专题训练：证比例式或等积式的技巧(含答案)

专训2证比例式或等积式的技巧
名师点金：证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似；若不在两个三角形中，可先将它们转化到两个三角形中，再证这两个三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中，可运用中间比代换．
构造平行线法
△1．如图，在ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，求证：AE·C F＝BF·E C.
△2．如图，已知ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，
求证：AB·D F＝BC·E F.
求证：＝.
三点定型法
3．如图，在ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.
DC CF
AE AD
△4．如图，在ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.
求证：AM2＝MD·M E.
构造相似三角形法
5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·C P＝BM·C N.
等比过渡法
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.
求证：(1)△DEF∽△BDE；
(2)DG·D F＝DB·E F.
求证：＝.
7．如图，CE是△Rt ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.
求证：CE2＝DE·P E.
两次相似法
8．如图，在△Rt ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.
BF AB
BE BC
(2)＝.
求证：＝.
9．如图，在ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：(1)△AMB∽△AND；
AM MN
AB AC
等积代换法
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
AE AC
AF AB
等线段代换法
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，
求证：BP2＝PE·P F.
12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证：PD2＝PB·P C.
∴
BF BD
＝
.
∴△ADE∽△CME.∴＝.
∴
BD
＝.∴＝.
∴
EF
＝，＝.
∵AD＝CE，∴＝.∴＝.
∴△FCD∽△DAE.∴＝.
参考答案
1．证明：如图，过点C作CM∥AB交DF于点M.
∵CM∥AB，∴∠FCM＝∠B，∠FMC＝∠FDB△.∴CMF∽△BDF.
CF CM
又∵CM∥AD，
∴∠A＝∠ECM，∠ADE＝∠CME.
AE AD
EC CM
∵D为AB的中点，∴BD＝AD.
AD BF AE
CM CM CF EC
即AE·C F＝BF·E C.
2．证明：过点D作DG∥BC，交AC于点G，
易知△DGF∽△ECF△，ADG∽△ABC.
CE AB AD
DF DG BC DG
CE AD AB EF
DG DG BC DF
即AB·D F＝BC·E F.
点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比，从而解决问题．
3．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥DC，∠A＝∠C.
∴∠CDF＝∠E.
DC CF
AE AD
4．证明：∵DM⊥BC，∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°.
∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D.
又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°，
∴BM＝AM.
∴∠B＝∠BAM.
∴AM
ME ＝ .即 AM 2＝
MD · M E.
∴
BP
BM ＝ .即 BP · C P ＝
BM · C N.(2)由△ DEF ∽△BDE 得 DE
＝ .即 DE 2＝DB · E F.又由 △ DEF ∽△BDE ，得∠
G ED ＝ ∴DG
DE ＝ .即 DE 2＝
DG · D F.
∴∠BAM ＝∠D.即∠EAM ＝∠D .
又∵∠AME ＝∠DMA.
∴△AME ∽△DMA.
MD AM
5．证明：如图，连接 PM ，PN.
∵MN 是 AP 的垂直平分线，
∴MA ＝MP ，
NA ＝NP .
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
又∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠B ＝∠C ＝∠1＋∠3＝60°.
∴∠2＋∠4＝60°.
∴∠5＋∠6＝120°.
又∵∠6＋∠7＝180°－∠C ＝120°，
∴∠5＝∠△7.∴ BPM ∽△CNP .
CN CP 6．证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵DE ∥BC ，
∴∠ABC ＋∠EDB ＝180°，∠ACB ＋∠FED ＝180°.∴∠FED ＝∠EDB.
又∵∠EDF ＝∠DBE ，
∴△DEF ∽△BDE.
EF BD DE
∠EFD.∵∠GDE ＝∠EDF ，∴△GDE ∽△EDF.
DE DF
∴DG · D F ＝DB · E F.
7．证明：∵BG ⊥AP ，PE ⊥AB ，
∴∠AEP ＝∠DEB ＝∠AGB ＝90°.
∴∠P ＋∠P AB ＝90°，
∠P AB ＋∠ABG ＝90°.
∴AE PE ＝ .即 AE · B E ＝PE · D E.∴AE CE ＝ .即 CE 2＝AE · B E.∴△BDF ∽△BAE.∴ ＝ . ∴△ABC ∽△DBA.∴ ＝ . ∴ BF AB ＝.(2)△由 AMB ∽△AND 得 ＝ ，∠BAM ＝∠DAN. 又 AD ＝BC ，∴ ＝ . ∴△AMN ∽△BAC.∴ ＝ .
∴∠P ＝∠ABG △.∴ AEP ∽△DEB.
DE BE 又∵∠CEA ＝∠BEC ＝90°，
∴∠CAB ＋∠ACE ＝90°.
又∵∠ACB ＝90°，
∴∠CAB ＋∠CBE ＝90°.
∴∠ACE ＝∠CBE △.∴ AEC ∽△CEB.
CE BE
∴CE 2＝DE · P E.
8．证明：由题意得∠BDF ＝∠BAE ＝90°.
∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBF ＝∠ABE.
BD BF AB BE
∵∠BAC ＝∠BDA ＝90°，
∠ABC ＝∠DBA.
AB BD BC AB
BE BC
9．证明：(1)∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴∠B ＝∠D . ∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，
∴∠AMB ＝∠AND ＝90°.
∴△AMB ∽△AND .
AM AB AN AD
AM AB AN BC
∵AM ⊥BC ，AD ∥BC ，
∴∠MAD ＝∠AMB ＝90°.
∴∠B ＋∠BAM ＝∠MAN ＋∠NAD ＝90°.∴∠B ＝∠MAN . AM MN AB AC
10．证明：∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，
∴∠ADB ＝∠AED ＝90°.
又∵∠BAD ＝∠DAE ，
∴△ABD ∽△ADE.
∴
AD AE
＝.即AD2＝
AE·A B.
∴AE·A B＝AF·A C.∴＝.
∴
CP PF
＝，即CP2＝
PF·P E.
∴△P AC∽△PBA.∴＝.
AB AD
同理可得AD2＝AF·A C.
AE AC
AF AB 11．证明：连接PC，如图所示．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB.∴BP＝CP.∴∠1＝∠2.
∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，
即∠3＝∠4.
∵CF∥AB，∴∠3＝∠F.∴∠4＝∠F.又∵∠CPF＝∠CPE，
∴△CPF∽△EPC.
PE CP
∵BP＝CP，∴BP2＝PE·P F. 12．证明：如图，连接P A，
∵EP是AD的垂直平分线，
∴PA＝PD.
∴∠PDA＝∠P AD.
∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC.∴∠B＝∠CAP.
又∵∠APC＝∠BP A，
PA PC
PB PA
即PA2＝PB·P C.
沈进老师专用资料∵PA＝PD，∴PD2＝PB·P C.
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