港澳台联考数学模拟题(5)

中华人民共和国普通高等学校联合招收 华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试模拟试题（5）数 学满分150分，考试用时120分钟考生注意：这份试卷共三个大题，所有考生做一、二题，在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）A ．{2}B ．{3}C ．{－3，2}D ．{－2，3} 2．已知命题p: "x ÎR ，cos x ≤1，则 （ ）A ．1cos ,:≥∈∃⌝x R x pB ．:p Ø" x ∈R ，cos x ≥1C ． 1cos ,:>∈∃⌝x R x pD ．:p Ø" x ∈R ，cos x ＞13.若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ( )A 、-6B 、13 C.32D.13 4.若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 （ ） A ．-2 B. 22 C.34 D. 25、在△ABC 中，a ,b ,c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，且2223b c bc a ++=，则A ∠等于 （ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π6．如图，目标函数u=ax －y 的可行域为四边形OACB(含边界). 若点24(,)35C 是该目标函数的最优解，则a 的取值范围是 （ ）A ．]125,310[--B ．]103,512[--C ．]512,103[D ．]103,512[-7．若函数1()ax f x e b=-的图象在x =0处的切线l 与圆C: 221x y +=相离，则P(a ，b)与圆C 的位置关系是 （ ） A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不能确定8．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”． 黑“电子狗”爬行的路线是111AA A D →→ ，黄“电子狗”爬行的路线是1AB BB →→ ，它们都遵循如下规则：所爬行的第i ＋2段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i 是正整数）． 设黑“电子狗”爬完2008段、黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 （ ）A ． 0B ．1C ．2 D ．39．已知函数2()f x x x c =++，若(0)f ＞0，()f p ＜0，则必有 （ ）A ．(1)f p +＞0B ．(1)f p +＜0C ．(1)f p +=0D ．(1)f p +的符号不能确定10．曲线32y x x =-在横坐标为-1的点处的切线为l ，则点(3,2)P 到直线l 的距离为（ ）A ．722 B ．922 C ．1122 D ．9101011．已知{}(,)|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)|4,0,20A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P落在区域A 的概率为（ ） A ．13 B ．23 C ．19 D ．2912．对于函数①()|2|f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．② D ．③二、填空题：（本大题共8题，每小题4，共32，把答案填写在题横线上）.13、 曲线 所围成的封闭图形的面积为_________ 14．在平面直角坐标系xoy 中已知△ABC 的顶点A(－6，0) 和C(6，0)，顶点B 在双曲线 的左支上，15．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……试用 n 表示出第n 个图形的边数 ____________n a =. 16、三位同学在研究函数 f (x ) =x1 + | x |(x ∈R ) 时，分别给出下面三个结论： ① 函数 f (x ) 的值域为 (－1,1) ② 若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)③ 若规定 f 1(x ) = f (x )，f n +1(x ) = f [ f n (x )]，则 f n (x ) =x 1 + n | x |对任意 n ∈N *恒成立. 你认为上述三个结论中正确的个数有 17、如图，圆 O 的割线 PBA 过圆心 O ，弦 CD 交 P A 于点F ，且△COF ∽△PDF ，PB = OA = 2，则PF = 。

18、极坐标系中，点P (2,)6π-到直线：:sin()16l πρθ-=的距离是 ．19、不等式|1||3|2x x +--≥的解集是20、求过点M （1，-1，2）,N （-1，0，3）且平行于z 轴的平面方程A COF BD P1,1,2,0y x x y x====sin sin sin A C B 则-=2212511x y -=三、解答题：在第三题（21、22、23）题中任选两题；理工考生做24、25题；文史考生做26、27题。

