第一讲 三角级数,正交函数系
三角级数
三角级数 - 三角级数形如的级数称为正交函数级数，其中сn是和x无关的实数,{φn(x)}是在某固定区间【α,b】上正交的函数系,特别当正交函数系是【0,2π】上的三角函数系时，相应的级数可写作(1)称为三角级数。
式中αn(n=0,1,2,…)和b n(n=1,2,…)是与x无关的实数，称为三角级数(1)的系数。
三角级数(1)还可以写成下面复数形式的级数：(2)式中系数（叿n 表示сn的共轭复数）。
级数(2)的部分和S n理解为如果三角级数(1)对一切实数x都收敛,那么(1)表示了实数轴上的一个周期为2π周期函数ƒ(x),即ƒ(x+2π)=ƒ(x)对一切x∈(- ∞，∞)都成立。
这是因为(1)中每一项都是周期为2π的周期函数。
但是实际问题往往是，对给定的函数ƒ，如果它是具有周期2π的周期函数,需要把它表示成三角级数(1)。
19世纪初,法国科学家J.-B.-J.傅里叶在研究热的流动时，为了求解热方程，首先就提出了这个想法。
他的设想，虽然从现在的观点看，缺乏理论的严谨性，但却是人们对三角级数进行研究的出发点，对于近代数学以及物理、工程等许多学科都有着深远的影响。
如果三角级数(1)一致收敛于连续函数ƒ(x),那么用cos kx或sin kx去乘级数(1)，再在区间(0,2π)上进行积分，注意到逐项积分的可能性，就得到系数αn,b n与函数ƒ的关系式：(3)公式(3)表达的系数αn,b n称为函数ƒ的傅里叶系数，以ƒ的傅里叶系数为系数的三角级数就称为ƒ的傅里叶级数。
上面的事实说明：一致收敛于函数ƒ的三角级数必为ƒ的傅里叶级数。
对于给定的周期函数ƒ(x)，如果ƒ是可积的,那么从(3)式仍然可以得到αn，b，从而得到相应的傅里叶级数(1)。
这就建议人们去研究ƒ的傅里叶级数是否n收敛于ƒ以及有关的许多问题。
从19世纪到现在,傅里叶级数的理论逐步得到建立，已成为三角级数理论中的一个基础分支，也是一个具有广泛应用的工具学科（见傅里叶级数）。
十五章傅里叶级数
2
2
2
当只给出一种周期旳体现式时，傅里叶级数在两端点旳值
可用 上述公式求之.
例1：设
x, f (x) 0,
0 x x 0
求f
旳傅里叶级数展开式.
解： 函数f 及其周期延拓后的图象如图所示，
y
3 2 O 2 3 4
x
显然 f 是按段光滑旳,故由收敛定理，它能够展开成傅里叶级数。
因为
第十五章 傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、 三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期旳函数旳傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数 正交函数系
在科学试验与工程技术旳某些现象中，常会遇到一种周期运动，最简
单旳周期运动，可用正弦函数 A sin(x ) 来描写。
所体现旳周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅， 为初相角，
f (x) cos kxdx
a0 cos kxdx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx)dx n1
cos2 kxdx
f (x) cos kxdx ak
ak
1
f (x) cos kxdx
(k 1, 2, )
同理可得:
bk
1
f (x) sin kxdx
f 的傅里叶级数收敛于f 在点x的左，右极限的算术平均值，即
f
(x
0) 2
f
(x 0)
a0 2
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
其中an ,bn为f的傅里叶系数。
推论：
若f 是以2为周期的连续函数，且在[， ]上按段光滑，则 f 的
01-收敛定理
f ( x 0) f ( x 0) a0
2
2
(an cos nx bn sin nx),
n1
其中 an ,bn 为f 的傅里叶系数.
定理的证明将在§3中进行.
数学分析 第十五章 傅里叶级数
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§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
注 尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数, 但它对 函数的要求却比幂级数要低得多, 所以应用更广. 而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉.
§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系 以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
第三讲 收敛定理
数学分析 第十五章 傅里叶级数
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§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系
收敛定理
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
定理15.3（傅里叶级数收敛定理）
若以 2π 为周期的函数 f 在 [π, π]上按段光滑, 则在每一点 x [π, π], f 的傅里叶级数(12)收敛 于f 在点 x 的左、右极限的算术平均值, 即
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§1 傅里叶级数 三角级数 • 正交函数系
如图15-2所示.
y
以2π为周期的函数的傅里叶级数
y f(x)
收敛定理
3π πO π 3π 5π x
图15 2 实线与虚线的全体表示 y fˆ(x)
因此当笼统地说函数的傅里叶级数时就是指函数 fˆ 的傅里叶级数.
