奥数 六年级 千份讲义 415 第29讲-完全平方数
初中奥数讲义_完全平方数和完全平方式附答案
完全平方数和完全平方式设n 是自然数，若存在自然数m ，使得n=m 2，则称n 是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数； (4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；(5)任何整数平方之后，只能是3n 或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n ，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数； (6)相邻两个整数之积不是完全平方数；(7)如果自然数n 不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n 是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数． 例题求解【例1】 n 是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l 是3个完全平方数之和． 思路点拨 设3n+1=m 2，显然3卜m ，因此，m=3k+1或m=3k+2(k 是正整数)． 若rn=3k+1，则k k m n 233122+=-=．∴ n+1=3k 2+2k+1= k 2+ k 2+( k+1)2．若m=3k+2，则1433122++=-=k k m n∴ n+1=3k 2+4k+2= k 2+(k+1)2+( k+1)2． 故n+1是3个完全平方数之和．【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数． 思路点拨 引入参数，利用奇偶分析求解．设所求正整数为x ，则 x+100=m 2----① x+168==n 2 -----②其中m ，n 都是正整数， ②—①得n 2—m 2=68，即 （n —m ）(n+m)=22×17．---- ③因n —m ，n+m 具有相同的奇偶性，由③知n —m ，n+m 都是偶数．注意到0<n —m<n+m ，由③可得⎩⎨⎧⨯=+=-1722m n m n ． 解得n=18．代人②得x=156，即为所求．【例3】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52—32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由． 思路点拨 1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k 2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．对于被4整除的偶数4k ，有4k=(k+1)2—(k —1)2(k=2，3，…)．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．对于被4除余2的数4k+2 (k=0，1，2，3，…)，设4k+2=x 2—y 2=(x+y)(x －y)，其中x ，y 为正整数，当x ，y 奇偶性相同时，(x+y)(x －y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x ，y 奇偶性相异时，(x+y)(x －y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x ，y 使得x 2—y 2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”． 因为1998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数”，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667．【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数abcde 满足下列条件： (1)它的各位数字均不为零； (2)它是一个完全平方数；(3)它的万位上的数字a 是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数bc 以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数de 也都是完全平方数． 试求出满足上述条件的所有五位数．思路点拨 设abcde M =2，且2m a =(一位数)，2n bc = (两位数)，2t de = (两位数)，则2224221010t n m M +⨯+⨯= ①由式①知 224222210210)10(t mt m t m M +⨯+⨯=+⨯= ② 比较式①、式②得n 2=2mt ．因为n 2是2的倍数，故n 也是2的倍数，所以，n 2是4的倍数，且是完全平方数． 故n 2=16或36或64．当n 2=16时，得8=mt ，则m=l ，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；故116642=M 或41616．当n 2=36时，得18=mt ．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去． 故436812=M 或93636．当n 2= 64时，得32=mt ．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去． 因此，满足条件的五位数只有4个：11 664，41 616，43 681，93 636．【例5】 (2002年北京)能够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．思路点拨 不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数． 理由如下：偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正整数的平方被4除余0或1．