比例式与等积式
相似三角形专题 巧用“三点定型法”证明相似问题中的比例式与等积式
相似三角形专题
——巧用“三点定型法”证明相似问题中的比例式与等积式
（配套练习）
1、如图，∠ACB=90°，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，请证明AE
AB AF AC =。
2、如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，EF ⊥AE . 求证：2AE AD AF =.
3、如图，在正方形ABCD 中，F 是边BC 上一点（点F 与点B 、点C 均不重合），AE ⊥AF ，AE 交CD 的延长线于点E ，连接EF 交AD 于点G ．求证：BF •FC=DG •EC ；
4、已知；在Rt △ABC 中，∠A=900，四边形DEFG 为正方形。
求证：EF 2
=BE •FC
5、已知；AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 与BC 的延长线交于F 。
求证：DF 2=BF •CF
6、已知：在ABC ∆中，D 、E 分别在AB 、AC 上，BC DE //，BE 、CD 相交于点O ，AO 与DE 、BC 分别交于点N 、M 。
求证：AN ON AM OM
=。
第四章图形的相似——证明比例式或等积式的技巧 同步练习 北师大版数学九年级上册
“十层相似”———相似十大技巧证明比例式或等积式的技巧“三点定型法”是证明线段等积式或比例式以及利用等积式、比例式求线段长时找相似三角形的最常用的方法，即设法找出等积式或比例式（或变化后的式子）中所包含的几个字母，看是否存在可由“三点”确定的两个三角形相似。
通常通过“横看”“竖看”两种方法找相似三角形 ，横看：即看两比例前项、两比例后项是否分别在两个相似三角形中；竖看：即看比例式等号两边各自的前、后项是否分别在两个相似三角形中。
技巧一：三点定型1．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠ADE ＝∠C ，求证：AD •AB ＝AE •AC ．技巧二：等线段代换2．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，且DE ∥BF ，EF ∥BD ，求证：＝FC DE ．技巧三：等比例代换3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：．技巧四：等积代换4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE•DE．5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，求证：＝．备注：上述技巧不仅用于证明等积式和比例式的题型，还可以灵活使用在其他题型中。
课堂练习1．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE＝120°，求证：BC2＝CE•DB．2．已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E．求证：（1）△ADE∽△FDB；（2）CD2＝DE•DF．3．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝BC•BE．（1）求证：△BDE∽△BCA；（2）如果AE＝AC，求证：AC2＝AD•AB．4．如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE•AB＝AD •AC．（1）求证：∠FEB＝∠C；（2）连接AF，若＝，求证：EF•AB＝AC•FB．5．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD ＝AF，AE•CE＝DE•EF．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．6．已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．7．如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．（1）求证：AM2＝MF•MH．（2）若BC2＝BD•DM，求证：∠AMB＝∠ADC．8．△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．（1）如图1，求证：DE•CD＝DF•BE；（2）如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF．9．如图，已知正方形ABCD，以AB为边在正方形外作等边△ABE，过点E作EF⊥AB与边AB、CD分别交于点F、点G，点O在线段EG上，且DO＝CD．（1）求证：AE∥DO；（2）联结AO、DE，DE分别交AO、AB于点M、Q，求证：．10．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．求证：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF•FQ＝AF•BQ．11．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE＝DC，联结BE，分别交边DC、对角线AC于点F、G，AD＝FD．（1）求证：AC⊥BE；（2）求证：＝．12．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF 相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．13．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．（1）求证：DE∥CF；（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC．14．已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．（1）求证：；（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．15．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F 在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD•DC．16．如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．（1）若AP＝3，求BD的长；（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．17．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AO上一点，BF⊥BD交DE的延长线于点F，且EF＝DE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）DF交AB于点G，若OD2＝OE•OA，求证：DF•AG＝AE•BD．18．如图，将矩形ABCD绕点B旋转，点A落到对角线AC上的点E处，点C、D分别落在点F、G处．（1）联结BG、CG，求证：四边形ABGC是平行四边形；（2）联结GE并延长交边AD于点H，求证：AB2＝AD•AH．19．如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH．（1）求证：BH＝AB；（2）求证：AH•BG＝AG•BD．。
比值解比例
比值解比例是一种解决比例问题的方法，它的基本思想是将比例式转化为等积式，然后通过求解等积式来得到未知数的值。
具体步骤如下：
1. 将比例式写成等积式的形式。
例如，如果比例式是a:b=c:d，那么可以写成ad=bc。
2. 对等积式进行变换，使其变为一个或多个已知的等积式。
这一步通常需要利用一些基本的数学公式，如平方差公式、完全平方公式等。
3. 求解变换后的等积式，得到未知数的值。
这一步通常需要利用一些基本的代数运算，如加减乘除、开方等。
4. 将求得的未知数的值代入原比例式，验证是否满足比例关系。
例如，如果我们要求解比例式2:3=4:x，我们可以按照上述步骤进行操作：
1. 将比例式写成等积式的形式，得到2x=3*4。
2. 对等积式进行变换，得到x=(3*4)/2=6。
3. 将求得的未知数的值代入原比例式，得到2:3=4:6，满足比例关系。
所以，x的值为6。
15.比例式、等积式的常见证明方法
语文
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附赠 中高考状元学 习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
采青 春 风
高考总分： 692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分 毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院
北京市文科状元
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。‚何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。‛ 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 ‚她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。‛吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。‚她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区
∴
∵AD⊥BC，E为直角边AC中点 ∴DE＝EC ∴∠3＝∠C 又∵∠3＝∠2，∠1＝∠C ∴∠1＝∠2 而∠F是△FBD与△FDA的公共角 ∴△FBD∽△FDA
DF BD AF AD AB DF ∴ AC AF
∴
AB BD AC AD
∴AB· AF＝AC· DF.
