华东师大版数学八年级上册导学案：勾股定理(2)

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2021-2022学年华东师大版数学八年级上册《勾股定理的应用》导学案

华师版数学八年级上14.2.1勾股定理的应用导学案课题14.2.1 勾股定理的应用单元第14章学科数学年级八年级学习目标1、了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”;而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.2、掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算.重点难点勾股定理的应用.将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.导学环节导学过程自主学习预习课本，完成下列各题：1、如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）A. 14cmB. 15cmC. 24cmD. 25cm2、如图，圆柱形容器高为8cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为______cm．合作探究探究一：例1 如图14.2. 1,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.(精确到0.01cm)分析蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开(如图14. 2.2) ,得到长方形ABCD,根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图长方形ABCD 的对角线AC之长.探究二：例2 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如所示的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门.(厂门上方为半圆形拱门)分析：由于车宽1.6米,所以卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高即可.如所示，点D在离厂门]中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面相交于点H.探究三：如,以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点,过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形.勾股定理在生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直角三角形，尝试把立体图形转换为平面图形.1、如图，一个无盖长方形盒子的长宽高分别是4cm，4cm，6cm，一只蚂蚁想从盒底的A点沿盒的表面爬到盒顶的B点，蚂蚁要爬的最短路程是（）A. 5cmB. 8cmC. 10cm2、如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水深是（）cm．A. 35B. 40C. 50D. 453、如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA=4km，CB=6km．DA ⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（）kmA. 4B. 5C. 6D. 9参考答案自主学习：1、解：把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B′，则蚂蚁爬行的最短路径为AB′，如图，AC=24，CB′=7，在Rt△ACB′，AB′==25，所以它爬行的最短路程为25cm．故选：D．2、解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A'，连接A'B，则A'B即为最短距离，过点A'作A'D垂直BE，交BE延长线于点D，由题意知A'D=12cm,DE=1cm，BE=8-4=4cm，则BD=5cm，故A'B===13（cm）．故答案为：13．合作探究：探究一：解：如图14. 2.2,在Rt△ABC中, BC=底面周长的一半=10cm.由勾股定理,可得AC =22BCAB+=22104+=116≈10.77( cm).答:爬行的最短路程约为10.77 cm.探究二：解：在Rt△OCD中，由勾股定理,可得CD=22ODOC-= 228.01-= 0.6,CH = CD + DH=0.6+2.3=2.9>2.5.可见高度上有0.4米的余量,因此卡车能通过厂门。

华东版八年级数学上册教案勾股定理

相关资料14.1.1直角三角形三边的关系一、教学目标：1.体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决身边与实际生活相关的数学问题。

2.在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力。

3.通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。

二、教学重点、难点：重点：探索和验证勾股定理过程；难点：通过面积计算探索勾股定理。

三、教学方法及教学手段：采用探究发现式的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。

四、教学过程：1.创设情境，导入课题欣赏本章导图，激发学生兴趣，导入本节课题。

2.动手动脑，合作交流活动：动脑想一想小明用一边长为1cm 的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？① 这个问题你是怎样想的？请说出你的想法。

②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为1cm），你能知道斜边的长吗？③观察图形，并填空：⑴正方形P 的面积为cm2 ，正方形Q 的面积为cm2 ，正方形R 的面积为cm2 。

⑵你能发现图中正方形P、Q、R 的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P、Q、R 的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流。

3.总结，并用符号语言、文字语言表达勾股定理的内容。

A勾股定理：直角三角形等于。

b C几何语言表述：如图，在RtΔABC 中，∠C＝90°。

a则：2+2= 2 C B若BC=a，AC=b，AB=c，它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则上面的定理可以表示为：4.验证定理用直角边是 a、b，斜边是 c 的四个全等直角三角形（图 1）拼成图 2。

【最新】华师大版八年级数学上册：《勾股定理》第2课时导学案

新华师大版八年级数学上册：《勾股定理》第2课时导学案学习目标1.用拼图的方法说明勾股定理的结论正确。

2．会应用勾股定理解决实际问题学习重点：利用勾股定理解决实际问题.学习难点：构造直角三角形求解。

教学设计：一. 设置情景（导入新课1. 勾股定理的内容是什么？2.一直角三角形中有两条边的长为1和2，求第三边。

二. 自主学习（发现知识）根据下面问题，用仔细阅读教材，请勾画出重要内容，并在不明白的地方作上符号，或把问题写下来。

试一试剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形．大正方形的面积可以表示为，又可以表示为．对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．（图14.1.5）（图14.1.6）思考：用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成什么样的形式呢？如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的．由下面几种拼图方法，试一试，能否得出222cba=+的结论。

（1）（2）（3）（4）（5）；三. 合作探究（理解知识）求下列阴影部分的面积：cbac bacba（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆四. 展示点评（归纳知识）假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图（如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B 的直线距离是多少千米？、五．当堂训练（运用知识）一.填空题1.在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

