参数方程确定的函数的导数

(此时看成 x 是 y 的函数) d t
则
1
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且
可求二阶导数.
d2 y d (dy) d (dy) dx d x2 dx dx d t dx dt
(t)(t) (t) (t)
2 (t)
(t)
(t)(t) (t) (t) 3 (t)
2
注意 : 已知
?
例4. 设
x f (t) y t f (t)
f
(t)
,
且
f
(t)
0,求
d2 y d x2 .
解:
d d
y x
t f (t) f (t)
t,
d2 y 1
d x2 f (t)
练习:
解: dy 1 ; dx t
d2 y d x2
1 t2
t
1 t3
3
例5.
设由方程
x t t 2
2
y
2t
sin
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
(t) 0时, 有
dy dy d t dy 1 (t) dx d t dx dt dx (t)
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dx 1 (t) dy d t dy dt dy (t)
y
1
(0 1)
确定函数 y y( x) , 求
解: 方程组两边对 t 求导, 得
dx 2t 2 dt
2t d y cos y d y 0
dt
dt
d x 2(t 1) dt d y 2t
d t 1 cos y
故
dy dy dx dt
dx dt
t
(t 1)(1 cos y)
4
Байду номын сангаас