参数方程确定的函数的导数
10 由参数方程确定的函数的导数、高阶导数
6
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、高阶导数
1、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度 问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
Q 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
∴ a ( t ) = v ′( t ) = [ f ′( t )]′ .
一 地 函 f ( x)的 −1 导 的 数 为 般 , 数 n 阶 数 导 称
数 n 导 , 作 函 f ( x)的 阶 数 记
dn y dn f ( x) f (n) ( x), y(n) , . 或 n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
(4) ( x α ) ( n ) = α(α − 1) L (α − n + 1) x α − n
(n)
(5) (ln x )
14
= ( −1)
上页
n −1
( n − 1)! xn
返回
1 (n) n n! ( ) = ( −1) n + 1 x x
下页 结束 铃
首页
1 (5) , 求y . 2 x −1 1 1 1 1 解Qy= 2 ) = ( − x −1 2 x −1 x +1
例6 设 y =
∴y
(5)
1 − 5! − 5! ] = [ − 6 6 2 ( x − 1) ( x + 1) 1 1 ] = 60[ − 6 6 ( x + 1) ( x − 1)
15
首页
上页
返回
下页
结束
铃
由参数方程确定的函数的求导方法
一、概述从高中开始学习数学，我们就被教导如何求解代数函数的导数。
但是在高等数学领域，我们还需要学会如何求解由参数方程确定的函数的导数。
参数方程在描述曲线、曲面等几何图形时具有独特的优势，因此求解由参数方程确定的函数的导数是十分重要的。
二、参数方程的定义参数方程是由参数对确定的函数，其自变量和因变量均为参数。
常见的参数方程形式可表示为$x=f(t)$，$y=g(t)$，其中$x$和$y$分别是$t$的函数。
参数方程的优点在于能够将几何问题转化为代数问题，简化问题的求解过程。
三、从参数方程求导的基本方法1. 链式法则当我们需要求解由参数方程确定的函数的导数时，可以利用链式法则。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$。
通过对参数$t$的求导，我们可以得到$y$关于$x$的导数。
2. 极限定义法我们也可以利用极限定义法来求解由参数方程确定的函数的导数。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
我们可以将$\frac{dy}{dx}$表示为$\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中$\Delta t$趋近于$0$。
通过极限的定义，我们可以求得函数$y$关于$x$的导数。
四、实例分析为了更好地理解从参数方程求导的方法，我们通过实例来进行分析。
假设有参数方程$x=2t$，$y=t^2$，我们需要求解函数$y$关于$x$的导数。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，代入参数方程得$\frac{dy}{dx}=\frac{2t}{2}=\frac{t}{1}=t$。
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
rh
x
体积为 V
V,
13
则
R2h
R
1 3r2(hx)3hR22[h3(hx)3]
dV dt
故
dx dt
两边对 t 求导
R2 h2
(hx)2 d d
25h2
R2 (h x)2
x t ,
, 而 dV 25 (cm3
dt
当x h 时, dx 2 dt
r hx
第二章
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题
2020/2/14
1
目录
上页
下页
返回
一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
dt
9 25
25
因此，当漏斗中水深为 12cm，水面下降速度为 1cm /s
时，桶中水面上升的速度为 16 cm /s． 25
2020/2/14
19
目录
上页
下页
返回
例8 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 140m min, 当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少?
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d ( d y ) d (dy) d x d x dt dx
dx dt
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
(t)(t)3 ( t)(t)(t)
高等数学：第十一讲 由参数方程所确定的函数的导数
dy dt
1 dx
y(t ) )
例题：
已知摆线方程为
x a(t sin t),
y
a(1
cost)
(a 为常数，0 t 2π) ，求摆线在 t
3
处的切线方程 .
解
与
t
3
对应的曲线上的点为
P a
3
3 2
,
1 2
a
,
y′ (t)= asin t， x′(t)= a(1-cos t)，
由参数方程所 确定的函数的
导数
引例
已知摆线方程为
x y
a(t a(1
sin t ) ， (a
cos t)
为常数，0
t
2π
)
，求摆线在
t 处的切线方程 .
3
分析 切线方程
切点
斜率
导数
问题
一、这里的函数如何确定？ 二、如何求该函数的导数？
隐由函 参数方程确定的函数
定义
如果参数方程
x y
x(t), y(t)
所以
dy
sin t
dy ,
dx 1 cos t dx t π
3.
