利用构造法求分式的值

利用构造法求分式的值

在给定条件下求分式的值，是一种综合性较强的题型，一般不能直接带入求值，解决这类问题不仅要掌握熟练的基础知识，而且还要根据题目特点，把已知条件或所求分式适当加以变形和转化，沟通两者之间的联系，然后利用构造法找到解题捷径．

一、构造方程组

例1 （银川中考）已知4a －3b －6c ＝0，a ＋2b －7c ＝0，求222

222

23657a b c a b c ++++的值． 分析 由题设构造三元一次不定方程组，选定其中任一未知数作为已知值，再求出a 、b 、c 三者之间的关系，最后代入待求分式，通过约分求值．

二、构造比例常数

例2（德州中考）已知0234

x y z ==≠，求232x y z x y z -++-的值． 分析 由已知x 、y 、z 之间的比例关系，可以设一个比例常数k 来表示x 、y 、z 解决问题．

设0234x y z k ===≠， 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ．

三、构造特殊值 例3（安顺中考）已知20,10a b b c ==，则a b b c

+=+（ ）

(A)1121 (B)2111 (C) 11021 (D) 21011

分析 对于分式求值一类的填空题和选择题，只要在题目允许的取值范围之内，用特殊值法去解，就显得非常方便与简捷．

解 由条件，可令a ＝200，b ＝10，c ＝1， 则2001021010111

a b b c ++==++． 故选D ．

四、构造一元二次方程

例4（天水）已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=，则b a a b

+=_______． 分析 由条件，可运用韦达定理构造一元二次方程求解，但要注意分类讨论．

解 分两种情况讨论：

五、构造二次函数

例5 （西宁中考）设实数s ，t 分别满足

19s 2＋99s ＋1＝0，t 2＋99t ＋19＝0，并且st ≠1，求41st s t

++的值． 分析 此题求代数式的值，代数式本身不能化简，如分别解题设的两个一元二次方程求出s 、t 的值再代入分式求值，将非常繁琐，故不可取，然而通过构造二次函数求值，则不仅方法新颖，富有创意，而且简捷明快．

六、构造1x x

+ 例6（玉林中考）已知2310x x -+=，求2

421

x x x ++的值．

分析 由已知一元＝次方程求出x 题设知x ≠0，故在已知方程两边同时除以x ，构造出等式x ＋1x

＝3，然后变形待求分式，使之可以利用上述等式，问题便迎刃而解，代入求值就会简便许多．

七、构造公式

例7 （绵阳中考）已知

248124801111x x x x +++=++++，则()()(

)()2481111x x x x ++++＝_______． 分析 在已知条件中，再补上一项

11x -，则可使等式左边凑成能使用平方差公式的形

式．

八、构造对偶式

例8 （吉林中考）α、β是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个实数根，不解方程，求

222234a a αββ

+++的值． 分析 大多数学生解本题时，一般都会想到应用韦达定理，然而所求分式的分母代数

式是非对称式，因而无法使用韦达定理为此构造α2＋3β２＋4β的对偶式β２＋3α2＋4α，可

以辅助求解．

九、构造倒数

例9（兰州中考）已知a、b、c为实数，且

1

3

ab

a b

=

+

，

1

4

bc

b c

=

+

，

1

5

ca

c a

=

+

，求

abc

ab bc ca

++

的值．

分析由题设三个分式求出a、b、c的值比较困难，但将题设三个分式和待求分式分别取倒数，再结合倒数拆分，就可以快捷求解了．

解由已知三个方程左右两边取倒数，得

十、构造方差

例10（锦州中考）已知a＋b＋c＝6，a2＋b2＋c2＝12，求

23

a b c

a b c

++

++

的值．

分析已知条件中出现a＋b＋c＝6，因此可直接考察a、b、c三数的方差．

综上所述，构造法求分式值的关键在于，要从题设和待求式的实际出发，根据问题的结构特征构造适当的辅助表达式，这种构造性解题思想符合新课程的理念，它能使抽象或隐含的条件，清晰地显示出来，能把复杂的问题转化为简单的问题，因而解题时能化繁为简，变难为易，故笔者认为，加强这类专题的研究是很有必要的．