第3章积分的数值方法

（2）先用某个简单函数(x) 近似逼近f(x), 用 (x)
代替原被积函数f(x)，即：
b
b
a f (x)dx a (x)dx
以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数
(x) 应对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积
分。由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计
算积分,因此将 (x) 选取为插值多项式, 这样f(x)的积
f () 的矩形面积。但是点ξ的具体位置一般是未知的,
因而 f的()值也是未知的, 称 f为(f)(x) 在区间[a,b]上
的平均高度。那么只要对平均高度 提供f (一) 种算
法，相应地就获得一种数值求积方法.
按照这种思想三，可个构求造出积一分些求公积式分值的近似公式。
例如 f ( ) 分别取 f ( ) f (a) f (b)
一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确
等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此
给出以下定义。
定义3.2 （代数精度） 设求积公式（3-10）对于一 切次数小于等于m的多项式(
f (x) 1, x, x 2 , , x m
或 f (x) a0 a1x a2 x 2 am x m )
第3章 积分的数值方法
3.1 概述 3.2 梯形积分法 3.3 抛物积分法 3.4 龙贝格积分法 3.5 高斯求积
数值积分的基本思想
积分值
b
I a f (x)dx
在几何上可以解释为由
x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯
形面积。如图3-1所示，而这个面积之所以难于计
算是因为它有一条曲边y=f(x)
An xnn
b n1 a n1 nBiblioteka Baidu1
这是关于 Ak 的线性方程组，其系数矩阵
1 1 1 是梵得蒙矩阵, 当
x0
x02
x0n
x1 x12 x1n
x
n
xn2
x
n n
xk (k 0,1, , n)
互异时非奇异, 故 Ak 有唯一解。
定理3.1
n+1个节点的求积公式
b
a
f (x)dx
f ( xk )Ak
k 0
k 0
其中
Ak
b
a lk
(x)dx
b a
(x
( x) xk ) (xk )
dx
称为求积系数。给出如下定义。
定义3.1 求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
(3-10)
其系数为 Ak
插值求积公式。
b
a lk (x)dx
时，则称求积公式为
设插值求积公式的余项为 R( f ),由插值余项定理得
具有n次代数精度。
定理3.1
n+1个节点的求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
为插值型求积公式的充要条件是公k式0
jk
这里 (x) (x x0 )( x x1) (x xn )
多项式Pn(x)易于求积,所以可取
b
f (x)dx
的近似值，即:
a
b
a Pn ( x)dx
作为
b
b
bn
a f ( x)dx a Pn ( x)dx a
f ( xk )lk ( x)dx
k 0
n
b
n
f ( xk ) a lk ( x)dx
n
Ak
f
(xk )
为插值型求积公式的充要条件是公k 0式
至少具有n次代数精度。
证: 充分性
设n+1个节点的求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
为插值型求积公式,求积系数为:
b
Ak a lk (x)dx
又 f (x) Pn (x) R(x)当f(x)为不高于n次的多项式时, f(x)=P(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少
2
和 f ( ) f ( a b) 则分别
y
y=yf(=xf)(x)
得到梯形公式和2中矩形公式。
① 梯形公式
aa
b
a
f
(x)dx
1 (b 2
a) f
(a)
f
(b)
y
② 中矩形公式
bb x y=f(x)
b f (x)dx (b a) f ( a b)
a
2
aa
(a+b)/2 b x
③ Simpson公式
是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的， 则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度）
由定义可知，若求积公式（3-10）的代数精度为n，
则求积系数 A应k 满足线性方程组：
A0 A1 An b a
A0 x0 A0 x0n
A1 x1
An xn
b2
a2 2
A1 x1n
b a
f
(x)dx
1 6
(b
a)
f
(a)
4f
(a b) 2
f
(b)
y 在这三个公式中, 梯形公式是把 f(a), f(b) 的 平均值 ：
1 f (a) f (b)
2
aa ((aa++bb))//22 bb
作为平均高度 f() 的近似值而获得的一种数值 积分方法。
中矩形公式是把 [a,b] 的中点处的函数值： f (a b) 2
作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分 方法。
Simpson公式是以函数 f(x) 在 a, b, (a+b)/2 这三点的
函数值 f(a), f(b), f ( a b ) 的加权平均值
2
1 ( f (a) 4 f ( a b) f (b))
6
2
作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分 方法。
y=f(x) a
图3-1 数值积分 的几何意义
b
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的 有两种： （1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在 积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得:
b
a f (x)dx (b a) f ( )
a,b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为
分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。
3.4 插值求积公式
设已知f(x)在节点 xk (k 0,1, , n) 处有
函数值 f (xk ) , 作n次拉格朗日插值多项式：
n
Pn (x) f (xk )lk (x) k 0
式中
lk (x)
n j0
x xj xk x j
(x) (x xk )(xk )
R( f ) b f (x) P(x)dx b f (n1) ( ) (x)dx
a
a (n 1)!
其中 a, b
当f(x)是次数不高于n的多项式时，有 f (n1) (x) 0 R( f ) =0,求积公式(3-10)能成为准确的等式。由于 闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以