若存在正整数满足22002m n n j i =+；j i ，=1，2，3，4，rn 是正整数；因为2002被4除余2，所以j i n n 被4除应余2或3．(1)若正整数n 1，n 2，n 3，n 4中有两个是偶数，不妨设n 1，n 2是偶数，则200221+n n 被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n 1，n 2，n 3，n 4中至多有—个是偶数，至少有三个是奇数． (2)在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与j i n n 被4除余2或3的结论矛盾．综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得褥它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数． 【例6】 使得(n 2—19n+91)为完全平方数的自然数n 的个数是多少?思路点拨 若(n 2—19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了． ∵ n 2一19n+91=(n-9)2+(10一n) 当n>10时，(n －10)2<n 2－19n+19<(n-9)2 ∴ 当n>10时(n 2—19n+19)不会成为完全平方数 ∴ 当n ≤10时，(n 2—19n+91)才是完全平方数 经试算，n=9和n=10时，n 2—19n+91是完全平方数． 所以满足题意的值有2个．【例7】 (“我爱数学”夏令营)已知200221a a a ，，， 的值都是1或—1，设m 是这2002个数的两两乘积之和．(1)求m 的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件； (2)求m 的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．思路点拨 (1)m m a a a a a a 220022)(2200222212200221+=++++=+++ ，22002)(2200221-+++=a a a m ． 当1200221====a a a 或1-时，m 取最大值2003001．当200221a a a ，，， 中恰有1001个1，1001个1-时，m 取最小值—1001．(2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025，且200221a a a +++ 必为偶数，所以，当46200221=+++a a a 或46-；即200221a a a ，，， 中恰有1024个1，978个1-或恰有1024个1-，978个1时，m 取最小值57)200246(212=-． 【例8】 (全国竞赛题)如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式c bx ax ++2都是平方数(即整数的平方)，证明：(1) 2a 、2b 都是整数；(2)a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数．反过来，如果(2)成立，是否对一切x 的整数值，c bx ax ++2的值都是平方数? 思路点拨 (1) 令x=0，得c=平方数=2l ；令x=±1，得2m c b a =++，2n c b a =+-，其中m 、n 都是整数．所以，c n m a 2222-+=， 222n m b -=都是整数．(2) 如果2b 是奇数2k+l(k 是整数)，令x=4得22416h l b a =++，其中h 是整数． 由于2a 是整数，所以16a 被4整除，有2416416++=+k a b a 除以4余2．而))((22l h l h l h -+=-，在h 、l 的奇偶性不同时，))((l h l h -+是奇数；在h 、l 的奇偶性相同时，))((l h l h -+能被4整除．因此，22416l h b a -≠+，从而2b 是偶数，b 是整数，b c m a --=2 ^也是整数．在(2)成立时，c bx ax ++2不一定对x 的整数值都是平方数．例如，a=2，b=2，c=4，x=1时，c bx ax ++2=8不是平方数． 另解(2)：令x=±2，得4a+2b+c=h 2，4a —2b+c=k 2，其中h 、k 为整数．两式相减得 4b=h 2—k 2=(h+k)(h —k)．由于4b=2(2b)是偶数，所以h 、k 的奇偶性相同，(h+k)(h —k)能被4整除． 因此，b 是整数，b c m a --=2也是整数．学力训练(A 级)1．(山东省竞赛题)如果a -是整数，那么a 满足( )A ．a>0，且a 是完全平方数B ．a<0，且－a 是完全平方数C ．a ≥0，且a 是完全平方数D ．a ≤0，且—a 是完全平方数 2．设n 是自然数，如果n 2的十位数字是7，那么n 2的末位数字是( )A ．1B ．4C ．5D ．63．(五羊杯，初二)设自然数N 是完全平方数，N 至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N 的最大值是 ． 4．使得n 2—19n+95为完全平方数的自然数n 的值是 ．5．自然数n 减去52的差以及n 加上37的和都是整数的平方，则n= ． 6．两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是．7．是否存在一个三位数abc (a ，b ，c 取从1到9的自然数)，使得cab bca abc ++为完全平方数? 8．求证：四个连续自然数的积加l ，其和必为完全平方数． （B 级）1．若x 是自然数，设1222234++++=x x x x y ，则 ( ) A ．y 一定是完全平方数 B ．存在有限个，使y 是完全平方数 C ．y 一定不是完全平方数 D ．存在无限多个，使y 是完全平方数2．已知a 和b 是两个完全平方数，b 的个位数字为l ，十位数字为x ；b 的个位数为6，十位数字为y ，则( )A ．x ，y 都是奇数B ．x ，y 都是偶数C ．x 是奇数，y 是偶数D ．x 为偶数，y 为奇数 3．若四位数xxyy 是一个完全平方数，则这个四位数是 ． 4．设m 是一个完全平方数，则比m 大的最小完全平方数是 ．5．(全国联赛题)设平方数y 2是11个连续整数的平方和，则y 的最小值是 ．6．(北京市竞赛，初二)p 是负整数，且2001+p 是—个完全平方数，则p 的最大值为 ． 7．有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士? 8．证明：10006999309个各n n 是一个完全平方数．。
