第十章数值传热学

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10.2 适体坐标方法概述 10.2.1 用适体坐标系求解物理问题的基本思想 10.2.2 用适体坐标系为什么能使计算区域简化 10.2.3 生成适体坐标系的常用方法 10.2.4 对适体坐标系生成网格的要求 10.2.5 用适体坐标系求解物理问题的基本步骤
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10.2 适体坐标方法概述 10.2.1 用适体坐标系求解物理问题的基本思想 1.在进行物理问题的数值计算时最理想的坐标系是坐 标轴与计算区域边界完全相适应的坐标系，称为适体 坐标系(body-fitted coordinates):直角坐标系是矩 形区域的适体坐标系；极坐标是圆环的适体坐标系。 2.数学上已经发展出来的正交曲线坐标系，满足不了 千变万化的工程实际需要，因此采用人工方法来建立 与计算区域边界相适应的坐标系，是网格生成技术的 主要研究内容。
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10.4 生成适体坐标的PDE方法 10.4.1 用PDE生成网格的已知条件与求解内容 1. 已知计算平面上网格节点的位置 ( , ) （均匀布置）； 2. 已知物理平面上求解区域边界上节点的布置方式。 求：物理平面求解区域内 ( x, y ) 与 ( , ) 间的对应关系。 10.4.2 用PDE生成网格的问题提法 1. 从物理平面出发 把 ( , ) 看成是物理平面上两个待求解的变量，则 上述已知条件相当于：已知物理平面求解区域边界
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上的 B f ( xB , yB ), B f ( xB , yB )

而要求解区域内部的与任一点 ( x, y ) 相对应 ( , ) 。 这是物理平面上的一个边值问题。描写物理平面上边 值问题的最简单的方程是Lapace方程，即：
2 0; 2 0
相应的数学描写为：
x 2 x x 0;
2 2
y 2 y y 0
x2 y2
x y ; x x y y ;
此处及以后下标一律表示求导。 参数 反映网格局部正交性。
因此网格生成就是求解计算区域中的一个边值问题， 这就是用椭圆型方程生成网格的基本思想。 10.4.3 用E-PDE生成网格的步骤 １． 确定物理平面边界的节点数目及计算平面上相应 的求解区域和网格划分；
y 0 (1 ) (1 )
x
y (1 )
x
亦即:
y 1 x
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10.4 生成适体坐标的PDE方法 10.4.1 用PDE生成网格的已知条件与求解内容 10.4.2 用PDE生成网格的问题提法 1. 从物理平面出发 2.从计算平面出发 10.4.3 用PDE生成网格的步骤 10.4.4 用PDE生成网格时应保证都规恒等式成立
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网格线连续, 可整求解
网格线不连续
应用举例
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4) 适体坐标系 计算区域边界与网格的等值线相适应的坐标系， 采用数值方法生成这种坐标系是本章讨论重点。 2. 非结构化网格 (unstructured grid) 节点间没有固定的规则 予以联系，因此需要存节点 间储联系的信息；适合求解 不规则区域问题，但计算工 作量大。
b 0; )cd t 1
2) 取定该两条边上x,y随 而变化
xb xb ( ), yb yb ( ) xt xt ( ), yt yt ( )
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3) 对于计算区域的任一对(x,y) 与 ( , ) 间的关系，采 用以下插值关系:
x( , ) xb ( ,0) [1 f1 ( )] f1 ( ) xt ( ,1)
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10.1 FDM,FVM 中处理不规则区域的方法 10.1.1 常用正交坐标系无法适应各种复的杂区域 10.1.2 FDM,FVM 中处理复杂计算区域的常用方法 1. 结构化网格 1) 区域扩充法 2) 特殊正交曲线坐标系 3) 组合网格（块结构化网格） 4) 适体坐标系 2. 非结构化网格
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第二 类边界条件－给定热流密度分布（未必均匀）

第三类边界条件－给定对流换热系数及周围流体温度 对P控制容积引入附加源项：
SC ,ad Tf ef ; VP 1/ h /
Tf , h
S P ,ad
ef 1 ; VP 1/ h /
同时令扩充区 0 ，以阻止热量向外传导。 对于不规则程度较轻的情形，不失为一种实用方法。 2) 特殊正交曲线坐标系 现有14种正交曲线坐标系，可以用来求解部分与 该坐标系相适应的不规则区域。
B , B 给定（物理平面边界节点上的 , 值已知）
但是这样的表述我们又要在物理平面的不规则区域上 来求解一个PDE！ 2. 从计算平面出发
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把 ( x, y ) 看成是计算平面上两个待求解的变 量，则上述已知条件相当于：已知计算平面求解区域 边界上的：
xB f x ( B , B ), yB f y ( B , B )