3
点
P
处的切线方程为
y
1a 2
3
x
3
a
3 2
a
.
谢谢
(
t
)
可确定y与x之间的函数
关系，则称此函数关系所表示的函数为由参数方程所确定的
函数。
例如，参数方程
x
y
r cost, r sin t
(0
t
2
)
确定了y与x之间的函数
关系，即 x2 y2 r 2.
2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
第二章 导数与积分
例4
1
求由方程 + sin=0所确定的隐函数的二阶导数
2
解
方程两边对求导, 得 1 − ′ + 2 cos ·′ = 0.
1
2
∴ ′ =
.
2 − cos
上式两端再对求导, 得
−2sin · ′
=
∴ ′′=
(2 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
d
=
∵
=
=
d
d
− cos 1 − cos
d
∴
d2
d 2
=
d
d
sin
sin
d
d
d
d
1
−
cos
1
−
cos
=
·
=
d
d
d
d
1
1
cos (1 − cos ) − sin · sin
·
=−
=
(1 − cos )
1 − cos
(1 − cos )2
第四节 隐函数和参数方程求导相关变化率
2
.
第二章 导数与积分
四、相关变化率
设 = ()及 = ()都是可导函数,
与之间存在某种关系
d d
与 之间也存在一定关系
d
d
称为相关变化率
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解法: 找出相关变量的关系式
对 t 求导
例7 已知椭圆的参数方程 ቊ = sin , 求椭圆在 = 相应点处的
4
切线方程 .
2019年最新-10由参数方程确定的函数的导数、高阶导数-精选文档
第三节
导数与微分
由参数方程确定的函数的导数、 高阶导数
主要内容：
一、由参数方程确定的函数的导数；
二、高阶导数.
1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方 xy 程 ((tt))确定 y与x间的函数 , 关
称此为由参数 定方 的程 函 . 所 数确
例如
x 2t,
y ( ( 1 )x 2) ( 1 ) ( 2 )x 3
y ( n ) ( 1 ) ( n 1 ) x n ( n 1 )
若为自然 n,则 数
y(n) (xn)(n)n!,
y(n1) (n!) 0.
2
y c oxs(2 2)sinx(32)
y(n) sinx (n) 2
同理可得 (cx o)(n s)coxsn () 2
12
首页
上页
返回
下页
结束
铃
（2） 高阶导数的运算法则:
设函 u和 v具 数n阶 有导 ,则数
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n ) (2)(C)u (n) C(n u )
f(x),
y,
d3y .
dx3
三阶导数的导数称为四阶导数,Βιβλιοθήκη f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一般, 函 地数 f(x)的n1阶导数的导数
函数 f(x)的n阶导,记 数作
f(n)(x),y(n), dny或 dnf(x). dnx dnx
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应 ,f(x)称 地为零 ;f(x)阶 称导 为数 一 .
由参数方程所确定的函数的导数
由参数方程所确定的函数的导数参数方程是一种用参数表示的函数形式，其中自变量由一个或多个参数来决定。
因此，参数方程所确定的函数的导数可以通过链式法则来求解。
假设我们有一个参数方程：x=f(t)y=g(t)其中，x和y是关于t的函数。
我们要求的是函数 y 对 x 的导数，也就是 dy/dx。
根据链式法则，我们可以写出如下关系：dy/dx = dy/dt / dx/dt然后，我们可以分别求 dy/dt 和 dx/dt 的值，并将它们代入到上式中，进一步计算出 dy/dx。
假设函数f(t)和g(t)是可以被微分的，那么我们可以得到：dx/dt = f'(t)dy/dt = g'(t)其中，f'(t)和g'(t)表示f(t)和g(t)的导数。
将 dx/dt 和 dy/dt 的值带入到 dy/dx 的表达式中，我们可以得到：dy/dx = dy/dt / dx/dt = g'(t) / f'(t)这样，我们就得到了函数y对x的导数。
这个导数可以看作是一个对于参数t的函数。
需要注意的是，上述推导只适用于单变量的情况，也就是参数方程中只有一个参数t。
如果有多个参数，我们需要对每个参数分别求导，并做相应的处理。
现在，让我们来看一个具体的例子，以便更好地理解。
假设有一个参数方程：x = cos(t)y = sin(t)我们的目标是求 dy/dx。
首先，我们求 dx/dt 和 dy/dt：dx/dt = -sin(t)dy/dt = cos(t)然后，我们将 dx/dt 和 dy/dt 的值代入到 dy/dx 的表达式中：dy/dx = dy/dt / dx/dt = cos(t) / (-sin(t))因此，函数 y 对 x 的导数为 -cot(t)，也就是 -1/tan(t)。
通过上述计算，我们可以发现，导数 -cot(t) 是对参数 t 的函数，而不是对 x 的函数。
第四节隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数
但并不是所有的隐函数都能被显化，如 y x ln y
由隐函数的显化我们可以看到，所谓方程F(x, y)=0 确定一个函数 y=f (x) 就是将此函数代入方程，则方
程F (x, y)= F (x, f(x))≡0成为恒等式。
例如，将函数 y 1 x2 代入方程 x2 y2 1 0
第四节 隐函数的导数、 由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定y是x的函数, 则称此
函数为隐函数.