数学分析 第十五章 傅里叶级数
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概念解释
1.若f 的导函数在[a, b]上连续, 则称f 在[a, b]上光滑.
2.如果定义在[a, b]上函数 f 至多有有限个第一类间 断点, 其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存
傅里叶级数11.6
例1 设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[−π, π)上的表达式为 − 1, − π ≤ x < 0, f ( x) = 1, 0 ≤ x < π . 将f(x)展开成傅里叶级数． 解 所给函数满足收敛定理的条件， 函数f(x)的傅里叶级数在 f(x)的连续点x(x≠kπ) 处收敛于f(x)，在f(x)的间断点x=kπ(k=0, ±1, ±2, · · · ) 处收敛于 1 1 [f(x−0)+f(x+0)]= (−1+1)=0， 2 2 y 1 −2π −π O −1 π 2π x
傅里叶系数计算如下： 1 π an = ∫ f(x)cos nx dx =0 (n =0, 1, 2, · · ·)；
π π
−π
bn = =
1 1
∫π
−
π
f(x)sin nx dx (−1)sin nx dx+
1
π
∫π
−
0
π
∫
π
0
1·sin nx dx
1 1 cos nx 0 1 cos nx π ] −π + [− ]0 = [1−cos n π− cos n π+1] = [ n π n π nπ
1
π
∫π
−
π
f(x)sin nx d =0 (n =1，2，· · ·)．
于是f(x)的傅里叶级数展开式为
1 1 f(x)= − (cos x+ 2 cos 3x+ 2 cos 5x+ · · · ) (−π≤x≤π)． 2 π 3 5
π
4
4 2 , n = 1, 3, 5, ⋅ ⋅ ⋅ , n [1−(−1) ] = nπ = nπ 0, n = 2, 4, 6, ⋅ ⋅ ⋅ .
高等数学(第三版)课件：傅立叶级数
,
0,
n 1,3,5, n 2,4,6,
f
(x)
k 2
2k π
sin
πx 2
1 sin 3
3πx 2
1 5
sin
5πx 2
x , x 0, 2, 4,
在x 0, 2, 4,收敛于k 2
3、三角函数系的正交性
三角函数系在π,上π 正交,是指三角函数系中任
何不同的两个函数的乘积在区间 上π,的π 积分等
于零. 即 (1)ππ1 cos nxdx 0 (n 1,2,3,)
(2)ππ1 sin nxdx 0 (n 1,2,3,) (3)ππsin kx cos nxdx 0 (k, n 1,2,3,) (4)ππ cos kx cos nxdx 0 (k,n 1,2,3,, k n) (5)ππsin kxsin nxdx 0 (k,n 1,2,3,,k n)
x
l换为:
π
z
π,
l
而f (x)
f
lz π
F ( z),
故F ( z)为周期为2π的周期函数，满足
狄里克雷条件，
将F (z)展开成傅立叶级数后,回代z πx ， l
即可得证.
当f(x)为奇函数时
f
(x)
bn
n 1
sin
nπx l
其中系数bn为
(x C)
bn
2 l
0l
f
( x) sin
nπ l
xdx
(n 1,2,3,)
当f(x)为偶函数时
f
(x)
a0 2
an
n 1
cos nπx l
其中系数an为
(x C)
an
三角函数的正交性
n
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an
1 cos n n2
2
(
2k 1)2
0,
,
n 2k 1 n 2k
( k 1, 2 ,)
bn
1
f (x)sin nx d
2 cos x
x
1
0
x sin nxdx
sin x 1 sin 2x (
n
(1)n1
1,n2, )
4
2
2
32
cos3x 1 sin 3x 1 sin 4x
周期延拓 F (x)
f (x) 在 [0 , ]上展成 余弦级数
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例6. 将函数
分别展成正弦级
数与余弦级数 .
