高中数学选修1-2 6.反证法

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人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版

2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解：假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12．【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-，故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________．答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1．所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)，又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。

【创新设计】高中数学北师大版选修1-2练习：综合检测卷(含答案解析)

综合检测卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．i 是虚数单位，复数1－3i1－i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋2iD ．－1－2i答案 A解析 ∵1－3i 1－i ＝(1－3i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4－2i 2＝2－i ，∴1－3i 1－i的共轭复数是2＋i. 2．数列2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 答案 B解析 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出x －20＝12，x ＝32.3．演绎推理“因为对数函数y ＝log a x(a>0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误答案 A解析对数函数y ＝log a x(a>0，且a ≠1)，当a>1时是增函数，当0<a<1时是减函数，故大前提错误．4．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．y ＝0.4x ＋2.3 B ．y ＝2x －2.4 C ．y ＝－2x ＋9.5D ．y ＝－0.3x ＋4.4答案 A解析因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D. 因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.5．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( ) A ．28 B ．76C ．123D ．199答案 C解析观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123.6．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( ) A ．a ，b 都能被3整除 B ．a ，b 都不能被3整除 C ．a ，b 不都能被3整除 D ．a 不能被3整除答案 B解析 “至少有一个”的否定为“一个也没有”．7．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由χ2＝n(ad －bc)2(a ＋b)(c ＋d)(a ＋c)(b ＋d)算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 答案 C解析根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．8．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a|2＝a 2类比得到复数z 的性质|z|2＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R)有两个不同实数根的条件是b 2－4ac>0可以类比得到：方程az 2＋bz ＋c ＝0(a ，b ，c ∈C)有两个不同复数根的条件是b 2－4ac>0；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到的结论错误的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 答案 C9．执行如图所示的算法框图，若输入n ＝10，则输出S 等于( )A.511B.1011C.3655D.7255 答案 A解析执行第一次循环后，S ＝13，i ＝4；执行第二次循环后，S ＝25，i ＝6；执行第三次循环后，S ＝37，i ＝8；执行第四次循环后，S ＝49，i ＝10；执行第五次循环后，S ＝511，i ＝12，此时i ≤n 不成立，退出循环，输出S ＝511.10.已知x>0，由不等式x ＋1x≥2x·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3，…，可以推出结论：x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 等于( )A ．2nB ．3nC ．n 2D ．n n 答案 D解析由两个不等的结构特点知， x ＋a x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n ＋a xn ≥ (n ＋1)n ＋1x n ·x n ·…·x n ·a x n ＝(n ＋1)n ＋1a n n ＝n ＋1.所以a ＝n n .二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为________．答案 P<Q解析要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a(a ＋7)与2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0<12，故P<Q.12．若复数z ＝cos θ－sin θi 所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．答案一解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0－sin θ<0，所以θ为第一象限角．13．如图所示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为______． ①0.504；②0.994；③0.496；④0.06. 答案 ②解析 A 、B 、C 三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知 P ＝1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994. 14．复数11－x2＋(2－2x)i(x ∈R)在复平面内的对应点位于第________象限．答案一解析由题意可得11－x 2>0，解得－1<x<1，故2－2x >0，所以复数11－x2＋(2－2x)i(x ∈R)在复平面内对应点位于第一象限．15．已知下列框图，若a ＝5，则输出b ＝________.答案 26解析因a ＝5，所以5>5不成立，判断框执行“否”，即b ＝52＋1＝26. 三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 取什么值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ＝－1，或a ＝6，且a ≠±1， ∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ≠－1，且a ≠6，且a ≠±1.∴当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，且a ≠6，a ＝6. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．17．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N ＋)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n(S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，又S 11＝1≠0，(小前提)故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意的正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)18．为了研究教师工作积极性和对待教育改革态度的关系，随机抽取了278名教师进行问卷调查，所得数据如下表：0.01的前提下认为态度与工作积极性有关？解利用公式得χ2＝278×(55×52－73×98)2153×125×128×150≈13.959>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该单位教师对待教育改革的态度与其工作积极性是有关的．19．某种产品的广告费支出x 与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？解 (1)根据表中所列数据可得散点图如下：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：因此，x ＝255＝5，y ＝2505＝50，∑5i ＝1x 2i ＝145，∑5i ＝1y 2i ＝13 500，∑5i ＝1x i y i ＝1 380. 于是可得：b ＝∑5i ＝1x i y i －5x ·y∑5i ＝1x 2i －5x 2＝1 380－5×5×50145－5×5×5＝6.5；a ＝y －b x ＝50－6.5×5＝17.5.因此，所求线性回归方程为：y ＝6.5x ＋17.5.(3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费支出为10百万元时，y ＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元．20．画出计算函数y ＝|2x －3|的函数值的框图．(x 由键盘输入) 解21．f(x)＝13x＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解 f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13(1＋3)＝33(1＋3)＋13(1＋3)＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33， f(－2)＋f(3)＝33. 由此猜想f(x)＋f(1－x)＝33. 证明：f(x)＋f(1－x)＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x 3＋3·3x ＝13x ＋3＋3x3(3＋3x ) ＝3＋3x 3(3＋3x )＝33.。

高中数学选修1-1、1-2、4-4知识点高考复习总结

选修1－1、1-2数学知识点选修1－1数学知识点第一章简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系：例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.p q p q ∧ p q ∨ p ⌝真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃；特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；第二章圆锥曲线与方程1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>>范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。

