位置关系是（ C．相离
D．不确定
17．直线 y kx 3 与圆 ( x 3) ( y 2) 4 相交于 M，N 两点，若 | MN | 2 3 ，则 k 的取值范围是（）

2021年港澳台联考数学考前三天高仿真卷(含答案解析)

2021年港澳台联考数学考前三天高仿真卷（带解析）一．选择题（共12小题）1．已知集合A＝{x|y＝，x∈N}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．已知（1+i）z＝i（i为虚数单位），在复平面内，复数z的共轭复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知圆M过点A（1，﹣1），B（1，2），C（5，2），则圆M在点B处的切线方程为（）A．3x+4y﹣2＝0 B．3x﹣4y﹣2＝0 C．4x﹣3y+2＝0 D．4x﹣3y﹣2＝04．为得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝cos（2x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x），则（）A．f（x）+g（x）是奇函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•g（x）是偶函数D．f（|x|）•g（x）是偶函数6．已知二项式（﹣x）n展开式中的常数项为第4项，则该二项式的展开式中的常数项为（）A．﹣84 B．﹣42 C．42 D．847．直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），则2a+b＝（）A．4 B．3 C．2 D．18．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2 D．或29．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且，则的值为（）A．B．2 C．2D．410．已知，则tanα＝（）A．2 B．3 C．D．11．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x+cos x≥1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，E，F分别为A1C1和A1B1的中点，当AE和BF所成角的余弦值为时，AE与平面BCC1B1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．点（3，﹣1）关于直线x+y＝0的对称点为．14．已知平面向量＝（2，﹣2），＝（﹣1，m），若⊥，则||＝．15．“2020武汉加油、中国加油”，为了抗击新冠肺炎疫情，全国医护人员从四面八方驰援湖北．我市医护人员积极响应号召，现拟从A医院呼吸科中的5名年轻医生中选派2人支援湖北省黄石市，已知男医生2名，女医生3人，则选出的2名医生中至少有1名男医生的概率是．16．不等式log2（x2﹣3x）＞2的解集是．17．在三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC是以AC为斜边的直角三角形，且P A⊥平面ABC，若P A ＝3，AC＝4，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为．18．定义在R上的奇函数f（x）又是周期为4的周期函数，已知在区间[﹣2，0）∪（0，2]上，f（x）＝，则f（2020）＝；b＝．三．解答题（共4小题）19．已知函数x．（1）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称中心；（2）当时，求函数f（x）的值域．20．在平面直角坐标系xOy中，动点M到定点F（）的距离和它到定直线x＝的距离比为，记动点M的轨迹为Ω．（Ⅰ）求Ω的方程；（Ⅱ）设过点（0，﹣2）的直线l与Ω相交于A，B两点，当△AOB的面积为1时，求|AB|．21．已知数列{a n}前n项的和为S n且a1＝1，．（1）求证：数列{}是等差数列；（2）证明：当n≥2时，．22．已知函数f（x）＝（x+a﹣1）e x，a∈R．（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣ax在区间[0，+∞）上只有一个零点，求a的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算求出A∩B，然后即可得出A∩B中元素的个数．【解答】解：∵A＝{x|3x≤81，x∈N}＝{x|x≤4，x∈N}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣1＜x＜4}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，∴A∩B中元素的个数为4．故选：C．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，指数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．【解答】解：由（1+i）z＝i，得，∴复数z的共轭复数对应的点是，在第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．【分析】根据题意，设圆心M的坐标为（m，n），则点M在线段AB和BC的垂直平分线上，求出M的坐标，由两点间连线的斜率公式可得k MB，进而可得圆M在点B处的切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，圆M过点A（1，﹣1），B（1，2），C（5，2），设圆心M的坐标为（m，n），则点M在线段AB的垂直平分线上，则n＝，同理：点M在线段BC的垂直平分线上，则m＝3，则M的坐标为（3，），k MB＝＝﹣，则圆M在点B处的切线的斜率k＝，则切线的方程为y﹣2＝（x﹣1），变形可得4x﹣3y+2＝0，故选：C．【点评】本题考查圆的切线方程，涉及圆的标准方程的求法，属于基础题．4．【分析】由条件利用诱导公式，y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y＝cos（2x+）的图象向右平移个单位，即可得到函数y＝cos[2（x﹣）+]＝cos（2x﹣）＝sin2x的图象，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式，y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．5．【分析】根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．若f（x）＝x，g（x）＝2，满足条件，则f（x）+g（x）不是奇函数，故A错误，B．|f（﹣x）|g（﹣x）＝|﹣f（x）|g（x）＝|f（x）|g（x）是偶函数，故B错误，C．f（﹣x）•g（x）＝﹣f（x）•g（x），则函数是奇函数，故C错误，D．f（|﹣x|）•g（﹣x）＝f（|x|）•g（x），则f（|x|）•g（x）是偶函数，故D正确故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，结合函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键．6．【分析】二项式展开式的通项公式求出T4，令x的指数为0，可求得n，从而可得常数项．【解答】解：由题意可知T4＝（﹣x）3＝（﹣1）3，令＝0，解得n＝9，所以该二项式的展开式中的常数项为（﹣1）3＝﹣84．故选：A．【点评】本题考查二项式定理，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．7．【分析】由P为切点，可得k＝1，b＝2，求得f（x）的导数，可得a＝1，可得所求和．【解答】解：直线y＝kx+1与曲线f（x）＝alnx+b相切于点P（1，2），可得k+1＝2，即k＝1，f（1）＝b＝2，f（x）的导数为f′（x）＝，即有a＝1，则2a+b＝2+2＝4．故选：A．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，以及方程思想和运算能力，属于基础题．8．【分析】由双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴的夹角为30°，可得＝tan60°＝，利用e ＝转化求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则这条渐近线与x轴的夹角为60°，∴＝tan60°＝，∴e＝＝＝2．故选：C．【点评】本题考查了双曲线的几何性质，由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键．9．【分析】利用等比数列前n项和，求解公比，然后推出的结果．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，且，所以公比q≠1，则，可得q3＝8，所以q＝2，则＝＝q2＝4，故选：D．【点评】本题考查等比数列的应用，求出数列求和的应用，是基本知识的考查．10．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，即可计算得解．【解答】解：∵，可得：＝＝＝，∴解得：tanα＝2．故选：A．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．11．【分析】由sin x+cos x＝≥1，得到sin（x+）≥，x∈[0，π]，解得，由此能求出事件“sin x+cos x≥1”发生的概率．