由
表示的函数，称为显函数。
例如,
可确定y是x的函数 ,
可确定显函数
（隐函数的显化）
对于不能显化或不易显化隐函数如何求导？
再设函数 x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dt
dy
即
dy dx
dt dx
t t
dt
例1 设
求
解：
例2 已知摆线方程
求在
但有时会遇到因变量与自变量的对应规则是用一
个方程 F (x, y)=0 表示的函数，这种函数称为隐函数。
如，
x2 y2 1 0
x2 xy y2 4
一般的，如果变量 x 和 y 满足方程 F (x, y)=0， 在一定条件下，当 x 在某区间内任取一值时，相应 的总有满足该方程的唯一的 y 值存在，那么就说方 程 F (x, y)=0 在该区间内确定了一个隐函数。
经济数学微积分隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
ln f ( x ) v( x ) ln u( x )
d 1 d 又 ln f ( x ) f ( x) dx f ( x ) dx
d f ( x ) f ( x ) ln f ( x ) dx
代入 x 0, y 1, y x 0
y 1
1 得 y 4
x0 y 1
1 . 16
★ 对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x sin x .
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. ——对数求导法 适用范围:
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
※二、由参数方程所确定的函数的导数 (differentiation of functions represented parametrically)
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数. x 2t , x 例如 消去参数 t t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例5 设 y x sin x ( x 0), 求y.
解
方程 .
解
dy a sin t sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt π sin dy 2 1. π dx t π 2 1 cos 2
10由参数方程确定函数导数、高阶导数
et et
sin t 在t cos t
2
处.
二、高阶导数
1、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t), 则瞬时速度为v(t) f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率
a(t) v(t) [ f (t)].
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx 2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3y .
dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数,
f (4) ( x),
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t 1( x),注
y [ 1( x)]
意
分
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0, 子
由复合函数及反函数的求导法则得
母
不
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dt
dy
要
即 dy dx
dt dx
(t) (t )
x x0
f (u0 ) ( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
隐函数求导法则
隐函数求导步骤： A、对方程两边求导； B、方程仅含x的式子按正常求导；凡含y的 式子要按复合函数求导，且结果必有y(或 dy )
隐函数及参数方程所确定的函数的求导法
谢谢聆听
一、隐函数的导数
把一个隐函数化成显函数，叫作隐函数的显化．例如， 从方程3x＋y2＋5=0解出y=± √ -5-3x，就把隐函数化成显函 数．隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的．例如， ey=y＋x在x的一定变化范围内虽然也能确定一个隐函数y=f （x），却无法将它显化.因此有必要介绍隐函数的求导方法.
设y=f（x）是由F（x，y）=0所确定的隐函数，则F（x， f（x））=0．由于此式左端是将y=f（x）代入F（x，y）所 得到的复合函数，因此，根据链式法则将等式两边对x求导， 便可得到所求的导数．
我们通过几个例子来说明这种方法．
一、隐函数的导数
【例1】
求方程xy-ex＋ey=0所确定的隐函数y=f（x）的导数 ． 解 方程两端同时对x求导，并注意到y是x的函数，得
下面举几个例子.