2.在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

3.在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。

4.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

5.已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，则第三边长为。

新华东师大版八年级数学第十四章《勾股定理》导学案

《勾股定理》导学案第一课时一、课堂目标我领悟1.动手探索直角三角形的三边关系，掌握并能运用直角三角形的三边关系解决实际问题。

2.经历用测量计算、数格子等方法探索勾股定理的过程，进一步提高自己的合情推理意识，培养主动探究的思想。

3.培养数形结合的思想，体会数学与现实的紧密联系，感受其价值。

二、重点难点我分析学习重点：掌握勾股定理并能利用它来解决实际问题。

学习难点：探索勾股定理。

三、自主学习我能行（预习与交流）1、知识准备。

回忆：对于直角三角形，我知道哪些知识？AB C2、学生自学课本P48——51，回答问题：（1）勾股定理的成立必须是在哪种三角形中？其余三角形成立吗？（2）勾股定理的具体内容是什么？请结合下图，把勾股定理的具体内容用数学语言和图形结合起来说一说。

A四、探索交流我最棒探究活动一 B C请大家测量你们手中的直角三角形纸片，根据下表填空：（测量的时候都取整数）根据你们的测量与计算，可以做出怎样的猜想？我们猜想：直角三角形三边的关系是探究活动二相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系. 请同学们也观察一下，看看能发现什么？(1)观察每个图形中的三个正方形之间的面积有什么关系？(2)你能把三个正方形的面积与它们的边结合起来，写成一个关系式吗（3）你有什么发现？结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的等于两直角边的。

探究活动三观察课本p49图，填空并交流.问题:正方形P的面积平方厘米正方形Q的面积平方厘米正方形R的面积平方厘米正方形P、 Q、 R的面积之间的关系____________由此我们得到，这个直角三角形ABC的三边长度存在的关系__________ ____ 结论在一般的直角三角形中两直角边的等于斜边的。

探究活动四1、画一画分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形．2、量一量量出你画的直角三角形的斜边长（取整数）。

华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教学设计

2.新课讲解：
-通过动态演示或实物模型，引导学生发现直角三角形三边之间的关系，从而引出勾股定理。
-结合图形，详细讲解勾股定理的公式及其推导过程，让学生深刻理解定理的内涵。
-通过例题，展示勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、确定直角三角形的形状等。
3.课堂练习：
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固勾股定理的知识。
2.实践应用题：设计一道与实际生活相关的勾股定理应用题，要求同学们运用所学知识解决问题。例如，假设学校旗杆的高度不易直接测量，但我们可以测得旗杆底端到地面的水平距离以及旗杆顶端到视线的垂直距离，请计算旗杆的大致高度。
3.创新思维题：请同学们思考并尝试证明勾股定理的逆定理，即在一个三角形中，如果一边的平方等于另外两边平方和，那么这个三角形是直角三角形。鼓励同学们运用多种方法进行证明，如几何法、代数法等。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将勾股定理与问题情境有效结合。教师应通过丰富的实例，引导学生学会运用勾股定理分析问题、解决问题。
3.学生的几何直观能力和逻辑思维能力发展不平衡，部分学生可能在学习过程中感到困难。教师应关注学生的个体差异，提供不同难度的学习任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.学生在合作学习过程中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题。教师应引导学生学会倾听、表达和协作，提高学生的团队协作能力。
-针对学生的错误，及时进行讲解和指导，帮助学生克服难点。
4.小组合作：
-将学生分成小组，针对实际问题进行讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
-引导学生运用勾股定理解决实际问题，如设计建筑物的高度、测量河流宽度等。
5.课堂小结：
-通过提问、总结等方式，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识结构。

2021-2022学年华东师大版八年级上册数学《勾股定理的应用》导学案

华师版数学八年级上14.2.2勾股定理的应用导学案课题14.2.2 勾股定理的应用单元第14章学科数学年级八年级学习目标1.会用勾股定理解决简单的实际问题.2.树立数形结合的思想.重点难点用勾股定理解决简单的实际问题导学环节导学过程自主学习预习课本，完成下列各题：1.有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？2、如图，为了求出分别位于池塘两岸的点A与点B的距离，小亮在点C处立一标杆，使∠ABC 是直角．测得AC的长为85m，BC的长为75m，那么点A与点B的距离是多少？合作探究探究一：例3 如,在3x3的方格图中，每个小方格的边长都为1,请在给定网格中按下列要求画出图形:(1) 画出所有从点A出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为5的线段;(2) 画出所有以题(1)中所画线段为腰的等腰三角形.探究二：例4 如,已知CD=6m,AD=8m, ∠ADC=90°, BC=24m, AB=26m. 求图中着色部分的面积.在解决勾股定理的应用问题时，关键是把实际问题中的量转化到直角三角形的三边中把实际问题中的数值转化为直角三角形的三边长。