【解答】解：在区间[0，π]上随机取一个数x，∵sin x+cos x＝≥1，∴sin（x+）≥，x∈[0，π]，∴，解得，则事件“sin x+cos x≥1”发生的概率为：P＝＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．【分析】设AA1＝t，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，由AE和BF所成角的余弦值为，求出t＝AA1＝2．由此能求出AE与平面BCC1B1所成角α的正弦值．【解答】解：设AA1＝t，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，1，0），E（，，t），B（0，0，0），F（，，t），＝（﹣，，t），＝（，，t），∵AE和BF所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|＝＝＝，解得t＝2．∴＝（﹣，，2），平面BCC1B1的法向量＝（1，0，0），∴AE与平面BCC1B1所成角α的正弦值为：sinα＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二．填空题（共6小题）13．【分析】设点（3，﹣1）关于直线x+y＝0的对称点为（a，b），利用中点坐标公式、直线与直线垂直的性质列出方程组，能求出结果．【解答】解：设点（3，﹣1）关于直线x+y＝0的对称点为（a，b），则，解得a＝1，b＝﹣3，∴点（3，﹣1）关于直线x+y＝0的对称点为（1，﹣3）．故答案为：（1，﹣3）．【点评】本题考查点关于直线对称的点的坐标的求法，考查中点坐标公式、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14．【分析】根据即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出m，进而可求出的值．【解答】解：∵，∴，解得m＝﹣1，∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．15．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名医生中至少有1名男医生包含的基本事件个数m＝＝7，由此能求出选出的2名医生中至少有1名男医生的概率．【解答】解：现拟从A医院呼吸科中的5名年轻医生中选派2人支援湖北省黄石市，已知男医生2名，女医生3人，基本事件总数n＝＝10，选出的2名医生中至少有1名男医生包含的基本事件个数m＝＝7，则选出的2名医生中至少有1名男医生的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．【分析】运用对数函数的单调性，即可得到x2﹣3x＞4，再由二次不等式的解法，即可得到解集．【解答】解：log2（x2﹣3x）＞2即为log2（x2﹣3x）＞log24，即有x2﹣3x＞4，解得，x＞4或x＜﹣1．则解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．【点评】本题考查对数不等式的解法，考查对数函数的单调性，考查二次不等式的解法，属于基础题．17．【分析】首先求出三棱锥体的外接球的半径，进一步求出球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC中，底面△ABC是以AC为斜边的直角三角形，且P A⊥平面ABC，如图所示：取AC的中点D，作OD⊥平面ABC，点E为P A的中点，所以，所以．故答案为：25π．【点评】本题考查的知识要点：三棱锥体的外接球的半径的求法，球的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．18．【分析】由定义在R上的奇函数f（x）又是周期为4的周期函数，得f（0）＝0，由f（x）是周期为4的周期函数，得f（2020）＝0，由f（x+4）＝f（x）和奇函数性质，得f92）＝f（﹣2）＝0，由此能求出结果．【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）又是周期为4的周期函数，∴f（﹣0）＝﹣f（0），解得f（0）＝0，∵f（x）是周期为4的周期函数，∴f（2020）＝0，∵f（x）周期为4的周期函数，∴f（x+4）＝f（x），∴f（4﹣2）＝f（﹣2），∴f（2）＝f（﹣2），∵定义在R上的奇函数f（x），∴f（2）＝f（﹣2）＝﹣f（2），∴f（2）＝f（﹣2）＝0，∵在区间[﹣2，0）∪（0，2]上，f（x）＝，∴，解得a＝，b＝1．故答案为：0，1．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．解答题（共4小题）19．【分析】（1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出它的最小正周期和对称中心；（2）求出时sin（2x﹣）的取值范围即可．【解答】解：（1）函数x＝cos2x cos+sin2x sin﹣cos2x＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），所以函数f（x）的最小正周期为T＝＝π；令2x﹣＝kπ，k∈Z，解得x＝+，k∈Z；所以f（x）图象的对称中心为（+，0），k∈Z；（2）当时，0≤2x≤π，所以﹣≤2x﹣≤，所以﹣≤sin（2x﹣）≤1，所以函数f（x）的值域为[﹣，1]．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题．20．【分析】（Ⅰ）根据“动点M到定点F（）的距离和它到定直线x＝的距离比为”可列出方程，化简即可求出M的轨迹方程；（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意；故设直线l：y＝kx﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝kx﹣2代入，利用韦达定理解出x1+x2和x1x2的值，利用弦长公式表示出|AB|，再利用三角形面积公式以及△AOB的面积为1即可求出|AB|．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），则，两边平方整理得Ω的方程为+y2＝1；（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y＝kx﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，当△＝16（4k2﹣3）＞0，即k2＞时，，，从而|AB|＝•＝，又点O到直线AB的距离d＝，所以△AOB的面积S＝＝1，整理得（4k2﹣7）2＝0，即k2＝（满足△＞0），所以．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，考查了设而不求方法的运用，考查了弦长公式，属于中档题．21．【分析】（1）运用数列的递推式：当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，结合等差数列的定义，即可得证；（2）由（1）可知，＝+2（n﹣1）＝2n﹣1，则S n＝，可得当n≥2时，＝＜＝•＝（﹣），再由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）a1＝1，．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝，即为S n﹣S n﹣1＝﹣2S n S n﹣1，可得﹣＝2，从而{}构成以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知，＝+2（n﹣1）＝2n﹣1，则S n＝，当n≥2时，＝＜＝•＝（﹣），从而．【点评】本题考查等差数列的定义和通项公式，考查数列的裂项相消求和，以及不等式的放缩法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．22．【分析】（1）将a＝1代入函数f（x）的解析式，并对函数f（x）求导，求出函数f（x）的极值点，并分析函数f（x）的单调性，再将极值点代入函数f（x）可求出函数f（x）的极值；（2）先求出g（x）的解析式，对函数g（x）求导得出g（x）＝（x+a）（e x﹣1），求出g′（x）＝0的两根x1＝﹣a和x2＝0，对这两数的大小进行分类讨论，讨论函数g（x）在[0，+∞）上的单调性，利用单调性对g（0）＝a﹣1的符号进行分析，可求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝xe x，定义域为R，f′（x）＝（x+1）e x，令f′（x）＝0，得x＝﹣1．当x＜﹣1时，f′（x）＜0；当x＞﹣1时，f′（x）＞0．所以，函数f（x）在x＝﹣1处取得极小值，即；（2），g′（x）＝（x+a）e x﹣x﹣a＝（x+a）（e x﹣1），令g′（x）＝0，得x1＝﹣a，x2＝0．①当﹣a≤0时，即当a≥0时，对任意的x≥0，g′（x）≥0，此时，函数g（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则函数g（x）在x＝0处取得最小值，且最小值为g（0）＝a﹣1≤0，得a≤1．此时，0≤a≤1；②当﹣a＞0时，即当a＜0时，此时，函数g（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，由于函数g（x）在[0，+∞）上只有一个零点，则g（0）＝a﹣1＜0，得a＜1．所以，a＜0．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞.1]．【点评】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了函数的零点的分类讨论，考查分析能力，属于难题．。