高中数学选修1-2第二章课后习题解答

高中数学高中数学新课程标准数学选修1—2第二章课后习题解答第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理练习（P30）1、由12341a a a a ====，猜想1na=.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积，的体积，则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=××. 4、略. 练习（P33）1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，p 是非零常数，则{}n a 是等比数列；是等比数列； …………………………大前提…………………………大前提又因为0cq ¹，则q 是非零常数，则11n n nna cq q a cq ++==；……………………小前提……………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =¹的数列{}n a 是等比数列.……………………结论……………………结论 3、由A D B D >，得到ACD BCD Ð>Ð的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是因为这个推理的大前提是“在同一“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 4、略.习题2.1A 组（P35） 1、2(1)n -（n 是质数，且5n ³）是24的倍数.2、21n a n =+()n N *Î. 3、2F V E +=+. 4、当6n £时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *Î.5、212111(2)n n A A A n p++³-（2n >，且n N *Î）. 6、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *Î）.7、如图，作DE ∥AB 交BC 于E . 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形所以四边形ABED 是平行四边形是平行四边形.. 因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等. . DEBAC（第7题）又因为四边形ABED 是平行四边形是平行四边形. .所以所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的. 又因为△DEC 是等腰三角形是等腰三角形, , 所以DEC C Ð=Ð 因为平行线的同位角相等因为平行线的同位角相等又因为DEC Ð与B Ð是平行线AB 和DE 的同位角的同位角, , 所以DEC B Ð=Ð 因为等于同角的两个角是相等的，因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C Ð=Ð，DEC B Ð=Ð, 所以B C Ð=Ð习题2.1B 组（P35） 1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明练习（P42）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2q q q q q q q -=+-=，所以，命题得证. 2、要证67225+>+，只需证22(67)(225)+>+，即证1324213410+>+，即证42210>，只需要22(42)(210)>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，原命题得证.3、因为、因为222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b a a a a -=-+==，又因为又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab a a a a a a a a a a +-=+-=×22222222sin (1cos )sinsin161616sin tan cos cos aa aa a a aa-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P43）1、假设B Ð不是锐角，则90B Ð³°. 因此9090180C B Ð+Ð³°+°=°. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B Ð一定是锐角.2、假设2，3，5成等差数列，则2325=+.所以22(23)(25)=+，化简得5210=，从而225(210)=，即2540=，这是不可能的. 所以，假设不成立. 从而，2，3，5不可能成等差数列. 说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.习题2.2A 组（P44） 1、因为、因为(1tan )(1tan )2A B ++=展开得展开得1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B p <+<，从而2A B p+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -¹.①式变形得①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B p <+<，所以4A B p+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 2、因为PD ^平面ABC ，所以PD AB ^. 因为AC BC =，所以ABC D 是等腰三角形. 因此ABC D 底边上的中线CD 也是底边上的高，也是底边上的高，因而CD AB ^ 所以AB ^平面PDC . 因此AB PC ^.3、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B p<不成立，即2B p³，则B 是ABC D 的最大内角，的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而从而 11112a c b b b +>+=. 这与211b a c =+矛盾.所以，假设不成立，因此，2B p<.习题2.2B 组（P44） 1、因为、因为 1tan 12tan aa-=+，所以12tan 0a +=，从而2sin cos 0a a +=.另一方面，要证另一方面，要证3sin 24cos2a a =-，只要证226sin cos 4(cos sin )a a a a =-- 即证即证 222sin 3sin cos 2cos 0a a a a --=，即证即证 (2s i n c o s )(s i n 2c o s a a a a+-= 由2sin cos 0a a +=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0a a a a +-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.2、由已知条件得、由已知条件得2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ②要证2a cx y +=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy +=由①②，得由①②，得22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2x y a b b c a b b a c b c a b a c b c=++=+++=++，所以，224ay cx xy +=，于是命题得证.第二章复习参考题A 组（P46）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *Î）个圆圈.2、333n 个（n N *Î）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==………… 猜想()2n f n =.4、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A ¢，B ¢，C ¢，D ¢，则，则1O A O B O C O D A A B B C C D D ¢¢¢¢+++=¢¢¢¢ 用“体积法”证明：用“体积法”证明： O A O B O C O DA AB BC CD D¢¢¢¢+++¢¢¢¢ O B C D O C D AO D A B OA B C A B C D BC D A CD AB D A B CV VV V V VVV --------=+++1A B C D A B C DVV --==5、要证、要证(1tan )(1tan )2A B ++= 只需证只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=即证即证t a n t a n 1t a n t a A B A B +=- 由54A B p +=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k p p +¹+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式.所以，命题得证. 第二章复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分；部分；（2）2n 条线段；条线段；（3）222n n ++部分. 2、因为90BSC Ð=°，所以BSC D 是直角三角形.A BCDA'B'D'C'（第4题）在Rt BSC D 中，有222BC SB SC =+.类似地，得类似地，得 222AC SA SC =+，222AB SB SA =+ 在ABC D 中，根据余弦定理得中，根据余弦定理得2222cos 02AB AC BC SA A AB AC AB AC+-==>××2222cos 02AB BC AC SB B AB BCAB BC+-==>×× 2222cos 02BC AC AB SC C BC ACBC AC +-==>×× 因此，,,A B C 均为锐角，从而ABC D 是锐角三角形. 3、要证、要证cos 44cos 43b a -= 因为因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)b a b a -=´-´ 2212sin 24(12sin 2)b a =--´-222218s i n c o s 4(18s i n c o s )b b a a =--´-222218s i n (1s i n )4[18s i n (1s i n )]bb a a=---´-- 只需证只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3b b a a ---´--= 由已知条件，得由已知条件，得 sincos sin2q q a +=，2sin sin cos b q q =，代入上式的左端，得代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]b b a a ---´-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )q q q q a a =---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )q q q q q q q q =--+++-222238s i n c o s 8s i nc o s 68s i n c o s 8s i nc o sq q q q q q q q =--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43b a -=。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.2.2 反证法课件新人教A版选修1-2

类型二
用反证法证明存在性命题
【典例2】 (1)(2014·西安高二检测)“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是 .
(2)(2014·石家庄高二检测)已知a,b,c均为实数,且a= x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,c=z2-2x+ ,求证:a,b,c中至少有一个大
2 3 6
于0.
【解题探究】1.题(1)中“至少有两个钝角”的含义是什么? 2.题(2)中a,b,c有什么特点?怎样应用这些特点? 【探究提示】1.“至少有两个钝角”的含义是“有两个钝角或两个以上钝角”,即钝角的个数大于等于2.
2.题(2)中a,b,c是含有x,y,z的代数式,将a,b,c三个加起来,重
新组合,把含x,y,z的各项分别放在一起.
(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾.
【解析】(1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立,所以它属于间接证明问题的方法.
(2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理.
(3)正确.否定结论导出矛盾就是反证法的实质,从而肯定原结
论.
答案:(1)√ (2)× (3)√
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
2z+1+π-3=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0,即a+b+c>0与 a+b+c≤0矛盾, 所以假设不成立,即a,b,c中至少有一个大于0.
【延伸探究】本例题(1)改为“任何三角形的内角至少有一个大于或等于60°”的否定为 .
【解析】“至少有一个大于或等于60°”的否定是“三个内角都小于60°”. 答案:存在一个三角形,其三个内角都小于60°