当堂检测1、我国古代数学著作《九章算术》有一个问题：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，1丈=10尺，那么折断处离地面的高度是______尺．2、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．3、如图，某学校（A点）到公路（直线l）的距离为30m，到公交站（D点）的距离为50m，现在公路边上建一个商店（C点），使商店到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．（结果保留整数）4、在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=BC，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D （A、D、B在同一条直线上），并新修一条路CD，测得CA=6.5千米，CD=6千米，AD=2.5千米．（1）问CD是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明；（2）求原来的路线BC的长．5、如图，将四边形ABCD的土地绿化，测得AB=20m，BC=15m，CD=7m，AD=24m，且AB⊥BC，若每平方米草皮120元，问共需多少钱？课勾股定理的应用有哪些？堂小结参考答案自主学习：1、解：设水深x尺，那么荷花径的长为（x+1）尺，由匀股定理得：x2+32=（x+1）2．解得：x=4．答：水池的水深有4尺．2、解：由题意得，AC=85米，BC=75米，在Rt△ABC中，AB===40米即A、B两点间的距离为40米．合作探究：探究一：分析只需利用勾股定理看哪一条以格点为端点的线段满足要求.解: (1)中,AB、AC、AE、AD的长度均为.(2)中,△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED就是所要画的等腰三角形.探究二：解在Rt△ADC中，AC2 = AD2 + CD2(勾股定理)82+62= 100，AC= 10.AC2+ BC2 = 102+242= 676 = 262= AB2.△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理)，S阴影部分=S△ACB一S△ACD=21×10×24-21×6×8=96( m2 ).当堂检测：1、解：1丈=10尺，设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2解得：x=4.55．答：折断处离地面的高度为4.55尺．故答案为：4.55．2、解：如图，设大树高为AB=12m，小树高为CD=6m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=CD=6m，EC=BD=8mAE=AB-EB=12-6=6m，在Rt△AEC中，AC=10m，故小鸟至少飞行10m．3、解：作AB⊥L于B，则AB=30m，AD=50m．∴BD=40m．设CD=x，则CB=40-x，x2=（40-x）2+302，x2=1600+x2-80x+302，80x=2500，x≈31，4、解：（1）是，理由：∵62+2.52=6.52，∴CD2+AD2=AC2，∴△ADC为直角三角形，∴CD⊥AB，∴CD是从村庄C到河边最近的路；（2）设BC=x千米，则BD=（x-2.5）千米，∵CD⊥AB，∴62+（x-2.5）2=x2，解得：x=8.45，答：路线BC的长为8.45千米．5、解：连接AC，由勾股定理，得AC2=AB2+BC2=202+152=400+225=625=252，所以AC=25，又因为AD2+CD2=242+72=576+49=625=AC2所以∠ADC=90°，所以S S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×20×15+×7×24cm2=234cm2．所以需要的钱数为120×234元=28080元．故共需28080元钱．课堂小结：1、最短路线的问题往往是把立体图形展开，得到平面图形．根据“两点之间，线段最短”确定行走路线，根据勾股定理计算出最短距离2、生活中的实际问题面积树高路长问题。

201x版八年级数学上册 14.2 勾股定理的应用(2)导学案华东师大版

2019版八年级数学上册 14.2 勾股定理的应用（2）导学案（新版）华东师大版学习内容勾股定理的应用（2）学习目标1、准确理解勾股定理及其逆定理。

2、掌握定理的应用方法，体会数学的数行结合思想3、培养学数学的兴趣。

学习重点1、正确选用勾股定理及其逆定理。

2、从实际问题中找出可应用的直角三角形。

学习难点1、正确选用勾股定理及其逆定理。

2、从实际问题中找出可应用的直角三角形。

导学过程复备栏【温故互查】：勾股定理及其逆定理的内容是什么？【设问导读】：阅读课本例3：1、你认为以AB为边的等腰三角形可以有几种情况？2、如何画？（小组交流，画图）。

3、以AB为腰的三角形在方格中无法画出来，而以AB为底的三角形有个，另一个顶点在4、要符合另一个顶点在格点上呢？独立思考：有个5、另两边的长度分别是多少?计算：有两个三角形的另两边的长度都是，有两个三角形的另两边的长度都是。

6、符合另两边的长度都为无理数的三角形有几个？阅读课本例4思考问题：图中阴影部分的面积是一个不规则的图形面积，首先考虑如何转化为规则图形面积的和、差的形式，即S阴影=的面积—的面积。

由∠ADC =900，CD=6m,AD=8m，易求出Rt△ADC的面积，且根据勾股定理可求出AC= 。

知道了△ABC的三边长，根据，可以判断出它是直角三角形，∠ACB是直角，就可以求出△ABC的面积。

所以S阴影= m2【自学检测】：1、在△ＡＢＣ中，如果AC=3，BC=4,AB=5,那么△ＡＢＣ一定是三角形，且∠是直角；如果仅使AB的长度增加到5.1，那么原来的∠C被“撑成”的角是角。