港澳台华侨生联考试题：数学基础练习30套：第5套：集合(含答案)

9．设集合 A 1,2，则满足 A B 1,2,3的集合 B 的个数是（ A．1 B.3 10．下列关系中正确的个数为（ C.4 ） D.8
①0∈{0}，②Φ {0}，③ 0,1} {(0,1)} ，④{（a，b）}＝{（b，a）} A．1 B.2 C.3 D.4 ） D、｛1，2，3｝网址：
26．已知集合 A {1, 2} ， B x Z 0 x 2 ，则 A B =（

）
A． {0}
B． {2}
C． {0,1, 2}
D．）
27．设集合 A {4,5, 6,8}, B {3,5, 7,8} ，则 A B 中元素的个数为（ A．8 B． 7 C．6 D． 5
A． B． 3 C． 3,3
）．
D． 3,2,0,1,2 ）
39．设全集 U R ，集合 A {x | 1 x 4} ，集合 B { x | 2 x 5} ，则 A (CU B ) （ A． x |1 x 2 B． {x | x 2} C． { x | x 5} D． x |1 x 2 ) D、 1, 2,3,5,9
）
35．已知集合 A {1,3,5, 6} ，集合 B {2,3, 4,5} ，那么 A B （ A. {3,5} B. {1, 2,3, 4,5, 6} C. {7}
D. {1, 4, 7} ） D． {2,3, 4,5} ）
36．设集合 A {1,3}, 集合 B {1, 2, 4,5} ，则集合 A B （ A．{1，3，1，2，4，5} B． {1} C． {1, 2,3, 4,5}

5．已知全集 U＝{0，1，2}且 CU A ＝{2}，则集合 A 的真子集共有（ A．3 个 B． 4 个 C．5 个 6．下列四个集合中，是空集的为（A） {x | x 3 3} （B） {( x, y ) | y x , x, y R} （C） { x | x 0} （D） { x | x x 1 0} 7．已知集合 A A．8

港澳台全国联考试题：数学-圆的方程选择题4-5(含答案)

D.(2,2),5 2 2 2 2 42．点 M(a,b)是圆 x +y =r 内异于圆心的一点,则直线 ax+by=r 与圆的交点个数为( A.0 B.1 C.2 D.需讨论确定
)
43．知圆的圆心为 C(-1,3),直线 3x+4y-7=0 被圆截得的弦长为
2 2
,则圆的方程为(
)
A.(x+1) +(y-3) =4 2 2 B.(x-1) +(y+3) =4 2 2 C.(x+1) +(y+3) =4 2 2 D.(x-1) +(y-3) =4 2 2 44．圆(x-1) +(y-3) =1 关于直线 2x+y+5=0 对称的圆的方程是( ) 2 2 A.(x+7) +(y+1) =1 2 2 B.(x+7) +(y+2) =1 2 2 C.(x+6) +(y+1) =1 2 2 D.(x+6) +(y+2) =1 2 2 2 45．如果圆的方程为 x +y +kx+2y+k =0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为( A.(-1,1) B.(1,-1) D.(0,-1) 2 2 2 2 46．两圆 x +y +6x-4y+9=0 和 x +y -6x+12y-19=0 的位置关系是( ) A.外切 B.内切 C.相交 47．直线截圆 x +y =4 所得劣弧所对的圆心角为(
2 2
）
26．A 北京博飞教育中心
6
网址：
北京博飞华侨港澳台学校
27．B 28．D 29．D 30．A 31．D 32．C 33．D 34．B 35．B 36．A 37．A 38．C 39．A 40．D 41．B 42．A 43．A 44．A 45．D 46．A 47．C 48．D 49．C 50．B

港澳台学生联考数学复习资料：含答案

y1 x1

2p y1 y2
( x1

x2 )
将 y1 y2 2 y0 ( y0 0) 代入得
k AB

2p y1 y2
p y0
，所以 k AB 是非零常数
北京博飞华侨港澳台学校
7
网址：
北京博飞--华侨港澳台培训学校如图，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（1，2），A（ x1 , y1 ），B（ x2 , y2 ）均在抛物线上．
B（ x2 , y2 ）（I）求该抛物线上纵坐标为 p 的点到其焦点 F 的距离 2 （II）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1 y2 的值，并证明直线 AB 的斜率是非零常数. y0
y
P
O A
解：（I）当 y p 时， x p
2
8
又抛物线 y 2 2 px 的准线方程为 x p 2
【答案】B
B． y2 x2 1 12 24
C． x2 y2 1 12 24
D． x2 y2 1 24 12
11. 记 cos(80) k ,那么 tan100 （ C ）
（A）— k 1 k2
（B） k 1 k2
（C）— 1 k 2 k
（D） 1 k 2 k
A． (, 4]
B． (, 4)
北京博飞华侨港澳台学校
C． (4, 4]
D．[4, 4]
1
网址：
【答案】D
北京博飞--华侨港澳台培训学校
7. 已知直线 y x m 是曲线 y x2 3ln x 的一条切线，则 m 的值为（）
B．（－2,2） D．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

最新港澳台华侨生联考：数学一轮复习：综合练习5(含答案)

x 1 y 1 z 2 2 2 3
三、解答题：
.
19、盒中装着标有数字 1，2，3，4 的卡片各 2 张，从盒中任意任取 3 张，每张卡片被抽出的可能性都相等，求： (Ⅰ)抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4 的概率；(Ⅱ)抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3 的概念； (Ⅲ)抽出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率. 解：（I）“抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4”的事件记为 A，由题意
22、在平面直角坐标系 xOy 中，有一个以 F1 0, 3 和 F2 0, 3 为焦点、离心率为