解: 先求正弦级数. 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,
2
0
(
x
1)
sin
nx
d
x
2
x cos nx n
sin nx n2
cos nx n
0
2 1 cos n cos n
(利用正交性)
ak
1
f (x) cos k x dx
( k 1, 2, )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
bk
1
f
(x)sin k x dx
(k 1, 2, )
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f
(x)
a0 2
n1
an
cos
nx
bn
sin
nx
①
an
1
f (x) cos nx d x
1 三角函数之正交性PPT课件
7
9
( x ,x 0 , , 2 , )
说明:
y
1
1) 根据收敛定理可知,
o
当 x k(k 0 , 1 , 2 , )
x
1
时,级数收敛于 11 0 2
2) 傅氏级数的部分和逼近
f (x) 的情况见右图.
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第七节 傅里叶级数
第十一章
一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数
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一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动 : yAcost()(谐波函数)
( A为振幅,为角频率, φ为初相 )
称上述形式的级数为三角级数.
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不同振幅的 波叠加在一
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定理 1. 组成三角级数的函数系
1 , coxs,sinx , cos2x, sin2x, ,co n,sxsinnx,
在[,]上正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
[,]上的积分等于 0 .
0 (n 0 ,1 ,2 , )
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bn1 f(x)sinnd xx
1 0 ( 1 )sn id n x 1 0 1 sn id n x x
1
cosnx n
0
1
consnx0
21cons
n
n21(1)n
4 n 0
例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 [,)
数学分析15.1傅里叶级数
第十5章 傅里叶级数1傅里叶级数一、三角级数·正交函数系概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω2π.常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1k k y =∑=n1k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=ω2π.若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞=1n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，记A 0=2a 0，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.定理15.1：若级数2a 0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |， 由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且⎰ba φ(x )ψ(x )dx=0，则 称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：⎰ππ-cosnx dx=⎰ππ-sinnx dx=0；⎰ππ-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即⎰ππ-2nx cos dx=⎰ππ-2nx sin dx=π；⎰ππ-21dx=2π.二、以2π为周期的函数的傅里叶级数定理15.2：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：a n =⎰ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，∴⎰ππ-f(x )dx=2a⎰ππ-dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =2a 0·2π=a 0π.即a 0=⎰ππ-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：f(x)coskx=2a 0coskx +∑∞=1n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有coskx f(x )ππ-⎰dx=2a 0⎰ππ-coskx dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分kx cos a 2ππ-k ⎰dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )ππ-⎰dx= a k π，即a k =⎰ππ-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =⎰ππ-f(x)sinkx π1dx (k=1,2,…).概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作f(x)~2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .注：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .三、收敛定理概念4：若f 的导函数在[a,b]上连续，则称f 在[a,b]上光滑. 若定义在[a,b]上除了至多有限个第一类间断点的函数f 的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数f ’的左右极限存在，则称f 在[a,b]上按段光滑.