工程数学第7章

7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.4 微分性质
若L［f(t)］=F(s)，则有 L［f′(t)］=sF(s)-f(0)。
证 根据拉普拉斯变换的定义，有
（7.2.5）
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.4 微分性质
这个性质表明，一个函数求导后取拉普拉斯变换等于这个函数的拉普拉斯 变换乘以参变数s，再减去函数的初值。
一般地，有
F(n)(s)=(-1)nL［tnf(t)］。
（7.2.9）
利用象函数的微分性质也可以求形如tnf(t)的函数的拉普拉斯变换。
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.5 积分性质
若L［f(t)］=F(s)，则
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.5 积分性质
这个性质表明了一个函数积分后再取拉普拉斯变换等于这个函数的拉 普拉斯变换除以复参数s。
7.1 拉普拉斯变换的基本知识
证明从略。 满足此条件的函数f(t)，称它的增长是不超过指数级的，其中c 为f(t)的增长指数。 大多数常见的函数均能满足定理中的两个条件，从而存在拉普 拉斯变换，如u(t)，ekt，tm，sin kt等函数虽然不满足傅里叶积分定 理中绝对可积的条件，但它们却都能满足拉普拉斯变换存在定理的 条件。因此，拉普拉斯变换的应用范围比傅里叶变换更为广泛。
L［αf1(t)+βf2(t)］=αF1(s)+βF2(s)；
（7.2.1）
L-1［αF1(s) + βF2(s)］ = αf1(t)+βf2(t)。 （7.2.2）
这个性质表明函数线性组合的拉普拉斯变换等于各函数拉普拉斯
变换的线性组合。它的证明只需根据定义，利用积分性质就可推出。
例7.2.1 求函数f(t)=cos3t+6e-3t的拉普拉斯变换。
L［eatf(t)］=F(s-a)。
（7.2.4）
证 根据拉普拉斯变换的定义，有
由此可以看出，上式右端只是把s换成s-a，所以 L［eatf(t)］=F(s-a)。
这个性质表明了一个象原函数乘以eat的拉普拉斯变换等于其象函 数做位移a。
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.3 位移性质
例7.2.4 求L[e-atsinkt],L[e-attn]（n为正整数）。
推论 若L［f(t)］=F(s)，则有 L［f(n)(t)］=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f′(0)-…-sf (n-2)(0)-f(n-1)(0)。（7.2.6） 特别的，当初值f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f(n-1)(0)=0时，有 L［f′(t)］=sF(s)， L［f″(t)］=s2F(s)，…，L［f(n)(t)］=snF(s)。 （7.2.7） 微分性质可将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系 统有着重要的作用。现在利用它推算一些函数的拉普拉斯变换。
7.1 拉普拉斯变换的基本知识
7.1.3 一些常见函数的拉普拉斯变换
例7.1.4 求f(t)=teat的拉普拉斯变换。
7.1 拉普拉斯变换的基本知识
7.1.3 一些常见函数的拉普拉斯变换
例7.1.5 求L［tf(t)］。
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.1 线性性质
设α,β为常数，L［f1(t)］=F1(s)，L［f2(t)］=F2(s)，则
工程数学
第7章 拉普拉斯变换
7.1 拉普拉斯变换的基本知识 7.2 拉普拉斯变换的性质
7.3
拉普拉斯逆变换
7.4 卷积
7.5
拉普拉斯变换的应用
7.6
MATLAB在拉普拉斯变换中的应用
7.1 拉普拉斯变换的基本知识
7.1.1Biblioteka Baidu拉普拉斯变换的定义
定义1 设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积分
称为函数f(t)的拉普拉斯变换式，记为
7.1.1 拉普拉斯变换的定义
例7.1.2 求阶跃函数
的拉普拉斯变换。
例7.1.3 求线性函数f(t)=t（t>0）的拉普拉斯变换。
7.1 拉普拉斯变换的基本知识
7.1.2 拉普拉斯变换的存在定理
从上面的定义与例子可以看出，虽然拉普拉斯变换存在的条件要比 傅里叶变换存在的条件弱很多，但这也不是说对于任意的一个函数都能进 行拉普拉斯变换。下面将介绍满足条件的函数类型。
重复运用式（7.2.10），就可得到
此外，由拉普拉斯变换的存在定理，还可以得到象函数的积分性质。 若L［f(t)］=F(s)，则有
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.5 积分性质
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.5 积分性质
注意 通过例7.2.7可以得到一个启示，即在拉普拉斯变换及其 一些性质中取s为某些特定值，就可以用来求一些函数的广义积分， 如取s=0，则由式(7.2.1)、式(7.2.8)及式(7.2.12)有
定理1（拉普拉斯变换的存在定理） 设函数f(t)满足下面的条件：
（1）在t≥0的任一有限区间上分段连续； （2）当t→+∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即存在常数 M>0 c≥0，使得
|f(t)|≤Mect（0≤t<+∞） 成立，则f(t)的拉普拉斯变换F(s)在半平面Re(s)>c上一定存在。
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.1 线性性质
例7.2.2 求函数f(t)=sinωt的拉普拉斯变换。
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.2 相似性质
设L［f(t)］=F(s)，则对任一常数a>0，有
例7.2.3 求L［u(5t)］。
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.3 位移性质
若L［f(t)］=F(s)，则
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.4 微分性质
例7.2.5 求函数L[tsinkt],
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.4 微分性质
例7.2.6 利用微分性质求f(t)=tm(m∈Z*)的拉普拉斯变换。
此外，由拉普拉斯变换存在定理，还可得到象函数的微分性质。
若L［f(t)］=F(s)，则有 F′(s)=-L［tf(t)］。 （7.2.8）
F(s)=L［f(t)］，
F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为象函数)。而f(t)称为F(s)的拉普拉斯
逆变换(或称为象原函数)，记为
f(t)=L-1［F(s)］。
（7.1.2）
7.1 拉普拉斯变换的基本知识
7.1.1 拉普拉斯变换的定义
例7.1.1 求指数函数eat的拉普拉斯变换。
7.1 拉普拉斯变换的基本知识