2、在△ＡＢＣ中，如果a=10,b=24,c=26,则△ＡＢＣ的面积为。

10的线段，可以作一个直角三角形，使其一条3、为了作出长为直角边的长为1，则另一条直角边的长为。

【巩固训练】3厘米和5厘米的线段．1、利用勾股定理，分别画出长度为2、在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1m,一阵风吹来,红莲吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2m,求这里的水深是多少米? （提示:画出图形建立直角三角形）【拓展延伸】1、若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x，试求出x的所有可能值．2、如图，已知∠D = ∠ ACB = 90°，AD=3，AB=13，BC=12，求、线段AC的长和四边形ABCD的面积。

华东师大版八年级上册数学教学设计《14.2勾股定理的应用(2)》

华东师大版八年级上册数学教学设计《14.2勾股定理的应用（2）》一. 教材分析《14.2勾股定理的应用（2）》这一节内容，是在学生已经掌握了勾股定理的基础上进行学习的。

本节课主要让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。

教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了勾股定理的基本知识，对于运用勾股定理解决一些简单问题已经没有太大的困难。

但是，学生在解决实际问题时，可能会因为对题目的理解不够深入，而导致无法正确运用勾股定理。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生深入理解题目，找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过例题和练习题，培养学生的解题能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学与生活的联系，培养学生的数学兴趣。

四. 教学重难点1.重点：让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用。

2.难点：如何引导学生找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理解决实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解例题和解析练习题，引导学生掌握勾股定理的应用。

2.引导法：教师通过提问和引导，帮助学生找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理。

3.练习法：学生通过做练习题，巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相应的教学材料和课件。

2.学生准备：学生需要预习本节课的内容，了解勾股定理的应用，准备好笔记本和文具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“一个直角三角形的两条直角边长分别为3米和4米，求这个直角三角形的斜边长。

”让学生思考并讨论如何解决这个问题，从而引出勾股定理的应用。

华东师大版八年级上册数学教学设计《勾股定理的应用》

华东师大版八年级上册数学教学设计《勾股定理的应用》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学教材在介绍勾股定理的应用部分，旨在让学生通过实际问题，运用勾股定理解决生活中的问题。

这部分内容是学生在学习了勾股定理的基础上进行的，能够加深学生对勾股定理的理解和运用。

教材通过不同类型的题目，让学生学会如何将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理进行计算和解决。

二. 学情分析学生在学习勾股定理的应用之前，已经学习了勾股定理的基本概念和证明，对勾股定理有了初步的理解。

但是，学生在应用勾股定理解决实际问题时，可能会遇到理解题意不深刻、列式计算错误、对不同类型题目不能灵活运用等问题。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理进行计算和解决。

2.过程与方法：学生通过实际问题，学会如何运用勾股定理，提高解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生通过解决实际问题，体会数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：学生能够理解勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理进行计算和解决。

2.教学难点：学生对不同类型题目能够灵活运用勾股定理，解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法，让学生在解决问题的过程中，学会如何运用勾股定理。

同时，采用案例教学法，分析不同类型的题目，让学生能够灵活运用勾股定理。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关案例和题目。

2.学生准备：学生需要预习教材，了解勾股定理的基本概念和证明。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾勾股定理的基本概念和证明。

然后，教师提出一个问题：如何利用勾股定理计算一个直角三角形的斜边长度？2.呈现（10分钟）教师呈现一个实际问题：一块矩形铁片，长为6米，宽为8米，从中剪出一个直角三角形，求剩余部分的面积。

教师引导学生将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理解决。

华东师大版八年级数学上册14.1.2勾股定理的应用导学案(无答案)