注：若函数f 在[a,b]上按段光滑，则有： 1、f 在[a,b]上可积；2、在[a,b]上每一点都存在f(x ±0)，且有t 0)f(x -t)f(x lim 0t +++→=f ’(x+0)，t-0)f(x -t)f(x lim 0t ---→=f ’(x-0)；3、补充定义f ’在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后，f ’在[a,b]上可积.定理15.3：(傅里叶级数收敛定理)若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.注：当f 在点x 连续时，则有20)-f(x 0)f(x ++=f(x)，即f 的傅里叶级数收敛于f(x).推论：若周期为2π的续连函数f 在[-π, π]上按段光滑，则f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f.注：由f 周期为2π，可将系数公式的积分区间[-π, π]任意平移，即：a n =⎰+2πc c f(x)cosnx π1dx, b n =⎰+2πc c f(x)sinnx π1dx, n=1,2,….c 为任意实数. 在(-π, π]以外的部分，按函数在(-π, π]上的对应关系作周期延拓，如 f 通过周期延拓后的函数为：,2,1k ],1)π(2k , 1)π-(-(2k x ，) 2π-f(x ]π, (-πx ，f(x)(x)f ˆ⎩⎨⎧⋯±±=+∈∈= 函数f 的傅里叶级数就是指函数(x)fˆ的傅里叶级数.例1：设f(x) )0, (-πx ，0]π[0,x x ，⎩⎨⎧∈∈=，求f 的傅里叶级数展开式.解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰ππ-f(x)π1dx=⎰π0x π1dx=2π. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx=⎰π0xcosnx π1dx=⎰-π0π0sinnx n π1|xsinnx n π1dx=π2|cosnx πn 1 =πn 12(cosn π-1)=πn 1(-1)2n -；b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx=⎰π0xsinnx π1dx=-⎰+π0π0cosnx n π1|xcosnx n π1dx=n (-1)1n +.∴在(-π, π)上，f(x)=4π+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n n2n sinnx n (-1)cosnx πn 1-)1(.当x=±π时，该傅里叶级数收敛于20)πf(0)πf(+±+-±=20π+=2π.∴f 在[-π, π]上的傅里叶级数图象如下图：例2：把函数f(x)= π2x πx πx 0πx 0 x 22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<，，，展开成傅里叶级数. 解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰2π0f(x)π1dx=⎰π02x π1dx-⎰2ππ2x π1dx =-2π2. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx =⎰π02cosnx x π1dx-⎰2ππ2cosnx x π1dx ； 又⎰π02cosnx x π1dx=⎰-π0π02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=21n n 2(-1)+-；⎰2ππ2cosnx x π1dx=⎰-2ππ2ππ2xsinnx n π2|sinnx x n π1=21n 2n 2(-1)n 4++； ∴a n =21n 221n n 2(-1)n 4n 2(-1)++---=2n4[(-1)n -1]. b n =⎰2π0f(x)sinnx π1dx=⎰π02sinnx x π1dx-⎰2ππ2sinnx x π1dx ；又⎰π02sinnx x π1dx=-⎰-π0π02xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --+；⎰2ππ2sinnx x π1dx=-⎰-2ππ2ππ2xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=-πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n +--+； ∴b n =πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --++πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n --++ =πn ](-1)-4[1n 2π)1(n 4π3n n ---=πn ](-1)-4[1n (-1)]-[1 2πn 2π3n n -+ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πn 4n 2π](-1)-[1n 2π3n ；∴当x ∈(0, π)∪(π, 2π]时， f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4 .当x=π时，该傅里叶级数收敛于20)f(π0)f(π++-=2)π(π22-+=0；当x=0或2π时，该傅里叶级数收敛于20)f(00)f(0++-=204π-2+=-2π2.注：由当x=2π时，有f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4=-π2+∑∞=1n n 21]-[(-1)n4=-π2-8∑∞=+0n 21)(2n 1=-2π2. 可求得∑∞=+0n 21)(2n 1=8π2.例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以将巨形波看成一系列不同频率的简庇振动的叠加，在电工学中称为谐波分析。
三角级数正交函数系
利用三角级数正交函数系，可以快速计算定积分或不 定积分。
求解数值方程
通过三角级数正交函数系，可以求解一些数值方程， 如求解线性方程组或求解非线性方程的根。
05
三角级数正交函数系的计算 方法与技巧
直接法
定义
直接法是利用三角级数正交函数的定义，通过求解线性方程组来计算 函数系的方法。
步骤
首先确定函数系的基函数，然后根据基函数的性质和正交条件建立线 性方程组，求解方程组得到函数系。
在电磁场领域，三角级数正交 函数系用于描述电磁波的传播 和散射等行为，对于电磁波的 传播规律、天线设计和电磁兼 容性分析等具有重要意义。
02
三角级数正交函数系的分类
傅里叶级数