求：（Ⅰ）点 M 的轨迹方程；（Ⅱ） OM 的最小值。 y2 a2 x2 b2 a2－b2 =3 3 3 得 a2=4,b2=1,所以曲线 C 的方程为: = a 2 y2 =1 4

4 1 2 得 a1=S1= a1－ ×4+ 所以 a1=2. 3 3 3
4 1 将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－ ×(2n+1－2n),n=2,3, … 3 3 整理得: an+2n=4(an－1+2n 1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,即 : an+2n=4×4n 1= 4n,
2
15、今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有字作答）。 C C C 1260 16、设函数 f x cos
4 9 2 5 3 3
种不同的方法（用数

3x 0 。若 f x f / x 是奇函数，则 ______。

最新港澳台华侨生联考：数学三轮复习：综合练习5(含答案)

1 k
1 x 1} . k
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
20. △ ABC 中， A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ， tan C （1）求 A, C ；（2）若 S ABC 3 3 ,求 a, c . 解：(1) 因为 tan C
sin A sin B , sin( B A) cos C . cos A cos B
x 1 kx kx 2 x ( x 1)( kx 1) x e e 0, x2 x2
得： ( x 1)( kx 1) 0 . 故：当 0 k 1 时, 解集是： {x 1 x } ；当 k 1 时，解集是：；当 k 1 时, 解集是： {x
ax 1 1 ＜0 的解集是 ( , 1) ( , ) .则 a x 1 2 14. 已知向量 a (3,1) ， b (1,3) ， c (k , 7) ，若 ( a c) ∥ b ，则 k =
13. 已知关于 x 的不等式
.—2 ．5
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
sin A sin B sin C sin A sin B ，即， cos A cos B cos C cos A cos B 所以 sin C cos A sin C cos B cos C sin A cos C sin B ，即 sin C cos A cos C sin A cos C sin B sin C cos B ，得 sin(C A) sin( B C ) . 所以 C A B C ,或 C A (B C ) (不成立). 2 即 2C A B , 得 C ，所以. B A 3 3 1 5 5 又因为 sin( B A) cos C ，则 B A ，或 B A （舍去）得 A , B 2 6 6 4 12 1 6 2 a c a c ac 3 3 ，又 (2) S ABC ac sin B , 即， 2 8 sin A sin C 2 3 2 2 得 a 2 2, c 2 3.

港澳台联考模拟数学试卷

港澳台联考模拟数学试卷中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨、港澳台地区入学考试模拟试卷（15）这份试卷共三个大题，共27小题.满分150分.考试时间为120分钟.考生注意：这份试卷共三个大题，所有考生做一、二题，在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。

第一部分选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .2i(1 i)=().A. 1 i B .-1 i C. -2 D. 22.已知I为实数集，M二{x|x2 -2x ：：0},N={x | y = x -1}，则M'(C I N)=( )A . {x |0 :： x ：：B . {x |0 ：：C. {x | x <1} D . 一3. “ a =2 ”是“函数f（x）二x-a在区间[2,；）上为增函数”的（）.A ?充分条件不必要B ?必要不充分条件C ?充要条件D ?既不充分也不必要条件4.下列命题是真命题的为A .若一=—，则x = yB .若x = 1，则x=1C .若x = y，则J x =、. yD .若x y2 2x y ,贝U x ::: y-x2_ 3x 亠45.函数y 的定义域为xA . [-4,1]B .0,0）C . （0,1]D . [-4,0）U（0,1]6. 50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名, 参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为A ?50 B ? 45 C . 40 D ? 357 ?函数 f (x) =(1 ..3tan x)cos x 的最小正周期为2 二3兀n AB ?C .二D ?—22la, a Eb8?定义运算：：a ： b 二设 F(x)二 f (x) ： g(x)，若 f X) s ,x(g)x cs 二 xb, a a bx ? R ，贝U F （x ）的值域为（）?外接圆直径为A ?甲是乙的充分条件但不是必要条件B ?甲是乙的必要条件但不是充分条件C ?甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件12 ?已知a1>a2>a3>0，则使得(1 -ax)2 ￡ 1(i = 1,2, 3)都成立的x 取值范围是()1 21 2A. (0, —)B. (0, —)C.(0, —) D. (0,—a 1a 1a 3a 3A J.-1,11B.,2C.9 ?在ABC 中, 角A,B,C 的对边分别是a,b,c ,且 a =1, B =45 , S 出BC 2，则也ABC 的A. 4、、5B. 5C.622io 椭圆 y =1的两个焦点为4点为P ,则P 到F 2的距离为（）?A ?乜B .32F 2,过卩舁乍垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交7C .D . 422 211.若数列｛a n ｝满足a n 1 -a n =d ( d 为正常数, 『）,则称｛a n ｝为“等方差数列”甲：数列｛a n ｝是等方差数列;乙：数列｛a n ｝是等差数列，则（）?D. _1,第二部分非选择题（共110分）、填空题：本大题共 8小题，每小题4分，满分32分.213.已知双曲线—-y 2=1,则其渐近线方程为 4,离心率为14. （仮-2）6展开式中，常数项是.x15 .设数列仏门为公比q 1的等比数列，若 2a 4,a 5是方程4x -8x *3=0的两根，则a6' a 7 二 _________ .16. 已知函数f （x ） 41的定义域是 a,b 】（a,b 为整数），值域是0,1丨，则满足条件|x|+2的整数数对（a , b ）共有___________ 个.17. 函数y =sinx + sinx 的值域是 ____________ .x = 2 cosB18在直角坐标系中圆 C 的参数方程为」（日为参数），则圆C 的普通方程为y = 2 +2si n 日，以原点0为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为 .佃若 f （x ） = （x + 3） + a （x + 1） + 6（x — 1）— 5 除以（x + 2 ）的余式为 2 '求 a26、27题。

最新港澳台华侨生联考：数学二轮复习：综合练习5(含答案)