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r a R( ) a
Prusa,Yao, ASME J H T, 1983， 105:105-116
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4. 一边不规则的平面通道 给定通道不规则边界型线 ( y )
x
y ( x)
Sparrow-Faghri-Asako, p.479
1
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10.3.2 双边界法 １． 将物理平面上由四条不规则边界组成的计算区域转 换成计算平面上的规则区域的一般方法 1) 取定两条不相邻的对边上的 值； 如： ) ab 的规律： 实施步骤：
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10.2.4 对适体坐标系生成网格的要求 1. 两个平面上网格节点间要一一对应； 2. 物理平面上网格节点的疏密要易于控制； 3. 物理平面上网格线要尽量与与边界正交。 10.2.5 用适体坐标系求解物理问题的基本步骤 1. 生成网格，即找出 ( , ) ( x, y ) 的一一对应关系； 2. 将所研究问题的控制方程与边界条件从物理平面 转换到计算平面上； 3. 在计算平面上离散求解； 4. 将求解所得结果传递到物理平面上。
数值传热学
第十章 网格生成技术
主讲 陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院 热流科学与工程教育部重点实验室 2012年11月28日, 西安
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第10章 网格生成技术 10.1 FDM,FVM 中处理不规则区域的方法 10.2 适体坐标方法概述 10.3 生成适体坐标的代数方程法 10.4 生成适体坐标的PDE方法 10.5 网格分布的控制 10.6 控制方程与边界条件的转换与离散 10.7 计算平面上的SIMPLE算法 10.8 计算结果的处理和算例
满足这种条件的最简单的插值函数为： f1 ( )
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2. 实施
y ( , ) yb (1 ) yt
xb , yb 0; xt , yt 1
y=1+x
x (1 )
y ( , ) yb ( , 0)[1 f1 ( )] f1 ( ) yt ( ,1)
f1 ( ) 应满足以下关系：
0, x( , ) xb ( ), y ( , ) yb ( ) 1, x( , ) xt ( ), y ( , ) yt ( )
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采用椭圆坐标系计算 椭圆管内的流动与换 热。
采用双极坐标系计算 偏心环形夹层内的流 动与换热。
3) 组合网格（块结构化网格） 对于不同块上的区域各自采用合适的网格，不同块 的网格之间需要在分界面上进行信息的交换与传递；数 学上称为分区算法 (Domain decomposition method)。
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10.3 生成适体坐标的代数方程法 10.3.1 边界规范化方法 1. 二维渐扩喷管 2. 梯形封闭空腔 3. 偏心圆环 4. 一边不规则的平面通道 10.3.2 双边界法
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10.3 生成适体坐标的代数方程法 10.3.1 边界规范化方法(Normalized boundary m.) 1. 二维渐扩喷管
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10.2.2 用适体坐标系为什么能使计算区域简化 1.设已经在直角坐标系x-y中建立了一个适体坐标系， 记为 ； 2.将 看成是计算平面上一个直角坐标的两个 轴，则物理平面的不规则计算区域立即转换为计算平 面的矩形区域；
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3.规定计算平面上网格永远均匀划分，只要给定节点 数目可以立即得出计算平面上的网格； 4.先在计算平面上进行求解，获得收敛的解后再将结 果传递到物理平面上，这样就使求解区域简化。 5.为了将求解结果传递到物 理平面上，需要获得计算平 面与物理平面节点间的对应 关系；所谓网格生成技术主 要就是指已知计算平面上的
( , ) 获取物理平面上相应 的 ( x, y ) 的过程。
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10.2.3 生成适体坐标系的常用方法 1.保角变换法 (conforming mapping) 2.代数法 (algebraic method) 利用代数方法来建立计算平面与物理平面上节点 间对应关系的方法。 3. 微分方程法 (PDE method) 通过求解微分方程来建立计算平面与物理平面上 节点间对应关系的方法。按所求解的微分方程的类 型，分为采用双曲型方程，抛物型方程和椭圆型方程 三类。
而要求解区域内部的与任一点 ( , ) 相对应的 ( x, y )。 这是计算平面上的一个边值问题。由于计算平面上求 解区域规则，就使计算区域大为简化；但是计算平面 的边值问题数学描写不能简单地仿照上述形式而写成 x x 0; y y 0 而应采用数学规则变换而来。 由物理平面的Laplace方程 xx yy 0, xx yy 0 按照数学上复合函数求导法则可以得出计算平面上 28/80
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