方法总结 证明线段比例式或等积式时，如果按类型一、类型二的方法仍无法证 明，可以尝试将等积式化为比例式，结合图形找到能够与比例式中的两个 比分别相等的中间比，从而证明所求证的结果成立.
C
∴∠B＝∠1
相似三角形-等积式-比例式知识分享
专题：相似三角形的判定相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部分知识打下良好基础。
我们本讲重点研究两个问题：一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。
一、等积式、比例式的证明：等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。
因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。
但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。
（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。
等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。
例1、已知：如图，△ ABC中，/ ACB=90, AB的垂直平分线交AB于D, ；交BC延长线于F。
求证：CD=DE・DF。
u/l分析：我们将此等积式变形改写成比例式得：，由等式左边得到△ CDF由等式右边得到厶EDC这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。
因为/ CDE是公共角，只需证明/ DCE=/ F就可证明两个三角形相似。
证明略（请同学们证明）提示：D为直角三角形斜边AB的中点，所以AD=DC,则/ DCE=/ A.（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。
有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。
例2 .如图，已知△ ABC中，AB=AC AD是BC边上的中线，CF// BA BF交AD于P点，交AC于E点。
求证：B P=PE・ PF。
分析：因为BP PE PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC D 是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC,由线段垂直平分线的性质知PB=PC只需证明厶PE3A PCF,问题就能解决了。
证明：A例3.如图，已知：在△ ABC中，/ BAC=90, ADL BC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。
123.15.比例式、等积式的常见证明方法
∴∠4＝∠F 而 ∠ CPE 是 △ CPE 和
△FPC的公共角 ∴△CPE∽△FPC ∴PE∶PC＝PC∶PF ∴PC2＝PE·PF ∴BP2＝PE·PF
∵CF∥AB
∴∠3＝∠F
方法总结
运用类型一的方法证明线段的比例式或等积式时，如果相关的线段不在 某两个三角形中，则需要将其中的某条线段用与之相等的另一条线段替换， 再按类型一 的方法证明.
∴ DF BD AF AD
∴ AB DF AC AF
∴AB·AF＝AC·DF.
方法总结
证明线段比例式或等积式时，如果按类型一、类型二的方法仍无法证 明，可以尝试将等积式化为比例式，结合图形找到能够与比例式中的两个 比分别相等的中间比，从而证明所求证的结果成立.
XXX X
古 X
X X X
风 设
一 岁 只 叹 伊
， 饮 罢 飞 雪 ，
负 了 青 春 举
泪 溶 了 雪 ， 恰
光 ？ 谁 酒 三 尺
颜 刹 那 ？ 谁 饮
拾 弹 指 雪 花 ？
今 夜 无 月 亦 无
纷 纷 飘 香 。 雪
一 回 。 忆 苍 茫
前 尘 旧 梦 ， 不
， 怎 敌 我 浊 酒
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
类型三：找中间比利用等积式代换
如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC的 中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中 点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
相似三角形复习比例式等积式的几种常见证明方法课件
作业：
作业纸
老师寄语:若希望成功,当以恒心为 良友,以经验为参谋,以信心为光荣, 以希望为哨兵。
再见
欢迎多提宝贵意见
合作探究
1.已知:如图, ∠ACB=90°,AD=DB,DE⊥AB 于D交AC于E,交BC的延长线于F,试说明:
DC2=DE·DF
利用相似
A
三角形的
性质
D E
F
C
B
2. 如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, AB⊥BC,对角线AC⊥BD,垂足为E,AD=BD, 过点E作EF∥AB交AD于F, 试说明 （1）AF=BE （2） AF2=AE·EC
P
利用等积 式代换
G
C
D
A
E
B
协作交流
D F
C E
A
B
BE2=EA·EC
A
E
B
D
C
F
P AC:AB=AD:BD
G
C
D
A
E
B
EC2=EA·EB
C
A
快速抢 答
D
B
在这一个图形中,有两个 垂直,有__三__对相似,有___
对四互余的角,有___是
AC2=AD·AB
BC2=BD·AB
利用等线 段代换
D F
C E
A
B
3.已知,如图,在△ABC中, ∠BAC=90°, AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点,ED的延 长线交AB的延长线于点F. 试说明:AB：AC=DF：AF
A
E
B
D
C
F
利用等比 式代换
4.已知,如图,CE是直角△ABC的斜边 AB上的高,在EC的延长线上任取一点P,连 接AP,作BG⊥AP,垂足为G,交CE于D, 试说明:CE2=ED·EP.