南城中学八年级数学导学案班级：编制：八年级数学备课组课题：14.1.2勾股定理的应用课时：第课时学习目标：1.用拼图的方法说明勾股定理的结论正确性.2.通过实例应用勾股定理，培养学生的知识应用技能.预习案问题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ,那么这三边a 、b 、c 有什么关系呢？勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系，那么如何证明这个定理呢？1. 剪四个与图1完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图2所示的图形．大正方形的面积可以表示为，又可以表示为．对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．图1 图2明确：①大正方形面积等于__________.②大正方形面积也等于______________.③即______________________.④结论是___________. 2. 出示课本中图14.1.3. 探究1：你会拼出图14.1.3吗探究2：你会用面积等式说明勾股定理吗？结论是_________________. 探究3：由下面几种拼图方法，试一试，能否得出a 2+b 2=c 2的结论.探究点拔：1.将这四个全等的直角三角形拼成图⑴，⑵，⑶中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出a 2+b 2=c 2.2.将两个直角三角形拼成图⑷中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到a 2+b 2=c 2.3.通过剪接的方法构成如图⑸的正方形，可以证得a 2+b 2=c 2.探究案问题1. 小丁的妈妈买了一部34英寸(86厘米)的电视机.小丁量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有70厘米长和50厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了.你能解释这是为什么吗？问题2.如图，为了求出湖两岸的A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形.通过测量，得到AC 长160米，BC 长128米.问从点A 穿过湖到点B 有多远？姓名：c b a c a c c b a c b a ⑴ ⑵ ⑷ ⑸训练案1.如图，小方格都是边长为1的正方形，求四边形ABCD 的面积与周长.2.假期中，小强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B 的距离是多少千米？3.在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，⑴如果a =3，b =4，则c =________；⑵如果a =6，b =8，则c =________；⑶如果a =5，b =12，则c =________；⑷如果a =15，b =20，则c =________.4.下列说法正确的是( ) A .若a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2+b 2=c 2 B .若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2+b 2=c 2 C .若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，∠A =90°，则a 2+b 2=c 2D .若a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，∠C =90°，则a 2+b 2=c 2 5.一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )A .斜边长为25B .三角形周长为25C .斜边长为5D .三角形面积为206.如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为_____．7.一个直角三角形的两边长分别为5cm 和12cm ,则第三边的长为 .8.如图，△ABD 的面积是( )A .18B .30C .36D .609.一座桥横跨一江，桥长12米，一艘小船自桥一头出发，向另一头驶去，因水流原因，到岸后，发现已偏离桥头5米，则小船实际行驶了( )A .5米B .12米C .13米D .18米9.等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ，则它的周长为＿＿＿．10.有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．11.如图，一棵大树受台风袭击于离地面5米处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为7米，则这棵大树折断前有__________12.如图，等边△ABC 的边长6cm .①求高AD ;②求△ABC 的面积 S 1S 2 S 3A D AB 8 2 3 6 17 5 AB D C。

八年级数学上册第14章勾股定理14.2勾股定理的应用导学案华东师大版

14.2 勾股定理的应用【学习目标】1.准确运用勾股定理及逆定理2.经历探究勾股定理的应用过程，掌握定理的应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。

3.培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用价值。

【学习重难点】1、掌握勾股定理及逆定理2、正确运用勾股定理及逆定理【学习过程】一、课前准备1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=4，AC=2，则AB=_______；若AB=4，BC=则AC=________．2、一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm、3cm，•则第三边的长是_________．3．要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑建6m．•问至少需要多长的梯子？二、学习新知自主学习：1．如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．（精确到0.01cm）（1）自制一个圆柱，尝试从A点到C点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从A点到C点的最短路程是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点出发，想吃到C点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？学习体会：我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边．从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a2+b2=c2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程．实例分析：例1、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如左图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?例2、如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：从点A出发一条线段AB使它的另一端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数例3：已知CD=６m， AD=８m，∠ADC=90°， BC=24m，AB=26m。

1勾股定理(第2课时)教学PPT课件(华师大版)

C. a 1， 2a，a 1
D. a 1， 2a，a 1
当堂检测
5.若三角形ABC的三a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断
△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2.
“直角三角形”为条件，数量关系a2+ b2= c2 数量关系a2+ b2= c2为条件，“直角三角形”
为结论. 是直角三角形的性质.
为结论. 是直角三角形的判定.
联系
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
讲授新课
典例精析
【例1】下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指
∴△ABC直角三角形.
当堂检测
6.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经
验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判
断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解:由题意画出相应的图形AB=240海里,BC=70海里,AC=250 海里; 在△ABC中AC2-AB2=2502-2402 =4900=702 =BC2 即AB2+BC2=AC2 ∴△ABC是Rt△ 答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.

第14章：探索勾股定理导学案2024-2025学年华东师大版八年级数学上册

第6讲探索勾股定理教学目标：1、通过探索勾股定理的由来，掌握勾股定理的内容。

（重点）2、通过探索勾股定理的过程，养成数型结合探究问题的方法。

（难点）教学过程：1．提出问题：如果直角三角形两直角边分别为,a b 斜边为c ，那么这三条边存在怎样的数量关系？2．猜想：直角三角形中，两直角边平方的和等于斜边的平方：即222c b a =+3.验证猜想：如图，将四个全等的直角三角形拼成正方形，试用不同式子表示图形的面积，化简后得出什么结论？（Ⅰ）ab c b a S ABCD 214)(22⨯+=+=正方形。

(Ⅱ) ab b a c S EFGH 214)(22⨯+-==正方形。

∴222b a c +=. ∴222c b a =+ 4．小结：勾股定理各种表达式：在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a.b.c则222b a c +=，222b c a -=，222a c b -=5.应用：勾股定理的作用，(1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)用于证明平方关系的问题。

二、【例题精讲】例1：在△ABC 中，∠C=90°，（1）若3,4a b ==，则c =_______；（2）若6,10a c ==，则b =_________；（3）若34,:8:15==，则a=________，b=________；c a b（4）△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，若AB=13cm，AC=5cm，则CD的长__________．【变式练习】1、等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为。