解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程． 21、（本小题满分14分） 在ABC ∆中，已知内角3A π=，边23BC =.设内角B x =,面积为y .(1) 求函数()y f x =的解析式和定义域； (2) 求y 的最大值.22．（本小题满分14分）旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条. （1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率 （2）求恰有2条线路没有被选择的概率. （3）求选择甲线路旅游团数的期望.23．（本小题满分14分）如图，直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的高为3，底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O ，A 1C 1∩B 1D 1=O 1，E 是O 1A 的中点. （1）求二面角O 1－BC －D 的大小； （2）求点E 到平面O 1BC 的距离.24．（本小题满分15分，文史类考生不做）设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. 若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；25. （本小题满分15分，文史类考生不做）设函数()ln 1f x x px =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；E O 1OD 1C 1B 1DCBAA 126．（本小题满分15分，理工类考生不做）设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. 若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；27. （本小题满分15分，文史类考生不做）设函数()ln 1f x x px =-+ （Ⅰ）求函数()f x 的极值点；（Ⅱ）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围；数学试题参考答案一、选择题（本大题12，共6分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACADDBBBAADC二、填空题：（本大题共须作8题，每小题4，共32，把答案填写在题横线上）.13、 ln 2 14、5615、134n -´ 16、3 17、3 ；18、13+。

；19、}{2x x ≥ 20、x+2y+1=0三、解答题 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21、（本小题满分14分）解：（1）ABC ∆的内角和A B C π++=3A π=203B π∴<<…………………1分sin 4sin sin BC AC B x A == 2sin 4sin()sin 3BC AB C x A π∴==-……………5分12sin 43sin sin()23y AB AC A x x π∴=⋅=- 2(0)3x π<<…………………7分 （2）y = 23143sin sin()43sin (cos sin )322x x x x x π-=+……………9分 26sin cos 23sin x x x =+723sin(2)3,(2)6666x x ππππ=-+-<-<…………12分 当262x ππ-=即3x π=时，y 取得最大值33 ………………………14分22（本小题满分14分）解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P 1=834334=A …………3分（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P 2=16943222324=⋅⋅A C C ……6分 （3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3………………7分P （ξ=0）=64274333= P （ξ=1）=6427433213=⋅CP （ξ=2）= 64943313=⋅C P （ξ=3）= 6414333=C ………………9分∴ξ的分布列为：………………10分∴期望E ξ=0×6427+1×6427+2×649+3×641=43………………12分 23．（本小题满分14分）解法一（1）过O 作O F ⊥BC 于F ，连接O 1F ，∵OO 1⊥面AC ，∴BC ⊥O 1F ，∴∠O 1F O 是二面角O 1－BC －D 的平面角，………………3分∵OB=2，∠OB F =60°，∴O F =3.在Rt △O 1O F 在，tan ∠O 1F O=133,3OO OF ==∴∠O 1F O=60° 即二面角O 1—BC —D 为60°………………6分（2）在△O 1AC 中，OE 是△O 1AC 的中位线，∴OE ∥O 1C ∴OE ∥O 1BC ，∵BC ⊥面O 1OF ，∴面O 1BC ⊥面O 1O F ，交线O 1F . 过O 作OH ⊥O 1F 于H ，则OH 是点O 到面O 1BC 的距离，………………10分 ∴OH=3.2∴点E 到面O 1BC 的距离等于3.2………………12分解法二：（1）∵OO 1⊥平面AC ，∴OO 1⊥OA ，OO 1⊥OB ，又OA ⊥OB ，………………2分建立如图所示的空间直角坐标系（如图） ∵底面ABCD 是边长为4，∠DAB=60°的菱形，∴OA=23，OB=2，则A （23，0，0），B （0，2，0），C （－23，0，0），O 1（0，0，3）………3分设平面O 1BC 的法向量为1n=（x ，y ，z ），则1n ⊥1O B ，1n ⊥1OC，∴2302330y z x z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩，则z=2，则x =－3，y=3，∴1n =（－3，3，2），而平面AC 的法向量2n =（0，0，3）………………5分ξ 0 1 2 3P6427 6427 649 641∴cos<1n ，2n>=21436||||2121=⨯=⋅⋅n n n n ， 设O 1－BC －D 的平面角为α， ∴cosα=1,2∴α=60°. 故二面角O 1－BC －D 为60°. ………………6分（2）设点E 到平面O 1BC 的距离为d ，∵E 是O 1A 的中点，∴1EO =（－3，0，32），………………9分则d=2323)3(|)2,3,3()23,0,3(|||||22211=++--⋅-=⋅n n EO ∴点E 到面O 1BC 的距离等于32。