小学奥数 完全平方数 知识点+例题+练习 (分类全面)
二、完全平方数的等价条件：奇数个因数
注：计算一个数的因数先把这个数分解质因数，然后把不同质因数的个数加1以后再相乘所得的乘积就是因数的个数
例如:12=2×2×3
12的质因数2有2个,质因数3有1个因数个数:(2+1)×(1+1)=6个
180=2×2×3×3×5
2．完全平方数的约数一定有奇数个；有奇数个约数的数一定是完全平方数。
3. 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数
完全平方数除以3的余数只可能为为0或1；
完全平方数除以4的余数只可能为为0或1；
偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1。
（二）一些推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。
巩固、已知m，n都是自然数，且n2 126m，则n的最小值为。
四、“平方族”成员典型特征二：除以3或4只能余0或1
注：奇数的平方是奇数，偶数的平方为偶数，而奇数的平方除以4余1，偶数的平方能被4整除
例1、形如11，111，1111，11111，…的数中有没有完全平方数？
巩固、A是由2018个“4”组成的多位数，即444444……（2018个4），A是不是某个自然数B的平方？如果是，写出B；如果不是，请说明理由．
961、 3364、1111111、1521、 1234321、 1849、 89234
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
(小学奥数)完全平方数及应用(二)
1. 學習完全平方數的性質；2. 整理完全平方數的一些推論及推論過程3. 掌握完全平方數的綜合運用。
一、完全平方數常用性質1.主要性質 1.完全平方數的尾數只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在兩個連續正整數的平方數之間不存在完全平方數。
3.完全平方數的約數個數是奇數，約數的個數為奇數的自然數是完全平方數。
4.若質數p 整除完全平方數2a ，則p 能被a 整除。
2.性質性質1：完全平方數的末位數字只可能是0，1，4，5，6，9．性質2：完全平方數被3，4，5，8，16除的餘數一定是完全平方數． 性質3：自然數N 為完全平方數⇔自然數N 約數的個數為奇數．因為完全平方數的質因數分解中每個質因數出現的次數都是偶數次，所以，如果p 是質數，n 是自然數，N 是完全平方數，且21|n p N -，則2|n p N ．性質4：完全平方數的個位是6⇔它的十位是奇數．性質5：如果一個完全平方數的個位是0，則它後面連續的0的個數一定是偶數．如果一個完全平方數的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．性質6：如果一個自然數介於兩個連續的完全平方數之間，則它不是完全平方知識點撥教學目標5-4-5.完全平方數及應用（二）3.一些重要的推論1.任何偶數的平方一定能被4整除；任何奇數的平方被4（或8）除餘1.即被4除餘2或3的數一定不是完全平方數。
2.一個完全平方數被3除的餘數是0或1.即被3除餘2的數一定不是完全平方數。
3.自然數的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方數個位數字是奇數（1，5，9）時，其十位上的數字必為偶數。
5.完全平方數個位數字是偶數（0，4）時，其十位上的數字必為偶數。
6.完全平方數的個位數字為6時，其十位數字必為奇數。
7.凡個位數字是5但末兩位數字不是25的自然數不是完全平方數；末尾只有奇數個“0”的自然數不是完全平方數；個位數字為1，4，9而十位數字為奇數的自然數不是完全平方數。
完全平方公式课件2
定义
完全平方是指一个数的平方等于另一个数的平方 之和的情况。
特征
完全平方的数字可以写成两个整数的乘积的形式。
完全平方公式的定义和意义
完全平方公式是一种用来将一个二次多项式表示成一个平方项和一个常数项之和的方法。它在解方程、三角函 数和几何中有广泛的应用。
第一类完全平方公式
1
公式
(a + b)^ 2 = a^ 2 + 2ab + b^ 2
我们将介绍一个真实案例，讲述完全平方公式在工程建设中的实际应用，以及对项目成功的影响。
知识拓展：什么是不完全平方
我们将扩展讲解不完全平方的概念和特征，并与完全平方进行比较。
知识拓展：什么是勾股数和勾 股定理
我们将介绍勾股数和勾股定理的概念以及与完全平方公式之间的关系。
拓展阅读：数学史上的完全平方
完全平方公式在解方程中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些复杂的二次方程，并在实际问题中找到解。
完全平方公式在三角函数中的 应用
完全平方公式可以用于证明和简化一些三角函数的恒等式和性质。
完全平方公式在几何中的应用
完全平方公式可以帮助我们解决一些几何问题，如计算面积和求解直角三角形的边长。
完全平方公式的证明与思考
我们将探索数学史上与完全平方相关的重要事件和著名数学家的贡献。
反思与评价：完全平方公式学 习心得
让大家有机会分享自己在学习完全平方公式过程中的心得体会，并对课程进 行反思和评价。
例子
例如，5^ 2 - 3^ 2 = (5 + 3)(5 3) = 64
第三类完全平方公式
1 公式
(a - b)^ 2 = a^ 2 - 2ab + b^ 2
第三十二讲：完全平方数