高中数学选修1-2第一章课后习题解答

新课程标准数学选修1—2第一章课后习题解答第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用练习（P8）1、画散点图的目的是通过变量的散点图判断两个变量更近似于什么样的函数关系，以确定是否直接用线性回归模型来拟合原始数据.说明：学生在对常用的函数图象比较了解的情况下，通过观察散点图可以判断两个变量的关系更近似于哪种函数.2、分析残差可以帮助我们解决以下两个问题：（1）寻找异常点，就是残差特别大的点，考察相应的样本数据是否有错.（2）分析残差图可以发现模型选择是否合适.说明：分析残差是回归诊断的一部分，可以帮助我们发现样本数据中的错误，分析模型选择是否合适，是否有其他变量需要加入到模型中，模型的假设是否正确等. 本题只要求学生能回答上面两点即可，主要让学生体会残差和残差图可以用于判断模型的拟合效果.3、（1）解释变量和预报变量的关系式线性函数关系.R=.（2）21说明：如果所有的样本点都在一条直线上，建立的线性回归模型一定是该直线，所以每个=+，没有随机误差项，是严样本点的残差均为0，残差平方和也为0，即此时的模型为y bx aR=.格的一次函数关系. 通过计算可得21习题1.1 （P9）1、（1）由表中数据制作的散点图如下：从散点图中可以看出GDP值与年份近似呈线性关系.y表示GDP值，t表示年份. 根据截距和斜率的最小二乘计算公式，得（2）用tˆ14292537.729a≈-，ˆ7191.969b≈从而得线性回归方程ˆ7191.96914292537.729=-.y t残差计算结果见下表.GDP 值与年份线性拟合残差表（年实际GDP 值为117251.9，所以预报与实际相差4275.540-.（4）上面建立的回归方程的20.974R =，说明年份能够解释约97％的GDP 值变化，因此所建立的模型能够很好地刻画GDP 和年份的关系.说明：关于2003年的GDP 值的来源，不同的渠道可能会有所不同.2、说明：本题的结果与具体的数据有关，所以答案不唯一.3、由表中数据得散点图如下：从散点图中可以看出，震级x 与大于或等于该震级的地震数N 之间不呈线性相关关系，随着x 的减少，所考察的地震数N 近似地以指数形式增长. 做变换lg y N =，得到的数据如下表所示.x 和y 的散点图如下：从这个散点图中可以看出x 和y 之间有很强的线性相关性，因此可以用线性回归模型拟合它们之间的关系. 根据截距和斜率的最小二乘计算公式，得ˆ 6.704a≈，ˆ0.741b ≈-，故线性回归方程为 ˆ0.741 6.704y x =-+. 20.997R ≈，说明x 可以解释y 的99.7％的变化.因此，可以用回归方程 0.741 6.704ˆ10x N-+= 描述x 和N 之间的关系. 1．2独立性检验的基本思想及其初步应用练习（P15）列联表的条形图如图所示.由图及表直观判断，好像“成绩优秀与班级有关系”. 因为2K 的观测值0.653 6.635k ≈<，由教科书中表1-11克重，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”.说明：（1）教师应要求学生画出等高条形图后，从图形上判断两个分类变量之间是否有关系. 这里通过图形的直观感觉的结果可能会出错.（2）本题与例题不同，本题计算得到的2K 的观测值比较小，所以没有理由说明“成绩优秀与班级有关系”. 这与反证法也有类似的地方，在使用反证法证明结论时，假设结论不成立的条件下如果没有推出矛盾，并不能说明结论成立也不能说明结论不成立. 在独立性检验中，没有推出小概率事件发生类似于反证法中没有推出矛盾.习题1.2 （P16）1、假设“服药与患病之间没有关系”，则2K 的值应该比较小；如果2K 的值很大，则说明很可能“服药与患病之间没有关系”. 由列联表中数据可得2K 的观测值 6.110 5.024k ≈>，而由教科书表1-11，得2( 5.024)0.025P K ≥≈，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为“服药与患病之间有关系”. 又因为服药群体中患病的频率0.182小于没有服药群体中患病的频率0.400，所以“服药与患病之间关系”可以解释为药物对于疾病有预防作用. 因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为药物有效.说明：仿照例1，学生很容易完成此题，但希望学生能理解独立性检验在这里的具体含义，即“服药与患病之间关系”可以解释为“药物对于疾病有预防作用”.2、如果“性别与读营养说明之间没有关系”，由题目中所给数据计算，得2K 的观测值为8.416k ≈，而由教科书中表1-11知2(7.879)0.005P K ≥≈，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.3、说明：需要收集数据，所有没有统一答案. 第一步，要求学生收集并整理数据后得到列联表；第二步，类似上面的习题做出判断.4、说明：需要从媒体上收集数据，学生关心的问题不同，收集的数据会不同. 第一步，要求学生收集并整理数据后得到列联表；第二步，类似上面的习题做出判断.第一章复习参考题A 组（P19）根据散点图，可以认为中国人口总数与年份呈现很强的线性相关关系，因此选用线性回归模型建立回归方程.由最小二乘法的计算公式，得 2095141.503a ≈-，1110.903b ≈，则线性回归方程为 ˆ1110.9032095141.503yx =-. 由2R 的计算公式，得 20.994R ≈，明线性回归模型对数据的拟合效果很好.根据回归方程，，预计2003年末中国人口总数约为129997万人，而实际情况为129227万人，预测误差为770万人；预计2004年末中国人口总数约为131108万人，而实际情况为129988万人，预测误差为1120万人.说明：数据来源为《中国统计年鉴》（2003）. 由于人数为整数，所以预测的数据经过四舍五入的取整运算.2、（1）将销售总额作为横轴，利润作为纵轴，根据表中数据绘制散点图如下：由于散点图中的样本点基本上在一个带形区域内分布，猜想销售总额与利润之间呈现线性相关关系.（2）由最小二乘法的计算公式，得 ˆ1334.5a≈，ˆ0.026b ≈，则线性回归方程为 ˆ0.0261334.5yx =+ 其残差值计算结果见下表：（3）对于（2）中所建立的线性回归方程，20.457R ≈，说明在线性回归模型中销售总额只能解释利润变化的46％，所以线性回归模型不能很好地刻画销售总额和利润之间的关系. 说明：此题也可以建立对数模型或二次回归模型等，只要计算和分析合理，就算正确.3、由所给数据计算得2K 的观测值为 3.689k ≈，而由教科书中表1-11知2( 2.706)0.10P K ≥=所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“婴儿的性别与出生的时间有关系”.第一章复习参考题B 组（P19）1、因为 21(,)()ni i i Q a b y a bx ==--∑21(()())n i i i y bx y bx a y bx ==--+--+∑ 2211()()n n i i i i y bx y bx a y bx ===--++-+∑∑12()()ni i i y bx y bx a y bx =---+-+∑ 并且221()()n i a y bx n a y bx =-+=-+∑，12()()n i i i y bx y bx a y bx =--+-+∑ 1()(())ni i i a y bx y bx ny nbx ==-+--+∑ ()()0a y b x n y n b xn y n b x=-+--+= 所以 221(,)()()ni i i Q a b y bx y bx n a y bx ==--++-+∑.考察上面的等式，等号右边的求和号中不包含a ，而另外一项非负，所以ˆa和ˆb 必然使得等号右边的最后一项达到最小值，即 ˆˆ0ay bx -+=，即ˆˆy a bx =+. 2、总偏差平方和21()n i i y y =-∑表示总的效应，即因变量的变化效应；残差平方和21ˆ()ni i y y =-∑表示随机误差的效应，即随机误差的变化效应；回归平方和21ˆ()ni yy =-∑表示表示变量的效应，即自变量的变化效应. 等式 222111ˆˆ()()()n n n i ii i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑ 表示因变量的变化总效应等于随机误差的变化效应与自变量的变化效应之和.3、说明：该题主要是考察学生应用回归分析模型解决实际问题的能力，解答应该包括如何获取数据，如何根据散点图寻找合适的模型去拟合数据，以及所得结果的解释三方面的内容.。

(好题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》检测(含答案解析)