相似三角形复习——比例式、等积式的几种常见证明方法
图3 例3如图3，△ABC中，DE∥BC,BE与CD交于点O， AO与DE、BC分别交于点N、M，试说明：. 利用等
比式代 换
AN AD DE AM AB BC
AN ON AM OM
图3
ON OE DE OM OB BC
例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900， AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F
A
BDEຫໍສະໝຸດ C如上图, ∠BAC=120°, △ADE是 等边三角形,小丽发现图中有些线 段是其他两条线段的比例中项,你 知道小丽说的是哪些线段吗? 它们 分别是哪些线段的比例中项吗?
比例式得：
，由等式左边得
到△CDF，由等式右边得到△EDC，
这样只要证明这两个三角形相似就
可以得到要证的等积式了。因为
∠CDE是公共角，只需证明
∠DCE=∠F就可证明两个三角形相
似。
例2如图2，在△ABC中，AB=AC,直线DF与AB交于D，与
BC交于E，与AC的延长线交于F.图2 试说明：. DE EF
求证：
。
分 析：比例式左边AB，AC 在△ABC中，右边DF、AF在 △ADF中，这两个三角形不相 似，因此本题需经过中间比进 行代换。通过证明两套三角形 分别相似证得结论。
“双垂直”指：
“Rt△ABC中，
∠BCA=900，
CD⊥AB于D”，（如
图）在这样的条件下
有下列结论：
A
C
D
B
（1）△ADC∽△CDB∽△ACB （2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·BD （3）由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB （4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB （5）由面积得AC·BC=AB·CD （6）勾股定理 我们应熟记这些结论，并能灵活运用。
2020年中考数学期末复习类比归纳专题《比例式、等积式的常见证明方法》
类比归纳专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法◆类型一 三点定型法：找线段对应的三角形，利用相似证明1．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E ，连接AG .(1)求证：AG ＝CG ； (2)求证：AG 2＝GE ·GF .2．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与CB 的延长线交于点F .(1)若FD ＝2FB ，求FDFC的值；(2)若AC ＝215，BC ＝15，求S △FDC 的值．◆类型二 利用等线段代换3．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ＝∠ACB .求证：ABAE ＝AC AD.◆类型三 找中间比利用等积式代换4．如图，已知CE 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点P ，连接AP ，作BG ⊥AP ，垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2＝PE ·DE .参考答案与解析1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，∴∠F ＝∠FCD .在△ADG 与△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG ，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴∠EAG ＝∠DCG ，AG ＝CG .(2)∵∠EAG ＝∠DCG ，∠F ＝∠DCG ，∴∠EAG ＝∠F .又∵∠AGE ＝∠FGA ，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EGAG，∴AG 2＝GE ·GF .2．解：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ABC ＝∠DCB ＋∠ABC ，∴∠A ＝∠DCB .∵E 是AC 的中点，∠ADC ＝90°，∴ED ＝EA ，∴∠A ＝∠EDA .∵∠BDF ＝∠EDA ，∴∠DCB ＝∠BDF .又∵∠F ＝∠F ，∴△BDF ∽△DCF ，∴FD ∶CF ＝BF ∶FD ＝1∶2.(2)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠BDC ＝∠ACB .∵∠ABC ＝∠CBD ，∴△BDC ∽△BCA ，∴BD ∶CD ＝BC ∶AC ＝15∶215＝1∶2.在Rt △BAC 中，由勾股定理可得AB ＝53，∴S △BDC S △BCA ＝BC 2AB 2＝15，∴S △BDC ＝15×12×215×15＝3.∵△BDF ∽△DCF ，∴S △FBD S △FDC ＝⎝⎛⎭⎫BD CD 2＝14，即S △BDC S △FDC ＝34.∵S △BDC ＝3，∴S △FDC ＝4. 3．证明：∵AB ＝AD ，∴∠ADB ＝∠ABE .∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ABE ＝∠ACB .又∵∠BAE ＝∠CAB ，∴△ABE ∽△ACB ，∴AB AE ＝AC AB .又∵AB ＝AD ，∴AB AE ＝ACAD.4．证明：∵∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，∴∠ACE ＋∠BCE ＝90°，∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BCE ，∴Rt △ACE ∽Rt △CBE ，∴CE BE ＝AECE，∴CE 2＝AE ·BE .又∵BG ⊥AP ，CE ⊥AB ，∴∠DEB ＝∠DGP ＝∠PEA ＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠P ＝∠3，∴△AEP ∽△DEB ，∴PE BE ＝AEDE ，∴PE ·DE ＝AE ·BE ，∴CE 2＝PE ·DE .。