2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是。

例2：如图1-1，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求：BC边上的高AD．【变式练习】1、如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D′处．若AB=3，AD=4，求ED的长。

华师大版-数学-八年级上册- 华师大版数学勾股定理的应用导学案

14.2勾股定理的应用学习目标、重点、难点【学习目标】1.理解购股定理及其逆定理2.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.【重点难点】1.正确熟练地运用勾股定理解决实际问题2.勾股定理的应用知识概览图勾股定理勾股定理的逆定理新课导引【生活链接】 1．小明家住高楼的20层，一天他买回一根2．8m长的钢管，想坐长、宽、高分别为1．2 m， 1．2 m，2．1m的电梯上楼，那么这根钢管能放人电梯吗?2．一楼房三楼失火，消防队员赶来灭火，了解到每层楼高3m，队员取来6．5 m长的云梯，如果梯子的底部离墙根2．5 m，那么消防队员能否从三楼窗户进入灭火?3．如左下图所示，有一个长方体，在A点有一只蚂蚁，它想吃到B点处的食物，则它需要爬行的最短路线的长是多少?4．小颖在玩剪纸，如右上图所示的是她剪完后剩下的余料，根据图中数据，你能判断出她剪下的图形的面积吗?【问题探究】上述问题都是本节内容的实际应用，想一想，怎样将实际问题转化为数学问题呢?教材精华知识点应用勾股定理解决实际问题难点解决两点距离问题：画出正确图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边．解决航海问题：理解方向角、灯塔等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解题．解决实际问题中两线段是否垂直的问题：以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题．解决折叠问题；正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题．解决梯子问题：梯子架到墙上，梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题．解决侧面展开图上两点间距离问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短的问题．→实际应用拓展运用勾股定理及其逆定理解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活运用所学的知识，达到融会贯通的目的．其中利用勾股定理列方程也是常用方法之一．课堂检测基础知识应用题1、如图14－30所示，长方体的高为3cm，底面是边长为2cm的正方形，一只小蚂蚁从点A出发，沿长方体侧面到达点C处，小蚂蚁走的路程最短为多少?2、有一圆柱形油罐，底面周长是12米，高是5米，现从油罐底部A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方月点，则梯子最短需多少米?3、小明想知道旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了2米，当他把绳子的下端拉开距旗杆底部8米时，发现绳子的末端刚好接触地面，求旗杆的高度，综合应用题4、如图14－34所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．5、如图14－35所示，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH的四条线段，其中能构成一个直角三角形的线段是 ( )A．CD，EF，GHB．A B．EF，GHC．AB，CD，GHD．AB，CD，EF6、如图14－36所示，甲、乙两人比赛的原定路线为A→C→B，已知AC＝600m，BC＝800m，甲的速度为7m／s，乙的速度为 10 m／s，甲先按原定路线跑1 min后，乙才开始跑，同时乙为了先到B，决定沿A→B这条近路跑．问甲、乙谁先到达B，请说明理由.7、如图14－37所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为 2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′：①等于1米；②大于1米；③小于1米．其中正确结论的序号是．8、如图14－38所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝16 cm，将△ABC 折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为 ( )A．92cm B．73cmC．72cm D．53cm探索与创新题9、如图14－39所示，王利家住高楼的15层，上、下楼都乘坐电梯，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别是1．2 m， 1．2 m，2．1 m，那么能放到电梯内的竹竿的最大长度是多少?10、李老师让同学们讨论这样一个问题：如图14－40所示，有一个长方体盒子，底面正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长方体盒子下底面的A点有一只小蚂蚁，它想吃到上底面的F点处的食物，则它怎样爬行路程最短?最短路程是多少?过了一会儿，李老师问同学们答案，甲生说：“先由A点到B点，再走对角线BF．”乙生说：“我认为应由A先走对角线AC，再由C到F点．”丙生说：“将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，利用勾股定理求AF的长．”丁生说：“将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，利用勾股定理求AF的长．”你认为哪位同学的说法正确?(参考数据：29≈5．392)11、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图14－43(1)所示，根据勾股定理可知a2＋b2＝c2，若△ABC不是直角三角形，如图14－43(2)和(3)所示，请类比勾股定理，试猜想a2＋b2与c2的关系，并证明你的结论．12、已知四边形ABCD中，AB＝BC＝3ABC＝60°，∠BAD＝90°，且△ACD是一个直角三角形，求AD的长．体验中考如图14－47所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示的方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为 .学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析把长方体的侧面展开，得到一个长方形，连结AC，再利用勾股定理即可解决问题．解：如图14－31所示，将此长方体侧面展开后得到长方形，连结AC，由勾股定理可知AC2＝32＋42＝52，即AC＝5cm．所以小蚂蚁所走的最短路程为5cm．【解题策略】长方体是立体图形，计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，而计算不同面上的两点之间的表面距离就变成了两个面之间的问题，必须将它们转化到同一个平面内进行求解．|规律·方法| 解此类问题一般运用的是转化思想的方法．2、分析环绕油罐建梯子，想到将圆柱沿AB展开，得到一个长方形，由两点之间线段最短，构造直角三角形，再利用勾股定理解题．解：如图14－32所示，将圆柱体的侧面沿AB展开，得到长方形AA′B′B，则AB＝A′B′＝5米，AA′＝BB′＝12米，∠A′＝90°，因此沿AB，建梯子，梯子最短．在Rt△AA′B′中，AB′2＝AA′2＋A′B′2＝122＋52＝169．∴AB′＝13米．答：梯子最短需13米．【解题策略】在实际生产、生活、建筑中有很多图形是直角三角形，或者可以构成直角三角形，在计算中常常应用勾股定理．