一、选择题1．学校艺术节对同一类的A 、B 、C 、D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C 或D 作品获得一等奖” 乙说：“B 作品获得一等奖” 丙说：“A 、D 两项作品未获得一等奖” 丁说：“是C 作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品为（） A ．C 作品 B ．D 作品C ．B 作品D ．A 作品2．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（）A ．381B ．361C ．362D ．4003．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++⋅⋅⋅“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（）A ．122 B ．122C 21D ．21-4．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．将正整数1,2,3,4,,,n 按第k 组含1k +个数分组：()()()1,2,3,4,5,6,7,8,9,,那么2019所在的组数为（） A ．62B ．63C ．64D ．656．0x y =，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为07．已知平面直角坐标系内曲线()1:,0C F x y =，曲线()200:(,),0C F x y F x y -=，若点()00,P x y 不在曲线1C 上，则下列说法正确的是（）A ．曲线1C 与2C 无公共点B ．曲线1C 与2C 至少有一个公共点C ．曲线1C 与2C 至多有一个公共点D ．曲线1C 与2C 的公共点的个数无法确定8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇{}n a 中，k a =（）A ．n -B ．n -C ．D ．9．===⋅⋅⋅=（m 、n 均为正实数），根据以上等式，可推测m 、n 的值，则m n +等于（）A ．40B ．41C ．42D ．4310．下列说法中不正确的是（）A ．命题：“∈，x y R ，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设x ≠1或y ≠1．B ．若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1．C ．若14－，，，，－x y z 成等比数列，则2y =±. D ．命题：“[0,1]∃∈m ，使得12+<m x x”的否定形式是：“[0,1]∀∈m ，总有12m x x+≥”． 11．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过x =确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（）A 1B 1CD12．2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系.五棱锥 6 10 6 六棱锥712712个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（） A ．14B ．16C ．18D ．20二、填空题13．本学期我们学习了一种求抛物线2yx 与x 轴和直线1x =所围“曲边三角形”面积的方法，即将区间[0,1]分割成n 个小区间，求每个小区间上矩形的面积，再求和的极限.类比上述方法，试求222222222(1)2(21)2lim 2sin 2sin 2sin 2sin cos cos cos cos 844448888n n n n n n n n n n n nn n πππππππππ→∞⎡⎤--⎛⎫+++++++++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦________.14．已知等差数列{}()*n a n N∈中，若10100a=，则等式()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈恒成立；运用类比思想方法，可知在等比数列{}()*n b n N ∈中，若1001b=，则与此相应的等式_________________恒成立.15．观察下列等式：11=，3211=123+=，332123+=1236++=，33321236++=……可以推测3333123n +++⋅⋅⋅+=____（*n N ∈，用含有n 的代数式表示）．16．我国南北朝时期数学家祖瞘，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其中“幂”是截面积，“势” 是几何体的高，该原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图，在空间直角坐标系中的xoy 平面内，若函数1,[1,0]()1,(0,1]x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A ，将区域A 沿z 轴的正方向平移2个单位长度，得到几何体（图一），现有一个与之等高的圆柱（图二），其底面积与区域A 的面积相等，则此圆柱的体积为 _______.图一图二17．观察下列等式：11234934567254567891049=++=++++=++++++=照此规律，则第五个等式应为________________.18．集合{,,}{1,2,3}a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说3a ≠，乙说3b =，丙说1c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10100a b c __________.19．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =__________．20．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，解关于x 的不等式20ax bx c -+>的”，给出一种解法：由20ax bx c ++>的解集为(2,3)-，得2()()0a x b x c -+-+>的解集为(3,2)-.即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为(3,2)-.类比上述解法，若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,4)，则关于x 的不等式20a bc x x++>的解集为_____. 三、解答题21．（1）已知0a >，0b >，求证：22a b aba b+≥+；（2）已知0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >，求证：0a >，0b >，0c >．22．23523．若函数()f x 满足：对于其定义域D 内的任何一个自变量0x ，都有函数值()0f x D ∈，则称函数()f x 在D 上封闭.（1）若下列函数：()121f x x =-，()221xf x =-的定义域为()0,1D =，试判断其中哪些在D 上封闭，并说明理由. （2）若函数()52x ag x x -=+的定义域为()1,2，是否存在实数a ，使得()g x 在其定义域()1,2上封闭？若存在，求出所有a 的值，并给出证明；若不存在，请说明理由.（3）已知函数()f x 在其定义域D 上封闭，且单调递增，若0x D ∈且()()0f f x x =，求证：()00f x x =.24．已知i 为虚数单位，观察下列各等式：()()cos1sin1cos2sin 2cos3sin3i i i ++=+； ()()cos3sin3cos4sin 4cos7sin7i i i ++=+； ()()cos5sin5cos6sin6cos11sin11i i i ++=+； ()()cos7sin7cos8sin8cos15sin15i i i ++=+．记()cos sin ,f i R αααα=+∈．（1）根据以上规律，试猜想()()(),,f f f αβαβ+成立的等式，并加以证明；（2）计算612i ⎫+⎪⎪⎝⎭．25．已知函数3()3xf x x =+，数列{}n a 对于*n ∈N ，总有1()n n a f a +=，112a =. (1)求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 26．已知()f x =,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：根据学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A ，B ，C ，D 分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．详解：若A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为C.点睛：本题考查推理的应用，意在考查学生的分析、推理能力．这类题的特点是：通过几组命题来创设问题情景，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.对于逻辑推理问题，应耐心读题，找准突破点，一般可以通过假设前提依次验证即可.2．C解析：C 【分析】本题可根据图中数字的排列规律来思考，先观察每行数字的个数的规律，然后找到每行第一个数之间的规律，然后根据规律得出第20行的第1项的数字．【详解】解：由图中数字排列规律可知：∵第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，… ∴第i 行有(21)i -个数.可设第i 行第j 个数字为.i j a ，其中121j i ≤≤-.观察每行的第1项，可得： 1.11a =， 2.12a =， 3.15a =， 4.110a =，… ∴ 1.11a =，2.1 1.11a a -=，3.1 2.13a a -=，4.1 3.15a a -=，….1 1.123i i a a i ---=.以上各项相加，可得：.1113523i a i =++++⋅⋅⋅+-（）(1)(123)12i i -+-=+2(1)1i =-+.∴220.1(201)1362a =-+=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查数列排列规律，等差数列的特点及求通项和求和．属于中档题．3．C解析：C 【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果. 【详解】由题意，令12(0)122x x +=>++⋯，即12x x+=，即2210x x --=，解得1x =或1x =（舍去）121122∴+=++⋅⋅⋅，故选：C 【点睛】本题主要考查类比推理方法的应用，以及一元二次方程的解法，属于中档题.4．C解析：C 【分析】根据题意知甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，据此推断得到答案. 【详解】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.5．B解析：B 【分析】观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +，然后再验证求解. 【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2，第二组最后一个数是5=2+3，第三组最后一个数是9=2+3+4，……，依此，第n 组最后一个数是2+3+4+…..+n +1=()32n n +. 当62n =时，()320152n n +=，所以2019所在的组数为63. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题.6．B解析：B 【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果. 【详解】0x y ==的否定为00x y ≠≠或，即x ，y 不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.7．A解析：A 【分析】利用反证法，假设曲线1C 与2C 有公共点()11,Q x y ，推出矛盾，即可得到结论. 【详解】假设曲线1C 与2C 有公共点()11,Q x y ，则()11,0F x y =和()1100(,),0F x y F x y -=同时成立，()00,0F x y ∴=，∴点()00,P x y 在曲线1C 上，这与已知条件点()00,P x y 不在曲线1C 上矛盾. ∴假设不成立，所以曲线1C 与2C 无公共点. 故选：A . 【点睛】本题考查反证法，关键是理解掌握反证法的定义.8．C解析：C 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.9．B解析：B 【分析】根据前面几个等式归纳出一个关于k 的等式，再令6k =可得出m 和n 的值，由此可计算出m n +的值. 【详解】==，====)2,k k N *=≥∈，当6k ==26135m ∴=-=，6n =，因此，41m n +=，故选B. 【点睛】本题考查归纳推理，解题时要根据前几个等式或不等式的结构进行归纳，考查推理能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】根据反证法的知识判断A,B 两个选项说法正确，根据等比数列的知识判断C 选项错误.根据特称命题的否定是全称命题的知识判断D 选线说法正确. 【详解】对于A 选项，反证法假设时，假设“1x ≠或1y ≠”，说法正确.对于B 选项，假设,a b 两个都不大于1，即1,1a b ≤≤，则2a b +≤与已知矛盾，故假设不成立，原来说法正确.对于C ，假设等比数列公比为()0q q ≠，则()210y q =-⋅<，所以C 选项说法错误.对于D 选项，根据特称命题的否定是全称命题的知识可知D 选项说法正确.综上所述，本小题选C. 【点睛】本小题主要考查反证法的知识，考查等比数列基本量以及项的正负关系，考查全称命题与特称命题互为否定等知识，属于基础题.11．B【解析】【分析】设()1012122...t t =>+++，可得12t t=+，求解即可. 【详解】设()1012122...t t =>+++，则12t t=+，即2210t t +-=，解得1t =，取1t =. 故选B. 【点睛】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解. 【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18. 故选C. 【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.二、填空题13．