比例式等积式的证明--等积式过渡
比例式（等积式）的证明－－－(等积式过渡)
学习目标：了解射影定理及圆幂定理的等积式，并运用已经证明的等积式进行推理
方法指引：当题目中涉及的比例关系复杂，存在射影图与圆时，可以考虑用 可以使解题思维更简单
1.已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E,，DF ⊥AC 于点F.求证：AE ·AB=AF ·AC
2.已知：如图，CE 是Rt △ABC 斜边上的高，在EC 的延长线上任取一点Ｐ，作BG ⊥AP 于点G. 求证：CE 2=DE ·PE
4.已知：如图，PA 切⊙O 于点Ａ，割线PBC 交⊙O 于B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，延长PD 交AO 的延长线于E,连接CE 并延长交⊙O 于点F,连接AF.求证：PD ·PE=PB ·PC
4.如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于D ，弧AC=弧CE ，AE 交CD 于F ，求证：2CE AF AE =•
F
O B A
C D E。
比例式等积式的证明--巧用中间比
C
比例式（等积式）的证明－－－（巧用中间比）
1.当通过“直接横竖找”找不到相似三角形，也不能进行“等线段代换”时，可以尝试运用“ ”的方法证明比例式或等积式.
2.巧用中间比就是将一个比例式转化为两个比例，即是原比例的两边同时等于一个相同的比例式
1.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，AD ⊥BC 于D ，E 是AC 的中点，ED 的延长线与AB 的延长线
交于F 。
求证：AB DF AC AF =
总结：此题中用到证明比例式的方法是：
2.已知：如图，过△ABC 的顶点作A E ∥BC ，又过BC 的中点O 作直线交AB 、AE 、AC 或其延长线相交于P 、
E 、Q ，求证：PO QO PE QE =
总结：此题中用到证明比例式的方法是：
3.已知：如图，延长正方形的ACDE 的边DC 到B ，连结ＢＥ与ＡＣ交于Ｆ，作ＦＧ∥ＤＢ交ＡＢ于Ｇ，求证：ＧＦ＝ＦＣ
总结：（1）.此题中用到证明比例式的方法是：
（2）.运用比例式证明两条线段相等的三种方法：
方法一：若1=b a ，那么a=b 方法二：若d c b a =，且a=c ，则b=d 方法三：若d c b a =，且b=d ，则a=c。
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比例式与等积式
一、知识点分析：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
二、典例解析：
例1、如图，△ABC三内角平分线交于点D，过点D引DE⊥AO，分别交AB、AC于点D、E．求证：△BOD∽△BCO∽△OCE．
【随堂练习】
△ABC中，∠1=∠2=∠3，图中有相似三角形吗？请说明理由．
如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连接FC（AB＞AE），△AEF ∽△EFC吗？若相似，请证明；若不相似，请说明理由．若ABCD为矩形呢？
例3、如图，已知：AP2=AQ•AB，且∠ABP=∠C，试说明△QPB∽△PBC．
例4、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．
（1）求∠APB的大小．（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
如图所示，已知Rt△ABC（AC＞BC）的斜边AB的中点D，过D作斜边的垂线交AC于E，交BC延长线于F，求证：DC2=DE·DF。
【随堂练习】
已知：如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．
（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）求证：BC•AD=DE•AC．
三、课后练习：
1、在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点O，试说明：△BDC∽△ABC．
2、如图，已知AC和BD相交于点E，CE•AE=BE•DE，求证：△ABE∽△DCE．
3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，过C作CD⊥AB于D，求证：CD2=AD•DB．
4、如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．
（1）求证：CD•DF=BC•BE；
（2）若M、N分别是AB、AD中点，且∠B=60°，求证：EM∥FN．。