一、隐函数的导数
【例4】
求函数y=xx（x>0）的导数． 解 这是幂指函数，求导数时，既不能用幂函数的导数 公式，也不能用指数函数的导数公式. 对等式两边取对数，得
lny=xlnx， 两边对x求导，得
一、隐函数的导数
【例5】
二、由参数方程所确定的函数的导数
函数关系除了用显式和隐式表示外，还可以用参数 方程来表示．
一般的，如果参数方程x=φ（t）， 确定y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表示的函 数为由参数方程所确定的函数．
对于参数方程所确定的函数的求导，通常不需要由 参数方程消去参数t化为y与x之间的直接函数关系后再求 导．
二、由参数方程所确定的函数的导数
如果函数φ（t）和ψ（t）都可导，φ′（t）≠0且x=φ（t） 存在反函数t=φ-1（x），则y为x的复合函数．根据复合函数求 导法则，得
由参数方程所确定的函数的导数(精)
b a 4 2 y b sin b 2 切点的坐标为 x0 a cos a 0 4 2 4 2 2 b (x a 2 ) 切线方程为 y b 2 a 2 即 bxay 2 ab 0
ln x yx sin xe sin x·
y esinxln x (sin xln x) xsinx (cosxln x sin x ) x
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
(x 1)(x 2) 例 6 例 6 求函数 y 的导数 (x 3)(x 4)
例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x
把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出.
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
例1 求由方程eyxye0所 例2 求由方程y52yx3x70 确定的隐函数y的导数 所确定的隐函数yf(x)在 解 方程中每一项对x求导得 x0处的导数y|x0
于是抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为
2 (v gt)2 v [x(t)]2 [ y(t)]2 v1 2 再求速度的方向 设a是切线的倾角 则轨道的切线方向为 dy y(t) v2 gt tan 数学
主讲人： 苏本堂
dy y ( t ) [ a ( 1 cos t ) ] a sin t 解 dx x(t) [a(t sin t)] a(1 cost)
几种参数方程确定的函数的导数
y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
对y的表达式两边求导数得
2(10 y cos y ) 2 x (10 y sin yy) y (10 y cos y ) 2
2(10 y cos y ) 2 4 x 2 (10 sin y ) 。 3 (10 y cos y )
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? dy dx y f ( x ),即 可 得 f ( x ) 求法：建 立 关 系 dt dt
例9 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
上升, 其速率为140米 / 秒.当气球高度为500米时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解 设气球上升 t秒后, 其高度为 h, 观察员视线
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x 也可直接根据复合函数 求导法求导：
sin x sin x ln x sin x ln x y ( x ) (e ) e (sinx ln x)
f ( x ) u( x )
v( x)
v ( x )u( x ) [v ( x ) ln u( x ) ] u( x )
适用范围:
由参数方程所确定的函数的导数
由参数方程所确定的函数的导数在微积分中，导数是用来衡量函数在其中一点附近的变化率的工具。
对于由参数方程所确定的函数，我们可以通过求导来计算其导数。
首先，让我们回顾一下参数方程是什么。
参数方程由一组参数来描述一条曲线或曲面。
通常情况下，我们用参数t来表示曲线上的点的位置。
给定参数t的值，我们可以通过参数方程来计算出曲线上对应点的坐标。
假设我们有一个参数方程x=f(t)和y=g(t)，我们想要求出由这个参数方程所确定的函数的导数。
我们可以使用链式法则来进行计算。
链式法则告诉我们，如果y是由x的函数表示的，而x又是t的函数表示的，那么y也是t的一个函数，并且可以通过以下方式来计算其导数：dy/dt = dy/dx * dx/dt我们可以将参数方程转化为常规的函数表达式，然后应用这个公式来计算导数。