【分析】先画出的图象再根据和式的几何意义可得所求的极限【详解】关于中心对称其在上的图象如图所示：将区间分为段每段矩形面积为将区间分为段每段矩形面积为其中原式即求在上与轴和所围图形面积利用割补法易知面解析：4π【分析】先画出2sin y x =的图象，再根据和式的几何意义可得所求的极限. 【详解】211sin cos222y x x ==-+，关于1,42π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，其在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示：将区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π分为n 段，每段矩形面积为211111cos 2sin 424244k k n n n n ππππ⎡⎤⎛⎫⋅-⨯+=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，11k =，2，...，n ，将区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦分为2n 段，每段矩形面积为 22222111cos2sin cos 42228282888k k k n n n n n n ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅--+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，其中21k =，...，2n ，原式即求11cos222y x =-+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上与x 轴和2x π=所围图形面积，利用割补法易知面积为1224ππ⨯=. 故答案为：4π. 14．【分析】根据等差数列的性质有等比数列的性质有类比即可得到结论【详解】已知等差数列中由等差数列的性质得等比数列且有等比数列的性质得所以类比等式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质结合解析：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈【分析】根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有21199100=1n n b b b +-=，类比即可得到结论. 【详解】已知等差数列{}()*n a n N∈中，12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++=++++,12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+===.等比数列{}()*n b n N∈，且1001b=，有等比数列的性质得，211992198100===1n n n n b b b b b +-+-=.所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -+++=+++<∈，可得()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.故答案为：()*12112199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.15．或或【解析】【分析】观察找到规律由等差数列求和可得【详解】由观察找到规律可得：故可得解【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和属于中档题解析：()212n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦或()2214n n +或()2123n +++⋅⋅⋅+ 【解析】【分析】观察找到规律由等差数列求和可得. 【详解】由观察找到规律可得：()223333(1)123123,2n n n n +⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦故可得解. 【点睛】本题考查观察能力和等差数列求和，属于中档题.16．【分析】先利用定积分计算底面面积再用体积公式得到答案【详解】的图象与轴围城一个封闭的区域故答案为【点睛】本题考查了体积的计算意在考查学生解决问题的能力解析：73【分析】先利用定积分计算底面面积，再用体积公式得到答案. 【详解】[1,0]()1,(0,1]x f x x x ∈-=-∈⎪⎩的图象与轴x 围城一个封闭的区域A1322101217(1)(1)(1)10326A S x dx x x -=+-=+--=-⎰77263A V S h ==⨯=故答案为73【点睛】本题考查了体积的计算，意在考查学生解决问题的能力.17．【解析】【分析】左边根据首数字和数字个数找规律右边为平方数得到答案【详解】等式左边：第排首字母为数字个数为等式右边：第五个等式应为：故答案为：【点睛】本题考查了找规律意在考查学生的应用能力解析：567891011121381++++++++=【解析】【分析】左边根据首数字和数字个数找规律，右边为平方数，得到答案. 【详解】等式左边：第n 排首字母为n ，数字个数为21n - 等式右边：2(21)n -第五个等式应为：567891011121381++++++++= 故答案为：567891011121381++++++++= 【点睛】本题考查了找规律，意在考查学生的应用能力.18．【解析】【分析】由题意利用推理的方法确定abc 的值进一步可得的值【详解】若甲自己的预测正确则：据此可知丙的说法也正确矛盾；若乙自己的预测正确则：矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确即：；故：则故答案解析：【解析】【分析】由题意利用推理的方法确定a ,b ,c 的值，进一步可得10100a b c 的值.【详解】若甲自己的预测正确，则：3,3a b ≠≠，据此可知3c =，丙的说法也正确，矛盾；若乙自己的预测正确，则：3,3a b ==，矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确，即：3,3,1a b c =≠≠；故：3,1,2a b c ===，则10100213a b c ++=. 故答案为213．【点睛】本题主要考查推理案例及其应用，属于中等题.19．【解析】【分析】根据递推关系利用叠加法求结果【详解】因为所以【点睛】由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律)比较(比较已知数列)归纳转化(转化为特殊数列)联想(联想常见的数列)等方法解析：271【解析】【分析】根据递推关系16(1)n n a a n +-=-，利用叠加法求结果【详解】因为16(1)n n a a n +-=-，所以1010998211=()()()6[981]1271.a a a a a a a a -+-++-+=++++=【点睛】由前几项归纳数列通项的常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.20．【分析】关于的不等式可看成不等式中的用代入得来进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解【详解】若关于的不等式的解集为则关于的不等式看成不等式中的用代入得来则可得解得故答案为：【点睛】本题主解析：114⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 【分析】关于x 的不等式20a b c x x ++>可看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x代入得来，进而可根据不等式ax2+bx+c ＞0的解集进行求解. 【详解】若关于x 的不等式20ax bx c ++＞的解集为14（，），则关于x 的不等式20a bc x x++>看成不等式20ax bx c ++＞中的x 用1x代入得来，则可得，114x<< 解得，114x <<. 故答案为：1,14⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查类比推理，同时也考查了不等式的基本性质，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）利用分析法，0,0a b >>，要证22a b aba b+≥+，只要证()24a b ab +≥，只要证()240a b ab +-≥，只需证明()20a b -≥即可，该式显然成立，从而可得结论；(2)本题是一个全部性问题,要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法,假设,,a b c ,不全是正数,这时需要逐个讨论,,a b c 不是正数的情形,但注意到条件的特点(任意交换,,a b c 的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数〔例如a ，其他两个数〔例如,b c 〕与这种情形类似. 试题（1）证明：0,0a b >>，要证22a b ab a b+≥+，只要证()24a b ab +≥，只要证()240a b ab +-≥，即证2220a ab b -+≥，而()22220a ab b a b -+=-≥恒成立，故22a b aba b+≥+成立. （2）假设,,a b c 不全是正数，即其至少有一个不是正数，不妨先设0a ≤，下面分0a =和0a <两种情况讨论，如果0a =，则0abc =与0abc >矛盾，0a ∴=不可能，如果0a <，那么由0abc >可得，0bc <，又0,0a b c b c a ++>∴+>->，于是()0ab bc ca a b c bc ++=++<，这和已知0ab bc ca ++>相矛盾，因此，0a <也不可能，综上所述，0a >，同理可证0,0b c >>，所以原命题成立.【方法点睛】本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词. 22．详见解析【分析】，=边平方整理，推出矛盾即可. 【详解】则由等差数列的性质可得=∴1225=++∴5=∴25＝40（矛盾），故假设不成立， ∴【点睛】本题主要考查反证法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）()2f x 在D 上封闭，理由见解析；（2）存在，2a =，证明见解析；（3）证明见解析【分析】（1）根据定义域，求得函数的值域，利用新定义，即可得到结论；（2）根据函数封闭定义转化为不等式恒成立问题，再利用变量分离法求解，可求a 的值．（3）函数f （x ）在其定义域D 上封闭，且单调递增，假设()00f x x ≠，根据单调函数性质可证假设不成立，由此能证明f （x 0）=x 0．【详解】（1）当()0,1x ∈时，()()1211,1f x x =-∈-， ∴()1f x 在D 上不封闭；()()2210,1x f x =-∈，∴()2f x 在D 上封闭.（2）设存在实数a ，使得()52x ag x x -=+在()1,2上封闭，即对一切()1,2x ∈，5122x ax -<<+恒成立， ∵20x +>，∴2524x x a x +<-<+，即3442x a x -<<-恒成立， ∵()341,2x -∈-∴2a ≥； ∵()422,6x -∈∴2a ≤. 综上，满足条件的2a =. （3）假设()00f x x ≠，①若()00f x x >，∵()00f x x D ∈，，()f x 在D 上单调递增， ∴()()()0ff x f x >，即()00x f x >，矛盾；②若()00f x x <，∵()0f x ，0x D ∈，()f x 在D 上单调递增， ∴()()()0ff x f x <，即()00xf x <，矛盾.∴假设不成立，()00f x x =. 【点睛】本题考查函数的综合运用,根据函数封闭的定义与函数定义域、值域、单调性等知识点进行综合的考查，考查转化能力与函数基础知识的应用，属于中等题. 24．(1) 猜想()()()f f f αβαβ=+，证明见解析；(2)-1【分析】（1）将()(),f f αβ和()f αβ+之间的关系进行验证，总结出规律，即为猜想，作出证明即可；（2）利用（1）推出的结论，代入求解，即可得到答案．【详解】（1）猜想()()()ff f αβαβ=+，证明：()()()()cos sin cos sin f f i i αβααββ=++ ()()cos cos sin sin sin cos cos sin i αβαβαβαβ=-++()()()cos sin i f αβαβαβ=+++=+；（2）因为()()()f f f αβαβ=+，所以()()()()()cosn isinn nff f f f n ααααααα===+，∴661cos sin 266i i ππ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1i ππ=+=-．【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中根据题设中各式子的结构，合理归纳是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 25．（1）237a =，338a =，439a =，*3()5n a n n =∈+N （2）见证明【解析】【分析】(1) 计算得到237a =，338a =，439a =，猜想*3()5n a n n =∈+N . (2)利用数学归纳法验证，假设，推导的顺序证明猜想. 【详解】(1)解：由3()3xf x x =+，得13()3n n n na a f a a +==+，因为11326a ==，所以237a =，338a =，439a =，猜想*3()5n a n n =∈+N . (2)证明：用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，131152a ==+，猜想成立；②假设当*()n k k =∈N 时猜想成立，即35k a k =+，则当1n k =+时，133335331535k k k a k a a k k +⋅+===+++++，所以当1n k =+时猜想也成立.由①②知，对*n ∈N ，35n a n =+都成立. 【点睛】本题考查了数列的计算，归纳猜想，数学归纳法，意在考查学生对于数学归纳法的掌握情况.26．详见解析. 【详解】试题分析：将0,1,1,2,2,3x =--代入()f x =()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+的值；观察()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为1，则函数值的和为3，根据结论的形式将()f x =可完成证明. 试题由()f x =，得()()01f f +==,()()12f f -+== ()()23f f -+==. 归纳猜想一般性结论为 ()()1f x f x -++= 证明如下：()()1f x f x -++==x ===【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.。

