奥数 六年级 千份讲义 415 第29讲-完全平方数

数论-完全平方数

教学目标

完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.

知识点拨

一、完全平方数常用性质

1.主要性质

1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。

2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。

3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。

4.若质数p整除完全平方数2a，则p能整除a。

2.一些重要的推论

1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一

定不是完全平方数。

2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。

3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，

69，89，16，36，56，76，96。

4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。

5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。

6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。

7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然

数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

3.重点公式回顾：平方差公式：22()()

-=+-

a b a b a b

例题精讲

模块一、完全平方数基本性质和概念

【例 1】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛)1234567654321(1234567654321)

⨯++++++++++++是的平方．

【巩固】(华杯赛试题)下面是一个算式：112123123412345123456

+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？

【例 2】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

【巩固】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？

【例 3】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？

【巩固】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．

【巩固】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。

【例 4】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。

【巩固】考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是．

【例 5】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？

【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？

【巩固】三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．

【例 6】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．

【巩固】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．【例 7】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？

【巩固】(2008年清华附中考题)有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是．(请写出所有可能的答案)

【例 8】A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和

为．

【巩固】已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．

【例 9】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数．

【例 10】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．

【例 11】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能

够，请举出一例；若不能够，请说明理由．

【巩固】 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。

【例 12】 (2004年华杯赛)三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为

“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？

【例 13】 (2004年南京市少年数学智力冬令营)记(123)(43)S n k =⨯⨯⨯⨯++，这里3n ≥．当k 在1至

100之间取正整数值时，有 个不同的k ，使得S 是一个正整数的平方．

【例 14】 (2007年“走进美妙的数学花园”)称能表示成123k ++++的形式的自然数为三角数．有一个

四位数N ，它既是三角数，又是完全平方数．则N = ．

【巩固】 自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？

【例 15】 A 是由2002个“4”组成的多位数，即20024

4444个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出

B ；如果不是，请说明理由．