北京博飞--华侨港澳台培训学校综合练习五一、选择题1．321lim 1x x x x →--（）B Ａ．等于0Ｂ．等于1Ｃ．等于3Ｄ．不存在2．下列函数中，周期为π2的是（）DＡ．sin 2x y =Ｂ．sin 2y x=Ｃ．cos 4x y =Ｄ．cos 4y x=3．若πtan 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cot α等于（）AＡ．2-Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．24．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为20x y -=，则它的离心率为（）A5Ｂ．523Ｄ．25．已知两条直线m n ，，两个平面αβ，．给出下面四个命题：①m n ∥，m n αα⇒⊥⊥；②αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥；③m n ∥，m n αα⇒∥∥；④αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥．其中正确命题的序号是（）C Ａ．①、③Ｂ．②、④Ｃ．①、④Ｄ．②、③6．若集合{}012M =，，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，，则N 中元素的个数为（）C Ａ．9Ｂ．6Ｃ．4Ｄ．27．设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()31xf x =-，则有（）BＡ．132323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｂ．231323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｃ．213332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ｄ．321233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.连接抛物线24x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（）B北京博飞--华侨港澳台培训学校Ａ．12-+Ｂ．32Ｃ．12+Ｄ．32+9．设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（）AＡ．(10)-，Ｂ．(01)，Ｃ．(0)-∞，Ｄ．(0)(1)-∞+∞ ，，10．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（）BＡ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．11811．设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为（）BＡ．15-Ｂ．0Ｃ．15Ｄ．512.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为1e 2=，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（）CＡ．必在圆222x y +=上Ｂ．必在圆222x y +=外Ｃ．必在圆222x y +=内Ｄ．以上三种情形都有可能二、填空题13．设函数24log (1)(3)y x x =+-≥，则其反函数的定义域为．[5)+，∞14．在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC =115．函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是．16-16．224(1)ii ++的共轭复数是2i+17.用(2)(1)x x +-除多项式6532()23p x x x x x =++-+所得的余式为_-3x +9.18.在空间直角坐标系o xyz -中，经过点(3,1,0)p 且与直线{2224x y x y z +=-+=垂直的平面的方程为___x -2y -5z =1___.三、解答题1.已知函数21(0)()2(1)x c cx x c f x k c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩≤在区间(01)，内连续，且29()8f c =．（1）求实数k 和c 的值；（2）解不等式2()18f x >+．解：（1）因为01c <<，所以2c c <，由29()8f c =，即3918c +=，12c =．又因为4111022()1212x x x f x k x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩≤在12x =处连续，所以215224f k -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1k =．（2）由（1）得：4111022()12112x x x f x x -⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+< ⎪⎪⎝⎭⎩ ≤由2()18f x >+得，当102x <<时，解得2142x <<．当112x <≤时，解得1528x <≤，所以2()18f x >+的解集为2548x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭．2.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232coscos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-.(Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若42a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.【答案】解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦,即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-,则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =-()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =,由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin 2sin 2b A B a ==.由题知a b >,则A B >,故4B π=.根据余弦定理,有(222325255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,解得1c =或7c =-(舍去).故向量BA 在BC方向上的投影为2cos 2BA B =3.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-，记12log n n b a =．（1）求1a ,2a 的值；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）若11,0,n n n c c b c +-==求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++< 都有．【答案】（1）1211,832a a ==；（2）21n b n ∴=+；（3）详见试题解析．4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0)C c ，任作一直线，与抛物线2y x =相交于A B ，两点．一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于点P Q ，．（1）若2OA OB =，求c 的值；（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．解：（1）设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得20x kx c --=．令2()A a a ，，2()B b b ，，则ab c =-．因为2222OA OB ab a b c c =+=-+= ，解得2c =，或1c =-（舍去）．故2c =．（2）由题意知2a b Q c +⎛⎫- ⎪⎝⎭，，直线AQ 的斜率为22222AQ a c a ab k a a b a b a +-===+--．又2y x =的导数为2y x '=，所以点A 处切线的斜率为2a ，因此，AQ 为该抛物线的切线．（3）（2）的逆命题成立，证明如下：设0()Q x c -，．若AQ 为该抛物线的切线，则2AQ k a =，又直线AQ 的斜率为2200AQa c a ab k a x a x +-==--，所以202a aba a x -=-，得202ax a ab =+，因0a ≠，有02a bx +=．故点P 的横坐标为2a b+，即P 点是线段AB 的中点．法二：设直线AB 的方程为y kx c =+，将该方程代入2y x =得2x kx c --=．得验证：2AQ Ak x =AB C PQOxyl法三：法四：验证点Q在过A点的切线上。

2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷(含答案)

2024年华侨、港澳、台联考高考数学试卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={−2,−1,2,3}，则A ∩B =( )A. {3}B. {0,l}C. {−2,−1,2}D. {−2,−1,0,1,2,3}2.计算3+4i 1−2i =( )A. 1−2iB. 1+2iC. −1−2iD. −1+2i3.函数y =sinx + 3cosx 的最大值是( )A. 1B. 6C. 2D. −24.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. y =±3xB. y =±2xC. y =±13xD. y =±12x 5.已知平面向量a =(1,1)，b =(x +1,y)，则( )A. “x =1，y =−2”是“a //b ”的必要条件B. “x =1，y =−2”是“a //b ”的充分条件C. “x =1，y =−2”是“a ⊥b ”的必要条件D. “x =1，y =−2”是“a ⊥b ”的充分条件6.已知函数f(x)=ln( x 2+1+x)，则( )A. f(x)是奇函数，不是增函数B. f(x)是增函数，不是奇函数C. f(x)既是奇函数，也是增函数D. f(x)既不是奇函数，也不是增函数7.若(a +x )4的展开式中x 的系数是−12，则a =( )A. 1B. 12 C. −12 D. −18.圆x 2+(y +2)2=4与圆(x +2)2+(y−1)2=9交于A ，B 两点，则直线AB 的方程为( )A. 2x−3y +2=0B. 3x +2y +2=0C. 3x +2y−2=0D. 2x−3y−2=09.已知x =π4和x =π2都是函数f(x)=sin (ωx +φ)(ω>0)的极值点，则ω的最小值是( )A. 4B. 2C. 1D. 1210.抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，C 上的点到F 的距离等于到直线x =−1的距离，则p =( )A. 2B. 1C. 12D. 1411.正四棱柱的八个顶点都在一个半径为1的球O的球面上，O到该正四棱柱侧面的距离为12，则该正四棱柱的体积是( )A. 22B. 2C. 22D. 2312.已知偶函数f(x)的图像关于直线x=1对称，当0≤x≤1时，f(x)=x2+2x，则当2≤x≤3时，f(x)=( )A. x2+2xB. x2−2xC. −x2+2xD. −x2−2x二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