第三十二讲：完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为 (＝1、2、3、……、n)不难发现：＝1＝＝1＋3＝4＝＝1＋3＋5＝9＝＝1＋3＋5＋7＝16＝………＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】求自然数列前n个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）练习1：袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
【例三】36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练：360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；第四秒，凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；第五秒，凡编号为5的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；一般地，第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态；那么第200秒时，明亮的灯泡有（）个。
完全平方数
完全平方数什么是完全平方数？相等两个整数的乘积是完全平方数，常见的完全平方数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441……例1.从1~10中最多可以选出个数，使得选出的数中，任何两个数的和不是完全平方数.[答疑编号0518320101]【答案】6【解答】选出2，3，4，8，9，10这六个数，可见其中任何两个数的和都不是完全平方数。
如果选出了七个数，将1~10分为6组，（10，6），（9，7），（8，1），（5，4），（2），（3），则必有一组中的两个数都被选出来了，那么它们的和是完全平方数。
所求的最大值是6。
完全平方数质因数分解的特征：将一个完全平方数质因数分解后，每个质因数的次数都是偶数。
推论：只有完全平方数恰有奇数个约数。
例2.从1到2012的所有自然数中，有个数乘以72后是完全平方数.1[答疑编号0518320102]【答案】31【解答】因为，所以要想乘以72以后是完全平方数，这个数本身应该是某个完全平方数的2倍.因为，所以从1到2012中，符合要求的数有31个.例3.素数A、B互不相等，已知A的平方的2倍有4个约数，则B的平方的4倍有个约数.[答疑编号0518320103]【答案】9【解答】如果A不是2，则A平方的2倍有3×2＝6个约数，故A＝2.所以B就不能是2，它平方的4倍有3×3＝9个约数.本题答案为9.涉及到完全平方的公式：例4. 一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数.那么这个正整数为.[答疑编号0518320104]【答案】156【解答】设加上100后为，加上168后为，那么，2即.因为b＋a和b－a的奇偶性相同，所以只可能是，解得.因此原正整数是.例5.一个正整数，如果能表示成两个完全平方数的差，就称它是一个“智慧数”，那么在1~2012中，有多少个“智慧数”？[答疑编号0518320105]【答案】1509【解答】设这个正整数是n,。
完全平方公式.ppt
（１） (mn+3)2=( C )
(A) mn2+9
(B) m2n2+9
(C) m2n2+6mn+9 (D) mn2+6m+9
（２） 下列计算中正确的是（ D）
(A) (p+q)2=p2+q2 (B) (a+2b)2=a2+4ab+2b2 (C) (a2+1)2=a4+2a+1 (D) (-s+t)2=s2-2st+t2
(2)中间一项的符号错误
(3)首项被平方时, 未添括号;
6
(1)( 3x +3y )2=
(2)(Байду номын сангаас 1)2 2
(3)x2 12 xy ___ (x __)2
请你找错误
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1)(x+y)2＝x2+2xy + y2 ；
+
(2) (−2x−y)2＝(2x)2 − 2 (2x) (y) + y2;
(3) (0.5x−3y)2＝0.5x2− 2(0.5x)(3y)+(3y)2
(x/2)2
解:(1) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项):2xy
1
(a+b)2=a2+2ab+b2
计算: (x+2y)2
2
(a+b)2=a2+2ab+b2
利用完全平方公式计算:
(1) (x + 3 )2
(2) (2a+3b)2
（3）(2a 1)2 2
(4) (a - b)2
利用完全平方公式计算:
小学六年级奥数知识讲解：完全平方数
小学六年级奥数知识讲解：完全平方数 完全平方数
完全平方数特征： 1. 末位数字只能是：0、1、4、5、6、9;反之不成立。 2. 除以3余0或余1;反之不成立。 3. 除以4余0或余1;反之不成立。 4. 约数个数为奇数;反之成立。 5. 奇数的平方的`十位数字为偶数;反之不成立。 6. 奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。 7. 两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。 平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y) 完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2 【小学六年级奥数知识讲解：完全平方数】相关文章： 12-11 11-20 12-19 10-22 11-29 06-26 12-11 11-23 11-20
六年级下册数学讲义奥数专题讲与练：[第34讲]完全平方数(一)人教版
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一、完全平方数的定义：我们把一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数。
如02＝0，12＝1，22＝4，…，112＝121，122＝144，…其中0，1，4，…，121，144叫做完全平方数。