【创新设计-课堂讲义】2022-2021学年高中数学北师大版选修1-2练习：第三章推理与证明 4

明目标、知重点 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．1．反证法在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相冲突，或与命题中的已知条件相冲突，或与假定相冲突，从而说明命题结论的反面不行能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．2．反证法的证题步骤(1)作出否定结论的假设；(2)进行推理，导出冲突；(3)否定假设，确定结论．[情境导学]王戎小时候，爱和小伴侣在路上玩耍．一天，他们发觉路边的一棵树上结满了李子，小伴侣一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小伴侣们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子肯定是苦的．”这就是有名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用的方法即是本节课所要学的方法——反证法．探究点一反证法的概念思考1通过情境导学得上述方法的一般模式是什么？答(1)假设原命题不成立(提出原命题的否定，即“李子苦”)，(2)以此为条件，经过正确的推理，最终得出一个结论(“早被路人摘光了”)，(3)判定该结论与事实(“树上结满李子”)冲突，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这样的证明方法称为反证法．思考2反证法证明的关键是经过推理论证，得出冲突．反证法引出的冲突有几种状况？答(1)与原题中的条件冲突；(2)与定义、公理、定理、公式等冲突；(3)与假设冲突．思考3反证法主要适用于什么情形？答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清楚；②假如从正面证明，需要分成多种情形进行分类争辩，而从反面进行证明，只要争辩一种或很少的几种情形．探究点二用反证法证明几何问题例1已知直线a，b和平面α，假如a⃘α，bα，且a∥b，求证：a∥α.证明由于a∥b，所以经过直线a，b 确定一个平面β.由于a⃘α，而aβ，所以α与β是两个不同的平面．由于bα，且bβ，所以α∩β＝b.下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．假设直线a与平面α有公共点P，如图所示，则P∈α∩β＝b，即点P 是直线a与b的公共点，这与a∥b冲突．所以a∥α.反思与感悟数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论假如难以直接证明时，可考虑用反证法．跟踪训练1 如图，已知a∥b，a∩平面α＝A.求证：直线b与平面α必相交．证明假设b与平面α不相交，即bα或b∥α.①若bα，由于b∥a，a⃘α，所以a∥α，这与a∩α＝A相冲突；②如图所示，假如b∥α，则a，b确定平面β.明显α与β相交，设α∩β＝c，由于b∥α，所以b∥c.又a∥b，从而a∥c，且a⃘α，cα，则a∥α，这与a∩α＝A相冲突．由①②知，假设不成立，故直线b与平面α必相交．探究点三用反证法证明否定性命题例2 求证：2不是有理数．证明假设2是有理数．于是，存在互质的正整数m，n，使得2＝mn，从而有m＝2n ，因此m2＝2n2，所以m为偶数．于是可设m＝2k(k是正整数)，从而有4k2＝2n2，即n2＝2k2，所以n也为偶数．这与m，n互质冲突．由上述冲突可知假设错误，从而2不是有理数．反思与感悟当结论中含有“不”、“不是、“不行能”、“不存在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．跟踪训练2已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0.即a＝c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列冲突，故a，b，c不成等差数列．探究点四含至多、至少、唯一型命题的证明例3 若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．证明假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．由于α≠β，不妨设α<β，又由于函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)．这与假设f(α)＝0＝f(β)冲突，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．反思与感悟当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，用反证法证明时，留意精确写出命题的假设．跟踪训练3若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6)＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0冲突，故a、b、c中至少有一个大于0.1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°答案B3．“a <b ”的反面应是( ) A ．a ≠b B ．a >b C ．a ＝b D ．a ＝b 或a >b 答案 D4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( ) A ．a 不垂直于c B ．a ，b 都不垂直于c C ．a ⊥bD ．a 与b 相交答案 D5．已知a ≠0，证明：关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根．证明由于a ≠0，因此方程至少有一个根x ＝ba.假如方程不止一个根，不妨设x 1，x 2是它的两个不同的根，即ax 1＝b ， ① ax 2＝b . ②①－②，得a (x 1－x 2)＝0.由于x 1≠x 2，所以x 1－x 2≠0，所以应有a ＝0，这与已知冲突，故假设错误．所以，当a ≠0时，方程ax ＝b 有且只有一个根． [呈重点、现规律] 1．反证法证明的基本步骤(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设动身，经过规律推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实冲突；(推缪) (3)由冲突判定假设不正确，从而确定原命题的结论是正确的．(结论) 2．反证法证题与“逆否命题法”的异同反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到冲突即可，可以与题设冲突，也可以与假设冲突，还可以与定义、定理、公式、事实冲突．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．一、基础过关1．反证法的关键是在正确的推理下得出冲突．这个冲突可以是( )①与已知条件冲突 ②与假设冲突 ③与定义、公理、定理冲突 ④与事实冲突A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③④答案 D2．否定：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 都是偶数 B ．a ，b ，c 都是奇数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数答案 D解析自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数”．3．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个答案 B解析 ①错：应为a ≤b ；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a 、b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 不都能被5整除D ．a 不能被5整除答案 B解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a ，b 都不能被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为______________．答案 a ，b ，c 都不是偶数解析 a ，b ，c 中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a ，b ，c 都不是偶数． 6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________．答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 、b 、c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明设f (x )＝0有一个整数根k ，则 ak 2＋bk ＝－c .①又∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 均为奇数，∴a ＋b 为偶数，当k 为偶数时，明显与①式冲突；当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，则ak 2＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为偶数，也与①式冲突，故假设不成立，所以方程f (x )＝0无整数根．二、力量提升8．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( ) A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1 B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1 C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1 D ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1 答案 D解析 “任意”的反语是“存在一个”．9.设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 答案 C解析假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2，则(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )<6.又(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1a )＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1c)≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相冲突，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.10.若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是__________________．答案 a ≤－2或a ≥－1解析若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1. 11．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0. 求证：a >0，b >0，c >0. 证明用反证法：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0，可得c >－(a ＋b )，又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )， ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab ，即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2， ∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0，这与已知ab ＋bc ＋ca >0冲突，所以假设不成立．因此a >0，b >0，c >0成立．12．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不行能都大于14.证明假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，①又由于0<a <1，所以0<a (1－a )≤(a ＋1－a 2)2＝14.同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，②①与②冲突，所以假设不成立，故原命题成立．三、探究与拓展13.已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R.证明下面两个命题：(1)若a＋b＞0，则f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；(2)若f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)，则a＋b＞0.证明(1)由于a＋b＞0，所以a＞－b，b＞－a，又由于f(x)是R上的增函数，所以f(a)＞f(－b)，f(b)＞f(－a)，由不等式的性质可知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)．(2)假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，由于f(x)是R上的增函数，所以f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，所以f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，这与已知f(a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)冲突，所以假设不正确，所以原命题成立．。