港澳生高考数学试卷及答案

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，则f(x)的图像大致为：A. 图像在x轴上单调递增B. 图像在x轴上单调递减C. 图像有极大值和极小值D. 图像有拐点2. 下列哪个数是无理数？A. √2B. 3C. 0.1010010001...D. 2/33. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点为：A. (2,3)B. (3,2)C. (-2,-3)D. (-3,-2)4. 已知等差数列{an}的前三项分别为1, 3, 5，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 在三角形ABC中，∠A=45°，∠B=30°，则∠C的度数为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°6. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x^47. 已知复数z = 3 + 4i，则|z|的值为：A. 5B. 7C. 9D. 128. 在直角坐标系中，直线y = 2x + 1与y轴的交点为：A. (0,1)B. (1,0)C. (0,-1)D. (-1,0)9. 下列哪个方程的解集为空集？A. x^2 + 1 = 0B. x^2 - 1 = 0C. x^2 + 4 = 0D. x^2 - 4 = 010. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得极值，则：A. a=0B. b=0C. a+b=0D. a+b+c=0二、填空题（每小题5分，共50分）11. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，则第5项an=______。

12. 在直角坐标系中，点P(3,4)到原点O的距离为______。

13. 函数f(x) = (x-1)^2 - 4在x=______时取得最小值。

14. 等差数列{an}的前10项和为100，第5项为5，则公差d=______。

全国港澳台数学联考模拟试卷

全国港澳台数学联考模拟试卷1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根（D ）不能确定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=04、复数911⎪⎭⎫⎝⎛+-i i 的值等于（）（A ）22（B ）2 （C ）i （D ）i - 5．已知x 2＋y 2＋2x －6y ＋10=0，那么x ，y 的值分别为（）A ．x=1，y=3B ．x=1，y=－3C ．x=－1，y=3D ．x=1，y=－36、设复数,1-≠Z 则1=Z 是11+-Z Z 是纯虚数的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件7、,,21C Z Z ∈,2,3,222121===+Z Z Z Z 则=-21Z Z ( ) （A ）2 （B ）21（C ）2 （D ）22 8、对于两个复数i 2321+-=α，i 2321--=β，有下列四个结论：①1=αβ；②1=βα；③1=βα；④133=+βα，其中正确的结论的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49、设二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，如果)(()(21x f x f =其中21x x ≠），则=+)2(21x x f （） A 、ab2-B 、a b- C 、c D 、ab ac 442-10、如果函数c bx x x f ++=2)(，对任意实数x 都有)1()1(x f x f -=+，那么（）A 、)2()0()2(f f f <<-B 、)2()2()0(f f f <-<C 、)2()2()0(-<<f f fD 、)2()0()2(-<<f f f11．若4xy －4x 2－y 2－k 有一个因式为(1－2x ＋y)，则k 的值为（）A ．0B ．1C ．－1D ．412、设y x ,是关于m 的方程0622=++-a am m 的两个实根，则22)1()1(-+-y x 的最小值是（）A 、449- B 、18 C 、8 D 、4313．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是14．分解因式：x 2＋4xy ＋4y 2－2x －4y －35= 15、已知关于x 的二次方程012=++-k kx x 有两个负根，则实数k 的取值范围是；16、关于x 的方程023222=---k x kx 的两实根，一个小于1，另一个大于1，则实数k 的取值范围是；17、函数162)(2+-=x x x f 在区间]1,1[-上的最小值为，最大值为18、（1）若不等式02<-ax x 的解集是{}10<<x x ，则=a ；若不等式02<-ax x 的解集是集合{}10<<=x x A 的真子集，则a 的取值范围是19．（1）若x 2＋mx ＋n=(x －3)(x ＋4)，求(m ＋n)2的值．（2）已知a ＋b=0，求a 3－2b 3＋a 2b －2ab 2的值20、设复数z 满足1z =,且()Z i ⋅+43是纯虚数,求z -21、已知1221++=x i x Z ，i a x Z )(22+=对于任意实数x ，都有21Z Z >恒成立，试求实数a 的取值范围22、已知对于x 的所有实数值，二次函数)(1224)(2R a a ax x x f ∈++-=的值都非负，求关于x 的方程212+-=+a a x的根的范围。

港澳台学生高考辅导：数学考前冲刺模拟5(不含答案)

2 2

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
1 x 4
B. y
1 x 2
C. y 2 x
D. y 4 x （）
11. 设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是北京博飞华侨港澳台学校
1
网址：
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点，若 λ1+λ2 为定值。
，求证：
北京博飞华侨港澳台学校
4
网址：
(B) y f x 的图像关于直线 x
对称 2
3 2
(D) f x 既奇函数,又是周期函数
二、填空题：本大题共 6 小题；每小题 5 分.
13. ( 2 x -
1 x
)6 的二项展开式中的常数项为_____.
14．已知正三棱锥 P ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的求面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________. 15. 若曲线
三、解答题：本大题共 4 小题；每小题 15 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
19. 已知函数 f (x )= sin (2 x +
)+sin(2 x )+2cos 2x 1 , x R . 3 3 (Ⅰ)求函数 f (x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f (x ) 在区间 [ , ] 上的最大值和最小值. 4 4
4 1 2 1 B． C． D． 9 3 9 9 9. 将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有（） A． 12 种 B． 10 种 C．种 D．种