二、完全平方数表：五年级应记住20以内自然数的平方，六年级应记住32以内自然数的平方。
32以内自然数的平方如下：三、完全平方数的常用性质：性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9；某班同学做体操时正好可以排成一个行数与列数相等的方阵。
做完操后，老师让班长按5人一组分组活动，班长算了一下说：“5人一组分组还多2人。
”老师马上说：“你一定算错了。
”你知道老师这样说的根据吗？性质2：完全平方数除以3只可能余0或1；完全平方数除以4只可能余0或1；完全平方数除以8只可能余0、1或4；完全平方数除以16只可能余0、1、4或9；有一个三位数，它是两个相异的完全平方数之和。
请问这个三位数的最大值是多少？性质3：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数；（反之也一样）如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数；如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个；如果一个完全平方数的个位是奇数，那么它的十位一定是偶数；有没有各位数字完全相同的完全平方数？(至少两位)性质4：完全平方数做质因数分解后每个质因数的次数都是偶数；从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的共有多少个？求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数。
测试题1．7744是四位数中唯一一个前两位数字相同，后两位数字也相同的完全平方数吗？A．不是B．不确定C．是2．8，88，888，8888…中有完全平方数吗？A．有B．没有C．不确定3．已知恰是自然数的平方数，的最小值是( )3528a b aA．5B．6C．3D．24．从1到1820的所有自然数中，乘以48后是完全平方数的共有多少个？A．24B．25C．19D．215．两数乘积为，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多，那么这两个10801数分别是( )A．31、36B．36、30C．40、42D．38、24。
小升初必考专题：完全平方数(讲义)-2020-2021学年数学六年级下册-全国通用(含答案)
完全平方数定义：我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数性质：性质1：完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9。
性质2：完全平方数被3、4、5、8、12、16除的余数一定是完全平方数。
性质3：完全平方数的约数一定有奇数个，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数性质4：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数，反之亦然。
性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则末尾连续的0的个数一定是偶数。
如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0、2、6中的一个。
性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数。
性质7：平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)。
性质8：偶数的完全平方是4的倍数，奇数的完全平方被8除一定余1，任何自然数的平方数不可能被3除余2。
判别方法：⑴两个连续自然数的乘积不是完全平方数。
⑵两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。
⑶一个整数如果除以4余2或者除以4余3，那么这个整数肯定不是完全平方数。
⑷一个整数如果除以3余2，那么这个整数肯定不是完全平方数。
⑸完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数；若个位数字是6时，其十位上的数字必为奇数。
例1已知1×2×3×…×n＋3是一个自然数的平方，求n的值？例2一个正整数与1470的积是一个完全平方数，那么这个数最小是( )。
例3从1到2005的所有自然数中，有多少个数乘以72后是完全平方数？例4能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？例5写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。
例6试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同例7将16分解成若干个质数(可以相同)相加的形式，如果这些质数的乘积正好是完全平方数，那么这个完全平方数所有可能的值的和是多少？测试题1．一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168后的结果也是一个完全平方数，那么这个正整数是多少？2．一个数加上10，减去10都是一个平方数，求这个数。
第29讲 完全平方数
第29讲完全平方数上帝创造了整数，其它一切都是人类的作品。
——克罗内可知识方法扫描一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
（本讲中完全平方数定义为整数的平方，广义平方数是指有理数的平方）完全平方数有如下的重要性质：（1）完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。
偶数的平方是4的倍数，奇数的平方被8除余1。
（2）奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数(3) 完全平方数能被3整除或被3除余1。