北师大版数学选修第1章 §3 反证法

§3 反证法1．反证法的定义在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．2．反证法证明的思维过程反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用以下框图表示：肯定条件p ，否定结论q →导致逻辑矛盾→“p 且¬q ”为假→“若p 则q ”为真1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，作为条件使用的有( )①与结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③C [根据反证法的定义，①②③可以作为条件使用．]2．用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”，则假设的内容应是( ) A ．如果a >b ，那么3a ＝3b B ．如果a >b ，那么3a <3bC ．如果a >b ，那么3a ＝3b 且3a <3b D ．如果a >b ，那么3a ＝3b 或3a <3b D [根据反证法的定义，假设内容应为D.]3．命题“a ，b 是实数，若|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1”用反证法证明时应假设为________．[答案] a ≠1或b ≠1(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．思路探究：第(1)问应用a n ＝a 1＋(n －1)d 和S n ＝na 1＋12n (n －1)d 两式求解．第(2)问先假设存在三项b p ，b q ，b r 成等比数列，再用反证法证明．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．否定词和用反证法证题特点1．当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．2．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．3．常见否定词语的否定形式如下表所示：1．已知方程f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负数根．[证明] 假设x 0是方程f (x )＝0的负数根，则x 0<0，x 0≠－1且ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0，所以ax 0＝－x 0－2x 0＋1. 又当x 0<0时，0<ax 0<1，故0<－x 0－2x 0＋1<1，即0<－1＋3x 0＋1<1,1<3x 0＋1<2，解得12<x 0<2．这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．【例2】已知x ，y ，z 均大于零，求证：x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 这三个数中至少有一个不小于4.思路探究：本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明． [证明] 假设x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 都小于4，即x ＋4y <4，y ＋4z <4，z ＋4x <4，于是得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12，而⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4z ≥2 x ·4x ＋2y ·4y ＋2z ·4z ＝12，这与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋4z ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋4x <12矛盾，因此假设错误，即x ＋4y ，y ＋4z ，z ＋4x 中至少有一个不小于4.用反证法证明“至少”“至多”问题注意点1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．2．用反证法证明“至多”“至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：2．若x >0，y >0，且x ＋y >2，求证：1＋y x 与1＋xy 至少有一个小于2． [证明] 假设1＋y x 与1＋xy 都不小于2，即1＋y x ≥2，1＋xy ≥2．∵x >0，y >0，∴1＋y ≥2x,1＋x ≥2y ，两式相加得2＋(x ＋y )≥2(x ＋y )， ∴x ＋y ≤2，这与已知中x ＋y >2矛盾， ∴假设不成立，原命题成立．故1＋y x 与1＋xy 至少有一个小于2．1．用反证法证明数学命题的步骤是什么？[提示] (1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真． (2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果．(3)存真：由矛盾的结果断定反设不真，从而肯定原结论成立．2．如何证明两条相交直线有且只有一个交点？[提示]假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．所以两条相交直线有且只有一个交点．【例3】用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．思路探究：假设过点A有两条直线与直线a平行→由平行公理推出矛盾→命题得证[证明]由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有另外一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.又b∥a，∴b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设不成立，所以过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．用反证法证明唯一性命题的注意点1．当所证命题的结论是以“有且只有”“只有一个”“唯一一个”“存在唯一”等形式出现时，反设其结论易于导出矛盾，因此可用反证法证明该类命题．2．用反证法证明唯一性命题时，如果其结论的反面呈现多样性，必须罗列出所有可能的各种情况，缺少任何一种情况时，反证都是不完全的．3．证明“有且只有”等形式的问题时，需要证明两个方面，即证明存在性和唯一性．3．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．[证明]由于f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设m为f(x)的一个零点，则f(m)＝0.假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n(n≠m)，则f(n)＝0.因为f(x)在[a，b]上单调递增，所以若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假设不成立，故f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．1．宜用反证法证明的题型有：(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“唯一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题等．2．应用反证法证明数学命题的一般步骤分析→分清命题的条件和结论↓反设→做出与命题结论相矛盾的假设↓归谬→由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果↓结论→断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理，也可以是一种演绎推理． ( ) (3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾． ( )(1)√ (2)× (3)× [(1)正确．(2)错误．反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理． (3)错误．反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾．] 2．实数a ，b ，c 不全为0等价于( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0D [不全为0即至少有一个不为0，故选D.]3．命题“△ABC 中，若A >B ，则a >b ”的结论的否定应该是( ) A ．a <b B ．a ≤b C ．a ＝bD ．a ≥bB [“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故选B.] 4．已知非零实数a ，b ，c 成等数差列，且a ≠c .求证：1a ，1b ，1c 不可能成等差数列．[证明] 假设1a ，1b ，1c 成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac ， ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴b ＝a ＋c 2，∴4a ＋c ＝a ＋c ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c . 这与a ≠c 矛盾，故假设错误．1 a，1b，1c不可能成等差数列．∴。

人教版高中数学新课程选修1-2学习指导

人教版高中数学新课程选修1-2学习指导第一局部统计案例一、常识要求及变化1．《课程尺度》中对本模块的内容及要求：通过典型案例，学习以下一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题. 学生在必修课程学习统计的根底上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步领会运用统计方法解决实际问题的根本思想，认识统计方法在决策中的作用.2．课程尺度要求与大纲比拟3．阶段性要求与终结要求的说明〔1〕会求回归直线方程回归直线方程是在学习《数学》必修3后，继续对线性相关问题的进一步研究。

内容包罗作散点图，求回归直线方程x b a y ˆˆˆ+=以及回归系数b a ˆ,ˆ等.了解求回归直线方程的一般步调：①作出散点图〔由样本点是否呈条状分布来判断两个量是否具有线性相关关系〕，假设存在线性相关关系→②求回归系数b a ˆ,ˆ→③写出回归直线方程x b a y ˆˆˆ+=，并操纵回归直线方程进行预测说明.如，提问：按照所求方程能否求出给定身高的女大学生的体重？也就是身高为172厘米的女大学生的体重必然是60.316吗？对你的预测可以做一下解释吗？〔1〕求〔2〕预测水深为1.95m 时水的流速y 是多少？回归直线方程求解需要复杂的运算，随着新课程尺度的继续实施和新课程高考鼎新的不竭深入，考查学生数据处置能力，出格是运用计算器等现代技术东西对进行数据处置的能力，将是鼎新的标的目的之一.求解：回归直线方程时要遇到很复杂的运算，为准确运算，可借助计算器与计算机，先列表求出相关数据，然后求回归系数b a ˆ,ˆ. 从而写出回归直线方程.〔2〕了解随机误差的概念及其它对预报变量的影响从散点图中我们可以看到，样本点分布在某一直线的附近，而不是在一条直线上，所以不克不及用一次函数来描述它们之间的关系，这时我们把身高与体重的关系用下面的线性回归模型来暗示：y=bx+a+e,此中a,b为待定的未知参数，e称为随机误差.〔3〕能进行简单回归阐发能从散点图直不雅的判断相关关系，但散点图不明显时，我们就要进行相关性查验，按照相关系数∑∑∑---=))((2222y nyx nxy x nyxriiii判断：||r越接近1时，线性相关程度越强；||r越接近0时，线性相关程度越弱.在确定具有线性关系后，就需成立回归模型，而成立回归模型的根本步调是：①确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；②画好确定好的解释变量和预报变量的散点图，不雅察它们之间的关系〔线性关系〕.③由经验确定回归方程的类型.④按必然规那么估计回归方程中的参数baˆ,ˆ〔最小二乘法〕；⑤得出结论后在阐发残差图是否异常，假设存在异常，那么查验数据是否有误，后模型是否适宜等.例：为研究重量y）：x对弹簧长度克单位(〔单元：厘米〕的影响，对不同重量的6根弹簧进行测量，数据如下表：①画出散点图；②如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y与x之间的回归直线方程；③对y、x两个变量进行相关性查验；④画出残差图，并说明它是否异常.线性回归阐发是统计中额定一个重要内容，随着新课标的实施和新课程高考鼎新的不竭深入，这局部的内容也将回越来越受到重视.非线性回归问题有时并不给出经验公式，这时候我们可以画出已时数据的散点图，把它与必修模块数学1中学过的各种函数〔幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等〕图象比拟，挑选一种跟这些点拟合最好成的函数，然后采纳适当的置换，把问题化为线性回归问题，使其得到解决〔如课本的例2〕.〔4〕有关理论要求学生理解，公式也不需要死记硬背.二、重点和难点1．教学重点：①通过对实际问题的阐发，了解回归阐发的必要性与回归阐发的一般步调；②测验考试做散点图，求回归直线方程；③能用所学的常识对实际问题进行回归阐发，体会回归阐发的实际价值与根本思想.④了解独立性查验的常用方法：三维柱形图和二维条形图，及其K²〔或R²〕的大小关系.⑤并能运用本身所学的常识对具体案例进行查验.确定以上内容为教学重点是基于以下考虑：⑴它与我们的生活息息相关，密不成分，是我们以后要经常面对和解决的问题，学习它有着积极的现实意义. 而且他渗透比拟抽象的数学建模思想入门时学生会感到有必然的难度，理解需要一个过程。