3、分析旗杆与地面垂直，绳子拉开后构成直角三角形，其中一直角边为8米，斜边比另一直角边长2米，根据勾股定理，可列方程求解．解：如图14－33所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝8米，AC比AB长2米，设AB＝x米，则AC＝(x＋2)米，由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴x2＋82＝(x＋2) 2．解得x＝15米．答：旗杆的高度是15米．【解题策略】注意实际问题向几何图形的转化，即AC＝AB＋2，BC＝8，解题时要利用方程的思想，根据勾股定理可列出方程．4、分析由于S△BED＝12DE·AB，所以只要求出DE的长即可，而DE＝BE，AE＝AD－DE＝8－BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理列方程求解．解：∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EB＝E D．设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2．∴42＋(8－x) 2＝x2．∴x＝5，∴DE＝5．∴S△BED＝12DE·AB＝12×5×4＝10．【解题策略】本题是折叠’问题，在折叠问题中常用到轴对称、勾股定理的知识，先把条件集中到一个直角三角形中，再利用勾股定理列方程求解．5、分析本题综合考查勾股定理及其逆定理．先利用网格图中的线段、角的特征，结合勾股定理计算出线段的长，再判断哪些线段能构成直角三角形，比如由AB8EF5，GH13AB2＋EF2＝82＋5)2＝13，GH2＝132＝13，故AB2＋EF2＝GH2，因此AB，EF，GH能构成一个直角三角形．故选B．【解题策略】每一个小方格的边长都为1，因此可利用方格的直角构造直角三角形，从而可运用勾股定理解题．6、分析要比较甲、乙谁先到达B，先求出由A→C→B甲所用的时间，由A→B乙所用的时间，再比较．因甲、乙两人的速度是已知的，故只需求出A→C→B与A→B的路程即可．解：乙先到达B．理由如下：由图可知△ABC为直角三角形，所以AB2＝AC2＋BC2＝6002＋8002＝10002，所以AB＝1000 m．所以甲用的时间为6008007＝200(s)，乙用的时间为100010＝100(s)．又因为甲先跑1 min，而200－60＞100，所以乙先到达B．7、分析由勾股定理，得AB2＝OA2＋OB2＝22＋72＝53，A′B2＝AB2＝53．在Rt△A′B′O中，OB′2＝A′B′2－OA′2＝53－32＝44，所以36＜OB′2＜49，即6＜OB′＜7．BB′＝OB－OB′＜1．故填③．【解题策略】梯子问题是近几年中考的一个热点，该类题型以考查直角三角形的相关知识为主，解此类型题的关键是理解梯子在变化过程中(包括挪移、下降)梯子长度不变，梯子与墙、地面组成直角三角形，可利用直角三角形解题．8、分析本题主要考查勾股定理在折叠问题中的应用．由题意知△ADE与△BDE关于直线DE正对称，所以BD＝AD，设CD＝x cm，则AD＝BD＝(16－x)cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，即122＋x2＝(16－x) 2，解得x＝72．故选C．9、分析所放竹竿的最大长度应是图中线段AB的长度，故利用勾股定理即可求解．解：连结AB，BC，在Rt△ABC中，BC2＝1．22＋1．22＝2．88，AC2＝2．12＝4．41，∴AB2＝BC2＋AC2＝2．88＋4．41＝7．29．∴AB＝2．7(m)．∴能放入电梯内的竹竿的最大长度是2．7 m．【解题策略】解此题的关键是从空间的立体图形中找出所用的平面图形，即直角三角形．10、分析要使蚂蚁爬行的路程最短，可直接连结AF，再求出AF，但AF在盒子里面，不符合题目要求．甲生和乙生的方法类似，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需要计算了．解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD，如图 14－41所示，则AE＝AB＋BE＝4 cm，EF＝3 cm，连结AF，在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝42＋32＝25，∴AF＝5 cm．连结BF，∵AF＜AB＋BF，∴丙的方法比甲的好．按丁生的办法：将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形ABFG，如图 14－42所示，则BF＝BC＋CF＝3＋2＝5(cm)，AB＝2 cm，连结AF．在Rt△ABF中，AF2＝BF2＋AB2＝52＋22＝29≈5．392，∴AF≈5．39 cm．连结AC，∵AF＜AC＋CF，∴丁的方法比乙的好．比较丙生与丁生的计算结果，可知丙生的说法正确．【解题策略】假如蚂蚁能飞，则应由A沿空间对角线AF直接飞到F，这个距离不是最短吗?这种想法很有创意，因为现实生活中的确有能飞的蚂蚁，但本题限定蚂蚁只能在盒子的外表面爬行，不能进入到里面的空间，所以这种办法是行不通的．11、分析本题综合考查有关勾股定理的探究性问题，通过添加辅助线构造直角三角形，运用勾股定理求解．解：若△ABC是锐角三角形，则有a2＋b2＞c2，若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2＋b2＜c2．当△ABC是锐角三角形时，如图14－43(2)所示，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x，则有DB＝a－x，根据勾股定理得b2－x2＝c2－(a－x) 2，即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2，所以a2＋b2＝c2＋2ax，因为a＞0，x＞0，所以2ax＞0，所以a2＋b2＞c2．当△ABC为钝角三角形时，如图14－43(3)所示．过B点作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设CD＝x，则BD2＝a2－x2，根据勾股定理，得(b＋x) 2＋a2－x2＝x2，即b2＋2bx＋x2＋a2－x2＝c2，所以a2＋b2＋2bx＝x2，因为b＞0，x＞0，所以2bx＞0，所以a2＋b2＜c2．|规律·方法| 解本题运用了类比的方法．12、分析因为AD在Rt△ACD中，所以应该想到用勾股定理求解．由题可知△ABC为等边三角形．由∠BAD＝90°，可知∠DAC＝30°．只知△ACD是一个直角三角形，却不知△ACD中哪个角是直角，由于没有确定斜边，因此可分别以AC为斜边和AC为直角边两种情况讨论，不要丢解．解：①当∠ADC＝90°时，如图14－44(1)所示，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，所以△ABC 是等边三角形，所以AC =AB ＝3因为∠BAD ＝90°，所以∠CAD ＝30°，又因为∠ADC ＝90°，故CD 3所以AD 22(23)(3)-3．②当∠ACD ＝90°时，如图14－44(2)所示，易求∠CAD ＝30°，设CD ＝x ，则AD ＝2x ，根据勾股定理，得(2x )2＝32＋x 2，解得x ＝2，则AD ＝4，所以AD 的长为3或4．|规律·方法| 解此类图形未确定的问题，一般应考虑所有情况，运用分类讨论的思想来解决．体验中考分析本题主要考查勾股定理在折叠问题中的应用．在 Rt △ABC 中，由∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6可知AB 22AC BC +10，由折叠可知BC ′＝BC ＝6，C ′D ＝CD ，易知 AC ′＝AB －BC ′＝4，设CD ＝x ，则C ′D ＝CD ＝x .在Rt △AC ′D 中，由AC ′2＋C ′D 2＝AD 2可得42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3．所以在Rt △BCD 中，BD 22BC CD +2263+369+455.故填5．。