(4) 在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若n2<k<(n+1)2，则k一定不是完全平方数.(5) 当且仅当n有奇数个因子时，n是完全平方数。
经典例题解析例1（1996年北京市初中数学竞赛试题）若a=19952+19952·19962+19962，求证a是一个完全平方数，并请你写出a的平方根.证明设1995=x, 则1996=x+1。
a= x2+x2(x+1)2+(x+1)2= x2(x+1)2+ 2x2+2x+1= x2(x+1)2+ 2x(x+1)+1= (x2+x+1)2.= [x(x+1)+1]2=(1995×1996+1)2=39830212,所以a是一个完全平方数; a的平方根为±3983021。
例2 （1990年西安市初中数学竞赛试题）证明：当n为自然数，2(2n+1)形式的数不能表示成两个整数的平方差。
证明设x,y为两个整数，且2(2n+1)=x2-y2,即2(2n+1)=(x+y)(x-y)因为(x+y)与(x-y)的奇偶性相同，所以均能被2整除，则能2(2n+1)被4整除。
而(2n+1)是奇数不能被4整除，所以2(2n+1)形式的数不能表示成两个整数的平方差。
例3(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题) 甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。
完全平方数知识讲解.
19．是否存在两个正整数a,b，使得（a^2+2b）与（b^2+2a）同为完全平方数？
分析与解答:
我们设a≥b,那么a^2<a^2+2b≤a^2+2a<(a+1)^2
根据两个连续自然数之间不存在其他完全平方数,所以在a^2与(a+1)^2之间不存在a^2+2b为完全平方数,同理也不存在（b^2+2a）为完全平方数.
=2(a^2+b^2+ab)(a^2+b^2+ab)
=2(a^2+b^2+ab)^2
所以[a^4+b^4+(a+b)^4]/2=(a^2+b^2+ab)^2是完全平方数.
21．求k的最大值，使得3^7可以表示为k个连续正整数之和。
分析与解答：
我们假设这k个数为a,a+1,a+2,...,a+k-1；那么这k个数的和为（a+a+k-1)k÷2=3^7
分析与解答：
一个整数的完全平方数的末两位数字只能由这个整数的末两位数字所决定。
我们设这个自然数N的末两位数字为10a+b，那么
（10a+b)^2=100a^2+20a+b^2=100a^2+2ab×10+b^2
因为2ab是偶数，8也是偶数，那么b^2要么不进位，要么进位为偶数。
如果不进位，那么只能是b^2=0，1，4，9，
如果进位那么只能是b^2=25，49，64，81。
我们又知道如果一个完全平方数的末尾是0，那么必须是成对出现（偶数个），所以0可以排除；如果末尾是5，那么十位必须是2，所以5也可以排除。
第三十二讲：完全平方数
第三十二讲：完全平方数一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。
例如：0，1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，……判断一个数是否为完全平方数，我们可以尝试能否将它分解为两个相同自然数的乘积，这就需要用到分解质因数的知识。
阅读小材料：毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、4、9、16……等数时，小石子都能摆成正方形，他把这些数叫“正方形数”，如图所示：分别记各图所示的小石子个数为 (＝1、2、3、……、n)不难发现：＝1＝＝1＋3＝4＝＝1＋3＋5＝9＝＝1＋3＋5＋7＝16＝………＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝毕达哥拉斯通过直观图形把奇数和图形结合起来，得到一个定理：从1开始，任何连续个奇数之和都是完全平方数。
（注：这个和其实就是奇数个数的平方）【例一】求自然数列前n个奇数的和：1＋3＋5＋7＋……＋（2n－1）练习1：袋子里共有415只小球，第一次从袋子里取出1只小球，第二次从袋子里取出3只小球，第三次从袋子里取出5只小球……依次地取球，如果剩下的球不够取，则将剩下的球留在袋中。
那么，最后袋中留下多少个球？【例二】1234567654321×（1＋2＋……＋6＋7＋6＋……＋2＋1）是多少的平方？练习一：1×2×3×4×5×6×45×121是多少的平方？练习二：2A＝1008×B，其中A，B都是自然数，B的最小值是（）。
【例三】36、49、60、64、72的约数各有多少个？约数个数是奇数的数有什么特征？一讲一练：360、3969、7744各有多少个约数？【例四】（01ABC）少年宫游客厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。
这200个灯泡按1到200编号，它们的亮暗规则是：第一秒，全部灯泡变亮；第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡由亮变暗，改变原来的亮暗状态；第四秒，凡编号为4的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；第五秒，凡编号为5的倍数的灯泡由亮变暗或者由暗变亮，改变原来的亮暗状态；一般地，第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡都改变原来的亮暗状态；那么第200秒时，明亮的灯泡有（）个。
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数论-完全平方数
教学目标
完全平方数是数论板块中一个比较精华的小分支，从知识特点上讲属于约数倍数和质数合数交叉的知识体系，其题目多为考察上述两块综合性知识，是杯赛和小升初试卷中的一个热点.
知识点拨
一、完全平方数常用性质
1.主要性质
1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。
不可能是2，3，7，8。
2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。