2022-2023学年度港澳台期末复习试卷(5)-教师版

2023届港澳台数学寒假作业（五）一、单选题1．已知{}1,2,4,8,16A =，{}2|log ,B y y x x A ==∈，则AB =（）A ．{}1,2B ．{}2,4,8C ．{}1,2,4D ．{}1,2,4,8 2．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A ．4B ．3C ．2D ．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+ 4．为了得到函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向右平移3π个单位长度 5．已知()cos 4cos2f x x =-，则()0f 的值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．8 6．已知向量,a b ，满足()()26a b a b +-=-，且1,2a b ==，则a 与b 的夹角为（）A ．4π B ．3π C ．6πD ．23π7．已知0.80.7a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<8．在正项等比数列{}n a 中，若3788a a a =，2105a a +=，则公比q =（） A ．122B ．122或1212⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．142D ．142或1412⎛⎫ ⎪⎝⎭9．在ABC 中，有一个内角为30︒，“30A ∠>︒”是“1sin 2A >”的（）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要10．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，2AB =，E 为PB 的中点，若3cos ,3DP AE =，则PD =（） 11． A ．1B ．32C ．3D ．211．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60和45，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为（） A ．64B ．63C ．26D ．2312．已知函数()()()[)()222,,0,44ln 1,0x x x f x g x x x x x ⎧+∈-∞⎪==--⎨+∈+∞⎪⎩，，若存在实数a ，使得()()0f a g x +=，则x 的取值范围为（）A ．[]1,5-B ．(][),15,-∞-+∞C ．[)1,-+∞D ．(],5-∞ 二、填空题 13．已知，若，则实数k 的值是____________．14．已知2sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________．15．已知命题:p 函数()()log 201a y ax a a a =+>≠且的图象必过定点()1,1-；命题:q 如果函数()3y f x =-的图象关于原点对称，那么函数()y f x =的图象关于点3,0对称，则命题p q ∨为__________（填“真”或“假”）．16．函数()20.4log 34y x x =-++的值域是________.17．已知函数()212log 26y x ax =-+在()1,2上单调递增，则a 的范围为___________．18．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线称为“欧拉线”.已知ABC 的顶点(2,0),(0,4)A B ，其“欧拉线”的直线方程为20x y -+=，则ABC 的顶点C 的坐标__________.三、解答题19．设函数()f x a b =，其中向量()()2cos ,1,cos ,3sin 2,a x b x x x R ==∈．（1）若()1f x =,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求x 的值；（2）若函数2sin 2y x =的图象按向量(),2c m n m π⎛⎫=< ⎪⎝⎭平移后得到函数()y f x =的图象，求实数,m n 的值．20．设函数()()21(0)x f x ax x e a =+-<．（1）当1a =-时，函数()y f x =与()321132g x x x m =++的图象有三个不同的交点，求实数m 的范围；（2）讨论()f x 的单调性．21．如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，5sin cos 13BAC B ∠=∠=，13AB =. （1）求AC ；（2）求四边形ABCD 面积的最大值.22．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？参考答案1．C【解析】由已知可得{}0,1,2,3,4B =⇒A B ={}1,2,4，故选C ．2．C 【解析】，故选C ．3．A【解析】选项B 是偶函数，选项C 、D 是偶函数，故选A ． 4．D【详解】将函数cos 2y x =的图象向右平移3π,可得2cos 2cos 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ． 5．C【解析】()222cos 4(2cos 1)52cos (0)5205f x x x f =--=-⇒=-⨯=,故选C ．6．B【解析】()()222122112cos 22623a b a b a a b b cos πθθθ+-=+•-=+⨯-⨯=-⇒=⇒=,故选B ．7．C【详解】0.8000.70.71a <=<=； 1.1 1.1log 0.9log 10b =<=；0.901.1 1.11c =>=.得到b a c <<故选C 8．D【详解】由3788a a a =得()326753111168a q a q a q a q a ⋅⋅===，即62a =．22106()4a a a ∴==，又2105a a +=，解得21014a a =⎧⎨=⎩或21041a a =⎧⎨=⎩，0q >，11181084242a q a ⎛⎫∴=== ⎪⎝⎭或1111884104211242a q a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D.9．C【解析】在ABC ∆中，有一个内角为030000150A ⇒<<,故030A >⇔1sin 2A >，故选C ． 10．D【详解】由已知DP DA DC 、、两两垂直，所以以D 为原点，建立如图所示的坐标系，设(0)PD a a =>，则(0,0,)P a ，(2,0,0)A ，连接BD 取中点F ，连接EF ，所以//EF PD ，EF ⊥平面ABCD ，所以(1,1,)2a E ，所以(0,0,)DP a =，(1,1,)2a AE =-，由3cos ,3DP AE =，得2232cos ,3114a DP AE DP AE DP AE a a ⋅===⋅⋅++，解得2a =.故选：D. 11．A【详解】如图所示：∵1B B ⊥平面ABCD ，∴1BCB ∠是1B C 与底面所成角， ∴160BCB ∠=．∵1C C ⊥底面ABCD ， ∴1CDC ∠是1C D 与底面所成的角，∴145CDC ∠=．连接1A D ，11A C ，则11//A D B C ． ∴11A DC ∠或其补角为异面直线1B C 与1C D 所成的角．不妨设1BC =，则112CB DA ==，113BB CC CD ===，∴16C D =，112A C =．在等腰11AC D 中，1111162cos 4C DA DC A D ∠==, 所以面直线1BC 和1CD 所成角的余弦值为64.故选：A . 12．A【解析】当()20,(1)11x f x x <=+-≥-，当()0,ln(1)ln10()x f x x f x ≥=+≥=⇒的值域是22[1,)()()1441450g x f a x x x x -+∞⇒=-≤⇒--≤⇒--≤⇒x 的取值范围为[]1,5-，故选A ．13．1-【解析】(2,1),(3,12)2(12)(3)01a b a kb k k k k k -+=--+=+--⇒+++=⇒=-．14．16【解析】21cos 2()1sin 214cos 4226παπαα++-⎛⎫+=== ⎪⎝⎭． 15．真【解析】()log (1)21,a y a a =-+=∴命题p 为真；()3y f x =-的图象关于原点对称，则函数()y f x =的图象关于点3,0对称成立，∴命题q 为真，因此命题p q ∨为真．16．[)2,-+∞【详解】解：由题可知，函数()20.4log 34y x x =-++，则2340x x -++>，解得：14x -<<，所以函数的定义域为()1,4-，设()223253424f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，()1,4x ∈-，则31,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 为增函数，3,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 为减函数，可知当32x =时，()f x 有最大值为254，而()()140f f -==，所以()2504f x <≤，而对数函数0.4log y x =在定义域内为减函数，由复合函数的单调性可知，函数()20.4log 34y x x =-++在区间31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，在3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数， 0.425log 24y ∴≥=-，∴函数()20.4log 34y x x =-++的值域为[)2,-+∞.故答案为：[)2,-+∞. 17．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】令226t x ax =-+，则()12log y f t t ==，0t >，因为()12log f t t =在()1,2上是减函数，函数()212log 26y x ax =-+在()1,2上单调递增，所以226t x ax =-+在()1,2上是减函数，因为函数226t x ax =-+对称轴为x a =，开口向上，所以222460a a ≥⎧⎨-+≥⎩，解得522a ≤≤，a 的范围为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．(4,0)-【详解】设(),C m n ，由重心坐标公式得ABC 的重心为24,33m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入欧拉线方程得242033m n++-+=整理得40m n -+=①，因为AB 的中点为()1,2，40202AB k -==--，所以AB 的中垂线的斜率为12，所以AB 的中垂线方程为()1212y x -=-即230x y -+=，联立23020x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，∴ABC 的外心为()1,1-，则()()()222212111m n ++-=++②，联立①②得4,0m n =-=或0,4m n ==，当0,4m n ==时，点B 、C 两点重合，舍去； ∴4,0m n =-=即ABC 的顶点C 的坐标为()4,0-.故答案为：()4,0-. 19．（1）4x π=-；（2）,112m n π=-=．【解析】（1）依题设，()22cos 3sin 212sin 26f x a b x x x π⎛⎫==+=++⎪⎝⎭，由12sin 2136x π⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，得3sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为33x ππ-≤≤，所以52266x πππ-≤+≤，所以263x ππ+=-，即4x π=-．（2）函数2sin 2y x =的图象按向量(),c m n =平移后得到函数()2sin 2y x m n =-+的图象，即函数()y f x =的图象．由（1）得()2sin 2112f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为2m π<，所以,112m n π=-=． 20．（1）3116m e --<<-；（2）当12a =-时，函数()f x 在R 上单调递减，当12a <-时，函数()f x 在上递减，在21,0a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，在()0,+∞上递减；当102a -<<时，函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在21,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．【解析】试题解析：（1）当1a =-时，()()()23211132xf xg x x x e x x m ⎛⎫-=-+--++ ⎪⎝⎭，故()23211132xm x x e x x ⎛⎫=-+--+⎪⎝⎭，令()()23211132x h x m x x e x x ⎛⎫==-+--+ ⎪⎝⎭，则()()()()()2211x x h x x x e x x x x e =-+-+=-++'，故当1x <-时， ()0h x '<；当10x -<<时， ()0h x '>；当0x >时， ()0h x '<； ()3116h e -=--，()01h =-，故3116m e --<<-.（2）因为()()21x f x ax x e =+-，所以()21xa f x ax x e a +⎛⎫ ⎝'=+⎪⎭. 当12a =-时， ()0f x '≤恒成立，故函数()f x 在R 上单调递减；当12a <-时， 21a x a +<-时， ()0f x '<， 210a x a+-<<时，()0f x '>，当0x >时， ()0f x '<，故函数()f x 在上递减，在21,02a +⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，在()0,+∞上递减；当102a -<<时， 0x <时， ()0f x '<， 210a x a +<<-时， ()0f x '>，当21a x a+>-时， ()0f x '<；故函数()f x 在(),0-∞上单调递减，在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在21,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上，当12a =-时，函数在R 上单调递减，当12a <-时，函数在上递减，在21,02a +⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，在()0,+∞上递减；当102a -<<时，函数在(),0-∞上单调递减，在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在21,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 21．（1）12；（2）12330S =【详解】（1）5sin cos 13BAC B ∠=∠=，则由同角三角函数关系式可得12cos sin 13BAC B ∠=∠==，则()sin sin B BCA AC B ∠∠=+∠ sin co cos sin s B B AC B AC B ∠+∠⋅=⋅∠∠551212113131313=⨯⨯=+，则2BCA π∠=，所以12sin 131213AC AB B =⋅=⨯=. （2）设,,AD x DC y ==在DAC ∆中由余弦定理可得2222cos AC DA DC DA DC ADC =+-⋅⋅∠，代入可得22144x y xy =++，由基本不等式222x y xy +≥可知1442xy xy -≥，即48xy ≤，当且仅当x y ==1sin 2ADC S xy ADC ∆=∠14822≤⨯⨯=1125302ACB S ∆=⨯⨯=，所以四边形ABCD 面积的最大值为30S =. 22．（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．【详解】(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x ＋0.005＋0.0025)×20＝1得： x ＝0.0075，所以直方图中x 的值是0.0075. ------------- 3分 (2)月平均用电量的众数是2202402+＝230. ------------- 5分因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a －220)＝0.5 得：a ＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分抽取比例＝112515105+++＝15，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5户．-- 12分考点：频率分布直方图及分层抽样。