首先，我们将参数方程x = f(t)转化为函数表达式x = f(x)。
然后，我们对其求导，得到dx/dt。
接下来，我们将参数方程y = g(t)转化为函数表达式y = g(x)。
然后，我们对其求导，得到dy/dx。
最后，我们将这两个结果相乘，即可得到dy/dt，即由参数方程所确定的函数的导数。
让我们通过一个具体的例子来说明这个过程。
首先，我们将参数方程转化为函数表达式：x = cos(t)y = sin(t)将x = cos(t)转化为函数表达式x = cos(x)，然后对其求导，得到dx/dt = -sin(t)。
将y = sin(t)转化为函数表达式y = sin(x)，然后对其求导，得到dy/dx = cos(t)。
最后，我们将这两个结果相乘，得到dy/dt = -sin(t) * cos(t)。
当然，这只是一个简单的例子。
在实际应用中，参数方程可能会更加复杂，求导的过程也可能会更加困难。
但是，无论参数方程的形式如何，我们都可以使用链式法则来计算其导数。
总结起来，由参数方程所确定的函数的导数可以通过将参数方程转化为常规的函数表达式，然后使用链式法则来计算。
参数方程的导数-2022年学习资料
2、隐函数的求导法-例5.求由方程ey+y-e=0所确定的隐函数y=yx的导数。-解：将方程两边对x求导， 注意到y是x的函数，-ey是x的复合函数，按复合函数的求导法则得-ey.+y+x=0,-dx-故-dy-= y-结果中的y仍是由方程ey+xy-e=0所确定的的隐函数。
例6.求由方程V2+y=e-arctan-确定的隐函数的导效-x-解：-Inx2+y2arctan-X-2 +2y-dy-1-x+y--y-dx-1+心2-d的--y,-x-y-x+y,
2.2.5参数方程所确定的函数的导数-一般地参数方程-x=pt-,t∈I确定了y与x-y=ft-之间的函数 系。-如果函数x=pt存在反函数t=φ1x，则-y可看作x的复合函数，即y=f[px】,它由-y=ft,t p复合而成。
定理4设有参数方程-x=pt-,t∈I,如果函数-y=ft-x=pt,y=ft在区间I上均可导且p't≠0 -又x=0t存在反函数t=0x,则-dy-dt-f't-dx
x at-sint-例2.求摆线-在t=-π-2-处的切线方程。-y=a1-cost-dy-解：-dt-a in t-dx-当t=-时，摆线上相应的点为Ma受-，-摆线在点M处的切线斜率为k=-元=1，-故切线方程 y-a=x-a兮-，即x-y+a2-5-=0。
例3.求三叶玫瑰线r=asin30a为正常数在对应0=-元-4-的点处的切线方程。-解：利用直角坐标与极坐 间的关系，将所给极坐标方程-化为参数方程：-9_-x=r0cos0=asin 30cos0-X-y=r0s n 0=asin 30sin 0-dy-do-a3cos30sin 0+sin 30cos0-dx-a3c s30cos0-sin 30sin 0
由参数方程所确定的函数的导数
由参数方程所确定的函数的导数要计算由参数方程确定的函数的导数，我们首先需要了解参数方程的概念和用法。
参数方程是一种常用于描述曲线或曲面的方程形式。
它使用一个参数来表示变量，通过改变参数的值可以得到曲线或曲面上的不同点。
常见的参数方程形式为：x=f(t)y=g(t)其中，t是参数，x和y是关于t的函数。
要计算由参数方程所确定的函数的导数，我们可以使用链式法则。
链式法则是微积分中的一个重要定理，用于计算复合函数的导数。
首先，我们将两个参数方程写成一个函数：f(t)=(x(t),y(t))然后使用链式法则将函数f(t)求导：f'(t)=(x'(t),y'(t))其中，'表示对变量t求导。
x'(t)和y'(t)分别表示x和y关于t的导数。
进一步，我们可以通过求解x(t)和y(t)关于t的导数来计算x'(t)和y'(t)：x'(t) = dx(t)/dty'(t) = dy(t)/dt具体的计算方法取决于参数方程的具体形式。
下面我们通过一些例子来演示如何计算由参数方程所确定的函数的导数：例1：考虑参数方程 x = cos(t)，y = sin(t)，我们将其表示为函数形式 f(t) = (cos(t), sin(t))。
求导得到：x'(t) = -sin(t)y'(t) = cos(t)所以函数f(t)的导数为 f'(t) = (-sin(t), cos(t))。
例2：考虑参数方程x=2t，y=t^2，我们将其表示为函数形式f(t)=(2t,t^2)。
求导得到：x'(t)=2y'(t)=2t所以函数f(t)的导数为f'(t)=(2,2t)。
通过以上例子，我们可以看到，对于参数方程确定的函数，其导数是一个向量函数，每个分量的导数都是各个参数的导数。
总结起来，计算由参数方程确定的函数的导数的步骤如下：1.将参数方程写为函数形式f(t)=(x(t),y(t))。