新华师大数学八年级上册优秀导学案：14.1勾股定理14.1.1直角三角形三边关系

14.1.1 直角三角形三边关系【学习目标】1.探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2．会应用勾股定理解决实际问题【学习重难点】1.探索勾股定理的证明过程2.运用勾股定理解决实际问题【学习过程】一、课前准备直角三角形的性质：二、学习新知自主学习：一、探索勾股定理试一试测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表：根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b、 c之间的关系．由图14.1.1得出等腰直角三角形的三边关系图14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两个小正方形P、 Q的面积之和等于大正方形R的面积．即AC2＋ＢＣ2＝ＡＢ2，图14.1.1这说明，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，两直角边的平方和等于斜边的平方．那么在一般的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?试一试观察图14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P 的面积＝平方厘米；正方形Q 的面积＝平方厘米；（每一小方格表示1平方厘米）图14.1.2正方形R 的面积＝平方厘米．我们发现，正方形P 、 Q 、 R的面积之间的关系是．由此，我们得出直角三角形ＡＢＣ的三边的长度之间存在关系．由图14.1.2得出一般直角三角形的三边关系.若∠C=90°,则222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方△ABC 中，∠C=90°, 则222c b a =+(a 、b 表示两直角边，c 表示斜边) 变式：222222,a c b b c a -=-= 实例分析：例1、Rt △ABC 中，AB=c,BC=a,AC=b,∠B=90° （1）已知a=8,b=10,求c. (c=6) （2）已知a=5,c=12,求b (b=13) 注意：“∠B 为直角”这个条件。

例2如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC 斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A 到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）【随堂练习】1、已知在Rt△ABC 中，∠C=90°。