材料力学第10章_梁的应力(1)

F l x l
150 kN
x 2m
2 x 2 . 667
200 kN 吊车
150 kN 吊车
2 x 2 . 667
2.确定I字钢型号
A B
C
F
l
辅助梁
x
M
max
A
200 l 2 . 667
266 . 6 kNm
FA
FB
M
max
B 150
F A 46 . 9 kN
31 . 9
查表
kN
28 . 1 3 . 75
15
N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
kNm
13 . 16
例 简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。 解 1、计算梁底层微段的伸长量
(x)
M (x) WZ
1
A
q
B
( x) E ( x)
x
考虑脱离体的平衡，须满足 下面三个平衡条件 （1）
z M
F

ix
0
dA 0
A
y A z σ
y
x
FN
dA
A

E
A
y

dA
E


ydA
A
E

Sz 0 Sz 0
（中性轴Z轴为形心轴）
（2）
M
y
M
iy
0
z
A
dA 0

dAz
最大正应力的确定
⑴ 截面关于中性轴对称

My IZ
max
t
My
max
IZ
c
WZ
IZ y max
z
max max

M Wz
Wz ——截面的抗弯截面系数
⑵ 截面关于中性轴不对称
max
t
My
t max
Iz
z
max
c

My
c max
Iz
几种常见截面的 IZ 和 WZ 圆截面 空心圆截面
a
c
b a o
A
d c o1
Ｂ
y

b
d
dx
d


A1 B 1 AB AB

A1 B 1 OO 1 OO 1
A１
Ｏ
Ｏ１
Ｂ１ x
( y )d d
d

y

y


A1 B 1 AB AB

A1 B 1 OO 1 OO 1
( y )d d
d

y

(1)
（二）物理关系：

y
......
由纵向线应变的变化规律→正应力的分布规律。
在弹性范围内
d

E
Ｏ Ｏ１
E
Ey

...... (2)
A１
y
Ｂ１ x
E
Ey
1


为梁弯曲变形后的曲率
上式说明了横截面上正应力的分布规律，表明正应力沿截面高度
呈线性变化，距中性轴越远，应力值越大，在中性轴处正应力为零。
Fa
Fb
C截面：
max
MC W zC
6

Fb
d 2
32
3

62 . 5 160 32
0 . 13
3
M
46 . 4 10 Pa 46 . 4 MPa
结论:轮轴安全
例 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝2m。T形截 面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝1.02×108mm4。求弯矩 最大截面上的最大拉应力和最大压应力。
y
150
F
A

96 . 4
A


M Ay l IZ
24 . 09 MPa
3
B
C 50
z
200
2F
1400 600
16 10 250 96 . 4 1 . 02 10
3
8
50

A

M Ay y IZ
12 kNm
A

A
E

y
zdA
E


A
yzdA
E

I yz 0
I
yz
0
z M
（y轴为对称轴，自然满足）
也就表明横截面的惯性积为零。 这就表示 y、z 轴是形心主轴。
y A z σ
y
E
x
（3）

M iz 0


y dA M 0
A
M

y dA
A

Z
E
A
y

ydA
h0
三、梁的正应力强度条件

max


材料的许用弯曲正应力
M
max
1、中性轴为横截面对称轴的等直梁
Wz


2、拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
ycmax
t max [ t ]
O
ytmax
z y
c max [ c ]
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为


tmax
200 kN 吊车 150 kN 吊车
1.确定F加在辅助梁的位置
A
B
M
M
A
0 0
F l x F B l F l x 0 l
Fx F A x F A l 0 l
C
辅助梁
x
B
FA
F
l
FB
令: F A
FB
Fx l
200 kN
x 2 . 667 m
200
C
z
IZ
50
例 长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上承 受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯强度［σ］ =215MPa。
q 30 kN m
解
B
A
0 .5 m
WZ
M
2m
F B 28 . 1kN

max
61 . 2 cm
3
线伸长区，中间必有一层纵向
无长度改变的过渡层------称 为中性层 。
中间层与横截面的交线 －－中性轴
梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动 了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
5、线应变的变化规律：
取dx长的微段梁进行研究 选中性层与横截面的交线为 z 轴，轴线方向为x 轴，与xz垂直 的为y 轴，取向下为正。 设中性层的曲率半径为 ， 微段左右两截面的相对转角为 d ， 因中性层长度不变，故有 dx d 因此距中性层为y处的线应变为
3、假设：
（1）弯曲平面假设： 梁变形前原为平面的横截面 变形后仍 为平面，且仍垂直于 变形后的轴线，只是各横截面绕 其上的某轴转动了一个角度。 （2）纵向纤维假设： 梁是由许多纵向纤维组成的， 且各纵向纤维之间无挤压。 突出一侧纤维伸长 凹入一侧纤维缩短
4、中性层与中性轴
根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的纵向 线缩短区到其凸出一侧的纵向
Iz

c

1、强度校核
——
max ；
M Wz max 2、设计截面尺寸——
3、确定外荷载 —— Mmax Wz
;
例 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力， 并加以比较。
200
100
q 2 kN m
200
4m
100
qL 8
2
竖放
qL
2
max
IZ
d
64
4
WZ
d
32
3
d
IZ
D644源自(1 )4WZ
D
32
2
3
(1 )
4
d
D
矩形截面 空心矩形截面
IZ
bh 12
3
WZ
3 3
bh 6
h b
IZ
b0 h0 12

3
bh 12

WZ (
b0 h0 12
bh 12
3
) /( h 0 / 2 )
h
b b0
例 图示为机车轮轴的简图。试校核轮轴的强度。已知
材料的许用应力
60 MPa .
（1）计算简图 解： （2）绘弯矩图 （3）强度校核
B截面：
max
M
B

Fa
W zB
d1
32
6
3

62 . 5 267 32
0 . 16
3
41 . 5 10 Pa 41 . 5 MPa


M
M
max
y tmax
y cmax
Iz
max
[ t]
[ c]
y tmax y cmax

[ t] [ c]
cmax
Iz
弯曲正应力强度条件
max
M
max
max

Wz
M
max



t