傅里叶级数是一种三角级数，以法国数学家约瑟夫·傅里叶命名。它可以将一个周期函数表示为无穷多 个正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶级数的系数通过积分来计算，并且满足正交条件，即不同频率的正弦和余弦函数的积分值为零。
三角级数正交函数系的应用领域
信号处理
图像处理
振动分析
电磁场
在信号处理中，三角级数正交 函数系用于表示和分解周期信 号，如音频信号、振动信号等 ，以便进行滤波、去噪和特征 提取等操作。
在图像处理中，三角级数正交 函数系用于图像压缩、图像滤 波和边缘检测等方面，能够实 现高效的图像处理和传输。
在振动分析中，三角级数正交 函数系用于描述振动系统的响 应和行为，通过将振动信号表 示为三角级数，可以方便地分 析系统的固有频率、阻尼比和 模态等参数。
偏微分方程等领域。
贝塞尔函数
01
贝塞尔函数是一类在数学和物 理中常见的函数，以德国数学 家弗里德里希·贝塞尔命名。
02
三角正交函数系
三角正交函数系
三角正交函数系是数学中的一种重要的函数系，它是由三角函数组成的一组正交函数。
这个函数系在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
三角正交函数系的定义是：在区间[-π,π]上，对于任意的整数n和m，有以下的正交性质：
∫[-π,π]sin(nx)sin(mx)dx=0，当n≠m时
∫[-π,π]cos(nx)cos(mx)dx=0，当n≠m时
∫[-π,π]sin(nx)cos(mx)dx=0，对于任意的n和m
其中，sin(nx)和cos(nx)分别是正弦函数和余弦函数，它们是三角函数的两种基本形式。
三角正交函数系的一个重要性质是它是完备的，也就是说，任何一个在[-π,π]上的周期函数都可以用三角正交函数系展开成一个无限级数。
这个级数称为傅里叶级数，它的形式为：
f(x)=a0/2+∑(n=1)∞[an*cos(nx)+bn*sin(nx)]
其中，a0、an和bn是傅里叶系数，它们的计算公式为：
a0=1/π∫[-π,π]f(x)dx
an=1/π∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
bn=1/π∫[-π,π]f(x)sin(nx)dx
三角正交函数系的应用非常广泛，它可以用来解决各种数学问题，如微分方程、偏微分方程、边值问题等。
在物理学中，三角正交函数系也有很多应用，如电磁场的分析、声波的传播等。
在工程领域中，三角正交函数系也被广泛应用于信号处理、图像处理等方面。
三角正交函数系是一种非常重要的函数系，它的应用范围非常广泛。
对于学习数学、物理、工程等领域的人来说，掌握三角正交函数系的基本概念和性质是非常重要的。
三角级数与三角函数系的正交性
傅里叶级数三角级数及三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数正弦级数与余弦级数三角级数及三角函数系的正交性1. 三角级数周期运动是自然界中广泛存在的一种运动形态,例如描述简谐 对周期运动可用周期函数来近似描述.)sin(ϕω+=t A y 就是一个以2πω为周振动的函数 期的正弦函数.例如周期为T 的矩形波：值得注意的是:并非所有的周期过程都能用简单的正弦函数来表示. 2Txu O E2T想法： 将周期函数展开成由简单的周期函数(例如三角函数)组成的级数.即: 若()f t 是周期为2πT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭的周期函数,则 sin()n n A n t ωϕ+01()n f t A ∞==+∑ 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ϕ都是常数.将正弦函数)sin(n n t n A ϕω+变形成为sin()n n A n t ωϕ+sin cos cos sin n n n n A n t A n t ϕωϕω=+, 令00,sin ,cos ,2n n n n n n a A a A b A t x ϕϕω====， 则级数01sin()n n n A A n t ωϕ∞=++∑就可以改写为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑. 其中),3,2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数. 三角级数2. 三角函数系的正交性三角函数系1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,x x x x nx nx 在区间[]π,π-上是正交函数系, 即π-πcos d 0 (1,2,3,)nx x n ==⎰,π-πsin cos d 0 (,1,2,3,)kx nx x k n ==⎰, π-πcos cos d 0 (,1,2,3,,)kx nx x k n k n ==≠⎰, π-πsin sin d 0 (,1,2,3,,)kx nx x k n k n ==≠⎰. π-πsin d 0(1,2,3,)nx x n ==⎰,0(,1,2,3,,)k n k n ==≠. 例如当k n ≠时,有ππππ1cos cos d [cos ()cos ()]d 2kx nx x k n x k n x x --=++-⎰⎰ ππ1sin ()sin ()2k n x k n x k n k n -+-⎡⎤=+⎢⎥+-⎣⎦在三角函数系中, 两个相同函数的乘积在区间[]π,π- 上的积分不等于零, 且有 π2π1d 2πx -=⎰, π2πsin d πnx x -=⎰ (1,2,3,)n =,π2πcos d πnx x -=⎰ (1,2,3,)n =.。
三角级数正交函数系
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例 1 以2 为周期的矩形脉冲的波形
u(t
)
Em , Em
,
0t t
将其展开为傅立叶级数.
u
Em
o
t
Em
解 在点x k(k 0,1,2,)处不连续.
收敛于 Em Em Em ( Em ) 0,
2
1
f ( x)cos nxdx,
(n 0,1,2,)
bn
1
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
为 f 的Fourier系数，以 f 的Fourier系数为系数 的三角级数称为 f 的Fourier级数。记为
f
(x)
~
a0 2
n1
1 62
,
3
1
1 22
1 32
1 42
,
2
4
1
2
4
,
2
1
3
2
24
,
1
2
2
6
3
2 1
2
12
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四 正弦级数和余弦级数
(Sine series and cosine series)
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.