高中数学选修～课件第三章§反证法

推理不严谨，结论不成立
推理过程中存在漏洞
在使用反证法时，需要确保推理过程的严谨性。如果推理过程中存在漏洞，就可能导致结论不成立。
未能正确运用逻辑规则
在反证法中，需要正确运用逻辑规则进行推理。如果未能正确运用逻辑规则，就可能导致推理结果出现错误。
05 练习题与拓展思考
针对性练习题
证明
若$a,b,c in mathbb{R}$，且$a=b+c$，则$a,b,c$中至少有一个数不小于$frac{a}{3}$ 。
错误地否定原命题
在反证法中，需要假设原命题的否定形式成立，然后进行推理。如果错误地否定了原命题，就会导致推理方向偏离正确轨道。
未能找到矛盾点或突破口
对已知条件理解不足
在使用反证法时，需要充分利用已知条件进行推理。如果对已知条件理解不足，就可能无法找到矛盾点或突破口。
缺乏解题经验
对于一些较为复杂的题目，需要具备一定的解题经验才能找到矛盾点或突破口。如果缺乏解题经验，就可能无法有效地运用反证法。
假设$x,y$都不大于$1$，即$x leq 1, y leq 1$，则$x+y leq 2$，与已知条件 $x+y>2$矛盾，故假设不成立，原命题成立。
答案及解析
• 假设在这$99$个数中，任意三个数的和都不是$3$的倍数。考虑这$99$个数除以$3$的余数，只能为$0,1,2$。由于 $99$个数中任意三个数的和都不是$3$的倍数，故余数为 $0,1,2$的数应各出现$33$次。但在这$99$个连续自然数中，必有一个数能被$3$整除，即余数为$0$的数至少有$34$ 个，与假设矛盾，故原命题成立。
高中数学选修～课件第三章§反证法
汇报人：XX 20XX-01-30

高中数学目录(选修)

必修五第一章解三角形1． 1 正弦定理和余弦定理1． 2 应用举例1． 3 实习作业第二章数列2． 1 数列的概念与简单表示法2． 2 等差数列2． 3 等差数列的前 n 项和2． 4 等比数列2． 5 等比数列前 n 项和第三章不等式3． 1 不等关系与不等式3． 2 一元二次不等式及其解法3． 3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3． 4 基本不等式选修 1－1 文科第一章常用逻辑用语1． 1 命题及其关系1． 2 充分条件与必要条件1． 3 简单的逻辑联结词1． 4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2． 1 椭圆 2． 2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3． 1 变化率与导数3． 2 导数的计算3． 3 导数在研究函数中的应用3． 4 生活中的优化问题举例选修 1－2第一章统计案例1． 1 回归分析的基本思想及其初步应用1． 2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2． 1 合情推理与演绎证明2． 2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3． 1 数系的扩充和复数的概念3． 2 复数代数形式的四则运算第四章框图4． 1 流程图4． 2 结构图选修 2-1 理科第一章常用逻辑用语1. 1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3. 2 立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1. 2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2. 1 合情推理与演绎推理2. 2 直接证明与间接证明2. 3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1. 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1. 2 排列与组合1. 3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3. 1 回归分析的基本思想及其初步应用3. 2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修 4-4 坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修 4-5 不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术 - 几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式文科与理科。

人教版数学高二数学A版选修1-2 第二章《推理与证明》教辅资料

满足y=x 2,则log 2(22)x y +的最小值是78；④若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。

其中正确的是（）。

(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④解析用综合法可得应选（B ）例2 函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .解析∵函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数， ∴ 0＜x+2＜2即-2＜x ＜0∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数，又∵函数y=f(x+2)是偶函数，∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)例3 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b解析∵ a ，b ，c 全不相等∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与c b 全不相等。

∴ 2，2，2b a c a c ba b a c b c+>+>+>三式相加得6b c c a a ba ab bc c+++++>∴ (1)(1)(1)3b c c a a ba ab bc c+-++-++->即 3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>练习一、选择题1．如果数列{}n a 是等差数列，则（）。

（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a =2．在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( )(A)06030或 (B)06045或 (C)0012060或 (D)0015030或 3．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个二、填空题4．已知 5,2==b a ，向量b a 与的夹角为0120，则a b a ．)2(-=5. 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足n，n证明：如图，连接BD ，∵在△ABC 中，BE=CE DF=CF ∴E F ∥BD又BD ⊂平面ABD ∴BD ∥平面ABD7．解：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称 ∴12-=-ab即b =2a 由③知当x = 1时,y=0，即ab +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1. ∴f (1)=1，即a +b +c =1，又ab +c =0 ∴a =41 b =21 c =41 ，∴f (x )=4121412++x x 假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m ]，就有f (x +t )≤x 取x =1时，有f (t +1)≤1⇒41(t +1)2+21(t +1)+41≤1⇒-4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0]，取x =m ，有f (t +m )≤m ⇒41(t +m )2+21(t +m )+41≤m ⇒2m +2(t-1)m +(t 2+2t +1)≤0 ⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t 41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t = -4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有f(x-4)≤x ⇒41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0∴m 的最大值为9.解法二：∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x =-1对称 ∴ 12-=-abb =2a 由③知当x=1时,y=0，即a b +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1∴f (1)=1，即a +b +c =1，a b +c =0∴a =41 b =21 c =41∴f (x )=4121412++x x =41(x +1)2由f (x +t )=41(x +t +1)2≤x 在x ∈[1,m ]上恒成立 ∴4[f (x +t )-x ]=x 2+2(t -1)x +(t +1)2≤0当x ∈[1,m ]时，恒成立令 x =1有t 2+4t ≤0⇒-4≤t ≤0令x =m 有t 2+2(m +1)t +(m -1)2≤0当t ∈[-4,0]时，恒有解令t = -4得，2m - 10m +9≤0⇒1≤m ≤9 即当t = -4时，任取x ∈[1,9]恒有f (x -4)-x =41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0 ∴ m max =92．2直接证明2．2．1 综合法一、选择题（1）由等差数列的性质：若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+可知应填（B ）。

2.2.2 反证法教案-高二数学人教A版选修1-2

[教学设计•高中数学]《反证法》教学设计《反证法》教学设计第一部分：教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》.“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。

推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。

这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用第二部分：学生学情诊断学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。

也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。

但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。

究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。

由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。

第三部分：教学目标设置(1)知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

(2)过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。

让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

(3)情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。

核心素养：逻辑推理能力第四部分：重点难点分析重点：1、理解反证法的概念。

人教A版高中数学选修1-2课件2.2.2

解析：因为小于的否定是不小于，所以应填 ∠BAP＝∠CAP和∠BAP＞∠CAP. 答案：∠BAP＝∠CAP ∠BAP＞∠CAP
8．完成下面的反证法证题的全过程．已知：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个全排列．求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：假设p为奇数，则______①______均为奇数，因为奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________②________ ＝________③________ ＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明，p为偶数．
跟踪训练
3．求证：方程2x＝3有且只有一个根．证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程至少有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．
假设方程2x＝3有两个根x1，x2(x1≠x2)，则2x1＝3， 2x2＝3，两式相除得，2x1－x2＝1，如果x1－x2＞0，则2x1－x2 ＞1，这与2x1－x2＝1相矛盾；
11．已知 a，b，c 均为实数，且 a＝x2－2y＋π2，b ＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6，求证：a，b，c 中至少有一个大于 0.
证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，得a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，即a＋b＋c>0，与a＋b＋c≤0矛盾， ∴a，b，c中至少有一个大于0.
(3)反证法常用于直接证明比较困难的命题，例如某些初始命题(包括部分基本定理)、必然性命题、存在性问题、唯一性问题、否定性问题、带有“至多有一个”或“至少有一个”等字眼的问题．
使用反证法证明问题时，准确地做出反设是正确运用反证法的前提，常见“反设词”如下：
原＝＞＜