3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。
4.若质数p整除完全平方数2a，则p能整除a。
2.一些重要的推论
1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一
定不是完全平方数。
2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。
3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，
69，89，16，36，56，76，96。
4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。
5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。
6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。
7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然
数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
3.重点公式回顾：平方差公式：22()()
-=+-
a b a b a b
例题精讲
模块一、完全平方数基本性质和概念
【例 1】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛)1234567654321(1234567654321)
⨯++++++++++++是的平方．
【巩固】(华杯赛试题)下面是一个算式：112123123412345123456
+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯，这个算式的得数能否是某个数的平方？
【例 2】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．
【巩固】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？
【例 3】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
【巩固】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．
【巩固】已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。
【例 4】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。
【巩固】考虑下列32个数：1!，2!，3!，……，32!，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是．
【例 5】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
【巩固】能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
【巩固】三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数．
【例 6】有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为．
【巩固】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．【例 7】两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
【巩固】(2008年清华附中考题)有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是．(请写出所有可能的答案)
【例 8】A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和
为．
【巩固】已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是________．
【例 9】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数．已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7．如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数．
【例 10】 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为0，试求满足上述条件的最小的正整数．
【例 11】 能够找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个数的积与2002的和都是完全平方数吗？若能
够，请举出一例；若不能够，请说明理由．
【巩固】 证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数。
【例 12】 (2004年华杯赛)三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为
“美妙数”．问：所有小于2008的美妙数的最大公约数是多少？
【例 13】 (2004年南京市少年数学智力冬令营)记(123)(43)S n k =⨯⨯⨯⨯++，这里3n ≥．当k 在1至
100之间取正整数值时，有 个不同的k ，使得S 是一个正整数的平方．
【例 14】 (2007年“走进美妙的数学花园”)称能表示成123k ++++的形式的自然数为三角数．有一个
四位数N ，它既是三角数，又是完全平方数．则N = ．
【巩固】 自然数的平方按大小排成1，4，9，16，25，36，49，…，问：第612个位置的数字是几？
【例 15】 A 是由2002个“4”组成的多位数，即20024
4444个，A 是不是某个自然数B 的平方？如果是，写出
B ；如果不是，请说明理由．。