香港(新版)2024高考数学部编版模拟(拓展卷)完整试卷

香港（新版）2024高考数学部编版模拟(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程为（）A．B．C．D．第(2)题函数在区间的图像大致为（）A．B．C．D．第(3)题在复平面内，对应的点位于（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(4)题若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值为（）A．1B．0C．1D．1或1第(5)题已知函数，当时，的最小值为．若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，然后再将得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则不等式的解集为（）A．B．C．D．第(6)题如图所示，正方体的棱长为，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，若球能在此正八面体内自由转动，则球半径的最大值为（）A．B．C．D．第(7)题的展开式中的系数为（）A．B．C．40D．80第(8)题已知函数，设甲：；乙：函数在上恰有两个零点，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（）A．双曲线的离心率B．为定值C．的最小值为3D．若直线与双曲线的渐近线交于、两点，点为的中点，（为坐标原点）的斜率为，则第(2)题某学校为了调查学生对“只要学习够努力，成绩一定有奇迹”这句话的认可程度，随机调查了90名本校高一高二的学生，其中40名学生来自高一年级，50名学生来自高二年级，经调查，高一年级被调查的这40名学生中有20人认可，有20人不认可；高二年级被调查的这50名学生中有40人认可，有10人不认可，用样本估计总体，则下列说法正确的是（）（参考数据：，，，）A．高一高二大约有66.7%的学生认可这句话B．高一高二大约有99%的学生认可这句话C．依据的独立性检验，认为学生对这句话认可与否与年级有关D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为学生对这句话认可与否与年级无关第(3)题已知点，，，，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，D．的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为______．第(2)题某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______．第(3)题已知正四棱锥中，是边长为3的等边三角形，点M是的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面，平面与截面PAC交线段的长度为2，则平面与正四棱锥表面交线所围成的封闭图形的面积可能为______________.（请将可能的结果序号填到横线上）①2；②；③3；④.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)；以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）若，求以曲线与轴的交点为圆心，且这个交点到直线的距离为半径的圆的方程.第(2)题如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，．(1)证明：；(2)证明：平面；(3)求三棱锥的体积．第(3)题已知数列，，且对任意n恒成立．（1）求证：(n)；（2）求证：(n)．第(4)题已知命题p：函数有零点；命题q：函数区间内只有一个极值点若为真命题，求实数a的取值范围．第(5)题在中，内角所对的边分别为.，，.（Ⅰ）求边的值；（Ⅱ）求的值.。