第9章 静电场的基本规律

由场强的定义，可得，
即 （4）
（4）式表明：电场中任一点处的总场强等于各点电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和，即场强叠加原理。
利用叠加原理，原则上可以计算任何带电体系所产生的电场的场强分布。
点电荷系的场强公式：
设点电荷系 ， ，…， 处于真空中，各点电荷到场点P的矢径分别为 ， ，…， ，各点电荷在P点激发的场强分别为，
由场强叠加原理，带电体在P处的总场强为，
（8）
在实际问题中，带电体按其形状特点，其电荷分布可简化为体分布、面分布和线分布。
1．电荷分布为体分布的带电体在空间激发的场强
对于电荷的体分布，可取 ，其中 为电荷的体密度， 为物理小体元，带电体在 点激发的场强为
（9）
2．电荷分布为面分布的带电体在空间激发的场强
电场线：在电场中做一些有方向的曲线，让曲线上每点的切线方向和该点的场强方向一致，这样的曲线叫做电场线。
为了使电场线不仅能表示场强的方向，还可以表示场强的大小，引入了电场线密度的概念。
电场线密度：通过与该点电场方向垂直的单位面积上的电场线条数。
在作电场线时，使电场中任一点的电场线密度与该点的场强大小成正比，即
式中 是闭合曲面所包围的电荷的代数和。
对高斯定理的简单讨论：
1．点电荷的电场
在点电荷q的电场中，以q为中心，以任意长度 为半径，作一球面，如图所示。
点电荷q的电场具有球对称性，在来自面上各点 的大小都是 ，方向沿矢径方向，处处与球面正交。由（4）式可求得通过球面的电通量为，
若曲面为任意形状，如图示的 ，我们总可以选择适当的半径作一球面，将曲面包围，由于电场线连续通过，因而通过两曲面 和 的电通量必定相等，都等于 。
其中， ，
在 处，
电偶极子：若两电荷间的距离远小于它们到场点的距离，这样的电荷系统称为电偶极子。
电偶极矩矢量（ ）： 其中 的大小为两电荷之间的距离， 的方向由负电荷指向正电荷。 描述了电偶极子本身的特性。
基于此，上面的结果可记为，
在延长线上，
在中垂线上，
例题2真空中一均匀带电直线，常为L，带电荷为Q，求直线外一点P处的场强。P点到直线的距离为 ,到直线两端点的连线与直线的夹角分别为 和 。
2．电场线；电场强度通量；高斯定理及其应用。
3．电场力做功的特点；静电场的环路定理；电势和电势差；电势叠加原理及电势的计算。
4．等势面；电场强度和电势的关系；利用电势求电场强度的分布的计算方法。
◆本章教学重点
1．库仑定律；静电场；电场强度及其计算。
2．高斯定理的内容及其应用。
3．电场力做功的特点；电势和电势差的概念；电势的计算方法。
4．等势面的概念；电场强度和电势的关系。
◆本章教学难点
1．电场强度及其计算。
2．高斯定理及其应用。
3．电势的计算。
4．电场强度和电势的关系。
◆本章学习方法建议
1．正确理解静电场、电场强度、电势和电势差的概念。
2．掌握库仑定律的矢量表达式，明确“点电荷”的概念和库仑定律的适用条件。
3．明确电场强度是矢量，而电势是标量，前者服从矢量叠加原理，后者服从标量叠加原理；注意理解掌握电场强度和电势间的关系。
这样，场强的大小就可以用电场线的疏密程度反映出来。
几种简单电场的电场线图：
正点电荷负点电荷
两个等值异号点电荷两个等值同号点电荷
静电场的电场线的两条最重要的性质：
（1）电场线起始于正电荷（或来自于无穷远），终止于负电荷（或伸向无穷远）。在没有电荷的空间里，电场线既不会相交也不会中断。
（2）电场线不构成闭合曲线（或者说电场线上各点的电位沿电场线方向不断减小）。
的方向：当 与 同号时，表现为斥力，方向沿 方向；
当 与 异号时，表现为引力，方向沿 的反方向。
因此， =－
★注意：库仑定律的使用条件：
（1）点电荷
（2）必须是静止的点电荷。
二、叠加原理
实验表明：库仑力满足叠加原理。
叠加原理的内容：对多个点电荷的系统，其中任一点电荷所受的静电力等于其它点电荷单独存在时作用于该电荷上的静电力的矢量和。
当点电荷位于曲面之外时，如图所示，可以看出，进入和穿出曲面的电场线条数相等。由于进入电通量为负穿出为正，所以总电通量为零。
2．任意带电体系的静电场
当闭合曲面内包围多个点电荷时，由于场强满足叠加原理，所以，
在电场中任取一闭合曲面 ，通过 面的电通量为
式中的 仅指被包围在 面内的那部分电荷的代数和。
上式表明：若干点电荷存在时的电通量等于每一点电荷产生的场强通过该闭合曲面电通量的代数和。
第9章静电场的基本规律
◆本章学习目标
1．理解电荷的量子化和电荷守恒定律；掌握库仑定律的内容。
2．理解静电场的概念，掌握电场强度和电位的概念、电场强度和电位叠加原理、二者的计算方法以及它们之间的联系。