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u 4 (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sin7t 1 sin9t)
高中数学(人教版)傅里叶级数课件
其导函数在[a, b]上除了至多有限个点外都存 并且在这有限个点上导函数
在且连续, 极限存在,
f 的左、右
则称 f 在
[a , b]上按段光滑.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
在[a, b]上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质: (i) f 在 (ii) 在
所产生的一般形式的三角级数. 容易验证,若三角级数(4)收敛, 则它的和一定是一
个以
为周期的函数. 2π
关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
定理15.1
若级数
| a0 | (| an | | bn, |) 收敛 2 n 1
(8)
( x ) ( x )dx 0,
a
b
则称 交性.
与 在 [a , b] 上是正交的,
由此三角函数系(5)在
或在
[a , b]上具有正
[ π, π] 上具有正交性.
或者说(5)是正交函数系.
§1 傅里叶级数
三角级数 · 正交函数系
以2π为周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
(10a ) (10b周期的函数的傅里叶级数
收敛定理
以的傅里叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三
角函数系) 的傅里叶级数,
记作
a0 f ( x ) ~ (an cos nx bn sin nx ). 2 n1
这里记号“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级
π
(7)
§1 傅里叶级数
三角函数的级数展开与级数应用
三角函数的级数展开与级数应用级数展开是数学中的一种重要方法，它可以用来将一个函数表示成无穷级数的形式。
在三角函数中，级数展开尤为常见且重要。
本文将探讨三角函数的级数展开以及级数应用的相关内容。
一、正弦函数的级数展开我们首先来讨论正弦函数的级数展开。
正弦函数可以表示为一个无穷级数的形式，即：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...上述级数中的每一项都具有特定的形式，即 x 的偶次幂除以相应的阶乘。
在级数展开中，随着项数的增加，级数的逼近精度也会提高，但是需要注意的是，在某些特定的 x 值处，级数可能不收敛。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况来确定级数展开的范围。
二、余弦函数的级数展开接下来我们来讨论余弦函数的级数展开。
余弦函数可以表示为以下级数的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...即余弦函数的级数展开与正弦函数的级数展开相比，只是在每一项的正负号上有所不同。
同样地，在确定级数展开的范围时，需要注意级数的收敛情况。
三、级数应用级数在数学中具有广泛的应用，让我们一起来看看一些典型的级数应用。
1. 泰勒级数泰勒级数是一种用级数展开函数的方法。
任意一个光滑函数都可以表示成泰勒级数的形式。
泰勒级数的表达式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...其中 f(a) 表示函数在 a 点的函数值，f'(a) 表示函数在 a 点的导数，以此类推。
泰勒级数的应用十分广泛，可以用来近似计算各种函数的值。
2. 弧长利用级数展开，我们可以计算曲线的长度，即所谓的弧长。
对于给定函数 f(x)，其在区间 [a, b] 上的弧长可以表示为以下级数的形式：L = ∫(a到b) sqrt(1 + (f'(x))²) dx通过级数展开后，我们可以使用级数的求和公式，将弧长表示为无穷级数的形式，从而进行计算。
D117傅立叶级数38802共36页文档
说明: 当 x(2k1)时, 级数收敛于 0()
2
2
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定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
f(x ),
x [ ,)
F(x)
f(x2k), 其它
傅里叶展开
同理可证 : sikn xsinn xdx0(kn)
co kxsinn xdx0
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
上的积分不等于 0 . 且有
11dx2 co2snxdx sin2nxdx
co2nsx1co2nsx, si2nnx1co2n sx
2
2
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二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且
f(x)a 2 0n 1(anco ns xbnsinn)x ①
右端级数可逐项积分, 则有
②
证: 由定理条件, 对①在
逐项积分, 得
f(x ) d a x 2 0 d x n 1 a n cn o x d x s b n sn ix d n x
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
f(x) 1 1,,
x0 0x
y
1
将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 先求傅里叶系数
o
x
1
1 0 ( 1 )cn o d x x s 1 0 1 cn o d x x s
0 (n 0 ,1 ,2 , )
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函数傅立叶级数_物理意义
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bn
1
f (x)sin nx d x
1
0
(1)
sin
nx
d
x
1
0
1
sin
nxdx
1
cos nx n
0
1
cos nx n
0
2
n
1
cos
n
2
n
1
(1)n
4,
n
0,
当n 1, 3, 5, 当n 2 , 4 , 6 ,
f (x) 4 sin x 1 sin 3x 1 sin(2k 1)x
cos 5x
( x )
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物理意义
f
(x)
2
4
n1
1 (2n
1)2
cos( 2n
1) x
(
x
)
y
f (x)
O
4π
2π π
π 2π
x
4π
不同频率余弦波逐个叠加成锯齿波
利用此傅氏展开式求几个特殊的级数的和
简介 目录 上页 下页 返回 结束
既
1.设x0(π,π)是f(x)的连续则点 有 ，
S (x ):a 2 0 n 1 (a ncn o x s b nsinn ) xf(x );
2.设x(π,π) 是 f (x)的间断点， 则有
S(x)1[f(x0)f(x0);] 2
3.当xπ,π时， 有
S(x)1[f(0)f(0).]
