比例式与等积式

比例式与等积式

一、知识点分析：

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

二、典例解析：

例1、如图，△ABC三内角平分线交于点D，过点D引DE⊥AO，分别交AB、AC于点D、E．求证：△BOD∽△BCO∽△OCE．

【随堂练习】

△ABC中，∠1=∠2=∠3，图中有相似三角形吗？请说明理由．

如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE），△AEF ∽△EFC吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．若ABCD为矩形呢？

例3、如图，已知：AP2=AQ•AB，且∠ABP=∠C，试说明△QPB∽△PBC．

例4、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．

（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．

如图所示，已知Rt△ABC（AC＞BC）的斜边AB的中点D，过D作斜边的垂线交AC于E，交BC延长线于F，求证：DC2=DE·DF。

【随堂练习】

已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．

（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）求证：BC•AD=DE•AC．

三、课后练习：

1、在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点O，试说明：△BDC∽△ABC．

2、如图，已知AC和BD相交于点E，CE•AE=BE•DE，求证：△ABE∽△DCE．

3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，过C作CD⊥AB于D，求证：CD2=AD•DB．

4、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．

（1）求证：CD•DF=BC•BE；

（2）若M、N分别是AB、AD中点，且∠B=60°，求证：EM∥FN．