3．掌握高斯定理和静电场的环路定理的内容，会用高斯定理计算电场强度分布。
◆本章教学内容
1．电荷的量子化和电荷守恒定律；库仑定律；电场强度及其计算。
电荷(电荷量)：表示物体所带电荷的多寡程度的物理量。
二、电荷的量子化
原子结构：
原子核外的电子数目等于原子核内的质子数目，原子呈电中性；若原子或分子由于外来原因失去(或得到)电子，就成为带正电(或带负电)的离子。
自然界中电子或质子所带电荷是最小的：
电子： 质子：
电荷的量子化：所有带电体或其它粒子所带电量都是电子或质子所带电量的整数倍，是以不连续的量值出现的。
§9.4高斯定理
一、电通量
为了进一步研究电场的性质，我们利用电场线来引入电通量的概念。
电通量：穿过电场中某曲面的电场线条数。用 表示。
1．电场对开曲面的电通量
如下图（a）(b)所示，设电场为匀强电场，根据电场线密度的定义，穿过垂直于电场
（a）(b)
方向的平面S的电通量为 (1)
若平面S与 不垂直，平面S的法向矢量 与 的方向成 角，如图(b)所示，则穿过S面的电通量 (2)
实验表明：在感应起电过程中所得到的两部分电荷是相同的。(再举一些表明电荷守恒的例子)
电荷守恒定律：电荷只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到
另一部分，或者说，在一个与外界没有电荷交换的孤立系统内，无论发生怎样的物理过程，该系统电荷的代数和保持不变。
四、电场
“超距作用”观点：一个带电体所受到的电力是由另一个带电体直接给予的。这种作
4．结合实例，透彻分析、理解高斯定理的物理意义，明确应用高斯定理求解场强的条件。
参考资料
程守洙《普通物理学》（第五版）、张三慧《大学物理基础学》及马文蔚《物理学教程》等教材。
§9.1电荷电场
一、电荷电荷量
带电体：处于带电状态的物体称为带电体。
自然界的电荷 (解释摩擦带电的原因)
电力：带电体之间的相互作用力；同种电荷相排斥，异种电荷相吸引。
对于电荷的面分布，可取 ，其中 为电荷的面密度， 为小面元，带电体在 点激发的场强为
（10）
3．电荷分布为线分布的带电体在空间激发的场强
对于电荷的线分布，可取 ，其中 为电荷的线密度， 为小线元，带电体在 点激发的场强为
（11）
★注意：在具体计算中，应建立适当坐标系，写出 在各坐标轴方向上的分量式，分别积分计算 的各分量，在合成矢量 。
在SI中，场强单位：
匀强电场：电场中各点场强的大小和方向都相同。
电场力： （2）
★试探电荷 应满足下列条件：
1．必须是几何线度足够小的点电荷，以便能用它来确定电场中每一点的性质。
2．电量必须充分小，其引入电场后对原电荷及电场的分布的影响可以忽略。
二、点电荷的电场
如图所示：设真空中有一点电荷 。其周围空间内的电场分布计算如下：
五、电场求解问题
例题1一对等量异号点电荷 和 ，相距为 ,求其连线的延长线和中垂线上一点的场强。
解：建立如图所示的坐标系
（1）其连线的延长线上任一点的场强：
在延长线上任取一点 ， 和 产生的场强方向相反，大小分别为
则 点的合场强的大小为，
在 处，
（2）其连线的中垂线上任一点的场强：
在中垂线上任取一点 ， 和 大小相等，方向关于x轴对称，因此两矢量在y轴方向上的投影互相抵消，在x轴方向上的投影大小相等，方向相同，并且沿x轴的负方向。则 点处的合场强的大小为，
在距 为r处的 点（场点）放一试探电荷 ，则 所受的电场力为
根据电场强度的定义可得 点的场强为
其中 为从 指向场点方
向上的单位矢量。
的方向
如果点电荷q放置在无限大的均匀电介质中，电介质的介电常数为 ，则空间各点的场强为
（3）
三、场强叠加原理
在点电荷系 ， ，…， 的电场中，试探电荷 所受的电场力等于各个点电荷单独存在时对 的作用力 ， ，…， 的矢量和，
用既不需要中间物质进行传递，也不需要时间，而是从一个带电体立即到达另一个带电体。
“场”作用观点：两个电荷之间相互作用是由电场传递的，需要时间。
场是一种物质，具有能量、动量和质量。
电场力：当物体带电时，就在它的周围激发电场，处在电场中的电荷将受到力的作用，这种力叫做电场力。
静电场：相对于观察者静止的电荷所激发的电场。
一、电场强度
把试探电荷 放入电场的某点，实验发现：
（1）在给定电场中的同一点，分别放入电荷不同的试探电荷 ，结果发现 所受电场力的大小随 电荷的增减而增减，但 比值不变。
（2）对于电场中不同的点，比值 一般情况下并不相同。
电场强度： （1）
在数值和方向上等于处在该点的单位正电荷所受到的库仑力的大小和方向。
解：建立如图所示的坐标系，此为电荷连续分布问题。在直线上距原点O为y处，取电荷元
，其在P点处产生的场强
大小为，