f ( x)sin nxdx,
(n 1,2,)
或
an
1
2 0
f ( x)cos nxdx,
三角级数论
三角级数论三角级数论是数学中的经典分支之一，它的研究对象是由三角函数构成的级数。
在实际应用中，三角级数论具有广泛的应用背景，例如信号分析、图像处理、物理、工程等领域。
三角级数是指形如下面的级数：$$ f(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)] $$其中 $a_0, a_n, b_n$ 都是实数系数。
这个级数通常被称为傅里叶级数，因为这个级数最早是由法国科学家傅里叶在热传导方程的研究中引入的。
三角级数一般具有周期性，这意味着该函数在任意一个周期内都可以用上式给出的级数来表示。
实际上，任何一个具有周期性的函数都可以表示成三角级数。
不同的是，具体的系数取值不同，因此三角级数在某些特定的领域有着不同的应用。
研究三角级数最常使用的工具是傅里叶变换，它是将信号从时域（即时钟信号上）转换到频域（即频谱，例如不同音键的音）。
在实际应用中，傅里叶变换可以大大简化信号分析的过程，使分析者更好地理解各种信号。
在物理领域中，三角级数是处理振动问题的主要工具。
例如，利用傅里叶级数分析机械结构的振动情况，可以得出机械结构的物理特性，并进一步使用这些特性进行优化设计。
在工程领域中，三角级数可以用来表示热传导的过程。
利用傅里叶级数可以研究热传导过程的特性，并设计相应的热传导处理器件，例如散热器、冷却器件等。
在图像处理领域中，三角级数被广泛应用于图像处理中。
例如，图像的压缩、降噪等过程都可以利用三角级数进行处理，使得处理后的图像有更高的清晰度和更好的可读性。
综上所述，三角级数论是数学中一个重要的分支，为空间分析、傅里叶变换、信号分析、图像处理、物理、工程等领域提供了强大的分析工具和优化算法，是广大科学家和工程师必修的数学课程之一。
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一、三角级数·正交函数系二、
三、收敛定理
数学分析第十五章傅里叶级数
§1 傅里叶级数三角级数• 正交函数系以2π为周期的函数的傅里叶级数收敛定理
三角级数，正交函数系
第一讲
数学分析第十五章傅里叶级数
其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数的--==⎰
⎰π
π
ππ
cos d sin d 0,
(6)
nx x nx x π
πππ
ππcos cos d 0(),sin sin d 0(),(7)
cos sin d 0.mx nx x m n mx nx x m n mx nx x ---⎫=≠⎪⎪
=≠⎬⎪
=⎪⎭
⎰⎰⎰乘积在上的积分等于零,[π,π]-易见三角级数系(5)中所有函数有共同的周期2,π即
1,cos ,sin ,cos 2,sin 2,,cos ,sin ,(5)
x x x x nx nx
数学分析第十五章傅里叶级数
等于零, ππ
22πππ
2
πcos d sin d π,(8)1d 2πnx x nx x x ---⎫==⎪
⎬⎪=⎭
⎰⎰⎰ϕψ[,]a b 若两个函数与在上可积, 且
=⎰
()()d 0
b
a
x x x ϕψϕψ[,]a b 则称与在上是正交的, 由此三角函数系(5)在[π,π]-上具有正交性.而(5)中任何一个函数的平方在[π,π]-上的积分都不交性. 即
[,]a b 上具有正或在1,cos ,sin ,cos 2,sin
2,,cos ,sin ,(5)x x x x nx nx 或者说(5)是正交函数系.。